反比例函数培优题
【数学】数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)及答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．（1）点C的坐标________；（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得S△PEF= S△CEF，求点P的坐标．【答案】（1）（3，0）（2）解：∵AB=CD=3，OB=1，∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），设直线AC的解析式为y=ax+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．∵点E（2，m）在直线AC上，∴m=﹣ ×2+ = ，∴点E（2，）．∵反比例函数y= 的图象经过点E，∴k=2× =3，∴反比例函数的解析式为y=（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC， M（3，﹣0.5）．在y= 中，当x=3时，y=1，∴F（3，1）．过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF．设直线EF的解析式为y=a'x+b'，∴，解得，∴y=﹣ x+ ．设直线PM的解析式为y=﹣ x+c，代入M（3，﹣0.5），得：c=1，∴y=﹣ x+1．当x=1时，y=0.5，∴点P（1，0.5）．同理可得点P（1，3.5）．∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3），∴OC=3，∴C（3，0）．故答案为（3，0）；【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接EM，则S△EFM=S△EFC， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF．此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F 的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．2．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C （﹣2，3）和射线OA之间的距离为________；（2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为，那么k=________；（可在图1中进行研究）（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离．【答案】（1）3；（2）﹣4（3）解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF 垂直），；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，由得，即点M（﹣，），由得：，即点N（﹣，），则﹣≤x≤﹣，图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），即图形W与图形N之间的距离为d，d===∴当x=﹣时，d的最小值为 = ，即图形W和图形N之间的距离．【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线OA之间的距离为 = ，故答案分别为：3，；（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为，∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，由得，即点F（﹣，），则OF= = ，∴OE=OF+EF=2 ，在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，则有OG=EG= OE=2，∴点E的坐标为（﹣2，2），∴k=﹣2×2=﹣4，故答案为：﹣4；【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定义得点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离；（2）根据题意即可得k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= k x 交于点E、F，过点E作EG⊥x 轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF 求出OE长，在Rt△OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（﹣2，2），将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直）；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，分别联立即可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d 最小值.3．如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M．（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求a的值．（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．【答案】（1）解：当a=﹣3时，y=﹣3x+2，当y=0时，﹣3x+2=0，x= ，∵点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0＜m＜，，DANG则，﹣3x+2= ，当x=m时，﹣3m+2= ，∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜）（2）解：由题意得：，ax+2= ，ax2+2x﹣k=0，∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，∴△=4+4ak=0，ak=﹣1，∴k=﹣，则，解得：，∵OM= ，∴12+（﹣）2=（）2，a=±（3）解：当a=﹣2时，y=﹣2x+2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′，∴A′（2，1），B′（1，3），点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点，当点M′与A′重合时，k=2，当点M′与B′重合时，k=3，∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】（1）当a=﹣3时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取值范围，由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；（2）由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0，直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，△=4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股定理即可；（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知A′，B′点的坐标，从而得到k的取值范围。
