几何概型-简单-讲义
几何概型讲义(学生版)
几 何 概 型 的 常 见 题 型几何概型是高中新课改后增加的一种概率类型，也是高考的一个新增热点，但由于试题设计的背景不同，试题所呈现的方式也不同，此试卷通过对几何概型试题的归纳整理，以便更好地理解和掌握此类问题.一．几何概型的定义1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；②两种概型的概率计算公式的含义不同.二．常见题型1．与长度有关的几何概型例1．在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cosxπ的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32E D O BAC 练1. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是.A.21 B.31C.41D.不确定 2. 两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________.3. 在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率.4. 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上，硬币不与任一条平行线相碰的概率.5. 在半径为1的圆周上，有一定点A ，以A 为端点任连一弦，另一端点在圆周上等可能的选取，求弦长超过√3 的概率。
高中数学讲义微专题85 几何概型
微专题85 几何概型一、基础知识:1、几何概型:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型2、对于一项试验,如果符合以下原则:（1）基本事件的个数为无限多个（2）基本事件发生的概率相同则可通过建立几何模型,利用几何概型计算事件的概率3、几何概型常见的类型,可分为三个层次:（1）以几何图形为基础的题目:可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域,从而求出比例即可得到概率。
（2）以数轴,坐标系为基础的题目:可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域）,从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题）（3）在题目叙述中,判断是否运用几何概型处理,并确定题目中所用变量个数。
从而可依据变量个数确定几何模型:通常变量的个数与几何模型的维度相等:一个变量→数轴,两个变量→平面直角坐标系,三个变量→空间直角坐标系。
从而将问题转化成为第（2）类问题求解二、典型例题:例1:已知函数()[]22,5,5f x x x x =--∈-,在定义域内任取一点0x ,使()00f x ≤的概率是（ ）A. 110B. 23C. 310D. 45思路:先解出()00f x ≤时0x 的取值范围:22012x x x --<⇒-<<,从而在数轴上()1,2-区间长度占[]5,5-区间长度的比例即为事件发生的概率,所以310P =答案:C例2:如图,矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成,向矩形OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为14,则a 的值是（ ） A. 712π B. 23π C. 34π D. 56π 思路:落在阴影部分的概率即为阴影部分面积与长方形面积的比值长方形的面积66S a a=⋅=,阴影面积'00sin cos |1cos a a S xdx x a ==-=-⎰,所以有'1cos 164S a P S -===,可解得1cos 2a =-,从而23a π= 答案:B例3:已知正方形ABCD 的边长为2,H 是边DA 的中点,在正方形ABCD 内部随机取一点P ,则满足2PH <的概率为（ ） A. 8π B. 184π+ C. 4π D. 144π+ 思路:2PH <可理解为以H 为圆心,2为半径的圆的内部,通过作图可得概率为阴影部分面积所占正方形面积的比例。
几何概型(讲课)实用版!强!
认识一下
（1）某班公交车到终点站的时间可能是11：30～ 12：00 之间的任何一个时刻； （2）往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格 中的任何一点上.（排除人为原因） （3）假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之 间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上 7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
以上能否用古典概型的公式来求解? 若能，请说出事件A包含的基本事件有多少? 若不能，请说明理由？
问题１ 下图是卧室和书房地板的示意图， 问题１：下图是卧室和书房地板的示意图， 图中每一块方砖除颜色外完全相同， 图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫 分别在卧室和书房中自由地飞来飞去， 分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随 意停留在某块方砖上， 意停留在某块方砖上，问 在哪个房间里， 在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率 大？
例题1 例题1、
有一饮水机装有12升的水, 有一饮水机装有12升的水,其中含有 12升的水 个细菌, 1个细菌,用一个下面的奥运福娃纪念杯 从这饮水机中取出一满杯水,求这杯水 从这饮水机中取出一满杯水, 中含有这个细菌的概率. 中含有这个细菌的概率.
