河北省衡水中学2019～2020届高三下学期第六周周测数学(理)试题
河北省衡水中学2019～2020届高三下学期第六周周测数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数2(1)1i z i+=-的共轭复数所对应的点位于复平面的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、已知等比数列{}n a中，257a a -+=⎰，则6468(2)a a a a ++=的值为A ．216π B ．24π C ．22π D ．2π3、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则双曲线C 的标准方程为A ．22123x y -= B ．22139x y -= C ．22146x y -= D ．221x y -= 4、阅读如图的程序框图，如输入4,6m n ==，则输出的,a i 分别等于 A ．12,2 B ．12,3 C ．24,2 D ．24,35、已知条件p 关于x 的不等式13x x m -+-<有解；条件():(73)x q f x m =-为减函数，则p 成立是q 成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示的区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆的两条切线且切点分别为A 、B ，当APB ∠最大时，cos APB ∠=A．2 B ．12 C．2-．12- 7、已知(0,)απ∈，若1tan()43πα-=，则sin 2α=A ．45-B ．45C ．54-D ．548、一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形， 俯视图为正方形，则该几何体的体积为 A ．8 B ．4 C ．83 D ．439、已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 、B 在该抛物线上，0OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与BFO ∆面积之差的最小值是A ．4B ．8C ．．10、若函数111ln y x x =，函数223y x =-，则221212()()x x y y -+- 的最小值为A ．2B ．1CD ．211、若非零向量a 与向量b 的夹角为钝角，2b =，且当12t =-时，()b ta t R -∈向量c 满足()()c b c a -⊥-，则当()c a b ⋅+取最大值时，c b -等于A B ．．．5212、已知函数()2ln ()()x x b f x b R x +-=∈，若存在1[,2]2x ∈，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是A ．3(,)2-∞ B ．9(,)4-∞ C ．(,3)-∞ D ．(-∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
.13、某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取点样本中有高一学生96人，则该样本中的三学生人数为14、在正三棱锥S ABC -中，AB M =是SC 的中点，AM SB ⊥，则正三棱锥S ABC -外接球的球心到平面ABC 的距离为15、ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项，1-为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状为 16、已知函数()cos f x x x =，有下列4个结论： ①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②存在常数0T >，对于任意实数x ，恒有()()f x T f x +=成立； ③对于任意给定的正数M ，都存在实数0x ，使得()0f x M ≥；④函数()f x 的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x 轴平行。
其中，所有正确结论的序号为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，030,B AC D ==是边AB 上一点。
（1）求ABC ∆的面积的最大值；（2）若2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求BC 的长。
18、（本小题满分12分）如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，0//,,2,4,90AB CD AD DC AD AB ADF ⊥==∠=.（1求证：AC FB ⊥；（2）求二面角E FB C --的大小。
19、（本小题满分12分）设不等式224x y +≤确定的平面区域为,1U x y +≤，确定的平面区域为V 。
（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 内的概率；（2）在区域U 内任取3个点，记这3个点在区域V 内的个数为X ，求X 的分布列和数学期望。
20、（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与椭圆222:14x C y +=有相同的离心率，经过椭圆2C 的做顶点作直线l ，与椭圆2C 相较于P 、Q 两点，与椭圆相较于A 、B 两点。
（1）若直线y x =-经过线段PQ 的中点M ，求直线l 的方程； （2）若存在直线l ，使得13PQ AB =，求b 的取值范围。
21、（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln 1a x f x x x +=--，曲线()y f x =在点11(,())22f 处的切线平行于直线101y x =+。
（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设直线l 为函数ln y x =图象上任意一点00(,)A x y 处的切线，在区间(1,)+∞上是否存在0x ，使得直线l 与曲线xy e =也相切？若存在，满足条件的0x 有几个？22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程在坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,0)P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为26cos 10ρρθ-+=。
（1）写出直线l 的参数方程，若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （2）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围。
13、设关于x 的不等式2,()x a a R -<∈的解集为A ，且31,22A A ∈-∉。
（1）2,13x R x x a a ∀∈-+-≥+恒成立，且a N ∈，求a 的值； （2）若1a b +=，求13b b a+的最小值，并指出取得最小值时a 的值。
附加题：24、设函数()ln (1)f x m x m x =+- 。
（1）若()f x 存在最大值M ，且0M >，求m 的取值范围； （2）当1m =时，试问方程()22x xf x e e-=-是否有实数根，若有，求出所有的实数根；若没有，请说明理由。
25、已知点F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线142x y+=与椭圆E 有且仅有一个交点M 。
（1）求椭圆E 的方程； （2）设直线142x y+=与y 轴交于点P ，过点P 的直线与椭圆E 交于两不同点A 、B ， 若2PM PA PB λ= ，求实数的取值范围。
26、设等差数列{}n a 的前n 项和为110,(,1),(1,)n S a a b a ==，若424a =-，且11143S =，数列{}n b点前n 项和为n T ，且满足112(1),()n a n T a n N λ-+=--∈。
（1）求数列通{}n a 项公式的及数列11{}n n a a +的前n 项和； （2）是否存在非零实数λ，使得数列{}n b 为等比数列？并说明理由。
