全国卷Ⅲ2020年高考数学压轴卷理含解析
b
[90，105）
一等品
a
0.4
[105，120）
特等品
20
0.2
合计
n
1
（1）求 a，b，n；
（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取 6 件，再从这 6 件
中随机抽取 2 件，求至少有 1 件特等品被抽到的概率．
18．（12 分） ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，设
故选 B.
12【答案】D
【解析】构造函数 f (m) f (1 2m) ≥ 3m 1 f (m) m f (1 2m) (1 2m) ，所以
构造函数 F( x) f ( x) x ， f (2 x) f (x) 2x 2 f (2 x) (2 x) f ( x) x ，
（全国卷Ⅲ）2020 年高考数学压轴卷 理（含解析）
注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
0) 与椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 有相同的焦点 F
， P 是两
PF 5 p
曲线的公共点，若
6 ，则此椭圆的离心率为_________.
16、已知正三棱锥
，点 、 、 、 都在半径为 的 球面上，若 、 、 两两相
互垂直，则球心到截面 的距离为__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
E
2, 0
与坐标轴的一个交点坐标为
.
（I）求椭圆 E 的标准方程；
（II）过点 0, 2的直线 l（直线的斜率 k 存在且不为 0）交 E 于 A，B 两点，交 x 轴于点
P 点 A 关于 x 轴的对称点为 D，直线 BD 交 x 轴于点 Q.试探究| OP | | OQ | 是否为定值？请
说明理由.
∴4x＝
＝
＝9，
故选：D．
6、B 解：∵sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝2sinAcosC，
∴cosAsinC﹣sinAcosC＝sin（C﹣A）＝0，即 C﹣A＝0，C＝A，
∴a＝c，即△ABC 为等腰三角形．
故选：B．
7、【答案】C
【解析】按流程图逐一执行即可.
1 A. 3
1 B. 2
1 C. 4
1 D. 5
1
3.已知 a 32 ， b log2 3 ， c log9 2 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（ ）
A. a b c
B. a c b
C. b a c
D.
cba
4.在
的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则 （ ）
A.
B.
C.
D．f（2）＜f（1）＜f（0）
f x sin x 4 cos2 x 1
11.函数
的最小正周期是（ ）
A. 3
2 B. 3
C.
D. 2
12. 定义在R上的可导函数 f (x) 满足 f (2 x) f (x) 2x 2 ，记 f (x) 的导函数为 f (x) ，
当 x ≤1 时恒有 f (x) 1 ．若 f (m) f (1 2m) ≥ 3m 1 ，则m的取值范围是
OP OQ
（2）设 P（0，-1），直线 l 与 C 的交点为 M，N，线段 MN 的中点为 Q，求
.
f (x) x 2
23.已知函数
．
（1）解不等式： f (x) 4 f (x 1)
（2）若函数 g(x) x 3, (x 4) 与函数 y m f (x) 2 f (x 2) 的图象恒有公共点， 求实数 m 的取值范围．
倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的 a, b 分别为 3 ，1， 则输出的 n （ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8.函数
f
(x)
x3 ex 1
的图象大致是（
）
(x) a ln x bx2 (a 0, b 0) ，若函数 f (x) 的图象在 x 1 处的切线与直线
朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世
杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前
人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗
歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的 《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自
z i 可得：
i (1 i)2
i 1 2i i2
1 2
z 1 所以 2 故选：B
3、【答案】A
1 【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较 a 、 b 、 c 与1和 2 的大小关系，从而可得
出实数 a 、 b 、 c 的大小关系.
1
【详解】由于指数函数 y 3x 是增函数，则 a 32 30 1 ；
3ex 3 xex
f′（x）
ex 1 2
ex 1 2
，令 3ex 3 xex g(x)
3ex x 1ex 2 xex
g′（x）
，当 x∈（0，2），g′（x）＞0，函数 g(x)是增函
数，
当 x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函数 g(x)是减函数，g(0)= 6 0 ，g(3)=3>0， g(4)=
1、【答案】C
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学·参考答案
【解析】算出集合 A, B 后可求 A B .
【详解】
A
x
(x
1)(
x
4)
0
1,
4 ，
B
x
log2
x
2
0,
4 ，
故 A B 0, 4，故选 C.
2、【答案】B
z 1
【解析】利用复数的除法运算求得
2 ，问题得解.
【详解】由 z(1 i)2
3 e4 <0，
存在
x0
3,
4
，使得
g(
x0
)=0，
且当 x∈（0， x0 ），g(x)>0，即 f′（x）＞0，函数 f（x）是增函数，
当 x∈（ x0 ，+∞），g(x)<0，即 f′（x）＜0，函数 f（x）是减函数， ∴B 不正确， 故选 D． 9、【答案】D
【解析】由
f
(x)
a ln
x
F(2 x) F (x) 所以 F(x) 的对称轴为 x 1 ， F'(x) f ' (x) 1所以，
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
x
2t 2
22.在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
y
1
2 t
2 （t 为参数），以原点
2 4 O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 1 sin2 .
