北师大版高中数学必修五课时作业20 基本不等式

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红对勾·讲与练高中数学北师大必修五：课时作业基本不等式含解析

课时作业20 基本不等式时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．a ＝|b | D ．|a |＝b【答案】 A【解析】由基本不等式成立的条件易知． 2．x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】 C【解析】 xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y ＝2或x ＝y ＝－2时，等号成立，∴xy 的最大值为2.3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( ) A ．R b >1，∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b 2. ∵a ≠b ，∴“＝”不成立．又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b 2， ∴lg a ＋b 2>12(lg a ＋lg b )，故选B. 4．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2 B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x ≥2【答案】 B【解析】 A 项中当x <0时，x ＋1x <0<2，∴A 错误． B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中取x ＝1,2－3x －4x <2，∴D 错误． 5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab 1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg bC ．当a ∈R 时，a ＋9a ≥2a ×9a ＝6D ．当ab <0时，－ab －1ab ≤－2 【答案】 B【解析】选项A 中，可能ba <0，所以A 不正确；选项C 中，当a <0时，a ＋9a <0，所以C 不正确；选项D 中，当ab <0时，－ab >0，－1ab >0，则－ab －1ab ≥2，当且仅当－ab ＝－1ab ，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确；很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确．7．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m ＋1恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，7)C ．(7，＋∞)D ．[7，＋∞)【答案】 B【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时，等号成立， ∴m ＋1<8，∴m <7.二、填空题(每小题5分，共20分)8．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是________．【答案】 A ≥G【解析】 ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab >0，∴A ≥G .9．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则ab 的取值范围是________．【答案】 (0，14]【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝14. 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴ab 的最大值为14.10．已知0<α<π，则2sin α＋12sin α的取值范围是________．【答案】 [2，＋∞) 【解析】 ∵0<α<π，∴sin α>0. ∴2sin α＋12sin α≥22sin α×12sin α＝2，当且仅当2sin α＝12sin α，即sin α＝12时，等号成立． ∴2sin α＋12sin α的最小值为2.11．函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的取值范围为________．【答案】 [8，＋∞)【解析】由题意，得点A (2,1)，则1＝2m ＋n ，又m ，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2n 的最小值为8.三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(14分)设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．【解析】 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12.13．(15分)已知y ＝x ＋9x (x ≠0)，试比较|y |与6的大小．【解析】 (1)当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋9x ≥6，(当且仅当x ＝3取等号)，即y ≥6，∴|y |≥6；(2)当x <0时，－x >0，y ＝x ＋9x ＝－[(－x )＋9－x ]≤－6(当且仅当x＝－3时取等号)，即y ≤－6，∴|y |≥6.综上所述，|y |≥6.14．(16分)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 【解析】 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0. 同理，1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8.。