例题2 例题2、
有三个转盘,甲乙 人玩转盘游戏 有三个转盘 甲乙2人玩转盘游戏 规定当指 甲乙 人玩转盘游戏,规定当指 针指向蓝色区域时,甲获胜 否则乙获胜。求甲获 针指向蓝色区域时 甲获胜,否则乙获胜。 甲获胜 否则乙获胜 胜的概率？ 胜的概率？
A包 含 基 本 事 件 的 个 数 公 式 ： P ( A) = 基本事件的总数
2.古典概型有哪两个基本特点？ 2.古典概型有哪两个基本特点？ 古典概型有哪两个基本特点 （1）试验中所有可能出现的基本事件只 有限个（有限性）； 有有限个（有限性）； （2）每个基本事件出现的可能性相等 每个基本事件出现的可能性相等 等可能性） （等可能性）. 3.那么有没有试验结果是无限多个的情 3.那么有没有试验结果是无限多个的情 相应的概率又是如果求呢? 况？相应的概率又是如果求呢
人教版高中数学必修3讲义 几何概型
3.3几何概型3.3.1几何概型1．理解几何概型的定义及特点．(重点)2．掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(难点)3．与长度、角度有关的几何概型问题．(易混点)[基础·初探]教材整理1几何概型阅读教材P135～P136例1以上的部分，完成下列问题．1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．()(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．()(3)几何概型的基本事件有无数多个．()【答案】(1)√(2)×(3)√2．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()【解析】A中奖概率为38，B中奖概率为14，C中奖概率为13，D中奖概率为13，故选A.【答案】 A3．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．【解析】∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝23.【答案】2 3教材整理2均匀分布阅读教材P136例1及以下的部分，完成下列问题．当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是等可能的，我们称X服从[a，b]上的均匀分布，X为[a，b]上的均匀随机数．X服从[3,40]上的均匀分布，则X的值不能等于()A．15B．25C．35 D．45【解析】由于X∈[3,40]，则3≤X≤40，则X≠45.故选D.【答案】 D[小组合作型]与长度有关的几何概型某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率.【精彩点拨】乘客在上一辆车发车后的5 min之内到达车站，等车时间会超过10 min.【尝试解答】设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．∴P(A)＝T1T的长度T1T2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min的概率是13.在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.[再练一题]1．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．【解】在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．(1)P＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)P＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35，或P＝1－P(红灯亮)＝1－25＝35.与面积有关的几何概型设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 3 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．【精彩点拨】当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．【尝试解答】设A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为43－23＝23，由几何概率公式得：P(A)＝34(23)234(43)2＝14.几何概型的特点是基本事件有无限多个，但应用数形结合的方法即可巧妙解决，即要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何量度来求随机事件的概率.[再练一题]2．如图3-3-1，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为________．图3-3-1【解析】 由题意知题图中的阴影部分的面积相当于半径为1的半圆面积，即阴影部分面积为π2，又易知直角三角形的面积为2，所以区域M 的面积为2－π2.故所求概率为2－π22＝1－π4.【答案】 1－π4与体积有关的几何概型一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．【精彩点拨】 利用体积之比求概率．【尝试解答】 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P ＝1333＝127.与体积有关的几何概型问题的解决：(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.(2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.[再练一题]3．本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于13的概率．【解】到A点的距离小于13的点，在以A为球心，半径为13的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的A点的区域体积为43π×⎝⎛⎭⎪⎫133×18.所以P＝43π×⎝⎛⎭⎪⎫133×1833＝π2×37.[探究共研型]几何概型与古典概型的异同探究1【提示】相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关．探究2P(A)＝0⇔A是不可能事件，P(A)＝1⇔A是必然事件是否成立？【提示】(1)无论是古典概型还是几何概型，若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立．(2)在古典概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A为不可能事件；若事件A的概率P(A)＝1，则A为必然事件．(3)在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件．(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率．【精彩点拨】(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y，组成有序数对(x，y)是有限的，应用古典概型求解；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y，组成有序数对(x，y)是无限的，应用几何概型求解．【尝试解答】(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，共计25个，其中满足x2＋y2≤4的在圆上或圆内共计13个(如图所示)，∴P＝1325.(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，充满的区域是边长为4的正方形区域，其中满足x2＋y2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S阴＝π×22＝4π，∴P＝4π16＝π4.古典概型与几何概型的不同之处是古典概型的基本事件总数是有限的，而几何概型的基本事件总数是无限的，解题时要仔细审题，注意区分.[再练一题]4．下列概率模型中，几何概型的个数为()①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10,10]上任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率．A．1B．2C．3D．4【解析】①中的概率模型不是几何概型，虽然区间[－10,10]上有无数个数，但取到“1”只是一个数字，不能构成区间长度；②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和区间[－1,1]上都有无数个数，且在这两个区间上的每个数被取到的可能性相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相同．