抽屉原理与排列组合.
抽屉原理公式及例题
抽屉原理公式及例题
抽屉原则一：
如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：
如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有：①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：表示不超过X的最大整数。
问题：构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
例1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？
解：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于3，故至少取出4个小球才能符合要求。
例2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。
这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。
抽屉原理及其应用
抽屉原理及其应用
抽屉原理（也称鸽笼原理、容斥原理）是离散数学中的一个基本原理，它描述了把若干个物体放入若干个容器中时，如果物体数量多于容器数量，那么至少有一个容器必须放多于一个物体。
抽屉原理可以应用在多个领域，包括：
1. 计算概率：假设有n个鸽巢和m个鸽子，如果将m个鸽子平均放入n个鸽巢中，那么至少有一个鸽巢中会放多于一个鸽子。
2. 计算排列组合：假设将n个物品分成m堆，至少有一堆中包含的物品数量不少于⌈n/m⌉（向上取整）。
3. 求解问题：当问题本身的解法很难找到时，可以利用抽屉原理削减解空间，锁定可能的解，减少求解难度。
4. 数据存储：在计算机程序设计中，抽屉原理可以用来优化数据存储和搜索。
将数据划分多个小区域同时进行搜索，可以减少搜索空间，提高效率。
总之，抽屉原理是一种非常实用的思想工具，可以帮助我们解决各种实际问题。
抽屉原理问题知识点总结
抽屉原理问题知识点总结抽屉原理的基本形式是：如果n个物品被放置到m个抽屉中，并且n > m，那么至少有一个抽屉中有超过一个物品。
抽屉原理的应用非常广泛，它不仅出现在数学领域，还涉及到计算机科学、逻辑学、统计学、概率论等方面。
总结抽屉原理的知识点，可以从以下几个方面来展开。
一、基本概念1. 抽屉原理的概念抽屉原理是由德国数学家穆勒（Dirichlet）在1834年提出的。
它的基本概念是指如果有n个物品要放到m个抽屉里，且n > m，那么至少有一个抽屉里面有至少两个物品。
2. 抽屉原理的表述抽屉原理还可以用集合的交并运算来表述，即如果n个单个的数的和大于(n-1)倍的抽屉数，则必定存在多个数分配到同一个抽屉里。
3. 抽屉原理的思维方法抽屉原理是一种常见的数学论证方法，它的核心思想是通过将物品放入抽屉的过程，然后证明必然会有至少一个抽屉中包含多个物品。
这种思维方法在解决相关问题时非常重要。
二、抽屉原理的应用1. 计算机科学在计算机科学中，抽屉原理经常用来解决散列冲突问题。
当散列表的大小是有限的时候，存储的数据项的数量可能会比散列表的大小大，这时就可能会出现散列冲突。
抽屉原理可以帮助我们理解为什么散列冲突总是不可避免的。
2. 统计学在统计学中，抽屉原理可以用来解释生日悖论。
生日悖论是指在一个小的群体中，其中两人有相同生日的概率实际上要比我们直觉上想象的要高得多。
这一现象可以通过抽屉原理来很好地解释。
3. 概率论在概率论中，抽屉原理可以用来解决一些排列组合的问题。
例如，如果有n+1个物品要放到n个抽屉中，那么必然有一个抽屉中至少有两个物品。
这对于解决某些赌博游戏中的概率问题很有帮助。
4. 逻辑学在逻辑学中，抽屉原理可以用来解释一些谬误和伪命题。
例如，当有大于两个的命题时，就一定会出现至少两个命题具有相同的逻辑值。
三、抽屉原理的证明1. 直接证明法抽屉原理最简单的证明方法是使用直接证明法。
假设放置的物品数大于抽屉的数量，通过逻辑推理可以得出至少有一个抽屉至少有两个物品。
抽屉原理在初等数学中的应用
抽屉原理在初等数学中的应用什么是抽屉原理？抽屉原理，也被称为鸽笼原理，是数学中的一种常用的证明方法。
它的核心思想是，如果将n+1个物体放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放入两个或更多的物体。
这个原理常常被应用在计数问题、集合论、组合数学等方面。
抽屉原理在计数问题中的应用在计数问题中，抽屉原理可以帮助我们得到某种情况下的最小或最大可能性。
•例1：有10个苹果放入3个盘子中，那么至少有一个盘子中会有多余的苹果。
–盘子1中至少有1个苹果。
–盘子2中至少有1个苹果。
–盘子3中至少有8个苹果。
•例2：有8个人参加数学考试，他们的分数都是0到100之间的整数，那么至少存在两个人的分数相同。
这里的8个人相当于抽屉，而分数相当于物体。
由于每个人的分数有101种可能性（包括0和100），而人数只有8个，所以根据抽屉原理，至少存在两个人的分数相同。
抽屉原理在集合论中的应用在集合论中，抽屉原理可以用来证明两个集合之间的关系。
•例3：如果将任意8个整数放入区间[1, 15]中，那么至少有两个整数的差是7的倍数。
我们可以将区间[1, 15]划分为7个不相交的区间：[1, 7]、[8, 14]、[15, 21]、[22, 28]、[29, 35]、[36, 42]、[43, 49]。
根据抽屉原理，如果将8个整数放入这7个区间中，那么至少有一个区间中放入了2个或更多的整数，即这两个整数的差是7的倍数。
抽屉原理在组合数学中的应用在组合数学中，抽屉原理可以帮助我们解决排列组合的问题。
•例4：在一个班级中，有10个学生，其中有5个男生和5个女生。
我们要选出3名学生作为代表，那么至少有一个代表是男生或女生。
我们可以将代表选出的情况分为两种情况：–情况一：3名代表中有至少1名男生。
