2019年高考数学(理)原创押题预测卷03(新课标Ⅰ卷)(参考答案)
a
a
所以函数 F (x) 在 (, 0) ， ( 2a 1 , ) 上单调递减，在(0, 2a 1) 上单调递增；（4 分）
a
a
理科数学 第 4 页（共 7 页）
当
a 1时， 2 F (x)
ax2 ex
恒成立，所以函数
0
F (x)
在 上单调递减；
R
当0 a 1 时， 2a 1 0 ，
此时直线l 的方程为 y 0 ，直线l 过定点 1
．（11 分）
2
2
( , 0)
l
14
综上，直线 2 过定点，该定点的坐标为( 4 , 0) ．（12 分）
21．（本小题满分 12 分）
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）证明见证明．
【解析】（Ⅰ）由题可得
F(x)
g(x) f (x)
ax2
x ex
的斜率为
4
4 y0 ，
y0
21
2
3
所以直线l 的方程为 y y 4 y0 (x 1) ，即 y y0 (4x 1) ，
2
03
3
令 4x 1 0 ，可得 x 1 ，此时 y 0 ，直线l 过定点( 1 , 0) ；（10 分）
4
2
4
当直线l1 的斜率不存在时，易知 y0 0 ，
4
所以将 x cos ， y sin ， 2 x2 y2 代入上式可得 x2 y2 2x 2 y ，
所以曲线C 的直角坐标方程为 x2 y2 2x 2y 0 ．（5 分）
（Ⅱ） x2 y2 2x 2y 0 可化为(x 1)2 (y 1)2 2 ，
5
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）分布列见解析， E( )
15
．
16
2
【解析】（Ⅰ）甲、乙两人租车费用相同，即租车费用分别为2 元、4 元或6 元，（1 分）
理科数学 第 1 页（共 7 页）
甲、乙两人租车费用均为2 元的概率为 p 1 1 1 ， 1 42 8
甲、乙两人租车费用均为4 元的概率为 p 1 1 1 ， 2 24 8
2
2
（Ⅱ）因为b2 a2 1 c2 0 ，所以b a ，
4 因为 A ，所以 B ，所以0 C ，（8 分）
4
4
2
由（Ⅰ）知 tanC 4 ，所以sin C 4 17 ， cos C 17 ，
17
17
所以sin B sin( A C) sin( C) 2 17 2 4 17 5 34 ，（10 分）
4
2 17 2 17 34
由正弦定理可得 c sin C 4 2 ，即c 4 2 b ，
b sin B 5
5
因为△ABC 的面积为 5 ，所以 1 bc sin A 1 b 4 2 b 2 5 ，解得 b 5 ．（12 分）
2
2
2
5
22
2
18．（本小题满分 12 分）
理科数学 第 5 页（共 7 页）
【解析】（Ⅰ）因为直线l 的参数方程为x 1 2t (t 为参数) ， y 2 2t
所以消去t 可得2(1 x) y ，所以直线l 的普通方程为2x y 2 0 ．（2 分）
因为 2 2sin(3 ) 可化为 2cos 2sin ，即 2 2cos 2sin ，
0
2 02
1
当直线l1 的斜率存在且不为0 时，易知 y0 0 ，设直线l1 的方程为 y k(x 1) y0 ，
将 y k(x 1) y0 代入 x2 y2 1， 43
消去 y 可得(3 4k 2 )x2 (8ky 8k 2 )x 4k 2 8ky 4 y2 12 0 ，（6 分）
所以函数t(x) 在[1, ) 上单调递增，所以t(x) t(1) (1 2)e 1 2 3 e 0 ，
所以h'(x) 0 ，所以函数h(x) 在[1, ) 上单调递增，（11 分）
所以
h(x)
h(1)
e
11 12
e
2
，即
ex
x x2
1
e
2
，
所以对任意的 x [1, ) ， f (x) g(x) 恒成立．（12 分）
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程为2x y 2 0 ，曲线C 的直角坐标方程为 x2 y2 2x 2y 0 ；
（Ⅱ） 6 5 ． 5
2
a
a
2
时，函数 F (x) 在 R 上单调递减；当0 a 1 时，函数 F (x) 在 (, 2a 1) ， (0, ) 上单调递减，
2
a
在 ( 2a 1 , 0) 上单调递增．（7 分）
a
（Ⅱ） f (x) g(x) 即ex ax2 x 1，即ex x 1 ax2 ，
则曲线C 表示圆心为(1,1) ，半径r 2 的圆，（7 分）
因为圆心 (1,1) 到直线 2x y 2 0 的距离 d | 2 1 2 |
5
，
5
1
，
x
R
，
ax2 (2a 1)x ax
2a 1
则 F(x)
(x
) ．（2 分）
ex
ex
a
当 a 1 时， 2a 1 0 ，
2
a
令 F (x) 0 ，可得 x 0 或 x 2a 1 ，令 F (x) 0 ，可得0 x 2a 1 ，
7
所以在线段 BE 上存在点Q ，使得平面CDQ 平面 BEF ，此时 BQ 1 ．（12 分）
BE 7
20．（本小题满分 12 分）
【答案】（Ⅰ）
x2 4
y2 3
1 1；（Ⅱ）证明见解析，该定点的坐标为( 4 , 0) ．
【解析】（Ⅰ）因为点( 2,
6 2
)
在椭圆C
上，所以
2 a2
2019 年高考原创押题预测卷 03【新课标Ⅰ卷】
理科数学·参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
D
B
B
C
B
A
C
B
B
C
C
B
13． 7
14． ln 3
n 15． n 1
16． (2 ln2, 0]
17．（本小题满分 12 分）
5 【答案】（Ⅰ） 4 ；（Ⅱ） ．
2 【解析】（Ⅰ）因为 A ， b2 a2 1 c2 ，
甲、乙两人租车费用均为6 元的概率为 p 1 1 1 ，（3 分） 3 4 4 16
所以甲、乙两人租车费用相同的概率为 P p p p 1 1 1 5 ．（5 分） 1 2 3 8 8 16 16
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（Ⅱ）依题意， 的所有可能取值为4 ， 6 ， 8 ，10 ，12 ，（6 分）
2
a
令 F (x) 0 ，可得 x 2a 1 或 x 0 ，令 F (x) 0 ，可得 2a 1 x 0 ，
a
a
所以函数
F (x) 在(, 2a
1 )
，
(0,
)
上单调递减，在(
2a
1
,
0)
上单调递增．（6
分）
a
a
综上，当a 1 时，函数 F (x) 在 (, 0) ，(2a 1 , ) 上单调递减，在(0, 2a 1) 上单调递增；当a 1
，
0
即
(1 a
)b b
2c
0
0
，
令 b 1，可得a 1， c 1 ，所以平面CDQ 的一个法向量为a (1,1, 1) ．（10 分）
因为平面CDQ
平面
2 BEF ，所以a
m
0
，即1 2
1
0
2 ，解得
1
(0,1)
，
2
又 n (0,1, 0) 为平面 DEF 的一个法向量，所以cosm, n m n 2 6 ， | m ||n | 6 3
易知二面角 B EF D 的平面角为锐角，所以二面角 B EF D 的余弦值为 6 ．（6 分） 3
（Ⅱ）假设在线段 BE 上存在点Q ，使得平面CDQ 平面 BEF ． 由（Ⅰ）知 BE (0, 1, 2) ，平面 BEF 的一个法向量为m (1,2,1) ．
ex x 1 因为 x 1，所以 x2 a ，
所以原问题转化为对任意的
x [1,)
，
ex x x2
1
e
2
．（9
分）
设
h(x)
ex
x x2
1
，
x
1，则
h'(x)
(x
2)ex x3
x
2
，
令 t(x) (x 2)ex x 2 ， x 1，则t'(x) (x 1)ex 1 1，
所以 DA ， DB ， DE 互相垂直，（2 分） 以 DA ， DB ， DE 所在直线分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz ，
2019年高考数学(理)原创押题预测卷01(新课标Ⅲ卷)(答题卡)
2019年高考原创押题预测卷01【新课标Ⅲ卷】
理科数学·答题卡
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（12分） 19．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
21．（12分） 选做题（10分）
请考生从给出的22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选的
题涂黑，注意所做题目必须与所涂题一致，如果多做，则按所做的第一题计分。
我所选择的题是 [ 22 ] [ 23 ]
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！。
【新课标Ⅲ卷】2019届高考数学(理)押题预测卷(含答案解析)
2019年高考押题预测卷01【新课标Ⅲ卷】理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．己知集合{|1}A x x =≤-，{|0}B x x =>，则()A B =R ðA ．(1,)-+∞B ．(,0]-∞C ．[1,0)-D ．(1,0]-2．已知i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，若复数1i1iz +=-，则z z ⋅= A ．1-B ．iC ．1D ．43．已知tan 3α=，则cos(2)2απ+= A ．45-B ．35-C ．35D ．454．已知双曲线221y x m-=m 的取值范围为A ．1(,)2+∞B ．[1,)+∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞5．若2(2nx-的展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式中的常数项为 A ．10-B ．5-C ．5D ．106．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为 A ．23岁B ．32岁C ．35岁D ．38岁7．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积为AB ．13CD8．函数ln ||()x f x x=的大致图象为A B C D9．若x ，y 满足约束条件212x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则12x y +的最小值为A ．12-B ．1C ．74D ．410．已知直线l 与圆22:4O x y +=相切于点(，点P 在圆22:40M x x y -+=上，则点P 到直线l 的距离的最小值为 A ．