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
【详解】输入的 a, b 分别为 3 ，1时，依次执行程序框图可得：
a 3 13 9 22
b 21 2 a b 不成立 n 11 2
a 9 1 9 27 2 22 4
b 22 4 a b 不成立 n 21 3
a 27 1 27 81 4 24 8
b 24 8 a b 不成立 n 31 4
a 81 1 81 243 8 2 8 16
b 28 16 a b 成立 输出 n 4 故选：C
8、【答案】D
【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．
【详解】当 x<0 时，f（x） 0．排除 AC，
3x2 (ex 1) x3ex
x2
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
A
1.已知集合
x (x 1)(x 4) 0
B
，
x log2 x 2
，则 A B （
）
A. 2,4
1,
B.
0, 4
C.
2,
D.
2.若复数 z 满足 z(1 i)2 i （ i 是虚数单位），则 z 为（ ）
对数函数 y log2 x 是增函数，则 log2
2 log2
3
log2
2
，即
1 2
b
1
；
对数函数
y
log9
x
是增函数，则
c
log9
2
log9
3
1 2
.
因此， a b c .
故选：A.
4、【答案】B
【解析】
，
，
，
解得：
，故选 B.
5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
解：∵x•log32＝1，∴x＝log23，
x
1 y 2e 0 平行，则 a
1 b 的最小值为（
）
1
A. 1
B. 2
C. 3 2 2
D. 3 2 2
10．已知函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，
2020年高考数学全国Ⅲ卷(理)试卷+解析
附：K2=
P（K2≥k） 0.050
0.010
n ad bc2
，
a bc d)a cb d
0.001
k
3.841
10.828
6.635 ．
19．（12 分） 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上，且 2DE ED1 ， BF 2FB1 ． （1）证明：点 C1 在平面 AEF 内； （2）若 AB 2 ， AD 1， AA1 3 ，求二面角 A EF A1
故选：C.
【小结】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
2.复数 1 的虚部是（ 1 3i
A. 3 10
【答案】D
）
B. 1 10
1
C.
10
3
D.
10
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算求出 z 即可.
【详解】因为 z 1 1 3i 1 3 i ， 1 3i (1 3i)(1 3i) 10 10
设数列{an}满足 a1=3， an1 3an 4n ． （1）计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前 n 项和 Sn．
18．（12 分）
某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的
人次，整理数据得到下表（单位：天）：
1．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
2020年高考理科数学及答案解析(全国Ⅲ卷)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【难度】容易 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C 【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
2020年高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ卷)及答案
绝密★启用前2020年高考数学（理科）（全国新课标Ⅲ）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为（）A.2B.3C.4D.62.复数113i -的虚部是（）A.310- B.110-C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411ii p==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e--=+，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3）（）A.60B.63C.66D.695.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（）A.（41，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）6.已知向量，a b 满足5||=a ，6||=b ，6-=⋅b a ，则>+<b a a ，cos =（）A.3135-B.1935-C.1735D.19357.在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =，则cos B =（）A.91 B.31 C.21 D.328.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.442+C.623+D.423+9.已知7)4tan(tan 2=--πθθ，则tan θ=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.210.若直线l 与曲线y x =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为（）A.12+=x yB.212+=x y C.121+=x y D.2121+=x y11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．812.已知5458<，45138<，设，，，8log 5log 3log 1385===c b a 则（）A.cb a ＜＜ B.ca b ＜＜ C.ac b ＜＜ D.ba c ＜＜二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020全国3卷高考数学试题解析
2020全国1卷高考数学试题解析1．已知集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【思路分析】利用交集定义求出{(7,1)A B =，(6,2)，(5,3)，(4,4)}．由此能求出A B 中元素的个数．【解析】：集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，{(AB x ∴=，*)|,}{(7,1)8,y xy x y N x y ⎧∈=⎨+=⎩，(6,2)，(5,3)，(4,4)}．A B ∴中元素的个数为4．故选：C ．【总结与归纳】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．复数113i-的虚部是( ) A ．310-B ．110-C ．110D ．310【思路分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：1131313(13)(13)1010i i i i i +==+--+，∴复数113i -的虚部是310．故选：D ． 【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )A ．140.1p p ==，230.4p p ==B ．