弯矩M正应力σ
6第六章-梁的应力详解精选全文完整版
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
梁的弯曲正应力公式
梁的弯曲正应力公式在我们学习力学的奇妙世界里，梁的弯曲正应力公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
先来说说梁是啥吧。
想象一下，你家里的房梁，或者是一座桥上的大梁，它们都是承受各种力量的重要结构。
梁在受到外力作用时，会发生弯曲，而这时候梁内部就会产生应力。
那梁的弯曲正应力公式到底是啥呢？它其实就是用来计算梁在弯曲时，不同位置处的应力大小的。
公式是：σ = My / I 。
这里的σ就是正应力，M 是弯矩，y 是所求应力点到中性轴的距离，I 是惯性矩。
咱们来具体讲讲这个公式里的每个部分。
先说弯矩 M ，它就像是一个大力士，决定了梁弯曲的程度和力量大小。
比如说，在一个建筑工地上，一根钢梁要承受上面重重的建筑材料的压力，这个压力让钢梁产生弯曲，而这个弯曲的力量大小就是弯矩。
再看 y ，也就是所求应力点到中性轴的距离。
中性轴就像是梁的“平衡线”，上面的部分受压，下面的部分受拉。
比如说，你拿一根竹条弯曲，中间不怎么变形的那一条线就类似中性轴。
而应力点到中性轴的距离越大，应力也就越大。
惯性矩 I 呢，它反映了梁横截面的形状和尺寸对抗弯能力的影响。
比如说，同样长度的钢梁，如果一个是实心的粗钢梁，一个是空心的细钢梁，那实心的粗钢梁惯性矩就大，抗弯能力也就更强。
我记得有一次去工厂参观，看到工人们正在加工一批钢梁。
工程师拿着图纸，嘴里不停地念叨着梁的弯曲正应力公式，计算着每根钢梁在不同工作条件下的应力情况。
他们神情专注，一丝不苟，因为哪怕一点点的误差，都可能导致钢梁在使用过程中出现问题，造成严重的后果。
在实际应用中，梁的弯曲正应力公式用处可大了。
比如在设计桥梁的时候，工程师得根据车辆的通行量、桥的跨度等因素，利用这个公式准确计算出桥梁中各个部位的应力，确保桥梁的安全稳固。
又比如在机械制造中，要设计一个能承受特定载荷的传动轴，也得靠这个公式来确定轴的尺寸和材料。
总之，梁的弯曲正应力公式虽然看起来有点复杂，但它可是力学世界里的宝贝，能帮助我们解决很多实际问题，让我们的生活更加安全和便捷。
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
梁横截面上的应力
2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。
C截面上的最大拉应力和最大压应力为
tC
M C y2 I
2.5103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
Z
28.8106 P a 28.8MP a
cC
M
B
y 1
Iz
2.5 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
17.0 106 P a 17.0MP a
3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。
B截面上的最大拉应力和最大压应力为
tB
M
B
y 1
Iz
4 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
27.2 106 P a 27.2MP a
cB
M B y2 Iz
4 103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
【例4.17】 求图（a，b)所示T形截面梁的最大拉 应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm。
【解】 1）绘制梁的弯矩图。
梁的弯矩图如图（c）所示。 由图可知，梁的最大正弯矩发 生在截面C上，MC=2.5kNm; 最 大负弯矩发生在截面B上，MB= －4kNm。
入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）
或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉 应力，凹入边的应力为压应力。
（2）横截面上正应力的分布规律和最大正应力 在同一横截面上，弯矩M 和惯性矩Iz 为定值，因此
由公式可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到 中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，中性轴上各点处 的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离 中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最 大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。
弯曲应力及强度计算
工程背景
第2页/共32页
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
第3页/共32页
由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
第19页/共32页
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际 构件往往设计成近似等强的。
