(完整word版)线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直基础要点线面垂直线线垂直 面面垂直a 与平面B AB 与两平面 丄平面 BBACD BA的取值范围是 CB⑵所成的角相等，则平面 D 、4:3D 、△ ABC 的内部 3、如图示，平面 C 、3:2 B 、3:1 2、在斜三棱柱ABC A 、2:1 1、若直线 D 、以上结论都不正确A ,B ，则 AB: ABC i知 PA AC,PA 6，BC 8, DF 5 APC i 周长的最小值是 5.已知长方体 ABCD A i B i C i D i 中，A i A AB 2 C 、直线BC 上 过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 C iABQ , BAC BC 2,CC i i DC 上有一动点 卩，则厶 不一定平行于 4、如图示，直三棱柱 ABB i DCC i 中题型一：直线、平面垂直的应用i.（20i4,江苏卷）如图，在三棱锥 P-ABC 中，D ，E ，F 分别为棱 PC ，AC ，AB 的中点.已 所成的角分别为-和-A ,BC 、 不平行于(A ) A 、 // B ） B 、直线AB 上 为H ，则H —定在 A 、直线AC 上 ABB i 90o,AB 4求证：（i ） PAP 平面DEF 错误！未找到引用源 平面BDE 平面ABC 错误味找到引用源。

. 90°,又BC i AC ,过C i 作C i H 丄底面 ABC 垂足若棱AB 上存在点P,使得D i P PC ,则棱AD 长 与的位置关系是（B ）Z —Bi/"D--------------------------1D i证明：⑴因为D , E 分别为棱PC , AC 的中点, 所以DE // PA. 又因为 PA ? 平面 DEF , DE 平面DEF , 所以直线PA //平面DEF.(2) 因为 D , E , F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点，PA = 6, BC = 8,所以 DE // PA , DE = 1 1PA = 3, EF = BC = 4. 2 2又因 DF = 5,故 DF 2= DE 2 + EF 2, 所以/ DEF = 90° 即 DE 丄 EF.又 PA 丄 AC , DE // PA ,所以 DE 丄 AC.因为AS EF = E , AC 平面ABC , EF 平面 ABC ,所以DE 丄平面 ABC. 又DE 平面BDE ,所以平面 BDE 丄平面 ABC.2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱 ABC Ai B 1C 1中，侧棱垂直于 底面，AB BC , AA 1 AC 2 , E 、F 分别为AG 、BC 的中点.(1)求证：平面 ABE 平面B 1BCC 1 ； (2)求证：GF//平面ABE .证明：(1)在三棱柱ABC ABG 中，BB 1 底面 ABC, BB 1 AB, AB BC, AB 平面 B 1BCC 1, Q AB 平面ABE, 平面ABE 平面 耳BCC 1.⑵取AB 的中点G ,连接EG , FG1Q E 、F 分别为 AG 、BC 的中点,FGPAC,FG AC ,2ABC 所在平面外的一点，且 PA 平面ABC ，平面PAC AC .分析：已知条件是线面垂直和面面垂直， 要证明两条直线垂直， 应将两条直线中的一条 纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.Q AC PA 1C 1, AC AC 1? FG PEG , FG EC 1,则四边形FGE6为平行四边形,C 1F PEG,Q EG平面ABEQF平面ABE, C 1F P 平面ABE .3.如图，P 是PBC •求证BC平面证明：在平面PAC内作AD PC，交PC于D .因为平面PAC 平面PBC于PC , AD 平面PAC，且AD PC，所以AD 平面PBC •又因为BC 平面PBC，于是有AD BC①•另外PA 平面ABC , BC 平面ABC，所以PA BC •由①②及AD PA A，可知BC 平面PAC •因为AC 平面PAC，所以BC AC •说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直.4. 过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，BSC 90 ASC ASB 60，若截取SA SB SC a⑴求证：平面ABC 平面BSC;(2)求S到平面ABC的距离.分析：要证明平面ABC 平面BSC,根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线.(1)证明：••• SA SB SC a,又ASC ASB 60 ,二ASB和ASC都是等边三角形，AB AC a,取BC的中点H，连结AH , • AH BC •在Rt BSC中，BS CS a,• SH BC , BC、2a• AH 2 AC2CH 2 2 a 辭)(a)22 丄, •SH22 a22222在SHA中，•AH2a SH2—,SA22a,2，2• SA2 SH 2HA2, • AH SH,• AH平面SBC •••• AH 平面ABC , •平面ABC平面BSC或：••• SA AC AB ,•••顶点A在平面BSC内的射影H为BSC的外心, 又BSC为Rt ,• H 在斜边BC上，又BSC为等腰直角三角形，• H为BC的中点，•AH 平面BSC・：AH 平面ABC，•平面ABC 平面BSC •(2)解：由前所证：SH AH , SH BC , • SH 平面ABC ,•SH的长即为点S到平面ABC的距离，SH 些-a ,2 2SB 、SC 、SD 于 E 、F 、G ,求证：AE 丄 SB,AG 丄SD题型二、空间角的问题1.女口图示，在正四棱柱 ABCD ABCD ,中5、如图示, ABCD 为长方形, SA 垂直于ABCD 所在平面，过 A 且垂直于SC 的平面分别交6.在四棱锥P-ABCD 中,侧面PCD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，已知底面是面积为 2 ., 3 的菱形， ADC 60 , M 是PB 中点。

