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北师大版九年级数学上册1.2.1矩形的性质与判定课件(共23张PPT)
边形是什么图形?
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
初中数学九年级上册完整ppt
谢谢观看
5、已知，在矩形ABCD中，AE⊥BD，E是垂足， ∠DAE∶∠EAB=2∶1，∠CAE= .
A
D
O
E
B
C
6、如图，点D、E、F 分别是△ ABC三边上的
中点．若△ ABC的面积为12，则△ DEF的面积
为
．
7、下列命题是假命题的是(
)
A、四个角相等的四边形是矩形;
F，且AFB=D、C，对连接C角F． 线互相平分的四边形是平行四边形;
C、线段EF的长不变
A、线段EF的长逐渐增大
8、下列命题为真命题的是（ D、线段EF的长与点P的位置有关
B：对角线相等且相互平分的四边形是正方形;
）
A：三角形的中位线把三角形的面积分成相等的两部分; 长为12厘米，则别一条对角线长为________厘米.
(2)△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?
A、线段EF的长逐渐增大
B、线段EF的长逐渐减小
A
C、线段EF的长不变
D、线段EF的长与点P的位置有关
B
D
E P
F C
R
1、如图所示,以△ABC的三边为边,分别作三个 等边三角形.
(1)求证四边形ADEF是平行四边形. (2)△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?
是矩形? (3)这样的平行四边形ADEF是否总是存在?
第一章初中图数学形九与年级证上明册 (二)
（梯形 角平分线
线段的垂直平分线 三角形中位线 梯形中位线 平行四边形 矩形 菱形 正方形
图形
性质（符号语言）
判定（符号语言）
我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在 某种条件下它们之间的关系.如果①，②两个条件分别 是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行. 那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件.
九年级数学第一章知识点总结ppt
九年级数学第一章知识点总结ppt 数学是一门具有逻辑性和抽象性的学科，通过学习数学可以培养我们的思维能力和分析问题的能力。
九年级数学第一章是我们数学学习的起点，是我们打好数学基础的关键一步。
在这个章节中，我们学习了许多重要的知识点，下面让我们一起来总结一下。
A. 整数的概念和运算整数是由正整数、零和负整数组成，通过整数的比较、加减乘除等运算，我们可以更好地理解和应用整数。
1. 整数的概念：整数是正整数、零和负整数组成的集合。
我们可以通过数轴来形象地表示整数，从而更好地理解整数的概念。
2. 整数的加减法：整数的加法可以通过正整数和负整数的相互抵消来实现，整数的减法可以看作是加上这个数的相反数。
在进行整数加减运算时，我们需要注意正负数的相互作用。
3. 整数的乘法：整数的乘法遵循相同符号得正，异号得负的原则。
我们还学习了整数的分配律和乘方等重要概念。
B. 分式的概念和运算分式是数学中常见的数学形式之一，通过学习分式的概念和运算，我们可以解决实际生活中的实际问题。
1. 分式的概念：分式是一个比的形式，由分子和分母组成。
分子代表某一部分，而分母代表一整体。
我们学习了分式的大小比较、简化和单位变换等重要概念。
2. 分式的加减法：分式的加减法需要找到一个公共分母，然后对分子进行相应的运算。
在进行分式的加减运算时，我们需要注意分子和分母的运算规则。
3. 分式的乘除法：分式的乘除法需要将分式转化为乘法或除法的形式，然后进行运算。
我们还学习了分式的倒数和乘除混合运算。
C. 平方根和三角形在九年级数学第一章中，我们还学习了平方根和三角形的相关知识。
这些知识点对我们理解数学和应用数学具有重要意义。
1. 平方根和平方数：平方根是一个数的平方根是它的正的解释，平方数是一个数可以写成另一个整数的平方的形式。
我们学习了计算平方根的方法和平方数的性质。
2. 三角形的概念和性质：三角形是由三条线段组成的图形，我们学习了三角形的类型、内角之和以及边长和角度之间的关系。
北师大版数学九年级上册1.1菱形的性质与判定课件(共17张PPT)
1
1
OB=OD= 2 BD = 2 ×6=3(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形ABC中，
A
O
C
∵∠BAD=60°， D
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
三、运用新知
在RtΔAOB中，由勾股定理，得
B
OA 2 +OB 2=AB 2，
O
∴OA = AB2 OB2 = 62 32= 3 3 .
∴CB=CD， CA平分∠BCD.
∴∠BCE=∠DCE.
