第9讲 线面、面面平行与垂直

【解析】(1)证明：因为 BC∥平面 GEFH，BC⊂ 平面 PBC，且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH，所以 GH∥BC.同理可证 EF∥BC，因此 GH∥EF. (2)如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于 点 K，连接 OP，GK.
因为 PA＝PC，O 是 AC 的中点，所以 PO⊥AC， 同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC＝O，且 AC，BD 都在底面内， 所以 PO⊥底面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD， 且 PO⊄平面 GEFH，所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH＝GK， 所以 PO∥GK，且 GK⊥底面 ABCD， 从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高． 由 AB＝8，EB＝2 得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 1 1 从而 KB＝ DB＝ OB，即 K 为 OB 的中点． 4 2 1 再由 PO∥GK 得 GK＝ PO， 2
因为 AC∥ A1C1，且 AC＝A1C1，所以 FG∥EC1， 且 FG＝ EC1，所以四边形 FGEC1 为平行四边形． 所以 C1F∥EG. 又因为 EG⊂平面 ABE，C1F⊄平面 ABE， 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1＝AC＝2， BC＝1， AB⊥BC， 所以 AB＝ AC2－BC2＝ 3. 1 1 所以三棱锥 E－ ABC 的体积 V＝ S△ ABC·AA1＝ 3 3 1 3 × × 3× 1× 2＝ . 2 3
1 即 G 是 PB 的中点，且 GH＝ BC＝4. 2 由已知可得 OB＝4 2， PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6， 所以 GK＝3. GH＋EF 故四边形 GEFH 的面积 S＝ ·GK 2 4＋8 ＝ ×3＝18. 2 【命题立意】本题主要考查利用立体几何知识证 明线线平行、求面积的能力．
1．已知 m、n、l 是三条不同的直线，α、β、γ 是 三个不同的平面，给出以下命题： ①若 m⊂α ，n∥α，则 m∥n； ②若 m⊂α ， n∥β， α⊥β， α∩β＝l， m⊥l， 则 m⊥n； ③若 n∥m，m⊂α ，则 n∥α； ④若 α∥γ，β∥γ，则 α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A．②④ B．②③ C．③④ D．①③
【命题立意】 本题主要考查线面平行的判定定理， 并考查学生的空间想象能力．
考题2(2014 安徽)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 是边长为 8 的正方形， 四条侧棱长均为 2 17.点 G， E， F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平 面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥平面 GEFH. (1)证明：GH∥EF； (2)若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积．
【解析】(1)证明：因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形， 所以 AA1⊥AB，AA1⊥AC. 因为 AB，AC 为平面 ABC 内两条相交的直线， 所以 AA1⊥平面 ABC. 因为直线 BC⊂平面 ABC，所以 AA1⊥BC. 又由已知，AC⊥BC，AA1，AC 为平面 ACC1A1 内两条相交的直线，所以 BC⊥平面 ACC1A1.
在直角梯形 EADP 中， 因为 AE＝1， AD＝PD＝2， 所以 PE＝ 5， 所以 PE＝BE.又因为 F 为 PB 的中点， 所以 EF⊥PB. 要使 PB⊥平面 EFM，只需使 PB⊥FM. 因为 PD⊥平面 ABCD，所以 PD⊥CB， 又因为 CB⊥CD，PD∩CD＝D， 所以 CB⊥平面 PCD， 而 PC⊂平面 PCD，所以 CB⊥PC. PM PF 若 PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得 PB ＝PC. 由已知可求得 PB＝2 3，PF＝ 3，PC＝2 2， 3 2 所以 PM＝ . 2
【点评】(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清 折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一 侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变 化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题 时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的 图形，也要分析折叠前的图形．
3．平行、垂直的综合问题 例4(2014 北京)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， 侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1， E，F 分别是 A1C1，BC 的中点．
垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如 下示意图．
在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直 的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它 们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面 垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．
必备方法 1． 证明平行、 垂直问题常常从已知联想到有关判 定定理或性质定理， 将分析法与综合法综合起来考虑． 2．证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行 与垂直，再转化为线线的平行与垂直． 3． 使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几 何问题． 4．正向思维受阻时，可考虑使用反证法． 5．计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻 辑严谨．通常计算题是经过“作图、证明、说明、计 算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨．
平行关系的转化 两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平 行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行， 所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的 转化示意图．
解决平行问题时要注意以下结论的应用 (1) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平 面平行． (2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必 平行于另一个平面． (3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交． (4)平行于同一条直线的两条直线平行． (5)平行于同一个平面的两个平面平行． (6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这 条直线必与它们的交线平行．
【备选题】 例5如图，已知四边形 ABCD 是正方 形，EA⊥平面 ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2， F，G，H 分别为 BP，BE，PC 的中点． (1)求证：FG∥平面 PDE； (2)求证：平面 FGH⊥平面 AEB； (3)在线段 PC 上是否存在一点 M，使 PB⊥平面 EFM？若存在，求出线段 PM 的长；若不存在，请说 明理由．
(2)取线段 AB 的中点 M，连接 A1M， MC， A1C， AC1，设 O 为 A1C， AC1 的交点． 由已知， O 为 AC1 的中点． 连接 MD， OE， 则 MD， OE 分别为△ ABC， △ ACC1 的中位线， 1 1 所以 MD AC， OE AC，因此 MD OE. 2 2 连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 DE∥ MO. 因为直线 DE⊄平面 A1MC， MO⊂平面 A1MC， 所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点)， 使直 线 DE∥平面 A1MC.