【答案】 B1．转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是()【解析】D中红色区域面积是圆面积的一半，其面积比A、B、C中要大，故指针指到的概率最大．【答案】 D2．一只蚂蚁在如图3-3-2所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是()图3-3-2A.13 B.23C.14 D.18【解】从题图中可以得到地板砖总数为12，其中黑色地板砖有4个，由此可知最后停留在黑色地板砖上的概率是412＝1 3.【答案】 A3．在半径为1的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是()A.1π B.2πC.2π D.3π【解析】点落在圆内的任意位置是等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于2，则正方形的边长为 2.∵圆面积为π，正方形面积为2，∴P＝2π.【答案】 B4．函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，则任取一点x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率为________．【解析】 依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧－x 20＋2x 0≥0，－1≤x 0≤3，解得0≤x 0≤2，所以任取一点x 0∈[－1,3]，使得f (x 0)≥0的概率P ＝23－(－1)＝12. 【答案】 12 5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率．【解】 如图所示，点M 落在线段AB 上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．设事件A 为“所作正方形面积介于36 cm 2与81 cm 2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6 cm 与9 cm 之间”．取AC ＝6 cm ，CD ＝3 cm ，则当M 点落在线段CD 上时，事件A 发生．所以P (A )＝|CD ||AB |＝312＝14.学业分层测评(二十) 几何概型(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性【解析】 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.【答案】 A2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC 和∠BOC都不小于30°的概率为()A.13 B.23C.14 D.34【解析】记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)＝3090＝1 3.【答案】 A3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为()A．0.008 B．0.004C．0.002 D．0.005【解析】设问题转化为与体积有关的几何概型求解，概率为2400＝0.005.【答案】 D4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率是()A.14 B.12C.34 D.23【解析】如右图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC 与△PBC是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP ||AB |＞14”．即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4＝|PA ||BA |＝34. 【答案】 C5．如图3-3-3，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )图3-3-3A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π【解析】 设OA ＝OB ＝r ，则两个以r 2为半径的半圆的公共部分面积为2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝(π－2)r 28，两个半圆外部的阴影部分面积为14πr 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22×2－(π－2)r 28＝(π－2)r 28，所以所求概率为2×(π－2)r 2814πr2＝1－2π. 【答案】 A二、填空题6．如图3-3-4，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________.图3-3-4【解析】记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝60°360°＝16.【答案】167．如图3-3-5，长方体ABCD-A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为________．图3-3-5【解析】设长、宽、高分别为a，b，c，则此点在三棱锥A-A1BD内运动的概率P＝16abcabc＝16.【答案】168．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．【解析】记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12＝116.记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12－P(A)＝14－116＝316.故P(B)＝1－P(B)＝1－316＝1316.【答案】1316三、解答题9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．【解】如图，四边形ABCD是长30 m、宽20 m的长方形．图中的阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”．问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率．∵S长方形ABCD＝30×20＝600(m2)，S长方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)，∴S阴影部分＝S长方形ABCD－S长方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，根据几何概型的概率公式，得P(A)＝184600＝2375≈0.31.[能力提升]1．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()A.13 B.12C.14 D.16【解析】向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝△ABD的面积△ABC的面积＝12.【答案】 B2．假设你在如图3-3-6所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是________．图3-3-6【解析】设A＝{黄豆落在阴影内}，因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的，因此P(A)＝S△ABCS圆，又△ABC为等腰直角三角形，设⊙O的半径为r，则AC＝BC＝2r，所以S△ABC＝12AC·BC＝r2，S⊙O＝πr2，所以P(A)＝r2πr2＝1π.【答案】1π3．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图3-3-7所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．图3-3-7乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【解】如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR2360＝πR26.∴在甲商场中奖的概率为P1＝πR26πR2＝16.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种．摸到的2球都是红球的情况有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3种．∴在乙商场中奖的概率为P2＝315＝1 5.∵P1<P2，∴顾客在乙商场中奖的可能性大．。