1BCD ．211．在三棱锥D ABC -中，AC BC BD AD ====，且线段AB 的中点O 恰好是三棱锥D ABC -的外接球的球心．若三棱锥D ABC -的体积为3，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为 A ．64πB ．16πC ．8πD ．4π12．已知对任意的[1,e]x ∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln e 0yx y a +-=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为 A ．[1,e]B ．1(1,e 1)e++C ．1(,1e]e+D ． 1(1,e]e+第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(1,2)=a ，(3,)t =b ，若()+⊥a b a ，则t =________________．14．已知函数()(1)e xf x ax =+在点(0,(0))f 处的切线经过点(1,)1-，则实数a =________________．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 外一点P 满足212PF F F ⊥，且212||||PF F F =，线段1PF ，2PF 分别交椭圆C 于点A ，B ，若1||||P A A F =，则22||||BF PF =________________． 16．已知数列{}n a 满足11a =，*1()2nn n a a n a +=∈+N ，数列{}n b 是单调递增数列，且1b λ=-，1n b +=*(2)(1)()n nn a n a λ+-∈N ，则实数λ的取值范围为________________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a C Abc B+--=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC △ABC △周长的最小值． 18．（本小题满分12分）为响应低碳绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车每次租车收费的标准由以下两部分组成：①根据行驶里程按1元/公里计费；②当租车时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费（租车时间不足1分钟按1分钟计算）．已知张先生从家到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间20[],60t ∈（单位：分钟）．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上租车时间t 是一个变量，现统计了张先生50次路上租车的时间，整理后得到下表：（Ⅰ）求张先生一次租车费用y （元）与租车时间t （分钟）的函数关系式；（Ⅱ）公司规定员工上下班可以免费乘坐公司班车，若不乘坐公司班车的每月（按22天计算）给800元车补．从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司班车还是选择新能源分时租赁汽车？ （Ⅲ）若张先生一次租车时间不超过40分钟为“路段畅通”，将频率视为概率，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列与数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是直角梯形，90BAD CDA ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD DC ===，2AB =． （Ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若(21)PQ PB =-，求二面角P AC Q --的大小． 20．（本小题满分12分）已知点M ，N 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，线段MN 的中点的纵坐标为4，直线MN 的斜率为12． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,2)P ，A ，B 为抛物线C （原点除外）上不同的两点，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且12112k k -=，记抛物线C 在点A ，B 处的切线交于点S ，若线段AB 的中点的纵坐标为8，求点S 的坐标．21．（本小题满分12分）已知函数()e ()xf x ax a =-∈R 的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线的斜率为2-．（Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设2()31g x x x =-+，证明：当0x >时，()()f x g x >恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为sin()04ρθπ-+=．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点，求点M 到直线l 的距离的最大值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|||f x x x m =++-．（Ⅰ）若不等式()3f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若关于x 的不等式2()2f m m x x -≥-的解集非空，求实数m 的取值范围．。
2019届高考理科数学百校联盟押题卷3套(含解析)
2019届高考全国统一试卷押题卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2A x x =>-，{}1B x x =≥，则A B =（ ）A ．{}2x x >-B ．{}21x x -<≤C ．{}2x x ≤-D ．{}1x x ≥【答案】A【解析】∵{}2A x x =>-，{}1B x x =≥，∴根据集合并集的定义可得{}2A B x x =>-， 故选A ． 2．复数2iiz +=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】∵()()22i i 2i 12i i i z +-+===--， ∴复数2iiz +=在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限，故选D ． 3．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】B【解析】由三视图知三棱锥的侧棱AO 与底OCB 垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，∴6OA =， ∴棱锥的体积11246832V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．4．设实数x ，y 满足约束条件121010x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】A【解析】作出实数x ，y 满足约束条件121010x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域（如图所示：阴影部分），由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()0,1A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x z =-+，直线3y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上截距最小，∴min 3011z =⨯+=，故选A ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【解析】执行程序框图，1n =时，11133S ==⨯；3n =时，11213355S =+=⨯⨯； 5n =时，11131335577S =++=⨯⨯⨯；7n =时，11114133557799S =+++=⨯⨯⨯⨯， 9n =，满足循环终止条件，退出循环，输出的n 值是9，故选C ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28 B ．14 C ．7 D ．2【答案】B【解析】∵563542a a a a a +=+=+，∴42a =，177477142a a S a +=⨯==，故选B ． 7．下列判断正确的是（ ）A ．“2x <-”是“()ln 30x +<”的充分不必要条件B ．函数()f x =的最小值为2C ．当α，β∈R 时，命题“若αβ=，则sin sin αβ=”的逆否命题为真命题D ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤”【答案】C【解析】当4x =-时，2x <-成立，()ln 30x +<不成立，∴A 不正确； 对()2f x =≥1=时等号成立，3，∴()2f x =>，的最小值不为2，∴B 不正确；由三角函数的性质得 “若αβ=，则sin sin αβ=”正确，故其逆否命题为真命题，∴C 正确； 命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，∴D 不正确，故选C ． 8．已知函数()32cos f x x x =+，若(a f =，()2b f =，()2log 7c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】D【解析】∵函数()32cos f x x x =+，∴导数函数()32sin f x x '=-，可得()32sin 0f x x '=->在R 上恒成立，∴()f x 在R 上为增函数，又∵222log 4log 73=<<<b c a <<，故选D ．9．在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是棱1BB 的中点，N 是棱AC 的中点， 则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为（ ） AB ．