实数和向量的积
6向量的坐标表示教案(1)
引导探究，讲练结合
学习要点及自主学习导引
学习心得
一．学生活动：
1．平面向量的基本定理：_________________________________________；
2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？
二．建构知识
1．向量的坐标表示的定义：
分别选取与 轴、 轴方向相同的_________ ， 作为_______，
对于任一向量 ， ，（ ），实数对_______
叫向量 的_______，记作 ．
其中 叫向量 在_____轴上的坐标， 叫向量 在____ 轴上的坐标。
说明：（1）对于 ，有且仅有一对实数 与之对应；
（2）相等的向量的坐标也_________；
课题
2.3.1平面向量基本定理
编号
6
学习目标
1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；
2．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的
关系来用坐标表示；
3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。
教学重点、难点
1．平面向量的坐标运算；
2．对平面向量的坐标表示的理解。
4.实数与向量的积的坐标：
已知 和实数 ，求
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的
相应____________。
三．典例探究
例1如图，用基底 ， 分别表示向量
、 、 、 ，并求出它们的坐标。
例2已知 ， ，求 ， ， 的坐标．
例3.已知 ， ， ，且 ，求 ，
例4．（1）已知向量 与 相等，其中 ， ，则 ；
（3） ， ， ；（4）从原点引出的量 的坐标___________
向量积
数量积又称内积，记做a·b，结果是一个实数，大小为|a|·|b|·cos<a,b>
向量积又称外积，记做a×b，结果是一个向量，这个向量的模长为
|a|·|b|·sin<a,b>,方向与a,b都垂直（垂直于a,b所确定的平面），与a,b 成右手系。
向量积又称“外积”、“叉积”。
两向量a与b的向量积是向量，用c=a×b表示。
其长度等于以a、b为边的平行四边形的面积(图中阴影部分)，
即｜c｜=｜a×b｜=｜a｜·｜b｜sinθ(0≤θ≤π)；
方向垂直于与，而且c、b、a三向量成右手系(用右手的拇、食、中三手指分别表示)。
向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。
若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。
若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a∥b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
8.0.2实数与向量的乘积(附录2)
一、实数与向量的乘积(向量的数乘) 可以验证，向量数乘满足下面的运算律: 设 , R ①
( a) ()a
(a b) a b （分配律）
② ( )a a a（分配律）
③
例1.计算： (1) (3) 4a 12a (2) 3(a b) 2(a b) a 5b
例5. 对于任意两个非零向量a, b 已知 OA 4b ，求
解：AB OB OA b 证
A, B, C 三点共线.
C
B A
AC OC OA 3b AC 3AB AC ∥ AB
O
一般地, A, B, C三点共线
The Vector Multiplied by a Real Number
一、实数与向量的乘积(向量的数乘) 定义：实数 和向量 a 的乘积是一个向量 记作 a ， 它的长度与方向规定如下： (1) | a | | || a |
0 时， a 与 a 同方向 (2) a(a 0) 的方向 0 时， a 与 a 反方向 0 时， 0a 0 ；
. .
1 a0 a a 1 b0 a a
例 3．在 ABC 中，G 是中线 AD, BE 的
交点，若 AB a , AC b ，试用 a , b 表 示 BC, AD, AG, CG
A
a
G B
D
b
E
C
例4.已知P 1P 3PP2 ,
1若 P1P2 P2 P, 则
.
2若 P2 P1 P1P, 则
.
二、向量平行的条件 平行向量基本定理
（1）非零向量 a , b ，若 a b ，则 a // b ；
6.2.3 向量的数乘运算-高一数学新教材配套课件(人教A版2019必修第二册)
课堂小结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 λ＋a，λ－a 是没
有意义的．
2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，
→ → →→
→→
若AB＝λAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，
这是证明三点共线的重要方法．
D．2a－3b
解析: A→C＝A→B＋A→D＝2a＋3b.
3.在△ABC 中，若A→B＋A→C＝2A→P，则P→B等于( )
A．－12A→B＋32A→C
B. 12A→B－32A→C
√C. 12A→B－12A→C
D．－12A→B＋12A→C
解析：由A→B＋A→C＝2A→P得A→P＝12(A→B＋A→C)，所以P→B＝P→A＋A→B＝－12(A→B＋A→C) ＋A→B＝12A→B－12A→C.
