2021年广东省新高考数学一轮复习：第十二讲《不等式选讲》
2021年广东省新高考数学一轮复习
第十二讲《不等式选讲》
第一节绝对值不等式
知识点不等式的性质和绝对值不等式
(1)解绝对值不等式的基本思想
解绝对值不等式的基本思想是去绝对值符号，常采用的方法是讨论符号或平方，例如：
①若a＞0，则|x|＜a⇔－a＜x＜a⇔x2＜a2；
②|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)；
③|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．
(2)注意利用绝对值三角不等式证明含有绝对值的问题
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，注意等号成立的条件．
[拓展]
推论1：若|a＋b|＝|a|＋|b|⇔ab≥0；
推论2：若|a＋b|＝||a|－|b||⇔ab≤0；
推论3：若|a－b|＝|a|＋|b|⇔ab≤0；
推论4：若|a－b|＝||a|－|b||⇔ab≥0.
1．(知识点)不等式|x－1|＜3的解集为________．
答案：(－2,4)
2．(知识点)|x＋3|－|x－1|≥0的解集为________．
答案：[－1，＋∞)
3．(知识点)|x＋a|≤2的解集为[－3,1]，则a＝________.
答案：1
4．(知识点)函数y＝|x＋3|－|x－1|的最大值为________．
答案：4
考点一绝对值不等式的解法
[例1](2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，
2，x ≥1.
故不等式f (x )＞1的解集为
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立．
若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；
若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为0＜x ＜2a ，所以2a
≥1，故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．
形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型
不等式的两种解法
1．零点分区法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
2．几何法：利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.
[提醒] 易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．
1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；
(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝1时，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，
－2x ＋6，x ＞2.
解得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．
(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.
而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，当且仅当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
考点二 绝对值不等式性质及应用
[例2] (2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.
(1)画出y ＝f (x )的图象；
(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．
解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.
y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.
绝对值不等式性质的应用
利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R)和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以(1)求最值．
(2)证明不等式．
2．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14
， 求证：|x ＋5y |≤1.。
高考数学一轮复习 12.3不等式选讲课件
x 1,
解析 (1)原不等式等价于 (x 1) (x 2) 5
或2(x或x1)1,(x 2) 5
解得x≥2或x≤-3.
x 2, (x 1) (x 2) 5,
故原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.
(2)原不等式可转化为-1≤|x-2|-1≤1,故0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4,故所求不 等式的解集为[0,4].
5.排序不等式
设0≤a1≤a2≤…≤an,0≤b1≤b2≤…≤bn,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排
列, 则有:a1b1+a2b2+…+anbn≥a1c1+a2c2+…+ancn≥a1bn+a2bn-1+…+anb1,即顺序和 ≥乱序和≥逆序和. 6.绝对值三角不等式 定理1:若a、b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当④ ab≥0 时,等号成立. 定理2:设a、b、c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 等号成立⇔⑤ (a-b)(b-c)≥0 . 7.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法: a.c>0,则|ax+b|≤c可化为-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c可化为ax+b≥c或ax+b≤-
3.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+ 4 (a≠0)对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范
a
围是
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案 (-∞,0)∪{2}
解析 当a<0时,满足题意;当a>0时,∵|x+1|+|x-3|的最小值为4,∴a+ a4 ≤4.
高考数学一轮复习课件1--不等式选讲
1 －x－5 x＜－2， 1 解 (1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝ 3x－3 －2≤x＜4， x＋5 x≥4.
1 当 x＜－ 时，由 f(x)＝－x－5＞2 得，x＜－7.∴x＜－7； 2 1 5 当－2≤x＜4 时，由 f(x)＝3x－3＞2，得 x＞3， 5 ∴3＜x＜4；
[解答示范] (1)当 a＝1 时，f(x)≥3x＋2 可化为|x－1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤－1. (3 分)
故不等式 f(x)≥3x＋2 的解集为{x|x≥3 或 x≤－1}．(5 分)
第(2)问解不等式|x－a|＋3x≤0的解集，结果用a表示， 再由{x|x≤－1}求a.
(2)由 f(x)≤0 得，|x－a|＋3x≤0.