数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)及答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．2．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．（1）m=________，k1=________；（2）当x的取值是________时，k1x+b＞；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标．【答案】（1）4；（2）﹣8＜x＜0或x＞4（3）解：由（1）知，y1= x+2与反比例函数y2= ，∴点C的坐标是（0，2），点A 的坐标是（4，4）．∴CO=2，AD=OD=4．∴S梯形ODAC= •OD= ×4=12，∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1，∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4，即OD•DE=4，∴DE=2．∴点E的坐标为（4，2）．又点E在直线OP上，∴直线OP的解析式是y= x，∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4 ，2 ）．【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y2= 的图象过点B（﹣8，﹣2），∴k2=（﹣8）×（﹣2）=16，即反比例函数解析式为y2= ，将点A（4，m）代入y2= ，得：m=4，即点A（4，4），将点A（4，4）、B（﹣8，﹣2）代入y1=k1x+b，得：，解得：，∴一次函数解析式为y1= x+2，故答案为：4，；（2）∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4，故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（2）由A与B 横坐标分别为4、﹣8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；（3）先求出四边形ODAC的面积，由S四边形ODAC：S△ODE=3：1得到△ODE的面积，继而求得点E的坐标，从而得出直线OP的解析式，结合反比例函数解析式即可得．3．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣1，a），B（b，1）两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；（3）求△PAB的面积．【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3，∴点A的坐标为（﹣1，3）．将点A（﹣1，3）代入y= 中，3= ，解得：k=﹣3，∴反比例函数的表达式为y=﹣（2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3，∴点B的坐标为（﹣3，1）．作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．∵点B的坐标为（﹣3，1），∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．设直线AD的函数表达式为y=mx+n，将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=2x+5．当y=2x+5=0时，x=﹣，∴点P的坐标为（﹣，0）（3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论．4．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1， y1），B（x2， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（1，3），∴k=1×3=3，∴y= ，∵B（3，y2）在反比例函数的图象上，∴y2= =1，∴B（3，1），∵直线y=ax+b经过A、B两点，∴解得，∴直线为y=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴P（4，O）（2）解：如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG 交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，∴= ，= = ，∵b=y1+1，AB=BP，∴= ，= = ，∴B（，y1）∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，∴x1•y1= • y1，解得x1=2，代入= ，解得y1=2，∴A（2，2），B（4，1）（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x1， x2， x0之间的关系为x1+x2=x0【解析】【分析】（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y= 求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出 = ， = = ，根据题意得出 = ， = = ，从而求得B（， y1），然后根据k=xy得出x1•y1= • y1，求得x1=2，代入 = ，解得y1=2，即可求得A、B的坐标；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0．5．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.6．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3，）．（1）求反比例函数的表达式和m的值；（2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式．【答案】（1）解：∵反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点E（3，），∴k=3× =2，∴反比例函数的表达式为y= ．又∵点D（m，2）在反比例函数y= 的图象上，∴2m=2，解得：m=1（2）解：设OG=x，则CG=OC﹣OG=2﹣x，∵点D（1，2），∴CD=1．在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2﹣x，CD=1，DG=OG=x，∴CD2+CG2=DG2，即1+（2﹣x）2=x2，解得：x= ，∴点G（0，）．过点F作FH⊥CB于点H，如图所示．由折叠的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF．∵∠CGD+∠CDG=90°，∠CDG+∠HDF=90°，∴∠CGD=∠HDF，∵∠DCG=∠FHD=90°，∴△GCD∽△DHF，∴=2，∴DF=2GD= ，∴点F的坐标为（，0）．设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b，∴有，解得：．∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=﹣x+【解析】【分析】（1）由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；（2）设OG=x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标．再过点F作FH⊥CB于点H，由此可得出△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度，从而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．7．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；（2）若y= 的值不大于2，求符合条件的x的范围；（3）若y= ，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围；（4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．【答案】（1）解：y=2x+1中k=2＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9．