【解析】(1)如图，在△PAD 中，因为 E，F 分别 为 AP，AD 的中点，所以 EF∥PD. 又因为 EF⊄平面 PCD，PD⊂平面 PCD. 所以直线 EF∥平面 PCD.
(2)连接 BD.因为 AB＝AD， ∠BAD＝60°，所以△ABD 为正三角形． 因为 F 是 AD 的中点，所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD， BF⊂平面 ABCD， 又平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF⊂平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD.
(2)因为∠BAD＝90°， 所以 AD⊥AB. 又因为 AD⊥C′B，且 AB∩C′B＝B， 所以 AD⊥平面 C′AB. 因为 C′A⊂平面 C′AB，所以 AD⊥C′A. 因为△BCD 是等边三角形，AB＝AD， 不防设 AB＝1，则 BC＝CD＝BD＝ 2，可得 C′A＝1. 由勾股定理的逆定理，可得 AB⊥C′A. 因为 AB∩AD＝A，所以 C′A⊥平面 ABD.
(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面 ABE； (3)求三棱锥 E－ABC 的体积．
【解析】(1)在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， BB1⊥底面 ABC， 所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC， 所以 AB⊥平面 B1BCC1， 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)取 AB 的中点 G，连接 EG，FG. 因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点， 1 所以 FG∥AC，且 FG＝ AC. 2
第9讲 线面、面面平行与垂直 关系的判定与性质
1．考题展望 立体几何解答题中的第 (1) 问基本上是对位置关系的 考查，难度中等．以相对规则的多面体为载体，考查 点、线、面之间平行、垂直的判定，需特别注意线面 平行、面面垂直性质的使用．
2．高考真题 考题1(2014 四川)在如图所示的多面体中， 四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形． (1)若 AC⊥BC，证明：直线 BC⊥平面 ACC1A1； (2)设 D，E 分别是线段 BC，CC1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE∥平面 A1MC？请 证明你的结论．
【解析】选 D 根据线面垂直的性质可知①正确．②中两个平面 α，β 不一定平行，所以错误．③平行于同一个平面的直线 可能会相交或异面，所以错误．④正确．
【点评】利用实物模型，或作图想象．
2. 平行、垂直关系的判定与性质 例2如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平 面 ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F 分别是 AP，AD 的中点． 求证：(1)直线 EF∥平面 PCD； (2)平面 BEF⊥平面 PAD.
【解析】(1)证明：因为 F，G 分别为 PB，BE 的 中点， 所以 FG∥PE. 又因为 FG⊄平面 PED，PE⊂平面 PED， 所以 FG∥平面 PED.
(2)因为 EA⊥平面 ABCD， 所以 EA⊥CB. 又因为 CB⊥AB，AB∩AE＝A，所以 CB⊥平面 ABE. 由已知 F，H 分别为线段 PB，PC 的中点， 所以 FH∥BC. 则 FH⊥平面 ABE. 而 FH⊂平面 FGH，所以平面 FGH⊥平面 ABE. (3)在线段 PC 上存在一点 M， 使 PB⊥平面 EFM. 证明如下： 在直角三角形 AEB 中，因为 AE＝1，AB＝2， 所以 BE＝ 5.