2021年广东省新高考数学一轮复习：第十二讲《不等式选讲》
高考数学一轮复习 12.3不等式选讲课件
x 1,
解析 (1)原不等式等价于 (x 1) (x 2) 5
或2(x或x1)1,(x 2) 5
解得x≥2或x≤-3.
x 2, (x 1) (x 2) 5,
故原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.
(2)原不等式可转化为-1≤|x-2|-1≤1,故0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4,故所求不 等式的解集为[0,4].
5.排序不等式
设0≤a1≤a2≤…≤an,0≤b1≤b2≤…≤bn,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排
列, 则有:a1b1+a2b2+…+anbn≥a1c1+a2c2+…+ancn≥a1bn+a2bn-1+…+anb1,即顺序和 ≥乱序和≥逆序和. 6.绝对值三角不等式 定理1:若a、b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当④ ab≥0 时,等号成立. 定理2:设a、b、c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 等号成立⇔⑤ (a-b)(b-c)≥0 . 7.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法: a.c>0,则|ax+b|≤c可化为-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c可化为ax+b≥c或ax+b≤-
3.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+ 4 (a≠0)对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范
a
围是
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案 (-∞,0)∪{2}
解析 当a<0时,满足题意;当a>0时,∵|x+1|+|x-3|的最小值为4,∴a+ a4 ≤4.
高考数学一轮复习课件1--不等式选讲
1 －x－5 x＜－2， 1 解 (1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝ 3x－3 －2≤x＜4， x＋5 x≥4.
1 当 x＜－ 时，由 f(x)＝－x－5＞2 得，x＜－7.∴x＜－7； 2 1 5 当－2≤x＜4 时，由 f(x)＝3x－3＞2，得 x＞3， 5 ∴3＜x＜4；
[解答示范] (1)当 a＝1 时，f(x)≥3x＋2 可化为|x－1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤－1. (3 分)
故不等式 f(x)≥3x＋2 的解集为{x|x≥3 或 x≤－1}．(5 分)
第(2)问解不等式|x－a|＋3x≤0的解集，结果用a表示， 再由{x|x≤－1}求a.
(2)由 f(x)≤0 得，|x－a|＋3x≤0.
当 x≥4 时，由 f(x)＝x＋5＞2，得 x＞－3，∴x≥4. 故原不等式的解集为
5 xx＜－7或x＞ 3 .
(2)画出 f(x)的图象如图： 9 ∴f(x)min＝－2.
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点； ②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取 每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代 数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
a 由题设可得－2＝－1，故 a＝2.(10 分)
本题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于中档 题．解含绝对值的不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号 转化为一元一次和一元二次不等式 (组)进行求解．含有多个绝 对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－ a|＋|x－b|＞m 或|x－a|＋|x－b|＜m(m 为正常数)，利用实数绝对 值的几何意义求解较简便．
2021年全国高考数学人教新版特色专题：不等式选讲-(讲义教师版)
不等式选讲知识集结知识元绝对值不等式的解法不等式的证明知识讲解1．不等式的证明【知识点的知识】证明不等式的基本方法：1、比较法：（1）作差比较法①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．（2）作商比较法①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2、综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．3、分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．4、放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．常用的放缩技巧有：例题精讲不等式的证明例1.（2021春∙中山市期末）求证：【答案】详见解析【解析】题干解析:证明：，即证明，左右两边同时平方，左边=，右边=，则左边>右边即所以。
高三数学(理)一轮总复习课件-第十二章 不等式选讲
注意：这里 c≥|a－b|，若 c<|a－b|，则|x－a|＋|x－b|≤c 的解 集为∅，|x－a|＋|x－b|≥c 的解集为 R. 2．绝对值不等式的性质 (1)定理 1：|a|＋|b|≥|a＋b|(a，b∈R)，当且仅当 ab≥0 时等 号成立；
(2)定理 2：如果 a，b，c∈R，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当 且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立； (3)||a|－|b||≤|a＋b|. 注意：含绝对值的三角不等式|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋ |b|中，对于等号成立的条件应注意：|a＋b|＝|a|＋|b|中，ab≥0， 而|a－b|＝|a|＋|b|中，ab≤0 等．
1．解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要 有：公式法、零点分段法、平方法、几何法等．这几种方法应用 时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为 简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应 用平方法时 ， 要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能平 方．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．
所以当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3 等价于|1－a|＋a≥3.ⅰ 当 a≤1 时，ⅰ等价于 1－a＋a≥3，无解． 当 a＞1 时，ⅰ等价于 a－1＋a≥3，解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2，＋∞)．
2．(2015· 高考课标卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取 值范围．
④这些解集的并集就是原不等式的解集； 方法 2(函数与方程思想)：构造函数 f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c， 写出 f(x)的分段解析式，作出图象，找出使 f(x)≤0(或 f(x)≥0)的 x 的取值范围即可． 方法 3(数形结合思想)：利用绝对值的几何意义求解，|x－a| ＋|x－b|表示数轴上点 P(x)到点 A(a)，B(b)距离的和．关键是找出 到 A(a)，B(b)两点距离之和为 c 的点， “≤”取中间， “≥”取两 边．
高考数学大一轮复习 第十二章 系列4选讲 12.1 矩阵与变换教案(含解析)
第十二章系列4选讲考试内容等级要求矩阵的概念 A二阶矩阵与平面向量 B常见的平面变换 A变换的复合与矩阵的乘法 B二阶逆矩阵 B二阶矩阵的特征值与特征向量 B二阶矩阵的简单应用 B坐标系的有关概念 A简单图形的极坐标方程 B极坐标方程与直角坐标方程的互化 B参数方程 B直线、圆及椭圆的参数方程 B参数方程与普通方程的互化 B参数方程的简单应用 B不等式的基本性质 B含有绝对值的不等式的求解 B不等式的证明(比较法、综合法、分析法) B算术—几何平均不等式与柯西不等式 A利用不等式求最大(小)值 B运用数学归纳法证明不等式 B§12.1矩阵与变换考情考向分析矩阵命题出自三个方向：一是变换的复合与矩阵的乘法，通过研究曲线上任意一点的变换可以得出曲线的变换．二是逆变换与逆矩阵，主要由点或曲线的变换用待定系数法求矩阵或逆矩阵．三是特征值与特征向量．属于低档题．1．乘法规则 (1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 12a 21a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律． 即(AB )C ＝A (BC )，AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换(1)恒等变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 001； (2)伸压变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12；(3)反射变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100－1； (4)旋转变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1000，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 010； (6)切变变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1k 01(k ∈R ，且k ≠0)． 