根据抽屉原理，至少有一个代表是男生。
–情况二：3名代表中有至少1名女生。
根据抽屉原理，至少有一个代表是女生。
综上所述，至少有一个代表是男生或女生。
总结抽屉原理是一种常用的数学思想，可以帮助我们解决计数问题、集合论问题和组合数学问题。
抽屉原理的规律总结
抽屉原理的规律总结抽屉原理是数学和逻辑思维领域中一个重要且有趣的原理。
它指出，如果有n+1个物体放入n个抽屉，那么至少有一个抽屉里面必然有两个或两个以上的物体。
这一简单的原理却有广泛的应用，涉及到各个领域的问题解决。
抽屉原理可以帮助我们更好地理解各种现象和问题。
例如，在生活中，我们常常会遇到“生日相同”的概率问题。
假设有365个抽屉，分别对应一年的日子，而有n个人参与，每个人的生日独立随机选取。
根据抽屉原理，至少有两人生日相同的概率是非常高的。
当n达到23人时，相同生日的概率已经超过一半。
再以某社交平台为例，假设一个小组中有n个成员，每个成员都有若干个好友。
根据抽屉原理，如果每个成员的好友数量大于平均值，则至少有一个成员的好友数量超过了平均值。
这个原理说明了信息的集中化倾向，也有益于我们理解社会网络的结构和影响力的传播。
抽屉原理还可以应用于排列组合问题。
考虑到底层的“抽屉”是个数可数的、有限的，那么我们可以总结出很多有趣的规律。
例如，在一个班级当中，如果每个学生都要选择至少一门外语的话，而只有3门外语可供选择。
根据抽屉原理，如果班级人数超过3人，那么至少有两个人选择了相同的外语。
这种思维方式帮助我们更好地解决排列组合问题，降低复杂度，提高计算效率。
抽屉原理甚至可以应用于道德和伦理领域。
人们常说“江山易改，本性难移”，这其实是基于抽屉原理的一种推理。
由于人类的复杂性和多样性，我们不可能对每个人的道德品质进行精确评估，所以我们往往会做出一些基于归纳推理的假设。
这种思维方式在法律、心理学以及社会科学研究中发挥了重要作用。
从上述几个方面可以看出，抽屉原理不仅涉及到数学和逻辑，还经常应用于实际问题中的解决思路。
它告诉我们，当一个问题涉及到多个自由度或者不确定性时，我们可以用彼此相关的抽屉来表示，从而简化问题，在不失准确性的前提下，提供可能的解决方案。
然而，抽屉原理也存在一些限制。
在实际问题中，不同的情况可能导致有些抽屉空无一物，而有些抽屉装满。
「浅谈抽屉原理在高中数学竞赛中的运1」
「浅谈抽屉原理在高中数学竞赛中的运1」抽屉原理是数学中极为重要和常用的一个原理，它在高中数学竞赛中应用广泛，解决了很多经典题目。
本文将针对抽屉原理在高中数学竞赛中的应用进行探讨。
首先，我们先来了解一下抽屉原理的基本内容。
抽屉原理是说如果有n+1个物体放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中至少放了两个物体。
其实抽屉原理的应用非常广泛，尤其是在组合数学和概率统计中经常能够见到它的身影。
在高中数学竞赛中，我们可将抽屉原理应用到以下几个方面。
第一，排列组合。
在排列组合中，经常会遇到求满足一些条件的排列或组合的问题。
这些问题通常可以通过抽屉原理来解决。
比如，求证任何12个自然数中至少有两个数是互质的；或者证明在10个不同的自然数中，至少存在两个数，其中一个数是另一个数的倍数等。
这些问题在高中数学竞赛中出现的频率较高，因此熟练掌握抽屉原理对于解决这类问题非常重要。
第二，鸽巢原理。
鸽巢原理是抽屉原理的另一种表述方式。
它可以帮助我们解决一些图论和数论中的问题。
比如，证明在任意的9个整数中，一定存在两个整数的和能被9整除；或者证明在一个15×15的棋盘上，任何3种颜色的4×4的正方形都存在一个完全相同的。
第三，概率问题。
在概率问题中，抽屉原理也经常被应用到。
比如，在一个房间里有7个人，那么至少有两个人的生日在同一天的概率是多少；或者一个利用4个数字进行组合的锁，那么至少需要尝试多少次才能打开这个锁。
在进行概率问题的分析时，抽屉原理可以帮助我们快速求解概率的值，加深我们对概率问题的理解。
除了以上三个方面，抽屉原理还涵盖了很多其他应用，比如数列问题，图论问题等等。
在高中数学竞赛中，这类问题常常出现在试题中，因此我们需要注意细心观察，灵活应用抽屉原理。
总之，抽屉原理在高中数学竞赛中的应用非常广泛。
它不仅可以帮助我们解决一些常见问题，还能够拓展我们的思维，提高我们的解题能力。
为了更好地应用抽屉原理，我们需要理解其基本原理，多做相关练习题，不断提升自己的解题能力。
抽屉原理在组合数学的应用
抽屉原理在组合数学的应用1. 抽屉原理的概述抽屉原理（也称为鸽笼原理）是组合数学中的一个重要原理，它指出：如果有n+1个物体被放入n个抽屉中，其中n是正整数，那么至少会有一个抽屉含有两个或更多的物体。
这个原理直观地说明了在一定条件下，无法让每个物体都有自己的抽屉。
在组合数学中，抽屉原理被广泛应用于解决概率、图论、数论、组合数学等领域的问题。
2. 抽屉原理的应用示例2.1. 生日问题生日问题是抽屉原理的一个经典应用。
假设有一间教室里有n个学生，问至少有两个学生生日相同的概率是多少？实际上，我们可以将学生的生日看作是抽屉，而学生则是被放入抽屉中的物体。
由于年份是固定的，而学生的数量却是可变的，所以必然会存在两个或更多的学生在同一天出生。
2.2. 鸽巢原理鸽巢原理是抽屉原理的另一个典型应用。
假设有m个鸽子要放进n个鸽巢中，其中m>n，那么至少有一个鸽巢中会有两只以上的鸽子。
这个问题在实际生活中有很多应用，比如在分配任务时，如果鸽巢（任务）数少于鸽子（人员）数，就必然会有人被安排到同一个任务上。
2.3. 寻找重复元素抽屉原理可以应用于寻找重复元素的问题。
假设有一个包含n个元素的数组，数组的值的范围是1到n+1。
根据抽屉原理，由于元素的数量大于范围，必然会存在至少一个元素出现了两次。
利用这个原理，我们可以设计一种时间复杂度为O(n)的算法来找到重复元素。
2.4. 选票问题抽屉原理还可以应用于选票问题。
假设有n个选民要从m个候选人中选取k个人进行投票，且每个选民只能选一个候选人。