当 x≥4 时，由 f(x)＝x＋5＞2，得 x＞－3，∴x≥4. 故原不等式的解集为
5 xx＜－7或x＞ 3 .
(2)画出 f(x)的图象如图： 9 ∴f(x)min＝－2.
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点； ②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取 每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代 数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
a 由题设可得－2＝－1，故 a＝2.(10 分)
本题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于中档 题．解含绝对值的不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号 转化为一元一次和一元二次不等式 (组)进行求解．含有多个绝 对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－ a|＋|x－b|＞m 或|x－a|＋|x－b|＜m(m 为正常数)，利用实数绝对 值的几何意义求解较简便．
2021年全国高考数学人教新版特色专题：不等式选讲-(讲义教师版)
不等式选讲知识集结知识元绝对值不等式的解法不等式的证明知识讲解1．不等式的证明【知识点的知识】证明不等式的基本方法：1、比较法：（1）作差比较法①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．（2）作商比较法①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2、综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．3、分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．4、放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．常用的放缩技巧有：例题精讲不等式的证明例1.（2021春∙中山市期末）求证：【答案】详见解析【解析】题干解析:证明：，即证明，左右两边同时平方，左边=，右边=，则左边>右边即所以。
高三数学(理)一轮总复习课件-第十二章 不等式选讲
注意：这里 c≥|a－b|，若 c<|a－b|，则|x－a|＋|x－b|≤c 的解 集为∅，|x－a|＋|x－b|≥c 的解集为 R. 2．绝对值不等式的性质 (1)定理 1：|a|＋|b|≥|a＋b|(a，b∈R)，当且仅当 ab≥0 时等 号成立；
(2)定理 2：如果 a，b，c∈R，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当 且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立； (3)||a|－|b||≤|a＋b|. 注意：含绝对值的三角不等式|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋ |b|中，对于等号成立的条件应注意：|a＋b|＝|a|＋|b|中，ab≥0， 而|a－b|＝|a|＋|b|中，ab≤0 等．
1．解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要 有：公式法、零点分段法、平方法、几何法等．这几种方法应用 时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为 简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应 用平方法时 ， 要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能平 方．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．
所以当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3 等价于|1－a|＋a≥3.ⅰ 当 a≤1 时，ⅰ等价于 1－a＋a≥3，无解． 当 a＞1 时，ⅰ等价于 a－1＋a≥3，解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2，＋∞)．
2．(2015· 高考课标卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取 值范围．
④这些解集的并集就是原不等式的解集； 方法 2(函数与方程思想)：构造函数 f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c， 写出 f(x)的分段解析式，作出图象，找出使 f(x)≤0(或 f(x)≥0)的 x 的取值范围即可． 方法 3(数形结合思想)：利用绝对值的几何意义求解，|x－a| ＋|x－b|表示数轴上点 P(x)到点 A(a)，B(b)距离的和．关键是找出 到 A(a)，B(b)两点距离之和为 c 的点， “≤”取中间， “≥”取两 边．
高考数学大一轮复习 第十二章 系列4选讲 12.1 矩阵与变换教案(含解析)
第十二章系列4选讲考试内容等级要求矩阵的概念 A二阶矩阵与平面向量 B常见的平面变换 A变换的复合与矩阵的乘法 B二阶逆矩阵 B二阶矩阵的特征值与特征向量 B二阶矩阵的简单应用 B坐标系的有关概念 A简单图形的极坐标方程 B极坐标方程与直角坐标方程的互化 B参数方程 B直线、圆及椭圆的参数方程 B参数方程与普通方程的互化 B参数方程的简单应用 B不等式的基本性质 B含有绝对值的不等式的求解 B不等式的证明(比较法、综合法、分析法) B算术—几何平均不等式与柯西不等式 A利用不等式求最大(小)值 B运用数学归纳法证明不等式 B§12.1矩阵与变换考情考向分析矩阵命题出自三个方向：一是变换的复合与矩阵的乘法，通过研究曲线上任意一点的变换可以得出曲线的变换．二是逆变换与逆矩阵，主要由点或曲线的变换用待定系数法求矩阵或逆矩阵．三是特征值与特征向量．属于低档题．1．乘法规则 (1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 12a 21a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律． 即(AB )C ＝A (BC )，AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换(1)恒等变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 001； (2)伸压变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12；(3)反射变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100－1； (4)旋转变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1000，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 010； (6)切变变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1k 01(k ∈R ，且k ≠0)． 3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.4．特征值与特征向量设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量． 5．特征多项式 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ，称为A 的特征多项式．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .( √ )(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 02 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 021＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3－1 61.( √ )(3)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则(AB )－1＝B －1A －1.( × )(4)矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3652的特征值为8和－3.( √ ) 题组二 教材改编 2．[P52例3]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345，则A 的逆矩阵A －1＝________. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1解析 因为det(A )＝2×5－3×4＝－2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 3242－22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.3．[P11习题T7]已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 21，其中a ∈R .若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，实数a 的值为________． 答案 3 解析由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4，解得a ＝3.4．[P39例1(1)]已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，求AB . 解AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 00 0. 题组三 易错自纠5．A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 01，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－110，则AB 的逆矩阵为________．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0 解析 ∵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0， ∴(AB )－1＝B －1A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 110. 6．设椭圆的方程为x 2＋y 2a ＝1，若它在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012对应的伸压变换下变为一个圆，则实数a ＝________. 答案 4解析 设P (x ，y )为椭圆上任意一点，变换后为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 12y，所以x ＝x ′，y ＝2y ′，代入椭圆的方程，得x ′2＋4y ′2a＝1.因为它表示圆，所以a ＝4.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 02，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 6，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 1， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 题型一 矩阵与变换1．已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1所对应的变换将直线x－y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)在直线x ＋2y ＝1上，所以(2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.2．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在矩阵M 变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求直线l 的方程．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234. (2)设直线l 上任意一点P (x ，y )，在矩阵M 的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ， 且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4， 整理得x ＋y ＋2＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解． 题型二 求逆矩阵例1已知矩阵det(A )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1. (1)求A 的逆矩阵A －1； (2)求矩阵C ，使得AC ＝B .解 (1)因为|A |＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－4222＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－2 1.(2)由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，故C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 2－2 －3.思维升华求逆矩阵的方法 (1)待定系数法 设A是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E ；(2)公式法|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ≠0，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |. 