2021届高三湖北十一校第一次联考数学答案
2022届高三湖北十一校第一次联考数学试题及答案
2022届高三湖北十一校第一次联考数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|30}A x x x =-≤，集合{}15B x x =≤<，则A B = （）A .{}5x x <B .{}13x x ≤≤C .{}05x x ≤<D .{}35x x ≤<2.方程22121x y m m-=+-表示双曲线，则m 的取值范围是()A ．21m -<<B ．1m >C ．2m <-D ．12m -<<3.设R m ∈，向量()()(),1,4,,1,2a m b m c ===-，则//a b是a c ⊥的（）条件A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要4.函数()cos 2+2sin f x x x =，[]0x ∈π，的最大值为()A .12B .1C .32D .25.连接正四面体每条棱的中点，形成如图所示的多面体，则该多面体的体积是原正四面体体积的（）A .13B .38C .23D .126.已知数列{}n a （N n *∈）是等差数列，n S 是其前n 项和，若27,09852==+S a a a ，则数列{}n a 的公差是（）A .1B .2C .3D .47.函数()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><的图象与y 轴交于点(0,1)M -,图象上离y 轴最近的最高点为(,2)4N π,若对1212,(,),x x a a x x ∀∈-≠,恒有12()()f x f x ≠,则实数a 的最大值为()A.4π B.6π C.8π D.12π8.若关于x 的方程()1x x a +=有三个不同的实数解,则实数a 的可能取值是()A .5-B .2-C .2D .3二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的的有（）A .已知一组数据12310,,,,x x x x 的方差为3，则123102,2,2,,2x x x x ++++ 的方差也为3B.对具有线性相关关系的变量x ，y ，其线性回归方程为^0.3y x m =-，若样本点的中心为(,2.8)m ，则实数m 的值是4C .已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()151P X P X >-+≥=，则2μ=D .已知随机变量X 服从二项分布1,3B n ⎛⎫⎪⎝⎭，若(31)6E X +=，则6n =10.三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,下列条件能判断ABC ∆是钝角三角形的有（）A．6,5,4a b c ===B．2AB BC a ⋅=C.sin sin sin a b Cc b A B-=++ D.2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C+=11.2021年3月30日,我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo.据了解，新Logo 将原本方正的橙色边框换成了圆角边框，这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感，而设计师的灵感来源于数学中的曲线C :||||1nnx y +=,则下列说法正确的有()A .对任意的R n ∈，曲线C 总关于原点成中心对称B .当0n >时,曲线C 总过四个整点(横、纵坐标都为整数的点)C .当1n =-时,曲线C 上点到原点距离的最小值为D .当01n <<时,曲线C 围成图形的面积可以为212.如图,已知矩形ABCD ，AB 1AD =，AF ⊥平面ABCD ，且3AF =,点E 为线段DC (除端点外）上的一点.沿直线AE 将DAE ∆向上翻折成'D AE ∆,M 为'BD 的中点，则下列说法正确的有（）A .三棱锥A BCF -B .当点E 固定在线段DC 某位置时，则'D 在某圆上运动C .当点E 在线段DC 上运动时，则'D 在某球面上运动D .当点E 在线段DC 上运动时，三棱锥M BCF -三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数z 满足131ii z+=-，则z =.14.在一次社团活动中，甲乙两人进行象棋比赛，规定每局比赛获胜的一方得3分，负的一方得1分（假设没有平局）.已知甲胜乙的概率为0.6，若甲乙两人比赛两局，且两局比赛结果互不影响.设两局比赛结束后甲的得分为ξ，则()E ξ=.15.线段AB 是圆22:4O x y +=的一条动弦，且AB =:340l mx y m -+-=恒过定点P ，则PA PB + 的最小值为.16.已知函数()e xf x x =-,则()f x 的单调递增区间为;若对任意的0x ∈+∞（，），不等式ln 2e 1xx ax+-≥恒成立,则实数a 的取值范围为.四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2cos a c B c -=.（1）求证：2B C =.（2）若1c =，求b 的取值范围.18.（12分）自2021年9月以来，某中学实行封闭式管理，学生均在学校食堂就餐.为了解学生对食堂服务的满意度，食堂作了一次随机调查，已知被调查的男女生人数相同均为*(N )m m ∈.调查显示男生满意的人数占男生人数的35，女生满意的人数占女生人数的45，且经以下22⨯列联表计算可得2K 的观测值 4.762k ≈.男生女生合计满意不满意合计(1)求m 的值，完成上述表格，并判断有多大的把握认为学生对食堂服务的评价与性别有关?。
2021届高三湖北十一校第一次联考数学答案定稿2020.12.9
（2）物理和历史两大类间有两门相同的方法：
门科目共 60 种；所以均选择物理的概率为60 5
16、 , ，
√3
）
3
由曲线的性质可得：∆ 、∆ 的内心 M、N 在直线
设 C 的右顶点为 E，直线 AB 的倾斜角为θ，则3
;
在Rt∆ 中，∠
，
同理，在Rt∆ 中，∠
设
2021 届高三湖北十一校第一次联考
an a1
6
6
3
3
3
，所以 d
，所以 0 d
，所以 d 的最大值是 ，故
n 1
n 1 21 1 10
10
10
C 正确，
)，在, ， -单调递减，所
√ cs(
11、BD
d
数学答案
所以：k=5
)
14、[ ， ∞）
( )为奇函数且为增函数，( ) (
)；所以
即为( ) (
，所以
15、
分类：（1）物理（历史）大类中有两门相同的方法：
48 种；
=12；所以在 6 门选考科目中恰有两
5
99. ，故选 C
1
9、AB 由表中数据，计算得 x 1 2 3 4 5 3 ，所以 y 45 3 5 140 ，于是
;2 ;
2 ;
2 : 2
，
ℎ
°，
;
以 A 错误；因为
2× √ × √3 × ，
3
3
3
6 °，
8 .7°
湖北省十一校2023届高三上学期12月第一次联考数学参考答案
鄂南高中黄冈中学黄石二中荆州中学龙泉中学武汉二中孝感高中襄阳四中襄阳五中宜昌一中夷陵中学2023届高三湖北十一校第一次联考数学试题参考答案1．【答案】B【解析】),(3P =-∞，(0,8)Q =，所以(0,3)P Q = ，故选：B ． 2．【答案】C【解析】设i(,)R a z a b b =∈+，由题意得222222(1)(1)(5)a b a b a b -+=++=-+，解得3a =，3b =-，所以z ==，故选：C 3．【答案】C【解析】投掷两个质地均匀的正方体骰子，所有可能的结果有6636⨯=种；满足事件A 的有{1,3}，{3,1}，共2种；满足事件B 的有{3,6}，{6,3}，共2种；满足事件C 的有{1,3}，{2,3}，{3,3}，{4,3}，{5,3}，{6,3}，{3,1}，{3,2}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，共11种；21()()3618P A P B ∴===，C 正确；6(3)11P C =，D 错误； ()0()()P AB P A P B =≠ ，,A B ∴不是相互独立事件，A 错误；事件A 和事件C 可能同时发生，,A C ∴不是互斥事件，B 错误．故选：C ．4．【答案】D【解析】过点F 作FN 平行于BC ，交BE 于点M ，因为DF FC =，则F 为DC 的中点，所以//MN AE 且11332248MN AE AD AD ==⨯=， 因为NF AD =，所以3588MF NF MN AD AD AD =-=-=， 由AEG FMG △∽△可得：AE AGFM FG=，所以364558ADAG AE FG FM AD ===， 因为666136()()11111121111AG AF AD DF AD AB AB AD ==+=+=+，所以361111AG a b =+ ，故选：D ．5．【答案】B【解析】由题由正弦定理得，ABC △外接圆直径为326πsin 6r ==，得3r =，设球心到平面ABC 的距离为d ，所以132d PA ==，所以三棱锥的外接球半径为R ===，故选：B． 6．【答案】A【解析】因为πππ,π6636x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，恰好取到一次最大值与一次最小值，可得3πππ5π2362ω<+≤，解得47ω<≤．故选：A ． 7．【答案】B【解析】由题意可令1A B ==，所以将数列{}n a逐个列举可得：11a ==， 2223a =+⎝⎭⎝=+=⎭，3124a a a =+=，4327a a a =+=，54311a a a =+=，故55511a =+=⎝⎭⎝⎭，因为5(1,0)∈-⎝⎭，所以5(11,12)∈⎝⎭，故511⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故选：B 8．【答案】D【解析】构造函数e ()xf x x=，易得e (ln 2)a f =，1e 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4e 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21()e x x f x x -⋅'=，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,1)递减，(1,)+∞递增，易知11ln e ln22=>>=a b <，24e (ln 4)ln2ln4a f ===，因为41ln43<<，所以a c >，所以b a c >>，故选：D ． 