等比数列的概念及通项公式(一)精品PPT课件
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等比数列的概念及通项公式ppt课件
a与b的 等比 中项
定义式
A－a＝b－A
Ga ＝Gb
公式
A＝a＋ 2
G＝± ab
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有 两 个，且互为_相_ _反__数_
备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
3.等比数列的通项公式：
思考：如何用 a 1 和 q表示 a n ？
又a1－1＝－2，
an＋1－n＋1＝3an－2n＋1＋3－n＋1＝3an－3n＝3(n＝1,2,3，…).
n
1
8
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a 1 和 q表示 a n ？
❖ 方法：累加法
等 a2-a1d
差 数 列
a3 -a2 d
a4 -a3 d
类比
……
+）an -an-1 d
累乘
等法
比
数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
…a 3 …
×） a n q
a n-1
等差数列anan- 1d,n2
a2 a1d
归
a3 a2 d
(a1 d ) d
纳 法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d ) d
a…1 …3d
ana1(n-1)d
等比数列 anan-1q,n2
a2 a1q
a3
aa21qq2(a1q)q
a4 a3q (a1q2)q
a1q3
……
a a q n-1
反思感悟 判定等比数列，要抓住3个要点： ①从第二项起.②要判定每一项，不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个 常数，且不能为0.
等比数列完整版课件PPT
通项 公式2
an
am
(n m)d
(n, m N *)
G是a、b的等比中项 中项 A是a、b的等差中项
G2 ab (ab 0)
2A a b
布置作业
1.求数列an 的通项公式.
a1 =5，且2an1 3an.
2.已知数列an 为等比数列，
且a2Leabharlann 4, a51 2, 求an.
q3 27
q3
a1 1 a4 a1q3 27 an 3n1(n N*)
能力提升
2014理科全国卷Ⅱ
已知数列an满足a1 1, an1 3an 1.
证明an
1 2
是等比数列，并求
an
的通项公式。
证明：设an
1 2
bn
an1 3an 1
an1
1 2
3(an
1) 2
an 1
an1 q (q为常数，且q≠0 ；n∈N*) an
[或
an an1
q
(q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*)
]
练习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪
些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如
果不是，说明理由。
(1) 1，3，9，27，… 是 a1=1, q=3
(2)
1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 8 16
①
1, 1 , 1 , 1;
②
248
共同特点：从第二项起，每一项与前一项 的比都等于同一个常数．
二、新课探究
1. 等比数列的定义:
一般地，若一个数列从第二项起，每一 项与它的前一项的比等于同一个常数，这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的 公比，用字母q(q≠0) 表示.
等比数列的概念和通项公式 课件
所以a2－b2 a1＝－22＝－1.
[答案] －1
[误区] 忽视等比数列中 b2 与－4 同号而出现 b2＝2 或 b2＝±2 的错误． [防范措施] 1．注意等比数列中三种常见隐含条件的挖掘 (1)定义中隐含等比数列中每一项和公比都不为 0. (2)若两个数有等比中项，则这两个数同号． (3)若公比为正数，则每一项同号，若公比为负数，则所有奇数项的 符号相同，所有偶数项的符号相同．如本例中，无论公比是正数还是 负数，b2 与－4 一定同号．
等比数列的概念和通项公式
1．等比数列
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 文字 前一项的 比 等于同一个常数，那么这个数列就叫 语言 作等比数列，这个常数叫作等比数列的 公比 ，公
比通常用字母 q 表示(q≠0)．
数学 符号
在数列{an}中，如果aan－n 1＝q(n≥2， n∈N*)或aan＋n 1＝qn∈N*(q≠0)成立，则称数列{an}为
等比数列，常数 q 称为等比数列的公比．
递推 an＝an－1·q(q≠0，n∈N*，n≥2)或 an＋1＝an·q(n∈N*，
关系 q≠0)
2.通项公式 等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则通项公式为 an＝ a1qn－1 (a1≠0， q≠0)． 3．等比中项 如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫作 a 与 b 的等比中项．
与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基 本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公 式，an＝a1·qn－1(a1q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求 得另一个量．求解时，要注意应用 q≠0 验证求得的结果．
1．在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
等比数列的概念及通项公式 课件
(2)等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5， a7的等比中项． [思路探索] 本题主要考查等比数列的基本运算和等比中项 的求法．
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解 (1)由题意知 a3 是 a1 和 a9 的等比中项， ∴a23＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得 a1＝d， ∴aa21＋＋aa43＋＋aa190＝1136dd＝1136. (2)设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，因为 a2－a5＝
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(2)解 由(1)可知 cn＝－12·12n－1＝－12n， ∴an＝cn＋1＝1－12n.(9 分) ∴当 n≥2 时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1
＝12n－1－12n＝12n. 又 b1＝a1＝12代入上式也符合，∴bn＝12n.(12想在等比数列中的应用
通过观察图形特征，帮助学生发现图形所表示数的规 律和特点．一方面，培养学生发现图形特征和规律的能力； 另一方面，在单纯发现数列的规律比较困难的情况下，可以 借助图形帮助解决；反之，在观察图形特征比较困难的情况 下，也可以考虑从观察数列特点入手进行解决． 【示例】 图(1)是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中 间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如 此继续下去，得图(3)……试求第n个图形的边长和周长．
aa21＝q，将以上 n－1 个等式左右两边分别相乘得aan1＝qn－1 即
an＝a1qn－1. 迭代法：因为{an}是等比数列， 所以an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝an－3q3＝…＝ a1qn－1，所以an＝a1qn－1.
