用列表法求概率
列表法求概率
列表法求概率以《列表法求概率》为标题，写一篇3000字的中文文章概率（probability）是统计学中一个重要的概念，它大致上可以表示在一些实验中某件事情发生的机会大小。
在许多情况下，人们都是以列表的形式来求解概率的，即列表法求概率。
本文主要介绍如何使用列表法求概率，并给出相应的实例，希望能帮助读者更好地理解这一概念。
首先，要想用列表法求概率，就必须要先准备好所有可能发生的事情，并列出选项的所有可能组合。
列表法求概率的过程就是用来确定每个事件发生的概率，以及总的概率。
以一个简单的例子来说明，假设现在有三个贝壳，其中一个是红色的，一个是黄色的，另一个是蓝色的。
如果想求出拿到红色贝壳的概率，就可以用列表法求概率，需要做的第一步就是列出所有可能组合，即红色、黄色和蓝色三种组合：（1）红色、黄色、蓝色（2）红色、黄色（3）红色、蓝色（4）黄色、蓝色接下来，计算每一种组合的概率，以及总概率：（1）红色、黄色、蓝色的概率为1/3；（2）红色、黄色的概率为1/3；（3）红色、蓝色的概率为1/3；（4）黄色、蓝色的概率为1/3。
因此，总的概率为1/3+1/3+1/3+1/3=4/3。
列表法求概率不仅仅是计算三种组合的概率，它还可以用于计算其他更复杂的情况，比如说要计算4个贝壳中取到蓝色和黄色贝壳的概率，那么只需要把所有可能组合都列出来，然后求出每一种组合的概率，最后求出总的概率即可。
在实际的应用中，列表法求概率的方法也很常用，比如说假设有一个袋子里面有4个红球、2个黄球和3个蓝球，先从袋子里抽取一个球，然后把它放回去，再抽取第二个球，问在两次抽取中都抽到红球的概率是多少？可以用列表法求概率来解决，首先把所有可能组合都列出来：（1）红球、红球（2）红球、黄球（3）红球、蓝球（4）黄球、红球（5）黄球、黄球（6）黄球、蓝球（7）蓝球、红球（8）蓝球、黄球（9）蓝球、蓝球然后求出每一种组合的概率：（1）红球、红球的概率为4/9×4/9；（2）红球、黄球的概率为4/9×2/9；（3）红球、蓝球的概率为4/9×3/9；（4）黄球、红球的概率为2/9×4/9；（5）黄球、黄球的概率为2/9×2/9；（6）黄球、蓝球的概率为2/9×3/9；（7）蓝球、红球的概率为3/9×4/9；（8）蓝球、黄球的概率为3/9×2/9；（9）蓝球、蓝球的概率为3/9×3/9。
求概率的简单方法
求概率的简单方法
答案解析：
一、列表法求概率
1、列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
2、列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
二、树状图法求概率
1、树状图法就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
2、运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
三、利用频率估计概率
1、利用频率估计概率在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3、随机数在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。
把这些随机产生的数据称为随机数。
列表法求概率
第第二一个个
1
2
4
5
6
= 1
2
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) P(点数相同）
6 1 36 6
3
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
P(点数和是9）= 4 1
3、什么样的情况下用列表法求概率？
尝试解答：如图，甲转盘的三个等分区域分别写
有数字1、2、3，乙转盘的四个等分区域分别写有数 字4、5、6、7。现分别转动两个转盘，求指针所指数 字之和为偶数的概率。
用列表法求概率的步 骤是什么？
解：
甲
12 3
乙45 76
乙 甲
4
5
6
7
1 (1，4) (1，5) (1，6) (1，7)
“同时掷两个质地相同的骰子” 两个骰子各出现的点数为1～6点
“把一个骰子掷两次” 两次骰子各出现的点数仍为1～6点
归纳
随机事件“同时”与“先后”的关系：
“两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的。
课堂练习
一个口袋中有4个小球，这4个小球分别标记 为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回， 再随机摸取一个小球，求两次摸取的小球的标 号的和为3的概率．
P(都为黄色）=
1 6
乙 甲
红
绿
黄
蓝
红
(红，红) (红，绿) (红，黄) (红，蓝)
黄1 (黄 1，红) (黄 1，绿) (黄 1，黄) (黄 1，蓝)
2 黄
(黄 2，红) (黄 2，绿) (黄 2，黄) (黄 2，蓝)
25.2.1 用列表法求概率课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
B.
1
2
1
(1，1)
(1，2)
2
(2，1)
(2，2)
C.
D.
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有
4种等可能的情况，
)
知识讲解
知识点2 用列表法求概率
【例 2】一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，
2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3)至少有一个骰子的点数为2.
