2020江苏高考数学最后一讲
• 分秒不让，分段得分！
• 考场上要合理分配时间，对于易题、会题 要快速反应，书写尽量完整.
• 一般情况下：解答题的前三题往往比较容 易点，解答时，不要刻意追求速度，要一 次成功，不出错；后两题要分难易（凭直 觉)，先易后难，最忌讳每题思考3、5分钟， 前后翻来覆去，将时间白白浪费.
• 对一道疑难问题，特别是压轴题，确实啃不动 时，一个明智的解趣策略是：将它划为几个子 问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分， 即能解决什么程度就解决到什么程度，能演算 几步就写几步，每进行一步都可能得到这一步 的有效分数.
• 既使不能全部做出，也要尽可能性细致，尽可 能规范地写出解题步骤，列出解题所用的公式、
• 原理及基本思路，争取多得分，如果没有做出 完整的答案，也不要轻易划掉，因为阅卷时是 分步给分.另外对于一题多问时，如果前一小 题不会，你可以用前一小題的结论解决后面各 题的结论，这样阅卷时扣分只扣前一小题的相 应分值.
填空题备忘：
• 1.定义域、值域、不等式的解集，取值范围的表达 形式，注意端点.
• 2.函数的解析式，数列的通项公式为;解析式为要写 定义域.
• 3.单调区间，区间的形式，注意三角函数的定义域， • 4.圆锥曲线的标准方程，准线，渐近线的形式，直
线方程. • 5.表面积，体积要不要写上单位.算法的计算，关注
• 答案写到答题卡上，注意不能错位，有疑惑的 题目上做个记号.
解答题备忘
• 解答题答题过程中，不刻意追求速度，胆 大心细.
• 对于三角、向量、解三角形综合的一题， 立体几何，应用题，读完题目，要先设计 一下求解思路，再下笔求解，若一时受阻， 要再读题，看看是否有条件没注意到，若 运算较繁，一是检査有没有算错，二是换 一种思路求解，还不能解决，这时也不要 慌，先放一放，继续向后做，千万不要较 劲。
19、20压轴题
• 需要思维的严谨性、说理的条理性。
• 函数综合题，引导作答需要辅助图形支持 才能走的更远，结论的得出应根据严谨的 推理得出，注意特殊值、因式分解的协同 性，注意检验极值。
• 复杂数列综合题：求证等差等比数列问题 时，要严格按照定义或者中项。注意特殊 情况的贡献，构造新式时注意n范围。
• 最后十五分钟或十分钟，用于检査前面己做好但把 握性不大的题目的检査.采用这样的整体把握策略， 就会避免出现前松后紧、虎头蛇尾的现象.
• 在考试过程中，经常会遇到自己觉得容易 解决而实际操作又一时解决不了的问题.欲 行不能，欲罢不忍，时间不知不觉溜过去 了.
• 不能和题目过不去、与它较劲儿，也可以 暂时先放它一码，向后做，等易解决的问 题解决之后再来仔细考虑。切忌在一道题 上浪费太多时间，这样会使后面可能得到 的分数因为没有时间做而痛心丢掉.
压轴题一定要切块分小题作答！
最后的提醒：
• 对绝大部分同学来讲，压轴题（包括填空 第14题）不要整题不做，或对最后一题看 都不看一眼，最后一题对你来讲不一定就 是最难的题。放弃的永远是相对来说翘尾 巴的某些小问、小题。
祝我们考的最好！
“胆大心细，沉着应战 ”
规范 谨慎 算准 明道
4
近几年解答题得分分析
年份 均分 第15题 第16题 第17题 第18题 第19题 第20题
2014 44.71 11.55 12.55 7.60 5.50 4.90 2.61
2015 45.34 12.06 11.86 7.63 7.22 4.66 1.90
2016 47.05 11.99 10.96 9.69 7.06 4.50 2.85
高三数学
最后一讲（内部讲稿）
规范 谨慎 算准 明道
2020年7月4日
临场策略第一感觉不会做 的试题了？
• 考场上有一个平常、平静而自信的心态是 考试成功的必要条件，把髙考当作一次平 时的练习考试.
近几年整卷得分分析
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
I 卷 96.34 95.55 98.22 96.72 99.58 100+
难度系 数
0.602
0.597
0.614
0.605
0.622
0.64+
填空 51.63 50.21 51.17 51.88 51.61 52+
解答 44.71 45.34 47.05 44.84 47.97 49+
II 卷 28.11 23.78 24.38 23.67 25.4
5 3 28
201 7
5 6 5 5 94
5 2 27
45 28
20
201 8
6 3 2 4 88
4 3 27
201 9
4 4 2 3 89
4 4 28
不要给自己定一个理想的分数线
• 许多考生在高考前都有一个“我要考多少” 的计划，但由于试卷的难度、个人对试卷 的适应程度等诸多不确定因素，我们无法 料到高考你能考到多少分.如果带着这个心 理去看考题，考题的难易程度一旦和心理 预期矛盾，就会在心理上给答题带来重大 影晌，所以不要带着分数计划进入考场， 顺其自然才能水到渠成.
应用题
• 应用题命制依托于实际情境，解答时应有 必要的文字说明。解答时要注意单位统一， 注意研究图形、求导完要明确写出驻点、 单调性等。要检验是否符合实际情况，解 答结束要根据实际问题作答。
解析几何题
• 解答解析几何试题时，特殊情形要单独说 明。运算、变形过程要完整细致，不可出 现假证现象。
• 做好运算有一定难度的准备注意判别式书 写，舍得花时间，若某一步的表达式非常 繁，这时要检査一下，思路是否可行，换 一种思路思考，再做一做.解析几何的两种 常用思路：设点，设直线，弄清这两种思 路求解的基本步骤.
• 考试时应充分利用答卷前的时间，拿到试卷，先大 体浏览一下试卷，对试卷各题的难易程度有个全面 的、初步的了解.熟悉试卷后，心里就有了数，而不 是拿到试卷就赶紧翻后面的解答题.发现难题不要惊 慌，因为髙考毕竟是选拔性的考试，有难题是很正 常的事，有难题甚至做不出的题目也是在意料之中 的，不必紧张，要想到：“我不会做，那好多人也 未必会做”，一定要稳定心态.然后集中大量时间用 于审题、答题.
填空答题策略
• 若所求的对象是集合，则答案必须以集合 的形式呈现：若求函数的定义域和值域， 则要将结果写成集合或区间的形式。单调 增减区间只能写区间不能并。若求圆的标 准方程，则不能写成一般方程；若所求值 为分式或分数，则要化为最简形式：填空 书写要清晰规范，不得潦草、模糊，要便 于阅卷教师评判辨认（潜意识会潦草）。
三角向量题
• 三角向量解答题作答时过程要完整，原始 公式、变形过程、数据代入、结果呈现， 要环环相扣；推理过程要严谨规范，符号 取舍时要说理清晰，不能凭感觉简单随意： 确定一个角的值时，要结合角的范围进行 “三段论”.
立体几何题
• 作答立体几何试题时，每个结论的得出要 有理有据，不得含糊；每个逻辑段的推理 条件要完备，缺一不可；前后逻辑段的联 系要紧密，无关信息不得混入；过程书写 要清晰，重要结论不可出现笔误！
2017 44.84 12.84 10.75 9.33 6.25 4.30 1.37
2018 47.97 12.40 12.26 7.30 7.62 5.53 2.86
2019 49+ 1313+ 10+ 553+
容易题分值
1～ 9
15,1 6
17
18
19
20 I卷
21
22
23
II 卷
201 6
4 4 2 2 85
题中的着重号标志， • 6.字母参数的取值范围，特殊字母的取值范围.
• 前10题中若有个别趣目第一感觉做不出来，再 想想、读读题目，换一个角度再思考（从数、
• 从形，从特值等)，还想不到，可以先放一放， 做个记号.
• 11,12, 13题要有心理准备，稍微中档难一点， 14题有可能有一定难度，不妨再读一读题目， 若无从下手，可以先放一放！
2020年江苏省高考数学试卷 试题+答案详解
E 为 AC 的中点． （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；
1
（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= BC，
4
设二面角 F—DE—C 的大小为θ，求 sinθ的值．
25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任 取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个 黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn． （1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ．
a1
d 2
q 2
1
aq120
，∴
d
q
4
.
