大学物理学振动与波动习题答案

所以
．
显然f点的速度大于零，所以取负值，解得
tf= -T/12．
从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a点的时刻为
ta= T/4 +tf= T/6，
其位相为
．
由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．
4．3如图所示，质量为10g的子弹以速度v= 103m·s-1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动．设弹簧的倔强系数k= 8×103N·m-1，木块的质量为4.99kg，不计桌面摩擦，试求：
[解答]（1）设物体的简谐振动方程为
x = Acos(ωt + φ)，
其中A= 0.12m，角频率ω =2π/T= π．
当t =0时，x= 0.06m，所以
cosφ= 0.5，
因此
φ= ±π/3．
物体的速度为
v= dx/dt= -ωAsin(ωt + φ)．
当t =0时，
v= -ωAsinφ，
由于v> 0，所以sinφ< 0，因此
大学物理学（上）
第四，第五章习题答案
第4章振动
P174．
4．1一物体沿x轴做简谐振动，振幅A= 0.12m，周期T= 2s．当t= 0时，物体的位移x= 0.06m，且向x轴正向运动．求：
（1）此简谐振动的表达式；
（2）t=T/4时物体的位置、速度和加速度；
（3）物体从x= -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．
φ= -π/3．
简谐振动的表达式为
x= 0.12cos(πt –π/3)．
（2）当t=T/4时物体的位置为
x= 0.12cos(π/2–π/3)
= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)．
速度为
v= -πAsin(π/2–π/3)
= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．
加速度为
φ= -arccos(x0/A)；
当v< 0时，sinφ> 0，因此
φ= arccos(x0/A)．
可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0= A时，φ= 0；当初位置x0= -A时，φ= π．
4．2已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：
（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T；
（1）振动的振幅；（2）振动程．[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即
mv= (m + M)v0．
解得子弹射入后的速度为
v0= mv/(m + M) = 2(m·s-1)，
这也是它们振动的初速度．
子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得
(m + M)v02/2= kA2/2，
（2）振动表达式；
（3）画出旋转矢量图．
[解答]方法一：由位相求时间．
（1）设曲线方程为
x = AcosΦ，
其中A表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位．
由于xa= A，所以
cosΦa= 1，
因此Φa=0．
由于xb= A/2，所以
cosΦb= 0.5，
因此Φb=±π/3；
由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此
cosφ= 0.5，
因此
φ=±π/3；
由于零时刻的位相小于a点的位相，所以
φ=-π/3，
因此振动表达式为
．
另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程．
（3）如图旋转矢量图所示．
方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴相交于f点，由于xf=0，根据运动方程，可得
解得t= 5/6 = 0.83(s)．
[注意]根据振动方程
x = Acos(ωt + φ)，
当t =0时，可得
φ= ±arccos(x0/A)，（-π <φ≦π），
初位相的取值由速度决定．
由于
v= dx/dt= -ωAsin(ωt + φ)，
当t =0时，
v= -ωAsinφ，
当v> 0时，sinφ< 0，因此
Φb=π/3．
由于xc=0，所以
cosΦc= 0，
又由于c点位相大于b位相，因此
Φc=π/2．
同理可得其他两点位相为
Φd=2π/3，Φe=π．
c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为
a= dv/dt= -ω2Acos(ωt + φ)
= -π2Acos(πt -π/3)
= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)．
（3）方法一：求时间差．当x= -0.06m时，可得
cos(πt1-π/3) = -0.5，
因此
πt1-π/3 = ±2π/3．
由于物体向x轴负方向运动，即v< 0，所以sin(πt1-π/3) > 0，因此
πt1-π/3 = 2π/3，
得t1=1s．
当物体从x= -0.06m处第一次回到平衡位置时，x= 0，v> 0，因此
cos(πt2-π/3) = 0，
可得πt2-π/3 = -π/2或3π/2等．
由于t2> 0，所以
πt2-π/3 = 3π/2，
可得t2=11/6 = 1.83(s)．
所需要的时间为
所以振幅为
= 5×10-2(m)．
（2）振动的圆频率为
= 40(rad·s-1)．
取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x的正方向，振动方程可设为
x = Acos(ωt + φ)．
当t= 0时，x= 0，可得
φ= ±π/2；
由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为
x =5×10-2cos(40t- π/2)(m)．
Δt=t2- t1=0.83(s)．
方法二：反向运动．物体从x= -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x= 0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x= 0，v< 0，因此
cos(πt -π/3) = 0，
可得πt -π/3 = π/2，
ta= T/6．
到达b点的时刻为
tb=2ta= T/3．
到达c点的时刻为
tc= ta+ T/4=5T/12．
到达d点的时刻为
td= tc+ T/12= T/2．
到达e点的时刻为
te= ta+ T/2=2T/3．
（2）设振动表达式为
x = Acos(ωt + φ)，
当t =0时，x = A/2时，所以