140.4p p ==，230.1p p ==C ．140.2p p ==，230.3p p ==D ．140.3p p ==，230.2p p ==【思路分析】根据题意，求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大．【解析】：选项:()10.120.430.440.1 2.5A E x =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以2222()(1 2.5)0.1(2 2.5)0.4(3 2.5)0.4(4 2.5)0.10.65D x =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；同理选项:() 2.5B E x =，() 1.85D x =；选项:() 2.5C E x =，() 1.05D x =；选项:() 2.5D E x =，() 1.45D x =；故选：B ．法二：标准差是反映数据波动的大小，波动越大，则方差越大，根据四个选项概率分布可知B 偏离平均值较大，所以标准差最大.【总结与归纳】本题考查了方差和标准差的问题，记住方差、标准差的公式是解题的关键．4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1t K I t e--=+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( )(193)ln ≈A ．60B ．63C ．66D ．69【思路分析】根据所给材料的公式列出方程0.23(53)0.951t K K e --=+，解出t 即可．【解析】：由已知可得0.23(53)0.951t K K e --=+，解得0.23(53)119t e --=， 两边取对数有0.23(53)19t ln --=-，解得66t ≈，故选：C ．【总结与归纳】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题5．设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为( )A ．1(4，0)B ．1(2，0)C ．(1,0)D ．(2,0)【思路分析】利用已知条件转化求解E 、D 坐标，通过1OD OE k k =-，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．【解析】：法一：将2x =代入抛物线22y px =，可得y =±OD OE ⊥，可得1OD OE k k =-，212p -=-，解得1p =，所以抛物线方程为：22y x =，它的焦点坐标1(2，0)．故选：B ．法二：抛物线过顶点O 垂直的两条弦OD OE ⊥，则DE 直线过定点(2,0)p ，则可知221p p =⇒=，所以焦点坐标为1(,0)2【总结与归纳】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b =-，则cos a <，(a b +>= )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【思路分析】利用已知条件求出||a b +，然后利用向量的数量积求解即可．【解析】：向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b =-，可得22||225127a b a a b b +=++=-=，cos a <，2()25619575735||||a ab a a b a b a a b ++-+>====⨯⨯+．故选：D ． 【总结与归纳】本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题．7．在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos (B = ) A ．19B ．13C ．12D ．23【思路分析】先根据余弦定理求出AB ，再代入余弦定理求出结论．【解析】：在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =， 由余弦定理可得2222222cos 4324393AB AC BC AC BC C =+-=+-⨯⨯⨯=； 故3AB =；2222223341cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-∴===⨯⨯，故选：A ．【总结与归纳】本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．642+B ．442+C ．623+D ．423+【思路分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公式计算即可．【解析】：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，2PA AB AC ===，PA 、AB 、AC 两两垂直，故22PB BC PC ===，几何体的表面积为：213322(22)62324⨯⨯⨯+⨯=+故选：C ．【总结与归纳】本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan (θ= )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【思路分析】利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可．【解析】：由2tan tan()74πθθ-+=，得tan 12tan 71tan θθθ+-=-，即22tan 2tan tan 177tan θθθθ---=-，得22tan 8tan 80θθ-+=，即2tan 4tan 40θθ-+=，即2(tan 2)0θ-=，则tan 2θ=，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合两角和差的正切公式以及配方法是解决本题的关键．难度中等．10．若直线l 与曲线y =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为( )A ．21y x =+B ．122y x =+C ．112y x =+ D ．1122y x =+【思路分析】根据直线l 与圆2215x y +=相切，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线与曲线y =求一解可得答案；【解析】：法一：直线l 与圆2215x y +=相切，那么直线到圆心(0,0)，四个选项中，只有A ，D 满足题意；对于A 选项：21y x =+与y =联立可得：210x +=，此时：无解；对于D 选项：1122y x =+与y =联立可得：11022x =，此时解得1x =；∴直线l 与曲线y =和圆2215x y +=都相切，方程为1122y x =+，故选：D ．法二：设直线l 为y kx b =+=1）设直线与曲线y =0(x ，则01201'|2x x y x k -===，（2）0kx b =+(3)根据（2）（3）可得：b =1）得01x =或015x =-（舍去） 所以12k b ==【总结与归纳】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题，采用选项检验，排除思想做题，有时事半功倍．11．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．P 是C 上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则(a = )A ．1B ．2C ．4D ．8【思路分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a 即可．