b1 1 q
1
b1 1
12【答案】 4 5
【解析】∵
5x2
y2
y4
1，∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
∴
x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+
4y2 5
2
1 4y2 4 ， 5y2 5 5
当且仅当
1 5y2
4y2 5
，即
x2
3 , y2 10
等差数列 an 的前 n 项和公式为 Pn
na1
nn 1
d 2
d n2 2
a1
d 2
n
，
等比数列bn 的前
n
2020年江苏省高考数学试卷 试题详解
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =_____. 【答案】{}0,2【解析】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =，∴{}0,2AB =. 2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.【答案】3【解析】∵复数()()12z i i =+-,∴2223z i i i i =-+-=+∴复数的实部为3.故答案为3.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2【解析】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19 【解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个. 点数和为5的基本事件有()1,4,()4,1,()2,3,()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 5.如图是一个算法流程图,若输出y 的值为2-,则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()222105x y a a-=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32 【解析】∵双曲线22215x y a -=，∴5b =. 由于双曲线的一条渐近线方程为52y x =，即522b a a =⇒=， ∴22453c a b =+=+=，∴双曲线的离心率为32c a =. 7.已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时()23 f x x =,则()8f -的值是____.【答案】4-【解析】23(8)84f ==,∵()f x 为奇函数，∴(8)(8)4f f -=-=-.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin2α的值是____. 【答案】13【解析】∵22221sin ()(cos sin )(1sin 2)42παααα+=+=+， ∴12(1sin 2)23α+=,∴1sin 23α=. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯,圆柱体积为21()222ππ⋅= ∴所求几何体体积为1232π.10.将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=- 【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 令2()122x k k Z πππ-=+∈,得7()242k x k Z ππ=+∈。
江苏高考数学应知应会讲义最后七天回顾优选版
2020 年江苏高考数学应知应会讲义（最后七天回顾）集合函数部分1、已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000lg x x x x f ，则方程()()02=-x f x f 的实根共有7个；2、已知函数()()122-+=x x f 在区间[]0,a 上的最大值为3，则在满足条件的实数a 中任取一个，使函数()ax x x f --=233有3个零点的概率为31． 3、已知集合{}{}22|230,|0A x x x B x x ax b =-->=++≤，AB R =，{}|34A B x x =<≤，则sin cos a x b x +的最小值是分析：根据条件求出,a b 的值，则函数sin cos a x b x +的最小值为 解析：{}|13A x x x =<->或，A B R =，{}|34A B x x =<≤，如图所示，借助于数轴可以看出，{}|14B x x =-≤≤，()()143,144a b ∴=--+=-=-⨯=-，故函数sin cos a x b x +的最小值为5-集合运算的一种基本思想。
4、集合{}|0,|sin cos ,,4M z z N y y x x x M π⎧⎫=<<==+∈⎨⎬⎩⎭则M N =分析：集合N 实际上是定义域为M 时函数sin cos y x x=+的值域解析：因为(4y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故MN =∅点评：解决集合问题的关键是搞清楚集合所表示的问题的意义。
5、如图所示，设点A 是单位圆上的定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所经过的AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图象大致是① ② ③ ④解析：函数在[)0,π上的解析式为d ===[],2ππ上的解析式为2sin 2l d ==，故函数的解析式为2sin 2ld =，故答案为③6、设函数()[)1,,1f x n x n n =-∈+，n N ∈，函数()2log g x x =，则方程()()f x g x =中实数根的个数是解析：解法一 详细画出()f x 和()g x 的图象，如下图所示，从图中不难看出方程()()f x g x =有三个零点，故答案为3解法二①当0n =时，()[)1,0,1,f x x =-∈则[)21log 10,12x x =-⇒=∈； ②当1n =时，()[)0,1,2f x x =∈，则[)2log 011,2x x =⇒=∈； ③当2n =时，()[)1,2,3f x x =∈，则[)2log 122,3x x =⇒=∈； ④当3n =时，()[)2,3,4f x x =∈，则[)2log 243,4x x =⇒=∉；⑤当4n =时，()[)3,4,5f x x =∈，则[)2log 384,5x x =⇒=∉由此下去以后不再有根，所以答案为3.点评：数形结合既是一种数学思想,又是一种解决具体问题的工具,它在高考应试中，具有十分重要的作用。
2020年江苏高考数学试题解析
绝密★启用前2020年一般高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式： （1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
一、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 那么_______,=⋂B A 答案：{}1－，2解析：考察简单的集合运算，容易题。
二、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________答案：+∞1（－）2解析：考察函数性质，容易题。
3、设复数i 知足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），那么z 的实部是_________ 答案：1解析：简单考察复数的运算和概念，容易题。
4、依照如下图的伪代码，当输入b a ,别离为2，3时，最后输出的m 的值是________答案：3解析：考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。
五、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率是______★此卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________9第题图答案：13解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。
六、某教师从礼拜一到礼拜五收到信件数别离是10，6，8，5，6，那么该组数据的方差___2=s 答案：165解析：考察方差的计算，能够先把这组数都减去6再求方差，165，容易题。
7、已知,2)4tan(=+πx 那么xx2tan tan 的值为__________答案：49解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。
22tan()11tan tan 1tan 44tan tan(),2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x xππππ+-+-===++（－）＝＝＝－八、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，那么线段PQ长的最小值是________ 答案：4解析：考察函数与方程，两点间距离公式和大体不等式，中档题。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)最后一卷 数学试题附答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷数 学I 2020.6圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{|23},{21,}A x x B x x k k =<<==-∈Z －，则A B =I ▲ . 2．已知复数z 满足1－i z ＋2＝－i ，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ .3. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为 ▲ .4. 如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则数据在区间[6，10)上的频数是 ▲ .5．用红、黄、蓝3种颜色给3面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，则3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是 ▲ ．6．函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ .7． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2―y 2m＝1的离心率为3，则实数m 的值为 ▲ ． 8．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝2，则S 6＝ ▲ .（第3题）（第4题）FECBAP（第15题）9．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度是 ▲ cm.10. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅u u u r u u u r▲ ． 11. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4=66，α∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫2α+π6＝ ▲ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l ：x -3y +23=0与圆C ：x 2+y 2=4的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ▲ ．13.已知函数3()log f x x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，()31x h x =-.若函数)()(x h x f k y +⋅=恰有3个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 14. 已知△ABC 的面积等于1，BC =1，则当△ABC 的三边之积取得最小值时，sin A = ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝PC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．求证：(1)AC //平面BEF ；(2)P A ⊥平面BCE ．EOCDB（第10题）（第9题）（第17题）M ADCBN16．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠CAD =π4，AC =72，102cos -=∠ADB ．(1)求C ∠sin 的值；(2)若△ABD 的面积为7，求AB 的长．17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB =100 m ，AD =75 m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．(1)若假山区域面积为400 m 2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若MN =100 m ，求假山区域面积的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1的左、右焦点为F 1, F 2，点A 为左顶点，且OA =F 1F 2，过右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点，当直线l 垂直于x 轴时，PQ =3． (1)求椭圆C 的标准方程;(2)证明：原点O 总在以PQ 为直径的圆内； (3)若AP ⊥F 1Q (点P 在x 轴上方)，求直线l 的方程．AB CD。