1CD【答案】C【解析】各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，棱长为2， 以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A，)M，)B，()0,1,0N ，()13,1,1A M=-，()BN =，设异面直线1A M 与BN 所成角为θ，则11cos 5A MBN A M BNθ⋅===⋅，∴tan θ=．∴异面直线1A M 与BN C ．10．齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（ ） A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C【解析】设齐王上等、中等、下等马分別为A ，B ，C ，田忌上等、中等、下等马分别为a ，b ，c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B b ，(),B c ，(),C c ，共6种， ∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C ． 11．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线()0x a a =>对称，且当x a ≥时，()2e x a f x -=． 若A ，B 是函数()f x 图像上的两个动点，点(),0P a ，则当PA PB ⋅的最小值为0时，函数()f x 的最小值为（ ） A ．12e- B ．1e -C ．32e-D ．2e -【答案】B【解析】如图，显然PA PB ⋅的模不为0，故当PA PB ⋅最小值为0时，只能是图中的情况，此时，PA PB ⊥，且PA ，PB 与函数图象相切，根据对称性，易得45BPD ∠=︒， 设()00,B x y ，当x a ≥时，()2e x a f x -'=，∴()020e 1x a f x -'==，∴02x a =， ∵(),0P a ，∴PD a =，∴BD a =，即()2,B a a ，∴22e a a a -=，∴1a =，∴当1x ≥时，()2e x f x -=，递增，故其最小值为1e -，根据对称性可知， 函数()f x 在R 上最小值为1e -．故选B ．12．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右顶点为A ，B ．P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当()2233ln ln 3a m n b mn mn⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭取得最小值时，椭圆C 的离心率为（ ） A ．15BC ．45D【答案】D【解析】(),0A a -，(),0B a ，设()00,P x y ，则()2220202b a x y a -=，则00y m x a =+，00y n x a =-，∴2202220y b mn x a a==--， ∴()3222222222233ln ln 36ln 236ln 333a a b a a a b m n b bb mn mn b a b b b a a a ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++=-++=-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪--⎪⎝⎭， 令1a t b=>，则()322236ln 3f t t t t t =-+-．()()()2322232436t t t t t f t t t -+-+-'==，∴当2t =时，函数()f t 取得最小值()2f ．∴2a b =，∴e =，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线22:1C x y -=的右焦点为F ，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_____． 【答案】1【解析】双曲线22:1C x y -=的1a b ==，∴c)F，设双曲线的一条渐近线方程为y x =，则F到渐近线的距离为1d ==，故答案为1．14．412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是_______．【答案】24【解析】()()4124144C 2C 2rrrr r r r T x x x ---+==，∴240r -=，∴2r =，∴22214C 224T +==．15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且14a =，1n n a S +=，*n ∈N ，则5a =_____．【答案】32【解析】n S 为数列{}n a 的前n 项和，且14a =，1n n a S +=，*n ∈N ，①则当2n ≥时，1n n a S -=，② -①②得1n n n a a a +-=，∴12n na a += (常数）， 则数列{}n a 是从第二项起，公比2的等比数列，求得214a S ==，∴()2224n n a n -=⋅≥，故()()241 422n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩，当5n =时，54832a =⨯=，故答案为32． 16．已知G 为ABC △的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ．若AP AB λ=，则当ABC △与APQ △的面积之比为209时，实数λ的值为________． 【答案】34或35【解析】设AQ xAC =，∵P ，G ，Q 三点共线，∴可设()1AG AP AQ μμ=+-，∴()1AG AB xAC λμμ=+-， ∵G 为ABC △的重心，∴()13AG AB AC =+，∴()11133AB AC AB xAC λμμ+=+-，∴()13113xλμμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相乘得()119x λμμ=-①，∵1sin 21sin 2ABC APQAB AC AS S AP AQ A =△△，920x λ=②，②代入①即()20181μμ=-解得49μ=或59，即35λ=或34，故答案为34或35．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，内角A ，B，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知π3A =，222b c a +=．（1）求a的值；（2）若1b =，求ABC △的面积． 【答案】（1（2 【解析】（1）由题意，得222b c a +=-．∵2222cos b c a bc A +-=．∴2cos bcA =， ∵π3A =，∴a A == （2）∵a sin sin a b A B =，可得1sin 2B =． ∵a b >，∴π6B=，∴ππ2C A B =--=，∴1sin 2ABC S ab C ==△．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD是边长为2的菱形，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点．（1）证明：PA ∥平面BMD ；（2）当PA =AM 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ．∵M ，O 分别为PC ，AC 中点，∴PA MO ∥．∵PA ⊄平面BMD ，MO ⊂平面BMD ，∴PA ∥平面BMD ．（2）如图，取线段BC 的中点H ，连结AH ．∵ABCD 为菱形，π3ABC ∠=，∴AH AD ⊥．分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， ∴()0,0,0A，)1,0B-，)C，(P，12M ⎝⎭．∴312AM ⎛= ⎝⎭，()0,2,0BC =，(3,1,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =m ．由0BC PC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得200y y =⎧⎪+=．取1z =，∴()1,0,1=m ．设直线AM 与平面PBC 所成角为θ．∴32sin cos ,AM AM AMθ⋅====⋅m m m ∴直线AM 与平面PBC ． 19．（12分）在2018年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾，这些小龙虾标有等级代码．为得到小龙虾等级代码数值x 与销售单价y 之间的关系，经统计得到如下数据：（1）已知销售单价y 与等级代码数值x 之间存在线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.1)；（2）若莫斯科某个餐厅打算从上表的6种等级的中国小龙虾中随机选2种进行促销，记被选中的2种等级代码数值在60以下（不含60）的数量为X ，求X 的分布列及数学期望．参考公式：对一组数据()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y ⋯⋯，其回归直线y bx a =+的斜率和截距最小二乘估计分别为：1221ˆni i i n ii x y nx y b xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-．参考数据：618440i i i x y ==∑，62125564i i x ==∑．【答案】（1）0.2.9ˆ8y x =+；（2）分布列见解析，1．【解析】（1）由题意，得384858687888636x +++++==，16.818.820.822.82425.821.56y +++++==，616221684406632150.225564663636ˆi i i xy x y b x x ==-⋅-⨯⨯==≈-⨯⨯-∑∑．，21.50ˆˆ.2638.9a y bx =-=-⨯=． 故所求线性回归方程为0.2.9ˆ8yx =+． （2）由题意，知X 的所有可能取值为0，1，2．∵()023326C C 10C 5P X ===，()113326C C 31C 5P X ===，()203326C C 12C 5P X ===，∴X 的分布列为∴()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=．