跟踪训练1已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤22 1220212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤114012.∴AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20－2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540－1.题型三 特征值与特征向量例2已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 11 2. (1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －13－1323. (2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A －1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．思维升华已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，求特征值和特征向量的步骤 (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；(2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－ax －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应特征的向量．跟踪训练2(2018·无锡期末)已知变换T 将平面内的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 94－2，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324， 得a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－4 4. (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ)，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 32 4 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6 ＝λ2－7λ＋6.令f (λ)＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1562，求A 的特征值． 解 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 故A 的特征值为7和－4.2．(2018·南通、泰州模拟)设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2 03，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 方法一 设矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以a ＝－1,2a ＋6b ＝－2，c ＝0,2c ＋6d ＝3. 解得b ＝0，d ＝12，所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 012. 根据逆矩阵公式得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 方法二在A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3两边同时左乘逆矩阵A －1， 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 设A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以－a ＝1，－2a ＋3b ＝2，－c ＝0，－2c ＋3d ＝6. 解得a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝2，从而A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 3．(2019·徐州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2101，向量b ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2.求向量a ，使得A 2a ＝b . 解 A2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 30 1， 设a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，由A2a ＝b ，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4301 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝10，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12.4．(2018·宿迁期中)已知变换T 把直角坐标平面上的点A (3，－4)，B (0,5)分别变换成点A ′(2，－1)，B ′(－1,2)，求变换T 对应的二阶矩阵M . 解设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－1， 且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，3c －4d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧5b ＝－1，5d ＝2.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝25，b ＝－15，c ＝15，d ＝25，所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －151525. 5．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1201的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .因为P ′是曲线C 1上的点，所以C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1. 6．(2015·江苏)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x1y0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值． 解 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11 20. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.7．求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．解 设点(x 0，y 0)为曲线|x |＋|y |＝1上的任一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13对应的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)， 则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0，y ′＝13y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′，y 0＝3y ′，所以曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线为|x |＋3|y |＝1，所以围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.8．(2018·江苏省丰县中学质检)在平面直角坐标系xOy 中，A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)，设k ≠0，k ∈R ，M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0，点A ，B ，C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值． 解由题设得MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 10， 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 0 k 0 －2 －2， 可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2，即k ＝±2.9．(2018·高邮考试)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1a1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(0，－3)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 解(1)∵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3， ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3，∴a ＝－4. (2)∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－41，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3， 对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，4x －2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，因此α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，4x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，因此α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3， 属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2.10．设a >0，b >0，若矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a00b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1.(1)求a ，b 的值；(2)求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 (1)设点P (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点， 经过矩阵A 变换后对应点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by ，因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，这个方程即为圆C 方程，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，又因为a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝ 3.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 003，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 33. 11．(2017·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2. (1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程． 解(1)因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2， 所以AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤021 0.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为点P (x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 21 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.12．(2018·江苏省镇江中学质检)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝8⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两个方程组，解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6 244. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2. 设矩阵M 的特征值λ＝2对应的一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤624 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ＝x ′，4x ＋4y ＝y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程化简，得x ′－y ′＋2＝0， 即x －y ＋2＝0.。
高考数学一轮复习 12.3不等式选讲课件
.