江苏省扬州市2020届高三下学期6月最后一卷数学试题 Word版含解析
2019-2020学年度第二学期高三最后一卷数学Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题★答案★均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将★答案★填写在答题卷相应的位置上）1. 已知集合2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，则A B B =，则实数a 的值是_______．【★答案★】±1 【解析】 【分析】 由AB B =得到B A ⊆，根据集合B 中的元素都在集合A 中，即可得出a 得值.【详解】因为AB B =，所以B A ⊆，又2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，所以21a =，解得1a =±.故★答案★为：±1【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题. 2. 已知复数z 满足34ii z+=(i 为虚数单位)，则||z =______． 【★答案★】5 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的四则运算法则可求出z ，再根据复数的模的计算公式即可求出． 【详解】因为34ii z +=，所以3443i z i i+==-，即()22||435z =+-=．故★答案★为：5．【点睛】本题主要考查复数的代数形式的四则运算法则和复数的模的计算公式的应用，属于容易题． 3. 某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取______名志愿者． 【★答案★】15 【解析】 【分析】根据分层抽样的特征可知，抽取人数等于样本容量乘以抽样比，即可求出． 【详解】高三年级抽取的人数为35015433⨯=++．故★答案★为：15．【点睛】本题主要考查分层抽样的特征的理解和运用，属于容易题． 4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为______．【★答案★】15 【解析】 【分析】模拟程序运行的过程，即可得出程序运行后的输出结果. 【详解】解：模拟程序运行的过程如下： 第一步：1i =，055S =+=，12i i =+=； 第二步：24i =<，5510S =+=，13i i =+=； 第三步：34i =<，10515S =+=，14i i =+=； 第四步：44,≥不符合条件，所以输出15S =. 故★答案★为：15.【点睛】本题考查程序语言的应用问题，模拟程序运行的过程是常用的方法，属于基础题.5. 已知抛物线22y x =的准线也是双曲线2213x y m -=的一条准线，则该双曲线的两条渐近线方程是________．【★答案★】3y x =± 【解析】 【分析】依据题意分别求出抛物线的准线方程和双曲线的左准线方程，即可解出m ，从而由双曲线的解析式得到其渐近线方程．【详解】因为抛物线22y x =的准线方程为12x =-，双曲线2213x y m -=的一条左准线方程为：()03m x m m =->+，所以123m m =+，解得1m =，因此，双曲线的方程为2213y x -=，其渐近线方程是3y x =±． 故★答案★为：3y x =±．【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质的应用，属于基础题．6. 某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的概率为_______． 【★答案★】35【解析】 【分析】由题意求出总的基本事件总数35n C =种，再计算恰有一名女生的基本事件数2132m C C =,利用古典概型计算即可.【详解】由题意，基本事件为机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名，共有3510n C ==种选法，其中选出的人员中恰好有一名女生的事件数为2132326m C C ==⨯=种， 由古典概型可知选出的人员中恰好有一名女生的概率为63105m P n ===， 故★答案★为：35【点睛】本题主要考查了概率的求法，考查了古典概型，组合的综合应用，属于容易题. 7. 已知数列{}n a 是等比数列，n T 是其前n 项之积，若567a a a ⋅=，则7T 的值是________． 【★答案★】1 【解析】 【分析】先设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，得到41a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，设公比为q ，由567a a a ⋅=得456111a q a q a q ⋅=，即311a q =，即41a =，由等比数列的性质可得，77123456741T a a a a a a a a ===.故★答案★为：1.【点睛】本题主要考查等比数列性质的应用，属于基础题型.8. 已知()cos x f x x e =+，则(3)(31)0f x f x --+>的解集为________． 【★答案★】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由已知可得函数为偶函数，求导分析可得f （x ）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性可得原不等式等价于331x x -+＞，解出x 的取值范围，即可得★答案★． 【详解】由题知，()()f x f x -=，所以()cos x f x x e =+为偶函数，当x ≥0时，()cos xf x x e =+此时有()sin 0x f x x e '=-+>，则()f x 在[0，+∞）上为增函数，由(3)(31)0f x f x --+>，可得(3)(31)f x f x ->+， 而函数()f x 为偶函数， 可得331x x ->+，()()22331x x ->+ 解得122x -<<， 即不等式的解集为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故★答案★为：12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题．9. 如图，已知正ABC 是一个半球的大圆O 的内接三角形，点P 在球面上，且OP ⊥面ABC ，则三棱锥P ABC -与半球的体积比为_________．【★答案★】338π【解析】 【分析】O 是等边三角形ABC 的外心，设球半径为R ,等边三角形边长为a 得到33R a =，求体积可得. 【详解】设球半径为R ,等边三角形边长为a ，由图知，OP OA R ==,连接OB ,OP ⊥面ABC ,OP OB ∴⊥,由球的对称性知O 是等边三角形ABC 的外心，233323OB a a ∴=⨯= 33R a ∴=22311133133221212P ABC ABC V S OP a R a R a -∆==⨯⨯⨯==3331422323327V R R a πππ=⨯== 331331282327P ABC aV Va ππ-∴== 故★答案★为：338π【点睛】与球有关外接问题的解题规律(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的12. (2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可． 10. 已知3sin()283απ-=，则sin cos αα+=______. 【★答案★】23【解析】 【分析】利用倍角公式求出1cos cos 24283παπα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用和差公式展开即可. 【详解】∵3sin()283απ-=∴21cos cos 212sin 428283παπαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴221cos sin 223αα+= ∴2cos sin 3αα+=故★答案★为：23. 【点睛】本题主要考查三角函数和差公式与倍角公式的应用，属于基础题.11. 设[]t 表示不超过实数t 的最大整数(如[ 1.3]2-=-，[2.6]2=)，则函数[]()21f x x x =--的零点个数为_______. 【★答案★】2 【解析】 【分析】函数[]()21f x x x =--的零点即方程[]21x x -=的根，由210-≥x 可得0x ≥.分01x ≤<、1x =和1x >讨论，求出方程[]21x x -=的根，即得函数()f x 的零点个数.【详解】函数[]()21f x x x =--的零点即方程[]21x x -=的根，∴函数()f x 的零点个数，即方程[]21x x -=的根的个数.[]210,0,0x x x -≥∴≥∴≥.当01x ≤<时，[]10,210,2x x x =∴-=∴=. 当1x =时，[]1,211,211x x x =∴-=∴-=或211,1x x -=-∴=或0x =（舍）. 当1x >时，[]2121x x x x -=->≥，∴方程[]21x x -=无解. 综上，方程[]21x x -=的根为12，1. 所以方程[]21x x -=有2个根，即函数[]()21f x x x =--有2个零点. 故★答案★为：2.【点睛】本题考查函数与方程，准确分类是关键属于中档题.12. 已知点M 是边长为2的正ABC 内一点，且AM AB AC λμ=+，若13λμ+=，则MB MC ⋅ 的最小值为_______. 【★答案★】13【解析】 【分析】取BC 的中点O ，以点O 为坐标原点，OC 、OA 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点M 的轨迹方程为2311333y x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，可设点23,3M x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，利用平面向量数量积的坐标运算可求得MB MC ⋅的最小值. 【详解】取BC中点O ，以点O 为坐标原点，OC 、OA 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则点()0,3A 、()1,0B -、()1,0C ，设点(),M x y ，(),3AM x y =-，()1,3AB =--，()1,3AC =-，AM AB AC λμ=+且13λμ+=，则()3313x y λμλμλμ⎧=-+⎪⎪-=-+⎨⎪⎪+=⎩，可得123233x y λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由于点M 在正ABC 内，则00λμ>⎧⎨>⎩，可得103λ<<，则11,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，231,3MB x ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭，231,3MC x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，2241133MB MC x x ∴⋅=-+=+， 所以，当0x =时，MB MC ⋅取最小值13. 故★答案★为：13. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的求解，求出动点M 的轨迹是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.13. 已知等腰梯形ABCD 中，60A B ∠=∠=，2AB =，若梯形上底CD 上存在点P ，使得2PA PB =，则该梯形周长的最大值为________.【★答案★】3+5 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设出点D 的坐标，用两点间距离公式表示出2PA PB =，计算出参数的取值范围，写出梯形的周长表达式再求最值即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：设AE t =，则01t <<∵四边形ABCD 是等腰梯形，且60DAB ∠= ∴2AD BC t ==，3DE t =，22DC t =- ∴()0,0A ，()2,0B ，(),3D t t ，()2,3C t t - 假设存在点P 在上底CD 上使得2PA PB =∴可设(),3P m t ，其中2t m t ≤≤- ∵2PA PB =∴()()()22223223m t m t +=⨯-+整理得：228830m m t -++= 上底CD 上存在点P 使得2PA PB =，等价于方程228830m m t -++=在2t m t ≤≤-上有解 令()22883f m m m t =-++，[],2m t t ∈-，()0,1t ∈又因为对称轴为42m t =>-∴()()()()222288302282830f t t t t f t t t t ⎧=-++≥⎪⎨-=---++≤⎪⎩ 解得151522t ---+≤≤∴1502t -+<≤又∵梯形ABCD 的周长为2222224C t t t t =+++-=+，在1502t -+<≤单调递增 ∴当152t -+=时，有max 1524352C -+=⨯+=+. 故★答案★为：3+5.