时两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形①cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0-； 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝1＋cos 2β2－cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -＋3tan A 2tan C 2 ＝3)2tan 2tan1(CA -＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 考点二 三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝45.答案：D(2)已知tan )4(πα+＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255 解析：由tan )4(πα+＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(π，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝________.解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 由于α∈)2,0(π，sin α＋cos α≠0， 则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan )6(θπ+的值．解：tan )6(θπ+＝tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值． 解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋13－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝－115.3．已知cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，则cos )32(πα+＝________.解析：由cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，得sin α＋sin 2π3cos α－cos 23πsin α＝235∴32sin α＋32cos α＝235， 即3sin )6(πα+＝235，∴sin )6(πα+＝25，因此cos )32(πα+＝1－2sin 2)6(πα+＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 解析：∵cos α＝17，0＜α＜π2.∴sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314. 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2)31(1312-⨯＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π. 答案：－34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(π，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(ππ-，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(ππ，∴α＋β＝7π4. 2．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈)2,0(π，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D.因为cos )4(απ-＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 解析：选A.法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π，β∈)2,0(π，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选 B.由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin )2(απ-，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos )82(π⨯＝22.答案：22课时规范训练 A 组 基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋3C ．4 D.433 解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15° ＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4.法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin )4(πθ-＝210，则tan 2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin )4(πθ-＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈]2,4[ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝2)473(+，又θ∈]2,4[ππ，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin )2(θπ+＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin )2(θπ+＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2)53(－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈),2(ππ，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈),2(ππ，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈),2(ππ，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan )3(ππ+＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ))2cos 2(sin θθ-＝)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ ＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈),2(ππ，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈),2(ππ，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×)53(-＝－43＋310. B 组 能力突破 1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2)4(απ-＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2)4(απ-＝cos2)4(απ-＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f )12(π的值为( )A ．43 B.833 C ．4 D ．8解析：选D.∵f (x )＝2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ， ∴f )12(π＝4sin π6＝8. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×)1010(-＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________．解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0.所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝2cosα(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。
两角和与差的正弦,余弦,正切公式
两角和与差的正弦，余弦，正切公式1. 两角和与差的正、余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-习题：31.cos ,(,),sin()523ππθθπθ=-∈+已知求的值。
1232.sin ,(),cos()1326ππθθπθ=-∈+已知，求的值。
3.求值（1）sin 75cos105sin105sin15︒︒-︒︒ （2）cos68cos 22sin 68sin 22︒︒-︒︒(3)cos84sin 24sin84cos24︒︒-︒︒ (4)sin 24sin36cos24cos36︒︒-︒︒ (5)sin 20cos110cos160sin 70︒︒+︒︒(6)sin80cos70sin10cos20︒︒+︒︒4. sin 2sin3cos2cos3, ()x x x x x ==若则A.10πB.6πC. 5πD.4π5. 已知510sin ,sin ,510αβ==且,αβ为锐角，则αβ+为（ ） ()4A π ()4B π或34π ()34C π()D 非以上答案1116.714αβααββ已知,都是锐角，cos =,cos(+)=-求cos 的值。