答案：一、选择题 CBABB BBACD AB 二、填空题 （13）78 （14）6（15）锐角三角形 （16）③④ 三、解答题17. 解：（1）∵在△ABC 中，∠B=30°，AC=2，D 是边AB 上一点，∴由余弦定理得：AC 2=20=AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos∠ABC =≥（2﹣）AB •BC ，∴AB •BC≤=20（2+），∴， ∴△ABC 的面积的最大值为．（2）设∠ACD=θ，在△ACD 中，∵CD=2，△ACD 的面积为4，∠ACD 为锐角， ∴==4，∴sinθ=，cos，由余弦定理，得AD 2=AC 2+CD 2﹣2AC •CD •cosθ=20+4﹣8×=16，∴AD=4， 由正弦定理，得，∴，∴，此时，∴BC=．∴BC 的长为4．BDAC18、19.20. 解：（1）设P（﹣2，0），Q（x，y），线段PQ的中点M为，∴=0，化为x+y=2．联立，解得，或．∴直线l的方程为：y=0，或y﹣0=（x+2），化为x﹣4y+2=0．（2）椭圆C2： +y2=1的离心率e=．设2c是椭圆C1； +=1（a＞b＞0）的焦距，则=，又a2=b2+c2，可得a=2b，c=b，椭圆的方程化为：x2+4y2=4b2．设直线l的方程为：y=k（x+2），P（x3，y3），Q（x4，y4），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，∴x3+x4=，x3x4=，|PQ|==．联立，化为：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4b2=0，∴x1+x2=，x1x2=．∴|AB|==．∵=，∴=3，∴3×=．化为：b2=1+∈（1，9]，∴b∈（1，3]．∴b的取值范围是（1，3]．21. 解：（1）∵函数f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=+，∵曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线平行于直线y=10x+1，∴f′（）=2+8a=10，∴a=1∴f′（x）=∵x＞0且x≠1，∴f'（x）＞0∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（5分）（2）证明：∵y=lnx，∴切线l的方程为y﹣lnx0=（x﹣x0）即y=x+lnx0﹣1，①（6分）设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，），∵g'（x）=e x，∴=，∴x1=﹣lnx0．（8分）∴直线l也为y﹣=（x+lnx0），即y=x++，②（9分）由①②得lnx0﹣1=+，∴lnx0=．（11分）下证：在区间（1，+∞）上x0存在且唯一．由（1）可知，f（x）=lnx﹣在区间（1，+∞）上递增．又f（e）=﹣＜0，f（e2）=＞0，（13分）结合零点存在性定理，说明方程f（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯．一x22.解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+1=0，∵直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，∴直线l的参数方程为，（t为参数），将，代入x2﹣y2﹣6x﹣1=0，整理，得t2﹣8tcosα+8=0，∵直线l与曲线C有公共点，∴△=64cos2α﹣32≥0，即cosα≥，或cosα≤﹣，∵α∈[0，π），∴α的取值范围是[0，]∪[，π）．（2）曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣6x+1=0可化为（x﹣3）2+y2=8，其参数方程为，（θ为参数），∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2=3+4sin（），∴x+y的取值范围是[﹣1，7]．23.解：（1）关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且∈A，﹣∉A，则a＞|﹣2|且a≤|﹣﹣2|，即有＜a≤，①∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（x﹣1）﹣（x﹣3）|=2，即有|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2，∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，即有a2+a≤2，解得﹣2≤a≤1，②由①②可得＜a≤1，由a∈N，则a=1；（2）若a+b=1，则+=+，当b＞0时， +=+（+）≥+2=，当且仅当=，即a=∈（，]，b=时，取得最小值，且为；当b＜0时， +=﹣+（+）≥﹣+2=，当且仅当=，即a=∈（，]，b=时，取得最小值，且为．综上可得，当a=时， +取得最小值，且为．实验附加：24．（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）求椭圆标准方程，只要求出参数，由于有，因此要列出关于的两个方程，而由条件两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形得，再利用已知直线与椭圆只有一个公共点，即判别式为0可求得椭圆方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）得点的坐标，从而可得，要求范围只要求得的范围，为此可直线分类，对斜率不存在时，求得，而当直线斜率存在时，可设出直线方程为，同时设，则，由韦达定理可把表示为的函数，注意直线与椭圆相交，判别式＞0，确定的范围，从而可得的范围，最后可得的取值范围.试题解析：（Ⅰ）由题意，得，则椭圆为：，由，得，直线与椭圆有且仅有一个交点，，椭圆的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，直线与轴交于 ,,当直线与轴垂直时， ,由 ,当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，由，依题意得，，且，，，，综上所述，的取值范围是.2．（Ⅰ）21n a n =+，96+=n nM n ；（Ⅱ）不存在非零实数，使数列为等比数列，理由见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，利用数量积运算性质可得：11024a a +=，又11143S =，解得1a ，d ，可得数列的通项公式，再利用“裂项求和”方法即可得出；（Ⅱ）由()1121n a n T a λ-=--(*n N ∈)，且13a =，可得124n n T λλ=+，对n 分类讨论，利用等比数列的定义即可得出．试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由()1,1a a =，()101,b a =，24a b =，得11024a a +=又11143S =解得13a =，2d =，因此数列的通项公式是21n a n =+（*n N ∈），所以1111122123n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 所以111111123557212369n nM n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪+++⎝⎭ （Ⅱ）因为()1121n a n T a λ-=--（*n N ∈）且13a =可得124n n T λλ=+，当1n =时，16b λ=；当2n ≥时，1134n n n n b T T λ--=-=，此时有14nn b b -=，若是{}n b 等比数列，则有214b b =，而16b λ=，212b λ=，彼此相矛盾，故不存在非零实数，使数列为等比数列． 考点：数列递推式；数列求和。
河北省衡水中学2019届高三下学期六调数学(理)试题(含解析)
2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）（5月份）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4B．4+4i C．﹣4D．2i2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣5x+6≥0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝B B．A∪B＝A C．A⊊B D．∁R A＝B3．（5分）已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，＝2，则△APQ的面积为（）A．B．C．1D．24．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．4D．85．（5分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）已知a＝3ln2π，b＝2ln3π，c＝3lnπ2，则下列选项正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a8．（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．1C．1D．29．（5分）如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，其中A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴．若A′B′＝B′C′＝3，设△ABC的面积为S，△A′B′C的面积为S′，记S＝kS′，执行如图②的框图，则输出T的值（）A．12B．10C．9D．610．（5分）如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n，则＝（）A．B．C．D．11．（5分）过椭圆上一点H作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A．B．C．1D．12．（5分）若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）＝x+（x＞0）；②f（x）＝lnx（0＜x＜e）；③f（x）＝cos x；④f（x）＝x2﹣1．其中为“柯西函数”的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7＝．14．（5分）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤•≤1，0≤•≤1，则W＝•的最大值为．