第29页/共32页
小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
第12页/共32页
* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
材料力学拉伸压缩剪切扭转名称公式判别及汇总
一、拉（压）杆强度条件：--------（1）二、（剪切）切应力条件和挤压强度条件1.切应力强度条件：τ --------（2）2.挤压强度条件：--------（3）三、圆轴扭转时的强度和刚度条件资料个人收集整理，勿做商业用途1.扭转强度条件：-----------（4）----------------（5）2.扭转刚度条件：-----------（6）----------------（7）四：弯曲正应力强度条件：------(8)符号释义：1.：正应力2. τ：切应力3.T：扭矩4.：轴力5.：剪切力6.7.A：剪切截面面积8.：抗扭截面系数9.：横截面对圆心的极惯性矩10.y: 正应力到中性轴的距离11.ε：正应变(线应变) 三个弹性材料的关系：1.E：弹性模量（GN/m²）2. μ：为泊松比（钢材的μ为0.25-0.33）3.G：剪切弹性模量（GN/m²）剪切胡可定律：τ=Gγ16.E：抗拉刚度17.胡可定律：σ=Eεσ=E18.ρ：曲率半径19.：梁弯曲变形后的曲率20.M：弯矩轴力、剪切力、均为内力求内力的方法-截面法：1.假想沿m-m横截面将杆件切开2.留下左半端或右半段3.将弃去部分对留下部分的作用(力)用内力代替4.对留下部分写平衡方程，求出内力的值。
当你选择好研究对象时，建立坐标系，这个对象的所有受力的x方向的代数和，和y方向的代数和为零，这就建立平衡方程，【me=o】，就是你在研究对象上选取一个点作为支点，然后所有力对这个点取矩，顺时针和逆时针方向的代数和为零，这样就分别建立三个平衡方程，可以联立接触其中未知数，这种情况只是用于解决静定结构的。
12.γ：切应变(角应变)21.：外力偶矩13.EA：抗拉强度(钢材的EA约为200GPa)14.δ：断后伸长率15.ψ：断面收缩率/相对扭转角梁受力有：轴力、剪切力和弯矩M。
一、材料力学的几个基本感念1.构件：工程结构或机械的每一组成部分。
弯矩与应力的关系公式
弯矩与应力的关系公式
弯矩和应力是材料力学中的两个重要概念，它们之间存在着一定的关系。
在弯曲力学中，弯矩是指作用在横截面上的力对材料产生的力矩，而应力则是指单位面积上受到的力的大小。
弯矩和应力的关系可以通过以下公式来表示：σ = (M * y) / I
其中，σ表示应力，M表示弯矩，y表示距离横截面中心轴的距离，I表示横截面的惯性矩。
这个公式的本质是描述了弯曲横截面上的应力分布情况。
根据公式，我们可以看出，应力与弯矩成正比，应力的大小取决于弯矩的大小。
同时，应力还与横截面的形状和大小有关，即与惯性矩I成反比。
相同的弯矩作用在不同形状和大小的横截面上，应力大小将有所差异。
这个公式在工程力学和结构设计中广泛应用。
通过计算得到的应力数值可以用于判断材料的强度和稳定性。
工程师可以根据弯矩和横截面的特性来选取合适的材料和设计结构，以确保工程的安全性和可靠性。
需要注意的是，这个公式仅适用于线弹性材料，而对于非线弹性材料或复杂应力状态，需要采用更加复杂的力学理论和分析方法。
总结起来，弯矩与应力之间的关系可以通过公式σ = (M * y) / I来表示。
这个公式在工程力学中有着重要的应用，可以用于评估材料和结构的强度和稳定性。
材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式
1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式2•轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式Cr=杆件横截面轴力刊，横截面面积仏拉应力为正）3. 轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a从X轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）4. 纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距1,拉伸后试样标距11；拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径dl）M = I l-I M = d l-d5. 纵向线应变和横向线应变6.泊松比外力偶KI N血矩计箕公式（P功率，n转速）T a = P a Sinaf= CrCDSafailIa= —siπ2α2Cr= EE7.胡克定律17∙&受多个力作用的杆件纵向变形计算公式？9・承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式14.剪切胡克定律（切变模量G 9切应变g ） T=G^ 15. 拉压弹性模量E 泊松比"和切变模量G 之间关系T 9所求点到11. 许用应力H=⅞脆性材料血=还，塑性材料氐=还12.延伸率 L -I 5- 1X100%110.轴向拉压杆的强度计算公式13. 截面收缩率A A-A IΨ= X100%圆截面对 心的极惯性矩（a ）实心圆（b ）空心轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩32T18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式19・ 扭转截面系数Wrr=≠, （a ）实心圆Wl=^（b ）空心圆I 鲁（I F20.