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解 (1)由题意知 a3 是 a1 和 a9 的等比中项， ∴a23＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得 a1＝d， ∴aa21＋＋aa43＋＋aa190＝1136dd＝1136. (2)设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，因为 a2－a5＝
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(2)解 由(1)可知 cn＝－12·12n－1＝－12n， ∴an＝cn＋1＝1－12n.(9 分) ∴当 n≥2 时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1
＝12n－1－12n＝12n. 又 b1＝a1＝12代入上式也符合，∴bn＝12n.(12想在等比数列中的应用
通过观察图形特征，帮助学生发现图形所表示数的规 律和特点．一方面，培养学生发现图形特征和规律的能力； 另一方面，在单纯发现数列的规律比较困难的情况下，可以 借助图形帮助解决；反之，在观察图形特征比较困难的情况 下，也可以考虑从观察数列特点入手进行解决． 【示例】 图(1)是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中 间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如 此继续下去，得图(3)……试求第n个图形的边长和周长．
aa21＝q，将以上 n－1 个等式左右两边分别相乘得aan1＝qn－1 即
an＝a1qn－1. 迭代法：因为{an}是等比数列， 所以an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝an－3q3＝…＝ a1qn－1，所以an＝a1qn－1.
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等比数列及通项公式.ppt
3某人年初投资10000元如果年收益率是5那么按照复利5年内各年末的本利和依一般地如果一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都等于同一个常数那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比公比通常用字母q表示
等比数列 的概念及其通项公式
一、新课引入
1、小故事：国际象棋源于古代印度，国王为奖 励发明者，答应他的任何要求，发明者说：“请 在棋盘的第一个格子放1颗麦粒，在第2个格子放 2颗麦粒，在第3个格子放4颗麦粒，在第4个格子 放8颗麦粒，依此类推，每个格子都是前面格子 的2倍，直到64个格子。请给我足够的粮食实现 上述要求。”你认为国王能满足他的要求吗？ 印度国王奖赏国际象棋发明者的实例，得 一个数列：
2
关于等比中项： 如果在a、b中插入一个数G，使a、G、b 成 等比数列，则G是a、b的等比中项。
Gb 2 G ab G ab a G
（注意两解，且同号两项才有等比中项）
例：2与8的等比中项为G，则 G2 =16 ， 即：G=±4
等比数列的有关性质： 1、与首末两项等距离的两项积等于 首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等 于 这一项的平方。 2、若 m n p q a a a ，则 a m n p q
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响
等比数列 的概念及其通项公式
一、新课引入
1、小故事：国际象棋源于古代印度，国王为奖 励发明者，答应他的任何要求，发明者说：“请 在棋盘的第一个格子放1颗麦粒，在第2个格子放 2颗麦粒，在第3个格子放4颗麦粒，在第4个格子 放8颗麦粒，依此类推，每个格子都是前面格子 的2倍，直到64个格子。请给我足够的粮食实现 上述要求。”你认为国王能满足他的要求吗？ 印度国王奖赏国际象棋发明者的实例，得 一个数列：
2
关于等比中项： 如果在a、b中插入一个数G，使a、G、b 成 等比数列，则G是a、b的等比中项。
Gb 2 G ab G ab a G
（注意两解，且同号两项才有等比中项）
例：2与8的等比中项为G，则 G2 =16 ， 即：G=±4
等比数列的有关性质： 1、与首末两项等距离的两项积等于 首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等 于 这一项的平方。 2、若 m n p q a a a ，则 a m n p q
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响
4.3.1等比数列的概念及通项公式(第1课时)课件(人教版)
是等差数列，也是等比数列；
0,0,0,0,…
是等差数列，不是等比数列；
(2) = 时，{}为非零常数列.