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1＝2a n，则使不等式a12+a22+…+a n2＜5×2n+1成立的n的最大值为．16．（5分）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则．（写出所有正确结论的编号）①四面体ABCD每个面的面积相等②四面体ABCD每组对棱相互垂直③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长三、解答题（本大题共5小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且sin A sin C＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量＝（cos A，cos2A），＝（﹣，1），当•取最小值时，判断△ABC的形状．18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°．（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．19．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，∠F1MF2＝60°，P为椭圆上任意一点，且△PF1F2的面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点A，B为椭圆C上的两个不同的动点，且•＝t（O为坐标原点），则是否存在常数t，使得O点到直线AB的距离为定值？若存在，求出常数t和这个定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝alnx﹣x2．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）令g（x）＝f（x）+ax，若y＝g（x））在区间（0，3）上为单调递增函数，求a的取值范围；（3）当a＝2时，函数h（x）＝f（x）﹣mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B （x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β＝1，β≥α．试比较h'（αx1+βx2）与0的关系，并给出理由．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4一4：坐标系与参数方程选讲]22．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤x+10的解集；（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≥a﹣（x﹣2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围．2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）六调数学试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4B．4+4i C．﹣4D．2i【分析】利用复数相等的性质求出x，y，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果．【解答】解：∵x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y＝﹣1+i，∴，解得x＝3，y＝1，∴（1+i）x+y＝（1+i）4＝（2i）2＝﹣4．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，涉及到复数相等、复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣5x+6≥0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝B B．A∪B＝A C．A⊊B D．∁R A＝B【分析】由x2﹣5x+6≥0，解得x≥3，x≤2，【解答】解：由x2﹣5x+6≥0，化为（x﹣2）（x﹣3）≥0，解得x≥3，x≤2，∴B ＝{x|x≥3，x≤2}，∴A⊊B，故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，＝2，则△APQ的面积为（）A．B．C．1D．2【分析】画出△ABC，通过足，＝2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：由题意可知，P为AC的中点，＝2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC＝＝2．所以S△APQ＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．4．（5分）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．4D．8【分析】由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．【解答】解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为1，侧棱长为：，所以几何体的表面积为：＝4．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三视图推出几何体的判断，几何体的表面积的求法，注意视图的应用．5．（5分）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据几何概型的概率公式转化为对应面积之间的关系进行求解即可．【解答】解：以最小的等腰三角形为基本单位，则大正方体有16个小等腰直角三角形构成，则阴影部分对应的有7个小等腰直角三角形，则对应概率P＝，故选：D．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合面积之比是解决本题的关键．6．（5分）定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【分析】由题表达函数f（x）＝sin﹣cos＝2sin（x﹣）；向左平移m（m＞0）个单位即为：g（x）＝f（x+m）＝2sin（﹣）；利用新函数g（x）为偶函数，由三角函数图象的性质可得答案．【解答】解：定义运算：＝a1a4﹣a2a3，将函数f（x）＝化为：f（x）＝sin﹣cos＝2sin（x﹣）再向左平移m（m＞0）个单位即为：g（x）＝f（x+m）＝2sin（﹣）；又因为新函数g（x）为偶函数，由三角函数图象的性质可得，即x＝0时函数值为最大或最小值，即：sin（﹣）＝1；或sin（﹣）＝﹣1；所以：﹣＝kπ+，k∈Z；即m＝2kπ+，k∈Z；又m＞0，所以m的最小值是：故选：C．【点评】本题考查对三角函数定义的理解能力，三角函数恒等变性，三角函数图象及性质．7．（5分）已知a＝3ln2π，b＝2ln3π，c＝3lnπ2，则下列选项正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】由，，＝，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x）＝，则f′（x）＝，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．【解答】解：，，＝，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x）＝，则f′（x）＝，当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．8．（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．1C．1D．2【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a 的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c＝1，又由已知得|AF2|＝|F1F2|＝2，而抛物线准线为x＝﹣1，根据抛物线的定义A点到准线的距离＝|AF2|＝2，因此A点坐标为（1，2），由此可知是△AF1F2是以AF1为斜边的等腰直角三角形，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝＝+1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，其中A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴．若A′B′＝B′C′＝3，设△ABC的面积为S，△A′B′C的面积为S′，记S＝kS′，执行如图②的框图，则输出T的值（）A．12B．10C．9D．6【分析】由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．【解答】解：∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′＝A′B′•B′C′•sin45°＝由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S＝AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝2，则T＝T＝（m﹣1）＝2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．