又 CE=CE，
C
∴△BC E≌△COB（SAS）.
B F
E
A
∴∠CB E=∠CDE.
D
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC.
∴∠AFD=∠CBE.
五、归纳小结
1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2. 菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在 的直线；
观察 发现
观察下列图中的这些平行四边形，你能发现它 们有什么样的共同特征？
一、创设情境，引入新知
菱形的定义： 与一般的平行四边形相比较，这种平行四边形特殊在
哪里？你能给菱形下定义吗？
平行四边形
菱形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质：
二、合作交流，探究新知
想一想: 1. 菱形与平行四边形有什么关系？
二、合作交流，探究新知 32 C.
对称轴之间有什么位置关系？ 求证：∠AFD=∠CBE.
为BC，CD的中点，那么∠EAF 的度数是（ ） 菱形中已知边长或对角线，求相关长度问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，再结合勾股定理解题. ∴AB = BD = 6.
九年级上册数学(北师大版)第一章1.2矩形的性质与判定公开课PPT课件
知识小结
两组对边 四边形 分别平行
平行
一个角
四边形 是直角
矩形
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
深入探究
如果四边形ABCD的对角线AC=BD,
这样的四边形是不是矩形?
A
D
B
AC=BD C
都 不
A
D
是 矩
AC=BD
形
B
C
7
知识探究
如果一个平行四边形的对角线变成相等呢？
A
D
A
D
O
O
B
C
B
C
将AC同时向两边拉长，使AC=BD
∴AD∥BC,AB∥CD.
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
A
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
B
D C
16
知识小结
四边形
三个角 是直角
四边形集合 平行四边形集合
矩形集合
矩形
归纳小结 矩形的三种判定方法
有两个角是直角 的 四边形是矩形吗？
有三个角是直角
C
C
D
C
D
D
A
B
A
B
A
B
(有一个角是直角) (有二个角是直角) (有三个角是直角)
13
情境一：李芳同学用“边—
—直角、边——直角、边—— 直角、边”这样四步，画出了 一个四边形，她说这就是一个 矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
随堂练习
北师大版初中九年级数学上册-《三角形的垂心》课件
请你说明CD为什么是AB的垂直平分线, 并与同伴进行交流.
老师提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中 点,所以我们也用这种方法作线段的中点.
驶向胜利 的彼岸
回顾 思考
线段的垂直平分
线的性质
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
距离相等. 如图,
M P
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任
驶向胜利 的彼岸
做一做 1
几何的三种语言
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且 这一点到三个顶点的距离相等.
如图,在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直 c
aA b
平分线(已知),
∴c,a,b相交于一点P,且
B
PA=PB=PC(三角形三条边的垂直
P C
平分线相交于一点,并且这一点
九年级数学（上册）第一章 证明(二)
3.线段的垂直平分线（2） 三角形的垂心
回顾 思考
线段的垂直平分线
用尺规作线段的垂直平分线.
的作法 C
已知:线段AB,如图.
求作:线段AB的垂直平分线.
作法:
A
B
1.分别以点A和B为圆心,以大于 AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.
2. 作直线CD.
D
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的A逆定理.
如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平
分线相交于点P,连接AP,BP,CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB (或AB的中点,). 同理,PB=PC.
B
∴PA=PC.
P C
∴点P在线段AB的垂直平分线上, ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点. 想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否也 可以得征?
北师版九年级数学上册课件(BS) 第一章 特殊平行四边形 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定
12.如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形， 再 所以 作所 的得 第四 三边 个形 四的 边四 形边 的中 周点 长为 为_顶__点2_；作第四n边个形四…边…形依的次周作长下为去_4，_(_2_2__)n_．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为 AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD； (2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由； (3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？ 请说明你的理由．
解：(1)∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°. 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB. ∴AC∥DE. 又∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE＝AD
北师版
第一章 特殊平行四边形
1．3 正方形的性质与判定
第2课时 正方形的判定
1．下列叙述错误的是(D ) A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D ，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方 形的是(D ) A．BC＝AC B．CF⊥BF C 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形， ∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则 EF 的长是(C ) A．7 B．8 C．7 2 D．7 3
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点． 延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF. 当∠ACB＝_9_0__°时，四边形ADCF是正方形．
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形(同步+复习)串讲精品课件
A A E B D F C B F C E D
复习整理一
菱形 定义
邻边 相等的平行四边形是菱形 有一组 ________
对称性 菱形的 性质
定理
菱形是轴对称图形，两条对角线所在 的直线是它的对称轴 菱形是中心对称图形，它的对称中心 是两条对角线的交点 (1)菱形的四条边 ________ 相等 ； 垂直 平 (2)菱形的两条对角线互相 ________ 一组对角 分，并且每条对角线平分 ________
第一单元：菱形的性质与判定
D A O C
B
Shuxue
想一想
一．菱形的定义和性质
1.