【解析】：法一：由题意，设2PF m =，1PF n =，可得2m n a -=，142mn =，2224m n c +=，c e a ==可得224164c a =+，可得2254a a =+，解得1a =．故选：A ．法二：122244tan 45PF F b S b ∆==⇒=，根据离心率有225c a=，又因为222c b a =+，所以1a = 【总结与归纳】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义以及勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力．12．已知5458<，45138<．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【思路分析】根据ab，可得a b <，然后由8log 50.8b =<和13log 80.8c =>，得到c b >，再确定a ，b ，c 的大小关系．【解析】： 法一：因为45884log 8,log 5,5b ==，因为45455(8)85=>，所以4585>，所以45884log 8log 55b =>=，即45b < 因为4513134log 13,log 8,5c ==，因为45455(13)138=<，所以45138<，所以4513134log 13log 85c =<=，即45c >因为45554log 5,log 3,5a ==，因为45455(5)56252433==>=，所以4553>，所以45554log 5log 3,5a =>=，即45a <， 又因为752187353125=<=，所以75lg3lg5<，所以7lg35lg5<，所以lg35lg57< ，所以lg354lg575a =<< 而5785<，所以5lg87lg5<，所以lg55lg87>，所以lg 55lg87b =>，所以c b a >> 法二 ：2255555583(38)24log 3log 8()1542log log log log a b log +==<=<，a b ∴<； 5458<，554log 8∴<，5log 8 1.25∴>，8log 50.8b ∴=<；45138<，1345log 8∴<，13log 80.8c ∴=>，c b ∴>，综上，c b a >>．故选：A ．【总结与归纳】本题考查了三个数大小的判断，指数对数的运算和基本不等式的应用，考查了转化思想，是基础题．13．若x ，y 满足约束条件0,20,1,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩则32z x y =+的最大值为 7 ．【思路分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，32z x y =+表示直线在y 轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在y 轴上的截距最大值即可．【解析】：先根据约束条件画出可行域，由120x x y =⎧⎨-=⎩解得(1,2)A ，如图，当直线32z x y =+过点(1,2)A 时，目标函数在y 轴上的截距取得最大值时，此时z 取得最大值，即当1x =，2y =时，31227max z =⨯+⨯=．故答案为：7．【总结与归纳】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．262()x x+的展开式中常数项是 240 （用数字作答）．【思路分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解析】：由于262()x x+的展开式的通项公式为123162r r r r T C x -+=，令1230r -=，求得4r =，故常数项的值等于4462240C =，故答案为：240．【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为2．【思路分析】易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即可求出球的体积．【解析】：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线3BS =，底面半径1BC =，则其高2222SC BS BC =-=，不妨设该内切球与母线BS 切于点D ，令OD OC r ==，由SOD SBC ∆∆∽，则OD BCOS BS=， 即1322rr =-，解得22r =，34233V r ππ==，故答案为：23π．【总结与归纳】本题考查圆锥内切球，考查球的体积公式，数形结合思想，属于中档题．16．关于函数1()sin sin f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图象关于y 轴对称．②()f x 的图象关于原点对称．③()f x 的图象关于直线2x π=对称．④()f x 的最小值为2．其中所有真命题的序号是 ②③ ．【思路分析】根据函数奇偶性的定义，对称性的判定，对称轴的求法，逐一判断即可．【解析】：对于①，由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|x x k π≠，}k Z ∈，故定义域关于原点对称，由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x-=-+=--=--；所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以①错②对；对于③，由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x πππ-=-+=+=-，所以该函数()f x 关于2x π=对称，③对； 对于④，令sin t x =，则[1t ∈-，0)(0⋃，1]，由双勾函数1()g t t t =+的性质，可知，1()(g t t t=+∈-∞，2][2-，)+∞，所以()f x 无最小值，④错；故答案为：②③．【总结与归纳】本题考查了函数的基本性质，奇偶性的判断，求函数的对称轴、值域，属于基础题．17．（12分）设数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-．（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）求数列{2}n n a 的前n 项和n S ．【思路分析】（1）利用数列的递推关系式求出2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式，然后利用数学归纳法证明即可．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的前n 项和n S ．【解析】：（1）数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-，则21345a a =-=，323427a a =-⨯=，⋯，猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+．证明如下：()i 当1n =，2，3时，显然成立，()ii 假设n k =时，21()k a k k N +=+∈成立，当1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++，故1n k =+时成立，由()()i ii 知，21n a n =+，猜想成立，所以{}n a 的通项公式21n a n =+．（2）令2(21)2n n n n b a n ==+，则数列{2}n n a 的前n 项和123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⋯++，⋯①两边同乘2得，23123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⋯++，⋯②①-②得，2132222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⋯+-+218(12)6(21)212n n n -+-=+-+-，所以1(21)22n n S n +=-+．