第二章第二节第二小节椭圆的几何性质 课件-人教版高中数学选修2-1
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高中数学人教A版选修21PPT课件：.2椭圆的简单几何性质
探究结论
平面内到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是
常数 e c (0 e 1) 的点的轨迹是椭圆.
a
定点是椭圆的焦点，定直线叫做 椭圆的准线。
y
x =- a2 c
x = a2 c
我们一般把这个定义称为椭圆
的第二定义，而相应的把另一个定 义称为椭圆的第一定义。
F1 O F2
x
直线 x = a2
:
y
a
2
时，
对
应
c
的 轨 迹 方 程 又 是 怎 样 呢？
高中数学人教A版选修21PPT课件：.2 椭圆的 简单几 何性质
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合
P M
MF d
c a
,
( x c)2
由此可得： a2 x
y2
c .
a
c
将上式两边平方，并化简，得
（a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ).
第一定义 第二定义 准线方程
焦半径
通径长
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原 点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
100 36
求点P到椭圆右焦点的距离. 12
高中数学人教A版选修21PPT课件：.2 椭圆的 简单几 何性质
例题分析
补例2 已知椭圆的两条准线方程为y＝±9，离心为1 ，
求此椭圆的标准方程.
3
x2 y2 1 89
平面内到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是
常数 e c (0 e 1) 的点的轨迹是椭圆.
a
定点是椭圆的焦点，定直线叫做 椭圆的准线。
y
x =- a2 c
x = a2 c
我们一般把这个定义称为椭圆
的第二定义，而相应的把另一个定 义称为椭圆的第一定义。
F1 O F2
x
直线 x = a2
:
y
a
2
时，
对
应
c
的 轨 迹 方 程 又 是 怎 样 呢？
高中数学人教A版选修21PPT课件：.2 椭圆的 简单几 何性质
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合
P M
MF d
c a
,
( x c)2
由此可得： a2 x
y2
c .
a
c
将上式两边平方，并化简，得
（a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ).
第一定义 第二定义 准线方程
焦半径
通径长
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原 点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
100 36
求点P到椭圆右焦点的距离. 12
高中数学人教A版选修21PPT课件：.2 椭圆的 简单几 何性质
例题分析
补例2 已知椭圆的两条准线方程为y＝±9，离心为1 ，
求此椭圆的标准方程.
3
x2 y2 1 89
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.2.3 椭圆的简单几何性质(一)
x2
y2
栏 目 链 接
点评：利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定
系数法．其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并 列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数．
变 式 训 练
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于；
(2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4)．
2.5 1.1 1
3 0
… …
描点，再用光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在 第一象限的图形；然后利用椭圆的对称性画出整个椭圆， 如下图所示．
栏 目 链 接
点评：已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程 化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标和顶
点坐标等．
变 式 迁 移 1．求椭圆 36x2＋9y2＝324的长轴和短轴的长、离心 率、焦点和顶点的坐标．
栏 目 链 接
题型二
例 2 程．
求椭圆的标准方程
2 (1)若椭圆 ＋ ＝1 的离心率是 ，求椭圆的标准方 k＋1 4 2
栏 目 链 接
x2
y2
(2)如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组 成一个正三角形，焦点在 x 轴上，且 a－c＝ 3，求椭圆的方程．
解析：(1)当 k＋1＞4，即 k＞3 时，a2＝k＋1，b2＝4，所以 c2＝k－3， 2 2 k － 3 1 x y 于是 e2＝ ＝ ，解得 k＝7，此时椭圆方程为 ＋ ＝1 . k＋1 2 8 4 当 0＜k＋1＜4，即－1＜k＜3 时， a2＝4 ， b2＝k＋1 ，所以 c2＝3－k ， 2 2 3 － k 1 x y 于是 e2＝ ＝ ，解得 k＝1，此时椭圆方程为 ＋ ＝1 . 4 2 2 4
(人教版)选修2-1数学：2-2《椭圆2-椭圆的简单几何性质》ppt课件
∴c2=a2-b2=m-5.
又∵e=
10 -5
,∴
5
=
25
3
故 m=3 或 m= .
10
5
2
25
,∴m= 3 .
10
,求
5
m 的值.
问题导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
2
1.(2013 四川高考)从椭圆 2
+
2
3
,0
2
1
1
,四个顶点分别为 A1(-1,0),A2(1,0),B1 0,- 2 ,B2 0, 2 .