（5分）如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n，则＝（）A．B．C．D．【分析】先观察图形再结合归纳推理可得解．【解答】解：a3＝12，a4＝20，a5＝30，猜想a n＝n（n+1）（n≥3，n∈N+），所以＝＝，所以+…＝（））+（）+…+（）＝＝，故选：A．【点评】本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题．11．（5分）过椭圆上一点H作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（）A．B．C．1D．【分析】由点H在椭圆上，知H（3cosθ，2sinθ），由过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y＝2，由此能求出△POQ面积最小值．【解答】解：∵点H在椭圆上，∴H（3cosθ，2sinθ），∵过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x2+y2＝2的两条切线，点A，B 为切点，∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y＝2，∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，∴P（，0），Q（0，），∴△POQ面积S＝＝×，∵﹣1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ＝1时，△POQ面积取最小值．【点评】本题考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．12．（5分）若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）＝x+（x＞0）；②f（x）＝lnx（0＜x＜e）；③f（x）＝cos x；④f（x）＝x2﹣1．其中为“柯西函数”的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由“柯西函数”得函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B （x2，y2由），使得、共线，即存在点A、B与点O共线，判断满足条件即可．【解答】解：由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2：|x1x2+y1y2|≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1＝kx2，y1＝ky2取等号），又函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共线，即存在点A、B与点O共线；设AB的方程为y＝kx，对于①，由于y＝kx（x＞0）与f（x）＝x+只有一个交点，所以①不是柯西函数；对于②，由于y＝kx与f（x）＝lnx（0＜x＜e）最多只有一个交点，所以②不是柯西函数；对于③，取A（0，0），点B任意，均满足定义，所以③是柯西函数；对于④，取A（﹣1，0），B（1，0），均满足定义，所以④是柯西函数．故选：B．【点评】本题考查了函数的新定义与应用问题，也考查了函数性质与应用问题，是中档题．二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7＝．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据该项是等比数列{a n}的第5项，再利用等比数列的性质求得a3a7的值．【解答】解：二项式（﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝••，令3﹣＝0，求得r＝2，故展开式的常数项为•＝．等比数列{a n}的第5项a5＝，可得a3a7＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，等比数列的定义和性质，属于基础题．14．（5分）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0≤•≤1，0≤•≤1，则W＝•的最大值为4．【分析】利用向量的坐标求法求出各个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出各个数量积代入已知不等式得到P的坐标满足的不等式，将的值用不等式组中的式子表示，利用不等式的性质求出范围．【解答】解：由题得：，＝（x，y），＝（0，1），＝（2，3）．∵0≤≤1，0≤≤1．∴⇒∵＝2x+3y＝（2x+y）+2y；∴∈[0，4]．∴所求最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查向量的坐标形式的数量积公式、不等式的性质．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1＝2a n，则使不等式a12+a22+…+a n2＜5×2n+1成立的n的最大值为4．【分析】利用及等比数列的通项公式即可得出a n，利用等比数列的前n项和公式即可得出，再化简即可得出答案．【解答】解：当n＝1时，a1+1＝2a1，解得a1＝1．当n≥2时，∵S n+1＝2a n，S n﹣1+1＝2a n﹣1，∴a n＝2（a n﹣a n﹣1），∴．∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴，∴．∴＝1+4+42+…+4n﹣1＝＝．∴．∴2n（2n﹣30）＜1，可知使得此不等式成立的n的最大值为4．【点评】熟练掌握及等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等是解题的关键．16．（5分）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则①③④．（写出所有正确结论的编号）①四面体ABCD每个面的面积相等②四面体ABCD每组对棱相互垂直③连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．【解答】解：由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则①正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则②错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则③正确；由AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC，可得过四面体任意一点的三条棱的长为△ABD的三边长，则④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，是基础题．三、解答题（本大题共5小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且sin A sin C＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量＝（cos A，cos2A），＝（﹣，1），当•取最小值时，判断△ABC的形状．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的性质．【解答】解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则b2＝ac．由正弦定理得sin2B＝sin A sin C．又sin A sin C＝，所以sin2B＝．因为sin B＞0，则sin B＝．因为B∈（0，π），所以B＝或．又b2＝ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故B＝．（Ⅱ）因为向量＝（cos A，cos2A），＝（﹣，1），所以•＝﹣cos A+cos2A＝﹣cos A+2cos2A﹣1＝2（cos A﹣）2﹣，所以当cos A＝时，•取的最小值﹣．因为cos A＝，所以．因为B＝，所以A+B．从而△ABC为锐角三角形．【点评】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°．（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）设取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，求出AD＝CD，即可求AF的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．（2）解：取DC中点G，连接FG，则EG∥平面PAD，∵直线EF∥平面PAD，EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAD，∵FG⊂平面EFG，∴FG∥平面PAD∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD＝CD．∵∠ADC＝120°，AB＝4，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，AD＝CD＝，∵∠DGF＝60°，DG＝，∴AF＝1（3）解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B（4，0，0），C（2，2，0），D（0，，0），P（0，0，4）．＝（4，﹣，0）为平面PAC的法向量．