9．【答案】AD【解析】新样本平均数为100510076200⨯+⨯=，故A 正确，B 错误；新样本数据的方差为22100100[9(56)][16(76)]13.5200200⨯+-+⨯+-=．故选：AD ． 10．【答案】ACD【解析】如图所示：连接1AD ，DB ，1B C ，AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，故1AB B C ⊥，11B C BC ⊥，11//BC AD ，故11B C AD ⊥，又因为1AB AD A = ，故1B C ⊥平面1ABD ， 又因为AP ⊂平面1ABD ，故1AP B C ⊥，A 正确；当P 与B 重合时，PB 即BD ，由于DB ，BC 不垂直，故B 错误；1C 到平面11A BCD的距离为112C D =，当1PC 最大时，直线1PC 与平面11A BCD 所成角度最小，1PC的最大值为BC =，故此处线面所成角的最小值θ的正弦值为1sin 2θ==，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故π6θ=，C 正确；11PC PD PC PA A C +=+=≥，当1,,A P C 三点共线时等号成立，D 正确．故选：ACD11．【答案】ABD【解析】对于A ，当0b d ==时，3()f x x x =+为奇函数，故正确； 对于B ，设函数的对称中心为(,)m n ，则有(2)2()f m x n f x -=-， 又因为32(2)(2)(2)(2)f m x m x b m x m x d -=-+-+-+()()3223261241842x m b x m mb x m m b m d =-++-++++++，322()2n f x x bx x n d -=---+-，所以2326124118422m b b m mb m m b m d n d +=-⎧⎪++=⎨⎪+++=-⎩，解得33292727b m b b d n ⎧=-⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩， 所以()f x 的对称中心为32927,327b b b d ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为2()321f x x bx +'=+，又因为12,x x 为()f x 的两个极值点，所以1213x x =，221212223x x x x +>=，所以C 错误； 对于D ，若()f x 单调，则有2()3210f x x bx =++'≥恒成立，所以24120b ∆=-≤，解得b D 正确．故选：ABD ． 12．【答案】ABC【解析】对A ：过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则AD AE =，11F D F F =，22F E F F =，122AF AF a -= ，则()()112122AD DF AE EF F F F F a +-+=-=，又12122F F F F F F c =+= ，则11FF OF OF a c =+=+，OF a ∴=，即1I 在直线x a =上，同理可得：2I 在直线x a =上，A 正确；对B ：12121A I F I F F ∠=∠ ，22122I B F I F F ∠=∠，则1221221122212I F I F I F F I F F I F I A B ++∠=∠∠=∠∠，122π2I F I ∴∠=，又1222I F F F F F I F =，则2122I F I F F F ⋅=，即2212()r r c a a =-=，∴2c a =，故离心率为2ce a==，B 正确； 对C ：2e = ，则2c a =，b =，2(2,0)F a ∴，双曲线的渐近线方程为y =，则直线AB 的倾斜角π2π,33 ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 设AB 直线方程为2x my a，m ⎛∈ ⎝⎭，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程2222213x my ax y a a=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得：222(31)1290m y may a -++=， 1221231ma y y m ∴+=--，2122931a y y m =-，则12y y -==，21226(1)13a m AB y m +=-=-， 设1ABF △内切圆半径为r ，其周长()()()1112122242L AF BF AB AF AF BF BF AF BF AB a AB =++=-+-+++=+22212(1)1641313a m aa m m +=+=--，根据1ABF △的面积可得：1212112222Lr c y y a y y =⨯⨯-=-，则122431316213a y y m r a a L m --===-，C 正确； 对D ：由题意不妨设12I F F α∠=，ππ,32θ⎛⎤∈⎥⎝⎦，2παθ∴+=，则πππ,243θα-⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令tan t α=∈，12tan r FF at α∴==，22πtan 2a r FF t α⎛⎫=-=⎪⎝⎭，121r r a t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又1y t t =+在上单调递增，1212r r a t a t ⎡⎫⎛⎫∴+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，D 错误；故选：ABC ．13．【答案】12-【解析】444(2)(3)(3()2)3y x x x y ---=--，4(3)y x -的展开式中3x y 项为：3334C (3)12y x x y ⋅⋅-=-，4)2(3x --的展开式中没有3x y 项，故4(2)(3)y x --的展开式中含3x y 项的系数为12-，故答案为：12-． 14．【答案】3(1)2n n + 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，1(1)n a a n d ∴=+-，所以31(31)n a a n d -=+ 又因为33n n a a =即1133(1)(31)a n d a n d +-=+-，可得1a d =， 又由2384(3)a a a -=即1112(3)(7)(3)2a a d a d d -+=++，即2(33)(7)(3)d d d d d -+=+即22242416d d d -=且正项等差数列{}n a ，即0d ≠，解得3d =，所以1(1)3(1)22n n n d S na n n -=+=+，故答案为：3(1)2n n +． 15．【答案】33130x y +-=【解析】由极点极线原理，可知切点弦AB 的直线方程为(41)(1)(2)(52)4x y --+--=，整理得33130x y +-=．16．【答案】32e e ,49 ⎛⎤⎧⎫⎪⎪ ⎥-∞⎨⎬ ⎥⎪⎪⎝⎦⎩⎭ 【解析】因为3e 3()ln (0)x f x a x x x x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以422233(3)e ()e x x x x x f x a a x x x x ⎛⎫---=-=- ⎝'⎪⎭， 因为()f x 只有一个极值点，所以若3是极值点，因为23e 2e x x x x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以当02x <<时，2e 0xx '⎛⎫< ⎪⎝⎭，当2x >时，2e 0xx '⎛⎫> ⎪⎝⎭， 则2e x y x =在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，故2222e e e 24x y x ==≥，则2e xa x ≤，所以22min e e 4x a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤；当x 趋向于0时，e x 趋向于1，2x 趋向于0，则2e x x 趋向于正无穷，当x 趋向正无穷时，e x趋向正无穷的速率远远大于2x 趋向正无穷的速率，则2exx趋向于正无穷，e 2x y x若3不是极值点，则3是2e 0x a x -=即2e x a x =的一个根，且存在另一个根02m <<，此时3e 9a =；当3e 9a =时，322(3)e e ()9x x f x x x ⎛⎫-=- ⎝'⎪⎭，令()0f x '<，解得0x m <<；令()0f x '>，解得x >m ； 所以()f x 在(0,)m 单调递减，在(,)m +∞单调递增，满足题意，综上：2e 4a ≤或3e 9a =，即23e 9e ,4a ⎛⎤⎧⎫∈-∞⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭ ．故答案为：23e 9e ,4⎛⎤⎧⎫-∞⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭ ．17．【答案】（1）证明见解析；（2）π3【解析】（1）方法一：通分化简可得2sin()sin sin sin sin B A C A A C -+=，2sin()sin()sin sin sin B A B A A A C -++=，即22222sin cos cos sin sin sin sin B A B A A A C -+=，即22222sin (1sin )(1sin )sin sin sin sin B A B A A A C ---+=，整理得2sin sin sin B A C =，由正弦定理可得2b ac =，所以a 、b 、c 成等比数列；················5分 方法二：由题意得sin cos cos sin sin 1sin sin B A B A AA C-+=，所以222222221b c a a c b b a a bc ac a c +-+-⋅-⋅+=，化简可得222()12b a a ac c-+=，得2b ac =，所以a ，b ，c 成等比数列；·······································································5分（2）由（1）可得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--===≥，又(0,π)B ∈，所以π03B <≤，当且仅当a c =即ABC △为正三角形时等号成立， 所以B 的最大角为π3．