【点睛】本题主要考查两点间的距离计算和最值的求法，建立平面直角坐标系和条件间的转化是解题的关键.14. 锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若cos (1cos )a B b A =+，则22a bb c+的取值范围为_______. 【★答案★】732⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】 【分析】用正弦定理对等式cos (1cos )a B b A =+进行边角转化，然后逆用两角差的正弦公式、正弦函数的性质得到,A B 之间的关系，再根据锐角三角形的性质，结合三角形内角和定理求出B 的取值范围，最后利用正弦定理对22a bb c+进行边角转化，根据二倍角的正弦公式和两角和的正弦公式，结合换元法、构造对钩函数，利用对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】由正弦定理可知；sin sin a bA B=，所以由 cos (1cos )sin cos sin (1cos )sin cos sin cos sin ,a B b A A B B A A B B A B =+⇒=+⇒-=即sin()sin A B B -=，因为ABC ∆是锐角三角形，所以,(0,),()(,)222A B A B πππ∈∴-∈-，因此有2A B B A B -=⇒=， 而ABC ∆是锐角三角形，所以,,(0,)2A B C π∈，而3C A B B ππ=--=-,所以020*******B B B B ππππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⇒<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩.由正弦定理可知：sin sin sin a b cA B C==， 所以2222222sin sin 4sin cos sin sin sin sin sin3a b A B B B Bb c B C B B+=+=+，22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin B B B B B B B B B B B =+=+=+-，而221sin =cos B B -，所以 3sin 33sin 4sin B B B =-，设222214cos 34sin a b y B b c B=+=+-，令21234sin ,(,)sin (,),(1,2)6422B x B B x ππ-=∈∴∈∴∈，因此有2211,(1,2)a b y x x b c x=+=++∈，因为函数1()1,y f x x x==++在 (1,2)x ∈时是单调递增函数，所以7(1)()(2),3()2f f x f f x <<∴<<， 因此22a b b c+的取值范围为732⎛⎫⎪⎝⎭，.故★答案★为；732⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了利用对钩函数的单调性求代数式的取值范围问题，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式的应用，考查了锐角三角形的性质，考查了数学运算能力. 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设函数23()cos sin()3cos 34f x x x x π=⋅+-+，R x ∈.（1）求()f x 的最小正周期和对称中心；（2）若函数()()4g x f x π=+，求函数()g x 在区间[,]66ππ-上的最值． 【★答案★】（1）T π=，对称中心为,026k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈.（2）max 1()2g x =，min 1()4g x =-【解析】 【分析】（1）把已知函数解析式变形，再由辅助角公式化积，利用周期公式求周期，再由23x k ππ-=求得x 值，可得函数的对称中心；（2）求出()g x 的解析式，得到函数在区间[,]66ππ-上的单调性，则最值可求．【详解】（1）由已知，2133()cos sin cos 3cos 224f x x x x x ⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎪⎝⎭22133sin cos cos 3cos 224x x x x =+-+2133sin cos cos 224x x x =-+133sin 21cos2444x x13sin 2cos 244x x =- 1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∴最小正周期为2T 2ππ==， 令23x k ππ-=，解得26k x ππ=+，Z k ∈ ∴对称中心为,026k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭Z k ∈ （2）()()4g x f x π=+1sin(2)26x π=+ 当[,]66x ππ∈-时，2[66x ππ+∈-，]2π，可得()g x 在区间[,]66ππ-上单调递增，∴max 1()()62g x g π==，min 1()()64g x g π=-=-【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，是中档题．16. 如图，四面体ABCD 被一平面所截，平面与四条棱,,,AB AC CD BD 分别相交于,,,E F G H 四点，且截面EFGH 是一个平行四边形，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥. 求证：（1）//EF BC ； （2）EF ⊥平面ACD .【★答案★】（1）见详解；（2）见详解. 【解析】 【分析】（1）由题意//EF HG ，根据线面平行的判定定理可得//EF 平面BCD ，再根据线面平行的性质定理可得//EF BC ；（2）由AD ⊥平面BCD ，可得AD BC ⊥.由(1)知//EF BC ，可得EF AD ⊥，又BC CD ⊥，故EF CD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得EF ⊥平面ACD .【详解】（1）因为四边形EFGH 为平行四边形，//EF HG ∴，又EF ⊄平面BCD ，HG ⊂平面BCD ，//EF ∴平面BCD ，又EF ⊂平面ABC ，平面ABC 平面BCD BC =，//EF BC ∴.（2）AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，AD BC ∴⊥，由(1)知//EF BC ，EF AD ∴⊥.BC CD ⊥，EF CD ∴⊥.又AD CD D ，AD 、CD ⊂平面ACD ，EF ∴⊥平面ACD .【点睛】本题考查线面平行的判定定理、性质定理和线面垂直的判定定理，属于基础题. 17. 如图，边长为1的正方形区域OABC 内有以OA 为半径的圆弧AEC .现决定从AB 边上一点D 引一条线段DE 与圆弧AEC 相切于点E ，从而将正方形区域OABC 分成三块：扇形COE 为区域I ，四边形OADE 为区域II ，剩下的CBDE 为区域III.区域I 内栽树，区域II 内种花，区域III 内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为5a 、4a 、a ，总造价是W ，设2AOE θ∠=（1）分别用θ表示区域I 、II 、III 的面积； （2）将总造价W 表示为θ的函数，并写出定义域； （3）求θ为何值时，总造价W 取最小值？ 【★答案★】（1）14S πθ=-，2tan S θ=，31tan 4S πθθ=--+（2）(3tan 41)W a θθπ=-++，定义域为(0,)4π（3）=6πθ【解析】 【分析】（1）首先用扇形面积公式求出区域I ，区域II 为两个全等的三角形，所以只需用θ表示出DA ，即可求出三角形面积，进而求出区域II 的面积，区域III 用大正方形面积做差即可.（2）将单位面积造价分别乘以面积数再求和，即可求出总造价，定义域保证每个角度大于零即可.（3）对总造价求导，结合定义域，求出总造价的单调性，则可求出总造价最小时的θ值. 【详解】解：(1)如图，2111(2)12224S r ππαθθ==⨯-⨯=-；连接OD ，则ODE ∆≌ODA ∆，tan DA θ=，2121tan tan 2S θθ=⨯⨯⨯=；31tan 4S πθθ=--+.（2）12355454tan tan (3tan 41)44a a W aS aS aS a a a a a a ππθθθθθθπ=++=-++--+=-++， 由20,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，知(0,)4πθ∈，所以函数的定义域为(0,)4π(3) 23(4)cos W a θ'=-， 由0W '=，得3cos 2θ=或3cos 2θ=-（舍去） 又(0,)4πθ∈，所以6πθ=当06πθ<<时， '0W <，函数在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当64ππθ<<时，'0W >，函数在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以当6πθ=时，W 取最小值.答：=6πθ时，总造价W 取最小值．【点睛】本题考查实际问题的优化问题，涉及函数的实际应用，同时考查了函数导数的应用，考查了学生的转化能力以及计算能力，属于难题.18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右准线为直线4x =，左顶点为A ，右焦点为F . 已知斜率为2的直线l 经过点F ，与椭圆E 相交于,B C 两点，且O 到直线l 的距离为255（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若过O 的直线:m y kx =与直线,AB AC 分别相交于,M N 两点，且=OM ON ，求k 的值.【★答案★】（1）22143x y +=（2）1【解析】 【分析】（1）根据准线方程和原点到直线的距离可求出,,a b c ，从而可得椭圆的标准方程.（2）设11(,)B x y ，22(,)C x y ，联立直线m 和直线AB 的方程可得M 的坐标，同理可得N 的坐标，根据=OM ON 可得,B C 的坐标关系，联立直线BC 和椭圆的方程，利用韦达定理化简前述关系可求斜率k 的值.【详解】解：（1）设椭圆E 的焦距为2c ， 则直线l 的方程为2()y x c =-，即220x y c --=.因为O 到直线l 的距离为255，故2220022521c cd ⨯--==+， 所以22555c =，则1c =. 因为椭圆E 的右准线的为直线4x =，则24a c =，所以24a =，2223b a c =-=，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）由(1)知l ：2(1)y x =-，设11(,)B x y ，22(,)C x y .由222(1)3412y x x y =-⎧⎨+=⎩得2193240x x -+=，则2121232419403219419x x x x ⎧⎪∆=-⨯⨯>⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩. 由(2,0)A -，11(,)B x y 可知11:(2)2y AB y x x =++， 由11,(2)2y kx y y x x =⎧⎪⎨=+⎪+⎩得1112(2)M y x k x y =+-，同理2222(2)N y x k x y =+-.因=OM ON ，所以2211M N k x k x +=+，由图可知0M N x x +=，所以1222112[(2)]2[(2)]0y k x y y k x y +-++-=，即122211(1)[(2)2(1)](1)[(2)2(1)]0x k x x x k x x -+--+-+--=， 所以121212122112124(1)(1)4[()1](1)(2)(1)(2)2()4x x x x x x k x x x x x x x x ---++==-++-+++-4324[1]4(43219)19191432832419241919-+-+===+-⨯⨯+-.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式和方程 等，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题. 19. 已知函数2()(R)x f x e ax a =-∈.（1）若曲线()f x 与直线:(2)(R)l y e x b b =-+∈在1x =处相切. ①求a b +的值；②求证：当0x ≥时，()(2)f x e x b ≥-+；（2）当0a =且(0,)x ∈+∞时，关于的x 不等式2()2ln 1x f x mx x ≤++有解，求实数m 的取值范围. 【★答案★】（1）①2a b +=②见解析（2）m 1≥【解析】 【分析】（1）①求出导函数()'f x ，由(1)2f e '=-可求得a ，再由(1)2f e b =-+可求得b ，从而得+a b ；②引入函数()()()2210xh x e x e x x =----≥，利用导数求函数()h x 的最小值（需二次求导确定），确定最小值是(1)0h =，从而证得不等式成立；（2）不等式分离参数得22ln 1x x e x m x --≥，原题等价于(0,)x ∈+∞时，22ln 1x x e x m x--≥有解.求出22ln 1x x e x x--的最小值即可得，为此先证明不等式1x e x ≥+，仍然构造新函数，利用导数研究新函数的单调性与最值得出结论．22ln x x xx e e +=应用刚证的不等式可得结论．【详解】解：（1）①因为()2xe xf x a =-，所以()2x f x e ax '=-.因为曲线()f x 与直线:l (2)y e x b =-+在1x =处相切， 所以()122f e a e '=-=-，所以1a =.