北师大版数学高二必修5练习基本不等式

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设b ＞a ＞0，且a ＋b ＝1，则四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是( ) A ．b B ．a 2＋b 2 C ．2abD.12【解析】 ∵b ＞a ＞0，∴a 2＋b 2＞2ab . 又a ＋b ＝1，∴b ＞12.又b ＝b (b ＋a )＝b 2＋ab ＞b 2＋a 2，∴b 最大．【答案】 A2．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ＞12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D ．a 2＋b 2≥8【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，可取a ＝1，b ＝3验证． ∵11×3＜12，11＋13＞1，1×3＜2， 12＋32≥8，只有D 正确．【答案】 D3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，G ，H 的大小关系是( )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b＝2ab a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，∴A ≤G ≤H .【答案】 A4．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )【导学号：47172107】A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C. 【答案】 C5．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2【解析】由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋ab ＋2≥4(a ＝b 时等号成立)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.【答案】 C 二、填空题6．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是________．【解析】 ∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0 ∴a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时取等号．【答案】(a －b )(b －c )≤a －c27．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值a ＋b2的大小关系为________．【解析】用两种方法求出第三年的产量分别为 A (1＋a )(1＋b )，A (1＋x )2，则有(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )， ∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时等号成立．【答案】 x ≤a ＋b28．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b ≥2.【解析】 ab ≤(a ＋b )24＝1，当且仅当a ＝b 时等号成立，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥(a ＋b )24＝1，故a 2＋b 2≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故③正确；1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故④正确．【答案】 ①③④ 三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ，b ，c 不全相等，求证：bc a ＋ac b ＋abc ＞a ＋b ＋c .【证明】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴bc a ＋ac b ≥2bc a ·ac b ＝2c .同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca ≥2b . ∵a ，b ，c 不全相等，∴上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得 2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ＞2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋abc ＞a ＋b ＋c .10．已知a 、b 、c 为正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc ≥3.【导学号：47172108】【证明】左边＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋b c －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3.∵a 、b 、c 为正数，∴b a ＋ab ≥2(当且仅当a ＝b 时等号成立)，c a ＋ac ≥2(当且仅当a ＝c 时等号成立)， c b ＋bc ≥2(当且仅当b ＝c 时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥6(a ＝b ＝c 时等号成立)， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3≥3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c ≥3.[能力提升]1．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥22 B ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C.a 2＋b 2ab≥2abD.2aba ＋b＞ab 【解析】 ∵a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22，A 成立；(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab ＝4，B 成立；a 2＋b 2≥2ab ＞0，∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，C 成立；a ＋b ≥2ab ，∴2ab a ＋b≤1，2ab a ＋b≤ab ，故D 错．选D.【答案】 D2．给出下面四个推导过程： ①∵a 、b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2；②∵x 、y 为正实数，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4； ④∵x 、y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋yx ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2.其中正确的推导为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】 ①∵a 、b 为正实数，∴b a 、ab 为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②虽然x 、y 为正实数，但当x ∈(0,1)或y ∈(0,1)时，lg x 或lg y 是负数，故②的推导过程是错误的．③∵a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的． ④由xy ＜0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y 、⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．【答案】 D3．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝3，则1a ＋1b 的取值范围是________．【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝3， ∴1a ＋1b ＝a ＋b 3a ＋a ＋b 3b ＝b 3a ＋a 3b ＋23≥2b 3a ·a 3b ＋23＝43，当且仅当a ＝b ＝32时等号成立．【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞4．已知x 、y 、z 均为正实数，且x －2y ＋3z ＝0，求证：y 2xz ≥3. 【证明】由x －2y ＋3z ＝0得y ＝x ＋3z2，∴y 2xz ＝(x ＋3z )24xz ＝x 2＋6xz ＋9z 24xz.又x 2＋9z 2≥2×3xz ＝6xz ，当且仅当x ＝3z 时等号成立，∴y2xz≥6xz＋6xz4xz＝3，故y2xz≥3.。

北师大版高中数学必修五练习基本不等式

3.1 基本不等式课时过关·能力提升1.若a>b>0,则下列不等式成立的是( )A.a>b >a+b 2>√abB.a >a+b 2>√ab >bC.a >a+b 2>b >√abD.a >√ab >a+b 2>ba>b>0,∴a =a+a2>a+b2. ∵a+b2>√ab,且√ab >√bb =b, ∴a >a+b2>√ab >b.2.下列不等式中,对任意实数x 都成立的是( )A.lg(x 2+1)≥lg 2xB.x 2+1>2xC .1x +1≤1 D.x +1x ≥2中,当x<0时都不成立,B 中,当x=1时不成立,故选C .3.若x>0,y>0,则A=(√π)x +y 与B =π√xy 的大小关系是( )A.A>BB.A ≥BC.A<BD.A ≤Bx>0,y>0,∴x+y2≥√xy.又A=(√π)x +y =πx+y2,且指数函数y=πx 是增函数,∴A ≥B.4.若0<a<1,0<b<1,则a+b ,2√ab,a2+b2,2ab 中,最大的一个是()A.a+bB.2√abC.a2+b2D.2ab,得a2+b2≥2ab,a+b≥2√ab.∵0<a<1,0<b<1,∴(a2+b2)-(a+b)=a(a-1)+b(b-1)<0.∴a2+b2<a+b.∴最大的一个是a+b.5.若x>0,y>0,且x+y=4,则下列不等式恒成立的是()A.1x+y >4 B.1x+1y≥1C.√xy≥2D.1xy≥1x>0,y>0,且x+y=4,∴1x+y =14,故A错误.√xy≤x+y2=2,故C错误.∵xy≤(x+y2)2=4,∴1xy≥14,故D错误.1 x +1y=x+y4x+x+y4y=14+y4x+x4y+14≥12+2√y4x·x4y=12+12=1,当且仅当x=y=2时,等号成立,故选B.6.已知a>b>c,则√(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是_____________.a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴√(a-b)(b-c)≤a-b+b-c2=a-c2.√(a-b)(b-c)≤a-c27.已知log2x+log2y=1,则x+2y的最小值为.log2x+log2y=1,∴log2xy=1,∴xy=2,x·2y=4.又x>0,y>0,∴x+2y≥2√=4,当且仅当x=2y=2时,等号成立.8.设a>0,b>0,给出下列不等式:①(a+1a )(b+1b)≥4;②(a+b)(1a +1b)≥4;③a2+9>6a;④a2+1+1a+1>2.其中恒成立的有.(填序号)a+1a ≥2√a·1a=2,b+1b≥2√b·1b=2,∴(a+1a )(b+1b)≥4,当且仅当a=1,b=1时,等号成立,故①正确;(a+b)(1a +1b)=1+1+ba+ab≥2+2·√ba·ab=4,当且仅当a=b时,等号成立,故②正确;a2+9≥2√a2·9=6a,当且仅当a=3时,等号成立,即当a=3时,a2+9=6a,故③不正确;a2+1+1a2+1≥2√(a2+1)·1a2+1=2,当且仅当a2+1=1a+1,即a=0时,等号成立.∵a>0,∴等号不成立,故④正确.★9.已知a>b>1,P=√Q=lga+lgb2,R=lg(a+b2),试比较P,Q,R的大小.a>b>1,根据对数函数的单调性有lg a>lg b>0,可以用基本不等式比较三个式子的大小.a>b>1,∴lg a>lg b>0,∴√lga·lgb<lga+lgb2,即P<Q.对√ab<a+b2两边取常用对数,得l g√ab<lg(a+b2),∴lga+lgb2<lg(a+b2),即Q<R.∴P<Q<R.★10.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:√a+12+√b+12≤2.+12=√1·(a+12)≤1+a+122=34+a2,当且仅当a=12时,等号成立.同理√b+12≤34+b2,当且仅当b=12时,等号成立.∴√a+12+√b+12≤34+a2+34+b2=32+12(a+b)=32+12=2,当且仅当a=b=12时,等号成立.∴√a+12+√b+12≤2.。