（不写取等条件扣1分）．······························································10分 18．【答案】（1）*()N n a n =∈，（2）证明见解析． 【解析】（1）当1n =时，111(2)1a S a -=，0n a >可得111a S ==．··································1分当2n ≥时，由题意可得11()()n n n n S S S S n ---+=，即221n n S S n --=，所以2222221211(1)()()(1)12n n n n n S S S S S S n n -+=-++-+=+-++= ， 又0n a >，0n S ∴>，n S ∴=， 经检验，当1n =时11S =符合上式，所以*()N n S n =∈；···································4分 所以当2n ≥时，1n n n a S S -=-=经检验，当1n =时11a =符合上式，所以*()N n a n =∈． （不检验扣1分）······································································································6分 （2）由（1）可得212112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以222121111111112121222311n S S S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，命题得证．(12分) 19．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）取BP 中点M ，连接AM 、CM ，因为2AD AB =，P 为AD 的中点，所以AB AP =，故AM BP ⊥，因为BCP △为等边三角形，所以CM BP ⊥，又因为AM CM M = ，,AM CM ⊂面ACM ，因此BP ⊥平面ACM ，因为BP ⊂平面ABP ，所以平面ACM ⊥平面ABP ，因为平面ACM 平面ABP AM =，所以直线AC 在平面ABP 的射影在直线AM 上，所以直线AC 与平面ABED 所成角为CAM ∠，则π4CAM ∠=，·····················································································1分 因为2AB AP ==，π3BAD ∠=，所以ABP △是正三角形，则AM =2BP =，因为BCP △为等边三角形，2BP =，则CM =， 所以在AMC △中，由AM CM ==π4CAM ∠=得π4ACM ∠=， 则π2CMA ∠=，所以AM CM ⊥，因为CM BP ⊥，AM BP M = ，,AM BP ⊂面ABED ， 所以CM ⊥平面ABED ，因为PE ⊂平面ABED ，所以CM PE ⊥，·································3分 因为2BP =，在PDE △中，2PD ED ==，2π3PDE =，所以PE =，又4BE =， 所以222BP PE BE +=，即PE BP ⊥，········································································5分 又CM BP M = ，,CM BP ⊂平面BCP ，所以PE ⊥平面BCP ．···································6分 （2）由（1）可知MP 、MC 、MA 两两垂直，以M 为原点，MA 所在直线为x 轴，MP 所在直线为y 轴，MC 所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则C ，(0,1,0)P，A ，(0,1,0)B -，由于P 是AD的中点，易得(2,0)D ，又由BA ED =可得(E -，所以(0,PC =-，(PE =-，(PD =设平面ECP 的法向量为1111(,,)n x y z = ，则1100n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1110y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，得1n =，····················································································8分设平面PCD 的法向量为2222(,,)n x y z = ，则2200n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令2y =2n =，····················································································10分设平面ECP 与平面PCD 的夹角为θ，易知π02θ<≤，所以121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=〈〉===⋅ ， 即平面ECP 与平面PCD．····························································12分 20．【答案】（1）37；（2）2049． 【解析】（1）设i A 表示“第i 次从乙箱中取到填空题”，1,2i =，13()7P A =，2121()3|6P A A ==，2131()2|6P A A ==；···················································3分 由全概率公式得，第2次抽到填空题的概率为：212112132433()()()()|777|()66P A P A P A A P A P A A =⨯+⨯=⨯+⨯=；·································6分（2）设事件A 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”， 事件1B 为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”， 事件2B 为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”， 事件3B 为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”， 则1B 、2B 、3B 彼此互斥，且123ΩB B B = ，25128C 5()C 14P B ==，1153228C C 15()C 28P B ==，23328C 3()C 28P B ==，16(|)9P A B =，25(|)9P A B =，34(|)9P A B =，·····························································9分22313156155347()()(|)()(|)()(|)14928928912P A P B P A B P B P A B P B P A B =⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=， ······························································································································10分 所求概率即是A 发生的条件下1B 发生的概率：111156()()(|)20149()7()()4912|P B A P B P A B P B A P A P A ⨯====．····················································12分21．【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析．【解析】（1）法一：将(4,4)代入抛物线方程22x py =得到2p =，所以抛物线方程为24x y =，(1分) 求导可得2x y '=，设切点坐标为00(,)x y ，则切线斜率为02x ，所以切线方程为000()2xy y x x -=-，即002()x x y y =+；······································································································3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 直线方程为y kx b =+，由题意得12222PA PB x x k k ⋅=⋅=-，所以128x x =-，联立直线AB 和抛物线得24x yy kx b⎧=⎨=+⎩得2440x kx b --=，所以1248x x b =-=-得2b =，所以AB 的直线方程为2y kx =+，直线AB 过定点(0,2)．···············································6分 法二：将(4,4)代入抛物线方程22x py =得到2p =，所以抛物线方程为24x y =，···············1分设00(,)P x y ，过P 的直线方程为00()y y k x x -=-，联立2004()x yy y k x x ⎧=⎨-=-⎩，得20044()0x kx y kx ---=，200Δ1616()0k y kx =+-=，得2000k x k y -+=，1202k k y ==-，··········································································3分切点横坐标为2x k =，所以121248x x k k ==-，······························································4分联立直线AB 和抛物线得24x yy kx b⎧=⎨=+⎩得2440x kx b --=，所以1248x x b =-=-得2b =，所以AB 的直线方程为2y kx =+，直线AB 过定点(0,2)．