20．（12分）已知长度为4的线段的两个端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足3BP PA =，记动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点()0,1H 的直线2y x t =+与曲线C 相交于两点M ，N ．若直线HM 与HN 的斜率之和为1，求实数t 的值．【答案】（1）2219x y +=；（2）3．【解析】（1）设(),P x y ，(),0A m ，()0,B n ．∵3BP PA =，∴()()(),3,33,3x y n m x y m x y -=--=--，即333x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩，∴434m x n y⎧=⎪⎨⎪=⎩，又4AB =，∴2216m n +=．从而221616169x y +=．∴曲线C 的方程为2219x y +=．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ．联立22219y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()223736910x tx t ++-=． 由()()2236437910t t ∆=-⨯⨯->，可得t <又直线2y x t =+不经过点()0,1H ，且直线HM 与HN 的斜率存在， ∴1t ≠±，∴t 1t ≠±．∴123637tx x +=-，2129937t x x -=．∵()()12121212124111HM HNx x t x x y y k k x x x x +-+--+=+=， ∴()()121212414411x x t x x tx x t +-+=-=+．解得3t =，∴t 的值为3． 21．（12分）已知函数()ln xe f x a x ax x=--+，a ∈R ．（1）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，若关于x 的不等式()1e 1x f x x bx x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；（2）(],2-∞．【解析】（1）由题意，知()()()22e 1e e xx xax x a x f x a x x x ---=--='+． ∵当0a <，0x >时，有e 0x ax -<．∴当1x >时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '>． ∴函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．（2）由题意，当1a =时，不等式()1e 1x f x x bx x ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭恒成立．即()e ln 11x x x b x -+-≥恒成立，即ln 11e x x b x x-≤--恒成立． 设()ln 1e xx g x x x =--．则()22221ln 1e ln e x xx x x g x x x x -+=-+='． 设()2e ln x h x x x =+，则()()212e x h x x x x'=++．∵当0x >时，有()0h x '>．∴()h x 在()0,+∞上单调递增，且()1e 0h =>，1ln 202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭． ∵函数()h x 有唯一的零点0x ，且0112x <<． ∴当()00,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增． 即()0g x 为()g x 在定义域内的最小值，∴0000ln 11e x x b x x -≤--． ∵()00h x =，得0000ln e x x x x =-，()011*2x <<， 令()e x k x x =，112x <<．∴方程()*等价于()()ln k x k x =-，112x <<． 而()()1e x k x x +'=在()0,+∞上恒大于零，∴()k x 在()0,+∞上单调递增． 故()()ln k x k x =-等价于ln x x =-，112x <<． 设函数()ln m x x x =+，112x <<．易知()m x 单调递增． 又11ln 2022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110m =>，∴0x 是函数的唯一零点．即00ln x x =-，001e x x =．故()g x 的最小值()()000000000ln 111e 1x x x g x x x x x x -=--=--=． ∴实数b 的取值范围为(],2-∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线错误！未找到引用源。
2019年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅰ卷)(参考答案)
秘密★启用前2019年普通高等学校统一招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅰ）理科数学参考答案第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 1 14.2 15. 13x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭16.三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
） （一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，23a =，56a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S -=． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记21n n n n n a c a a b ++=⋅⋅，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12n T <．【答案】：见解析【解析】：（1）由已知得11346a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12,1a d ==，所以1n a n =+…………………………2分当1n =时，1122b b -=，12b ∴= （1）…………………………………………3分 1122222n n n n b S n b S ---=⎧⎨≥-=⎩当时，，当2n ≥时，12n n b b -= （2）………………………5分由（1），（2）得2n n b =…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，所以32(1)(2)n n n c n n +=⋅+⋅+……………………………………………………8分1112(1)2(2)n n nc n n -⇒=-⋅+⋅+……………………………………………………………10分 01122311111111111()()()()2223232424252(1)2(2)22(2)n nn n n T T n n n -⇒=-+-+-+⋅⋅⋅-⇒=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅+……………………………………………………………………………………………………11分12n T ⇒<…………………………………………………………………………………………12分 【点评】：本题主要考查等差数列、等比数列概念、通项公式、判定，一般数列的前n 项和nS 与n a 的关系等基础知识．同时考查裂项相消法求数列的前n 项和的探究方法及整体思想，运算求解能力等． 18．（本小题满分12分）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是边11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的面上，且满足：//EF 面11A BC 。
2019年高考数学(理)原创押题预测卷02(新课标Ⅲ卷)(参考答案)
2
2
当 x 2 时，原式化为 x 2 2x 1 8 ，即3x 9 ，故2 x 3 ．（4 分）
综上所述，不等式 f (x)|2x 1| 8 的解集为[ 7 , 3] ．（5 分） 3
（2）由 f (x) 1 的解集为 (, 0) (2, ) ，及| x a |1 x a 1或x a 1，
y2
1
，消元整理得(4k
2 1)x2
8kmx
4(m2 1)
0
，（7
分）
y kx m
由题意，得 (8km)2 4(4k 2 1) 4(m2 1) 16(4k 2 m2 1) 0 ，①
x x 8km
设
A(x1,
y
)
、
1B(x
,
y
)2
，则由根与系数的关系可得 2
1
x1
x2
2
4k 2 1 4(m2 1) 4k 2 1
5 625
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
81 216 216 96
16
P
625 625 625 625 625
故 E( X ) 81 0 216 1 216 2 96 3 16 4 1000 8 ．
625 625 625 625 625
2
28
（或 X ~ B(4, ) ，则 E( X ) 4 ）（12 分）
1 ，即 2k
2
m2 1
1 ，整理得m2 4k 1 ，②（11 分） 2
将②代入①，整理得4k 2 4k 0 ，解得k 0 或 k 1．
由②得， m2 4k 1 0 ，解得k 1 ． 4
所以 k [ 1 , 0) (1,) ，故直线 l 的斜率的取值范围是[ 1 , 0)
2019年高考理科数学押题预测卷(全国I卷含答案)