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课时作业20 基本不等式时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．a ＝|b | D ．|a |＝b【答案】 A【解析】由基本不等式成立的条件易知． 2．x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】 C【解析】 xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y ＝2或x ＝y ＝－2时，等号成立，∴xy 的最大值为2.3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( )A ．R b >1，∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b2. ∵a ≠b ，∴“＝”不成立．又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b2， ∴lg a ＋b 2>12(lg a ＋lg b )，故选B. 4．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2 B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x ≥2【答案】 B【解析】 A 项中当x <0时，x ＋1x <0<2，∴A 错误． B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中取x ＝1,2－3x －4x <2，∴D 错误． 5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab 1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg bC ．当a ∈R 时，a ＋9a ≥2a ×9a ＝6D ．当ab <0时，－ab －1ab ≤－2 【答案】 B【解析】选项A 中，可能ba <0，所以A 不正确；选项C 中，当a <0时，a ＋9a <0，所以C 不正确；选项D 中，当ab <0时，－ab >0，－1ab >0，则－ab －1ab ≥2，当且仅当－ab ＝－1ab ，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确；很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确．7．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m ＋1恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，7)C ．(7，＋∞)D ．[7，＋∞)【答案】 B【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时，等号成立， ∴m ＋1<8，∴m <7.二、填空题(每小题5分，共20分)8．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是________．【答案】 A ≥G【解析】 ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab >0，∴A ≥G .9．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则ab 的取值范围是________．【答案】 (0，14]【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14. 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴ab 的最大值为14.10．已知0<α<π，则2sin α＋12sin α的取值范围是________．【答案】 [2，＋∞)【解析】 ∵0<α<π，∴sin α>0. ∴2sin α＋12sin α≥22sin α×12sin α＝2，当且仅当2sin α＝12sin α，即sin α＝12时，等号成立． ∴2sin α＋12sin α的最小值为2.11．函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的取值范围为________．【答案】 [8，＋∞)【解析】由题意，得点A (2,1)，则1＝2m ＋n ，又m ，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2n 的最小值为8.三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(14分)设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．【解析】 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12.13．(15分)已知y ＝x ＋9x (x ≠0)，试比较|y |与6的大小．【解析】 (1)当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋9x ≥6，(当且仅当x ＝3取等号)，即y ≥6，∴|y |≥6；(2)当x <0时，－x >0，y ＝x ＋9x ＝－[(－x )＋9－x ]≤－6(当且仅当x＝－3时取等号)，即y ≤－6，∴|y |≥6.综上所述，|y |≥6.14．(16分)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 【解析】 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0. 同理，1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8.。