∵y= 中k=2＞0，∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小，∴当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小= ．∵y=2（x﹣1）2+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1，∴当x=1时，y最小=1；当x=4时，y最大=19（2）解：令y= ≤2，解得：x＜0或x≥1．∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1（3）解：①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0（4）解：①当m＜2时，有2（2﹣m）2+m﹣2=1，解得：m1=1，m2= （舍去）；②当2≤m≤4时，有m﹣2=1，解得：m3=3；③当m＞4时，有2（4﹣m）2+m﹣2=1，整理得：2m2﹣15m+29=0．∵△=（﹣15）2﹣4×2×29=﹣7，无解．∴m的值为1或3．①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0；【解析】【分析】（1）根据k=2＞0结合一次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2x+1的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；（2）令y= ≤2，解之即可得出x的取值范围；（3）①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，得到y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，得到y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y=无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，于是得到结论；（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．【答案】（1）解：作AD⊥x轴于D，如图，在Rt△OAD中，∵sin∠AOD= = ，∴AD= OA=4，∴OD= =3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y= 得m=﹣4×3=﹣12，所以反比例函数解析式为y=﹣；把B（6，n）代入y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，把A（﹣3，4）、B（6，﹣2）分别代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+2（2）解：当y=0时，﹣x+2=0，解得x=3，则C（3，0），所以S△AOC= ×4×3=6（3）解：当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段，的长是一元二次方程的两根，，．（1）直接写出点的坐标________点 C的坐标________；（2）若反比例函数的图象经过点，求k的值；（3）如图过点作轴于点；在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）解：如图，过点作，垂足为，∵，∴，设，∵ =12，∴EC=12-x，在RtΔBEC中，，∴整理得：，解得：（不合题意舍去），，∴，，∴，把代入，得（3）解：存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=2或OP=6，∴P（0，2）或P（0，6）；如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=12，∴P（0，12）；如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，则，即，解得：OP=4+2 或OP=4-2 （不合题意舍去），∴P（0，4+2 ）；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=-4+2 或-4-2 （不合题意舍去），则P点坐标为（0，4-2 ）故点的坐标为：或或或或【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程，解得：，所以，所以，；【分析】（1）首先利用直接开平方法求出方程的两根，从而得出OA=OC=6，进而得出A,C两点的坐标；（2）如图，过点作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质得出，设，EC=12-x，在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（3）存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P 点的坐标；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案。
九年级数学 反比例函数的专项 培优练习题及详细答案
九年级数学反比例函数的专项培优练习题及详细答案一、反比例函数1．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，∴C（1，1），∵AC∥y轴，AB∥x轴，∴A点横坐标为1，∵A点在函数y= （x＞0）图象上，∴A（1，4），∴B点纵坐标为4，∵点B在y= 的图象上，∴B点坐标为（，4）；（2）解：设A（a，），则C（a，），B（，），∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，∴S△ABC= AB•AC= × × = ，即△ABC的面积不发生变化，其面积为；（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△EFC，∴ = ，即 = ，∴EF= a，由（2）可知BG= a，∴BG=EF，∵AE∥y轴，∴∠BDG=∠FCE，在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF（AAS），∴BD=EF．【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．2．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），∴2=﹣ +b，解得：b= ，∴一次函数解析式为y= x+ ．联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：，或，∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．∵点A′与点A关于y轴对称，∴点A′的坐标为（1，2），设直线A′B的解析式为y=mx+n，则有，解得：，∴直线A′B的解析式为y= x+ ．令y= x+ 中x=0，则y= ，∴点C的坐标为（0，）（2）解：观察函数图象，发现：当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．3．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.4．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是________；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．【答案】（1）﹣2（2）3【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），依题意得：，解得：k=﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，∴BO∥CE，∴△AOB∽△AEC．又∵ = ，∴ = = ．令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，∴BO=b；令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，解得：x= ，即AO= ．∵△AOB∽△AEC，且 = ，∴．∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4，解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．故答案为：3 ．【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。