⑴求证：PA CD⑵求证：平面 PAB 平面 CDM7.在多面体 ABCDE 中, AB=BC=AC=AE=1CD=2 AE 面 ABC AE//CD 。

⑴求证：AE//平面BCD⑵求证：平面BED 平面BCD•••点S 到平面ABC 的距离为F G EDMCAAB 1,BB ,3' 1 , E 为BB i 上使B i E 1的点，平面 AEC i 交DD i 于F ,交AD i 的延长线于G ,求：(i )异面直线 AD 与C i G 所成的角的大小 (2)二面角A C I G A 的正弦值MN 的棱MN 上，在面 内引射线 AP ，使AP 与MNBQH 为二面角MN的平面角.2.如图，点A 在锐二面角 MN的大小.分析：首先根据条件作出二面角的平面角， 然后将平面角放入一个可解的三角形中(最好是直角三角形)，通过解三角形使问题得 解. 解：在射线 AP 上取一点 B ，作 BH 连结AH ，则BAH 为射线 AP 与平面所成的角,BAH 30.再作BQMN ，交 MN 于 Q ,连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面 内的射影.由三垂线定理的逆定理,HQ MN ,设 BQ a ，在 Rt BAQ 中， BQA 90 , BAM 45 , AB 、2a ,在 Rt △BHQ 中,BHQ 90 ,BQ a,BH 2 a, sin2BQHBQ所成的角N说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线.3.正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 ,P是AD的中点•求二面角A BD, P的大小.分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用•在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB 垂直于平面AD, , BD,在平面AD, 上的射影就是AD, •再过P作AD,的垂线PF ,则PF 面ABD,，过F作D,B的垂线FE , PEF即为所求二面角的平面角了.• PEF 30 .4.PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分别是AB、CD和PC的中点,BQH是锐角, BQH 45 ,即二面角MN 等于45 .解：过P作BD i及AD,的垂线，垂足分别是E、F，连结EF .•/ AB 面AD, , PF面AD,,又••• PEPF，又PF AD,, • PF 面ABD,.BDi , •PEF为所求二面角的平面角.••• Rt AD,D s PFA ,PFDD,APAD,而AP - , DD,,,2AD, 2 PF在PBD,中，PD, BD, ,• BE -BD2在Rt PEB 中，PE -PB2 BE2-，在Rt PEF 中，sin2PEFPFPE(1)求证：MN //平面PAD(2)若二面角P—DC —A为—，求证：平面MND丄平面PDC45•已知正方体中ABCD A i BQ i D i , E为棱CC i上的动点，(1)求证：A i E丄BD (2) 当E恰为棱CC i的中点时，求证：平面ABD丄平面EBD(3)在棱CC i上是否存在一个点E，可以使二面角A-i BD E的大小为45°?如果存在，试确定E 在棱CC i上的位置；如果不存在，请说明理由。

ABCD的边长为2，中心为0。

设PA 平面ABCD EC//PA,且PA=2问2•已知△ ABC中, BCD 90：BCCDAC 、AD上的动点,AFAD(1)(2)且圧AC为何值，总有平面求证：不论当为何值时，平面BEF丄平面(01,AB丄平面BCD , ADB 60°,E、F分别是1)BEF丄平面ABCACD?题型三、探索性、开放型问题1.如图，已知正方形当CE为多少时，PO 平面BED。