几何概型讲义
第6讲几何概型讲义【教学建议】本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例3中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高.随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术,让学生亲自动手产生随机数,进行模拟活动.思路1复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型,教师板书本节课题几何概型.思路2下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?为解决这个问题,我们学习几何概型.思路3讲义一、导入在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.【教学建议】几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但它不是必然事件. 均匀分布是一种常用的连续型分布,它来源于几何概型.由于没有讲随机变量的定义,教科书中均匀分布的定义仅是描述性的,不是严格的数学定义,要求学生体会如果X 落到［0,1］区间内任何一点是等可能的,则称X 为［0, 1］区间上的均匀随机数.1. 几何概型的含义如果事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度(面积或体积)__成比例，而与A 的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2. 几何概型的特点：一是__无限性__，即在一次试验中，基本事件的个数是无限的；二是__等可能性__，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的__图形面积(体积、长度)__”与“试验的基本事件所占的__总面积(总体积、总长度)__”之比来表示． 3. 几何概型中事件A 的计算公式：P (A )＝__构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)__.(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．二、知识讲解知识点1 几何概型知识点2 均匀随机数的产生(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝MN作为所求概率的近似值．【教学建议】此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授或与学生互动练习.【题干】(1)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34答案 B解析 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.【题干】(2)在长为16 cm 的线段MN 上任取一点P ，以MP ，NP 为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm 2的概率为( ) A.14B.12三、例题精析 例题1C.13D.34答案 A解析 设MP ＝x ，则NP ＝16－x ，由S ＝x (16－x )>60⇒x 2－16x ＋60<0，(x －6)(x －10)<0⇒6<x <10，所以P ＝416＝14. 【题干】(3)小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是( ) A.34 B.23 C.12 D.13答案 D解析 设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，则P (A )＝45＋5－2040＋5＋45＝13，选D.【题干】(4)已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( )A.19 B.18 C.14 D.38 答案 B解析 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18. 【题干】(5)“抖空竹”是我国的一种传统杂技，表演者在两根直径为8～12 mm 的杆上系一根长度为1 m 的绳子，并在绳子上放一个空竹，则空竹与绳子两端的距离都大于0.4 m 的概率为( ) A.25 B.15 C.13 D.23 答案 B解析 空竹与绳子两端的距离都大于0.4 m ，即空竹的运行范围为1－2×0.4＝0.2(m)，故所求事件的概率为P ＝0.21＝15.【题干】(1)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( ) A.16 B.14 C.38D.12答案 B解析 依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B.【题干】(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析 先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.答案 23【题干】(3)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.32πC.3πD.233π答案 D解析 由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝43πR 3＝32π.则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2＝132π＝233π. 例题2【题干】(4)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A.14 B.π8 C.12D.π4答案 B解析 不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得 S 黑＝12S 圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P ＝π24＝π8.【题干】(5) 已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC <12V S -ABC 的概率是________．解析 由V P -ABC <12V S -ABC 知，P 点在三棱锥S -ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P ＝1－VS -A 0B 0C 0V S -ABC ＝1－18＝78. 答案 78【题干】（1）在一个池塘里随机地捕捞到m条鱼，作标记后放回，又随机地捕捞到n 条鱼，其中作过标记的有a 条，估计池塘中有________条鱼． 答案mna解析 设池塘中有x 条鱼，则应有n x ＝a m ，解得x ＝mna.【题干】（2）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1,2表示没有击中目标，3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7 527 0 293 7 140 9 857 0 347 4 373 8 636 6 947 1 417 4 698 0 371 6 233 2 616 8 045 6 011 3 661 9 597 7 424 7 610 4 281根据以上数据统计该运动员射击4次至少击中3次的概率为( )例题3A ．0.55B ．0.6C ．0.65D ．0.7答案 B解析 至少击中3次，就是每组数中仅含0,1,2中的一个或者不含有0,1,2的有7 527 9 857 0 347 4 373 8 636 6 947 4 698 6 233 8 045 3 661 9 597 7 424，共12个． 所以所求概率为1220＝35＝0.6.故选B.。
几何概型课件
填要点、记疑点
1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与 构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例 ，则 称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多个 ． (2)每个基本事件出现的可能性 相等 ．
3．几何概型的概率公式
探要点、究所然
探究点一：几何概型的概念
思考6 古典概型和几何概型有什么相同点和不同点？ 答 相同点：两者基本事件发生的可能性都是相等的； 不同点：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.