如果有一个候选人获得超过一半的选民票数，那么根据抽屉原理，至少有两个选民投给了同一个候选人。
3. 结论抽屉原理在组合数学中有着广泛的应用，它不仅能够用来解决一些经典问题，还可以用于设计算法、分析概率等。
通过抽屉原理，我们可以更好地理解组合数学中的问题，并且能够更有效地求解这些问题。
因此，熟练掌握抽屉原理对于理解和应用组合数学是非常重要的。
费马帕斯卡排列组合原理在生活中应用
费马帕斯卡排列组合原理在生活中应用费马、帕斯卡排列组合原理是数学中常用的排列组合方法，它们在生活中有很多应用。
1. 费马原理：费马原理也被称为鸽巢原理或抽屉原理。
它指出，如果有n+1个物体放入n个容器中，那么至少有一个容器会放置两个或更多的物体。
这个原理在生活中的一个应用是抽屉中的袜子。
假设你有10只袜子，但只有9个抽屉可供放置袜子，根据费马原理，至少有一个抽屉中会有两只袜子。
2. 帕斯卡原理：帕斯卡原理是组合数学中的一个重要原理，它描述了二项式系数的性质。
根据帕斯卡原理，对于任意非负整数n和k，二项式系数C(n, k)等于C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
帕斯卡原理在生活中的一个应用是计算排列组合的方式。
例如，在一场比赛中，有10名选手参加，需要选出3名获奖者。
根据帕斯卡原理，可以使用组合数C(10, 3)来计算不同获奖者的组合方式。
除了以上两个原理，排列组合在生活中还有很多其他应用，例如：
3. 人员安排：在组织活动或制定班级课程表时，需要考虑不同人员的排列组合方式，以确保每个人都有机会参与或轮流担任某个职务。
4. 随机选择：排列组合方法可以用于随机选择物品。
例如，在抽奖活动中，通过排列组合可以计算出每个人中奖的概率。
5. 地址编码：在邮政编码系统中，不同的数字或字母组合可以用于表示不同的区域或地址。
总之，费马、帕斯卡排列组合原理在生活中有广泛的应用，帮助我们解决各种排列组合问题，优化资源利用和决策。
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抽屉原理
把4只苹果放到3个抽屉里去，共有3种放法，不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
同样，把5只苹果放到4个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
……更进一步，我们能够得出这样的结论：把n＋1只苹果放到n个抽屉里去，那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。
这个结论，通常被称为抽屉原理。
利用抽屉原理，可以说明（证明）许多有趣的现象或结论。
不过，抽屉原理不是拿来就能用的，关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。
为什么？
【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。
如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。
【例2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。
这是为什么？
【分析】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。
而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。
我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。
换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。
既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。
所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。
想一想，例2中4改为7，3改为6，结论成立吗？
【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？
【分析】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。
按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。
拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿走。
如果再补进2只，又可取得第3双。
所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。
【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？
【分析】从最“不利”的取出情况入手。
最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。
接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。
故总共至少应取出10＋5=15个球。
思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？(答案分别为31和33）
当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。
提示语
抽屉原理还可以反过来理解：假如把n＋1个苹果放到n个抽屉里，放2个或2个以上苹果的抽屉一个也没有（与“必有一个抽屉放2个或2个以上的苹果”相反），那么，每个抽屉最多只放1个苹果，n个抽屉最多有n个苹果，与“n+1个苹果”的条件矛盾。
运用抽屉原理的关键是“制造抽屉”。