3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.4．特征值与特征向量设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量． 5．特征多项式 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ，称为A 的特征多项式．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .( √ )(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 02 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 021＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3－1 61.( √ )(3)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则(AB )－1＝B －1A －1.( × )(4)矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3652的特征值为8和－3.( √ ) 题组二 教材改编 2．[P52例3]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345，则A 的逆矩阵A －1＝________. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1解析 因为det(A )＝2×5－3×4＝－2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 3242－22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.3．[P11习题T7]已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 21，其中a ∈R .若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，实数a 的值为________． 答案 3 解析由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4，解得a ＝3.4．[P39例1(1)]已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，求AB . 解AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 00 0. 题组三 易错自纠5．A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 01，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－110，则AB 的逆矩阵为________．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0 解析 ∵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0， ∴(AB )－1＝B －1A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 110. 6．设椭圆的方程为x 2＋y 2a ＝1，若它在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012对应的伸压变换下变为一个圆，则实数a ＝________. 答案 4解析 设P (x ，y )为椭圆上任意一点，变换后为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 12y，所以x ＝x ′，y ＝2y ′，代入椭圆的方程，得x ′2＋4y ′2a＝1.因为它表示圆，所以a ＝4.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 02，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 6，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 1， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 题型一 矩阵与变换1．已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1所对应的变换将直线x－y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)在直线x ＋2y ＝1上，所以(2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.2．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在矩阵M 变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求直线l 的方程．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234. (2)设直线l 上任意一点P (x ，y )，在矩阵M 的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ， 且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4， 整理得x ＋y ＋2＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解． 题型二 求逆矩阵例1已知矩阵det(A )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1. (1)求A 的逆矩阵A －1； (2)求矩阵C ，使得AC ＝B .解 (1)因为|A |＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－4222＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－2 1.(2)由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，故C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 2－2 －3.思维升华求逆矩阵的方法 (1)待定系数法 设A是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E ；(2)公式法|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ≠0，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |. 跟踪训练1已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤22 1220212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤114012.∴AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20－2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540－1.题型三 特征值与特征向量例2已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 11 2. (1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －13－1323. (2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A －1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．思维升华已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，求特征值和特征向量的步骤 (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；(2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－ax －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应特征的向量．跟踪训练2(2018·无锡期末)已知变换T 将平面内的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 94－2，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324， 得a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－4 4. (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ)，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 32 4 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6 ＝λ2－7λ＋6.令f (λ)＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1562，求A 的特征值． 解 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 故A 的特征值为7和－4.2．(2018·南通、泰州模拟)设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2 03，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 方法一 设矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以a ＝－1,2a ＋6b ＝－2，c ＝0,2c ＋6d ＝3. 解得b ＝0，d ＝12，所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 012. 