答案 R
解析
原不等式等价于
x
1
或2
,
3 x 1
或
1 2
x
x 1, x
2 解 1得x≤-3
x
1,
或1 , -
1
<x< 2
1 2
1或x≥1,所以原不等式的解集为R.
精品
12
5.若不等式 x >1 |a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是
x
.
答案 1<a<3 解析 ∵ x 的1x 最小值为2,∴|a-2|+1<2,∴1<a<3.
课标版 理数 § 12.3 不等式选讲
精品
1
知识梳理
1.两实数大小比较的三种情况 设a、b为两个实数,它们在数轴上的点分别记为A、B.如果A落在B的右 边,则称a大于b,记为a>b;如果A落在B的左边,则称a小于b,记为a<b;如果A 与B重合,则称a与b相等,记为a=b. 2.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b⇔b<a. (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c.
a1 ≥a2 n, 当且an仅当naa11=aa2 2=…an =an时,等号成立. 4.柯西不等式
精品
4
二维形式的柯西不等式:设a1、a2、b1、b2均为实数,则( + )( + )≥(a1
b1+a2b2)2,其中等号成立⇔a1b2=a2b1. 柯西不等式的向量形式:设α、β为两个向量,则|α||β|≥|α·βa |1.2 当a且22 仅b 1 2当bβ22是
abc
a
b
c
b a
2021高考数学不等式选讲
不等式选讲【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.绝对值不等式(1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式几何意义证明以下不等式:|a+b|≤|a|+|b|.|a-b|≤|a-c|+|c-b|.(2)会利用绝对值的几何意求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.(3)了解证明不等式的基本法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法2019课标Ⅱ,23,10分2018课标Ⅰ,23,10分解绝对值不等式,含有绝对值的恒成立、参数取值范围的问题不等式的性质和解法★★★2017课标Ⅰ,23,10分2017课标Ⅲ,23,10分解绝对值不等式,含有绝对值的存在性、参数取值范围的问题不等式的性质和解法2016课标Ⅰ,24,10分画绝对值函数的图象,解绝对值不等式不等式的性质和解法2.不等式的证明2019课标Ⅰ,23,10分2019课标Ⅲ,23,10分2017课标Ⅱ,23,10分不等式的证明基本不等式分析解读从近五年的考查情况来看,本专题内容是高考的考查热点,主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答题的形式呈现,难度中等,分值为10分.主要考查学生的数学运算能力、分类讨论思想和数形结合思想的应用.破考点练考向【考点集训】考点一绝对值不等式1.(2020届云南昆明第二次月考,23)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0).(1)设不等式f(x)≤2的解集为A,集合B={x|-2<x<2},若A⊆B,求实数a的取值范围;(2)若不等式f(x)+f(1ax+2a)>32对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)由|ax-1|≤2,得-2≤ax-1≤2,又∵a>0,∴-1a≤x≤3a,得A=[-1a,3a].。
2021高考数学理一轮复习：第12章选修4系列第3讲绝对值不等式讲义2
[考纲解读] 1理解绝对值意义及几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．重点2掌握|a＋b|≤c，|a＋b|≥c，|－a|＋|－b|≤c型不等式的解法．难点[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容预测2022年将会考查：①绝对值不等式的解法；②绝对值性质的应用及最值；③根据不等式恒成立求参数的取值范围以解答题的形式呈现，属中档题型1．绝对值不等式1定理如果a，b是实数，那么|a＋b|≤错误! in＝－错误!条件探究把举例说明中函数改为“f＝|＋1|－|2－3|”，解不等式|f|>1解f＝错误!y＝f的图象如图所示．由f的表达式及图象，当f＝1时，可得＝1或＝3；当f＝－1时，可得＝错误!或＝5，故f>1的解集为{|1<<3}；f<－1的解集为错误!所以|f|>1的解集为错误!<错误!或1<<3或>5解|－a|＋|－b|≥c或|－a|＋|－b|≤c的一般步骤1零点分段法①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集．2利用|－a|＋|－b|的几何意义数轴上到点1＝a和2＝b的距离之和大于c的全体，|－a|＋|－b|≥|－a－－b|＝|a－b|3图象法：作出函数y1＝|－a|＋|－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．见举例说明．提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．1．求不等式|－1|＋|＋2|≥5的解集．解当<－2时，不等式等价于－－1－＋2≥5，解得≤－3；当－2≤<1时，不等式等价于－－1＋＋2≥5，即3≥5，无解；当≥1时，不等式等价于－1＋＋2≥5，解得≥2综上，不等式的解集为{|≤－3或≥2}．2．若关于的不等式|a－2|<3的解集为错误!－错误!<<错误!，求a的值．解∵|a－2|<3，∴－1<a<5当a>0时，－错误!<<错误!，－错误!＝－错误!，且错误!＝错误!无解；当a＝0时，∈R，与已知条件不符；当a<0时，错误!<<－错误!，错误!＝－错误!，且－错误!＝错误!，解得a＝－3题型错误!绝对值不等式性质的应用角度1 用绝对值不等式的性质求最值1．