总结
1.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． 2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合． 例如，若A→B＝λA→C，则A→B与A→C共线，又A→B与A→C有公共点 A，从而 A， B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
二．向量共线定理 1.向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa ．
注意： (1)定理中，向量 a 为非零向量 (2)要证明向量 a，b 共线，只需证明存在实数 λ，使得 b＝λa 即可． (3)由定理知，若向量A→B＝λA→C，则A→B，A→C共线．又A→B，A→C有公共点 A，从而 A，B， C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
由O→D＝O→A＋O→B＝a＋b，得O→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D＝23a＋23b.
实数与向量的乘积
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
THANKS
两向量向量积的定义
两向量向量积的定义向量积，也被称为叉乘或矢积，是在三维空间中用来定义一个新向量的运算。
现在，我们将详细介绍向量积的定义和性质。
两个三维向量可以通过叉乘来生成一个新的向量。
设有两个向量a和b，它们的向量积可以用符号"×"表示，即a × b。
叉乘的结果是一个新的向量c。
向量积的定义如下：a ×b = (a2b3 - a3b2)i + (a3b1 - a1b3)j + (a1b2 - a2b1)k其中，i、j、k分别表示坐标轴的单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3是向量a和b的分量。
向量积的定义可以理解为，新向量c的方向垂直于向量a和b所在的平面，同时满足右手定则：将右手的指尖从向量a旋转到向量b，则大拇指所指的方向就是向量c的方向。
向量c的模的大小等于a和b所构成的平行四边形的面积。
另外，向量积还有以下性质：1. 叉乘满足反对称性：a × b = - ( b × a)。
这意味着向量积的结果与向量的顺序有关，交换向量的位置会改变结果的方向。
2. 向量积满足分配律：a × (b + c) = a × b + a × c。
这说明向量积在向量加法上满足分配律，可以先进行向量积运算，然后进行向量加法运算。
3. 叉乘满足线性性质：(ka) × b = a × (kb) = k(a × b)，其中k为实数。
4. 如果向量a和b夹角为θ，则向量积的模的大小为|a × b| = |a| |b| sinθ。
这个公式可以通过平行四边形法则或三角形面积公式推导得出。
5. 当向量a与向量b平行时，它们的向量积为零向量：a × b = 0。
通过向量积，我们可以计算出两个向量的垂直向量，从而应用于很多领域，例如物理学中的力矩计算、计算机图形学中的向量旋转等。
由于向量积的定义和性质都比较直观，因此在几何学和物理学中得到广泛应用。
实数与向量相乘
实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数n ，a 为向量，我们用表示ann 个a 相加；用表示个相a n -n a -加.又当为正整m 数时，a m n 表示与同向a 且长度为的a mn 向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P 就是将的a a 长度进行放缩，而方向保持不变；—P 也就是将a a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义 一般地，实数与向量k a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a = ；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka = ，ka 的方向任意.实数与向量k a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （3）ka表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b ）=m a a mb +（向量的数乘对于向量加法的分配律）4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量与它同方a 向的单位向量0a 的关系：0a a a = ，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量与b 非零向量平a 行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =.要点诠释：（1）定理中，bm a =，m 的符号由与b a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠ ”不能去掉，因为若a 0= ，必有b 0=，此时可以取m 任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b m a =，则向量与非b 零向量平行a .（4）向量平行的性质定理：若向量与非b 零向量平行a ，则存在一个实数m ，使b ma =.（5）A 、B 、C 三点的共线若存在实⇔AB//BC ⇔数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一12,e e 平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+.要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这12,e e 一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形12,e e 1122a e e λλ=+ 式，叫做向量的分解，当相互垂直12,e e时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。
实数与向量相乘
实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a mn的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB //BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。
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实数和向量的积
【基础知识精讲】
1.实数与向量的积的定义
实数λ与向量a 的积是一个向量，记λa ，它的长度与方向规定如下：
(1)｜λa ｜=｜λ｜·｜a ｜;
(2)当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.
2.实数和向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)=λμ
(2)(λ+μ) =λ+μ
(3)λ(+)=λ+λ
3.两个向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得=λ.
4.平面向量基本定理 如果1e ，2e ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使：
=λ11e +λ22e 其中不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 注意：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.
(2)上面分解是唯一的.
向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算.任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合.。