根据逆矩阵公式得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 方法二在A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3两边同时左乘逆矩阵A －1， 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 设A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以－a ＝1，－2a ＋3b ＝2，－c ＝0，－2c ＋3d ＝6. 解得a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝2，从而A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 3．(2019·徐州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2101，向量b ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2.求向量a ，使得A 2a ＝b . 解 A2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 30 1， 设a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，由A2a ＝b ，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4301 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝10，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12.4．(2018·宿迁期中)已知变换T 把直角坐标平面上的点A (3，－4)，B (0,5)分别变换成点A ′(2，－1)，B ′(－1,2)，求变换T 对应的二阶矩阵M . 解设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－1， 且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，3c －4d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧5b ＝－1，5d ＝2.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝25，b ＝－15，c ＝15，d ＝25，所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －151525. 5．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1201的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .因为P ′是曲线C 1上的点，所以C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1. 6．(2015·江苏)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x1y0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值． 解 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11 20. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.7．求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．解 设点(x 0，y 0)为曲线|x |＋|y |＝1上的任一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13对应的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)， 则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0，y ′＝13y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′，y 0＝3y ′，所以曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线为|x |＋3|y |＝1，所以围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.8．(2018·江苏省丰县中学质检)在平面直角坐标系xOy 中，A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)，设k ≠0，k ∈R ，M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0，点A ，B ，C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值． 解由题设得MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 10， 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 0 k 0 －2 －2， 可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2，即k ＝±2.9．(2018·高邮考试)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1a1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(0，－3)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 解(1)∵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3， ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3，∴a ＝－4. (2)∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－41，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3， 对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，4x －2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，因此α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，4x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，因此α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3， 属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2.10．设a >0，b >0，若矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a00b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1.(1)求a ，b 的值；(2)求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 (1)设点P (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点， 经过矩阵A 变换后对应点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by ，因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，这个方程即为圆C 方程，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，又因为a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝ 3.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 003，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 33. 11．(2017·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2. (1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程． 解(1)因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2， 所以AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤021 0.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为点P (x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 21 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.12．(2018·江苏省镇江中学质检)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝8⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两个方程组，解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6 244. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2. 设矩阵M 的特征值λ＝2对应的一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤624 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ＝x ′，4x ＋4y ＝y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程化简，得x ′－y ′＋2＝0， 即x －y ＋2＝0.。
高考数学一轮复习 12.3不等式选讲课件
.