探要点、究所然
探究点一：几何概型的概念
例1 判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型． (1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)思考3中，求甲获胜的概率． 解 (1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因 此属于古典概型； (2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部 分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因 此属于几何概型．
探要点、究所然
探究点二：几何概型的概率公式
答 从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的 任意一点．
如上图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置 处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的13， 于是事件A发生的概率P(A)＝13.
钟”为事件A，则事件A发生即当点t落在线段TT2上，即D＝T1T2＝10，d＝TT2＝6. 所以P(A)＝Dd ＝160＝35. 故乘客候车时间不超过6分钟的概率为35.
探要点、究所然
几何概型 课件
2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环,如图,比赛靶 面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm,运动员在70 m外 射箭.假设射箭都能中靶.
问:(1) 试验中的基本事件是什么?有多少个? 提示:射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可 以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点.基本事件 的个数为无限个.
【解题指南】(1)基本事件空间中有有限个元素,是古 典概型,应用古典概型概率公式求解. (2)基本事件中有无数多个元素是几何概型.
【解析】设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”. 当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件 为a≥b. (1)基本事件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1, 1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其
中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值. 事件A包含9个基本事件,故事件A发生的概率为P(A)= 9 ＝3 .
12 4
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,
0≤b≤2}.
构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.
所以所求的概率为P(A)=
3
2－1 2
C. 1
D. 1
2
3
6
12
【解题指南】(1)先由f(x)=-x2+mx+m的图象与x轴有公 共点,求出x的范围,再由几何概型的概率计算公式求解. (2)从角度方面考虑,注意和射线的区别.
【解析】(1)选D.因为函数f(x)=-x2+mx+m的图象与x轴
有公共点,
所以Δ=m2+4m≥0,
归纳与技巧：几何概型(含解析)
归纳与技巧：几何概型基础知识归纳1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).基础题必做1．(教材习题改编)设A (0,0)，B (4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|P A |＜1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 满足|P A |＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.2． 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13.3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22.4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05.答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：16解题方法归纳1.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．与长度、角度有关的几何概型典题导入[例1] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案] 5 16本例条件变为：“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN .”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD .则MD ＝MC ＝2 6. 当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6. 所以P (A )＝π×232π×23＝12.解题方法归纳求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．以题试法1．(1) 已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A ′，则AA ′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为________．解析：(1)如图，满足AA ′的长度小于半径的点A ′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO 为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P＝2π32π＝13. (2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD ＝12，且点M 在BD 上时，满足∠AMB ≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14. 答案：(1)13 (2)14与面积有关的几何概型典题导入[例2] (1) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤a (a ＞0)表示平面区域M ，若点P (x ，y )在所给的平面区域M 内，则点P 落在M 的内切圆内的概率为( )A.(2－1)4πB ．(3－22)πC ．(22－2)πD.2－12π [自主解答] (1)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形B C ＝S 弓形O C ， 所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.(2)由题知平面区域M 为一个三角形，且其面积为S ＝a 2.设M 的内切圆的半径为r ，则12(2a ＋22a )r ＝a 2，解得r ＝(2－1)a .所以内切圆的面积S 内切圆＝πr 2＝π[(2－1)·a ]2＝(3－22)πa 2.故所求概率P ＝S 内切圆S＝(3－22)π.[答案] (1)A (2)B解题方法归纳求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2． 