设平面PBC的一个法向量为＝（x，y，z），则∵＝（2，2，﹣4），＝（4，0，﹣4），∴，令z＝3，得x＝3，y＝，则平面PBC的一个法向量为＝（3，，3），设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则cosθ＝＝．∴二面角A﹣PC﹣B余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．【分析】（1）由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和．（3）分别求出样本的平均数和方差，900名考生选做题得分的平均数与方差和样本的平均数与方差相等．【解答】解：（1）根据题意，读出的编号依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332．将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，所以中位数为×（647+687）＝667；（2）由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，所以样本编号之和即为该数列的前10项之和，即S10＝10×8+＝4130；（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，由题意可知x i＝8×7＝56，＝8×4＝32，y i＝16，＝2×1＝2，故样本平均数为＝×（x i+y i）＝×（56+16）＝7.2；样本方差为s2＝×[+]＝×{+}＝×[﹣0.4（x i﹣7）+8×0.22++1.6（y i﹣8）+2×0.82]＝×（32﹣0+0.32+2+0+1.28）＝3.56；所以估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．【点评】本题考查了随机数表法抽样应用问题，也考查了系统抽样和平均数、方差的计算问题，是中档题．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，∠F1MF2＝60°，P为椭圆上任意一点，且△PF1F2的面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点A，B为椭圆C上的两个不同的动点，且•＝t（O为坐标原点），则是否存在常数t，使得O点到直线AB的距离为定值？若存在，求出常数t和这个定值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题得，，解得a2＝4，b2＝3，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当直线AB的斜率存在时，设其直线方程为：y＝kx+n，由得由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题得，，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆的标准方程为+＝1．（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当直线AB的斜率存在时，设其直线方程为：y＝kx+n，则原点O到直线AB的距离为d＝，联立方程，化简得，（4k2+3）x2+8knx+4n2﹣12＝0，由△＞0得4k2﹣n2+3＞0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+n）（kx2+n）＝（k2+1）x1x2+kn（x1+x2）+n2＝t即（7d2﹣12﹣4t）k2+7d2﹣12﹣3t＝0对任意的k∈R恒成立，则，解得t＝0，d＝，当直线AB斜率不存在时，也成立．故当t＝0时，O点到直线AB的距离为定值d＝．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足向量的数量积之和为定值的实数值的求法，考查直线方程、椭圆性质、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．已知函数f（x）＝alnx﹣x2．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）令g（x）＝f（x）+ax，若y＝g（x））在区间（0，3）上为单调递增函数，求a的取值范围；（3）当a＝2时，函数h（x）＝f（x）﹣mx的图象与x轴交于两点A（x1，0），B （x2，0），且0＜x1＜x2，又h′（x）是h（x）的导函数．若正常数α，β满足条件α+β＝1，β≥α．试比较h'（αx1+βx2）与0的关系，并给出理由．【分析】（1）当a＝2时，利用导数的符号求得函数的单调性，再根据函数的单调性求得函数y＝f（x）在[，2]上的最大值；（2）先求得g′（x）＝﹣2x+a，因为g（x）在区间（0，3）上单调递增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，求得右边函数的范围，由此可得a的范围；（3）h′（αx1+βx2）＜0．理由：由题意可得，f（x）﹣mx＝0有两个实根x1，x2，化简可得m＝﹣（x1+x2），可得h'（αx1+βx2）＝﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）＝﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），由条件知（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0，再用分析法证明h′（αx1+βx2）＜0．【解答】解：（1）∵f（x）＝2lnx﹣x2，可得，函数f（x）在[，1]是增函数，在[1，2]是减函数，所以f（1）取得最大值，且为﹣1；（2）因为g（x）＝alnx﹣x2+ax，所以g′（x）＝﹣2x+a，因为g（x）在区间（0，3）上单调递增，所以g'（x）≥0在（0，3）上恒成立，即有a≥在（0，3）的最大值，由y＝的导数为y′＝＞0，则函数y＝在（0，3）递增，可得y＜，则a≥；（3）由题意可得，h′（x）＝﹣2x﹣m，又f（x）﹣mx＝0有两个实根x1，x2，∴2lnx1﹣x12﹣mx1＝0，2lnx2﹣x22﹣mx2＝0，两式相减，得2（lnx1﹣lnx2）﹣（x12﹣x22）＝m（x1﹣x2），∴m＝﹣（x1+x2），于是h'（αx1+βx2）＝﹣2（αx1+βx2）﹣m＝﹣2（αx1+βx2）﹣+（x1+x2）＝﹣﹣+（2α﹣1）（x2﹣x1），∵β≥α，∴2α≤1，∴（2α﹣1）（x2﹣x1）≤0．可得h′（αx1+βx2）＜0．要证：h′（αx1+βx2）＜0，只需证：﹣＜0，只需证：﹣ln＞0．（*）令＝t∈（0，1），∴（*）化为+lnt＜0，只证u（t）＝+lnt即可．∵u′（t）＝+＝﹣＝，又∵≥1，0＜t＜1，∴t﹣1＜0，∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上单调递增，故有u（t）＜u（1）＝0，∴+lnt＜0，即﹣ln＞0．∴h′（αx1+βx2）＜0．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4一4：坐标系与参数方程选讲]22．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．【分析】（1）利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，【解答】解（1）∵P点的极坐标为，∴＝3，＝．∴点P的直角坐标把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x ﹣2y﹣7＝0设，则线段PQ的中点．那么点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤x+10的解集；（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≥a﹣（x﹣2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）化简f（x）的解析式，分类讨论求得不等式f（x）≤x+10的解集．（Ⅱ）由题意可得f（x）在x∈[﹣1，5]上的最小值大于或等于g（x）的最大值．。
河北衡水中学2019—2020学年高三年级下学期第二次质检考试数学试题(理)
河北衡水中学2019—2020学年高三年级下学期第二次质检考试数学试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷选择题（共60分）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。
1.已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{y|y＝2x+3}，则A∪B＝（）A．[3，4）B．（﹣1，+∞）C．（3，4）D．（3，+∞）2.已知复数z1＝3﹣bi，z2＝1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6 B．﹣6 C．0 D．3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（）A. B. C. D.4.设1tan2α=，4cos(π)((0,π))5ββ+=-∈，则tan(2)αβ-的值为（）A．724-B．524-C．524D．7245.大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（） A.22n n-B.212n -C.212n(-)D.22n6.如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为4的正方形，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7.已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝（4x+4﹣x）|x| B．f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x|C．f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x| D．f（x）＝（4x+4﹣x ）|x |8.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”。