高中数学必修五北师大版基本不等式作业(含答案)2

第3章 3.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最小的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 解析：由基本不等式得a ＋b 2＞ab ， ∴a ＋b ＞2ab .又∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴ab ＜1，∴ab ＜1，∴2ab ·ab ＜2ab ，即2ab ＜2ab .又2ab ＜a 2＋b 2，∴2ab 最小．答案： C2．设M ＝3x ＋3y 2，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy (其中0＜x ＜y )，则M 、N 、P 的大小顺序是( ) A ．P ＜N ＜MB ．N ＜P ＜MC ．P ＜M ＜ND ．M ＜N ＜P解析：由基本不等式知3x ＋3y 2＞3x ·3y ＝3x ＋y ＝(3)x ＋y ，即M ＞N .又∵x ＋y 2＞xy ，而(3)x ＋y ＝3x ＋y 2＞3xy ，即N ＞P ，∴M ＞N ＞P .答案： A3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3 解析： ∵a ＋b ＝2，∴(a ＋b )2＝4，即a 2＋b 2＋2ab ＝4，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥4，∴a 2＋b 2≥2.答案： C4．已知a 、b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，则下列各式恒成立的是( )A.1ab≥8 B.1a ＋1b ≥4 C.ab ≥12D.1a 2＋b 2≤12解析： ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝1＋b a ＋a b＋1≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长率为s %，则s 与p ＋q 2的大小关系为______．解析：由题意可得(1＋p %)(1＋q %)＝(1＋s %)2，由基本不等式得(1＋p %)(1＋q %)≤⎣⎡⎦⎤(1＋p %)＋(1＋q %)22，∴1＋s %≤(1＋p %)＋(1＋q %)2，从而可得s ≤p ＋q 2. 答案： s ≤p ＋q 26．若对x ＞0，y ＞0有(x ＋2y )⎝⎛⎫2x ＋1y ≥m 恒成立，m 的取值范围是________．解析： (x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋x y ＋4y x＋2 ＝4＋⎝⎛⎭⎫x y ＋4y x ≥4＋2x y ·4y x＝8， ∴m ≤8.答案： m ≤8三、解答题(每小题10分，共20分)7．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 证明： ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c也都是正数． ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .8．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c. 证明： ∵1a ＋1b≥21ab ＝2c ， 1b ＋1c ≥21bc ＝2a ，1c ＋1a≥21ac ＝2b ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 不全相等，∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c. 尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)设x 是实数，且满足等式x 2＋12x＝cos θ，你能利用基本不等式和余弦函数的性质求出θ吗？解析： (1)当x ＞0时，x 2＋12x≥2x 2·12x ＝1，当且仅当x ＝1时取等号，又－1≤cos θ≤1，∴cos θ＝1.(2)当x ＜0时，x 2＋12x ＝－[⎝⎛⎭⎫－x 2＋⎝⎛⎭⎫－12x ]≤－2⎝⎛⎭⎫－x 2·⎝⎛⎭⎫－12x ＝－1，当且仅当x ＝－1时取等号，又－1≤cos θ≤1，∴cos θ＝－1.综上知cos θ＝±1，∴θ＝k π，k ∈Z.。

北师大版高中数学必修五基本不等式同步练习(4)