绝密★启用前2019年高考原创押题预测卷【新课标Ⅰ卷】理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{|21,}A x x k k ==-∈Z ，2{|60}B x x x =--<，则A B =A ．{1,1}-B ．{3,1,1}--C ．{0,1，2}D ．{1,-0，1，2}2．已知z 是复数z 的共轭复数，(1)(1)z z +-是纯虚数，则||z = A ．2 B ．32C ．1D ．123．某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为A ．100000元B ．95000元C ．90000元D ．85000元4．在ABC △中，12BD DC =，则AD = A ．1344AB AC + B ．2133AB AC +C ．1233AB AC +D ．1233AB AC -5．已知数列{}n a 中，372,1a a ==，若数列1{}1n a +是等差数列，则11a 等于A ．0B ．12 C ．23D ．1-6．若函数()ln f x x =与2()g x x ax =+的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a = A ．1 B ．2 C ．3D ．3或1-7．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的所有棱长之和为A ．B ．C ．D ．8．已知拋物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线l ：1x =-，点M 在拋物线C 上，点M 在直线l ：1x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为A B ． C ． D ．9．将函数πsin(2)6y x =+的图象向右平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图象.若12()()4g x g x =，且1x ，2[2π,2π]x ∈-，则122x x -的最大值为A ．9π2B ．7π2 C ．5π2D ．3π210．如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，记正方形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC 上任取一点，此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ，则A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p ≤D ．12p p ≥11．已知点1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若110MF NF ⋅>，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．1)B ．(11)C ．D ．)+∞12．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个定点，60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ，若12V V 的最大值为3，则球O 的表面积为 A ．16π9B ．64π9 C ．3π2D ．6π 第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若501(2)x a a x -=++23452345a x a x a x a x +++，则2a =____________.14．设x ，y 满足约束条件24010210x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则23y z x +=+的最大值是_________.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3122n n S a =-，则3100log a =_________. 16．已知函数1e ,0()21,0x xf x x ax a x -⎧>⎪=⎨⎪++≤⎩（a ∈R ），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知ABC △的内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,，且(1cos )sin c A C +=. （1）求角A 的大小； （2）若a =1b =，求ABC △的面积.18．（本小题满分12分）如图，三棱台ABC EFG=，CB GF-的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，2=.BF CF⊥；（1）求证：AB CG=，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.（2）若BC CF19．（本小题满分12分）一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如表所示：（1）请在图中的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程；（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2名参加一项活动，以X 表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望()E X ．参考公式：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1122211()()()ˆn niii ii i nni i i i x x y y x y nx yx bx x nx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．已知P （0，2）是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的一个顶点，椭圆C 的离心率e =（1）求椭圆的方程；（2）过点P 的两条直线l 1，l 2分别与C 相交于不同于点P 的A ，B 两点，若l 1与l 2的斜率之和为-4，则直线AB 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．设函数()ln xf x ax x=-，a ∈R . （1）若函数()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）若存在2[e e ]x ∈,，使不等式1()4f x ≥成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：22cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θα=(0)ρ>．（1）将圆C 的参数方程化为极坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为，射线l 与圆C 交于点(B 不同于点)O ，求OAB △面积的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,． （1）当3m =时，解不等式()3f x ≥；（2）若存在0x 满足00()2|1|f x x <--，求实数m 的取值范围．。
2019年高考数学原创押题预测卷03(江苏卷)-数学(参考答案)
3 2019 年高考数学原创押题预测卷 03（江苏卷）数学·参考答案11．0 2．i 3．190 4． (215． 46．37．18．2[16 39． 10．2311． 12． , ) e e13． 15514．6315．（本小题满分 14 分）【解析】（1）因为底面 ABCD 为矩形， 所以 AD ⊥CD ，又因为 DE ⊥AD ，且 CD I DE =D ，CD 、DE ⊂ 平面 CDE ， 所以 AD ⊥平面 CDE ， 又因为 CE ⊂ 平面 CDE ， 所以 AD ⊥CE .（7 分）（2）因为 AB ∥CD ，CD ⊂ 平面 CDE ，AB ⊄ 平面 CDE ， 所以 AB ∥平面 CDE ，又因为 AF ∥DE ，DE ⊂ 平面 CDE ，AF ⊄ 平面 CDE ， 所以 AF ∥平面 CDE ，又因为 AB I A F =A ，AB 、AF ⊂ 平面 ABF ， 所以平面 ABF ∥平面 CDE ， 又因为 BF ⊂ 平面 ABF ， 所以 BF ∥平面 CDE .（14 分）16．（本小题满分 14 分）【解析】（1）由题意，角 A 、B 、C 是△ABC 的内角，所以 A + B + C = π ， 所以C = π - ( A + B ) ，则sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B ，4 2 6 103 3因为sin C = 2sin( A - B ) ，所以sin A cos B + cos A sin B = 2(sin A cos B - cos A sin B ) ， 整理得sin A cos B = 3cos A sin B ，所以sin A = 3sin B = 3 tan π= ，即tan A = ，cos A 又因为 A ∈(0, π) ，所以 A = π.（7 分）3cos B 6（2）由（1）可知 A = π，所以cos( π+ x ) = sin[ π- ( π+ x )] = sin( π- x ) = - 1，3 32 36 3又由余弦的倍角公式，可得cos( A - 2x ) = cos( π- 2x ) = cos[2( π- x )] = 1- 2sin 2( π- x )3 6 6= 1- 2 ⨯ (- 1)2 = 7.（14 分）3 917．（本小题满分 14 分）【解析】（1）过点 B 作 BD ⊥ MN 于点 D ，设 BD = a ，因为tan ∠BCN = 1，所以CD = a ， 又 AC = 1 ，tan ∠BAN = 3，所以 BD = 3 ，即 a = 3，解得 a = 3， 4AD 4 a +1 4所以 AB= 5 (km).（4 分）（2）由（1）可知 AB = 5 (km)，方案①：沿线段 AB 在水下铺设，总铺设费用为5⨯ 4 = 20 万元；（6 分） 方案②：设∠BPD =θ，则θ∈ (θ , π)，其中θ = ∠BAN ，在直角三角形 BPD 中， DP = 02 BD = 03 ， BP = BD = 3 ，所以 AP = 4 - DP = 4 -3tan θtan θ ， tan θ sin θ sin θ 则总铺设费用为 2 A P + 4BP = 8 -6 + tan θ 12 sin θ = 8 + 6 ⋅ 2 - cos θ，sin θ设 f (θ) = 2 - c os θ，则 'sin 2 θ- (2 - cos θ) cos θ 1 - 2 cos θ ，令 f '(θ) = 0 得θ= π ，列sin θ f (θ) = = sin 2θsin 2 θ 33 3 3 ⎩ + ⎪ 2 表如下：所以 f (θ) 的最小值为 f ( π) =.3所以该方案的总铺设费用为8 + 6，此时 AP = 4 - .