···············································6分（2）联立直线AB 和抛物线得242x yy kx ⎧=⎨=+⎩得2480x kx --= ①可知124x x k +=，128x x =-，····················································································8分设1(,1)C x -，2(,1)D x -，PA 直线方程为：112()x x y y =+，PB 直线方程为：222()x x y y =+，联立11222()2()x x y y x x y y =+⎧⎨=+⎩解得22x k y =⎧⎨=-⎩，所以(2,2)P k -，所以P 在直线=2y 上运动，············10分 假设存在一点P 使得A 、C 、P 、D 四点共圆，则90ACD APD ∠=∠=︒，所以1PA PD k k ⋅=-， 因为12PA x k =，212PD k x k =-可得1212(2)x x k =--，解得14x k =，20x =， 不合题意，所以不存在P 点使得A 、C 、P 、D 四点共圆．··············································12分 22．【答案】（1）1a -≥；（2）证明见解析．【解析】（1）当0b =时，21()cos 2f x x a x =-，()sin f x x a x +'=， 因为()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数，所以()sin 0f x x a x =+'≥在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， 令()sin g x x a x =+，则()1cos g x a x +'=，当1a -≥时，()sin g x x x -≥，令()sin p x x x =-，()1cos 0p x x =-'≥，所以()p x 在(0,)+∞上递增，即()(0)0p x p >=，所以()0g x >在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，符合题意；····································3分 当1a <-时，(0)10g a =+<'，π102g ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，且()g x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数， 所以存在唯一0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得0()0g x '=，所以当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在0(0,)x 递减， 即0(0,)x x ∀∈，()(0)0g x g <=，不符合题意；综上所述1a -≥．·····································································································6分（2）证明：()sin ln f x x a x b x =++'，当(0,1)a ∈时，由（1）可知sin y x a x =+是增函数，所以0b <，设12x x <，111222sin ln sin ln x a x b x x a x b x ++=++，移项得212121()(sin sin )()(ln ln )x x a x x b x x -+-=--，由（1）知2211sin sin x x x x ->-，即2121sin sin x x x x -<-，所以2121()(ln ln )(1)()b x x a x x --<+-，即2211()ln (1)()x b a x x x -<+-，①设1()ln 21x h x x x -=-⋅+，22214(1)()0(1)(1)x h x x x x x -=-=+'+≥， 所以当1x >时，()(1)0h x h >=，即1ln 21x x x ->⋅+，所以2>，即ln 4x >，所以21ln 44x x >=代入①式中得到214((1)()(b a x x a ⋅-<+-=+，即241b a -⋅<++>，命题得证．···································12分。
湖北省黄冈市2021-2022学年高三上学期11月联考数学试题(含答案解析)
湖北省黄冈市2021-2022学年高三上学期11月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合8|1,3A x x x ⎧⎫=-≤≤∈⎨⎬⎩⎭N ，集合{|03}B x x =<<，则A B =（ ）A ．{|02}x x <≤B ．{|12}x x ≤≤C ．{1,2}D ．{0,1,2}2．若复数312i z =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若tan 3α=，则1cos 21sin 2αα+=-（ ）A ．12B ．12-C ．12±D ．2±4．已知函数f （x ）()sin 02340x x f x x ππ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪->⎩，，，则((2019))f f 的值为（ ）A ．12-B．C． D．5．函数()x xe ef x ln x-+=的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BE EC →→=，2CD CF →→=，则AE AF →→+=（ ）A B ．3 C ．D ．47．已知函数()x xxf x xe e =-，且()3log a e f =，()3log 0.5b f =，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．c b a >>8．如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中，每根弦都垂直于x 轴，左边第一根弦在y 轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y ＝1.1x ，第n (n ∈N ，第0根弦表示与y 轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l ：y ＝x ＋1交于点An (xn ，yn )和Bn (x 'n ，y 'n )，则20'0n n n y y ==∑（ ）参考数据：1.122＝8.14A ．814B ．900C ．914D ．1000二、多选题9．下列说法中正确的为（ ） A ．若//a b ，//b c ，则//a cB ．向量()12,3e =，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭能作为平面内所有向量的一组基底C ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．非零向量a 和b 满足a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30°10．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若917a S =，下列说法正确的是（ ） A ．80a =B ．90a =C ．116a S =D ．810S S >11．函数()sin y A ωx φ=+(0A >，0>ω，0ϕπ<<)在一个周期内的图象如图所示，则( )A ．该函数的解析式为22sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为,03k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈C ．该函数的增区间是53,344k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．把函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象12．已知a 为常数，函数()()ln 2f x x x ax =-有两个极值点1x ，2x （12x x <），则（ ） A ．104a <<B ．122x x +<C ．()10<f xD ．()212f x >-三、填空题13．曲线2()ln 2f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为________________.14．若函数()f x 定义域为[]22-,，则函数(2)ln(1)y f x x =⋅+的定义域为_______. 15．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若AF =(0,0)x AE yDC x y +>>，则22341xy -+的最大值为___________.16．记n 项正项数列为1a ，2a ，，n a ，其前n 项积为n T ，定义()12lg n T T T ⋅⋅⋅为“相对叠乘积”，如果有2020项的正项数列1a ，2a ，3a ，，2020a 的“相对叠乘积”为2020，则有2021项的数列10，1a ，2a ，3a ，，2020a 的“相对叠乘积”为________．四、解答题17． a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知3sin a B =，sin b A =. （1）求ab；（2）若2π3A =，求ABC 的周长. 18．已知等差数列{}n a 中，110a =，公差0d >，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列{}n b 的前三项. (1)求d 的值；(2)设{}n a 中不包含{}n b 的项按从小到大的顺序构成新数列{}n c ，记{}n c 的前n 项和为n S ，求30S .19．已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若()y f x ω=的图象向左平移12π个单位所得函数是偶函数，若012ω<<，求ω的值；（2）若()123f α=，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α的值.20．