点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π解析：选C 如图，满足|P A |≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为S 阴影S 正方形＝14×π×121×1＝π4.与体积有关的几何概型典题导入[例3] (1) 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38[自主解答] (1)点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. (2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案] (1)B (2)C解题方法归纳与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．以题试法3． 在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________． 解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S —APC V S —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB ＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23. 答案：231． 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( ) A.13 B.2π C.12D.23解析：选A 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.2． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm,0<x <12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x (12－x )<32⇒0<x <4或8<x <12，故所求概率为812＝23.3． 在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34D.14解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2＜0，即(a ＋2b )(a －2b )＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0， ∴a －2b ＜0. 作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.4． 已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．∀x ∈[0,1]，f (x )≥0的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C 由∀x ∈[0,1]，f (x )≥0得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≥0，f (1)≥0，有－1≤k ≤1，所以所求概率为1－(－1)1－(－2)＝23. 5． 在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为( )A.15B.25C.35D.12解析：选A 如图，线段AB 长为5米，线段AC 、BD 长均为2米，线段CD 长为1米，满足题意的悬挂点E 在线段CD 上，故所求事件的概率P ＝15.6． 一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为( )A.π12 B.π10 C.π6D.π24解析：选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C 2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于2π24＝π12.7． 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．解析：∵y ＝x 与y ＝－x 互相垂直，∴M 的面积为3，而N 的面积为π4，所以概率为π43＝π12.答案：π128． 如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h(2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39. 投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分，则事件A 发生的概率为________．解析：∵事件A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得P (A )＝⎝⎛⎭⎫12212＝14. 答案：1410．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．故所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S 2＝4，所求概率为P ＝S 2S ＝12.12． 已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个．故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，且－2x ＋y ＜0}； 画出图形， 矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b ＜0的概率为2125.1．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由sin x ＋3cos x ≤1得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12. 由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，因此当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12.2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝2π3.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：233． 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形， 则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.1.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD ×AB ，S 矩形ABCD ＝AD ×AB ，所以P (A )＝12.2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∵a ，b ∈[0,1]，∴a ≥b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a ≥b ，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：123． 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y )，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4.为( )A.14 B.34 C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x )3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964.。
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几何概型
知识讲解