2025届衡水中学高三下学期第六次检测数学试卷含解析
2025届衡水中学高三下学期第六次检测数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54πB ．34π C ．2π D ．3π 2．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ） A ．32B ．32-C ．12D ．12-3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．82+D ．842+4．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．23πC ．πD ．43π 5．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点55P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．210B ．1010C ．7210D ．310106．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭7．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =8．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．25C ．2D ．239．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,1011．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．812．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
衡水中学2019~2020学年高三年级下学期其中考试 · 理数试卷及答案
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高三数学理科·
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请考生在第(22)、 (23)题中任选一题做答， 如果多做， 则按所做的第 一题计分， 做答时请
写清题亏。
22. (10分）选修4-4: 坐标系与参数方程
x= 1-t2
在平面直角坐标系xOy中， C正
I +t2 (t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正 轴为
10
5
C. 一3
o.3-
10
5
6.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1, 2. 3, 4. 5, 6, 比 结果设特等奖一名，A, R,
, D四名同学对于谁获得特等奖进行预测
A说：不是1号就是2号获得特等奖；
A. f(x)是偶函数 . B. /(x)在［一冗， 01 上恰有一 个零点
C. /(x)是周期函数
2
<a<-25
@a::::1,-2<b<O
@a=1,一一9 <b<-2或b=O
4
@4个极小值点 ®1个极小值点 (7)6个零点
@4个零点
三、解答题： （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
试研究，一个三角形能否同时具有以下两个性质； (1)三边是连续的三个自然数；
(2)最大角是最小角的2倍
A. (-1,0]
8. (-1,0)
C. (---00,l)
D. (---oo,-1)
2.iz =-l+i (其中i是虚数单位），则复数z的共辄复数在复平面内对应的点位于
A. 第 一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
J. 已知a=沪，心1 ）-21 ，c =2log, 2则a. b, c的大小关系为
2019—2020学年度衡水中学高三下期中理科数学答案
理科数学期中答案 一、选择题1. 【解析】由题得{|0}A x x =<，{|11}B x x =-<<，根据并集的定义知：{|1}A B x x ⋃=<，故选：C ．2.【解析】由i 1i z =-+，得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-，1z i =-∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，故选D. 3.【解析】， 2.12.1212422b -⎛⎫⎝⎭=>==⎪，5552log 2log 4log 51c ==<=，∴c a b <<.故选：B.4.【解析】5.【解析】6.【解析】因为C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，则B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，则获得特等奖的是：3号同学.故选：C.7.【解析】由题可知，程序框图的运行结果为31，当1S =时，9i =；当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =；当198725S =+++=时，6i =；当1987631S =++++=时，5i =.此时输出31S =.故选：C.8. 【解析】设“衰分比”为q ，甲获得的奖金为1a ， 则()()()23111111168780a a q a q a q +-+-+-=.()211136200a a q +-=，解得10.1,20000q a ==，故()31114580a q -=.故选：B .9.【解析】对于A ，函数()cos |sin |f x x x =-，定义域为R ，且满足()cos()|sin()|cos |sin |()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为定义域R 上的偶函数，A 正确；对于B ，[,0]x π∈-时，sin 0x …，()cos |sin |cos sin 24f x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上恰有一个零点是4π-，B 正确； 对于C ，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数，C 正确；对于D ，[,0]x π∈-时，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上先减后增，D 错误．故选D ．10. 【解析】由题意设()()()323,2g x x x h x m x -+=+()g x ∴在()(),0,2,-∞+∞递减，在()0,2上递增，且()()()32030,22324g g g ===-+⋅=Q 存在唯一的正整数0x，使得()00f x >，即()()00g x h x >∴由图得02x =，则()()()()02211m g h g h ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即044133m m m>⎧⎪>⎨⎪-+≤⎩，解得21,3m m ≤<∴的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C. 11.【解析】由2123(2)02c e e c -++=r u r u u r r g 推出2212122(2)312244e e e e c ⎛⎫++-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭u r u u r u r u u rr ，所以122122e e c +-=u r u u r r ，如 图，c r 终点的轨迹是以12为半径的圆，设12OA e OB e ==u u u r u r u u u r u u r ，，1OC c OD te ==u u u r r u u u r u r ，，所以1||c te -r u r 表示 CD 的距离，显然当CD OA ⊥时最小，M 的最大值为圆心到OA 的距离加半径，即max 1sin 602M =︒+g 1232+=故选：A12.二、填空题 1314.当1n =时，2111112a S +===；当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=. 11a =适合n a n =，所以，对任意的n *∈N ，n a n =.()()()()211211111111n n n n nn n n n a a n b a n n +++⎛⎫-=-+ ⎪++⎝=-=⋅⎭Q ，因此，()()11111111122311nn n T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 故答案为：20202021-. 