初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案
初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案一、反比例函数1．如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M．（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求a的值．（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．【答案】（1）解：当a=﹣3时，y=﹣3x+2，当y=0时，﹣3x+2=0，x= ，∵点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0＜m＜，，DANG则，﹣3x+2= ，当x=m时，﹣3m+2= ，∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜）（2）解：由题意得：，ax+2= ，ax2+2x﹣k=0，∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，∴△=4+4ak=0，ak=﹣1，∴k=﹣，则，解得：，∵OM= ，∴12+（﹣）2=（）2，a=±（3）解：当a=﹣2时，y=﹣2x+2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′，∴A′（2，1），B′（1，3），点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点，当点M′与A′重合时，k=2，当点M′与B′重合时，k=3，∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】（1）当a=﹣3时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取值范围，由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；（2）由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0，直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，△=4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股定理即可；（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知A′，B′点的坐标，从而得到k的取值范围。
数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y= x+ ，把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2；（3）解：如下图所示：设P点坐标为（t，t+ ），∵△PCA和△PDB面积相等，∴• •（t+4）= •1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到• •（t+4）= •1•（2﹣ t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．2．如图，已知函数的图象与一次函数的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为，△AOD 的面积为2.（1）求的值及 =4时的值；（2）记表示为不超过的最大整数，例如：，，设 ,若，求值【答案】（1）解：设A（x0， y0），则OD=x0， AD=y0，∴S△AOD= OD•AD= x0y0=2，∴k=x0y0=4；当x0=4时，y0=1，∴A（4，1），代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1（2）解：∵，∴＝mx+5，整理得，mx2+5x-4=0，∵A的横坐标为x0，∴mx02+5x0=4，当y=0时，mx+5=0，x=- ，∵OC=- ，OD=x0，∴m2•t=m2•（OD•DC），=m2•x0（- -x0），=m（-5x0-mx02），=-4m，∵- ＜m＜- ，∴5＜-4m＜6，∴[m2•t]=5【解析】【分析】(1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得出k的值；根据反比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出A点的坐标，再将A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出m的值；（2）解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出mx2+5x-4=0，将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4，根据直线与x轴交点的坐标特点，表示出OC,OD的长，由m2•t=m2•（OD•DC）=-4m，根据m的取值范围得出5＜-4m＜6，从而答案。
【数学】数学 反比例函数的专项 培优练习题附详细答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．【答案】（1）解：k=4，S△PAB=15．提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y= ，得k=4．解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），则点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∴S△AOP=S△BOP，∴S△PAB=2S△AOP．设直线AP的解析式为y=mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，求得直线AP的解析式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ，∴S△PAB=2S△AOP=15；（2）解：过点P作PH⊥x轴于H，如图2．B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，联立，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，联立，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1，∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），∴H（m，0），∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，∴MH=NH，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形；（3）解：∠PAQ=∠PBQ．理由如下：过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有，解得：，∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1．当y=0时， x+ ﹣1=0，解得：x=c﹣4，∴D（c﹣4，0）．