通常，可采用把n个“苹果”进行合理分类的方法来制造抽屉。
比如，若干个同学可按出生的月份不同分为12类，自然数可按被3除所得余数分为3类
排列组合问题
例1：某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？
分析：某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食。
其中，买主食有3种不同的方法，买副食有5种不同的方法。
故可以由乘法原理解决：
解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有3×5=15种不同的方法。
例2：书架上有6本不同的外语书，4本不同语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少本不同的取法？
分析：要做的事情是从外语、语文书中各取一本。
完成它要分两步：即先取一本外语书（有6种取法），再取一本语文书（有4种取法）。
所以，用乘法原理解决。
解：从架上各取一本共有6×4＝24种不同的取法。
例3：由数字0、1、2、3组成的三位数，问：
（1）、可组成多少个不相等的三位数？
（2）、可组成多少个没有重复数字的三位数？
分析：在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。
所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成。
（1）：要求组成不相等的三位数。
所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法，由乘法原理，共可组成3×4×4＝48个不相等的三位数。
（2）：要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位上已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其它两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法，由乘法原理，共有3×3×2＝18个没有重复数字的三位数。
例4：现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？
分析：要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做。
如先取一解的，再取贰角的，最后取壹元的。
但注意到，取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币，得到的钱数是相同的。
这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一起来考虑。
即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种。
分析得知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8种情况。
整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱。
这样，第一步，从8张壹角的人民币中取，共9种取法，即0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，从3张壹元的人民币中取共4种取法，即0、1、2、3.由乘法原理，共有9×4＝36种情形，但注意到，要求”至少取一张”而现在包含了一张都不取的这一种情形，应减掉。
所以有35种不同的情形。
例5：学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。
小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本。
那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？
分析：在这个问题中，小明选一本书有三类方法。
即要么选外语书，要么选科技书，要么选小说。
所以，是就用加法原理的问题。
解：小明借一本书共有：150+200+100=450（种）不同的选法。
例6：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。
问：（1）、从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）、从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
分析：（1）、从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。
所以是加法原理的问题。
（2）、要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。
解（1）：3＋8＝11（种）
（2）：3×8＝24（种）
例7：有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6。
将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？
分析：要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑。
第一类：两个数字同为奇数。
由于放两个正方体可认为是一个一个地放。
放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3×3＝9种不同的情形。
第二类：两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有9种不同的情形。
所以，最后再由加法原理即可求解。
9＋9＝18（种）。