设函数f＝|2－3|1求不等式f>5－|＋2|的解集；2若g＝f＋m＋f－m的最小值为4，求实数m的值．解1∵f>5－|＋2|可化为|2－3|＋|＋2|>5，∴当≥错误!时，原不等式化为2－3＋＋2>5，解得>2，∴>2；当－2<<错误!时，原不等式化为3－2＋＋2>5，解得<0，∴－2<<0；当≤－2时，原不等式化为3－2－＋2>5，解得<－错误!，∴≤－2综上，不等式f>5－|＋2|的解集为－∞，0∪2，＋∞．2∵f＝|2－3|，∴g＝f＋m＋f－m＝|2＋2m－3|＋|2－2m－3|≥|2＋2m－3－2－2m－3|＝|4m|，∴依题意有4|m|＝4，解得m＝±1角度2 用绝对值不等式的性质证明不等式多维探究2．设a>0，|－1|<错误!，|y－2|<错误!，求证：|2＋y－4|<a证明因为|－1|<错误!，|y－2|<错误!，所以|2＋y－4|＝|2－1＋y－2|≤2|－1|＋|y－2|<2×错误!＋错误!＝a即|2＋y－4|<a结论探究举例说明条件不变，求证：|－2y＋1|<a＋2证明|－2y＋1|＝|－1－2y－1|<|－1|＋|2y－1|＝|－1|＋|2y－2＋2|<|－1|＋2|y－2|＋2错误!＋2·错误!＋2＝a＋21．证明绝对值不等式的三种主要方法1利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．2利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．3转化为函数问题，利用数形结合进行证明．2．用绝对值不等式的性质求最值的方法利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|a，b∈R和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|a，b∈R，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值．2022·江西南昌模拟已知函数f＝|2－a|＋|－1|1若不等式f≤2－|－1|有解，求实数a的取值范围；2当a<2时，函数f的最小值为3，求实数a的值．解1由题意f≤2－|－1|，即为错误!＋|－1|≤1而由绝对值的几何意义知错误!＋|－1|≥错误!，由不等式f≤2－|－1|有解，∴错误!≤1，即0≤a≤4∴实数a的取值范围是[0,4]．2由2－a＝0得＝错误!，由－1＝0得＝1，由a<2知错误!<1，∴f＝错误!函数的图象如图所示．∴f min＝f错误!＝－错误!＋1＝3，解得a＝－4题型错误!与绝对值不等式有关的参数范围问题2022·全国卷Ⅰ已知f＝|＋1|－|a－1|1当a＝1时，求不等式f>1的解集；2若∈0,1时不等式f>成立，求a的取值范围．解1当a＝1时，f＝|＋1|－|－1|，即f＝错误!故不等式f>1的解集为错误!2当∈0,1时|＋1|－|a－1|>成立等价于当∈0,1时|a－1|<1成立．若a≤0，则当∈0,1时，|a－1|≥1，不符合题意；若a>0，|a－1|<1的解集为0<<错误!，所以错误!≥1，故0<a≤2综上，a的取值范围为0,2]．条件探究把举例说明函数改为“f＝|2－1|－|－a|”，若∈－1,0时，f>1有解，求a的取值范围．解当∈－1,0时，f>1有解⇔|－a|<－2有解⇔2<－a<－2有解⇔3<a<－有解，∵3>－3，－<1，∴－3<a<1，即实数a的取值范围是－3,1．两招解不等式问题中的含参问题1第一招是转化．①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f<a恒成立⇔a>f ma，f>a恒成立⇔a<f min2第二招是求最值．求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．已知f＝|－a|，a∈R1当a＝1时，求不等式f＋|2－5|≥6的解集；2若函数g＝f－|－3|的值域为A，且[－1,2]⊆A，求实数a的取值范围．解1当a＝1时，不等式为|－1|＋|2－5|≥6当≤1时，不等式可化为－－1－2－5≥6，解得≤0，所以≤0；当1<<错误!时，不等式可化为－1－2－5≥6，解得≤－2，所以∈∅；当≥错误!时，不等式可化为－1＋2－5≥6，解得≥4，所以≥4综上所述，原不等式的解集为{|≤0或≥4}．2因为|g|＝||－a|－|－3||≤|－a－－3|＝|a－3|，所以g∈[－|a－3|，|a－3|]，所以函数g的值域A＝[－|a－3|，|a－3|]，因为[－1,2]⊆A，所以错误!解得a≤1或a≥5所以实数a的取值范围是－∞，1]∪[5，＋∞．。
高三数学一轮总结复习目录
高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
2021版高考数学一轮复习第十二章不等式选讲第70讲不等式的证明学案202105072199
2021版高考数学一轮复习第十二章不等式选讲第70讲不等式的证明学案202105072199考纲要求考情分析命题趋势1.会用参数配方法讨论柯西不等式的一样情形：∑i ＝1na 2i ·∑i ＝1nb 2i ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n a i b i 2，并简单应用．2．了解数学归纳法的原理及其使用范畴，会用数学归纳法证明一些简单问题．3．了解证明不等式的差不多方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2021·全国卷Ⅰ，23 2021·江苏卷，21(D) 2021·全国卷Ⅱ，24 2020·全国卷Ⅱ，24不等式的证明是对必修5中“不等式”的补充和深化，其中以考查综合法、分析法、放缩法等为主．另外应用差不多不等式、柯西不等式求函数的最值也是高考考查的一个方向.分值：5～10分1．比较法作差比较法与作商比较法的差不多原理： (1)作差法：a －b ＞0⇔__a ＞b __.(2)作商法：a b＞__1__⇔a ＞b (a ＞0，b ＞0)． 2．综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件动身，利用定义、公理、定理、性质等，通过__推理论证__而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法：证明命题时，从待证不等式动身，逐步寻求使它成立的__充分条件__，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立．