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90ABC ∠=︒，2PA =，AC =（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）若二面角P BC A --的大小为45︒，过点A 作AN PC ⊥于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小．21．六安市某生态旅游景区升级改造，有一块半圆形土地打算种植花草供人游玩欣赏，如图所示，其中AB 长为4km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC CD =，设COB θ∠=.(1)现要在景区内铺设一条观光道路，由线段BC ，CD 和DA 组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 最大值；(2)若在AOD △和BOC 内种满月季花，在扇形COD 内种满薰衣草，已知月季花利润是每平方千米2a 元，薰衣草的利润是每平方千米a 元，则当θ为何值时，才能使总利润最大？最大利润是多少？22．已知函数2()(2)(0)x x f x e a e ax a =-++> （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设()()(2)(1)x g x f x a e ax x =++-+在()0,∞+上存在极大值M ，证明：4a M <.参考答案：1．C 【解析】 【分析】列举法表示出集合A ，进而根据交集的概念即可求出结果. 【详解】因为{}8|1,0,1,23A x x x ⎧⎫=-≤≤∈=⎨⎬⎩⎭N ，所以{}1,2A B =，故选：C 2．D 【解析】 【分析】首先化简复数z ，再根据复数的几何意义，判断选项. 【详解】 由题意可知：()()3112i 2i 21i 2i 2i 2i 2i 555z --=====--++-，所以复数z 在复平面上对应的点为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.位于第四象限.故选:D. 3．A 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的公式，化简2221cos 22cos 1sin 2cos sin 2sin cos ααααααα+=-+-，结合“齐次式”，代入即可求解. 【详解】 因为tan 3α=，则2222221cos 212cos 12cos 1sin 2cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos αααααααααααα++-==-+-+- 222211tan 2tan 13232αα===+-+-⨯. 故选：A. 4．C 【解析】【分析】根据函数的定义，在0x >时，函数呈现周期性质，这样(2019)f 可以变形为(3)f ，再计算即得． 【详解】由题意(2019)(2015)(2011)(3)(1)f f f f f =====-5sin()sin236πππ=--=-12=-， ∈1((2019))()sin()243f f f ππ=-=--sin()(sin cos cos sin )434343ππππππ=-+=-+=． 故选：C. 【点睛】本题考查分段函数求函数值，考查函数的周期性，考查诱导公式及两角和的正统公式．解题关键是函数周期性的应用 5．C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，可排除A 、D ；根据()f e 的值，可排除B ，即可求解. 【详解】由题意，函数()x xe ef x ln x -+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，可得定义域关于原点对称，又由()() ln ln x x x xe e e ef x f x x x--++-===-，所以()f x 是偶函数，故排除选项A 、D ； 因为()()++ln eeeee e ef e e ee e--==>，可排除B.故选：C . 6．B 【解析】 【分析】根据向量的表示，1212AE AF AB BE AD DF AB AD AD AB →→→→→→→→→→+=+++++=+33()22AB AD AC →→→==+，根据菱形的相关性质求得2AC =，从而求得向量模长. 【详解】在菱形ABCD 中，由BE EC →→=，2CD CF →→=， 点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点； 则133(1)2222AE AF AB BE AD DF AB AD AD AB AB AD AC →→→→→→→→→→→→→+=++=+=+=+++， 又120BAD ∠=︒，在菱形ABCD 中，ABC 为等边三角形，则2AC =， 故332AE AF AC →→→+==故选：B 7．A 【解析】 【分析】可判断()f x 为偶函数，再根据()f x 的导数可判断()f x 在(0,)+∞为增函数， 根据对数函数的单调性判断出33ln 3log log 2e >>即可得出大小. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()()x x x x x xf x xe xe f x e e----=--=-=， ()f x ∴为偶函数，当0x >时，()()()2111101'10x x x x xx e x x f x x e ee e ++--+-=+-=>=，所以()f x 在(0,)+∞为增函数，又33330log 1log 2log log 31e =<<<=，ln3ln 1e >=， 所以33ln 3log log 2e >>，则()()33(ln3)log log 2f f e f >>， 又()()()333log 2log 2log 0.5f f f ==-，则c a b >>. 故选：A. 8．C 【解析】 【分析】由题得20200119200(1)1.11 1.12 1.120 1.121 1.1n n nn n y y n =='=+=⨯+⨯++⨯+⨯∑∑，再利用错位相减法求解.由条件可得20200119200(1)1.11 1.12 1.120 1.121 1.1n n nn n y y n =='=+=⨯+⨯++⨯+⨯∑∑①，∈2012202101.11 1.12 1.120 1.121 1.1n nn y y ='⨯=⨯+⨯++⨯+⨯∑②，-①②得20000.1 1.1n nn y y ='-⨯=+∑2112021211 1.11.1 1.121 1.121 1.11 1.1-++-⨯=-⨯-2121221 1.10.121 1.11 1.10.10.1-+⨯⨯+==--，∈221.18.14=， ∈200914n nn y y ='=∑． 故选：C 9．BD 【解析】 【分析】直接利用向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的数量积的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．【详解】解：对于A ：若//a b ，//b c ，(0)b ≠，则//a c ，故A 错误； 对于B ：向量1(2,3)e =，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以12e e 与不共线， 所以可以作为平面内的所有向量的一组基底，故B 正确； 对于C ：已知(1,2)a =，(1,1)b =，则(1,2)a b λλλ+=++， 所以：()0a a b λ⋅+>，且a 和()a b λ+不共线． 即(1)2(2)0λλ+++>，且()212λλ+≠+ 解得53λ>-且0λ≠，故C 错误；对于D ：非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-， 则以,,a b a b -为边长的三角形为等边三角形， 所以a 与a b +的夹角为30，故D 正确． 故选：BD ．【解析】 【分析】由等差数列的性质化简917a S =可得90a =，由此判断A ，B 的对错，结合等差数列前n 项和公式和通项公式判断C ，D. 【详解】由题意可知，在等差数列{}n a 中，因为917a S =，所以()()117999171721722a a a a a +===， 则90a =，故选项B 正确；因为公差0d ≠，所以80a ≠，故选项A 错误； 因为90a =，所以180a d +=，所以18a d =-， 所以1611116151511616168222S a d a d d d a ⨯⎛⎫⎛⎫=+=+=⨯-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项C 正确； 因为108910101989S S a a a a d d d d -=+==+=-+=，且d 未知正负，所以选项D 错误； 故选：BC. 11．ACD 【解析】 【分析】对于选项A ：根据图像和已知条件求出A 和最小正周期T ，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出ω，通过代点求出ϕ即可；对于选项BC ：结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D ：利用伸缩变换即可求解. 【详解】由题图可知，2A =，周期2434T ππππω⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 所以23ω=，则22sin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为当4x π=时，22sin 234y πϕ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即πsin φ16，所以262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈，又0ϕπ<<，故3πϕ=，从而22sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；令233x k ππ+=，k Z ∈，得322x k ππ=-+，k Z ∈，故B 错误； 令2222332k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈， 得53344k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，故C 正确； 函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到22sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：ACD. 12．