15.16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题 17.18解：（1）作//MP AB 交BC 于点P ，//NQ AB 交BE 于点Q ，连接PQ ，依题意可得//MP NQ ，且MP NQ =，即MNQP 是平行四边形．MN PQ ∴=由已知，CM BN a ==，1CB AB BE ===，∴11AC BF CP BQ ===即CP BQ ==∴MN PQ ===a =<<由（1）MN =所以，当2a =时，2MN = 即M ，N 分别移动到AC ，BF 的中点时， MN（2）取MN 的中点G ，连接AG 、BG ，AM AN =Q ，BM BN =，AG MN ∴⊥，BG MN ⊥， AGB ∴∠即为二面角α的平面角．又AG BG =，所以由余弦定理有2211cos 3α+-==-． 19.解；（Ⅰ）由||4AB =，且B 在圆上，由抛物线的和圆的对称性可得(2,1)B ， 代入抛物线可得42p =，解得2p =，∴抛物线E 的方程为24x y =；（Ⅱ）设1(C x ，211)4x ，2(D x ，221)4x ，由24x y =，可得214y x =， 12y x ∴'=， 则1l 的方程为：211111()42y x x x x -=-，即2111124y x x x =-，①，同理2l 的方程为：2221124y x x x =-，②， 联立①②解得121()2x x x =+，1214y x x =，又CD 与圆225x y +=切于点0(P x ，0)y ，易得CD 方程为005x x y y +=，其中0x ，0y 满足2205x y +=，0[1y ∈， 联立20045x y x x y y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，化简得2004200y x x x +-=，01204x x x y ∴+=-，12020x x y =-， 设(,)M x y ，则012021()2x x x x y =+=-，120154y x x y ==-，002(x M y ∴-，05)y -， ∴点M 到直线005CDx x y y +=距离为200210|55|210x y d ----+==易知d 关于0y单调递减，dmax ==即点M到直线CD．20.解：（1）令，得x＝1，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以f（x）的极小值为f（1）＝﹣1＜0，又，∴f（x）在区间（0，1）上存在一个零点x1，此时k＝0；∵f（3）＝3﹣ln3﹣2＝1﹣ln3＜0，f（4）＝4﹣ln4﹣2＝2﹣2ln2＝2（1﹣ln2）＞0，∴f（x）在区间（3，4）上存在一个零点x2，此时k＝3．综上，k的值为0或3；（2）当x＝1时，不等式为g（1）＝1＞0．显然恒成立，此时m∈R；当0＜x＜1时，不等式可化为，令，则，由（1）可知，函数f（x）在（0，1）上单调递减，且存在一个零点x1，此时f（x1）＝x1﹣lnx1﹣2＝0，即lnx1＝x1﹣2，当0＜x＜x1时，f（x）＞0，即g'（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x1＜x＜1时，f（x）＜0，即g'（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴g（x）有极大值即最大值为，于是m＞x1．当x＞1时，不等式可化为，由（2）可知，函数f（x）在（3，4）上单调递增，且存在一个零点x2，同理可得m＜x2．综上可知x1＜m＜x2．又∵x1∈（0，1），x2∈（3，4），∴正整数m的取值集合为{1，2，3}．21。
河北省衡水中学2023届高三下学期第六周周测数学(理)试题
河北省衡水中学2017届高三下学期第六周周测数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地）1、复数2(1)1i z i+=-地共轭复数所对应地点位于复平面地A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、已知等比数列{}n a 中,257a a -+=⎰,则6468(2)a a a a ++=地值为A ．216π B ．24π C ．22π D ．2π3、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>且经过点,则双曲线C 地标准方程为A ．22123x y -=B ．22139x y -=C ．22146x y -= D ．221x y -=4、阅读如图地程序框图,如输入4,6m n ==,则输出地,a i 分别等于A ．12,2 B ．12,3 C ．24,2 D ．24,35、已知条件p 关于x 地不等式13x x m -+-<有解；条件():(73)xq f x m =-为减函数,则p 成立是q 成立地A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示地区域D,过区域D 中任意一点P 作圆地两条切线且切点分别为A 、B,当APB ∠最大时,cos APB ∠=AB ．12 C．．12-7、已知(0,)απ∈,若1tan()43πα-=,则sin 2α=A ．45-B ．45C ．54-D ．548、一个几何体地三视图如下图所示,正视图与侧视图为全等地矩形,俯视图为正方形,则该几何体地体积为 A ．8 B ．4 C ．83 D ．439、已知F 为抛物线24y x =地焦点,点A 、B 在该抛物线上,0OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）,则ABO ∆与BFO ∆面积之差地最小值是A ．4B ．8C ．．10、若函数111ln y x x =,函数223y x =-,则221212()()x x y y -+- 地最小值为A B ．1 C D ．211、若非零向量a 与向量b 地夹角为钝角,2b = ,且当12t =-时,()b ta t R -∈ ,向量c 满足()()c b c a -⊥- ,则当()c a b ⋅+ 取最大值时,c b -等于A B ． C ．．5212、已知函数()2ln ()()x x b f x b R x +-=∈,若存在1[,2]2x ∈,使得()()0f x xf x '+>,则实数b地取值范围是A ．3(,)2-∞ B ．9(,)4-∞ C ．(,3)-∞ D ．(-∞第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把解析填在答题卷地横线上。
2019届河北省衡水中学高三下学期六调数学(理)试题(解析版)
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【详解】 ∵在直观图△ A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，
∴S′ 1 A′B′•B′C′•sin45° 9 2
2
4
由斜二侧画法的画图法则，可得在△ ABC 中，AB＝6．BC＝3，且 AB⊥BC
∴S 1 AB•BC＝9 2
则由 S＝kS′得 k＝2 2 ，则 T＝T 2 k （m﹣1）＝T 2（m﹣1） 2
的直线 l 与 x 轴, y 轴分布交于点 P , Q 两点,则 POQ 面积的最小值为（ ）
A． 1 2
【答案】D
B． 4 3
C．1
D． 2 3
【解析】由点 H 在椭園 x2 y2 1上,知 H (3cos , 2sin ) ,由点 H (3cos , 2sin ) 94
作圆 x2 y2 2 的两条切点,点 A , B 为切点,知直线 AB 的方程为：
x
其中为“柯西函数”的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由柯西不等式得：对任意实数 x1, y1, x2 , y2 ,
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22 0 恒成立（当且仅当存在实数 k ,使得
x1 kx2, y1 ky2 取等号）,若函数 f x 在其图象上存在不同的两点 A x1, y1, B x2, y2 ,
8．双曲线 的左右焦点分别为 ， ，且 恰为抛物线
的焦点，设双曲线 与该
抛物线的一个交点为 ，若 为（ ） A．
是以 为底边的等腰三角形，则双曲线 的离心率 B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：∵
，∴焦点为 ，即 ，
∵
，∴
衡水市衡水中学2019年高考下学期六调考试理科数学试题卷含答案详析
文科数学试卷
第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案 的序号涂在答题卡上）
1.设全集U x N | 1 x 5，集合 A 1，3，则集合 CU A 的子集的个数是（ ）
因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N，f（n）∉N 且 f（n）≤n”的否定形式是： ∃n0∈N，f（n0）∈N 或 f（n0）＞n0，故选 C． 点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含 义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对 集合 M 中的每个元素 x，证明 p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合 M 中的一个特殊 值 x0，使 p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个 x＝x0，使 p(x0)成 立即可，否则就是假命题.