3
,0
2
和
问题导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
1.根据椭圆的方程计算椭圆的基本量时,关键是将所给方程正确化
成椭圆的标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,
2
2
(1)与椭圆 4x +9y =36
5
有相同的焦距,且离心率为 ;
5
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是
2
3
一个顶点,椭圆的长轴长是 6,且 cos∠OFA= .
思路分析:根据椭圆的几何性质,正确运用 a,b,c,e 四个参数之间的
相互关系,确定椭圆的标准方程.
2
标准方程);
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.列
方程(组)时常用的关系式为 b2=a2-c2,e= 等.
又∵e=
10 -5
,∴
5
=
25
3
故 m=3 或 m= .
10
5
2
25
,∴m= 3 .
10
,求
5
m 的值.
问题导学
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2
1.(2013 四川高考)从椭圆 2
+
2
3
,0
2
1
1
,四个顶点分别为 A1(-1,0),A2(1,0),B1 0,- 2 ,B2 0, 2 .
3
,0
2
和
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KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
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1.根据椭圆的方程计算椭圆的基本量时,关键是将所给方程正确化
成椭圆的标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,
2
2
(1)与椭圆 4x +9y =36
5
有相同的焦距,且离心率为 ;
5
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是
2
3
一个顶点,椭圆的长轴长是 6,且 cos∠OFA= .
思路分析:根据椭圆的几何性质,正确运用 a,b,c,e 四个参数之间的
相互关系,确定椭圆的标准方程.
2
标准方程);
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.列
方程(组)时常用的关系式为 b2=a2-c2,e= 等.
高二数学选修2-1椭圆的几何性质课件(1)
又是以坐标原点为对称中心的中 心对称图形 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
关于y轴对称
P2（-x，y） P（x，y）
Y
O
X
关于原点对称
P3（-x，-y） P1（x，-y）
关于x轴对称
从方程上看：
（1）把x换成-x，方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y，方程不变，图象关于x轴对称；
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象 关于原点成中心对称。
58
三、椭圆的顶点
x y 2 1( a b 0) 2 a b
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ 令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ y B2 (0,b) *顶点：椭圆与它的对称轴 共有四个交点，即A1，A2， a b B1，B2，这四个点叫做椭 A2(a，0) A1 圆的顶点。 o c F2 (-a，0) F1 *长轴、短轴：线段A1A2叫 做椭圆的长轴，它的长等 于2a；线段B1B2叫做椭圆 的短轴，它的长等于2b；a、 b分别叫做椭圆的长半轴长 09:25:17 和短半轴长。
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
关于y轴对称
P2（-x，y） P（x，y）
Y
O
X
关于原点对称
P3（-x，-y） P1（x，-y）
关于x轴对称
从方程上看：
（1）把x换成-x，方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y，方程不变，图象关于x轴对称；
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象 关于原点成中心对称。
58
三、椭圆的顶点
x y 2 1( a b 0) 2 a b
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ 令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ y B2 (0,b) *顶点：椭圆与它的对称轴 共有四个交点，即A1，A2， a b B1，B2，这四个点叫做椭 A2(a，0) A1 圆的顶点。 o c F2 (-a，0) F1 *长轴、短轴：线段A1A2叫 做椭圆的长轴，它的长等 于2a；线段B1B2叫做椭圆 的短轴，它的长等于2b；a、 b分别叫做椭圆的长半轴长 09:25:17 和短半轴长。
新课预习讲义选修2-1第二章椭圆(2)椭圆的性质(学生版)
(1)4x2＋9y2＝36；
(2)m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)．
[思路点拨]
[题后感悟]已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2，求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
变式训练：
1.求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
三、巩固拓展
●必做：教材第49页，习题2.2 A组第8、9、10题，B组第1、2、3、4题
●补充作业：
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．椭圆 ＋ ＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()
A．8,2B．5,4C．9,1D．5,1
2．已知F1、F2为椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝ ，则椭圆的方程是()
，则动点 的轨迹是一个椭圆.
2、椭圆的准线方程：若焦点在 轴上，则左准线是 ；右准线是 ；
若焦点在 轴上，则下准线是 ；上准线是 ；
3、椭圆上任意一点 的焦半径（其中， 为左焦点， 为右焦点）：
，
（若焦点在 轴上，其中， 为下焦点， 为上焦点，则 ，
●典例导析：
题型一、椭圆的简单几何性质
例1、求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率：
8．(10分)如图，椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，
x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．
(1)求C1，C2的方程．
(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2
相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.