答案 R
解析
原不等式等价于
x
1
或2
,
3 x 1
或
1 2
x
x 1, x
2 解 1得x≤-3
x
1,
或1 , -
1
<x< 2
1 2
1或x≥1,所以原不等式的解集为R.
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12
5.若不等式 x >1 |a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是
x
.
答案 1<a<3 解析 ∵ x 的1x 最小值为2,∴|a-2|+1<2,∴1<a<3.
课标版 理数 § 12.3 不等式选讲
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1
知识梳理
1.两实数大小比较的三种情况 设a、b为两个实数,它们在数轴上的点分别记为A、B.如果A落在B的右 边,则称a大于b,记为a>b;如果A落在B的左边,则称a小于b,记为a<b;如果A 与B重合,则称a与b相等,记为a=b. 2.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b⇔b<a. (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c.
a1 ≥a2 n, 当且an仅当naa11=aa2 2=…an =an时,等号成立. 4.柯西不等式
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二维形式的柯西不等式:设a1、a2、b1、b2均为实数,则( + )( + )≥(a1
b1+a2b2)2,其中等号成立⇔a1b2=a2b1. 柯西不等式的向量形式:设α、β为两个向量,则|α||β|≥|α·βa |1.2 当a且22 仅b 1 2当bβ22是
abc
a
b
c
b a
2021高考数学不等式选讲
不等式选讲【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.绝对值不等式(1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式几何意义证明以下不等式:|a+b|≤|a|+|b|.|a-b|≤|a-c|+|c-b|.(2)会利用绝对值的几何意求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.(3)了解证明不等式的基本法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法2019课标Ⅱ,23,10分2018课标Ⅰ,23,10分解绝对值不等式,含有绝对值的恒成立、参数取值范围的问题不等式的性质和解法★★★2017课标Ⅰ,23,10分2017课标Ⅲ,23,10分解绝对值不等式,含有绝对值的存在性、参数取值范围的问题不等式的性质和解法2016课标Ⅰ,24,10分画绝对值函数的图象,解绝对值不等式不等式的性质和解法2.不等式的证明2019课标Ⅰ,23,10分2019课标Ⅲ,23,10分2017课标Ⅱ,23,10分不等式的证明基本不等式分析解读从近五年的考查情况来看,本专题内容是高考的考查热点,主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答题的形式呈现,难度中等,分值为10分.主要考查学生的数学运算能力、分类讨论思想和数形结合思想的应用.破考点练考向【考点集训】考点一绝对值不等式1.(2020届云南昆明第二次月考,23)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0).(1)设不等式f(x)≤2的解集为A,集合B={x|-2<x<2},若A⊆B,求实数a的取值范围;(2)若不等式f(x)+f(1ax+2a)>32对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)由|ax-1|≤2,得-2≤ax-1≤2,又∵a>0,∴-1a≤x≤3a,得A=[-1a,3a].。
2021高考数学理一轮复习：第12章选修4系列第3讲绝对值不等式讲义2
[考纲解读] 1理解绝对值意义及几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．重点2掌握|a＋b|≤c，|a＋b|≥c，|－a|＋|－b|≤c型不等式的解法．难点[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容预测2022年将会考查：①绝对值不等式的解法；②绝对值性质的应用及最值；③根据不等式恒成立求参数的取值范围以解答题的形式呈现，属中档题型1．绝对值不等式1定理如果a，b是实数，那么|a＋b|≤错误! in＝－错误!条件探究把举例说明中函数改为“f＝|＋1|－|2－3|”，解不等式|f|>1解f＝错误!y＝f的图象如图所示．由f的表达式及图象，当f＝1时，可得＝1或＝3；当f＝－1时，可得＝错误!或＝5，故f>1的解集为{|1<<3}；f<－1的解集为错误!所以|f|>1的解集为错误!<错误!或1<<3或>5解|－a|＋|－b|≥c或|－a|＋|－b|≤c的一般步骤1零点分段法①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集．