【总结与归纳】本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法和数列求和，考查了转化思想和计算能力，属中档题．18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）:（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：2()()()()K a b c d a c b d =++++)k【思路分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为4的概率；（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；（3）由公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算k 的值，从而查表即可，【解析】：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为：2162543100100++=； 该市一天的空气质量等级为2的概率为：5101227100100++=； 该市一天的空气质量等级为3的概率为：67821100100++=； 该市一天的空气质量等级为4的概率为：7209100100++=； （2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：1000.203000.355000.45350x =⨯+⨯+⨯=；（3）根据所给数据，可得下面的22⨯列联表，人次400 人次400> 总计空气质量好 33 37 70空气质量不好 22 8 30总计 55 45 100由表中数据可得：222()100(3383722) 5.802 3.841()()()()70305545n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．【总结与归纳】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题．19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．【思路分析】（1）在1AA 上取点M ，使得12A M AM =，连接EM ，1B M ，1EC ，1FC ，由已知证明四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形，可得1//AF MB ，且1AF MB =，//AD ME ，且AD ME =，进一步证明四边形11B C EM 为平行四边形，得到11//EC MB ，且11EC MB =，结合1//AF MB ，且1AF MB =，可得1//AF EC ，且1AF EC =，则四边形1AFC E 为平行四边形，从而得到点1C 在平面AEF 内；（2）在长方体1111ABCD A B C D -中，以1C 为坐标原点，分别以11C D ，11C B ，1C C 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．分别求出平面AEF 的一个法向量与平面1A EF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角1A EF A --的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求得二面角1A EF A --的正弦值．【解答】（1）证明：在1AA 上取点M ，使得12A M AM =，连接EM ，1B M ，1EC ，1FC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，有111////DD AA BB ，且111DD AA BB ==．又12DE ED =，12A M AM =，12BF FB =，1DE AM FB ∴==．∴四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形．1//AF MB ∴，且1AF MB =，//AD ME ，且AD ME =．又在长方体1111ABCD A B C D -中，有11//AD B C ，且11AD B C =，11//B C ME ∴且11B C ME =，则四边形11B C EM 为平行四边形，11//EC MB ∴，且11EC MB =，又1//AF MB ，且1AF MB =，1//AF EC ∴，且1AF EC =，则四边形1AFC E 为平行四边形，∴点1C 在平面AEF 内；（2）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，以1C 为坐标原点，分别以11C D ，11C B ，1C C 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．2AB =，1AD =，13AA =，12DE ED =，12BF FB =，(2A ∴，1，3)，(2B ，0，2)，(0F ，1，1)，1(2A ，1，0)，则(2,1,1)EF =--，(0,1,1)AE =--，1(0,1,2)A E =-．设平面AEF 的一个法向量为1111(,,)n x y z =．则1111111200n EF x y z n AE y z ⎧=-+-=⎪⎨=--=⎪⎩，取11x =，得1(1,1,1)n =-； 设平面1A EF 的一个法向量为2222(,,)n x y z =．则222221222020n EF x y z n A E y z ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取21x =，得2(1,4,2)n =． 1212121427cos ,7||||321n n nn n n +-∴<>===． 设二面角1A EF A --为θ，则sin θ==． ∴二面角1A EF A --．【总结与归纳】本题考查平面的基本性质与推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<15，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积．【思路分析】（1）根据ce a=，225a =，22b m =，代入计算2m 的值，求出C 的方程即可； （2）设出P ，Q 的坐标，得到关于s ，t ，n 的方程组，求出(8,1)AP =，(11,2)AQ =，从而求出APQ ∆的面积．【解析】：（1）由c e a =得2221b e a =-，即21511625m =-，22516m ∴=，故C 的方程是：221612525x y +=；（2）由（1）(5,0)A -，设(,)P s t ，点(6,)Q n ，根据对称性，只需考虑0n >的情况，此时55s -<<，504t<， ||||BP BQ =，∴有222(5)1s t n -+=+①，又BP BQ ⊥，50s nt ∴-+=②，又221612525s t +=③， 联立①②③得312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，当312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，(8,1)AP =，(11,2)AQ =， 22215()|82111|22APQ S AQ AP AQ ∆∴-=⨯-⨯=， 同理可得当318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，52APQ S ∆=，综上，APQ ∆的面积是52． 【总结与归纳】本题考查求椭圆方程以及了直线和椭圆的关系，考查转化思想，是一道综合题．21．