2. 3. 4.
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱 形（把平行四边形从边上整容；割长补短）。 两条件：平行四边形+邻边相等=菱形。 定义的可逆性：既是性质，又是判定。 菱形的性质
① ② ③ ④ ⑤ 看边：四条边都相等。看角：对角相等。 看对角线：互相垂直平分，且平分内对角（是对 称轴）。十二角分三组，每四个角一组且相等。 看对称：两对角线是对称轴。轴对称和中心对称 面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半， 特例：有一角为120或60，则内含两个正三角形一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 点拨：
① 三个判定其中两个要先判定是平行四边形：平行 四边形+邻边相等=菱形；平行四边形+对角线垂 直=菱形。 ② 第三个判定是任意四边形只要四边相等就是菱形。 ③ 看清记清定理的条件和结论。 ④ 注意符号语言。
【典例1】
【典例2】
【典例3】四边形ABCD是边长为13cm 的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=900,DE
复习整理一
菱形 定义
邻边 相等的平行四边形是菱形 有一组 ________
对称性 菱形的 性质
定理
菱形是轴对称图形，两条对角线所在 的直线是它的对称轴 菱形是中心对称图形，它的对称中心 是两条对角线的交点 (1)菱形的四条边 ________ 相等 ； 垂直 平 (2)菱形的两条对角线互相 ________ 一组对角 分，并且每条对角线平分 ________
第一单元：菱形的性质与判定
D A O C
B
Shuxue
想一想
一．菱形的定义和性质
1.
2. 3. 4.
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱 形（把平行四边形从边上整容；割长补短）。 两条件：平行四边形+邻边相等=菱形。 定义的可逆性：既是性质，又是判定。 菱形的性质
① ② ③ ④ ⑤ 看边：四条边都相等。看角：对角相等。 看对角线：互相垂直平分，且平分内对角（是对 称轴）。十二角分三组，每四个角一组且相等。 看对称：两对角线是对称轴。轴对称和中心对称 面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半， 特例：有一角为120或60，则内含两个正三角形一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 点拨：
① 三个判定其中两个要先判定是平行四边形：平行 四边形+邻边相等=菱形；平行四边形+对角线垂 直=菱形。 ② 第三个判定是任意四边形只要四边相等就是菱形。 ③ 看清记清定理的条件和结论。 ④ 注意符号语言。
【典例1】
【典例2】
【典例3】四边形ABCD是边长为13cm 的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=900,DE
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推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角.
“行家”
☞ 例题欣赏P210
看“门
道” 例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外
E
角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
· A
D
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角
相等”,“内错角相等”或“同旁内角互
B
·C
补证”明.:∵ ∠EAC=∠B+∠C ( ), 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
∠B=∠C (已知),
∴∠C=
1 2
∠EAC(等式性质).
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
例题是运 用了定理 “内错角
∴∠DAC=12 ∠EAC(角平分线的定义).
相等,两直 线平行”
∴∠DAC=∠C(等量代换).
得到了证
∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
实.
想一想P211
一题多解思维灵活
☞ 回顾与思考 三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C. ∠B+∠C=1800-∠A.
2
∠1=∠2+∠3;
∠1>∠2,∠1>∠3.
3
41
B
C
D
这个结论以后可以直接运用.
☞ 回顾与思考
学好几何标志 是会“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索
B
∠A+∠C=1800-∠B.
A C
这里的结论,以后可以直接运用.
☞ 三种语言 关注三角形的外角
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角.
推论3: 直角三角形的两锐角互余. A
△ABC中:
命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).
每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部 分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.
一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其 中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命 题称为假命题(false statement). 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之 具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例 (counter example).
九年级数学（上册） 第一章 证明(二)
1.你能证明它们吗（1） 证明（一）回顾与思考
☞ 回顾与思考
直观是把“双刃 剑”
直观是重要的,但它有时也会骗
人,你还能找到这样的例子吗?
a a
b
b a bc
驶向Байду номын сангаас利 的彼岸
d
☞ 回顾与思考
“原名” 知多少
原名:某些数学名词称为原名. 定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也 就是给出它们的定义(definition) .