1．已知 f (x )＝x ＋－2(x ＜0)，则 f (x )有()－x －x－x32 4 3∴x (4－3x )＝ ·3x (4－3x )当且仅当 3x ＝4－3x ，即 x ＝时取得等号．3．(2009·重庆高考)已知 a ＞0，b ＞0，则＋＋2 ab 的最小值是( )解析：∵a ＋b ＋2 ab ≥ ＋2 ab ≥2 2×2＝4.当且仅当 ⎨时，等号成ab⎩第六章第四节基本不等式课下练兵场命题报告难度及题号知识点利用基本不等式证明不等式利用基本不等式求最值基本不等式的实际应用容易题(题号)1、2、76 中等题(题号)113、4、85、9 稍难题(题号)1012一、选择题1xA ．最大值为 0B ．最小值为 0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x ＜0，∴－x ＞0，1 1∴x ＋x －2＝－(－x ＋ )－2≤－21 1－x · －2＝－4，等号成立的条件是－x ＝，即 x ＝－1.答案：C2．若 0＜x ＜1，则 f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为( )11 32 A. B.C. D. 解析：∵0＜x ＜1，∴4－3x ＞0，13≤1·(3x ＋4－3x )2＝4，3 2 323答案：D1 1a bA ．2B ．2 2C ．4D ．51 12 ⎧⎪a = b , ⎪ ab = 1立，即 a ＝b ＝1 时，不等式取最小值 4.解析：由圆的对称性可得，直线 2ax －by ＋2＝0 必过圆心(－1,2)，所以 a ＋b ＝1.所以a ＋b ＝ a＋16，则该商场前 t 天平均售出(如前 10 天的平均售出为f (10))的月饼最少为t ＝t＝t ＋＋10≥18.1答案：C4 14．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线 2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则 a ＋b 的最小值是()A ．4B ．6C ．8D ．94 1 4(a ＋b ) ＋a ＋b 4b ab ＝ a ＋b ＋5≥24b a 4b aa ·b ＋5＝9，当且仅当 a ＝b ，即 a ＝2b 时取等号．答案：D5．设 M 是△ABC 内一点，且△ABC 的面积为 1，定义 f (M )＝(m ，n ，p )，其中 m 、n 、p 分别是△MBC ，1 1 4△MCA ，△MAB 的面积，若 f (M )＝(2，x ，y )，则x ＋y 的最小值是()A ．8B ．9C ．16D ．181 1 1解析：△由 ABC 的面积为△MBC △，MCA △，MAB 的面积之和，所以2＋x ＋y ＝1，即 x ＋y ＝2，x ＋4 1 4 8x 2yy ＝(x ＋y )(2x ＋2y )＝10＋ y ＋ x ≥18.8x 2y 1 1当且仅当 y ＝ x ，即 y ＝2x 时，即 x ＝6，y ＝3时取等号．答案：D6．(2010·惠州模拟)某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f (t )与时间 t (0<t ≤30)的关系大致满足 f (t )＝t 2＋10t10()A ．18B ．27C ．20D ．16f (t ) t 2＋10t ＋16解析：平均销售量 y ＝16t16当且仅当 t ＝ t ，即 t ＝4∈[1,30]等号成立，即平均销售量的最小值为 18.答案：A二、填空题7．(2010·南京模拟)若 log m n ＝－1，则 3n ＋m 的最小值是________．解析：∵log m n ＝－1，∴m －＝n ， ∴mn ＝1，∵n ＞0，m ＞0 且 m ≠1，＋9x4＋99296答案：±3当且仅当4m＝2n，即2m＝n，即n＝，m＝时取等号．nx＋1∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×[]28当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.≥24z＝z∴3n＋m≥23mn＝2 3.答案：23x28．函数y＝x4(x≠0)的最大值为________，此时x的值为________．解析：y＝x2111＝≤＝，x2＋x29当且仅当x2＝x2，即x＝±3时取等号．169．当a＞0，a≠1时，函数f(x)＝log a(x－1)＋1的图象恒过定点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4m＋2n的最小值是________．解析：A(2,1)，故2m＋n＝1.∴4m＋2n≥24m·2n＝222m＋＝2 2.1124∴4m＋2n的最小值为2 2.答案：22三、解答题10．(1)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值；(2)设x＞－1，求函数y＝(x＋5)(x＋2)的最值．解：(1)∵x＞0，a＞2x，1212x＋(a－2x)22a2＝，a a248 (2)∵x＞－1，∴x＋1＞0，设x＋1＝z＞0，则x＝z－1，(z＋4)(z＋1)z2＋5z＋44∴y＝＝z＋z＋5z·z＋5＝9，当且仅当z＝2即x＝1时上式取等号，11．已知：a ，b 是正常数，x ，y ∈R *，且 a ＋b ＝10，＋＝1，x ＋y 的最小值为 18，求 a 、b 的值．解：∵x ＋y ＝(x ＋y )( ＋ )x 米．则总造价 f (x )＝400×(2x ＋2×162 )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋＋1 2960＝1 296(x ＋ )＋12 960≥1 296×2x · ＋12 960＝38 880(元)，0 < ≤ 16 ,∴10 ≤ x ≤ 6. 由函数性质易知 g (x )在[10 ，16]⎩∴x ＝1 时，函数 y 有最小值 9，无最大值．a bx ya b x y＝a ＋b ＋ bx ayy ＋ x ≥a ＋b ＋2 ab当且仅当 bx 2＝ay 2 时等号成立．∴x ＋y 的最小值为 a ＋b ＋2 ab ＝18又 a ＋b ＝10.①∴2 ab ＝8，∴ab ＝16.②由①②可得 a ＝2，b ＝8 或 a ＝8，b ＝2.12. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积x 为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80 元/米 2，水池所有墙的厚度忽略不计． (1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．162解：(1)设污水处理池的宽为 x 米，则长为1 296×100xx100x100x100当且仅当 x ＝ x (x ＞0)，即 x ＝10 时取等号．∴当长为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，最低总造价为 38 880 元．⎧0 < x = 16⎪(2)由限制条件知 ⎨ 162⎪ x100 1设 g (x )＝x ＋ x (108≤x ≤16)，18上是增函数，1 8∴当 x ＝10 时(此时＝16)，1296×(10 ＋ )＋12960＝38 882(元)．∴当长为 16 米，宽为 10 米时，总造价最低，为 38 882 元．1 1628 xg (x )有最小值，即 f (x )有最小值1 8008 8118。