而8 + 6 < 20 ，所以应选择方案②进行铺设，点 P 选择 A 的正西方(4 - 3)km 处，总铺设费用最低.（14 分）18．（本小题满分 16 分）【解析】（1）由e = c = 1得 a = 2c ，又| RP + RQ |=| 2RF | =2(a －c )=2，a 2⎧a = 2 ∴ ⎨c = 1 ， b 2 = a 2 - c 2 = 3 ，2∴椭圆C : x + y = 1 .（4 分）4 3⎧ x 2 y 2⎪ （2）由⎨ 4 3= 1 消去 y 得(4k 2 + 3)x 2 - 8k 2 x + 4k 2-12 = 0 ， ⎪⎩ y = k (x -1)∴Δ=122(k 2+1)恒正， x A + x B = 8k 2 2 ， x A x B = 4k 2 -12 2， 4k + 3 4k + 3∴| AB |∴k OM =－ 3，4k⎧ x 2 12(k 2 +1) = 4k 2 + 3y 2，M ( 4k 2 ，－ 4k 2 + 3 3k )，4k 2 + 3 ⎪ A + A = 1 (此处也可以用点差法:由 4 3 x 2 - x 2 y 2 - y 2 得 A B + A B= 0 ， ⎨ x 2 y24 3 ⎪ B + B = 1 ⎩ 4 33 ⎪x x =2∴ k =yA-yB=-3⋅xA+xB=-3xM，∴k OM=yM =－3)，xA-xB4 yA+yB4 yMxM4k⎧x2+y2 =⎪4 3 ⎧x =⎪4k由⎨3 得⎨ ，即为C、D 两点的坐标，⎪y =-x ⎪y =⎩⎪4k⎪⎩∴点C, D 到直线AB 的距离之和为d C +d D==| k(x -x ) - ( y -y ) |1 1 12(k2 +1)∴S =2 | AB | (dC+dD) =2××4k 2 + 3==k≠0)，∴S 的取值范围为(6，4 ).（16 分）19．（本小题满分16分）【解析】（1）f '(x) =a e x ，g'(x) =1 ，xy =f (x) 的图象与坐标轴的交点为(0, a) ，y =g(x) 的图象与坐标轴的交点为(a, 0)，由题意得f '(0) =g'(a) ，即a =1 ，a又Q a > 0 ，∴a = 1. ∴f (x) = e x ，g(x) = ln x ，∴函数y =f (x) 和y =g(x) 的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x -y +1 = 0 ，x -y -1 = 0 ，∴两平行切线间的距离为，即l1，l2 之间的距离为.（5 分）（2）由x -m>，得x -m>，故m <x - x e x 在x ∈[0, +∞) 有解，f (x)令h(x) =x -e xx e x ，则m <h(x)max ，当x = 0 时，m < 0 ；32 212 x x 2 2 x x 2 e e当 x > 0 时，Q h '(x ) = 1 - ( 1+ 2 xx )e x ，Q x > 0 ，∴ 1 + ≥= （当且仅当 1 = ，即 x = 1 时取等号），又e x > 1 ， 2∴( 1+ 2 xx )e x > ，故 h '(x ) < 0 ，即 h (x ) 在区间[0, +∞) 上单调递减， 故 h (x )max = h (0) = 0 ，∴m < 0 ， 即实数 m 的取值范围为(-∞, 0). （10 分）（3） Q 函数 y = f (x ) 和 y = g (x ) 的偏差为 F ( x ) = f ( x ) - g ( x ) = ex- ln x ， x ∈(0, +∞) ，∴ F '(x ) = e x - 1 ，设 x = t 为 F '(x ) = 0 的解，则e t = 1，x t则当 x ∈(0, t ) 时， F '(x ) < 0 ；当 x ∈(t , +∞) 时， F '(x ) > 0 ，∴ F (x ) 在(0, t ) 上单调递减，在(t , +∞) 上单调递增，∴ F (x )min= e t - ln t = e t- l n 1 e t = e t + t ， Q F '(1) = e -1 > 0 ， F '( 1 ) = - 2 < 0 ，∴ 1< t < 1，2 2故 F (x ) min= e t + t > + 1 >+ 1 = 2 ， 2 2即函数 y = f (x ) 和 y = g (x ) 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2.（16 分） 20．（本小题满分 16 分）【解析】（1） a 4 的值可以取-2, 0, -6 .（3 分）（2）因为b = a， b < b 对任意 n ∈ N *成立，所以{b } 为单调递增数列，n2nnn +1n即数列{a n } 的偶数项 a 2 , a 4 , a 6 ,..., a 2 n ... 是单调递增数列， 根据条件 a 2 = -1， a 4 = 0 ， 所以 a 2n ≥ 0 对 n ≥ 2 成立，2 xx下面我们证明“数列{a n } 中相邻两项不可能同时为非负数”，假设数列{a n } 中存在a i , a i+1 同时为非负数，因为|a i+1 -a i |=i ，若a i+1 -a i =i, 则有 a i+1 =a i +i ≥i > (i +1) -12i -1，与条件矛盾，若a i+1 -a i =-i, 则有 a i =a i+1 +i ≥i > ，与条件矛盾，2所以假设错误，即数列{a n } 中相邻两项不可能同时为非负数，此时a2n ≥ 0 对n ≥ 2 成立，所以当n ≥ 2 时，a2n-1 ≤ 0, a2n+1 ≤ 0 ，即a2n-1 <a2n ,a2n+1 <a2n ，所以a2n -a2n -1 = 2n - 1，a2n-1 -a2n-2 =-(2n - 2) ，所以(a2n -a2n-1 ) + (a2n-1 -a2n-2 ) =1 ，即a2n -a2n -2 = 1 ，其中n ≥ 2 ，即b n -b n -1 = 1 ，其中n ≥ 2 ，又b1 =a2 =-1 ，b2 =a4 = 0 ，所以{b n } 是以b1 =-1 为首项，公差为1的等差数列，所以b n =-1+ (n -1) =n - 2 .（9 分）（3）记S k =a1 +a2 +a3 + L+a k -1 +a k ，由（2）的证明知，a n , a n+1 不能都为非负数，当a n ≥ 0 ，则a n+1 < 0 ，根据|a n+1 -a n |=n ，得到 a n+1 =a n -n ，所以 a n +a n+1 = 2a n -n ≤ 2 ⋅当a n+1 ≥ 0 ，则a n < 0 ，n -12-n =-1，根据|a n+1 -a n |=n ，得到 a n =a n +1 -n ，所以 a n +a n+1 = 2a n+1 -n ≤ 2 ⋅所以，总有a n +a n+1 ≤ 0 成立，当n 为奇数时，|a n -a n+1 |=n ，则a n +a n +1 ≤-1 ，n +1-12-n = 0 ，k ky= ⎧ x当 n 为偶数时， a n +1 + a n ≤ 0 ，当 k 为奇数时， S k = a 1 + (a 2 + a 3 ) + L + (a k -1 + a k ) ≤ 0 ，考虑数列： 0，-1, 1, - 2, 2 ,Lk -1 - ， 2k -1⋯ 2 可以验证，所给的数列满足条件，且 S k = 0 ，所以 S k 的最大值为0 ，k当 k 为偶数时， S k = (a 1 + a 2 ) +L + (a k -1 + a k ) ≤ - 2，k - 2 考虑数列： 0，-1,1, -2, 2 ，L ， - ， 2k - 22 k， - L 2 可以验证，所给的数列满足条件，且 S k = - 2，所以 S k 的最大值为- 2.（16 分）21.A .【选修 4-2：矩阵与变换】（本小题满分 10 分）【解析】直线 C 1 到直线 C 2 的变换矩阵 BA = ⎡0m ⎤ ⎡1 0 ⎤ = ⎡0 2m ⎤⎢ 1 0 ⎥ ⎢0 2⎥ ⎢ 1 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦在直线 C 1 任取一点(x 0 , y 0 ) ，设该点在矩阵 BA 对应的变换下变为(x , y )， 则有⎡0 2m ⎤ ⎡ x 0 ⎤ = ⎡ x ⎤ ， ⎢ 1 0⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ y ⎥⎣ ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ ⎦⎧2my 0 = x ⎪ 0 所以⎨x = y ，解得⎨ 2m ，（5 分） ⎩ 0 ⎪x = y⎩ 0x代入直线 C 1：x ＋y ＝1 得 y + = 1，2m与直线 C 2： 12x + y = 1 对比得 m = 1，所以 m = 1.（10 分）21.B .【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 【解析】曲线C 为ρ= 4 cos θ+ 2 sin θ，即ρ2＝4ρcos θ+2ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 4x - 2y = 0 ，即(x - 2)2 + ( y -1)2 = 5 ，所以曲线C 是以(2,1) 为圆心， 为半径的圆，511+ 6 2 3 故设 x = 2 + 5 cos α, y = 1+ 5 sin α，则 x - y = 1+ 5 cos α- 5 sin α= 1+ 10 cos(α+ π) ∈[1- 410，1+ 10]，∴ x - y 的取值范围是[1- 10，1+ 10].（10 分）21.C . 【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）【解析】因为 a + 2b + 4c = 3 ，所以(a +1) + 2(b +1) + 4(c +1) = 10 ， 因为 a , b , c 为正数，所以由柯西不等式得[(a +1) + 2(b +1) + 4(c +1)]⋅( 1+ 1 +1 ) ≥ (1+2 + 2)2 ， a +1 b +1 c + 1当且仅当(a +1)2 = 2(b +1)2 = 4(c +1)2等式成立，所以1+ 1 + 1≥ 11 + 6 2 ， a +1 b +1 c +1 10所以1+ 1 + 1 的最小值是 ， a +1 b +1 c +1 10此时 a = 23 -10 2 ,b = 15 2 -17 ,c = 8 - 5 2 .（10 分）7 7 722．（本小题满分 10 分）【解析】由题意建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA 1＝4，CC 1＝3，BB 1＝AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴A （0，0，0），A 1（0，0，4），B 1（ ，﹣1，2），C 1（0，2，3）．