这是一种__执果索因__的摸索和证明方法．3．反证法先假设要证的命题__不成立__，以此为动身点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的__推理__，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)__矛盾__的结论，以说明假设__不正确__，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．4．放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地__放大__或__缩小__以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．5．数学归纳法数学归纳法证明不等式的一样步骤： (1)证明当__n ＝n 0__时命题成立；(2)假设当__n ＝k __(k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明__n ＝k ＋1__时命题也成立． 综合(1)(2)可知，结论关于任意n ≥n 0，且n 0，n ∈N *都成立． 6．柯西不等式(1)二维柯西不等式：设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2) (c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，等号当且仅当ad ＝bc 时成立．(2)三维柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3均为实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2，当且仅当a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时，等号成立．(3)n 维柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．7．排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，那么a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和．1．思维辨析(在括号内打“√”或打“×”)．(1)用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时假设为“a ，b ，c 全不为0”. ( × ) (2)若实数x ，y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( √ )2．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( D )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ∵12为a ，b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.α＋β＝1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab ，∵ab ≤a ＋b2，∴ab ≤a ＋b24＝14，当且仅当a ＝b ＝1时“＝”成立． ∴α＋β≥1＋4，即α＋β的最小值为5，故选D ．3．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( B )A ．8B ．4C ．1D ．14解析 因为3a·3b＝3，因此a ＋b ＝1， 1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时“＝”成立，故选B ．4．若直线3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为__425__，最小值点为__⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825__.解析 设x 2＋y 2＝r 2，则直线3x ＋4y －2＝0与圆x 2＋y 2＝r 2有交点，因此r ≥232＋42＝25，当r ＝25时，直线与圆相切，切点为直线3x ＋4y ＝2与4x －3y ＝0的交点．因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.5．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等的实数x 1，x 2都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“Ζ函数”，以下函数中为“Ζ函数”的序号为__②④__.①y ＝－x 3＋1；②y ＝3x －2sin x －2cos x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，－x 2＋x ，x <0.解析 由x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，得(x 1－x 2)·(f (x 1)－f (x 2))>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1>x 2，f x 1>f x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1<x 2，f x 1<f x 2，即f (x )是R 上的增函数，易知①是R 上的减函数；③是R 上的偶函数；关于②，y ′＝3＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4>0，即②为增函数；关于④，依照其图象都能够判定为增函数．