北师大版高中数学必修五基本不等式同步练习(1)

基本不等式一、三种常见不等式解集1、绝对值不等式（核心：去掉绝对值） 1、不等式11x -<的解集是{|02}x x <<.2、不等式123x -<的解集为（）（A ）}{|1{|02}x x x x <-⋃<< （B ）{}02x x <<（C ）{}12x x -<< （D ）{}2x x <3、解不等式21x x ->+. 1(,)2-∞4、解不等式243x x -+->. 39(,)(,)22-∞⋃+∞2、一元二次不等式（核心：转化为一元一次因子相乘）1、若集合{|(21)(3)0}A x x x =+-<，{*,5,B x N x =∈≤则A ∩B 是（）（A ）{}1,2,3 （B ） {}1,2 （C ）{}4,5 （D ） {}1,2,3,4,52、（广东5月模拟）不等式(1)(2)0x x +->的解集为（）（A ）(,1)(2,)-∞-⋃+∞ （B ） (,2)(1,)-∞-⋃+∞ （C ）(1,2)- （D ） (2,1)-3、已知不等式20ax bx c ++>的解集为1{|2}3x x -<<，则不等式20cx bx a ++<的解为（）（A ）1{|3}2x x -<< （B ）1|32x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或（C ）1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ （D ）1|23x x x ⎧⎫≤->⎨⎬⎩⎭或 4、已知不等式2364ax x -+>的解集为{|1}x x x b <>或. （1）求,a b ； 1,2a b ==（2）解不等式2()0ax ac b x bc -++<.2c <时，解集2c x <<；2c =时，解集为空集；2c >时，解集2x c <<3、分式不等式（核心：转化为几个一元一次因子相乘、除） 1、设集合1{|3},{|0}4x A x x B x x -=>=<-，则A B ⋂= （）（A ）∅ （B ）(3,4) （C ）(2,1)- （D ）(4,)+∞ 2、（福建质检）不等式203x x ->+的解集是（）（A ）(2,)+∞ （B ） [2,)+∞ （C ）(,3)-∞- （D ）(,3)(2,)-∞-⋃+∞ 3、（2010上海文数）不等式204xx ->+的解集是{|42}x x -<<. 4、不等式21111x x ≥--的解集为（）（A ）(1,)+∞ （B ） [0,)+∞（C ）[0,1)(1,)⋃+∞ （D ）(1,0](1,)-⋃+∞5、若关于x 的不等式01x ax ->+的解集为(,1)(4,)-∞-⋃+∞，则实数4a =. 6、已知关于x 的不等式0ax b +>的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax bx ->-的解集是（）（A ）(,1)(2,)-∞-⋃+∞ （B ） (1,2)- （C ）(1,2) （D ）(2,)+∞ 7、已知函数()1x bf x x -=-，它的图象过点(2,1)-. （1）求函数()f x 的解析式； 3()1x f x x -=- （2）设1k >，解关于x 的不等式()01x kf x x -⋅<-13k <<时，3k x <<；3k =时，空集；3k >时，3x k<<4、综合1、若集合{}21|21|3,0,3x A x x B xx ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A B ⋂是（）（A ）11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或（B ） {}23x x << （C ）122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ （D ）112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭2、不等式231x -<的解集为（）（A ）}}1{1{13xx x x <<⋃> （B ）}113x x ⎧<<⎨⎩（C ）{}10x x -<< （D ）{13x x ⎫<⎬⎭3、（2010全国卷2理数）不等式2601x x x ---＞的解集为（）（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜ 4、设集合{}{}2|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则ST = （）（A ）{}|75x x -<<- （B ）{}|35x x << （C ）{}|53x x -<< （D ）{}|75x x -<< 5、设21:20,:02xp x x q x +--<<-，则p 是q 的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件二、线性规划1、直线簇：1、（2010上海文数）满足线性约束条件23,23,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是（）（A ）1. （B ）32. （C ）2. （D ）3.2、（2010全国卷2文数）若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。