（1） AB 1 = ( 3，-1，2) ， A 1B 1 = ( 3，-1，- 2) ， A 1C 1 = (0，2，-1) ，设平面 A 1B 1C 1 的一个法向量为m = (x ,y ,z ) ，2 2 ⨯3⎧⎪m ⋅ 1 6 543 3 n +1 n 15uu u r A 1B 1 =3x - y - 2z = 0 由⎨ uuuur ，取 y ＝1，得 m = ( 3 ,1,2) ．⎪⎩m ⋅ A 1C 1 = 2y - z = 0∴|cos ＜AB 1,m ＞ | ==． 5∴AB 1 与平面 A 1B 1C 1 所成角的正弦值为.（5 分） 5（2）设平面 AA 1B 1 的一个法向量为 n = (x 1, y 1, z 1 ) ，⎧⎪n ⋅ uu u r A 1B 1 = 由⎨ uuur 3x 1 - y 1 - 2z 1 = 0 ，取 x ＝1，得 n = (1, 3,0) ． ⎪⎩n ⋅ AA 1 = 4z 1= 05 3 +∴cos ＜m , n ＞ =m ⋅ n = | m | ⋅ | n |= 10 ．5∴二面角 A ﹣A 1B 1﹣C 1 的余弦值为 5．（10 分）23．（本小题满分 10 分）【解析】（1）当 n = 3 时，共有6 个点，若染红色的点的个数为0 个或6 个，则T = C 3= 20 ；若染红色的点的个数为1个或5 个，则T = C 3= 10 ； 若染红色的点的个数为 2 个或 4 个，则T = C 3= 4 ； 若染红色的点的个数为3 ，则T = C 3 + C 3= 2 . 因此T 的最小值为 2 .（4 分）（2）首先证明：对任意 n ， k ∈ N * ， n ≥ k ，有C k> C k.证明：因为Ck - C k = C k -1 >0 ，所以C k > C k .n +1nnn +1n设 2n 个点中含有 p ( p ∈ N , p ≤ 2n ) 个染红色的点，①当 p ∈{0,1, 2} 时，5 3 15 10T = C3≥ C3=(2n - 2)(2n - 3)(2n - 4) = 4 ⨯(n -1)(n - 2)(2n - 3)，2n-p 2n-2 6 6因为n ≥ 4 ，所以2n - 3 >n ，于是T > 4 ⨯n(n -1)(n - 2)= 4C3 > 2C3 .6 n n②当 p ∈{2n - 2, 2n -1, 2n}时，T = C3 ≥ C3，同上可得T > 2C3 .p 2n-2 n③当3 ≤p ≤ 2n - 3 时，T = C3 + C3 ，p 2n-p设f ( p) = C3 + C3 ，3 ≤p ≤ 2n - 3 ，p 2n-p当3 ≤p ≤ 2n - 4 时， f ( p +1) -f ( p) = C3+C3- C3 - C3= C2 - C2 ，显然p ≠ 2n -p -1 ，p+1 2n-p-1 p 2n-p p 2n-p-1 当p > 2n -p -1 即n ≤p ≤ 2n - 4 时，f ( p +1) >f ( p) ，当p < 2n -p -1即3 ≤p ≤n -1 时，f ( p +1) <f ( p)，即f (n) <f (n +1) <L<f (2n - 3) ；f (3) >f (4) >L>f (n) ；因此 f (n) = 2C3 ，即T ≥ 2C3 .n n综上，当n ≥ 4 时，T ≥ 2C3 .（10 分）n数学第11页（共11页）。
2019年高考数学(理)原创押题预测卷03(新课标Ⅲ卷)(全解全析)
(2n (2n
(1
1) 1)
1 n1
( (
1 )n 4 1 n1 ) 4
，①， ②，
3 1 16 ①–②，得 4 Tn 4 2
(4) 1 1
)
(2n
1)
1 4n1
，解得Tn
5 9
6n 9
5
．
4n
4
综上，
Tn
n2 4
或T n
5 9
6n 5 9 4n
1
|n|
4 4 1 3
易得 A(0, 2,0), B(0,0,0) ， E(0,1, 0), A (0, 2, 2), B (0, 0, 2) ， C (2, 0, 2) ， G( 2 , 2 , 2) ．（2 分）
1
1
1
33
设平面 B1 EG 的法向量为n (x, y, z) ，
因为
EB1
(0, 1,2)，
B1G
2
4c ，解得
c
e
44
a
10
．故选 D．
4
10. 【答案】C 【解析】如图，取 B1C1 的中点 E，C1D1 的中点 F，连接 EF，BE，DF，B1D1，则 EF∥B1D1，B1D1∥BD，
理科数学 第 2 页（共 11 页）
所以 EF∥BD，故 EFBD 在同一平面内，连接 ME，因为 M，E 分别为 A1D1B1C1 的中点，所以 ME∥AB， 且 ME=AB，所以四边形 ABEM 是平行四边形，所以 AM∥BE，又因为 BE⊂平面 BDFE，AM 不在平面 BDFE 内，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面 BDFE，因为AM∩AN=A，所以平面AMN∥平面 BDFE，
2019年高考等值预测卷(全国Ⅲ卷)数学(理)试卷及答案
2019年高考等值试卷★预测卷理科数学（全国Ⅲ卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在 答题卡上．写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 A ={x |x ≤x }，B ={x | A ． (，1]C ． (0，1]1x≥1}，则 A ∩B =B ． [0，1] D ． (，1]∪ (0，1]2．已知 i 为虚数单位，则2 i 1 i=3 1 A ． i2 23 1 B ． i2 21 3 C ． i2 21 3 D ． i2 23．“0<x <1”是“sin x <sin x ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合A ，从集否结束开始i =-1i <3?是 y =i +2i输出 y 合 A 中任取一个元素 a ，则函数 y x a 在(0，+∞)上是增函i =i +1数的概率为A ．1 2 3 B ． C ．545D ．3 4 5．若函数 f ( x ) a x (a >0，且 a ≠1)在区间[2，4]上的最大值与最小值之差为 2，则实数2 2 2a =A ．22B ． 2C ．1 2D ．26．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧 夺天工的建筑，如图．在 24 主视图2 2 左视图一座宫殿中，有一件特别 的“柱脚”的三视图如右 图所示．则其体积为8A ． +4π3C ．8+4π8B ． +8π3D ．8+8π俯视图7．已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 C ：y =2px (p >0)的焦点 F ，且与抛物线交于 A ，B 两 点，若线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 1，则 p =A ．1B ． 2C ．2D ．48．将函数 f ( x ) sin 2x 3 cos 2x 的图象向右平移位，所得图象经过点(，1)，则 的最小值为8 (>0)个单位，再向上平移 1 个单A ．512B ．712C ．524D ．7249．已知双曲线x 2 y 21(a>0，b >0)的左、右焦点分别为 F ，F ，过 F 作 x +y 1 2 1=a 2的切线，交双曲线右支于点 M ，若∠F MF =45º，则双曲线的离心率为12A ． 2B ． 3C ．2D ．310．有一个长方体木块，三个侧面积分别为 8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为A ．2B ． 2 2C ．4D ． 4 211．已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，A (0，2)，|OB |+|OA |2 =20，若平面内点 P 满足 PB 3P A ，则|PO |的最大值为 A ．4B ．5C ．6D ．72 22 a b 22 2e x 2a ，x a ， 12．已知 A 、B 是函数f ( x )(其中 a >0)图象上的两个动点，点 P (a ，0)，e ，x a若 PA PB 的最小值为 0，则函数 f ( x ) 的最小值为A ．1e 2B ．1e C ．1e 2D ．1 e二、填空题：本大题共 4 小题 每小题 5 分，共 20 分。
2019年高考数学(理)原创押题预测卷01(新课标Ⅲ卷)(全解全析)
21. 【答案】D【解析】由题可得A B = {x | x ≤ -1或 x > 0}，所以 2. 【答案】CR ( A B ) = {x | -1 < x ≤ 0}．故选 D ．【解析】由题可得z = 1+ i = (1+ i) 2 = i ，则 z = -i ，所以 z ⋅ z = i ⋅ (-i) = 1 ，故选 C ．3. 【答案】B1-i (1- i)(1+ i)【解析】由题可得cos(2α + π) = -sin2α = -2sin αcos α= - 2tan α= - 6= - 3 ．故选 B ．4. 【答案】C2sin 2α + cos 2α2y 21+ tan 2α 1+ 9 5m【解析】因为双曲线 x - = 1的离心率大于 m，所以>，解得m >1，所以实数 的取值范围为(1, +∞)．故选 C． 5．【答案】 D6. 【答案】C【解析】设这位公公的第n 个儿子的年龄为 a n ，由题可知{a n }是等差数列，设公差为d ，则d = -3，由题可知 S = 207 ，所以S= 9a + 9 ⨯ 8⨯(-3) = 207 ，解得a = 35 ，所以这位公公的长儿的年龄为35 9岁．故选 C ．9 1 217. 【答案】A【 解析】由题可知该几何体是底面边长 1 、 高为32的正四棱锥， 所以该几何体的体积为2⎩ V = 1 ⨯1⨯ 1⨯ 3 =3 ．故选 A ． 3 2 68. 【答案】A【解析】由题可知函数f (x ) 的定义域为(-∞, 0) (0, +∞) ， f (-x ) = ln | -x |= - ln | x |= - f (x ) ，所 -x x以函数 f (x ) 为奇函数，由此可排除选项 B 、C ；又 f (1) = ln1 = 0 ， f (e) = lne = 1> 0 ，所以可排除选项 D ，故选 A ．学#科网1 e e9. 【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，令 z = x + 1y ，即 y = -2x + 2z ，易知2当直线 y = -2x + 2z 经过点 A 时， z = x + 1y2z = 1⨯ 0 + 1⨯ 2 = 1 ，故选 B ． ⎧ y = 2取得最小值．