线面垂直及面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直 基础要点1、若直线a 与平面,αβ所成的角相等，则平面α与β的位置关系是（ B ） A 、//αβB 、α不一定平行于βC 、α不平行于βD 、以上结论都不正确2、在斜三棱柱111ABC A B C -，90BAC ∠=，又1BC AC ⊥，过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ,则H 一定在（ B )A 、直线AC 上B 、直线AB 上C 、直线BC 上D 、△ABC 的内部3、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6π，过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为,A B ''，则:AB A B ''=（ A ） A 、2：1 B 、3:1 C 、3：2 D 、4：34、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==，12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是5。

已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A ，若棱AB 上存在点P,使得PC P D ⊥1，则棱AD 长的取值范围是 。

题型一:直线、平面垂直的应用1.(2014，江苏卷）如图，在三棱锥P —ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC,AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，. 求证：(1) PA DEF 平面；（2) BDE ABC ⊥平面平面 。

线面垂直线线垂直面面垂直B`A`BAαβABCD 1B 1C B 11D A D BA证明： (1） 因为D,E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA 。

又因为PA ⊄ 平面DEF ，DE 平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF 。

（2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6,BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3,EF ＝12BC ＝4。

又因 DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2, 所以∠DEF ＝90°,即DE 丄EF 。

又PA ⊥AC,DE ∥PA ，所以DE ⊥AC 。

因为AC∩EF＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC,所以DE ⊥平面ABC. 又DE 平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC.2。

（2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.(1)求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2)求证:1//C F 平面ABE . 证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，11,,BB ABC BB AB ⊥∴⊥底面11,,AB BC AB B BCC ∴⊥∴⊥平面,AB ABE ⊂平面11ABE B BCC ∴⊥平面平面.（2）取AB 的中点G ，连接EG,FGE 、F 分别为11A C 、BC 的中点， 1,2FG AC FG AC ∴=, 111111AC AC AC AC FG EC FG EC =∴=，，，,则四边形1FGEC 为平行四边形, 111,,,C F EG EG ABE C F ABE C F ABE ∴⊂⊄∴平面平面平面。

3．如图，P 是ABC ∆所在平面外的一点,且⊥PA 平面ABC ,平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直．．证明:在平面PAC 内作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ，⊂AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以PBC AD 平面⊥．又因为⊂BC 平面PBC ，于是有BC AD ⊥①．另外⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD = ，可知⊥BC 平面PAC ．因为⊂AC 平面PAC ，所以AC BC ⊥．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到,面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．4。

过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，︒=∠90BSC ，︒=∠=∠60ASB ASC ，若截取a SC SB SA ===（1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2）求S 到平面ABC 的距离．分析：要证明平面ABC ⊥平面BSC ,根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线．(1）证明:∵a SC SB SA ===， 又︒=∠=∠60ASB ASC ，∴ASB ∆和ASC ∆都是等边三角形, ∴a AC AB ==，取BC 的中点H ，连结AH ，∴BC AH ⊥．在BSC Rt ∆中，a CS BS ==，∴BC SH ⊥，a BC 2=,∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=,∴222a SH =． 在SHA ∆中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =，∴222HA SH SA +=，∴SH AH ⊥，∴⊥AH 平面SBC ．∵⊂AH 平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面BSC ．或：∵AB AC SA ==，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ∆的外心，又BSC ∆为∆Rt ，∴H 在斜边BC 上，又BSC ∆为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴⊥AH 平面BSC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． (2）解:由前所证：AH SH ⊥，BC SH ⊥，∴⊥SH 平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==, ∴点S 到平面ABC 的距离为a 22． 5、如图示，ABCD 为长方形,SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、F 、G ，求证:AE ⊥SB ,AG ⊥SD6。

在四棱锥P —ABCD 中,侧面PCD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，已知底面是面积为32的菱形,︒=∠60ADC ，M 是PB 中点。