同理可得E（c+4，0），∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，∴DT=ET，∴QT垂直平分DE，∴QD=QE，∴∠QDE=∠QED．∵∠MDA=∠QDE，∴∠MDA=∠QED．∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，∴∠PAQ=∠PBQ．【解析】【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP 与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP，要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．2．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．（1）求k的值；（2）求经过A、C两点的直线的解析式；（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm，∴A的坐标是（2，3），代入y= 得3= ，解得：k=6（2）解：OD=2+2=4，在y= 中令x=4，解得y= ．则C的坐标是（4，）．设AC的解析式是y=mx+n，根据题意得：，解得：，则直线AC的解析式是y=﹣ x+（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3；直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD•CD= ×4× =3．在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S梯形ABDC= （AB+DC）•BD= （3+ ）×2= ．则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．3．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣1，a），B（b，1）两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；（3）求△PAB的面积．【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3，∴点A的坐标为（﹣1，3）．将点A（﹣1，3）代入y= 中，3= ，解得：k=﹣3，∴反比例函数的表达式为y=﹣（2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3，∴点B的坐标为（﹣3，1）．作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．∵点B的坐标为（﹣3，1），∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．设直线AD的函数表达式为y=mx+n，将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=2x+5．当y=2x+5=0时，x=﹣，∴点P的坐标为（﹣，0）（3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论．4．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”，理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），∴顶点坐标为：（1，a﹣1），又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴0≤a≤1（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4，∵y= +2x﹣4∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤ ，∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴1≤a≤2；∴a的最大值是2，a的最小值1【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a 的最小值1.5．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点B的坐标为（m，﹣m）．∵点B在双曲线上，∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B在第四象限，∴m=2．∴B（2，﹣2）．将点A、B、C的坐标代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．（2）解：如图1，连接AC、BC．令y=0，则x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（3，0），∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∵点D是直线AB与x轴的交点，∴D（1，0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点A关于y轴的对称点A'（，），连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，由对称性知，∠APE=∠BPE，∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，∵B（，），A'（，），∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，∴P（0，﹣）．【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.6．如图、在矩形OABC中，，双曲线与矩形两边BC，AB 分别交于E，F两点.（1）如图一，若E是BC中点，求点F的坐标；（2）如图二，若将沿直线EF对折，点B恰好落在x轴上的点D处，求k的值. 【答案】（1）解：矩形OABC中，，，E是BC中点，点 .点E在双曲线上，..点F的横坐标为4，且在双曲线上，，即点；（2）解：过点E做轴于H点，点点， .， .，，，∽ .，，.，，.【解析】【分析】（1）根据E点坐标求出k的值，而后把F点的横坐标代入反比例函数解析式求出纵坐标；（2）过点E做轴于H点，根据∽，分别用k 表示出DF、AF、AD长度，根据勾股定理构造出关于k的方程.7．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（，），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．（1）若点P（2，b）是反比例函数 (n为常数，n≠0)的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；（2）⊙O的半径是，①求出⊙O上的所有梦之点的坐标；②已知点M（m，3），点Q是（1）中反比例函数图象上异于点P的梦之点，过点Q的直线l与y轴交于点A，∠OAQ＝45°．若在⊙O上存在一点N，使得直线MN∥l或MN⊥l，求出m的取值范围．【答案】（1）解：∵P（2，b）是梦之点，∴b=2∴P（2，2）将P（2，2）代入中得n=4∴反比例函数解析式是（2）解：①设⊙O上梦之点坐标是（，）∴∴=1或 =-1∴⊙O上所有梦之点坐标是（1，1）或（-1，-1）②由（1）知，异于点P的梦之点Q的坐标为（-2，-2）由已知MN∥l或MN⊥l∴直线MN为y=-x+b或y=x+b当MN为y=-x+b时，m=b-3由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第四象限时，b取得最小值，此时MN记为，其中为切点，为直线与y轴的交点∵△O 为等要直角三角形，∴O =∴O =2∴b的最小值是-2，∴m的最小值是-5当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，b取得最大值，此时MN记为，其中为切点，为直线与y轴的交点。