非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1.
课堂练习
1. 判断下列数列是否为等比数列. 如果是，写出它的公比.
×
1 1 1 1 1 1
(3) ， ， ， ， ， ;×
3 6 9 12 15 18
解：因为 是 与 的等比中项，所以
= = × = .
所以 = ± = ±.
因此， 的第5项是24或-24.
探究二：等比数列的通项公式
问题3 类比等差数列通项公式的推导，你能根据等比数列的定义及
递推公式推导它的通项公式吗？
取值规律？你发现了什么规律？
共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
追问：你能否类比等差数列的概念，归纳出等比数列的概念以及它的
递推关系？
等比数列的概念：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于
同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，
a1 2
2
{an }的通项公式为an 2 n 1 或an 23 n.
例题精讲
课本例2 已知等比数列 的公比为，试用 的第项 表示 .
解：由题意 , 得
am a1q m 1 ,
an a1q
n 1
①
②
,
等比数列的通项公式：
= − ( ≠ , ∈ + )
, , , … , .
, , , , ,…
2,4,8,16,32,64,…
4311等比数列的概念与通项公式课件共39张PPT
当 q＝－2 时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n， ∴数列{an}的公比为 2 或－2， 对应的通项公式分别为 an＝2n 或 an＝(－1)n－12n.
类型二 等比中项
[例 2] 已知等比数列的前三项和为 168，a2－a5＝42，求 a5，a7 的等比中项． [思路分析] 根据已知条件，求出等比数列的首项和公比，再利用定义求等比 中项．
此时{an}不是等比数列． 4．(知识点二)数列{an}为等比数列，若 a1＝2，a5＝8，则 a3＝±4.正确吗？为
什么？
提示：不正确．设等比数列{an}的公比为 q，则可得 q4＝aa51＝4，解得 q2＝2，所 以 a3＝a1·q2＝2×2＝4.
二、练一练
1．等差数列{an}的公差不为零，首项 a1＝1，a2 是 a1 和 a5 的等比中项，则数
课堂篇·互动学习
类型一 等比数列的通项公式及应用
[例 1] 在等比数列{an}中， (1)已知 a3＝9，a6＝243，求 a5； (2)已知 a1＝98，an＝13，q＝23，求 n. [思路分析] 根据题设条件，充分利用等比数列的通项公式代入求解．
[解] (1)方法一：由 a3＝9，a6＝243， 得 a1q2＝9，a1q5＝243. ∴q3＝2493＝27，∴q＝3.∴a1＝1. ∴a5＝a1q4＝1×34＝81. 方法二：∵a6＝a3q3，∴q3＝aa63＝2493＝27， ∴q＝3. ∴a5＝a3q2＝9×32＝81.
D．84
解析：∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，∴1＋q2＋q4＝7， 解得 q2＝2 或 q2＝－3(舍去)，∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
等比数列的概念及通项公式(一)PPT课件
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
an=am+(n-m)d (n,m∈N*)
3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法
累 加 法最新课件
3
一、引入新课：
1.细胞分裂个数组成数列:
1,2,4,8,16,
2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1, 1 , 1 , 1, 1 , 2 4 8 16
最新课件
21
(2)证明：当 n≥2 时，
由 an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，
得 an ＝－1，又a2＝－1，
an－1
2
a1
2
所以{an}是首项为－12，公比为－12的等
比数列．
最新课件
22
你有什么收获？
小结：填写下表
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数 ,那么这个数列 叫做等比数列.
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
最新课件
6
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1, 1, 1, 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
即9为该数列的第5项.