7. 已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求sin2α的值.8. 已知,2tan ,1)tan(==+ββα求αtan 的值 9.已知tan()3,tan()3αβαβ+=-=，tan 2α则的值是（ ）A.34-B. -1C. 2D. 3410. 已知,2)tan(,3)tan(=-=+βαβα求βα2tan ,2tan 的值． 11.求值（1）30tan 15tan 30tan 15tan ++ （2）tan10tan503tan10tan50++（3）tan 70tan 25tan 70tan 25--（4）tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20 12. 设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0判断三角形的形状：1.在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形2．在ABC ∆中,若3tan =C , 且()B B B A sin 120cos cos sin 0-=,则ABC ∆的形状是A. 等腰三角形B.等腰但非直角三角形C. 等腰直角三角形 D . 等边三角形3．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值Ａ．不大于1Ｂ．小于1Ｃ．等于1Ｄ．大于14. 已知三角形ABC 中，有关系式cos B cos Ctan A=sin C sinB－－成立，则三角形ABC 一定为（ ）A. 等腰三角形B. A =︒60的三角形C. 等腰三角形或A =︒60的三角形D. 不能确定5.在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= ，则∠B=辅助角公式1.化简13(1)cos sin 22x x-(2)3sin cos x x +(3)2(sin cos )x x -(4)2c o s 6s i nx x - 212cos312sinππ-3. 等式sin α＋3cos α＝4m －64－m有意义，则m 的取值范围是A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1] 4. 若函数()(13tan )cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为A ．1B ．2C ．31+D ．32+ 5.求值：（1）sin50(13tan10)+（2） 131080sin sin -综合习题：1.(1).75cos 75sin 75cos 75sin )2(;70sin 20sin 10cos 2︒-︒︒+︒︒︒-︒2. 若()1cos 3A B -=, 则()()22cos cos sin sin B A B A +++的值是（ ）A. 83- B . 83 C. 73 D. 533. 如果sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα等于（ ）Ａ．m n m n -+ Ｂ．m nm n+- Ｃ．n mn m-+ Ｄ．n mn m+-4. 计算：oo o oo o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋的值为_______．5. 已知c o s ()s i n ()αβαβ-=--=219223，，并且παπβπ20<<<<，，试求cosαβ+2之值。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[典例] (2012· 广东高>0，x∈R)的最小正周期为 10π. 6
(1)求 ω 的值； π 5π 6 0， ，f5α＋ ＝－ ，f (2)设 α，β∈ 3 2 5
5β－5π＝16，求 cos(α＋β)． 6 17
典题导入
Go the distance
sin α＋cos α [例 3] (1)(2012· 温州模拟)若 ＝3，tan(α－β)＝2，则 tan(β－2α)＝________. sin α－cos α π 4 π (2)(2012· 江苏高考)设 α 为锐角，若 cos α＋6＝5，则 sin2α＋12的值为________． sin α＋cos α tan α＋1 [自主解答] (1)由条件知 ＝ ＝3， sin α－cos α tan α－1 则 tan α＝2. 故 tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝ tanβ－α－tan α －2－2 4 ＝ ＝ . 1＋tanβ－αtan α 1＋－2×2 3
Go the distance
的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统 一角和角与角转换的目的． 以题试法 π 3 1．(1)已知 sin α＝ ，α∈ 2，π，则 5 cos 2α π 2sin α＋4 ＝________.
(2)(2012· 济南模拟)已知 α 为锐角，cos α＝ A．－3 4 C．－ 3 cos 2α 1 B．－ 7 D．－7
三角函数公式的应用
典题导入 1 π [例 1] (2011· 广东高考)已知函数 f(x)＝2sin 3x－6，x∈R. 5π (1)求 f 4 的值； π π 10 6 (2)设 α，β∈ 0，2，f3α＋2＝13，f(3β＋2π)＝5，求 cos(α＋β)的值． 1 π [自主解答] (1)∵f(x)＝2sin 3x－6， 5π π 5π π ∴f 4 ＝2sin12－6＝2sin4＝ 2. π π 10 6 (2)∵α，β∈ 0，2，f3α＋2＝13，f(3β＋2π)＝5， π 6 10 β＋ ＝ . ∴2sin α＝ ，2sin 2 5 13 5 3 即 sin α＝ ，cos β＝ . 13 5 12 4 ∴cos α＝ ，sin β＝ . 13 5 ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝ 12 3 5 4 16 × － × ＝ . 13 5 13 5 65 由题悟法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用 α、β 的三角函数表示 α± β
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 结 束
5π 5 3．已知 α＝ ，则 cos 6 －2α的值为______． 5 π 5 解析：因为 α∈2，π，sin α＝ ， 5 2 5 2 所以 cos α＝－ 1－sin α＝－ . 5 5 4 2 5 sin 2α＝2sin αcos α＝2× ×－ ＝－ ， 5 5 5 5 2 3 2 cos 2α＝1－2sin α＝1－2× ＝ ， 5 5 5π 5π 5π 所以 cos 6 －2α ＝cos cos 2α＋sin sin 2α 6 6 4＋3 3 4＋ 3 3 3 3 1 4 ＝－ × ＋ × －5 ＝－ .答案：－ 5 2 10 10 2 π α∈2，π，sin
课 前 ·双 基 落 实 课 堂 ·考 点 突 破 课后· 三维演练
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 结 束
1 2．已知函数 f(x)＝sin x－cos x，且 f′(x)＝ f(x)，则 tan 2x 2 ＝________.
1 1 解析：因为 f′(x)＝cos x＋sin x＝ sin x－ cos x， 2 2 所以 tan x＝－3， －6 3 2tan x 所以 tan 2x＝ ＝ ＝ . 1－tan2x 1－9 4 3 答案： 4
所以 sin α＝－ 1－cos α＝－ 所以
π cos4 ＋α＝cos
2
3 4 2 1－ －5 ＝－ ， 5
π π cos α－sin sin α 4 4
2 3 2 4 2 2 ＝ × －5 － × －5 ＝ .答案： 2 2 10 10
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
思维升华
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用 α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的 三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一 角和角与角转换的目的.
跟踪训练 1 (1)函数 y＝sin2x＋π4＋sin2x－π4的最小值为
A. 2
B.－2
√C.－ 2
教师备选
(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知 α，β 为锐角，tan α＝43， cos(α＋β)＝－ 55. (1)求 cos 2α 的值；
因为 tan α＝43， tan α＝csoins αα，
所以 sin α＝43cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1， 所以 cos2α＝295， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－275.