一、几何概型
定义：事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．
二、几何概型具备以下两个特征：
1.无限性：即每次试验的结果（基本事件）有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几
何区域来表示；
2.等可能性：即每次试验的各种结果（基本事件）发生的概率都相等．
三、几何概型的计算公式及步骤
P A，其中表示区域的几何度量，A表1.几何概型中，事件A的概率定义为()A
示区域A的几何度量．
2.几何概型的计算步骤
1）把样本空间和所求概率的事件用关系式表示出来，可分两类①样本空间具有明显的几何
意义，样本点所在的几何区域题目中已给出；②样本空间所求事件所对应的几何区域没直接
给出，课根据题设引入适当变量，把题设的条件转换成变量所满足的代数条件；
2）在坐标系中把相应的几何图形画出来；
P A，其中3）把样本空间和所求事件的概率所在的几何图形度量，然后代入公式()A
表示区域的几何度量，A表示区域A的几何度量．
四、几何概率中概率0和1的理解
理解：如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它的概率为0，但它不是不可能事件，即概率为0的事件不一定是不可能事件；如果一个随机事
件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它的概率为1，但它不是必然事件，即概率为1的事件不一定为必然事件．
典型例题
一．选择题（共5小题）
1．（2018?西宁一模）如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：本题利用几何概型求解．测度是弧长．
根据题意可得，满足条件：“弦MN的长度超过R”对应的弧，
其构成的区域是半圆，
则弦MN的长度超过R的概率是P=．
故选：D．
2．（2018?新华区校级模拟）欧阳修《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，
而钱不湿”．卖油翁的技艺让人叹为观止．设铜钱是直径为4cm的圆，它中间有边长为1cm的正方形
孔．若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴（不计油滴的大小）正好落入孔中的概率
为（）
A．B．C． D．
【解答】解：由题意可得直径为4cm的圆的面积为π×22=4π，
而边长为1cm的正方形面积为1×1=1，
故所求概率P=，
故选：A．
3．（2018?安宁区校级模拟）在区间[﹣，]上随机取一个数x，则事件“０≤sinx ≤1”发生的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：在区间[﹣，]上，由0≤sinx≤1得0≤x≤，
=，
故选：C．
4．（2018?乐山三模）2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会徽是我国古
代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展，如图所示，四个相
同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若θ＝．现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由已知，可得小正方形的边长为，
故小正方形的面积，
大正方形的面积S=4，故飞镖落在小正方形内得概率P=．故选：A．
5．（2018?凌源市模拟）已知x，y∈[0，2]，则事件“ｘ
+y≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．
【解答】解：由题意x，y∈[0，2]，在平面直角坐标系中做出对应的区域，
及事件“ｘ+y≤1”对应的区域，如下图所示：
所以事件“ｘ+y≤1”发生的概率为；
故选：B．
二．填空题（共5小题）
6．（2018?江苏二模）某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到站，在出发前在车站停靠3分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则乘客候车时间不超过10分钟的概率为．
【解答】解：根据题意知这是一个几何概型，
公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，
∴基本事件总数包含的时间长度是15，
又乘客到达车站的时刻是任意的，且出发前在车站停靠3分钟，
∴满足一个乘客候车时间大于10分钟的事件包含的时间长度是15﹣13=2，
满足一个乘客候车时间不超过10分钟的事件包含的时间长度是13，
由几何概型公式得所求的概率为P=．
故答案为：．
7．（2018?江苏二模）在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC、BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32cm2的概率为．
【解答】解：设AC=x，则CB=12﹣x，
则矩形的面积S=x（12﹣x），
由x（12﹣x）＞32得x2﹣12x+32＜0，
解得4＜x＜8，
根据几何概型的概率公式可得所求的概率P==，
故答案为：．
8．（2018春?启东市校级期中）人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为
37s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为．
【解答】解：∵民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．
∴从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为：
p==．
故答案为：．
9．（2017?如皋市二模）在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是．
【解答】解：由题意，设AB边上的高为h，
则S1=，S2=，
∵S1＞2S2，
∴AP＞2BP，
∴S1＞2S2的概率是．
故答案为：．
10．（2017?扬州模拟）在区间（0，5）内任取一个实数m，则满足3＜m＜4的概率为．
【解答】解：区间（0，5）的区间长度为5．
满足3＜m＜4的区间长度为1．
由测度比为长度比可得满足3＜m＜4的概率P=．
故答案为：．
三．解答题（共2小题）
11．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．
（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求X=60时的概率．
【解答】解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．
则P（A）=，P（B）=，P（C）=．
（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．∴P=P（A）+P（B）=，
即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率．
（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．P（X=60）==
12．节日前夕，小明的妈妈给小明买了两只可以装电池的发光玩具狗．这两只玩具狗在装满电池后，都会在打开电开关后的4秒内任一时刻等可能发光，然后每只发光玩具狗以4秒为间隔闪亮．那么，当这两只发光玩具狗同时打开电开关后，求它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率．
【解答】解：设这两只玩具狗第一次闪亮的时刻分别为x，y
由已知：
由第一次闪亮时刻相差不超过两秒可得|x﹣y|≤2…（6分）
现记“这两只玩具狗第一次闪亮的时刻不超过2秒”为事件A．
则…（11分）
答：这两只玩具狗第一次闪亮的时刻不超过2秒的概率为．…（12分）。