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
（B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
2. 某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不
会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两
道题全对的概率是（ B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
3. 在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机
《用列表法求概率》教学设计
4.2.2 用列举法求概率第1课时用列表法求概率【知识与技能】1.进一步在具体情境中了解概率的意义.2.会用列表法求出简单事件的概率.【过程与方法】通过生活中简单的例子，通过列表列举出事件的所有结果，进而求指定事件的概率.【情感态度】通过小组合作、探究、发现解决数学问题的方法和途径，从而激发求知欲.【教学重点】用列表法求概率的过程与方法.【教学难点】理解“等可能事件”，摸球或抽卡片放回与不放回的区别.一、情境导入，初步认识活动1：一枚硬币连续掷两次，求下列事件概率.(1)两次全部正面朝上；(2)两次全面反面朝上；(3)一次正面朝上，一次反面朝上.学生分组讨论，思考，教师让学生回答解题结果：(1)14(2)14(3)12教师问：解决上述问题，能否用一个表格先列举出所有可能结果，再解题呢?这个表格应怎样列，学生先动手试试看，然后教师展示列表.思考：若能先列出表格，列举出试验的所有结果，再求确定事件的概率，是否要简捷一些.二、思考探究，获取新知在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性都相等，可以用列表列举出试验结果的方法，分析出随机事件的概率.例李明和刘英各掷一枚骰子，如果两枚骰子的点数之和是奇数，则李明赢，如果两枚骰子的点数之和为偶数，则刘英赢，这个游戏公平吗?【分析】1.游戏对双方是否公平，要看双方获胜的概率是否相等，若相等，则公平，若不相等，则不公平.2.各掷一枚骰子，可能出现的结果比较多，为了不重不漏，可用列表法列举出所有可能结果.解：列表从表中可以看出，出现点数之和为奇数的结果有18种，出现点数之和为偶数的结果也有18种.∴P(李明胜)=181362=，P(刘英胜)=181362=，所以游戏公平.【教学说明】以上例可以看出用列表法求概率的关键是能根据题意正确列出表格，用表格列举出事件出现的所有结果.活动2：教师引导学生完成教材P128的“做一做”.【教学说明】用列表法求概率适用的对象是：1.试验出现各种结果的个数是有限个.2.试验涉及两个因素或分两步完成，如掷两个骰子，抽两张卡片，两次摸球等.强调：当试验为模球或抽卡片时，一定要分清第一次摸球或抽卡片后，“球”与“卡”是否放回，即“放回”与“不放回”结果是不同的.三、运用新知，深化理解1.从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是（）2.均匀的正四面体的各面上依次标有1，2，3，4四个数字，同时抛掷两个这样的正四面体，着地的一面数字之和为5的概率是（）3.（福建福州中考）从1，2，-3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（）4.(山东潍坊中考)将一个转盘分成6等份，分别是红、黄、蓝、绿、白、黑，转动转盘两次，两次能配成“紫色”的概率是________（红色和蓝色配成紫色）.5.（湖北黄冈中考）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4.小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球.记小明摸出球的标号为x，小强摸出球的标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜.(1)若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率；(2)若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由.【教学说明】学生先自主解答，再教师引导分析讲解，加深对新知识理解.【答案】1.C 2.B 3.B 4.1 185.解：（1）由题意知（x，y)共有（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）共12种，其中x＞y有6种，∴小明获胜的概率P（x＞y)=612=12.(2)由题意知（x，y)除（1）中情形外，还有（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）共16种.其中x＞y有6种.∴x＞y的概率P（x＞y)=616=38＜12，∴游戏规则不公平.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾用列表法求概率的方法和步骤.2.通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问，请与同伴交流.1.教材P129第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课从掷硬币试验引出用列表法求简单事件的概率，通过学生自己动手列表，加深对新知识的掌握和认识，并运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的乐趣.。
用列表法求概率
在一次试验中，如果可能出现的结果只 有有限个，且各种结果出现的可能性大小相 等，那么我们可以通过列举试验结果的方法， 求出随机事件发生的概率.
知识点1 用直接列举法求概率
例1 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件 的概率： （1）两枚硬币全部正面向上； （2）两枚硬币全部反面向上； （3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上.
①列表；
②通过表格确定公式中m、n的值；
③利用P(A)=
m n
计算事件的概率.
基础巩固
1.把一个质地均匀的骰子掷两次，至少有一次
骰子的点数为2的概率是( D )
A. 1 2
C. 1 36
B. 1 5
D. 11 36
2.纸箱里有一双拖鞋，从中随机取一只，放回后 再取一只，则两次取出的鞋都是左脚的鞋的概率
知识点2 用列表法求概率
例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件 的概率：
（1）两枚骰子的点数相同； （2）两枚骰子点数的和是9；
怎么列出所有可 能出现的结果？
（3）至少有一枚骰子的点数为2.
解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，可以
用表列举出所有可能出现的结果.