(2)m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)．
[思路点拨]
[题后感悟]已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2，求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
变式训练：
1.求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
三、巩固拓展
●必做：教材第49页，习题2.2 A组第8、9、10题，B组第1、2、3、4题
●补充作业：
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．椭圆 ＋ ＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()
A．8,2B．5,4C．9,1D．5,1
2．已知F1、F2为椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝ ，则椭圆的方程是()
，则动点 的轨迹是一个椭圆.
2、椭圆的准线方程：若焦点在 轴上，则左准线是 ；右准线是 ；
若焦点在 轴上，则下准线是 ；上准线是 ；
3、椭圆上任意一点 的焦半径（其中， 为左焦点， 为右焦点）：
，
（若焦点在 轴上，其中， 为下焦点， 为上焦点，则 ，
●典例导析：
题型一、椭圆的简单几何性质
例1、求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率：
8．(10分)如图，椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，
x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．
(1)求C1，C2的方程．
(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2
相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.
高二数学人教A版选修2-1ppt课件：.2椭圆的简单几何性质
2、椭圆的离心率对椭圆形状的影响： 椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率，记作 e＝22ac＝ac. ∵a>c>0，∴0<e<1.
e 越接近于 1，则 c 就越接近于 a，从而 b＝ a2－c2越小，因此
椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近于 0，从而 b 越接 近于 a，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当 a＝b 时，c＝0，这 时两个焦点重合，这时图形就变为圆，此时方程即为 x2＋y2＝ a2.
圆的离心率.
y
0<e<1
o
x
e越接近1，椭圆越扁； e越接近于0，椭圆越接近于圆.
二、新课讲解：
4、椭圆的离心率：用a和b表示椭圆的离心率e
e 2c c 2a a
c2 a2
a2 b2 a2
1
b a
2
b→0，e→1，椭圆越扁； b→a，e→0，椭圆越接近于圆.
二、新课讲解：
5、通径：过椭圆的焦点作垂直于长轴的弦叫做通径.
1 (2)若
的左焦点F1到直线AB
题型四 分类讨论的思想
2
用焦点三角形面积公式 题型二 由椭圆的几何性质求标准方程
通径、焦点三角形面积公式 方程的左边是平方和，右边是1.
3、设椭圆
的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使PF1⊥PF2，求椭圆的离心率的取值范围.
题型三 求椭圆的离心率 通径、焦点三角形面积公式
称轴的四个交点，叫 做椭圆的顶点.
长轴、短轴：线段
A1A2、B1B2分别叫做 椭圆的长轴和短轴.
A1(-a,0)
a、b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长.
y B2(0,b)
o
A2(a,0)x
椭圆的简单几何性质(说课+授课)
教学目标及重难点
维过程和动手操作的实践过程，发展学生的逻辑推理素养. 教学重点：
1.利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质.
教学策略
2.理解“以数解形”的数形结合思想.
教学过程
教学难点： 学生对椭圆的核心性质——离心率的认识与理解.
应用创新点
本着贯彻“以学生为主体，教师为主导”的理 念，把培养学生的逻辑思维能力作为根本目标，设计 以下的教学方法：
环节二 独思共议，引导探究
1 如何刻画椭圆扁平程度
2 探究离心率的定义
3 离心率如何影响椭圆形状
环节三 类比联想，知识迁移
类比焦点在
标准方程 图形 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
轴上的椭圆的几何性质，得到焦点在 轴上的椭圆的几何性质.
设计意图
让学生体会椭圆焦点位置的 变化对其性质有何影响，提升学 生的逻辑推理素养，并为后续双 曲线和抛物线的学习奠定基础.
环节二 独思共议，引导探究
探究四 椭圆的离心率
1 用什么量可以刻画椭圆的扁 平程度 离心率的大小如何影响椭
2 圆的扁平程度
小组讨论 自主探究
设计意图
学生带着问题以小组为单位 进行自主探究，结合教师给出的 问题进行分析、探讨、归纳、总 结。信息技术的引入不仅可以使 学生深刻地理解定义，而且有助 于培养学生的数学抽象、逻辑推 理等数学素养.