2019_2020学年高中数学课时作业19_20基本不等式(第一课时)北师大版必修5

课时作业(十九)(第一次作业)1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1 D ．a ＝0答案 B2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b<0 B ．0<a b <1C.ab<a ＋b2D ．ab>a ＋b答案 C3．已知a≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤2答案 C4．如果log 3m ＋log 3n ＝4，那么m ＋n 的最小值是( ) A ．4 B ．18 C ．4 3 D ．9答案 B解析 ∵log 3m ＋log 3n ＝log 3mn ＝log 334，∴mn ＝34. 又∵(m ＋n 2)2≥mn ，∴m ＋n≥18.5．已知x>1，y>1且lgx ＋lgy ＝4，则lgxlgy 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.14答案 A解析 ∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0.∴lgxlgy ≤(lgx ＋lgy 2)2＝4，当且仅当lgx ＝lgy ＝2，即x ＝y ＝100时取等号．6．若a ，b ∈R 且a ＋b ＝0，则2a＋2b的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A7．设0<x<32，则函数y ＝x(3－2x)的最大值是( )A.916B.94 C ．2 D.98答案 D8．已知x ＋3y －2＝0，则3x＋27y＋1的最小值是( ) A ．339 B ．1＋2 2 C ．6 D ．7答案 D9．若a ＞0，b ＞0，且a≠b，则下列不等式中总能成立的是( ) A.2ab a ＋b ＞a ＋b 2＞ab B.a ＋b 2＞2aba ＋b ＞ab C.a ＋b 2＞ab ＞2ab a ＋bD.2ab a ＋b ＞ab ＞a ＋b 2 答案 C10．设x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝202，则lgx ＋lgy 的最大值为________．答案 2解析 202＝x ＋2y≥22xy ⇒xy ≤100，∴lgx ＋lgy ＝lg (xy)≤lg100＝2. 11．周长为l 的矩形对角线长的最小值为________．答案24l 12．若x>0，y>0，且x ＋4y ＝1，则x·y 的最大值为________．答案11613．若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是________．答案 2 314．函数f(x)＝3＋lgx ＋4lgx (0<x<1)的最大值为________．答案－115．设0<x<2，求函数y ＝3x （8－3x ）的最大值．答案 416．(1)若x>0，求f(x)＝12x ＋3x 的最小值；(2)若x<0，求f(x)＝12x ＋3x 的最大值．答案 (1)12 (2)－1217．已知a>3，求a ＋4a －3的最小值．解析利用a>3的条件及结构式中一为分式，一为整式的特点配凑： a ＋4a －3＝(a －3)＋4a －3＋3≥2（a －3）·4a －3＋3＝7，等号在a －3＝4a －3即a ＝5时成立．讲评本题容易出现的错误解法为： ∵a>3，∴4a －3>0.∴a ＋4a －3≥2a ·4a －3.当a ＝4a －3，即a ＝4时，a ＋4a －3取最小值24aa －3＝8. 错解中没有找出定值条件，只是形式的套用公式．课时作业(二十) (第二次作业)1．下列各式中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋ba≥2a b ·b a＝2 B ．当a>1，b>1时，lga ＋lgb ≥2lgalgb C ．当a>4时，a ＋9a≥2a ·9a＝6 D ．当ab<0时，－ab －1ab ≤－2答案 B2．设0<a0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中可使b a ＋ab ≥2成立的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C4．若x ，y ∈R ，且x ＋2y ＝5，则3x＋9y的最小值( ) A ．10 B ．6 3 C ．4 6 D ．18 3答案 D解析 3x＋9y≥23x·9y＝2·3x ＋2y＝2·35＝18 3.5．设x>0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－1答案 C解析 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．6．已知a>0，b>0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5答案 C解析 ∵a>0，b>0，∴1a ＋1b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．∴1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22ab·2ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1且2ab＝2ab 时，取等号．故1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4. 7．已知m ＝a ＋1a －2(a>2)，n ＝22－b 2(b≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m>n B ．m<n C ．m ＝n D ．不确定答案 A解析 ∵a>2，∴a －2>0. 又∵m＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2（a －2）×1a －2＋2＝4(当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立)．即m∈[4，＋∞)，由b≠0，得b 2≠0，∴2－b 2<2. ∴22－b 2<4，即n<4.∴n∈(0，4)，综上易知m>n.8．已知正项等差数列{a n }的前20项和为100，则a 5·a 16的最大值为( )A ．100B ．75C ．50D ．25答案 D9．不等式a b ＋ba ＞2成立的条件是____________．答案 a·b＞0且a≠b10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．答案 2011．设x ，y ∈R ，且xy≠0，则(x 2＋1y 2)·(1x 2＋4y 2)的最小值为________．答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时等号成立，即|xy|＝22时等号成立． 12．我市某公司，第一年产值增长率为p ，第二年产值增长率为q ，这两年的平均增长率为x ，那么x 与p ＋q 2的大小关系是________．答案 x≤p ＋q213．已知x<54，求函数f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值．解析 ∵x<54，∴5－4x>0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－[(5－4x)＋15－4x ]＋3≤－2（5－4x ）×15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立．故当x ＝1时，f(x)max ＝1.14．若x>1，求函数y ＝x2x －1的最小值．解析 y ＝x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2＋2＝4，当且仅当1x －1＝x －1，即(x －1)2＝1时，等号成立．∵x>1，∴当x ＝2时，y min ＝4.15．已知3a 2＋2b 2＝5，求y ＝(2a 2＋1)(b 2＋2)的最大值．答案14716解析y＝(2a2＋1)·(b2＋2) ＝112·(6a2＋3)·(4b2＋8)≤112·(6a2＋3＋4b2＋82)2＝112·(212)2＝14716.。