(1）求证：PA ⊥CD（2)求证:平面PAB ⊥平面CDM7.在多面体ABCDE 中,AB=BC=AC=AE=1，CD=2，⊥AE 面ABC,AE//CD 。

(1）求证：AE//平面BCD ； （2)求证：平面BED ⊥平面BCDDCB A S G EFD BAPE DC题型二、空间角的问题1.如图示,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,11,31AB BB ==+,E 为1BB 上使11B E =的点，平面1AEC 交1DD 于F,交11A D 的延长线于G ，求:（1）异面直线AD 与1C G 所成的角的大小 （2）二面角11A C G A --的正弦值2。

如图，点A 在锐二面角βα--MN 的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为45，与面β所成的角大小为30,求二面角βα--MN 的大小．分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形）,通过解三角形使问题得解．解：在射线AP 上取一点B ，作β⊥BH 于H ，连结AH ，则BAH ∠为射线AP 与平面β所成的角，30=∠∴BAH ．再作MN BQ ⊥，交MN 于Q ，连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面β内的射影．由三垂线定理的逆定理,MN HQ ⊥,BQH ∠∴为二面角βα--MN 的平面角．设a BQ =,在BAQ Rt ∆中，a AB BAM BQA 2,45,90=∴=∠=∠,在Rt △BHQ 中,C1A1DBCB1GFAED1,22,,90a BHa BQ BHQ ===∠ 2222sin ===∠a aBQ BH BQH ,BQH ∠ 是锐角， 45=∠∴BQH ,即二面角βα--MN 等于 45．说明：本题综合性较强,在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角,而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．3. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,P 是AD 的中点．求二面角P BD A --1的大小．分析：求二面角关键是确定它的平面角,按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便,但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的,所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理"的方法，如图考虑到AB 垂直于平面1AD ，1BD 在平面1AD 上的射影就是1AD ．再过P 作1AD 的垂线PF ，则PF ⊥面1ABD ，过F 作B D 1的垂线FE ,PEF ∠即为所求二面角的平面角了．解:过P 作1BD 及1AD 的垂线,垂足分别是E 、F ,连结EF ． ∵AB ⊥面1AD ，PF ⊂面1AD ，∴PF AB ⊥，又1AD PF ⊥，∴PF ⊥面1ABD ．又∵1BD PE ⊥，∴1BD EF ⊥，∴PEF ∠为所求二面角的平面角． ∵D AD Rt 1∆∽PFA ∆，∴11AD APDD PF =． 而21=AP ,11=DD ，21=AD ，∴42=PF ．在1PBD ∆中，251==PB PD ．∵1BD PE ⊥，∴2321==BD BE ．在PEB Rt ∆中，2222=-=BE PB PE ，在PEF Rt ∆中,21sin ==∠PE PF PEF ， ∴︒=∠30PEF ．4。

PA 垂直于矩形ABCD 所在平面,M 、E 、N 分别是AB 、CD 和PC 的中点， （１）求证:MN ∥平面PAD（２）若二面角P －DC －A 为4π，求证：平面MND ⊥平面PDC5.已知正方体中1111ABCD A B C D -，E 为棱1CC 上的动点， （1)求证：1A E ⊥BD （2)当E 恰为棱1CC 的中点时，求证:平面1A BD ⊥平面EBD(3）在棱1CC 上是否存在一个点E,可以使二面角1A BD E --的大小为45？如果存在，试确定E 在棱1CC 上的位置；如果不存在，请说明理由。

题型三、探索性、开放型问题1。

如图，已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O 。

设⊥PA 平面ABCD ，EC//PA,且PA=2。

问当CE 为多少时，PO ⊥平面BED 。

2.已知△ABC 中，90,1BCD BC CD ∠===,AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点,且(01)AE AFAC ADλλ==<< （1)求证：不论λ为何值,总有平面BEF ⊥平面ABC （2）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？CBADPEMND P。