中考数学 反比例函数 培优练习(含答案)
中考数学反比例函数培优练习(含答案)一、反比例函数1．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．（1）求k和b的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；（3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC= S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）解：将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和得：4=﹣1+b，4= ，解得：b=5，k=4（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1（3）解：过A作AN⊥x轴，过B作BM⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：由，解得：x=4，或x=1，∴B（4，1），∴，∵，∴，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），∴S△PAC= OP•CD+ OP•AE= OP（CD+AE）=|t|=3，解得：t=3，t=﹣3，∴P（0，3）或P（0，﹣3）．【解析】【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（4，1），于是得到，由已知条件得到，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．2．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．（1）求k的值；（2）求经过A、C两点的直线的解析式；（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm，∴A的坐标是（2，3），代入y= 得3= ，解得：k=6（2）解：OD=2+2=4，在y= 中令x=4，解得y= ．则C的坐标是（4，）．设AC的解析式是y=mx+n，根据题意得：，解得：，则直线AC的解析式是y=﹣ x+（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3；直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD•CD= ×4× =3．在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S梯形ABDC= （AB+DC）•BD= （3+ ）×2= ．则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．3．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，所以双曲线的解析式为y= ；（2）2（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，即a的值为6± ；（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2；∵G1与G2有两个交点，∴3+ ≤a≤12﹣2 ，设直线DE的解析式为y=px+q，把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，∴M（a，﹣ a+5），N（a，），∵MN＜，∴﹣ a+5﹣＜，整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，∴a＜4或a＞9，∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4），所以BE= =2 ．故答案为2 ；【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．4．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．（1）点C的坐标________；（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得S△PEF= S△CEF，求点P的坐标．【答案】（1）（3，0）（2）解：∵AB=CD=3，OB=1，∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），设直线AC的解析式为y=ax+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．∵点E（2，m）在直线AC上，∴m=﹣ ×2+ = ，∴点E（2，）．∵反比例函数y= 的图象经过点E，∴k=2× =3，∴反比例函数的解析式为y=（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC， M（3，﹣0.5）．在y= 中，当x=3时，y=1，∴F（3，1）．过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF．设直线EF的解析式为y=a'x+b'，∴，解得，∴y=﹣ x+ ．设直线PM的解析式为y=﹣ x+c，代入M（3，﹣0.5），得：c=1，∴y=﹣ x+1．当x=1时，y=0.5，∴点P（1，0.5）．同理可得点P（1，3.5）．∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3），∴OC=3，∴C（3，0）．故答案为（3，0）；【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接EM，则S△EFM=S△EFC， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF．此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F 的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．5．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；（2）如图2，若某函数是反比例函数（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：正方形ABCD的边长为．（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：设正方形边长为a，易得3a= ，解得a= ，此时正方形的边长为．∴所求“伴侣正方形”的边长为或（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，易证△ADE≌△BAO≌△CBF．∵点D的坐标为（2，m），m＜2，∴DE=OA=BF=m，∴OB=AE=CF=2﹣m．∴OF=BF+OB=2，∴点C的坐标为（2﹣m，2）．∴2m=2（2﹣m），解得m=1．∴反比例函数的解析式为y=（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D 的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；故二次函数的解析式分别为：y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，可求出m的值，即可得到反比例函数的解析式．（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．6．如图，直线y=mx+n与双曲线y= 相交于A（﹣1，2）、B（2，b）两点，与y轴相交于点C．（1）求m，n的值；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）在坐标轴上是否存在异于D点的点P，使得S△PAB=S△DAB？