环节四 巩固新知，提升能力
例1.椭圆16x2+25y2=400的长轴长是_____，短轴长是_____，焦点坐标是____， 焦距是__________，顶点坐标是__________，离心率是________.
例2.已知椭圆方程为
,已知△OBF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率.
高中数学选修2-1课件：椭圆的简单几何性质1(共69张PPT)
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0128:37:44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0138:37:44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0148:37:44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0158:37:44
y
· · F1
解：（1）当 A2，0 为长轴端点时，a 2，b 1，
椭圆的标准方程为： x2 y2 1 ；
41
（2）当 A2，0 为短轴端点时，b 2 , a 4 ，
x2
椭圆的标准方程为：4
y2 16
1；
综上所述，椭圆的标准方程是
x2 4
y2 1
1
x2
或4
y2 16
1
67
作业 ： 书42页 习题2.1A组4、5
A1(-a, 0)
F1
y B2(0,b)
b a A2(a, 0)
o c F2
x
B1(0,-b)
性质二、范围：-a≤x≤a, -b≤y≤b 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
A1
F1
y
B2
b
oc
a
A2
F2
B1
068:37:44
性质三、椭圆的对称性
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0128:37:44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0138:37:44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0148:37:44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
0158:37:44
y
· · F1
解：（1）当 A2，0 为长轴端点时，a 2，b 1，
椭圆的标准方程为： x2 y2 1 ；
41
（2）当 A2，0 为短轴端点时，b 2 , a 4 ，
x2
椭圆的标准方程为：4
y2 16
1；
综上所述，椭圆的标准方程是
x2 4
y2 1
1
x2
或4
y2 16
1
67
作业 ： 书42页 习题2.1A组4、5
A1(-a, 0)
F1
y B2(0,b)
b a A2(a, 0)
o c F2
x
B1(0,-b)
性质二、范围：-a≤x≤a, -b≤y≤b 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
A1
F1
y
B2
b
oc
a
A2
F2
B1
068:37:44
性质三、椭圆的对称性
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
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请同学们思考：解析几何研究的主要问题是什么？ （1）根据已知条件，求出表示曲线的方程 （2）通过曲线的方程，研究曲线的性质
一、复习：
1.椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离 之和为常数（大于|F1F2 |）
的动点的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
巩固练习： x2 y2 1. 若点P（x，y）在椭圆 25 9 1
上，则点P（x，y）横坐标x的取值范围 ？
2.若点P（2，4）在椭圆 上的点有
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 上，下列是椭圆
（1）P（-2，4） （2）P（-4，2）
（3） P（-2，-4） （4）P（2，-4）
3. 中心在原点，焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别为8和6 的椭圆方程为 ？
b
0)
当焦点在Y轴上时
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
3.椭圆中a,b,c的关系是学（人教A版）选修2-1第二章《椭圆的简单几何性质》
二、新课讲解
问题1：观察椭圆x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)的形状，
你能从图上看出椭圆上点的横坐标、纵坐标的范围？
Y
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
O
X
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点（ 0, ±b ）， 令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（ ±a, 0 ）。
三、椭圆的顶点
在 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)中，
*顶点：椭圆与它的对
称轴的四个交点，叫做 椭圆的顶点。
所以椭圆的标准方程为 x2 y或2 1
100 64
y2 ．x2 1
100 64
例3.已知椭圆的中心在原点，焦
点在坐标轴上，长轴是短轴的三
倍，且椭圆经过点P（3，0），
求椭圆的方程。
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2 1
9 81
分类讨论的数学思想
小结：
1.知识小结：
（1） 学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离 心率等概念及其几何意义。
在 x2 y2 1(a b 0)之中，
a2 b2
P1（-x，y） Y
P（x，y）
原点是椭圆的对 称中心，椭圆的 对称中心是椭圆 的中心
O
X
P3 ( x, y)
P2 (x, y)