（12分）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点1(2，1())2f 处的切线与y 轴垂直．（1）求b ；（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【思路分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得211()3()022f b '=⨯+=，由此求得b 值； （2）设0x 为()f x 的一个零点，根据题意，30003()04f x x x c =-+=，且0||1x ，得到30034c x x =-+，由0||1x ，对()c x 求导数，可得()c x 在[1-，1]上的单调性，得到1144c -．设1x 为()f x 的零点，则必有31113()04f x x x c =-+=，可得311131444c x x -=-+，由此求得1x 的范围得答案． 【解答】（1）解：由3()f x x bx c =++，得2()3f x x b '=+，211()3()022f b ∴'=⨯+=，即34b =-； （2）证明：设0x 为()f x 的一个零点，根据题意，30003()04f x x x c =-+=，且0||1x ， 则30034c x x =-+，由0||1x ， 令33()(11)4c x x x x =-+-， 2311()33()()422c x x x x ∴'=-+=-+-， 当(1x ∈-，11)(22-⋃，1)时，()0c x '<，当1(2x ∈-，1)2时，()0c x '>可知()c x 在1(1,)2--，1(2，1)上单调递减，在1(2-，1)2上单调递增． 又1(1)4c -=，c （1）14=-，11()24c -=-，11()24c =， ∴1144c -． 设1x 为()f x 的零点，则必有31113()04f x x x c =-+=， 即311131444c x x -=-+， ∴321111321111431(1)(21)0431(1)(21)0x x x x x x x x ⎧--=-+⎪⎨-+=+-⎪⎩，得111x -， 即1||1x ．()f x ∴所有零点的绝对值都不大于1．【总结与归纳】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点与方程根的关系，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,(23x t t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩为参数且1)t ≠，C 与坐标轴交于A ，B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【思路分析】（1）可令0x =，求得t ，对应的y ；再令0y =，求得t ，对应的x ；再由两点的距离公式可得所求值；（2）运用直线的截距式方程可得直线AB 的方程，再由由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得所求极坐标方程．【解析】：（1）当0x =时，可得2(1t =-舍去），代入223y t t =-+，可得26412y =++=，当0y =时，可得2(1t =舍去），代入22x t t =--，可得2244x =--=-，所以曲线C 与坐标轴的交点为(4,0)-，(0,12)，则||AB =（2）由（1）可得直线AB 过点(0,12)，(4,0)-，可得AB 的方程为1124y x -=， 即为3120x y -+=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=．【总结与归纳】本题考查曲线的参数方程的运用，考查直线方程的求法和两点的距离公式的运用，考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于基础题．23．设a ，b ，c R ∈，0a b c ++=，1abc =．（1）证明：0ab bc ca ++<；（2）用{max a ，b ，}c 表示a ，b ，c 的最大值，证明：{max a ，b ，3}4c ．【思路分析】（1）将0a b c ++=平方之后，化简得到222222()0ab ac bc a b c ++=-++<，即可得证；（2）利用反证法，假设0a b c <<<【解答】证明：（1）0a b c ++=，2()0a b c ∴++=， 2222220a b c ab ac bc ∴+++++=，222222()ab ac bc a b c ∴++=-++，1abc =，a ∴，b ，c 均不为0，222222()0ab ac bc a b c ∴++=-++<，0ab ac bc ∴++<；（2）不妨设0a b c <<<1ab c =， 0a b c ++=，a b c ∴--=<，而1123164244a b ab -->=== 故{max a ，b ，3}4c ．。
全国卷Ⅲ2020届高三高考压轴卷数学试题(文科)(含解析)
又 a2 = 3 ，所以 an = a2qn−2 = 3 3n−2 = 3n−1
所以 bn = log3 an = log3 3n−1 = n − 1
所以T9 = b1 + b2 +
+ b9
=
9(b1 + b9 )
2
=
9(1−1+ 9 −1)
2
=
36
故选：A
9、【答案】D
【解析】由 f (x) = a ln x + bx2 可得： f (x) = a + 2bx ， x
18.（12 分）
已知数列 an
满足
1 2a1 −
5
+
2 2a2 −
5
+
3 2a3 −
5
+
（1）求数列an 的通项公式；
+ n =n 2an − 5 3
（2）设数列
an
1 an+1
的前
n
项和为
Tn
,求
Tn
.
19 ．(12 分) 将棱长为 2 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 截去三棱锥 D1 − ACD 后得到如图所示几何体，
23.已知函数 f (x) = x − 2 ． （1）解不等式： f (x) 4 − f (x +1) （2）若函数 g(x) = x − 3, (x 4) 与函数 y = m − f (x) − 2 f (x − 2) 的图象恒有公共点，求 实数 m 的取值范围．
5 / 16
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
标值进行统计分析，得到表格如表：
质量指标值
等级
频数
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1，2}D.{0，1，2}解析：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}.答案：C2.(1+i)(2﹣i)=( )A.﹣3﹣iB.﹣3+iC.3﹣iD.3+i解析：(1+i)(2﹣i)=3+i.答案：D3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A.B.C.D.解析：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A.答案：A4.若sinα=13，则cos2α=( ) A.89 B.79C.﹣79D.﹣89解析：∵sinα=13，∴cos2α=1﹣2sin 2α=192719-⨯=. 答案：B5.(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80解析：由二项式定理得(x 2+2x )5的展开式的通项为：()()5210315522rrr rr rr xT Cx C x--+==，由10﹣3r=4，解得r=2，∴(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为5222C =40.答案：C6.直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8]232，D.