所以()2x f x e x =-，所以()11f e =-.又切点(1,1)e -在直线l 上，所以12e e b -=-+， 所以1b =，所以2a b +=② 由①知1,1a b ==，可设()()()2210xh x e x e x x =----≥，则()()()()22,2x xg x h x e x e g x e ''==---=-，当ln 2x <时，()0g x '<，当ln 2x >时，()0g x '>， 所以()h x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 由()()030,10,0ln 21h e h ''=->=<<，所以()ln 20h '<， 所以存在()00,ln 2x ∈，使得()00h x '=， 所以当()()00,1,x x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()()010h h ==，所以()0h x ≥，即()()21f x e x ≥-+，当且仅当1x =时取等号， 所以当0x ≥时，()221xe x e x -≥-+，故当0x ≥时，()()2f x e x b ≥-+(3）先证1x e x ≥+. 构造函数()1xp x e x =--，则()1xp x e '=-.故当(0,)x ∈+∞时，()0p x '>，()p x 在(0,)+∞上递增，当(,0)x ∈-∞时，()0p x '<，()p x 在(,0)-∞上递减，所以()(0)0p x p ≥=，即1x e x ≥+又当0a =，且(0,)x ∈+∞时，2()2ln 1x f x mx x ≤++等价于22ln 1x x e x m x--≥故原题等价于(0,)x ∈+∞时，22ln 1x x e x m x--≥有解.因为22lnx 22ln 12ln 1ln 12ln 11x x x e x e x x x x x x x+----++--=≥=（当2ln 0x x +=时取等号）， 所以m 1≥.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式，研究不等式有解问题．利用导数解决不等式的恒成立问题的策略：1．首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.2．也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3．“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即()()f x g a ≥对于x D ∈恒成立，应求()f x 的最小值；若存在x D ∈，使得()()f x g a ≥成立，应求()f x 的最大值.应特别关注等号是否成立问题．20. 已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为n S ，且+12=n n n n S aS a +. （1）若3=3S ，求3a 的值；（2）若20211=2021a a ，求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若1=1a ，2=2a ，是否存在实数λ，使得2222n m a m a n a a λ≤--对任意正整数m n ，恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，说明理由.【★答案★】（1）33=2a （2）见解析（3）不存在满足条件的实数λ，见解析【解析】 【分析】（1）由题得1123=S a S a ，所以23=S a ，得33=23S a =，即得3a 的值；（2）利用累乘法得到112=n n a a a +--，所以数列{}21n a -是等差数列，首项为1a ，公差为2a ，求出()21121n a n a -=-，212n a na =，所以1=n a na ，再证明数列{}n a 是等差数列；（3）原题等价于2222n m n m λ≤--，不妨设m n >，即2222m n m n λλ≤--对任意正整数m n，（m n >）恒成立，即220n n λλ--≤对任意正整数n 恒成立，再证明当5n ≥且2+n λλλ≥+时，220n n λλ-->，即得解.【详解】（1）解：由+12=n n n n S a S a +，令1n =，得1123=S a S a ， 因为数列{}n a 的各项均为非零实数，所以2123=+=S a a a ， 所以31233=23S a a a a ++==， 所以33=2a .（2）证明：由+12=n nn n S a S a +得： 1123=S a S a ，2234=S a S a ，3345=S a S a ，……，111=n n n n S a S a --+，相乘得：1121=n n n S a a S a a +，因为数列{}n a 的各项均为非零实数，所以21=n n n a S a a +， 当2n ≥时：211=n n n a S a a --，所以22111=n n n n n n a S a S a a a a -+---， 即()()2111=n n n n n a S S a a a -+---， 即()211=n n n n a a a a a +--，因为0n a ≠，所以112=n n a a a +--，所以数列{}21n a -是等差数列，首项为1a ，公差为2a ， 所以2021121=+1010=2021a a a a ，所以21=2a a ，所以()()21121=+121n a a n a n a --=-，()2221=+12n a a n a na -=，所以1=n a na ， 所以11=n n a a a +-，所以数列{}n a 是等差数列.(3) 解：当1=1a ，2=2a 时，由(2)知=n a n ，所以2222n m a m a n a a λ≤--，即2222n m n m λ≤--，不妨设m n >，则22m n >，22m n >，所以2222m n m n λλ≤--， 即2222m n m n λλ≤--对任意正整数m n ，（m n >）恒成立，则()2+122+12n n n n λλ-≤-，即220n n λλ--≤对任意正整数n 恒成立， 设22n n C n =-，1n =时，1210C =->；2n =时，2440C =-=；3n =时，38910C =-=-<；4n =时，216160C =-=；5n =时，532250C =->；当5n ≥时，012212(1)22(1)202nn n n n n n n n n n n C C C C C C n n n ---=++++++=++=++>， 所以5n ≥时，20,2n n C n >∴>.所以5n ≥时，2222n n n n λλλλ-->--，令2220,n n n λλλλλ-->∴>++或2n λλλ<-+（舍去）. 所以当5n ≥且2+n λλλ>+时，220n n λλ-->， 所以不存在满足条件的实数λ.【点睛】本题主要考查数列性质的证明，考查数列的和与通项关系的应用，考查数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.扬州市2020届高三考前调研测试数学Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21. 已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1A -的特征值． 【★答案★】11λ=-，212λ=． 【解析】 【分析】求出矩阵A 的逆矩阵1A -，列出矩阵1A -的特征多项式()f λ，然后解方程()0f λ=，即可得出矩阵1A -的特征值.【详解】设矩阵A 的逆矩阵为1a b Ac d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即102201a b c d --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 故1a =-，0b =，0c ，12d =，所以矩阵A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦.矩阵1A -的特征多项式为()()1111202f λλλλλ+⎛⎫==+- ⎪-⎝⎭.令()0f λ=，解得1A -的特征值为11λ=-，212λ=． 【点睛】本题考查矩阵的逆矩阵的求解，同时也考查了矩阵的特征值的计算，考查计算能力，属于基础题.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是：2cos ,2sin x y m αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．若直线l 与曲线C 相交于P Q 、两点，且23PQ =，求实数m 的值.【★答案★】0m =或433m =-． 【解析】 【分析】分别求出曲线C 和直线l 的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式和勾股定理求出PQ ，解方程即可.【详解】曲线C 的直角坐标方程为()224x y m +-=，表示圆心为()0,m ，半径为2的圆由cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得13cos sin 122ρθρθ-=， 所以直线l 的直角坐标方程为320x y --=． 设圆心到直线l 的距离为d ，则2|032||32|213m m d --+==+， 所以()232244m PQ +=-，因为23PQ =所以()23224234m +-=，解得0m =或433m =-． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，将极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程再求解是常规方法.23. 如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD 都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BFBAλ=.（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值； （2）当CF 与平面ACD 所成角的正弦值为1510时，求λ的值. 【★答案★】（1）52856；（2）12λ=.【解析】 【分析】连接CE ，以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，写出点的坐标; (1)当13λ=时，确定点F 的坐标,代入向量的夹角公式中计算得出★答案★; (2) 求出平面ACD 的一个法向量,代入线面角公式中计算可得★答案★. 【详解】连接CE ，以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴， 建立如图空间直角坐标系，则(0,0,3),(1,0,0),(0,3,0),(1,0,0)A B C D -， 因为F 为线段AB 上一动点，且BFBAλ=， 则(1,0,3)(,0,3)BF BA λλλλ==-=-， 所以(1,0,3)F λλ-．（1）当13λ=时，23,0,33F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，53,0,,(1,3,0)33DF CB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()222255283cos(,56531333DF CB ==⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()1,3,3CF λλ=--， 设平面ACD 的一个法向量为n =(),,x y z由n DA ⊥,n DC ⊥得(,,)(1,0,3)0(,,)(1,3,0)0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，化简得3030x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取n (3,1,1)=--设CF 与平面ACD 所成角为θ，则()()()2223115sin cos ,101335CF n λθλλ-===-++⨯. 解得12λ=或2λ=（舍去），所以12λ=． 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.24. 一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻.如果10只猫都钻出了笼子，以X 表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则3X =． （1）求三只黑猫挨在一起出笼的概率； （2）求X 的分布列和数学期望. 【★答案★】（1）115；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法计算三只黑猫挨在一起出笼的情况种数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有1、2、3、4，利用排列组合思想求出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，利用数学期望公式可求得随机变量X 的数学期望.【详解】（1）设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件A ，将三只黑猫捆绑在一起，与其它7只白猫形成8个元素，所以，()38381010115A A P A A ==， 因此，三只黑猫挨在一起出笼的概率为115； （2）由题意可知，随机变量X 的取值为1、2、3、4，其中1X =时，7只白猫相邻，则()747410101130A A P X A ===， ()()2111321732263367101063210A C C CA A C A P X A ++===， ()()1122273263671010132A C A A A A P X A +===； ()37671010146A A P X A ===，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X 1 2 3 4P 1303101216因此，()131114 12343010265E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也考查了随机变量分布列与数学期望的计算，涉及捆绑法与插空法的应用，考查计算能力，属于中等题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2020年江苏省高考数学最后一卷（含答案解析）