椭圆关于X轴、Y轴都是对称的，坐标轴是 椭圆的对称轴
问题2:
你能由椭圆的方程得出椭圆与 x轴、y 轴的交点坐标吗？
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
谢谢参与
*长轴、短轴： 线 A1
段A1A2、B1B2分别叫做 (-a，0)F1 椭圆的长轴和短轴。
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长、短半轴长。
y
B2 (0,b)
b
oc
a A2(a，0) F2
B1 (0,-b)
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
图形
方程 范围
y M
F1 M
F1 O
x2 y2 a2 b2 1
O
F2
x
F2
a b 0
x2 b2
y2 a2
1
x
a b 0
|x| a |y| b
|x| b |y| a
对称性 焦点 顶点 离心率
关于x轴、y轴、原点对称
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
(a,0)、(0,b)
e
c
a
(b,0)、(0,a)
例1已知椭圆方程为
它的长轴1长6x是2：+2105y。2短=轴4长0是0：, 8 。
3
焦距是： 6
。 离心率等于：5
。
焦点坐标是： (3, 0) 。顶点坐标是：(5, 0) (0, 4。)
外切矩形的面积等于：
80
。
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标
准方程
x2 y 2 1 明确a、b
25 16
2、确定焦点的位置和长轴的位置
它具有怎样的对称性？椭圆上的哪些点比较特殊？
能否利用方程（代数方法） 研究它的性质
Y
B2 (0, b)
A1(a,0) O
B1(0,b)
X
A2 (a,0)
观察:椭圆 1、范围： -a≤x≤a, -b≤y≤b
椭圆落在x=±a, y= ± b组成的矩形中
y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
2.椭圆的对称性
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围： 0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭
圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
[3]e与a,b的关系:
e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
一定个框义，四个点|M，F1注|+|意M光F2滑|=2和a 圆(2a扁>|，F1莫F2忘|) 对称要体现
4.说出椭圆 4x2 y2 16 的长轴长，短轴长，顶
点和焦点坐标
思考：
已知椭圆 x2 y2 1的离心率 e 1 ，求k 的值
k 8 9
2
解：当椭圆的焦点在 x 轴上时，
a2 k 8 ，b2 9 ，得 c2 k 1．
由
e
1 2
，得：k
4
当椭圆的焦点在 y 轴上时，
a2 9 ，b2 k 8 ，得c2 1 k ．
（1）经过点P(3,、0) Q(0；, 2)
3
（2）长轴长等于 20,离心率等于 ．5
解:（1）由题意， a 3 ,b又∵2长轴在
x
轴上，所以，椭圆的标准方程为 x2 y2 1 ．
（2）由已知，2a 20
，e c 3
a5
9
4
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b2 102 62 64 ，
y
y
4 B2
3 2
4
3 2
B2
A1
1
A2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
-2 -3
B1
-4 B1
-4
这两个椭圆的形状有什
么不同？
思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有 关呢？
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： e c
（2） 研究了椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系
2.数学思想方法：
（1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。
（2）分类讨论的数学思想
1.正本作业：教材习题2.2A组第4、5题；
2.课外作业： 《金榜夺冠》椭圆的简单几何性质(一) ：
（必做：）“目标训练”4-6、“达标练习”1、5 （选做：） P24第2、3题、“备选题”
练习1.
已知椭圆方程为6x2+y2=6
它的长轴长是： 2 6。短轴长是：
焦距是：
2 5.离心率等于：
焦点坐标是： (0, 。5 )顶点坐标是：
。2
30
。6 (0,。 6)
(1, 0)
外切矩形的面积等于： 4 6 。
其标准方程是 x2 y2 1 16
a 6 b 1 则c a2 b2 5
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
一、复习：
1.椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离 之和为常数（大于|F1F2 |）
的动点的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
巩固练习： x2 y2 1. 若点P（x，y）在椭圆 25 9 1
上，则点P（x，y）横坐标x的取值范围 ？
2.若点P（2，4）在椭圆 上的点有
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 上，下列是椭圆
（1）P（-2，4） （2）P（-4，2）
（3） P（-2，-4） （4）P（2，-4）
3. 中心在原点，焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别为8和6 的椭圆方程为 ？
b
0)
当焦点在Y轴上时
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
3.椭圆中a,b,c的关系是学（人教A版）选修2-1第二章《椭圆的简单几何性质》
二、新课讲解
问题1：观察椭圆x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0)的形状，
