成都四七九自主招生试卷及答案

成都石室中学2012年外地生入学考试数学试卷注意：全卷分I 卷和Ⅱ卷，全卷满分150分,120分钟完成． 第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分）1．已知实数x ，y 满足以2-x +（y+1）2=0，则x-y 等于( )A ．1B ．-3C ．3D ．-12．若实数a 、b 、c 满足a+b+c =0，且a<b<c ，则函数y=ax +c 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．下列四个多项式：①-a 2+b 2；②-x 2一y 2；③1-(a-l) 2；④m 2-2mn +n 2，其中能用平方差公式分解因式的有( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③4．若不等式组⎩⎨⎧+m x x x ＞＜2-47的解集是x>3，则m 的取值范围是( )A ．m>3B ．m ≤3C ．m ≥3D ．m<35．如图，表示阴影区域的不等式组为 ( )6．已知抛物线C ：y =x 2+3x -10，将抛物线C 平移得到抛物线C'，若两条抛物线C ，C'关于直线x=l 对称，则下列平移方法中，正确的是( )A ．将抛物线C 向右平移25个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位C ．将抛物线C 向右平移5个单位D ．将抛物线C 向右平移6个单位7．假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为( )A.5分钟 B ．6分钟 C ．7分钟 D ．8分钟8．已知y=1-x +x -5（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A ．22-2B ．4-22C ．3-22D ．22-19．如图，用邻边长分别为a,b(a<b ）的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再截除与矩形的两个半圆均相切的两个小圆，把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a 与b 满足的关系式是10.如果关于x 的方程x 2-ax +a 2-3 =0至少有一个正根，则实数a 的取值范围是 A. -2 <a <2 B ．3<a ≤2 C ．-3<a ≤2 D ．-3≤a ≤2 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，共36分）11．函数y=2-x +3x 1-有意义，则x 的取值范围是 .12.已知一组数据24，27，19，13，x ，12的中位数是21，那么x 的值等于 . 13．已知x 2-x -1=0，那么代数式x 3-2x+l 的值是 .14.如图，E ，F 分别是平行四边形ABCD 的边AB ，CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与于点Q ，若S APD △ =15 cm 2，S BQC △ =25 cm 2，则阴影部分的面积为 cm 2. 15.已知直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，过点B 和点D 分别作直线l 的垂线BM 和DN ，为点M ，点N ，如果BM=5，DN =3，那么MN= .16．已知x ，y ，z 是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+y-z=2，若S=2x+y-z ，则S 的最小值的和为 .三、解答题（本大题共7小题，计64分，写出必要的推算或演算步骤．） 17．(7分)根据题意回答下列问题：(1)如果（a 一2）2+b+3=0，其中a ，b 为有理数，那么a=___ _，b=___ _; (2)如果（2+2）a 一（l 一2）b=5，其中a ，b 为有理数，求a+2b 的值.18．（8分）逸夫楼前石室水景广场园林及道路改造项目是我校2012年校园文化一一环境文化建设的重点项目之一，该项目2012年2月11日正式动工，经过四个多月的紧张施工，于2012年6月5日竣工。

若该工程拆除旧设施每平方米需80元，建造新设施每平方米需要800元,计划拆除旧设施与建造新设施共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建设施只完成了计划的90%而拆除旧设施则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？(2)若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？19.（8分）已知y=m2+m+4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）(1)求a，b，c的值；(2)对a，b，c进行如下操作：任取两个求其和再除2，同时求其差再除以2，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2012?证明你的结论.20.（9_分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE.(1)求证：BE与⊙O相切；(2)连结AD 并延长交BE 于点F ，若OB=9,sin ∠ABC=32，求BF 的长．21.（12分）已知：在Rt △ABC 中，∠C= 90°，AC=4，∠A =60°。