变 式 ： 3m 1是 该 数 列 中 的 项 吗 ？ 若 是 ， 是 第 几 项 ?
n1
分析：令3m1 3 2 ，则n=2m+3
最新课件
17
例 3 ： 已 知 { a n} 的 通 项 公 式 a n 3 n,求 证 ： { a n} 是
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如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数 ,那么这个数列 叫做等比数列.
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
是,公比 q= 1 2
是,公比 q=1
(4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，…
是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(7) 1, x , x2, x3, x4, (x 0) 是,公比 q= x
对等比数列的理解
1. 各项不能为零,即 an 0 2. 公比不能为零,即 q 0
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
an=am+(n-m)d (n,m∈N*) 3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法 累加法
一、引入新课：
1.细胞分裂个数组成棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1, 1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 8 16
a3 a2 d
(a1 d ) d
a1 2d
a4 a3 d
(a1 2d ) d
…a1
3d
…
an a1 (n 1)d
an1an q
等比数列通项公式的推导（归纳法）
a2 a1q
a3
a2q a1q
2
(a1q)q
a4 a3q (a1q2 )q
a1q3
…… a n a1q n1
提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．
所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．
2、等比数列{an}中, 相邻三项an1, an , an1(n 2)的关系.
an2 an1 an1(n 2)
等比数列通项公式的推导: 归纳法
an1an d
等差数列通项公式的推导(归纳法)
a2 a1 d
本例题求解过程
a1 24 所以，数列的通项公式为
中，通过两式相除求 出公比的方法是研究 等比数列问题的常用
an
a13
24 (1 )n1 2
a1 q12 24
1 2
方法．
12
28
1． 256
变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an. 变形2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q. 变形３、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4,
3.病毒感染的计算机数构成的数列:
1, 20, 202 , 203, 204 ,
探究：等比数列的定义
观察下列数列的相邻两项，并说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2) 1 , 1 , 1 , 1 , ……
2 4 8 16
(3) 1, 20, 202 , 203, 204 ,
1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
等比数列通项公式的推导: 累乘法推导
证明：∵ a2 q a3 q ……
a1
a2
an q an 1
将等式左右两边分别相乘可得：
n1
a2 a3 …… an q ……q qn1
a1 a2
an1
化简得：
an qn1 a1
即：
此式对n=1也成立 ∴
an an
a1 qn1 a1 qn1 (n N )
求q的值.
变形４、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18,
an =1/2,求n.
012
例2：9是等比数列3 2 ，3 2 ，3 2 ，...的第几项 ?
0
1
n 1
解：a1 32 1，q 32 ， an a1 qn1 3 2 .
9
32
n1
3 2 ，即2
n
1， n
5，
2
＿＿an＿＿2＿n-1＿
an
8
·
上式还可以写成
an
1 2n 2
7 6
可见，这个等比数列
5
的图象都在函数
y
1 2
2x
4 3
·
的图象上，如右图所示。
2
·
1
结论： 等比数列an的图象是其对应的
·
函数的图象上一些孤立的点
0 1234 n
结论:
等比数列的图象与指数函数之间的关系:
等比数列{an}通项公式可整理为：an
3. 当q>0，各项与首项同号
当q<0，各项符号正负相间
4. 数列 a, a , a , …
a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G2 ab
G ab
思考：1、若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
学习目标
1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
回顾与复习
1、等差数列定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。
数学表达式：d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an
即9为该数列的第5项.
变式： 3m1是该数列中的项吗？若是，是第几项 ?
一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 比数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
数学语言：
an q(n 2且n N* ). an 1
或 an1 q an
an1 an q
名
等差数列
称
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
a1 qn， q
它的图象是函数y a1 qx的图象上的孤立点. q
6.3 等比数列
巩固知识 典型例题
例1
在等比数列an 中，a5
1，a8
1 8
，求a13．
解
由
a5
1, a8
1有 8
1 a1 q4， (1)
1 8
a1
q7，
(2)
（2）除以（1）得
1 q3，q 1 ；
8
2
将q
1 2
代人（1），得
等比数列的通项公式： an a1 qn1 （n∈N﹡,q≠0）
在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比 为q, 求该数列的任意项an。
等比数列通项公式的推广公式：
（aanm＝≠0a,maqn n≠-m0,m,n∈Z）+
思考：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：