线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直 基础要点、若直线a 与平面,αβ所成的角相等，则平面α与β的位置关系是（ B ）A 、//αβB 、α不一定平行于βC 、α不平行于βD 、以上结论都不正确、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面，垂足为H ，则H 一定在（ B ）A 、直线上B 、直线上C 、直线上D 、△的内部 、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6π，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A B ''=（ A ）AαA 、2:1B 、3:1C 、3:2D 、4:3、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==,12,1BC CC ==上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是5.已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A , 若棱上存在点P ，使得PC P D ⊥1,则棱长的取值范围是 。

题型一：直线、平面垂直的应用1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥中，D ，E ，F分别为棱，，的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，.求证：(1) PA DEF 平面；(2) BDE ABC ⊥平面平面 .证明： (1) 因为D ，E 分别为棱，的中点， 所以∥.又因为 ⊄ 平面， 平面， 所以直线∥平面.(2) 因为D ，E ，F 分别为棱，，的中点，＝6，＝8，所以∥，＝12＝3，＝12＝4.又因 ＝5，故2＝2＋2， 所以∠＝90°，即丄. 又⊥，∥，所以⊥.CD 1B 1B 11D A D BA因为∩＝E ，平面，平面，所以⊥平面.又平面，所以平面⊥平面.2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE .证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，11,,BB ABC BB AB ⊥∴⊥底面11,,AB BC AB B BCC ∴⊥∴⊥平面,AB ABE ⊂平面11ABE B BCC ∴⊥平面平面.(2)取的中点G ，连接，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点, 1,2FG AC FG AC ∴=, 111111AC AC AC AC FG EC FG EC =∴=，，，,则四边形1FGEC 为平行四边形，111,,,C F EG EG ABE C F ABE C F ABE ∴⊂⊄∴平面平面平面.3．如图，P 是ABC ∆所在平面外的一点，且⊥PA 平面ABC ，平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．证明：在平面PAC 内作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ，⊂AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以PBC AD 平面⊥．又因为⊂BC 平面PBC ，于是有BC AD ⊥①．另外⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD = ，可知⊥BC 平面PAC ．因为⊂AC 平面PAC ，所以AC BC ⊥．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．4. 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，︒=∠90BSC ，︒=∠=∠60ASB ASC ，若截取a SC SB SA ===(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．分析：要证明平面ABC ⊥平面BSC ，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线． (1)证明：∵a SC SB SA ===， 又︒=∠=∠60ASB ASC ，∴ASB ∆和ASC ∆都是等边三角形，∴a AC AB ==，取BC 的中点H ，连结AH ，∴BC AH ⊥． 在BSC Rt ∆中，a CS BS ==，∴BC SH ⊥，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =．在SHA ∆中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =，∴222HA SH SA +=，∴SH AH ⊥，∴⊥AH 平面SBC ． ∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．或：∵AB AC SA ==，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ∆的外心，又BSC ∆为∆Rt ，∴H 在斜边BC 上，又BSC ∆为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴⊥AH 平面BSC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． (2)解：由前所证：AH SH ⊥，BC SH ⊥，∴⊥SH 平面ABC ， ∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==， ∴点S 到平面ABC 的距离为a 22． 、如图示，为长方形，垂直于所在平面，过A且垂直于的平面分别交、、于E 、F 、G ，求证：⊥⊥DCBASG EF6.在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，已知底面是面积为32的菱形，︒=∠60ADC ，M是中点。

(1)求证：⊥(2)求证：平面⊥平面7.在多面体中，1，2，⊥AE 面，。

(1)求证：平面；DBAPED(2)求证：平面⊥平面题型二、空间角的问题1.如图示，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11,1AB BB ==，E为1BB 上使11B E =的点，平面1AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求： （1）异面直线与1C G 所成的角的大小 （2）二面角11A C G A --的正弦值2.如图，点A 在锐二面角βα--MN 的棱MN 上，在面α内引射线C1A1D BCB1GFAED1AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为 45，与面β所成的角大小为30，求二面角βα--MN 的大小．分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．解：在射线AP 上取一点B ，作β⊥BH 于H ，连结AH ，则BAH∠为射线AP 与平面β所成的角， 30=∠∴BAH ．再作MN BQ ⊥，交MN于Q ，连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面β内的射影．由三垂线定理的逆定理，MN HQ ⊥，BQH ∠∴为二面角βα--MN 的平面角．设a BQ =，在BAQ Rt ∆中，a AB BAM BQA 2,45,90=∴=∠=∠ ,在Rt△BHQ 中，,22,,90a BH a BQ BHQ ===∠2222sin ===∠a aBQ BH BQH ,BQH ∠ 是锐角， 45=∠∴BQH ,即二面角βα--MN 等于 45．说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．3. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是AD 的中点．求二面角P BD A --1的大小．分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB 垂直于平面1AD ，1BD 在平面1AD 上的射影就是1AD ．再过P 作1AD 的垂线PF ，则PF ⊥面1ABD ，过F 作B D 1的垂线FE ，PEF ∠即为所求二面角的平面角了．解：过P 作1BD 及1AD 的垂线，垂足分别是E 、F ，连结EF ． ∵AB ⊥面1AD ，PF ⊂面1AD ，∴PF AB ⊥，又1AD PF ⊥，∴PF ⊥面1ABD ．又∵1BD PE ⊥，∴1BD EF ⊥，∴PEF ∠为所求二面角的平面角． ∵D AD Rt 1∆∽PFA ∆，∴11AD APDD PF =．而21=AP ，11=DD ，21=AD ，∴42=PF ．在1PBD ∆中，251==PB PD ．∵1BD PE ⊥，∴2321==BD BE ．在PEB Rt ∆中，2222=-=BE PB PE ，在PEF Rt ∆中，21sin ==∠PE PF PEF ， ∴︒=∠30PEF ．4垂直于矩形所在平面，M 、E 、N 分别是、和的中点，（１）求证：∥平面（２）若二面角P －－A 为4π，求证:平面⊥平面 5.已知正方体中1111ABCD A B C D -，E 为棱1CC 上的动点，（1）求证：1A E ⊥ (2) 当E 恰为棱1CC 的中点时，求证：平面1A BD ⊥平面EBD（3）在棱1CC 上是否存在一个点E ，可以使二面角1A BD E --的大小为45？如果存在，试确定E 在棱1CC 上的位置；如果不存在，请说明理由。

题型三、探索性、开放型问题 1.如图，已知正方形的边长为2，CBADPEM NP11 / 11 中心为O 。

设⊥PA 平面，,且2。

问当为多少时，⊥平面。

2.已知△中，90,1BCD BC CD ∠===⊥平面，60ADB ∠=、F 分别是、上的动点，且(01)AE AF AC ADλλ==<< （1）求证：不论λ为何值，总有平面⊥平面（2）当λ为何值时，平面⊥平面?。