薄壁圆管（壁厚δ ≤ R o /10 , R o 为圆管的平均半21.圆轴扭转角炉与扭矩7；杆长人 扭转刚度GHP 的关径不同（如阶梯轴）时23.等直圆轴强度条件24.塑性材料E = (WA)I 叫脆性材料I T l = (°∙8 ~ Io )I er lGi I TT26. 受压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计径）扭转切应力计算公式T ~2τ^δTL 系式"瓯22同一材料制成的圆轴各段的扭矩不同或各段的直扭转圆轴的刚度条件？乳≤l^lZ 或27. 平面应力状态下斜截面应力的一般公式Cr K + 6 6 —VCre =—2 —+—2 —c∏s2a-τx≡m2α28. 平面应力状态的三个主应力tan2α⅞ =-―啦-29・主平面方位的计算公式∏30.31. 受扭圆轴表面某点的三个主应力°ι=r, 5 =0,三向应力状态最大与最小正应力H=巧，¾⅛ =σ⅛33.三向应力状态最大切应力宁34.广义胡克定律El =丘冋一叭円+如】¾ =—IOi-V(σ⅛+σi)l¾ = jlσr3-v(o1+σ2)j面最大切应力35.四种强度理论的相当应力40. 平行移轴公式（形心轴ZC与平行轴ZI的距离为a, 图形面积为M）4 =亿+^4_ My41. 纯弯曲梁的正应力计算公式σ~42. 横力弯曲最大正应力计算公式50.弯曲正应力强度条件^rIiaX43.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数?44.中性轴一侧的横截面对中性轴Z 的静矩，b 为横截面在45. 矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处46.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式47. 轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式49.圆环形薄璧截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（Ema X 为51. 几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件52. 弯曲梁危险点上既有正应力o又有切应力τ作用时的强度条件% =3十卅或% = 3山 M㈣,[σj = o⅛ ItlSd2w_ M(X)53. 梁的挠曲线近似微分方程^r = -^a_ J■厂54. 梁的转角方程^⅛dx+cι55.梁的挠曲线方程？窖W+金556.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式偏心拉伸(压缩).-⅛,÷.M≡.σι∣ιaxGuin .58.建立的强度条件表达式幻嗚何TF如^4 = ^λ⅛2+0.75Γ2≤[σ]59二圆截面杆横截面上有两个弯矩叫和MZ同时作用时,合成弯矩为M =何硕60.圆截面杆横截面上有两个弯矩％和MZ 同时作用时—¼2 +0.75Γ2 = — +ΛfJ +0.75Γ2 ≤[<τj62.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式F63. 剪切实用计算的强度条件FHX ⅝ r164. 挤压实用计算的强度条件％卞一%65.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力66.压杆的约束条件：(a)两端较支U=I(b) 一端固定、一端自由μ=2 67. 压杆的长细比或柔度计算公式" 68. 细长压杆临界应力的欧拉公式% =^~λ> λt =兀69.欧拉公式的适用围61.Ii = ----- = --- 王70. 压杆稳定性计算的安全系数法% F l71. 压杆稳定性计算的折减系数法Cr=⅞≤<I^CΓ172. …关系需查表求得。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常用截面的抗弯截面系数分别为
bh3
b
z
Wz
Iz ymax
12 h
bh2 6
y
2
z
d
y
Wz
Iz ymax
d 4 / 64
d/2
d 3
32
d
z
a
d
D
D
y
Wz
Iz ymax
D3
32
(1a 4)
[例7.1] 图示悬臂梁，横截面为矩形。梁自由端B受 集中荷载F=3.5kN作用，试计算梁的最大弯曲正应力 和危险截面上K点的弯曲正应力。
s max
M max WZ
WZ
IZ ymax
IZ h
2
特点：最大拉应力=最大压应力
s max
s max
②T形截面梁的正应力
s max
M W1
W1
IZ y1
s max
M W2
W2
IZ y2
特点： 最大拉应力≠最大压应力
s max
s max
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件
σdA x
σt,max y
横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比
正应力的大小沿截面高度呈线性变化，截面上下边缘处的 正应力绝对值最大，中性轴的正应力为零。
2、纯弯曲梁正应力
（二）正应力公式
变形几何关系 y
物理关系 s E