，CD 是边AB 上的中线，直线BM //AC ，E 是边CA 延长线上一点，ED 交直线BM 于点F ，将△EDC 沿CD 翻折得△E'DC ，射线DE 交直线BM 于点G ．(1)如图1，当CD ⊥EF 时，求BF 的值； (2)如图2，当点G 在点F 的右侧时； ①求证：△BDF ∽△BGD;②设AE =x ，△DFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； (3)如果△DFG 的面积为63，求AE 的长，22.（8分）如图，AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ，求证：MN +PQ=2PN.23．（12分）如图，已知抛物线y=41x2-41(b +1)x+41（b是实数且b>2）与x轴正半轴分别交于点A，B(点A位于点B的左侧)，与y轴正半轴交于点C．(1)求B，C两点的坐标（用含b的代数式表示）；(2)请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）?如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．成都石室中学2012年外地生入学考试数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分）1.C2.A3.B4.B5.D6.C7.B8.A9.D 10.C二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，共36分）11.x≥2且x≠3 12. 23 13.2 14. 40 15.2或8 16.5三、解答题（本大题共7小题，计64分，写出必要的推算或演算步骤．）17.解：(1)2，一3；……………………………………………………（2分）(2)整理，得(a+6)2 +（2a一6—5）=0．…………………………（3分）∵a、b为有理数,∴⎩⎨⎧=--=+52baba…………………………………（5分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3535ba…………………………………………………………（6分）∴a+2b=－35……………………………………………………………（7分）18.解：(1)由题意可设拆除旧设施T平方米，建造新设施y平方米，则⎩⎨⎧=+=+90009.01.19000yxyx⇒⎩⎨⎧==45004500yx答：原计划拆、建各4500平方米．…………………（4分）(2)计划资金y1=4500×80+4500 x800=3960000(元)实用资金y 2=1.1×4500×80+0.9×4500×800=4950 X80+4050×800 =396000+3240000 =3636000(元)∴节余资金：3960000 - 3636000=324000(元)∴可建绿化面积=200324000=1620(平方米)答：可绿化面积1620平方米． ……………………………………（8分）19.解：(1)设m 2+m+4 =k 2（k 为非负整数），则有m 2+m+4 -k 2=0，由m 为整数知其△为完全平方数（也可以由△的公式直接推出），即1 -4(4 -k 2)=p 2(p 为非负整数) 得(2k +p)（2k –p ）=15，显然：2k+p>2k-p ．…………………………(2分）所以⎩⎨⎧=-=+12152p k p k 或……⎩⎨⎧=-=+3252p k p k ，解得P=7或P=1，………………………(4分) 所以m=21p±-，得：m 1=3，m 2=-4，m 3=0, m 4=-1, 所以a=3,b=-4,c= -1. ……(5分) （2）因为（2ba +）2+（2ba -）2+c 2=a 2+b 2+c 2,即操作前后，这三个数的平方和不变………………………………………（7分） 而32+(-4) 2十(-1) 2≠2012.所以，对a,b,c 进行若干次操作后，不能得到2012．……………………（8分）20．(1)证明：连结OC.∵EC 与⊙O 相切，C 为切点． ∴∠ECO= 90°． ∵OB=OC ，∴∠OCB=∠OBC. ∵OD ⊥DC. ∴DB =DC.∵直线OE 是线段BC 的垂直平分线． ∴EB=EC.∴∠ECB=∠EBC. ∴∠ECO=∠EBO. ∴∠EBO=90°． ∵AB 是⊙O 的直径．∴BE 与⊙O 相切………………………………………………………………（3分） (2)解：过点D 作DM ⊥AB 于点M ，则DM ∥FB. 在Rt △ODB 中，∵∠ODB =90°，OB=9,sin ∠ABC=32， ∴OD=OB ．sin ∠ABC =6．由勾股定理得BD=22-OD OB =35.………（5分）在Rt △DMB 中，同理得DM =BD ·sin ∠ABC=25 BM=22-DMBD =5……………………（6分）∵O 是AB 的中点， ∴AB =18． ∴AM=AB-BM=13．∵DM ∥FB ，∴△AMD ∽△ABF. ∴BF MD AB AM. ∴BF=AM AB MD ·=13536.………（9分）21.（1）解：∵∠ACB=90°，AD=BD ，∴CD=AD=BD.………………………………………………（9分） ∵∠BAC=60°，∴∠ADC=∠ACD=60°，∠ABC=30°，AD=BD=AC. ∵AC=4.∴AD=BD=AC= 4. ………………………（2分）∵BM ∥AC ，∴∠MBC=∠ACB=90°. 又∵CD ⊥EF ，∴∠CDF=90°. ∴∠BDF=30°. ∴∠BFD=30°. ∴∠BDF=∠BFD.BF=BD=4. ………………………………………………（3分）(2)①证明：由翻折，得∠E'CD=∠ACD=60°， ∴∠ADC=∠E'CD∴CE'∥AB. ∴∠CE'D=∠BDG. ………………………………………………（4分） ∵BM ∥AC ，∴∠CED=∠BFD.又∵∠CE'D=∠CED ，∴∠BDG=∠BFD.∵∠DBF=∠GBD, ∴△BDF ∽△BGD …………………………………………（6分）②解：由△BDF ∽△BGD ，得BD BF =BG BD. 由AE=x ，可得BF=x. ∴4x =BG 4. ∴BG=x 16.又∵点D 到直线BM 的距离为23， ∴y=21(x 16-x)·23，即y=x 316-33x.x 的取值范围为：0＜x ＜4. ………………………………………………………（8分）(3)解：①当点G 在点F 的右侧时，由题意，得63=x 316-33x.整理，得x 2+6x-16=0. 解得x 1=2，x 2=-8（不合题意，舍去）. ………………（10分）②当点G 再点F 的左侧时，由题意，得63=3x-x 316.整理得x 2-6x-16=0.解得x 3=8, x 4=-2(不合题意，舍去). ………………………………………………（12分） 综合所述AE 的值为2或8.22.证明：延长BA 、EC 。