[2232，] 解析：∵直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，4+4=22∵点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，∴设P ()2co 2s sin 2θθ+，，∴点P 到直线x+y+2=0的距离：()2sin 42cos sin 242222d πθθθ+++++==，∵()sin 4πθ+∈[﹣1，1]，∴d= ()22sin 44πθ++∈[232，]， ∴△ABP 面积的取值范围是：[11222223222⨯⨯⨯⨯，，6].答案：A7.函数y=﹣x 4+x 2+2的图象大致为( )A.B.C.D.解析：函数过定点(0，2)，排除A ，B.函数的导数f′(x)=﹣4x 3+2x=﹣2x(2x 2﹣1)，由f′(x)＞0得2x(2x 2﹣1)＜0，得x ＜﹣或0＜x ＜，此时函数单调递增，排除C.答案：D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(x=4)＜P(X=6)，则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 解析：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，看做是独立重复事件，满足X ～B(10，p)，P(x=4)＜P(X=6)，可得()()644466101011C p p C p p --＜，可得1﹣2p ＜0.即12p ＞. 因为DX=2.4，可得10p(1﹣p)=2.4，解得p=0.6或p=0.4(舍去). 答案：B9.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为2224a b c +-，则C=( )A.2πB.3πC.4πD.6π解析：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.△ABC 的面积为2224a b c +-，∴S △ABC =222s 1in 42a b c ab C +-=，∴sinC=2222a b c bc +-=cosC ，∵0＜C ＜π，∴C=4π.答案：C10.设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为( )A.B.C.D.543解析：△ABC 为等边三角形且面积为93，可得2393AB ⨯＝，解得AB=6，球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：()222362342323O C OO '=='=-=，，则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为：6，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：31361833=答案：B11.设F 1，F 2是双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( )A.5B.2C.3D.2解析：双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的一条渐近线方程为b y x a =， ∴点F 2到渐近线的距离22bcd b a b ==+，即|PF 2|=b ，∴2222222cos bOP OF PF c b a PF O c =-=-=∠=，， ∵|PF 16|OP|，∴|PF 16a ，在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|PF 2|·|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，∴6a 2=b 2+4c 2﹣2×b ×2c ×bc =4c 2﹣3b 2=4c 2﹣3(c 2﹣a 2)，即3a 2=c 2， 即3a=c ，∴3c e a ==.答案：C12.设a=log 0.20.3，b=log 20.3，则( ) A.a+b ＜ab ＜0 B.ab ＜a+b ＜0 C.a+b ＜0＜ab D.ab ＜0＜a+b解析：∵a=log 0.20.3=lg 0.3lg 5-，b=log 20.3=lg 0.3lg 2，∴()5lg 0.3lg lg 0.3lg 5lg 2lg 0.3lg 0.32lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5a b -+-=＝＝，10lg 0.3lg lg 0.3lg 0.33lg 2lg 5lg 2lg 5ab ⋅-⋅＝＝，∵105lg lg 32＞，lg 0.3lg 2lg 5＜，∴ab ＜a+b ＜0.答案：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)，c =(1，λ).若c ∥(2a b +)，则λ=____. 解析：∵向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)， ∴2a b +=(4，2)，∵c =(1，λ)，c ∥(2a b +)，∴142λ＝， 解得λ=12.答案： 1214.曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2，则a=____.解析：曲线y=(ax+1)e x ，可得y′=ae x +(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2， 可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3. 答案：﹣315.函数f(x)=cos(3x+6π)在[0，π]的零点个数为____.解析：∵f(x)=cos(3x+6π)=0， ∴362x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x=193k ππ+，k ∈Z ，当k=0时，x=9π，当k=1时，x=49π，当k=2时，x=79π，当k=3时，x=109π，∵x ∈[0，π]，∴x=9π，或x=49π，或x=79π，故零点的个数为3. 答案：316.已知点M(﹣1，1)和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB =90°，则k=____.解析：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F(1，0)， ∴过A ，B 两点的直线方程为y=k(x ﹣1)，联立()241y x y k x ⎪-⎧⎪⎨⎩＝＝可得，k 2x 2﹣2(2+k 2)x+k 2=0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则212242k x x k ++=，x 1x 2=1， ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2﹣2)=4k ，y 1y 2=k 2(x 1﹣1)(x 2﹣1)=k 2[x 1x 2﹣(x 1+x 2)+1]=﹣4，∵M(﹣1，1)，∴MA =(x 1+1，y 1﹣1)，MB =(x 2+1，y 2﹣1)， ∵∠AMB=90°=0，∴0MA MB ⋅= ∴(x 1+1)(x 2+1)+(y 1﹣1)(y 2﹣1)=0，整理可得，x 1x 2+(x 1+x 2)+y 1y 2﹣(y 1+y 2)+2=0，∴24124420k k ++--+=，即k 2﹣4k+4=0，∴k=2. 答案：2三、解答题：共70分。
2020全国卷Ⅲ高考理科数学压轴卷(理科数学)