2利用|－a|＋|－b|的几何意义数轴上到点1＝a和2＝b的距离之和大于c的全体，|－a|＋|－b|≥|－a－－b|＝|a－b|3图象法：作出函数y1＝|－a|＋|－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．见举例说明．提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．1．求不等式|－1|＋|＋2|≥5的解集．解当<－2时，不等式等价于－－1－＋2≥5，解得≤－3；当－2≤<1时，不等式等价于－－1＋＋2≥5，即3≥5，无解；当≥1时，不等式等价于－1＋＋2≥5，解得≥2综上，不等式的解集为{|≤－3或≥2}．2．若关于的不等式|a－2|<3的解集为错误!－错误!<<错误!，求a的值．解∵|a－2|<3，∴－1<a<5当a>0时，－错误!<<错误!，－错误!＝－错误!，且错误!＝错误!无解；当a＝0时，∈R，与已知条件不符；当a<0时，错误!<<－错误!，错误!＝－错误!，且－错误!＝错误!，解得a＝－3题型错误!绝对值不等式性质的应用角度1 用绝对值不等式的性质求最值1．设函数f＝|2－3|1求不等式f>5－|＋2|的解集；2若g＝f＋m＋f－m的最小值为4，求实数m的值．解1∵f>5－|＋2|可化为|2－3|＋|＋2|>5，∴当≥错误!时，原不等式化为2－3＋＋2>5，解得>2，∴>2；当－2<<错误!时，原不等式化为3－2＋＋2>5，解得<0，∴－2<<0；当≤－2时，原不等式化为3－2－＋2>5，解得<－错误!，∴≤－2综上，不等式f>5－|＋2|的解集为－∞，0∪2，＋∞．2∵f＝|2－3|，∴g＝f＋m＋f－m＝|2＋2m－3|＋|2－2m－3|≥|2＋2m－3－2－2m－3|＝|4m|，∴依题意有4|m|＝4，解得m＝±1角度2 用绝对值不等式的性质证明不等式多维探究2．设a>0，|－1|<错误!，|y－2|<错误!，求证：|2＋y－4|<a证明因为|－1|<错误!，|y－2|<错误!，所以|2＋y－4|＝|2－1＋y－2|≤2|－1|＋|y－2|<2×错误!＋错误!＝a即|2＋y－4|<a结论探究举例说明条件不变，求证：|－2y＋1|<a＋2证明|－2y＋1|＝|－1－2y－1|<|－1|＋|2y－1|＝|－1|＋|2y－2＋2|<|－1|＋2|y－2|＋2错误!＋2·错误!＋2＝a＋21．证明绝对值不等式的三种主要方法1利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．2利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．3转化为函数问题，利用数形结合进行证明．2．用绝对值不等式的性质求最值的方法利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|a，b∈R和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|a，b∈R，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值．2022·江西南昌模拟已知函数f＝|2－a|＋|－1|1若不等式f≤2－|－1|有解，求实数a的取值范围；2当a<2时，函数f的最小值为3，求实数a的值．解1由题意f≤2－|－1|，即为错误!＋|－1|≤1而由绝对值的几何意义知错误!＋|－1|≥错误!，由不等式f≤2－|－1|有解，∴错误!≤1，即0≤a≤4∴实数a的取值范围是[0,4]．2由2－a＝0得＝错误!，由－1＝0得＝1，由a<2知错误!<1，∴f＝错误!函数的图象如图所示．∴f min＝f错误!＝－错误!＋1＝3，解得a＝－4题型错误!与绝对值不等式有关的参数范围问题2022·全国卷Ⅰ已知f＝|＋1|－|a－1|1当a＝1时，求不等式f>1的解集；2若∈0,1时不等式f>成立，求a的取值范围．解1当a＝1时，f＝|＋1|－|－1|，即f＝错误!故不等式f>1的解集为错误!2当∈0,1时|＋1|－|a－1|>成立等价于当∈0,1时|a－1|<1成立．若a≤0，则当∈0,1时，|a－1|≥1，不符合题意；若a>0，|a－1|<1的解集为0<<错误!，所以错误!≥1，故0<a≤2综上，a的取值范围为0,2]．条件探究把举例说明函数改为“f＝|2－1|－|－a|”，若∈－1,0时，f>1有解，求a的取值范围．解当∈－1,0时，f>1有解⇔|－a|<－2有解⇔2<－a<－2有解⇔3<a<－有解，∵3>－3，－<1，∴－3<a<1，即实数a的取值范围是－3,1．两招解不等式问题中的含参问题1第一招是转化．①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f<a恒成立⇔a>f ma，f>a恒成立⇔a<f min2第二招是求最值．求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．已知f＝|－a|，a∈R1当a＝1时，求不等式f＋|2－5|≥6的解集；2若函数g＝f－|－3|的值域为A，且[－1,2]⊆A，求实数a的取值范围．解1当a＝1时，不等式为|－1|＋|2－5|≥6当≤1时，不等式可化为－－1－2－5≥6，解得≤0，所以≤0；当1<<错误!时，不等式可化为－1－2－5≥6，解得≤－2，所以∈∅；当≥错误!时，不等式可化为－1＋2－5≥6，解得≥4，所以≥4综上所述，原不等式的解集为{|≤0或≥4}．2因为|g|＝||－a|－|－3||≤|－a－－3|＝|a－3|，所以g∈[－|a－3|，|a－3|]，所以函数g的值域A＝[－|a－3|，|a－3|]，因为[－1,2]⊆A，所以错误!解得a≤1或a≥5所以实数a的取值范围是－∞，1]∪[5，＋∞．。