2020年江苏省高考学最后一卷一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={0』，2},B=[x\-l<x<1).C\B=2.若复数z=i(2—z),贝ljz=.3.读如下两个伪代码，完成下列题目.:L1:Readj廿・2不::f+6；北・3上:VPrint j（1）<11）(1) 1输出的结果为・(2) 若I、II输出的结果相同，则伪代码U输入x的值为.4.己知样本2000个，其频率分布直方图如下，那么在[2,8)之间的有个.5.用红、黄、蓝三种不同的颜色给A.B两点涂色,每个点只涂一种颜色，则点A,点3颜色不同的概率为____________.6.函=Asin(a)x+<p)(A>0,co>0)在R上的部分图象如图所示，则s的值为.7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线二一y2=i的离心率为2.则实数，“的值是_________8.己知等差数列伊异的前〃项和为S”，若a1+。
2。
=1・则52。
=9.若一个圆锥的母线与底面所成的角为:,体积为1257T.则此圆锥的高为10.如图，在圆C中，CM心，AC为圆的半径，A8是弦，若|而1=6,则衣•AB=・11.若s ina=则s in(a—：) +-^-cosa=12.在平面直角坐标系.9)，中.己知圆Af：x2+y2-4x-8y+12=0,圆N与圆M外切于点(0,m),且过点(0,—2),则圆N的标准方程为.13.巳知函数/(幻=仁若函数y=/(/(r))-1有3个零点，则实数A的取值范围为.14.己知△砧C中，4,匕8.“所对的边分别为"，b.c,且满足2/+况=6.贝IJA4BC而积的最大值为______.二、解答题(本大题共11小题，共142.0分)15.如图，在三棱锚％BC-Ai^iCi中，AB=AC.zliClBCi,.。
，E分别是AB】，BC的中点.求证:(1)DE〃平面ACC^i；(2)AE1平面B C(\B l16.如图，在△ABC中，ZB=30°.AC=2>[S^。
解析2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学
机密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．柱体的体积V Sh一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},则A∩B=.【命题意图】本题考查集合中的简单的交集计算.【解析】由集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},所以A∩B={0,2}.答案:{0,2}2.已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2−i)的实部是.【命题意图】本题主要考查复数的四则运算.【解析】z=(1+i)(2−i)=3+i,则实部为3.答案:33.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是.【命题意图】本题主要考查数据特征中的平均数的计算.=4可知a=2.【解析】由4+2a+(3-a)+5+65答案:24.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是.【命题意图】本题主要考查古典概型.【解析】总事件数为6×6=36,满足条件的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,则点数和为5的概率为436=19.答案:195.如图是一个算法流程图,若输出y 的值为-2,则输入x 的值为 .【命题意图】本题主要考查流程图选择问题,注意选择条件. 【解析】由题可知y ={2x ,x>1,x+1,x≤1,当y =-2时,得x +1=-2,则x =-3. 答案:-36.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2 -y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ,则该双曲线的离心率是 .【命题意图】本题主要考查双曲线的性质,渐近线问题. 【解析】由x 2a2−y 25=0得渐近线方程为y =±√5ax , 又a >0,则a =2,由c 2=a 2+5=9,c =3,得离心率e =c a =32. 答案:32【光速解题】e =√1+(√52)2=32.答案:327.已知y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 23,则f (-8)的值是 . 【命题意图】本题主要考查函数性质,利用奇偶性求函数值. 【解析】y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 23, 则f (-8)=-f (8)=-823=-4.答案:-48.已知sin 2(π4+α)=23,则sin 2α的值是 .【命题意图】本题主要考查三角函数恒等变换,利用整体思想求值. 【解析】方法一:因为sin 2(π4+α)=23, 由sin 2(π4+α)=12[1−cos (π2+2α)] =12(1+sin 2α)=23,解得sin 2α=13. 方法二:sin 2α=-cos (π2+2α) =2sin 2(π4+α)-1=13.答案:139.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm 3.【命题意图】本题主要考查正棱柱、圆柱的体积计算,要求学生要熟记公式.【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为V ,正六棱柱的体积为V 1,圆柱的体积为V 2,则V 1=6×12×2×2×sin 60°×2=12√3(cm 3),V 2=π×(0.5)2×2=π2(cm 3), 所以V =V 1-V 2=12√3-π2(cm 3).答案:12√3-π210.将函数y =3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象与y 轴最近的对称轴方程是 .【命题意图】本题主要考查三角函数的图象的平移变换和性质.重点考查直观想象的数学核心素养. 【解析】设f (x )=y =3sin (2x +π4),将函数f (x )=3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度得g (x )=f (x -π6)= 3sin (2x -π3+π4)=3sin (2x -π12),则y =g (x )的图象的对称轴为2x - π12=π2+k π,k ∈Z,即x =7π24+kπ2,k ∈Z,k =0时,x =7π24,k =-1时,x =-5π24,所以平移后的图象与y 轴最近的对称轴的方程是x =-5π24. 答案:x =-5π24【误区警示】解决本题时一定要看清要求的对称轴方程是平移后的图象与y 轴最近的对称轴方程.求出平移后的图象的对称轴方程为x =7π24+kπ2(k ∈Z),不要误认为k =0时,x =7π24就是本题的答案,还应验证k =-1时,x =-5π24,两者进行比较,才能得出答案.11.设{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比为q 的等比数列,已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n +2n -1(n ∈N *),则d +q 的值是 .【命题意图】本题主要考查根据前n 项和求数列的通项公式,多写一项,进行作差运算,根据结构得到数列通项.重点考查学生数学运算的核心素养.【解析】设数列{a n },{b n }的首项分别为a 1,b 1,前n 项和分别为A n ,B n ,则A n =d2n 2+(a 1-d2)n ,B n =b1q -1q n +b11−q ,结合S n =n 2-n +2n -1,得{d2=1,q =2,解得{d =2,q =2,所以d +q =4.答案:412.已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R),则x 2+y 2的最小值是 .【命题意图】本题主要考查不等式,利用消元法结合基本不等式求最值. 【解析】因为5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R),所以y ≠0, 所以x 2=1−y 45y 2,则x 2+y 2=15y 2+45y 2≥2√425=45, 当且仅当15y 2=45y 2时,即y 2=12, x 2=310时,x 2+y 2的最小值是45.答案:45【光速解题】4=(5x 2+y 2)·4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2,故x 2+y 2≥45,当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2,即x 2=310,y 2=12时,取等号.所以(x 2+y 2)min =45. 答案:4513.在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若=m+(32-m)(m 为常数),则CD的长度是.【命题意图】本题主要考查平面向量共线的应用.重点考查直观想象及数学运算的核心素养.【解析】作AE⊥BC,交BC于点E.设=λ=λm+λ(32-m),因为C,D,B三点共线,所以λm+λ(32-m)=1,解得λ=23,所以AD=3=AC,所以CD=2·AC·cos C=185.答案:18514.在平面直角坐标系xOy中,已知P(√32,0),A,B是圆C:x2+(y-12)2=36上的两个动点,满足P A=PB,则△P AB面积的最大值是.【命题意图】本题主要考查直线与圆相交问题,通过设圆心角表示面积,利用导数求最值.突出考查数学运算的核心素养.【解析】方法一:如图,作PC所在直径EF,交AB于点D,因为P A=PB,CA=CB=R=6,所以PC⊥AB.要使面积S△P AB最大,则P,D位于C的两侧,并设CD=x,计算可知PC=1,故PD=1+x,AB=2BD=2√36−x2,故S△P AB=12AB·PD=(1+x)√36−x2,设∠BCD=θ,则x=6cos θ,S△P AB=(1+x)√36−x2=(1+6cos θ)·6sin θ=6sin θ+18sin 2θ,0<θ<π2, 记函数f (θ)=6sin θ+18sin 2θ,则f'(θ)=6cos θ+36cos 2θ=6(12cos 2θ+cos θ-6), 令f'(θ)=6(12cos 2θ+cos θ-6)=0, 解得cos θ=23(cos θ=-34<0舍去),显然,当0<cos θ<23时,f'(θ)<0,f (θ)单调递减;当23<cos θ<1时,f'(θ)>0,f (θ)单调递增; 结合cos θ在(0,π2)上单调递减,故cos θ=23时,f (θ)最大,此时sin θ=√1−cos 2θ=√53, 故f (θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5,即△P AB 面积的最大值是10√5.方法二:由已知PC =1,设12∠ACB =α(α∈(0,π2)),则△P AB 的面积S =12·(6cosα+1)·12sin α=6sin α(6cos α+1), 令S'=6(12cos 2α+cos α-6) =6(4cos α+3)(3cos α-2)=0,解得cos α0=23(负值舍去),所以S 在(0,α0)上单调递增,在(α0,π2)上单调递减,所以S max =6×√53×5=10√5. 答案:10√5二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,B 1C ⊥平面ABC ,E ,F 分别是AC ,B 1C 的中点. (1)求证:EF ∥平面AB 1C 1; (2)求证:平面AB 1C ⊥平面ABB 1.【命题意图】本题主要考查立体几何线面平行、面面垂直的证明,考查学生空间想象能力和推理能力.【证明】(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EF∥AB1,因为EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以B1C⊥AB,又因为AB⊥AC,AC∩B1C=C,AC⊂平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,所以AB⊥平面AB1C,因为AB⊂平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.16.（本小题满分14分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=√2,B=45°.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-45,求tan∠DAC的值.【命题意图】本题主要考查正余弦定理及两角和差公式的应用,考查学生解题的严谨性.