几何的三种语言☞
公理:
a
两直线平行,同位角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
b
性质定理1:
a
两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
b
性质定理2:
a
两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
b
平行线 的性质
c
1
2
c
1 2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
“ (因5)”依.)据; 思路,运用数学符号和数学语言条理
驶向胜利 的彼岸
清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
☞ 探索思考
“行家”看“门 道”
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其它角有什么关系?
A
能证明你的结论吗?
几何的三种语言☞
公理:
a
同位角相等,两直线平行.
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
b
判定定理1:
a
内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
b
判定定理2:
a
同旁内角互补,两直线平行.
∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.
b
平行线 的判定
c
1
2
c
1 2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外 角∠EAC,∠B= ∠C.
E
A· D
求证:AD∥BC.
· 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角
相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补 B
☞ 回顾与思考
“原名” 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法 证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).
本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条 直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
2
∠1+∠4=1800 ;
∠1>∠2; ∠1>∠3; ∠1=∠2+∠3.
3
41
B
C
D
证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),
∠1+∠4=1800(平角的意义),
∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换).
∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
☞ 关注▲外角
内涵与外延
在这里,我们通过三角形内角和
A
定理直接推导出两个新定理.像这
2
样,由一个公理或定理直接推出的
定理,叫做这个公理或定理的推论
(corollary). 推论可以当作定理使用.
3 B
41
C
D
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和.
“行家”
☞ 例题欣赏P210
看“门
道” 例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外
E
角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
· A
D
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角
相等”,“内错角相等”或“同旁内角互
B
·C
补证”明.:∵ ∠EAC=∠B+∠C ( ), 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
∠B=∠C (已知),
∴∠C=
1 2
∠EAC(等式性质).
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
例题是运 用了定理 “内错角
∴∠DAC=12 ∠EAC(角平分线的定义).
相等,两直 线平行”
∴∠DAC=∠C(等量代换).
得到了证
∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
实.
想一想P211
一题多解思维灵活
☞ 回顾与思考 三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C. ∠B+∠C=1800-∠A.
2
∠1=∠2+∠3;
∠1>∠2,∠1>∠3.
3
41
B
C
D
这个结论以后可以直接运用.
☞ 回顾与思考
学好几何标志 是会“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索
B
∠A+∠C=1800-∠B.
A C
这里的结论,以后可以直接运用.
☞ 三种语言 关注三角形的外角
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角.
推论3: 直角三角形的两锐角互余. A
△ABC中:
命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).
每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部 分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.
一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其 中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命 题称为假命题(false statement). 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之 具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例 (counter example).
九年级数学（上册） 第一章 证明(二)
1.你能证明它们吗（1） 证明（一）回顾与思考
☞ 回顾与思考
直观是把“双刃 剑”
直观是重要的,但它有时也会骗
人,你还能找到这样的例子吗?
a a
b
b a bc
驶向Байду номын сангаас利 的彼岸
d
☞ 回顾与思考
“原名” 知多少
原名:某些数学名词称为原名. 定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也 就是给出它们的定义(definition) .
几何的三种语言☞
公理:
a
两直线平行,同位角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
b
性质定理1:
a
两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
b
性质定理2:
a
两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
b
平行线 的性质
c
1
2
c
1 2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
“ (因5)”依.)据; 思路,运用数学符号和数学语言条理
驶向胜利 的彼岸
清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
☞ 探索思考
“行家”看“门 道”
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其它角有什么关系?
A
能证明你的结论吗?
几何的三种语言☞
公理:
a
同位角相等,两直线平行.
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
b
判定定理1:
a
内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
b
判定定理2:
a
同旁内角互补,两直线平行.
∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.
b
平行线 的判定
c
1
2
c
1 2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外 角∠EAC,∠B= ∠C.
E
A· D
求证:AD∥BC.
· 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角
相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补 B
☞ 回顾与思考
“原名” 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法 证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).
本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条 直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
2
∠1+∠4=1800 ;
∠1>∠2; ∠1>∠3; ∠1=∠2+∠3.
3
41
B
C
D
证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),
∠1+∠4=1800(平角的意义),
∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换).
∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
☞ 关注▲外角
内涵与外延
在这里,我们通过三角形内角和
A
定理直接推导出两个新定理.像这
2
样,由一个公理或定理直接推出的
定理,叫做这个公理或定理的推论
(corollary). 推论可以当作定理使用.
3 B
41
C
D
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和.