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高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）
课时作业20 基本不等式
时间：45分钟满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．a ＝|b | D ．|a |＝b
【答案】 A
【解析】由基本不等式成立的条件易知． 2．x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】 C
【解析】 xy ≤x 2＋y 2
2＝2，当且仅当x ＝y ＝2或x ＝y ＝－2时，等号成立，∴xy 的最大值为2.
3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝1
2(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( ) A ．R b >1，∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b
2. ∵a ≠b ，∴“＝”不成立．
又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b
2， ∴lg a ＋b 2>1
2(lg a ＋lg b )，故选B. 4．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1
x ≥2 B.x 2＋2
x 2＋2≥ 2
C.x 2＋3x 2＋4≥2
D ．2－3x －4
x ≥2
【答案】 B
【解析】 A 项中当x <0时，x ＋1
x <0<2，∴A 错误． B 项中，x 2＋2
x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．
而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2
＋4－1x 2＋4
，
当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝3
2<2，显然选项C 不正确．
D 项中取x ＝1,2－3x －4
x <2，∴D 错误． 5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b
2
B ．a <ab <a ＋b
2<b
C ．a <ab <b <a ＋b
2 D.ab <a <a ＋b
21，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg b
C ．当a ∈R 时，a ＋9
a ≥2
a ×9a ＝6
D ．当ab <0时，－ab －1
ab ≤－2 【答案】 B
【解析】选项A 中，可能b
a <0，所以A 不正确；选项C 中，当a <0时，a ＋9
a <0，所以C 不正确；选项D 中，当a
b <0时，－ab >0，－1
ab >0，则－ab －1
ab ≥2，
当且仅当－ab ＝－1
ab ，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确；很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0，
则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确．
7．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1
y ＝1，并且x ＋2y >m ＋1恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，7]
B ．(－∞，7)
C ．(7，＋∞)
D ．[7，＋∞)
【答案】 B
【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋x
y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝x
y ，即4y 2＝x 2时，等号成立， ∴m ＋1<8，∴m <7.
二、填空题(每小题5分，共20分)
8．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b
2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是________．
【答案】 A ≥G
【解析】 ∵a >0，b >0，∴a ＋b
2≥ab >0，∴A ≥G .
9．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则ab 的取值范围是________．【答案】 (0，1
4]
【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，
∴ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝1
4. 当且仅当a ＝b ＝1
2时，等号成立． ∴ab 的最大值为1
4.
10．已知0<α<π，则2sin α＋1
2sin α的取值范围是________．【答案】 [2，＋∞)
【解析】 ∵0<α<π，∴sin α>0. ∴2sin α＋1
2sin α≥2
2sin α×1
2sin α＝2，
当且仅当2sin α＝12sin α，即sin α＝1
2时，等号成立． ∴2sin α＋1
2sin α的最小值为2.
11．函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2
n 的取值范围为________．
【答案】 [8，＋∞)
【解析】由题意，得点A (2,1)，则1＝2m ＋n ，又m ，n >0，
所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2
n 的最小值为8.
三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12．(14分)设实数a 使a 2
＋a －2>0成立，t >0，比较1
2log a t 与log a t ＋12
的大小．
【解析】 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，
∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝1
2log a t ， ∴1
2log a t ≤log a t ＋12.
13．(15分)已知y ＝x ＋9
x (x ≠0)，试比较|y |与6的大小．【解析】 (1)当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋9
x ≥6，(当且仅当x ＝3取等号)，即y ≥6，∴|y |≥6；
(2)当x <0时，－x >0，y ＝x ＋9x ＝－[(－x )＋9
－x ]≤－6(当且仅当x
＝－3时取等号)，即y ≤－6，
∴|y |≥6.综上所述，|y |≥6.
14．(16分)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪
⎫
1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1c －1≥8. 【解析】 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1
a －1＝a ＋
b ＋
c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0. 同理，1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0.
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8.。