【解析】(1)由余弦定理,得cos B=cos 45°=a 2+c2-b22ac=26√2=√22,因此b2=5,即b=√5,由正弦定理csinC =bsinB,得√2sinC=√5√22,因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=-45,所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35,因为∠ADC∈(π2,π),所以C∈(0,π2),所以cos C=√1−sin2C=2√55,所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)=sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525,因为∠DAC ∈(0,π2),所以cos ∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525, 故tan ∠DAC =sin∠DACcos∠DAC =211. 17.（本小题满分14分）某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O 在水平线MN 上,桥AB 与MN 平行,OO'为铅垂线(O'在AB 上),经测量,左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO'的距离a (米)之间满足关系式h 1=140a 2;右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO'的距离b (米)之间满足关系式h 2=-1800b 3+6b.已知点B 到OO'的距离为40米.(1)求桥AB 的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD 和EF .且CE 为80米,其中C ,E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元),桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0),问O'E 为多少米时,桥墩CD 与EF 的总造价最低？【命题意图】本题主要考查实际生活问题中的模型建立及导数的实际应用.重点考查数学建模的核心素养. 【解析】(1)过A ,B 分别作MN 的垂线,垂足为A',B', 则AA'=BB'=-1800×403+6×40=160(米).令140a 2=160,得a =80,所以AO'=80,AB =AO'+BO'=80+40=120(米). (2)设O'E =x ,则CO'=80-x ,由{0<x <400<80−x <80,得0<x <40.设总造价为y ,则y =3k2[160−140(80-x )2]+k [160−(-1800x 3+6x)] =k800(x 3-30x 2+160×800), y'=k800(3x 2-60x )=3k800x (x -20),因为k >0,所以令y'=0,得x =0或x =20, 所以当0<x <20时,y'<0,y 单调递减;当20<x <40时,y'>0,y 单调递增.所以,当x =20时,y 取最小值,即当O'E 为20米时,造价最低. 18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中,若椭圆E :x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 在椭圆E 上且在第一象限内,AF 2⊥F 1F 2,直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B. (1)求△AF 1F 2的周长;(2)在x 轴上任取一点P ,直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ,求·的最小值;(3)设点M 在椭圆E 上,记△OAB 与△MAB 的面积分别是S 1,S 2,若S 2=3S 1,求M 的坐标.【命题意图】本题考查了(1)利用椭圆的定义求焦点三角形的周长;(2)求平面向量数量积最值问题;(3)面积比值转化为高之比,从而转化为平行线间的距离求出直线方程.考查数学运算、直观想象的核心素养. 【解析】(1)△AF 1F 2的周长=2a +2c =6.(2)由椭圆方程得A (1,32),设点P (t ,0),则直线AP 方程为y =321−t (x -t ),令x =a 2c =4得y Q =6−32t 1−t =12−3t 2(1−t ), 即Q (4,12−3t 2−2t),=(t -4,12−3t 2t -2),·=t 2-4t =(t -2)2-4≥-4, 即·的最小值为-4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1,M 到直线AB 的距离为d 2, 若S 2=3S 1,则12×|AB |×d 2=12×|AB |×d 1×3,即d 2=3d 1, 由题意可得直线AB 的方程为y =34(x +1), 即3x -4y +3=0,所以d 1=35,d 2=95.由题意得,M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点, 设平行于AB 的直线l 为3x -4y +m =0,与直线AB 的距离为95, 所以√9+16=95,即m =-6或12.当m =-6时,直线l 为3x -4y -6=0, 即y =34(x -2),联立{y =34(x -2)x 24+y 23=1,可得(x -2)(7x +2)=0,即{x M =2y M =0,或{x M =−27y M =−127, 所以M (2,0)或(-27,-127).当m =12时,直线l 为3x -4y +12=0, 即y =34(x +4),联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0,Δ<0,所以无解.综上所述,M 点坐标为(2,0)或(-27,-127).19.（本小题满分16分）已知关于x 的函数y =f (x ),y =g (x )与h (x )=kx +b (k ,b ∈R)在区间D 上恒有f (x )≥h (x )≥g (x ). (1)若f (x )=x 2+2x ,g (x )=-x 2+2x ,D =(-∞,+∞).求h (x )的表达式; (2)若f (x )=x 2-x +1,g (x )=k ln x ,h (x )=kx -k ,D =(0,+∞).求k 的取值范围;(3)若f (x )=x 4-2x 2,g (x )=4x 2-8,h (x )=4(t 3-t )x -3t 4+2t 2(0<|t |≤√2),D =[m ,n ]⊆[-√2,√2],求证:n -m ≤√7.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.【解析】(1)由f (x )=g (x )得x =0.又f'(x )=2x +2,g'(x )=-2x +2,所以f'(0)=g'(0)=2,所以,函数h (x )的图象为过原点,斜率为2的直线,所以h (x )=2x.经检验:h (x )=2x 符合题意. (2)h (x )-g (x )=k (x -1-ln x ), 设φ(x )=x -1-ln x ,则φ'(x )=1-1x =x -1x , φ(x )≥φ(1)=0,所以当h (x )-g (x )≥0时,k ≥0.设m (x )=f (x )-h (x )=x 2-x +1-(kx -k )=x 2-(k +1)x +(1+k )≥0, 当x =k+12≤0时,m (x )在(0,+∞)上递增,所以m(x)>m(0)=1+k≥0,所以k=-1.>0时,Δ≤0,当x=k+12即(k+1)2-4(k+1)≤0,(k+1)(k-3)≤0,-1≤k≤3.综上,k∈[0,3].(3)①当1≤t≤√2时,≤0.(*)由g(x)≤h(x),得4x2-8≤4(t3-t)x-3t4+2t2,整理得x2-(t3-t)x+3t4-2t2-84令Δ=(t3-t)2-(3t4-2t2-8),则Δ=t6-5t4+3t2+8.记φ(t)=t6-5t4+3t2+8(1≤t≤√2),则φ'(t)=6t5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)<0恒成立,所以φ(t)在[1,√2]上是减函数,则φ(√2)≤φ(t)≤φ(1),即2≤φ(t)≤7所以不等式(*)有解,设解集为{x|x1≤x≤x2},因此n-m≤x2-x1=√Δ≤√7.②当0<t<1时,f(-1)-h(-1)=3t4+4t3-2t2-4t-1.设v(t)=3t4+4t3-2t2-4t-1,v'(t)=12t3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-1),.令v'(t)=0,得t=√33)时,v'(t)<0,v(t)是减函数;当t∈(0,√33,1)时,v'(t)>0,v(t)是增函数;当t∈(√33v(0)=-1,v(1)=0,则当0<t<1时,v(t)<0,(或证:v(t)=(t+1)2(3t+1)(t-1)<0)则f(-1)-h(-1)<0,因此-1∉(m,n).因为[m,n]⊆[-√2,√2],所以n-m≤√2+1<√7.③当-√2≤t <0时,因为f (x ),g (x )均为偶函数, 因此n -m ≤√7也成立. 综上所述,n -m ≤√7. 20.（本小题满分16分）已知数列{a n }(n ∈N *)的首项a 1=1,前n 项和为S n ,设λ与k 是常数,若对一切正整数n ,均有S n+11k-S n 1k=λa n+11k成立,则称此为“λ-k ”数列.(1)若等差数列{a n }是“λ-1”数列,求λ的值;(2)若数列{a n }是“√33-2”数列,且a n >0,求数列{a n }的通项公式;(3)对于给定的λ,是否存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列,且a n ≥0?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.【命题意图】本题以数列为载体,综合考查等差数列的基本性质,及解决数列综合问题的能力,综合考查代数推理、转化化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力. 【解析】(1)k =1时,a n +1=S n +1-S n =λa n +1,所以λ=1. (2)√S n+1-√S n =√33√a n+1,a n +1=S n +1-S n =√33√a n+1(√S n+1+√S n ), 因此√S n+1+√S n =√3√a n+1.√S n+1=23√3a n+1,S n +1=43a n +1=43(S n +1-S n ). 从而S n +1=4S n .又S 1=a 1=1,所以S n =4n -1,a n =S n -S n -1=3·4n -2,n ≥2. 综上,a n ={1,n =13·4n -2,n ≥2.(3)设各项非负的数列{a n }(n ∈N *)为“λ-3”数列, 则S n+113-S n 13=λa n+113,即√S n+13-√S n 3=λ√S n+1-S n 3.因为a n ≥0,且a 1=1,所以S n +1≥S n >0, 则√S n+1S n3-1=λ√S n+1S n-13.令√S n+1S n3=c n ,则c n -1=λ√c n 3-13(c n ≥1),即(c n -1)3=λ3(c n 3-1)(c n ≥1).(*)①若λ≤0或λ=1,则(*)只有一解为c n =1,即符合条件的数列{a n }只有一个.(此数列为1,0,0,0,…) ②若λ>1,则(*)化为(c n -1)(c n2+λ3+2λ3-1c n +1)=0,因为c n ≥1,所以c n 2+λ3+2λ3-1c n +1>0,则(*)只有一解为c n =1,即符合条件的数列{a n }只有一个.(此数列为1,0,0,0,…)③若0<λ<1,则c n 2+λ3+2λ3-1c n +1=0的两根分别在(0,1)与(1,+∞)内,则方程(*)有两个大于或等于1的解:其中一个为1,另一个大于1(记此解为t ). 所以S n +1=S n 或S n +1=t 3S n .由于数列{S n }从任何一项求其后一项均有两种不同结果, 所以这样的数列{S n }有无数多个,则对应的{a n }有无数多个.综上所述,能存在三个各项非负的数列{a n }为“λ-3”数列,λ的取值范围是0<λ<1. 21．【选做题】A .平面上点A (2,-1)在矩阵M =[a 1-1b]对应的变换作用下得到点B (3,-4). (1)求实数a ,b 的值; (2)求矩阵M 的逆矩阵M -1.【命题意图】本题主要考查矩阵的基本运算及对应变换. 【解析】(1)[a1-1b ][2-1]=[2a -1-2-b] =[3-4], 所以{2a -1=3,-2-b =−4.解得{a =2,b =2.(2)由(1)知M =[21-12]. |M |=2·2+1·1=5,所以M -1=[25-151525].B.在极坐标系中,已知点A (ρ1,π3)在直线l :ρcos θ=2上,点B (ρ2,π6)在圆C :ρ=4sin θ上(其中ρ≥0,0≤θ<2π). (1)求ρ1,ρ2的值;(2)求直线l 与圆C 的公共点的极坐标.【命题意图】本题主要考查极坐标公式及极坐标的意义、极坐标的求法.【解析】(1)ρ1=2cosπ3=4,ρ2=4sin π6=2.(2)联立得4sin θcos θ=2得sin 2θ=1, 因为ρ≥0,0≤θ<2π, 所以θ=π4,ρ=2√2,所以公共点的极坐标为(2√2,π4). C.设x ∈R,解不等式2|x +1|+|x |<4.【命题意图】本题主要考查含有绝对值的不等式的解法. 【解析】当x >0时,2x +2+x <4,解得0<x <23;当-1≤x ≤0时,2x +2-x <4,解得-1≤x ≤0;当x <-1时,-2x -2-x <4,解得-2<x <-1. 综上,解集为(-2,23).22.