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：∵点A（﹣1，2）在双曲线y= 上，∴2= ，解得，k=﹣2，∴反比例函数解析式为：y=﹣，∴b= =﹣1，则点B的坐标为（2，﹣1），∴，解得，m=﹣1，n=1（2）解：对于y=﹣x+1，当x=0时，y=1，∴点C的坐标为（0，1），∵点D与点C关于x轴对称，∴点D的坐标为（0，﹣1），∴△ABD的面积= ×2×3=3（3）解：对于y=﹣x+1，当y=0时，x=1，∴直线y=﹣x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），S△PAB= ×|1﹣a|×2+ ×|1﹣a|×1=3，解得，a=﹣1或3，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），S△PAB= ×|1﹣b|×2+ ×|1﹣b|×1=3，解得，b=﹣1或3，∴P点坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（0，﹣1）或（0，3）【解析】【分析】（1）由点A（﹣1，2）在双曲线上，得到k=﹣2，得到反比例函数解析式为，从而求出b的值和点B的坐标，把A、B坐标代入直线y=mx+n，求出m、n的值；（2）由一次函数的解析式求出点C的坐标，由点D与点C关于x轴对称，得到点D的坐标，从而求出△ABD的面积；（3）由一次函数的解析式得到直线y=﹣x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），求出S△PAB=3，求出a的值，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），求出S△PAB=3，求出b的值，从而得到P点坐标.7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．8．如图，反比例函数的图象与一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．【答案】（1）解：把A（﹣2，b）代入，得b=﹣ =4，所以A点坐标为（﹣2，4），把A（﹣2，4）代入y=kx+5，得﹣2k+5=4，解得k= ，所以一次函数解析式为y= x+5；（2）解：将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y= x+5﹣m，根据题意方程组只有一组解，消去y得﹣ = x+5﹣m，整理得 x2﹣（m﹣5）x+8=0，△=（m﹣5）2﹣4× ×8=0，解得m=9或m=1，即m的值为1或9．【解析】【分析】（1）先利用反比例函数解析式求出b=4，得到A点坐标为（-2，4），然后把A点坐标代入y=kx+5中求出k，从而得到一次函数解析式；（2）由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=，又与反比例函数有且只有一个公共点，可组成方程组，且只有一组解，然后消去y得到关于x的一元二次方程，再根据判别式=0得到关于m的方程，最后解方程求出m的值.9．如图，已知直线与x、y轴交于M、N，若将N向右平移个单位后的N，，恰好落在反比例函数的图像上．（1）求k的值；（2）点P为双曲线上的一个动点，过点P作直线PA⊥x轴于A点，交NM延长线于F 点，过P点作PB⊥y轴于B交MN于点E.设点P的横坐标为m．①用含有m的代数式表示点E、F的坐标②找出图中与△EOM 相似的三角形，并说明理由．【答案】（1）解：当时，，，.把代入得，（2）解：①由（1）知 ..当时， ,.当时，，，∴E(2 －， ).② , ， , ，，，,由一次函数解析式得∠OME=∠ONF=45°【解析】【分析】（1）当x=0时，求出y=2，得出N(0,2) ，由平移的性质得出N'(3,2) .把 (3,2) 代入 y=得k=6.（2）①由（1）可设P(m,) .当x=m时，求出y=−m+2 ,即F(m,2-m) ；当y=时，求出x=2−，即E(2 -，).②∵ON=2 , EM=， OM=2 , NF=，从而得出OMNF=EMON.由一次函数解析式得∠OME=∠ONF=45°；推出ΔEOM∼ΔOFN.10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= 相交于点A（m，3），B（﹣6，n），与x轴交于点C．（1）求直线y=kx+b（k≠0）的解析式；（2）若点P在x轴上，且S△ACP= S△BOC，求点P的坐标（直接写出结果）．【答案】（1）解：）∵点A（m，3），B（﹣6，n）在双曲线y= 上，∴m=2，n=﹣1，∴A（2，3），B（﹣6，﹣1）．将（2，3），B（﹣6，﹣1）带入y=kx+b，得：，解得．∴直线的解析式为y= x+2（2）解：当y= x+2=0时，x=﹣4，∴点C（﹣4，0）．设点P的坐标为（x，0），∵S△ACP= S△BOC， A（2，3），B（﹣6，﹣1），∴×3|x﹣（﹣4）|= × ×|0﹣（﹣4）|×|﹣1|，即|x+4|=2，解得：x1=﹣6，x2=﹣2．∴点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．【解析】【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP= S△BOC，即可得出|x+4|=2，解之即可得出结论．11．综合实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.操作探究：（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为________cm，底面积为________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为________cm3.【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；C．可以折叠成无盖正方体；D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．故答案为：C．（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”（3）x；（20﹣2x）2；576【解析】【解答】（3）解：①如图，②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．故答案为：x，（20﹣2x）2， 576【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．12．已知抛物线的顶点坐标为，经过点 .（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线交抛物线于，两点，若，求的值；（3）如图2，将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，交轴的负半轴于点，点在抛物线上.①求点的坐标（用含的式子表示）；②若，求，的值.【答案】（1）解：已知抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为，把代入得：6=16a-2，解得：，∴抛物线的解析式为（2）解：设直线交轴点，则点的坐标，∴ .∵，∴ .∴ .由得，∴，，∴，∴，∵，∴ .（3）解：①依题意得抛物线的解析式为 . 点在抛物线上，∴，∴顶点的坐标为，令，即 .∴，（舍去），∴点的坐标为 .②作轴于点，∵E（2-a，0），F（a，2a-2），∴，∴，又，∴，∵FH//y轴，∴∠FPO=∠PFH=22.5°，∴∠FPO=∠EFP，∴PD=FD，设交轴于点，过D作DG⊥FH于G，则DG=OH，∵∠EFH=45°，∴，∵∠FEH=45°，a>2,∴OD=OE=a-2，∴PD=a-2- = ，∵HO=a，∴，∴，（舍去），∴ .【解析】【分析】（1）观察函数图像可知抛物线关于y轴对称，可得到点A时抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为y=ax2-2，再将点B的坐标代入求出a的值，即可得到抛物线C的解析式。
中考数学精选反比例函数培优题(附答案)