你能从图上看出椭圆上点的横坐标、纵坐标的范围？
Y
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
O
X
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点（ 0, ±b ）， 令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（ ±a, 0 ）。
三、椭圆的顶点
在 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)中，
*顶点：椭圆与它的对
称轴的四个交点，叫做 椭圆的顶点。
所以椭圆的标准方程为 x2 y或2 1
100 64
y2 ．x2 1
100 64
例3.已知椭圆的中心在原点，焦
点在坐标轴上，长轴是短轴的三
倍，且椭圆经过点P（3，0），
求椭圆的方程。
答案： x2 y 2 1 9
x2 y2 1
9 81
分类讨论的数学思想
小结：
1.知识小结：
（1） 学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离 心率等概念及其几何意义。
在 x2 y2 1(a b 0)之中，
a2 b2
P1（-x，y） Y
P（x，y）
原点是椭圆的对 称中心，椭圆的 对称中心是椭圆 的中心
O
X
P3 ( x, y)
P2 (x, y)
椭圆关于X轴、Y轴都是对称的，坐标轴是 椭圆的对称轴
问题2:
你能由椭圆的方程得出椭圆与 x轴、y 轴的交点坐标吗？
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
谢谢参与
*长轴、短轴： 线 A1
段A1A2、B1B2分别叫做 (-a，0)F1 椭圆的长轴和短轴。
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长、短半轴长。
y
B2 (0,b)
b
oc
a A2(a，0) F2
B1 (0,-b)
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
图形
方程 范围
y M
F1 M
F1 O
x2 y2 a2 b2 1
O
F2
x
F2
a b 0
x2 b2
y2 a2
1
x
a b 0
|x| a |y| b
|x| b |y| a
对称性 焦点 顶点 离心率
关于x轴、y轴、原点对称
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
(a,0)、(0,b)
e
c
a
(b,0)、(0,a)
例1已知椭圆方程为
它的长轴1长6x是2：+2105y。2短=轴4长0是0：, 8 。
3
焦距是： 6
。 离心率等于：5
。
焦点坐标是： (3, 0) 。顶点坐标是：(5, 0) (0, 4。)
外切矩形的面积等于：
80
。
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标
准方程
x2 y 2 1 明确a、b
25 16
2、确定焦点的位置和长轴的位置
它具有怎样的对称性？椭圆上的哪些点比较特殊？
能否利用方程（代数方法） 研究它的性质
Y
B2 (0, b)
A1(a,0) O
B1(0,b)
X
A2 (a,0)
观察:椭圆 1、范围： -a≤x≤a, -b≤y≤b
椭圆落在x=±a, y= ± b组成的矩形中
y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
2.椭圆的对称性
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围： 0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭
圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
[3]e与a,b的关系:
e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
一定个框义，四个点|M，F1注|+|意M光F2滑|=2和a 圆(2a扁>|，F1莫F2忘|) 对称要体现
4.说出椭圆 4x2 y2 16 的长轴长，短轴长，顶
点和焦点坐标
思考：
已知椭圆 x2 y2 1的离心率 e 1 ，求k 的值
k 8 9
2
解：当椭圆的焦点在 x 轴上时，
a2 k 8 ，b2 9 ，得 c2 k 1．
由
e
1 2
，得：k
4
当椭圆的焦点在 y 轴上时，
a2 9 ，b2 k 8 ，得c2 1 k ．
（1）经过点P(3,、0) Q(0；, 2)
3
（2）长轴长等于 20,离心率等于 ．5
解:（1）由题意， a 3 ,b又∵2长轴在
x
轴上，所以，椭圆的标准方程为 x2 y2 1 ．
（2）由已知，2a 20
，e c 3
a5
9
4
∴ a 10 ，c 6 ，∴ b2 102 62 64 ，
y
y
4 B2
3 2
4
3 2
B2
A1
1
A2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
-2 -3
B1
-4 B1
-4
这两个椭圆的形状有什
么不同？
思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有 关呢？
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： e c
（2） 研究了椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系
2.数学思想方法：
（1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。
（2）分类讨论的数学思想
1.正本作业：教材习题2.2A组第4、5题；
2.课外作业： 《金榜夺冠》椭圆的简单几何性质(一) ：
（必做：）“目标训练”4-6、“达标练习”1、5 （选做：） P24第2、3题、“备选题”
练习1.
已知椭圆方程为6x2+y2=6
它的长轴长是： 2 6。短轴长是：
焦距是：
2 5.离心率等于：
焦点坐标是： (0, 。5 )顶点坐标是：
。2
30
。6 (0,。 6)
(1, 0)
外切矩形的面积等于： 4 6 。
其标准方程是 x2 y2 1 16
a 6 b 1 则c a2 b2 5
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：