静力学关系
1 M
EIZ
s E y
s My
在拉区s为正,压区s为负
3、最大正应力
由正应力计算公式知，横截面上离中性轴
最远的各点处，弯曲正应力最大。
s max
M
ymax Iz
令
WZ
IZ ymax
——抗弯截面系数
抗弯截面系数反映了截面形状和尺寸对弯
曲正应力的影响。
则
s max
M Wz
对于一般的等截面杆，最大正应力发 生在弯矩绝对值最大的截面的上下边 缘上；
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件
2、纯弯曲梁正应力
（一）公式推导 几何关系
物理关系
导出 正应力计算公式
静力平衡条件
几何关系
从梁中截出长度为dx的一段来研究，将梁的轴线取为x 轴，横截面纵向对称轴为y轴，中性轴取为z轴。
设中性层的曲率半径为ρ，两横截面的
相对转角为dθ ，则距离中性层y只有弯矩而无剪力，这种弯 曲称为纯弯曲。
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件
7.2.1 弯曲正应力一般公式
1、横力弯曲
内力
剪力FQ 弯矩M
切应力t 正应力s
2、纯弯曲
o dA M
x
FS σ dA
τ dA
y
内力：弯矩M
正应力σ
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件 两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而
40
F
A
B
2m
80 30
z K
（a）
y
（b）
F
解：1）作梁的内力图 A
易知 M max 7kN m
B 2m
2）计算梁固定端截面上的 最大弯曲正应力
7kN.m
（a）
梁的弯曲截面系数为
M图：
（c）
WZ
bh 2 6
40 80 2 mm 3 6
426.7 10 2 mm 3
s max
7.2.2 弯曲正应力强度条件
2.强度条件应用 依此强度准则可进行三类强度问题计算
① 校核强度：
s max
M max Wz
s
② 设计截面尺寸：
Wz
M max
[s ]
③ 确定许可载荷： M max Wz[s ]
[例7.2] 如图示一简支梁，由32a号工字钢制成，梁 上作用有均布荷载q=22kN/m，材料的许用应力 [σ]=150MPa，跨长l =6m。试校核该梁的强度。
q
l （a）
工32a （c）
q
解：1）作弯矩图
易知
M max
1 8
ql 2
1 22 62 8
99kN.m
l BB yd
对应的纵向线应变为
o1
l yd y
A
dx d
dθ
ρ
dx
o2
y
B′
B
横截面上任一点的纵向线应变与其到中性轴的距离成正比
物理关系
在弹性范围内，正应力与纵向线应变成正比，即
s E
σc,max
将 y 代入上式得：
s E y
o 中性轴
7 103 N m 30103 m 170.7 104 1012 m4 123MPa
80 30
z K
y （b）
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件
7.2.2 弯曲正应力强度条件
1. 正应力强度条件
s max
M max WZ
[s ]
[s]——材料的许用正应力
①矩形和工字形截面梁，对应的最大正应力为
M max WZ
7 10 3 N.m
426 .7 10 2 10 9 m3
164 MPa
3）计算梁固定端截面上K点处的弯曲正应力σK
梁的惯性矩为
IZ
bh3 12
40 80 3 mm 4 12
170.7 10 4 mm 4
梁固定端截面上K点处的弯曲正应力为
40
sK
M max yK IZ
2. 根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形， 作出如下的两点假设：
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转 动，距中性轴等高处，变形相等。
单向受力假设：纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压 缩。
纵向对称面 中性层
横截面上各点处无剪切 变形，故纯弯曲时横截 中性轴 面上只有正应力。
IZ
为曲率半径
1
为梁弯曲变形后的曲率
2、纯弯曲梁正应力
（三）正应力公式适用条件
s My
IZ
M — 横截面上的弯矩 y — 所求应力点到中性轴的距离 Iz — 截面对中性轴的惯性矩
不仅适用于纯弯曲，也适用于横力弯曲； 适用于所有对称截面。
（四）应力正负号确定
M为正时,中性轴上部截面受压下部截面受拉; M为负时,中性轴上部截面受拉下部截面受压.
纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
纵向对称面 中性层
中性轴
1、现象和假设 纵向对称面
a
c
b
d
M
a
c
b
d
（一）梁的纯弯曲实验 1.纯弯曲实验
①横向线(a b、c d）变形 后仍为直线，仍与纵向线 正交，只是横向线间有相 对转动；
M ②横截面高度不变； ③纵向线变为曲线，且上 缩下伸。
学习目标
掌握梁的弯曲正应力计算及强度条件。
目录
7.2.1 弯曲正应力一般公式 7.2.2 弯曲正应力强度条件 7.2.3 提高梁抗弯强度的措施
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件
7.2.1 弯曲正应力一般公式
梁的AC、DB两段内，各横 截面上既有剪力又有弯矩，这 种弯曲称为横力弯曲。