第1枚 1
2
3
4
5
6
第2枚
1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
用列举法求概率 用列表法求概率
九年级上册
新课导入
同时抛掷两枚质地均匀的硬币或骰子，会 出现哪些可能的结果？
怎样才能不重不漏地列举所有可能出现的 结果呢？
(1)会用直接列举法和列表法列举所有可能出现的 结果. (2)会用列表法求出事件的概率.
想一想
推进新课
①掷一枚质地均匀的硬币，观察向上一面的情况，可能 出现的结果有：正面，反面 ；
用列表法求概率
的周围的正方形中有3
个地雷，我们把这个
区域记为A区，A区外
记为B区，，下一步
小王应该踩在A区还
是B区？
引例：掷两枚硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面朝上； (2)两枚硬币全部反面朝上； (3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
“掷两枚硬币”共有几种结果？
正正
正反 反正 反反
为了不重不漏地列出所有这些结果, 你有什么好办法么？
2
1×2=2 2×2=4 3×2=6 4×2=8 5×2=10 6×2=12
3
1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12 5×3=15 6×3=18
4
1×4=4 2×4=8 3×4=12 4×4=16 5×4=20 6×4=24
5
1×5=5 2×5=10 3×5=15 4×5=20 5×5=25 6×5=30
乙转盘 4 5 6 7
45 67
√
√
√
√
共 12 种可能的结果
45 √
67 √
与求“指列针表所”指法数对字比之，结和果为怎偶么数样的？概率。
例2、同时掷两个质地相同的骰子，计算下列事件的概率：
(1)两个骰子的点数相同；(2)两个骰子的点数和是9；
(3)至少有个骰子的点数是2。
解：一 二 1
2
3
4
5
5、甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数 之积为奇数，那么甲得1分；如果点数之积为偶数，那么乙得1分。 连续投10次。 (1)请你想一想，谁获胜的机会大？，谁得分高，谁就获胜并说明理由 (2)你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。
列出所有可能的结果：
1
初中数学教学课例《用列表法求概率》教学设计及总结反思
发展应用意识。
学生学习能
学生在做有关将球放不放回的问题上有些困难，特
力分析 别不明确提出放不放回的情况下。
让学生亲自做摸球游戏，引导学生完成我提出的问 教学策略选
题。还让学生准备好扑克牌，同桌做摸牌游戏，教师提 择与设计
出问题，学生讨论，再回答问题。
问题情境：1、求随机事件概率的一般步骤。2、我
初中数学教学课例《用列表法求概率》教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《用列表法求概率》
称
本节课主要学习用列举法求概率。
教学重点：能够利用列表法和树形图法计算简单事 教材分析
件发生的概率。教学难点：判断何时采用列表法或树形
图意义，能够利
用列举法计算事件发生的概率，并阐明理由。 教学目标
们用什么方法求概率。学生回答问题，通过回答的方式， 教学过程
帮助学生回忆上节课所学的知识，为本节课的学习准备
好知识基础。
通过学生自主探求列表法、使学生在何时应用列表
课例研究综 法、何时利用树形图法有更深的理解，指导学生如何规
述
范应用列表法解决概率问题，使学生在不同的情境下体
会列表法的特点，加深学生对列表法的理解。
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探究新知
问题3：
将牌面数字分别是1,2,3,4的四张扑克 牌背面朝上，洗匀后放在桌面上从中 随机抽出一张牌（不放回），再从剩 下的三张中随机抽出第二张。请用画 树状图的方法求两张牌牌面数字为一 个2一个3的概率。
归纳
树状图法求概率的两种类型：
（1）拿出一张，不放回就抽第二张
（2）拿出一张，放回再抽第二张
探究新知
变式：
将牌面数字分别是1,2,3,4的四张扑克 牌背面朝上，洗匀后放在桌面上从中 随机抽出两张牌。请用画树状图的方 法求两张牌牌面数字为一个2一个3的 概率。
小结
1.通过本节课的学习，你有什么收 获？ 2. 你还有什么疑问？
第一枚
第二枚 正
正
反 反
反正
树 状 图 法
归纳
用画树状图法求概率的一般步骤：
（1）明确试验由几个步骤组成； （2）画树状图分步列举出试验的所 有等可能的结果； （3）数出所有等可能结果的总个数 以及关注结果的个数； （4）利用概率公式计算概率
归纳
列表法和树状图法是求概率的两 种常用的方法。 当一次试验要涉及两个因素并且 可能出现的结果数目较多时，为了不 重不漏地列出所有等可能的结果，通 常采用列表法或树状图法。
树状图法求概率
重庆市沙坪坝区凤凰实验学校
何绍容
学习目标
1.会用树状图法求随机事件发生的概 率；
2.进一步体会随机事件概率的意义。
复习引入
问题1：
抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币 朝上的面为一正一反的概率是多少？
列 表 法
第一枚 第二枚
正 反
正 正正 正反
反 反正 反反
复习引入
问题1：
抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币 朝上的面为一正一反的概率是多少？ 开始