ACD 【解析】 【分析】令()0f x '=，则1ln 4xa x+=，作出4y a =，1ln ()x g x x +=的大致图象，可判断AB ；由函数的单调性可判断CD 【详解】()ln 14f x x ax '=+-，(0)x >，令()0f x '=，则1ln 4xa x+=， 令1ln ()x g x x +=，则2ln ()xg x x-'=， ()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．作出4y a =，1ln ()xg x x+=的大致图象，当104a <<时，()0f x '=有两个根1x ，2x ，且121x x ，故A 正确；当0a →时，12x x +→+∞，故B 错误；又函数()f x 在区间()10,x 上递减，在区间()12,x x 上递增，在区间()2,x +∞上递减， ()1(1)20f x f a ∴<=-<，()21(1)22f x f a >=->-，故CD 正确；故选：ACD ． 13．31y x =-+ 【解析】 【分析】首先求出切点为()1,2-，再利用导数的几何意义求切线即可. 【详解】12f ，切点为()1,2-，()14f x x x'=-，()13k f '==-， 所以切线方程为：()231y x +=--，即31y x =-+. 故答案为：31y x =-+ 14．(]1,1- 【解析】 【分析】根据函数y =f (x )的定义域，可得不等式组，解不等式组即可. 【详解】由题意可得22210x x -≤≤⎧⎨+>⎩11x ∴-<≤，即函数(2)ln(1)y f x x =⋅+的定义域为(]1,1-. 故答案为：(]1,1-. 15．12 【解析】 【分析】设BD 与AE 的交点为O ，结合比例关系可求出AO AE 23=，得出32AE AO =，则AF 可代换为32xAO y AB +，结合三点共线性质得312x y +=，原式代换为222324141x y y y -=++，再结合基本不等式即可求解 【详解】 如图，设BD 与AE 的交点为O ，则由//DE AB ，得AOAE =23AB AB DE =+，所以32AE AO =，所以AF xAE =+32x yDC AO y AB =+.由点O ，F ，B 共线，得32xy +1=，所以22232211414124x y y y y y-==+++，当且仅当11,23y x ==时取等号，即22341x y -+的最大值为1.2故答案为：12 【点睛】本题考查平面向量三点共线性质的应用，基本不等式求最值，属于中档题 16．4041 【解析】 【分析】根据相对叠乘积的定义以及对数的性质计算可得结果. 【详解】由题意得2021项的数列10，1a ，2a ，…，2021a 的“相对叠乘积”为()()()()()20211232020122020lg 1010101010lg10lg T T T T T T T ⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦202120204041=+=故答案为：4041． 17．（1）ab =（2. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求得ab= （2）先分别求出a 、b ，再用余弦定理求出c ，即可求出周长. 【详解】（1）由正弦定理，得3sin 3sin a B b b A a==，则223a b ，即3a b ，故ab=（2）因为2π3A =，所以sin b A ==.又a b =32a =.由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即29312442c c ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭，解得c =c =.故ABC 的周长为32 18．(1)10 (2)5990 【解析】 【分析】（1）对等差数列{}n a 的前四项，分情况讨论删去的项，再利用等比中项求解；（2）由（1）得到()10n n N a n *=∈，12n n b a -=，然后由{}n c 前30项是{}n a 的前35项去掉{}n b 的前5项后构成求解.(1)解：不可能删去首项和末项，否则等差数列中连续三项构成等比数列，则=0d ，而已知0d >，不合题意；若删去2a ，则2314=a a a ，即()()2111+2=3a d a a d +，所以14a d =-，因为110a =，所以502d =-<，舍去；若删去3a ，则2214=a a a ，即()()2111+=3a d a a d +，所以1a d =，因为110a =，所以100d =>，符合题意，故10d =. (2)由（1）知，()()1010110n n n a n N *=+-=∈，所以1224134010,20,b a b a b a ======，即{}n b 的公比为2，首项为10，所以()1102n n b n N -*=⋅∈，即12n n b a -=，n b 是数列{}n a 中的第12n -项，设数列{}n a 的前n 项和为n P ，数列{}n b 的前n 项和为n Q ， 故{}n c 前30项是{}n a 的前35项去掉{}n b 的前5项后构成的，所以()()511353035513521b q a a S P Q q-+=-=--， ()()5101235103505990212-+=-=-.19．（1）2ω=；（2. 【解析】 【分析】（1）写出平移后的解析式，由它是偶函数得出ω的表达式，结合其取值范围可得结论； （2）利用已知角的范围，用函数值确定22,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，从而可确定cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后由两角差的正弦公式计算． 【详解】（1）∈()sin 3f x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，平移后sin sin 123123y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∈1232k ωππππ+=+，∈122k ω=+，k Z ∈，又∈()0,12ω∈，∈2ω=.（2）()123f α=，2,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又1sin 233πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭∈22,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∈cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，11sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 33333332ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，考查正弦函数的奇偶性，考查同角间的三角函数关系，两角差的正弦公式，在用平方关系求函数值时需确定角的范围，以确定三角函数值的正负．本题属于中档题． 20．（1）证明见解析；（2）60°． 【解析】 【分析】（1）根据根据线面垂直的判断得BC ⊥平面PAB ，进而证明平面PBC ⊥平面PAB ； （2）解法一：根据题意得45ABP ∠=︒，进而过点A 作AM PB ⊥于M ，则AM ⊥平面PBC 且M 为PB 中点，连接MN ，则ANM ∠为直线AN 与平面PBC 所成的角，再根据几何关系求解即可；解法二：建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）因为PA ⊥底面ABC ，所以PA BC ⊥， 又90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥，又PA ，AB 为平面PAB 内的两条相交直线， 所以BC ⊥平面PAB ， 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PAB ；（2）解法一：由（1）可知，ABP ∠为二面角P BC A --的平面角，所以45ABP ∠=︒，又2PA =，AC =90ABC ∠=︒，所以2AB BC ==，过点A 作AM PB ⊥于M ，则AM ⊥平面PBC 且M 为PB 中点，连接MN ， 则ANM ∠为直线AN 与平面PBC 所成的角，在Rt ANM △中，AM =AN =所以sin AM ANM AN ∠==故60ANM ∠=︒，所以直线AN 与平面PBC 所成的角为60°． 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，可得()0,0,0B ，()2,0,0A ，()2,0,2P ，()0,2,0C ，设(),,N x y z ，PN PC λ=（01λ<<），则22x λ=-，2y λ=，22z λ=-， 因为AN PC ⊥，()2,,AN x y z =-，()2,2,2PC =--， 所以()22220x y z --+-=，解得13λ=，所以424,,333N ⎛⎫⎪⎝⎭，故224,,333AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(),,a x y z =，因为()0,2,0BC =，()2,0,2BP =， 由00a BC a BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20220y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1z =-，所以()1,0,1a =-为平面PBC 的一个法向量，所以24cos ,a AN --==，故直线AN 与平面PBC 所以直线AN 与平面PBC 所成的角为60°． 21．