教师备选
1.若α＋β＝－34π，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ 2 .
tan－34π＝tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1， 所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β， 所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2， 即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
思维升华
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而 且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开 拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.
跟踪训练2 (1)设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝
－cos 56°)，c＝ 11－ ＋ttaann223399°°，则a，b，c的大小关系是
延伸探究 若将本例(2)的条件改为tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则C等于
√A.45°
两角和与差的正弦、余弦正切公式
两角和与差的正弦、余弦正切公式两角和与差公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2- Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb =21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] 熟记并理解各公式，并能熟练的运用各公式在具体题型中的运用。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和的正切公式：
tan(α
sin(α+β) sin(α+β) +β + β) = cos(α+β +β) cos(α+β)
sinαcosβ+ cosαsinβ sinαcosβ+ cosαsinβ cosβ = cosαcosβ sinαsinβ cosβcosαcosβ- sinαsinβ
分子分母同时除以 cos α cos β 当 cos α cos β ≠ 0时，
简记： 简记：S(α+β )
sin(α − β ) = ?
用− β代β
sin(α − β ) = sin[α − (− β )] = sin α cos(− β ) + cos α sin(− β )
sin(α − β ) = sinα cos β − cosα sin β
简记： 简记：S(α−β )
4 5 π 2 已 sin 例 、 知 α = ,α ∈( ,π ), cos β = − , 5 2 13 第 象 角 值 β是 三 限 , 求cos(α − β )的 .
解：因为
4 π s in α = ， α ∈ ,π 5 2
由此得
2
3 4 2 cos α = − 1 − sin α = − 1 − = − 5 5
y = 4sin x + 3cos x
y = a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + φ )
其中，cosφ = a a 2 + b2 , sinφ = b a 2 + b2
练习. 练习.求证cos α + 3 sin α = 2sin( + α )
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
＝ × ＋ × ＝ ＝ .∵0<β< ，所以β＝ .
变式3．(1)已知tanα＝2，tanβ＝3，且α，β都是锐角，求α＋β；
(2)已知α，β均为锐角，sinα＝ ，cosβ＝ ，求α－β.
解析：(1)tan ＝ ＝ ＝－1.
∵α，β都是锐角，∴0<α＋β<π，由上式知α＋β＝ .
课堂练习：
练习1：cos(450+300)=
练习2：cos200cos700-sin200sin700=
练习3： 练习4：
1．下列式子中，正确的个数为()
①sin ＝sinα－sinβ；②cos ＝cosα－cosβ；
③sin ＝sinαcosβ－cosαsinβ；④cos ＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
解析：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin ＝sin 30°＝ .
(2)原式＝sinxcos ＋cosxsin ＋2sinxcos －2cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝3sinxcos －cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝ sinx－ cosx
＝－ × ＋ × ＝－ ，故得－sin ＝－ ，即sin ＝ .
变式2．化简求值：
(1)sin 75°；(2)sin 15°；
(3)若α，β均为锐角，sinα＝ ，sin(α＋β)＝ ，求cosβ.
解析：(1)原式＝sin ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝ × ＋ × ＝ .
课题
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．注意到 ，由公式C(α+β).，可以推出：
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《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计
聊城三中韩春燕
一、教学内容解析
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》是数学人教A版普通高中新课程标准实验教科书必修4第三章第一节第二课时.本节的中心内容是建立相关的六个公式，通过探索、证明和初步应用，体会和认识公式的特征及功能.包含两个角的三角函数式的变换，只变其形不变其质，它可以揭示某些外形不同但实质相同的三角函数式的内在联系，帮助我们简化三角函数式，从而使研究更加方便有效.三角变换包括变换的对象，变换的目标，以及变换的依据和方法等要素，两角和与差的正弦、余弦、正切公式就是三角变换的基本依据.通过对这些公式的探求，以及利用这些公式进行三角变换，我们将在怎样预测变换目标，怎样选择变换公式，怎样设计变换途径等方面作出思考，这些都将帮助我们进一步提高推理能力和运算能力.
二、教学目标解析
1.目标
鉴于上述分析，并根据新课程对培养学生数学学科核心素养的要求，我制定了本节课的教学目标．
知识与技能
理解：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程；
掌握：公式的运用；
过程与方法
经历：让学生经历由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程，使学生体会联系变化的观点，培养学生综合运用知识解决问题的能力，元认知能力；情感态度价值观
体验：通过公式的记忆及应用，提高学生的观察分析能力；通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受数学的抽象性、对称美和简洁美．这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现了素质教育的要求．2.重点、难点
重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及其应用；
难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的逆向应用及其变形应用.