绝密★启封前2020全国卷Ⅲ高考压轴卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设集合M={2|230,x x x x Z --<∈}，则集合M 的真子集个数为 A ．8 B ．7 C ． 4 D ．32.若复数z 满足i iz 21+=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（） A.)1,2(- B.)1,2(- C.)1,2( D )1,2(--3.若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
DA 错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
4．在长为3m 的线段AB 上任取一点P ，则点P 与线段AB 两端点的距离都大于1m 的概率等（） A ．13 B.23 C ．12 D ．145．已知点A （1，2），B （3，4），C （—2，0），D （—3，3），则向量AB 在向量CD 上的投影为（）A ．5102 B ．5102- C ．510- D ．5106.函数2()(1)cos 1xf x x e=-+图象的大致形状是( )7．设12,F F 是双曲线22:19x y C m-=的两个焦点，点P 在C 上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，若抛物线216y x =的准线经过双曲线C 的一个焦点，则12||||PF PF ⋅u u u r u u u u r的值等于（）A ．2B ．6C ．14D ．168．若[]x 表示不超过x 的最大整数，则下面的程序框图运行之后输出的结果为（） A ．48920 B ．49660C ．49800D ．518679. 定义在R 上的函数()f x 满足()2log (4),0(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则()3f 的值为( )A.-1B. -2C.1D. 2（10）榫卯（sŭn măo ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．如图所示是一种榫卯构件中卯的三视图，其体积为 （A ）21 （B ）22.5 （C ）23.5 （D ）2511.已知抛物线22y x =上有两点1122(,),(,)A x y B x y 关于直线x y m +=对称，且1212y y =-，则m 的值等于（） A ．34 B ．54 C. 74 D ．9412．设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（）()A 1ln2-()B ln 2)-()C 1ln2+()D ln 2)+第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2020年全国III卷文科数学高考试题及解析
2020年普通高等学校招生全国Ⅲ卷统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B 中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5解析：这是求A 和B 两个集合的交集，A 集合中的元素在（3，15）中的有5、7和11三个，所以正确答案为B，特别注意B 的不等式不包含等号，也即A 中的3不能包含进去。
点评：集合一般比较简单2.若)1z i i +=-，则z =（）A.1i- B.1i + C.i - D.i 解析：1(1)(1)21(1)(1)2i i i i z i i i i ----====-++-所以z=i点评：这个是一个复数的化简，共轭复数的概念，还是基题，送分题。
3．设一组样本数据12,,...,n x x x 的方差为0.01，则数据12n 10,10,...,10x x x 的方差为A．0.01B．0.1C．1D．10解析：设第一组数的平均值为x 则222121()()...()0.01n S x x x x x x =-+-++-=则10x1,10x2,....10xn 的平均值为10x22212222222(1010)(1010)...(1010)10(110()....10011n S x x x x x x x x x x S =-+-++-==-+-+=点评：考查统计方差的概念，特别要清楚，方差是不用开方的，而标准差是要开方的，4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（）（其中In19≈3）A.60B.63C.66D.69解析：代入解方程即可以0.23(53)()0.951t KI t Ke --==+0.23(53)1110.9519t e ---==两边同取以19为底的对数ln190.23(53)t -=--解得t=66点评：本题结合时事，实际是取对数的形式，解指数方程，要求对对数和指数之间的转换非常熟练。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)及答案解析
试题第1页，总21页绝密★启用前2020年全国统一高考数学试题（理科)（新课标Ⅲ)试题副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=-， 故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i -- B ．1+i - C ．1i - D ．1+i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则求解即可.试题第2页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【详解】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．试题第3页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值． 【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。
2020年全国卷Ⅲ高考数学解析
2020年全国卷Ⅲ高考数学解析过去三年我们整体的命题结构，其实相比之下没有大的调整，主要就是试题的数量、题型，还有我们知识主干，相对来说都比较稳定，同样的也是对我们对高中六大能力的一个全面的考察，这六大能力都是我们平时上课的时候经常提到的，比方说空间想象能力、抽象概括能力、推理能力、运算能力，还有数据处理和分析的能力，尤其是这个部分的运算能力和我们的数据的处理能力，这部分其实在近两年的考试当中，对同学们的考察要求是有所提升的，在这儿我给大家汇总了一下过去三年当中，全国3卷当中文科和理科所有题目的一个对比，大家可以看出来，不管是从2017年开始到2019年，可能大家不是很清楚，但是大家可以从下面的这个数据图当中可以明显的看到，在考试当中前三题基本上题型是不变的，就是集合、复数，还有统计概率的问题，二项式定理偶尔考，比方有些年份可能就会考一个二项式定理，当然了文科是不考的这个部分。
再往后看，大家发现会统计概率的问题当中，基本上会考察我们的一个选择题和一个大题，其实我们从这儿可以看出来三角函数的部分，还有立体几何的部分，导数的部分，还有圆锥曲线，也就是解析几何的部分，仍然是我们各年考试当中一个所占比重非常大的板块。
那么在这儿，我给大家看到了这个部分，这是我们过去三年当中全国卷3当中文理科的一个知识点题型对比，总体来说，题目相对比较稳定的，顺序稍微做了一些微调，在这儿大家可以看出来，在2018年和2017年当中，大题17题的位置，也就是第一个大题的位置，经常考察的就是数列部分或者三角函数、三角形相关的内容，18题才是一个统计概率的问题，可是在去年的高考当中顺序做了一个调整，所以题目调整之后，可能同学们不太适应，就觉得跟自己平常的做题习惯不太一样，所以会产生一些心理上的波动，从而影响一些成绩。
但总体来说我们的试题难度相差不大。
再往后大家也可以从这个饼状图当中可以看到，各年考试当中知识模块的分布，基本上保持一个大体的不变，还是我们刚刚提到导数的部分，仍然是我们最重要的一个模块，当然这个模块当中也很容易出现难题，区分度比较高的部分。