y xOy x OyxOy xO 全国各地中考数学精选反比例函数培优题1.如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴,点C 在反比例函数221k k y x++=的图象上.若点A 的坐标为(－2，－2),则k 的值为 A ．1 B ．－3C ．4D ．1或－32。
直线 6y x =- 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数4(0)y x x=>图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F.则AF BE ⋅=A ．8B ．6C ．4D ．62 3 如图直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 面积是S 1、△B OD 面积是S 2、△P OE 面积是S 3、则（ ） A S1〈S2<S3 B S1〉S2>S3 C S1=S2〉S3 D S1=S2〈S34。
小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y （km/h ）和行车时间x （h ）之间的函数图像是( )A B C D5。
如图，反比例函数xmy =的图象与一次函数b kx y -=的图象交于点M,N ，已点M 的坐标为（1，3）,点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程xm=b kx -的解为（ ）A 。
－3,1B 。
－3,3 C. －1，1 D.3，—1xyO ABCD6.根据图5-1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P,Q ，连接OP,OQ 。
则以下结论①x ＜0时,x2y =，②△OPQ 的面积为定值， ③x ＞0时，y 随x 的增大而增大④MQ=2PM ⑤∠POQ 可以等于90°图5—2图5—1输出y 取相反数42取倒数取倒数输入非零数xPQM其中正确的结论是( ）A ．①②④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤ 7如图,直线y=x +2与双曲线y=xm 3-在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（ )二、填空题8。
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反比例函数的图像与性质
一、重点难点分析：
1.反比例函数的解析式有三种形式：y=k
x
,y=kx−1,xy=k(k为常数，k≠0）
2.用待定系数法求反比例函数的关系式分两步：一是设，设所求反比例函数的关系式的y=
k
x
，二是代，把已知的一组x，y的值代入上式，求出反比例系数k，归根结底求反比例函数关系式就是求比例系数。
3.反比例函数图像是关于原点对称的双曲线，双曲线的位置和增减性由比例系数k决定，
当K＞0，双曲线的两个分支分别位于第一，三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二，四象限，在每一个象限内，y随x 的增大而增大，但两个分支都无限接近但永远不能到达x，y轴。
难点分析：
1.若两个变量之比等于定值（常数），则这两个变量成正比例；若两个变量之积等于定值
（常数），则这两个变量成反比例。
2.反比例函数y=k
x
的比例系数，自变量x的取值范围是x≠0，但在实际问题中，自变量的取值范围要符合实际意义。
3.反比例函数的图像既是中心对称图形（对称中心为原点），又是轴对称图形（对称轴是
一，三或二，四象限角平分线）
4.过反比例函数图像上的点作一条坐标轴的垂线段，则该点与垂足，原点组成的直角三角
形面积S=1
2|xy|=1
2
k，这一特征可用于解决与反比例函数有关的图形面积问题。
很多
人把这叫做k的几何意义。
5.反比例函数是最简单的函数，因为它只有一个字母系数。
考试出题的话，只能和几何图
形的面积融合在一起。
二、例题精选
例1.对于反比例函数y=1
x
，下列说法正确的是（）
A.图形经过（1，-1）
B.图像位于二、四象限
C.图像是中心对称图形
D.当x＜0时，y随x增大而增大
例2.如图，D是反比例函数y=k
x
(k＜0)的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于
C，一次函数y=-x+m与y＝−−√3
3
x+2的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为______．
例3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数y=m
x （m≠0）的图象相交于A、B两点。
（1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值。
例4.如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=k
x 相交于A（3，20
3
）、B（-5，a）
两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由；
（3）根据图象，直接写出当直线AB的函数值不大于双曲线的函数值时，自变量x的取值范围．
例5.如图，反比例函数y=k
x 的图像与一次函数y=1
4
x的图像相交于A，B两点，
点B的横坐标是4. P是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB的上方．
⑴若点P的坐标是(1，4)，直接写出k的值和△PAB的面积；
⑵设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
⑶设点Q是反比例函数图像上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合)，连接AQ、
BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
三、练一练
1.如图，反比例函数y=k
（k＞0）的图像与矩形ABCD的两边相交于E，F两点，若点E
x
是AB中点，S△BEF=2，则k的值为______．
2.如图.过点C（1，2）分别作x轴，y轴的平行线，交直线y=-x+6于A，B两点，若反比例
（x＞0）的图像与△ABC有公共点，则K的取值范围是（）函数y=k
x
A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
•
3.如图，点A，B是双曲线y=6
x
上的点，分别过点A，B做x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为___．
4.如图在等腰Rt△OBA和Rt△BCD中，∠OBA=∠BCD=90°，点A和C都在双曲线y=k
x
（k ＞0）上，则D的坐标为________
5.如图，已知点A（1，a）是反比例函数y=−3
x 的图像上一点，直线y=−1
2
x+1
2
与反比
例函数y=−3
x
的图像在第四象限的交点为点B。
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标
6.如图.反比例函数y=k
x
（x＞0）的图像与直线y=x交于点M，∠AMB=90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6．
（1）求k的值；
（2）点P在反比例函数y=k
（（x>0）的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF=90°，
x
其两边分别与x轴的正半轴，直线y=x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE=PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（k＞0）的图像上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，7.如图，点A，B在反比例函数y=k
x
D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE 的面积的2倍，则k的值是．。