在三棱锥A -BCD 中,已知CB =CD =√5,BD =2,O 为BD 的中点,AO ⊥平面BCD ,AO =2,E 为AC 的中点. (1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值;(2)若点F 在BC 上,满足BF =14BC ,设二面角F -DE -C 的大小为θ,求sin θ的值.【命题意图】本题主要考查利用空间向量法求异面直线所成的角及二面角.重点考查如何建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,再利用公式求角.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,2),B (1,0,0),C (0,2,0),D (-1,0,0),E (0,1,1).(1)=(1,0,−2),=(1,1,1),则cos<,>==√1515.故直线AB 与DE 所成角的余弦值为√1515. (2)由已知得F (34,12,0),=(74,12,0),=(1,1,1),设平面DEF 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则{x 1+y 1+z 1=0,74x 1+12y 1=0, 令x 1=2,得{y 1=−7,z 1=5,所以n 1=(2,-7,5).设平面DEC 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2), 又=(1,2,0),则{x 2+y 2+z 2=0,x 2+2y 2=0, 令x 2=2,得{y 2=−1,z 2=−1,所以n 2=(2,-1,-1), 所以|cos θ|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=√6×√78=√1313, 所以sin θ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913. 23.甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n 次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为X n ,恰有2个黑球的概率为p n ,恰有1个黑球的概率为q n .(1)求p 1,q 1和p 2,q 2;(2)求2p n +q n 与2p n -1+q n -1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示).【命题意图】本题主要考查概率的求法及数学期望的求法.重点考查学生利用所学知识解决实际问题的能力.【解析】(1)p 1=13×1=13,q 1=23×1=23.p 2=13p 1+23×13q 1=727, q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627. (2)当n ≥2时,p n =13p n -1+23×13q n -1=13p n -1+29q n -1,q n =23p n -1+(23×23+13×13)q n -1+23×(1-p n -1-q n -1)=-19q n -1+23, 所以2p n +q n =13(2p n -1+q n -1)+23, 则2p n +q n -1=13(2p n -1+q n -1-1), 又2p 1+q 1-1=13,所以2p n +q n =1+(13)n. X n 的概率分布如下:X n 0 1 2 P1-p n -q nq np n则E (X n )=q n +2p n =1+(13)n.。
2020年江苏省高考数学最后一卷 (含解析)
2020年江苏省高考数学最后一卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|−2<x<3}，B={x|x=2n,n∈Z}，则A∩B=______．2.若复数z满足i·z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．3.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为______．4.如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6,18)内的频数为____．5.一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球．若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为______．6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示．若AB=5，则ω的值为________．7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2−y2=1的离心率为2，则实数m的值是_________．m+18.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，S4=12，则S7=______ ．9.如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)所示水平放置时，液面高度为20cm；当这个几何体如图(3)所示水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为________cm．10.已知a⃗=(x,1)(x>0)，b⃗ =(−1,2)，|a⃗+b⃗ |=√10，则a⃗⋅b⃗ =_____．11.已知sin(α+π4)=7√210，α∈(π4,π2)，则cosα=______ ．12.在平面直角坐标系xOy中，过点A(1,3)，B(4,6)，且圆心在直线x−2y−1=0上的圆的标准方程为________．13.已知函数f(x)=|x2−1|x−1−kx+2，恰有两个零点，则k的取值范围是______ ．14.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为__________．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.如图，三棱锥D−ABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC=DC，E，F分别为BD，CD的中点，求证：(1)EF//平面ABC;(2)BD⊥平面ACE．16.如图，在平面四边形ABCD中，0<∠DAB<π2，AD=2，AB=3，△ABD的面积为3√32，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求BC的长．17.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总．面．积．为S(m 2).(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．18. 在平面直角坐标系xOy 中，过点A(−2,−1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2b 2．(1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R.过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ ⋅AR =3OP 2，求直线l 的方程．19.已知函数f(x)=ae x(a≠0)，g(x)=12x2．(1)当a=−2时，求曲线f(x)与g(x)的公切线方程；(2)若y=f(x)−g(x)有两个极值点x1，x2，且x2≥3x1，求实数a的取值范围．20.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n−1(n∈N∗).(Ⅰ)求a1，a2，a3的值；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=2，b n+1=a n+b n，求数列{b n}的通项公式．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4t,y =4t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ．(1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ=α(0<α<π2)与C 1交于O ，P 两点，与C 2交于O ，Q 两点，且Q 为OP 的中点，求α．23. 设实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =4，求证：a 2+b 2+c 2≥87．24. 如图，在棱长为1的正方体AC 1中，E 、F 分别为A 1D 1和A 1B 1的中点．(1)求异面直线AF 和BE 所成的角的余弦值；(2)求平面ACC 1与平面BFC 1所成的锐二面角．25.已知集合A={1,2,3,4}和集合B={1,2,3,⋯,n}，其中n≥5，n∈N∗.从集合A中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合B中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T表示．记X=T−S．(1)当n=5时，求随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；(2)求P(X=n−3)．-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,2}解析：解：∵集合A={x|−2<x<3}，B={x|x=2n,n∈Z}，∴A∩B={0,2}．故答案为：{0,2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：2解析：本题考查了复数的四则运算，根据除法运算算出z，进而可以求出z的实部．=2−i，所以复数z的实部为2．解：因为复数z=1+2ii3.答案：17解析：本题考查的知识点是算法语句的循环结构，是基础题．模拟程序运行过程，条件满足时执行循环，条件不满足时跳出循环，即可得到答案．解：模拟程序运行过程：s=3进入循环：i=2，S=3+2=5，满足条件，执行循环：i=3，S=5+3=8，满足条件，执行循环：i=4，S=8+4=12，满足条件，执行循环：i=5，S=12+5=17，i=6不满足条件i≤5，跳出循环，输出S=17，故答案为17．4.答案：80解析：本题考查频率分布直方图．属于基础题．由频率分布直方图可得样本数据落在[6,18)内的频率为0.08×4+0.09×4+0.03×4=0.8，又因为样本容量为100，则频数为100×0.8可得结果，解：由频率分布直方图可得样本数据落在[6,18)内的频率为0.08×4+0.09×4+0.03×4=0.8，又因为样本容量为100，则频数为100×0.8=80．故答案为805.答案：415解析：解：一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球，从中1次随机摸出2只球，基本事件总数n=C62=15，2只球颜色相同包含的基本事件个数m=C32+C22=4，∴2只球颜色相同的概率为p=mn =415．故答案为：415．基本事件总数n=C62=15，2只球颜色相同包含的基本事件个数m=C32+C22=4，由此能求出2只球颜色相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：π3解析：本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题.设A(x1,2)，B(x2,−2)，由函数图象可得(x2−x1)2+42=52，解得：x2−x1=3，利用T=2×3=2πω，即可解得ω的值．解：∵函数为f(x)=2sin(ωx+φ)，图象中AB两点距离为5，设A(x1,2)，B(x2,−2)，。
2020年江苏省高考数学考前最后辅导(一)
2020年江苏省高考数学考前最后辅导（一）高考考什么呢？简单地说就是四个字，三基四能。
所谓的三基是基础知识、基本技能、基本思想方法。
五种能力就是空间想象能力、抽象概括能力、推理证明能力、运算求解能力、数据处理能力考试就是考这样三基五能。
其中基础知识、基本技能是重点，推理证明能力、运算求解能力是关键。
第一，应该坚持由易到难的做题顺序。
高考试题设置的时候是14道填空题、6道大题，填空题（用时38—40分钟左右）：1—6题防止犯低级错误，平均用时在2.5分钟左右。
7—12题防止犯运算错误，平均用时在3分钟左右。
13—14防止犯耗时错误，平均用时在4分钟左右。
解答题（用时在75分钟左右）：15—16题防止犯运算和表述错误，平均用时10分钟左右。
17—18题防止犯审题和建模错误，平均用时在14分钟左。
19—20题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误，平均用时在13分钟左右。
第二，再强调一点审题是关键。
把题给看清楚了再动笔答题，看清楚题以后问什么、已知什么、让我干什么，把这些问题搞清楚了，自己制订了一个完整的解题策略，在开始写的时候，这个时候是很快就可以完成的。
第三，有的同学做到第16题、第17题的时候就想不起来了，卡住了，属于非智力因素导致想不起来，这时候怎么办？虽然是简单题我不会做怎么办？建议是先跳过去，不是这道题不会做吗？后面还有很多的简单题呢，我们把后面的题做一做，不要在考场上愣神，先跳过去做其他的题，等稳定下来以后再回过头来看会顿悟，豁然开朗。
另外，因为填空题看结果，不看过程，只要是能把正确的结论找到就行。
常用的方法学生比较习惯的是直接法，特值（特质）法，数形结合法。
做大题的时候要特别注意我会做但拿不满分，这是什么原因造成的呢？就是解题步骤不够规范。
规范答题可以减少失分，什么是规范答题简单地说就是从上一步的原因到下一步的结论，这是一个必然的过程，让谁写、谁看都是这样的。
因为什么所以什么是一个必然的过程，这是规范答题。