一 比较法证明不等式比较法证明不等式的步骤(1)作差(商)；(2)变形；(3)判定差的符号(商与1的大小关系)；(4)下结论，其中“变形”是关键．作差比较法中，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判定出差的正负．【例1】 已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)，且1a ＞1b ，x ＞y .求证：x x ＋a ＞yy ＋b .证明 方法一 (作差比较法) ∵xx ＋a －yy ＋b＝bx －ay x ＋a y ＋b ，又1a ＞1b且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，∴bx ＞ay . ∴bx －ay x ＋a y ＋b ＞0，即x x ＋a ＞y y ＋b.方法二 (分析法)∵x ，y ，a ，b ∈(0，＋∞)， ∴要证xx ＋a ＞yy ＋b，只需证明x (y ＋b )＞y (x ＋a )，即证xb ＞ya .而由1a ＞1b＞0，∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，知xb ＞ya 明显成立．故原不等式成立．二 分析法和综合法证明不等式分析法和综合法证明不等式的技巧证明不等式，要紧从目标式的结构特点，综合已知条件，借助相关定理公式探究思路，假如这种特点不足以明确解题方法时，就应从目标式开始通过“倒推”——分析法，查找目标式成立的充分条件直至与已知条件吻合，然后从已知条件动身综合写出证明过程．【例2】 设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：a ＋b ＋c ≥ 3. 证明 要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3. 即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 而这能够由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得． ∴原不等式成立．另：按照分析法的思路，由下至上写出证明的过程，便是书写更简单的综合法了．三 柯西不等式的应用柯西不等式的应用类型及解题策略(1)求表达式的最值．依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件． (2)求解析式的值，利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值．(3)证明不等式．注意所证不等式的结构特点，查找柯西不等式的条件，然后证明． 【例3】 已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求证：1≤a ≤2. 证明 由柯西不等式得(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c＋d )2，由已知可得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2，b ＋c ＋d ＝3－a ，∴5－a 2≥(3－a )2，即1≤a ≤2. 当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16，即2b ＝3c ＝6d 时等号成立．1．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2的最小值是( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＝(a －5c )2＋a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1aa －b＝(a －5c )2＋ab ＋1ab＋a (a －b )＋1aa －b≥0＋2＋2＝4. 当且仅当a －5c ＝0，ab ＝1，a (a －b )＝1时等号成立， 如取a ＝2，b ＝22，c ＝25满足条件，故选D ． 2．若P ＝x 1＋x ＋y 1＋y ＋z1＋z (x >0，y >0，z >0)，则P 与3的大小关系为__P <3__.解析 ∵1＋x >0,1＋y >0,1＋z >0， ∴x1＋x ＋y 1＋y ＋z 1＋z <1＋x 1＋x ＋1＋y 1＋y ＋1＋z 1＋z＝3，即P <3. 3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝⎛⎭⎪⎫1b －1·⎝⎛⎭⎪⎫1c－1≥8. 证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ＋ca ＋babc≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8.4．设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由差不多不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．易错点 混淆恒成立问题、无解问题和有解问题错因分析：转化为最值问题时，弄错大小或忽略等号导致错误．【例1】 已知关于x 的不等式||x －1－||x －3＜a ，①恒成立；②无解；③有解；分别求a 的取值范畴．解析 设g (x )＝||x －1－||x －3， 则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞3，2x －4，1≤x ≤3，－2，x ＜1，则－2≤g (x )≤2，因此①a ∈(2，＋∞)；②a ∈(－∞，－2]；③a ∈(－2，＋∞)．【跟踪训练1】 (2020·湖北七市州联考)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|2x －3|＋2.(1)解不等式g (x )<5；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范畴． 解析 (1)g (x )<5⇔|2x －3|<3⇔－3<2x －3<3⇔0<x <3. (2)由题意知{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}．