三、学生学情分析
从学生知识层面看：学生在第一章已初步探讨了三角函数的相关知识，有一定的基础；通过对第二章向量的学习，对向量数量积也有了一定的认识；为得到两角差的余弦公式，学生已经储备了相应的知识基础，由两角差的余弦公式及诱导公式五、六做铺垫便可得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
从学生能力层面看：通过以前的学习，学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式的基本能力．
四、教学策略分析
1．教法
根据新课程以学生为本的理念，但我们认为本堂课有以下主要的教法和学法．
数学家哈尔莫斯说：问题是数学的心脏.
问题式教学法：根据学生的心理特征和认知规律，采取问题式教学法；以问题串为主线，符合建构主义的教学理论．
2.教学用具
教学中使用多媒体来辅助教学，其目的是充分发挥快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于适当增加课堂容量，提高课堂效率；同时与黑板板书相结合．
五、教学过程设计
（一）．教学流程
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为六个阶段：
(二)．教学过程
教
学 重
难点
重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及其应用； 难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的逆向应用及其变形应用. 教学过程
1.知识链接
1.同角三角函数基本关系.
2.诱导公式三、五、六
3.两角差的余弦公式；
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ C (α-β)
思考：两角和与差的正弦、余弦公式是怎么样的呢?下面以两角差的余弦公式为基础推导上述公式.
2.两角和的余弦公式
在公式C (α-β)中，角α、β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以?此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系.
则cos(α+β)=cos ［α-(-β)］
=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)[来源:学*科*网]
=cosαcosβ-sinαsinβ
所以有如下公式：cos(α+β)=cosαcos β-sinαsinβ C (α+β)
练习求值：cos105°
引导学生观察两角和与差的余弦公式的结构特征，并归纳出其记忆口诀：余余正正，符号反.
3.两角和与差的正弦公式
引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢?我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢?
sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2
π-α)-β］ =cos(2π-α)cosβ+sin(2
π-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ.
练习求值：sin75°
在上述公式中，β用-β代之，
则sin (α-β)=sin ［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
练习求值：sin15°
因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α+β)、S (α-β).
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
引导学生观察两角和与差的余弦公式的结构特征，并归纳出其记忆口诀：正余余正，符号同.
3.两角和与差的正切公式
根据正切函数与正弦，余弦函数的关系，从()C αβ±，()S αβ±出发，推导出用
任意角α，β的正切表示tan(),tan()αβαβ+-的公式吗?
结论：sin()sin cos cos sin tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ
+++==+-，若cos cos αβ0≠时，将上式的分子、分母分别除以cos cos αβ，得tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=
-. 在上述公式中，β用-β代之，可得tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
--=+. 以自己的理解，你能说出此公式的结构特点吗?
4.公式的运用
类型一 公式的正向运用
【例1】 已知3sin 5α=-，α是第四象限角，
求sin()4πα-，cos()4πα+，tan()4π
α-的值.
思考：由以上解答可以看到，在本题的条件下有sin()cos()44ππ
αα-=+，那么对于任意角α，此等式都成立吗?若成立，你会用几种方法予以证明?（引导学生突破思维界限，小组成员探讨解决问题的方法，达到学以致用的目的.）
类型二 公式的逆向运用
【例2】利用和（差）角公式求下列各三角函数的值：
(1)sin72cos42cos72sin42︒︒-︒︒
(2)cos20cos70sin20sin70︒︒-︒︒
(3)
1tan151tan15+︒-︒
此例题体现了对公式全面理解上的要求，即要求学生能够正反两个角度使用公式.与正用相比，体现的是一种逆向思维，不仅要求有一定的逆向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面、深刻的理解.(1)(2)是最简单的公式逆用，目的在于培养逆用意识以及思维的灵活性；解决（3）时，学生孤立地考虑会有难度，适时提示学生练习刚刚例一中出现的tan()4πα-，观察分析解答过程中的公式结构，并引导学生对“1”作出代换，从而解决问题.
5.当堂测评
1.利用和（差）角公式求下列各三角函数的值：
(1)sin102cos18cos102cos72︒︒+︒︒
六、教学体会和反思
通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探索形成过程，例题和习题的完成情况，在老师和学生互动交流的过程中，纠正学生出现的错误，促进学生知识的正迁移，提高学生的学习效率；根据对学生的学习情绪、学习效果及时进行评价，同时注重分层教学，结合评价结果的反馈，及时调整学习过程、教学方法．
1.顾及个体差异，真正因材施教
这节课的教学设计中，对于某些知识基础薄弱的、接受能力差的学生，可以有足够的时间思考并回答问题，同时也得到教师有针对性的指导与帮助，而对于接受能力较强的同学则可以通过课后作业的思考获取更多的知识.
2.注重与先前知识的衔接
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》内容是与《两角差的余弦公式》的最近结合点，在回顾旧知环节先回顾之前学过的同角三角函数的基本关系、诱导公式以及两角差的余弦公式，有利于本节知识的进一步学习.
3.教学结果评价
提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.。