由 ⎨x + y = 2可得A (0, 2) ， 故min 210. 【答案】C1. 【答案】B【解析】设三棱锥 D - ABC 的外接球半径为 R ，因为线段 AB 的中点O 恰好是三棱锥 D - ABC 的外 接球的球心，所以 OB = OC = OD ，由 AC = BC = BD = A D 可得 OD ⊥ AB ， OC ⊥ AB ，所以AC = BC = BD = AD= 2R ，所以 CD = R ，所以△OCD 为等边三角形．又OD ⊥ AB ， OC ⊥ AB ，所以 AB ⊥ 平面OCD ，所以V = 1 S ⋅ AB = 1 ⨯ 1 ⨯ R 2sin 60︒⨯ D - ABC3 △OCD 3 22c 2c 2R =3 R 3 =4 3，解得 R = 2 ，所以三棱锥 D - ABC 的外接球的表面积为4πR 2 = 16π ．故选 B ．6312. 【答案】D13. 【答案】-4【解析】由题可得a + b = (4, 2 + t ) ，因为(a + b ) ⊥ a ，所以(a + b ) ⋅ a = 0 ，即4 + (2 + t ) ⨯ 2 = 0 ，解得t = -4 ．14. 【答案】-3【解析】由题可得 f '( x ) = (ax + a + 1)e x， 所以 f '( 0)= a + 1，又 f ( 0)= 1 ， 所以函数 f (x ) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为 y -1 = (a +1)x ，因为切线经过点(1, -1) ，所以-1-1 = a +1，解得a = -3．15. 【答案】 24【解析】因为PF 2 ⊥ F 1F 2 ，所以 PF 2 y 轴，设O 为坐标原点，则| OF 2 |=| OF 1 |，又| PA |=| AF 1 | ，所以点 A 为椭圆C 的上顶点，所以| PF 2 |= 2b ，因为| PF 2 |=| F 1 F 2 | ，所以2b = 2c ，即b = c ，所以| PF 2 |= 2c ，a= 2c ，设 B (c ,t ) c 2 t 2，则 + = 1 ，即c 2 t 2 + = 1，化简可得| t |= ，即| BF |= ，所以| BF 2 |= 2．学*科网 a 2 b 2 2c 2 c 2 22| PF 2 | 416．【答案】(-∞, 2)3【解析】因为a =a n(n ∈ N * )，所以 1= 2 +1 ， 即 1+1 = 2( 1+1) ，所以数列{1+1} n +1 a + 2 a a a a an n +1 n n +1 nn2⎨0．2t +11．8, 40 < t ≤ 60 ⎨0．2t +11．8, 40 < t ≤ 60 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，所以 1 +1 = 2n，所以b=(n - 2λ)(a n +1)= (n - 2λ)( 1+1) =n +1na na n(n - 2λ) ⋅ 2n ， 又 数 列 {b n } 是 单 调 递 增 数 列 ， 所 以 当 n ≥ 2 时 ， b n +1 > b n ， 即(n - 2λ )⋅ n 2 (n -1- λ2 )⋅n -1，即2(n - 2λ) > n -1- 2λ ，即λ < n +1 ，所以λ < 3 ；又b > b ， 2 22 1所以(1- 2λ) ⨯ 2 > -λ ，即λ < 2 ，因此λ < 2 ．综上， λ < 2 ，故实数λ 的取值范围为(-∞, 2) ．3 3 3 317．（本小题满分 12 分）π【答案】（Ⅰ） 3；（Ⅱ） 6 ．18．（本小题满分 12 分）【答案】（Ⅰ） y = ⎧0．12t +15, 20 ≤ t ≤ 40 ；（Ⅱ）应选择乘坐公司班车；（Ⅲ）见解析．⎩【解析】（Ⅰ）当20 ≤ t ≤ 40 时，y = 0．12t +15 ； 当 40 < t ≤ 60 时，y = 40⨯ 0．12 + 0．2(t - 40) +15 = 0．2t +11．8 ； 故租车费用 y （元）与租车时间t （分钟）的函数关系式为 y = ⎧0．12t +15, 20 ≤ t ≤ 40 ．（3 分） ⎩（Ⅱ）由题意得张先生租用一次该款新能源分时租赁汽车上下班的平均费用的估计值为a(25⨯ 0．12 +15) ⨯ 2 + (35⨯ 0．12 +15) ⨯ 18 + (45⨯ 0．2 +11．8) ⨯ 20 + (55⨯ 0．2 +11．8) ⨯ 10= 20．512 ，50 50 50 50所以张先生一个月上下班租用该款新能源分时租赁汽车的费用约为20．512⨯22⨯2 = 902．528， 因为902．528 > 800 ，所以张先生上下班应选择乘坐公司班车．（7 分）（Ⅲ）由题意可得张先生上下班一次“路段畅通”的概率为P = 2 +18 = 250 5 ，则ξ 2 ~ B (3, ) ， 5则 P (ξ = 0) = C 0 ⨯ (1- 2)3 = 27 ， P (ξ = 1) = C 1 ⨯ 2 ⨯ (1- 2)2= 54 ，3 5 125 35 5 125 P (ξ = 2) = C 2⨯2 2 ⨯ (1- 2) = 36 ， P (ξ = 3) = C3 ⨯ 2 3 =8 ，（9 分） ( ) 3 5 5 125 ( ) 35 125所以ξ 的分布列为（10 分）所以 E (ξ ) = 3⨯= ．（12 分）5 519．（本小题满分 12 分）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 45︒．（Ⅱ）由 PA ⊥ 平面 ABCD ，可得 PA ⊥ AD ， PA ⊥ AB ，又∠ BAD = 90︒ ，所以 AD ， AB ， AP 互相垂直，分别以 AD ， AB ， AP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 A - xyz ，则 A (0, 0, 0) ， P (0, 0,1) ， C (1,1, 0) ， B (0, 2, 0) ，设Q (a , b , c ) ，由 PQ = ( 2 -1)PB ，可得(a , b , c -1) = (0, 2 - 2,1- 2) ，2⎩所以Q (0, 2 - 2, 2 - 2) ，所以 AQ = (0, 2 - 2, 2 - 2) ，（7 分）设平面 ACQ 的法向量为n = (x , y , z ) ，#网⎧⎪n ⋅ AC = x + y = 0 因为 AC = (1,1, 0) ，所以⎨ ⎪⎩n ⋅ AQ = (2 2 - 2) y + (2 -，2)z = 0取 y = 1， x = -1， z = ，故平面 ACQ 的一个法向量为n = (-1,1, - 2) ．（9 分）易得平面 PAC 的一个法向量m = (1, -1, 0) ，所以cos 〈n , m 〉 =n ⋅ m = | n | ⋅ | m | -2 = - 2⨯ 2 2 ，（11 分） 2易知二面角 P - AC - Q 的平面角为锐角，所以二面角 P - AC - Q 的大小为45︒．（12 分）20．（本小题满分 12 分）【答案】（Ⅰ） y 2 = 4x ；（Ⅱ）点 S 的坐标为(12,8) ．y 2 y 2（Ⅱ）设 A ( 3 , y 3) ， B ( 4, y 4 ) ， S (x s , y s ) ． 44 则直线 PA 的斜率为k = 4( y 3 - 2) = 4，直线 PB 的斜率为k = 4( y 4 - 2) = 4 ， 1 y 2 - 4 y + 2 2 y 2 - 4 y + 23 34 4所以 1 -1=y 3 + 2 - y 4 + 2 = y 3 - y 4 = 2 ，所以 y - y = 8 ①， k 1 k 24 4 4因为线段 AB 的中点的纵坐标为8 ，所以 y 3 + y 4 = 16 ②， 联立①②解得 y 3 = 12 ， y 4 = 4 ，所以 A (36,12) ， B (4, 4) ．（8 分）设直线 SA 的斜率为k ，则直线 SA 的方程为 y -12 = k (x - 36) ，⎧ y -12 = k (x - 36) 由⎨ y 2 = 4x，消去x 可得 ky 2 4 - y +12 - 36k = 0 ，2 2 - 23 4⎩ y令 ∆ = 0，可得(6k -1)2 = 0 ，解得k = 1 ，所以直线 SA 的方程为直线 y = 1 x + 6③．（10 分）66设直线 SB 的斜率为k' ，则直线 SA 的方程为 y - 4 = k'(x - 4) ，学&科网⎧ y - 4 = k'(x - 4) 由⎨ y 2 = 4x，消去x 可得 k'y 2 4 - y + 4 - 4k' = 0 ， 令 ∆ = 0，可得(2k' -1)2 = 0 ，解得k' = 1 ，所以直线 SA 的方程为直线y = 1x + 2 ④． 2 2联立③④解得⎧x s = 12，故点 S 的坐标为(12,8) ．（12 分） ⎨⎩ s 21．（本小题满分 12 分）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析．22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程= 8min 22【答案】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为 x + y = 1 ，直线l 的直角坐标方程为 x - y - 8 = 0 ；（Ⅱ）5 2 ．12 423．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲【答案】（Ⅰ） (-∞, -4] [2, +∞) ；（Ⅱ）(-∞, 5]． 4【解析】（Ⅰ）由题可得 f (x ) =| x +1| + | x - m |≥| m +1| ，（2 分）因为不等式 f (x ) ≥ 3 对任意的 x ∈R 恒成立，所以| m +1|≥ 3 ，解得m ≥ 2或 m ≤ -4 ，故实数m 的取值范围为(-∞, -4] [2, +∞) ．（5 分） （Ⅱ）由题可得 f (m ) =| m +1| ，因为关于x 的不等式 f (m ) - 2m ≥ x 2 - x 的解集非空，所以| m +1| -2m ≥ (x 2- x ) ，易得(x 2- x )=- 1 ，所以| m +1|≥ 2m - 1，（7 分） min 4 4 当 2m - 1 ≤ 0 ，即m ≤ 1 时，| m +1|≥ 2m - 1恒成立；4 8 4 当 2m - 1 > 0 ，即m > 1时， m +1 > 0 ，4 8所以| m +1|≥ 2m - 1 可化为 m +1 ≥ 2m - 1 ，解得 1 < m ≤ 5．4 4 8 4综上， m ≤ 5 ，故实数m 的取值范围为(-∞, 5 ] ．（10 分）4 4。