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2021年广东省新高考数学一轮复习
第十二讲《不等式选讲》
第一节绝对值不等式
知识点不等式的性质和绝对值不等式
(1)解绝对值不等式的基本思想
解绝对值不等式的基本思想是去绝对值符号，常采用的方法是讨论符号或平方，例如：
①若a＞0，则|x|＜a⇔－a＜x＜a⇔x2＜a2；
②|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)；
③|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．
(2)注意利用绝对值三角不等式证明含有绝对值的问题
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，注意等号成立的条件．
[拓展]
推论1：若|a＋b|＝|a|＋|b|⇔ab≥0；
推论2：若|a＋b|＝||a|－|b||⇔ab≤0；
推论3：若|a－b|＝|a|＋|b|⇔ab≤0；
推论4：若|a－b|＝||a|－|b||⇔ab≥0.
1．(知识点)不等式|x－1|＜3的解集为________．
答案：(－2,4)
2．(知识点)|x＋3|－|x－1|≥0的解集为________．
答案：[－1，＋∞)
3．(知识点)|x＋a|≤2的解集为[－3,1]，则a＝________.
答案：1
4．(知识点)函数y＝|x＋3|－|x－1|的最大值为________．
答案：4
考点一绝对值不等式的解法
[例1](2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，
2，x ≥1.
故不等式f (x )＞1的解集为
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立．
若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；
若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为0＜x ＜2a ，所以2a
≥1，故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．
形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型
不等式的两种解法
1．零点分区法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
2．几何法：利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.
[提醒] 易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．
1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；
(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝1时，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，
－2x ＋6，x ＞2.
解得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．
(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.
而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，当且仅当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
考点二 绝对值不等式性质及应用
[例2] (2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.
(1)画出y ＝f (x )的图象；
(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．
解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.
y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.
绝对值不等式性质的应用
利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R)和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以(1)求最值．
(2)证明不等式．
2．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14
， 求证：|x ＋5y |≤1.。