(1)3πθ=，6(2)当3πθ=时，总利润最大，max 2)3W a π= 【解析】 【分析】（1）由COB θ∠=，满足BC CD =，得到2AOD πθ∠=-，(0,)2πθ∈，进而得到24sin 2BC BM θ==，同理得到,CD AD ，然后由l BC CD DA =++求解；（2）易得2sin BOCSθ=，2sin(2)4sin cos AODS πθθθ=-=，2COD S θ=扇形，得到总利润2(2sin 2sin 2)W a θθθ=++，然后利用导数法求解. (1)解：由图知：COB θ∠=，2AOD πθ∠=-，(0,)2πθ∈，由BC 的中点M ，则OM BC ⊥，2BOM θ∠=，所以24sin 2BC BM θ==，同理可得4sin 2CD θ=，24sin4cos 2AD πθθ-==，所以24sin 4sin4cos 4(12sin )8sin 2222l θθθθθ=++=-+， 即218(sin )622l θ=--+，(0,)2πθ∈. 所以当1sin 22θ=，即3πθ=时，有max 6l =； (2) 2sin BOCSθ=，2sin(2)4sin cos AODSπθθθ=-=，2COD S θ=扇形.所以总利润2(2sin 4sin cos )22(2sin 2sin 2)W a a a θθθθθθθ=++=++， 令2sin 2si 2()n f θθθθ=++，所以()2cos 4cos 21(4cos 3)(2cos 1)f θθθθθ'=++=+-，因为(0,)πθ∈，由0S '=得πθ=，当θ变化时，()f θ'，()f θ的变化如下表所示，所以当3πθ=时，总利润最大，max 2)3W a π=. 22．（1）在(),ln ,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，ln ,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；（2）详见解析.【解析】（1）求得()'f x ，利用()0f x '>和()0f x '< 即可求得函数()f x 的单调性区间； （2）求得函数()g x 的解析式，求()g x '，对a 的情况进行分类讨论得到函数有极大值的情形，再结合极大值点的定义进行替换、即可求解. 【详解】（1）由题意，函数2()(2)(0)x x f x e a e ax a =-++>， 则2()2(2)(2)(1)x x x x f x e a e a e a e '=-++=--，当2a =时，令2()02(1)x e f x -'=≥，所以函数()f x 单调递增； 当2a >时，令()0f x '>，即(2)(1)0x x e a e -->，解得ln 2ax >或0x <， 令()0f x '<，即(2)(1)0x x e a e --<，解得0ln2ax <<， 所以函数()f x 在区间(),0,ln ,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,ln 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中单调递减，当02a <<时，令()0f x '>，即(2)(1)0x x e a e -->，解得0x >或ln 2a x <， 令()0f x '>，即(2)(1)0x x e a e -->，解得ln02ax <<， 所以函数()f x 在(),ln ,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在ln ,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）由函数22()x g x e ax =-，则2()2()x g x e ax '=-， 令2()x m x e ax =-，可得2()2x m x e a '=-令()0m x '=，解得1ln 22a x =， 当02a <≤时. ()0m x '>，函数()m x 在()0,∞+ 单调递增，此时()(0)1m x m >=， 所以()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，此时不存在极大值， 当2a >时，令()0,m x '> 解得1ln 22a x >，令()0m x '<，解得1ln 22a x <， 所以()g x '在10,ln 22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()g x 在()0,∞+上存在极大值，所以1(ln )ln 0222a ag a a '=-<，解得2a e >，因为2ln 1(0)20,(=20,(ln )22ln 2(ln )02a g g e a g a e a a a a a '''=>-<=-=->）， 11ln ln 222aa << 易证明ln 0a a ->，存在11(0,)2x ∈时，()1211220xg x e ax '=-=，存在21(ln ,ln )22ax a ∈使得2()0g x '=，当()g x 在区间()10,x 上单调递增，在区间()12,x x 单调递减，所以当1x x =时，函数()g x 取得极大值M ，即1221x M e ax =-，1102x <<， 由112211220,x x eax e ax -==，所以1222111()244x a a M e ax a x =-=--+<【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
湖北部分重点中学2021届高三第一次联考数学答案(16题答案修正,4页)
第2页
设平面
ABM
的法向量为
n
(x，y，z)
，则
AAMBnn 00，，即
( 3，1，0)( x，y，z)
(0，1，
3)( x，y，z)
0，
即
0，
3x y
y 3z
0，
可取
0，
n
(1，
3，1) ．
设 BD 与平面 ABM 所成的角为 ，则
sin
cos BD，n
BDn
23
5
．…………………………………12 分
BD n 2 3 5 5
20.解：（1）设 M (x1, y1) ，则由题意知， y1 0 ， A(2, 0) ．
由已知及椭圆的对称性，知 k 1 ，所以 AM 的方程为 y x 2 ．
将 x y 2 代入 x2 y2 1中，得 7 y2 12 y 0 ． 43
所以
y
0或
y
12 7
由19
AM
8 AN
19
，得
3 4k2
8k 3k 2
4
，即 32k 3
57k 2
24k
76
0
,即
(k 2)(32k 2 7k 38) 0 ，
又 k 0 ，所以 32k 2 7k 38 0 ，所以 k 2 ．………………………………………12 分
21.解：由图可知，1000 名高血压患者中：
被调查者中肥胖人群的 BMI 平均值
200 800 29 100 300 31 50 50 33 29.8 ．
200 100 50 800 300 50
第3页
（2）由（1）及频率分布直方图知，1000 名高血压患者中有 200 100 50 350 人肥胖， 5000 名非高血压患者中有 800 300 50 1150 人肥胖，所以可得如下列联表：
2021届高三湖北十一校第一次联考数学试题答案
2021届高三湖北十一校第一次联考数学答案1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6． C 7．A 8．C 9．AB 10．ABC 11．BD 12．AC 1．B 由题意知：{}|02A y y =<<，{}|1,1B x x x =≤-≥， 所以{}R|11B B x x ==-<<，所以(){}R|01AB x x =<<2．A 42z 131ii i+==+-，则13z i =-，()()z 131310z i i ⋅=+⋅-=． 3．B 因为1013<<，所以0a <，01b <<，1c >，所以a b c <<． 4．C 设山OT 的高度为h ，在Rt AOT △中，30TAO ∠=︒，3tan 30hAO h ==︒，在Rt BOT △中，60TBO ∠=︒，3sin 60h BO h ︒=︒=，在AOB △中，81.721.760AOB ∠=-=︒︒︒，由余弦定理得，2222cos60AB AO BO AO BO =+-⋅⋅⋅︒； 即22213114032332h h h h =+-⨯⨯⨯， 化简得2231407h =⨯；又0h >，所以解得314020217h =⨯=； 即山OT 的高度为2021（米）． 5．C 依题意，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则数列{}n a 为等差数列，则53955553993S a S a ==⨯=．故选：C ． 6．C 对于①，若αβ，由l α⊥得到直线l β⊥，所以l m ⊥；故①正确；对于②，若αβ⊥，直线l 在β内或者l β，则l 与m 的位置关系不确定；对于③，若lm ，则m α⊥，由面面垂直的性质定理可得αβ⊥；故③正确；对于④，若l m ⊥，则α与β可能相交；故④错误； 所以C 选项是正确的． 7．A 由题意可知：4a b ab +≤，又2a b ab +≥，所以42ab ab ≥，可得14ab ≥；但14ab ≥，当4a =，116b =时，114a b+>矛盾；故选A 8．C 正四面体外接球问题，所需要材料即为正四面体外接球体积与正四面体体积差。
2023届高三湖北十一校第一次联考数学试题及答案
所以当 n 2 时， an Sn Sn1
nn 1
2
nn 1 ，
2
经检验，当 n 1 时符合，所以 an
nn 1
2
nn 1 ，n N * ；··················6 分（不检验扣 1 分）
2
（2）由（1）可得
1
S
2 n
2
nn 1
2 1 n
1 ，所以 n 1
1 S12
3.C【解析】 PAB 0，PA PB 1 ，PC 1 5 2 11 ，故选 C.
18
6 36
4.D【解析】易知 EG 3 ，由三点共线定理得 AG 3 AB 8 AE 3 AB 6 AD ，故选 D.
AB 8
11 11 11 11
5.B【解析】 ABC 外接圆直径为 2r
即 sin 2 B 1 sin 2 A 1 sin 2 B sin 2 A sin 2 A sin Asin C ，
整理得 sin 2 B sin Asin C ，即 b2 ac ，所以 a、b、c 成等比数列；································5 分
题号 1 答案 B
2023 届高三湖北十一校第一次联考数学试题参考答案及评分细则
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
D
B
A
B
D
AD ACD
11 ABD
12 ABC
1.B【解析】由题意得 P ，3， Q 0,8，所以 P Q 0,3，故选 B.