又f (x )＝|a －2x |＋|2x ＋3|≥|(a －2x )＋(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|2x －3|＋2≥2， ∴|a ＋3|≥2，解得a ≤－5或a ≥－1. ∴a ∈(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．课时达标 第70讲[解密考纲]不等式的证明以解答题进行考查，要紧考查综合法、比较法，还常用柯西不等式证明不等式或求最值．1．已知a ，b 差不多上正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明 (a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2. 因为a ，b 差不多上正数，因此a ＋b >0.又因为a ≠b ，因此(a －b )2>0.因此(a ＋b )(a －b )2>0， 即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，因此a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.2．已知a ，b ，c 差不多上正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .证明 因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，因此a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc ，① 同理，b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c ，②c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2，③①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2， 从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．由a ，b ，c 差不多上正数，得a ＋b ＋c >0，因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .3．(2021·安徽联考)已知函数f (x )＝|x |－|2x －1|，记f (x )>－1的解集为M . (1)求M ；(2)已知a ∈M ，比较a 2－a ＋1与1a的大小．解析 (1)f (x )＝|x |－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12.由f (x )>－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，3x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，－x ＋1>－1，解得0<x <2，故M ＝{x |0<x <2}． (2)由(1)知0<a <2，因为a 2－a ＋1－1a ＝a 3－a 2＋a －1a＝a －1a 2＋1a，当0<a <1时，a －1a 2＋1a<0，因此a 2－a ＋1<1a，当a ＝1时，a －1a 2＋1a ＝0，因此a 2－a ＋1＝1a，当1<a <2时，a －1a 2＋1a>0，因此a 2－a ＋1>1a，综上所述当0<a <1时，a 2－a ＋1<1a，当a ＝1时，a 2－a ＋1＝1a ，当1<a <2时，a 2－a ＋1>1a.4．(2021·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，||a ＋b ＜||1＋ab .解析 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1，即－1<x ≤－12；当－12<x <12时，f (x )<2，即－12<x <12；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，即12≤x <1.因此f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |.5．(2021·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5) ＝a 6＋ab 5＋b 6＋a 5b ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3a ＋b24(a ＋b )＝2＋3a ＋b34，因此(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.6．(2020·东北三校二模)已知a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≤3； (2)13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 证明 (1)∵由柯西不等式得(a ＋b ＋c )2＝(1·a ＋1·b ＋1·c )2≤(12＋12＋12)·[(a )2＋(b )2＋(c )2]＝3，当且仅当1a＝1b＝1c，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立，∴a ＋b ＋c ≤ 3. (2)∵由柯西不等式得[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]·⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋1·13a ＋1＋3b ＋1·13b ＋1＋3c ＋1·13c ＋12＝9 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，又a ＋b ＋c ＝1，∴6⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32.。