2.C【解析】设 z a bi ，由题意得 a 12 b2 a2 b 12 a 52 b2 ，解得 a 3，b 3 ，故选 C.
湖北省重点中学2021届高三数学上学期第一次联考试题 理.doc
湖北省重点中学2021届高三数学上学期第一次联考试题 理考试时间：2021年11月8上午8:00- 10:00 试卷满分:150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1.集合A = {0<6|2--x x x }，集合B={1<log |2x x }，则=B AA.( -2,3)B.(-∞,3)C.(-2,2)D.(0,2)2.已知a 是实数，iia -+1是纯虚数，则a 等于 A.-1B.1C. 2D. 2-3.若1)2cos(sin 2=+-x x π，则=x 2cos4.已知{n a }为等比数列，若8,253==a a ，则=+87a a A.-32 B.96C.-32或96D.- 96或325.点P 是△ABC 所在平面上一点，若5352+=，则△ABP 与△ACP 的面积之比是 A.53 B. 25 C. 23 D. 326.下列说法正确的个数是①命题“若4≥+b a ，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题 ②命题“设R b a ∈,，若5≠+b a ,则3≠a 或2≠b ”是一个真命题③“0<,0200x x R x -∈∃”的否定是“0>,2x x R x -∈∀”④已知y x ,都是实数，“1||||≤+y x ”是“122≤+y x ”的充分不必要条件 A.1 B.2 C.3 D.47.下列函数中，既是偶函数，又在（-∞，0)内单调递增的为A. ||2x x y -= B. ||2x y = C. xxy --=22 D. 221||log x x y -=8.已知定义在R 上的奇函数ax f x x +-=212)(，则不等式0<)4()2(2-+-x f x f )的解集为A.(-1,6)B.(-6,1)C.(-2,3)D.(-3,2)9.△AOB 中，==,，满足2||=-=⋅,则△A0B 的面积的最大值为A.3B.2C. 32D. 22 10.已知函数⎩⎨⎧-+-+=)3<<1(,1)2()1<<1(),1(log )(x a x f x x x f a (a>0且1≠a )，若21x x ≠,且)()(21x f x f =，则21x x +的值A.恒小于2B.恒大于2C.恒等于2D.以上都不对 11.已知函数0)>(sin )42(cos sin 2)(22ωωπωωx x x x f --⋅=在区间]65,52[ππ-上是增函数，且在区间],0[π上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是 A. ]53,0(B. ]53,21[C. ]43,21[D. )25,21[12.已知对任意实数x 都有1)0(),(2)('-=+=f x f e x f x，若不等式1)-a(x <)(x f ，（其中a<l)的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是 A. )1,23[e B. )1,23[e - C. )23,35[2ee D. )1,35[2e 二、填空题(本大题共4个小题，共20分）13.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20203x y x y x ,则y x z +=3最小值为 .14.非零向量a 和b 满足)(|,|||2b a a b a +⊥=,则a 与b 的夹角为 . 15.已知函数)32sin(2)(π+=x x f 在区间),317(a π上是单调函数，则实数a 的最大值为 . 16.已知函数2)(,212ln )(-=+=x e x g x x f ,若),0(,+∞∈∃∈∀n R m ,使得)()(n f x g =成立，则的最小值是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分）已知数列{n a }满足...3,2,1,53,111=+=+=+n n a a a n n . 证明：...3,2,1,311==--+n a a n n ;(2)求和: 12221254433221...+--++-+-n n n n a a a a a a a a a a a a .18.(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，M 是边BC 的中点，772cos ,1475cos -=∠=∠AMC BAM . （1）求∠B 的大小； （2）若7=AM ，求△A BC 的面积.19.(本小题满分12分）已知四棱锥P - ABCD 中，侧面 PAD 丄底面ABCD ，PB 丄AD, △PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点. （1）求证:PA//平面MDB;（2）求二面角A - PB - C 的余弦值. 20.(本小题满分12分)已知椭圆1:2222=+by a x C 的离心率为22，其右顶点为A ，下顶点为定点C(0,2)，△ABC的面积为223，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P, Q 两点，直线BP,BQ 分别与X 轴交于M,N 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）试探究M,N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由. 21.(本小题满分12分)某汽车公司最近研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。
2021届高三湖北十一校第一次联考数学答案定稿(1)
2
(
8、C 正四面体外接球问题，所需要材料即为正四面体外接球体积与正四面体体积差.正四面体
积为：
值域为(
> 4矛盾；故选 A
3
√3
3
(
/=
若( )
2
6、C 对于①,若α β,由 ⊥ 得到直线 ⊥ ,所以 ⊥ ;故①正确;
对于②,若α ⊥ β,直线在β内或者 β,则与的位置关系不确定;
⋯
5
)
5 3 ⋯ (
由①-②，得
即 :
则
，即{
5
.
，∴tan
).
，所以，
q
（Ⅱ）
（1）
，
则
4
;
所以 OS(⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
（2）因为 (
an 的公差为 d，等比数列 bn 的公比为 q q 0 ，
若
，则 ( )
,故( )在 R 上单调递减，故 B 错误
递减，在(
∞)上单调递增,则 ′( ) ′( )
若
，则 ( )
，此时 ( )仅有 1 个零点 0 ，且 0
，又 ( ) ;
13、5
的棱长为，则正四面体的高为√6 ，外接球半径为√6 ，内切球半径为√6.所以 3D 打印的体
a（x2 x1 ) ln x2 ln x1 则 a
则
（
2 x2 x1）
③
x1 x2
……………4 分
ax1 1 ln x1 1 ln
x1
e
1 ，因为 x1 0 ，所以 ax12 2 x1 e 0
2022届高三湖北十一校第一次联考数学试题及答案解析
A. x x 5
B. x 1 x 3
C. x 0 x 5
D. x 3 x 5
2.方程 x2 y2 1 表示双曲线，则 m 的取值范围是(
)
2 m 1m
A． 2 3.设 m R
m 1
，向量
a
m,1B．, bm
1
4,
m
,
c
1,
2
C． ，则
m
a
2
/ /b 是
a
c
的（
D． 1 m 2
2
则 V多面体
V正四面体
4
(
1 2
)3V正四面体
1 2 V正四面体
.故选
D.
6.【答案】 B
【解析】由 S9 27 9a5 ，得 a5 3 ，则 a2a5 a8 (a5 3d )a5 (a5 3d ) 0 ，故 d 2
7.【答案】 C
【解析】由题易得 A 2, ，结合图象可知， 2k ，则 8 8k(k Z) ，又 T T ，所以 2 4 ，
11. 2021 年 3 月 30 日, 我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新 Logo. 据了解，新 Logo 将原本方正的橙色边框换成了圆角边框，这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予
了品牌生命的律动感，而设计师的灵感来源于数学中的曲线 C: | x |n | y |n 1 , 则下列说法正确的有
B. 3 8
D. 1 2
6.已知数列 an （ n N ）是等差数列， Sn 是其前 n 项和，若 a2a5 a8 0, S9 27 ，则数列 an 的公差是
（）
A.1
B.2
C.3
D.4