1 4.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 4 ，则该椭圆的离心
率为 ( )
1
1
A. 3
B. 2
2
3
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
l
试题分析：不妨设直线
:
x c
y b
1 ，即 bx
cy
bc
0
椭圆中心到 l
的距离
| bc | 2b b2 c2 4
∴ ab 40 ．
由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cos C ， 即 49 a2 b2 ab (a b)2 3ab (a b)2 120 ， 解得 a b 13 ． ∴ a b c 20 ．
河北省衡水中学2019届高三数学六调考试试题理(含解析)
2018～2019学年度第二学期高三年级六调考试理科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知，，为虚数单位，且，则的值为（）A. 4B.C. -4D.【答案】C【解析】试题分析：根据复数相等的概念可知，，∴，∴，故选C 考点：本题考查了复数的运算点评：熟练掌握复数的概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题2.已知集合，，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由得，故，选项为C.考点：集合间的关系.【此处有视频，请去附件查看】3.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，则的面积为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】画出△ABC，通过，2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．【详解】由题意可知，P为AC的中点，2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC2．所以S△APQ．故选：B．【点睛】本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. 8 D. 4【答案】D【解析】试题分析：因为一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，所以菱形的边长为，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为，侧棱长为，所以几何体的表面积为：，故选D．考点：1、三视图；2、多面体的表面积．【此处有视频，请去附件查看】5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.【详解】设正方形的边长为则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积为：黑色部分面积为：则所求概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题.6.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，将函数化为再向左平移（）个单位即为:又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即时函数值为最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.考点：对定义的理解能力,三角函数恒等变性, 三角函数图象及性质.7.已知，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，，，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．【详解】，，，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．【点睛】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．8.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．考点：抛物线的标准方程及几何性质．9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的的直观图，其中轴，轴.若，设的面积为，的面积为，记，执行如图②的框图，则输出的值A. 12B. 10C. 9D. 6【答案】A【解析】【分析】由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S及k值，模拟程序的运行过程，分析变量T的值与S值的关系，可得答案．【详解】∵在直观图△A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，∴S′A′B′•B′C′•sin45°由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC中，AB＝6．BC＝3，且AB⊥BC∴S AB•BC＝9则由S＝kS′得k＝2，则T＝T（m﹣1）＝T2（m﹣1）故执行循环前，S＝9，k＝2，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝0，m ＝2当T＝0，m＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3当T＝2，m＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4当T＝6，m＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5当T＝12，m＝5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12，故输出的结果为12故选：A．【点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10.如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则（）A. ；B. ；C. ；D.【答案】A【解析】，猜想,,,故选A.11.过椭圆上一点作圆的两条切线，点，为切点，过，的直线与轴，轴分别交于点，两点，则的面积的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】试题分析：：∵点在椭圆上，∴设，∵过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，则∴以O为圆心，以|AM|为半径的圆的方程为①．又圆的方程为②．①-②得，直线AB的方程为：∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，∴P，Q，∴△POQ面积，∵-1≤sin2θ≤1，∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值．考点：圆与圆锥曲线的综合12.若函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①：②：③:④.其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13.若等比数列的第5项是二项式展开式的常数项，则________【答案】【解析】，则其常数项为，所以，则14.已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：∵，，，，，∴，又∵∴故本例转化为在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值问题.可作出如右图的可行域，显然在点时为最优解.∵即∴考点：线性规划.15.已知数列的前项和为，且，则使不等式成立的的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.考点：1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.16.若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则________.（写出所有正确结论的编号）①四面体每个面的面积相等②四面体每组对棱相互垂直③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长【答案】【解析】【分析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．【详解】由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积相等，则正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，则错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则正确；由，，，可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则正确．故答案为：．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共62分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17.设的三内角、、的对边长分别为、、，已知、、成等比数列，且. （I）求角的大小；（Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断的形状.【答案】（I）；（Ⅱ）为锐角三角形.【解析】【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的形状．【详解】（I）因为、、成等比数列，则.由正弦定理得.又，所以·因为，则.因为，所以或.又，则，当且仅当a=c等号成立，即故. （Ⅱ）因为，所以.所以当时，取得最小值.此时，于是.又，从而为锐角三角形.【点睛】本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．18.在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.（1）求证：；（2）设为的中点，点在线段上，若直线平面，求的长；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，证明三角形AMF为直角三角形，即可求AF 的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【详解】（1）∵是正三角形，是中点，∴，即.又∵平面，∴.又，∴平面.∴.（2）取中点，连接，则平面，又直线平面，EG∩EF=E所以平面平面，所以∵为中点，，∴.∵，，∴，则三角形AMF为直角三角形，又，故（3）分别以，，为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，∴，，，.为平面的法向量.，.设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，则平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则.所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从，两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900.（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：（3）若采用分层轴样，按照学生选择题目或题目，将成绩分为两层，且样本中题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差.【答案】（1）667（2）4130（3）平均数为7.2，方差为3.56 【解析】 【分析】（1）由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和。
河北省衡水中学2019届高三下学期大联考(理数)
河北省衡水中学2019届高三下学期大联考数 学（理科）本试卷共4页，23题(含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，甩2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸莉答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}1|{≥=x x M ，})2(|{212x x y x N -==，则集合=N M I A ．φB ．),2(+∞C ．),2[+∞D ．]2,1[2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足：i 32)i 1(-=-z ，则z 的虚部为A ．21-B ．2i -C ．21D ．253．已知抛物线)0(22>=p py x C ：的焦点F 在直线4=+y x l ：上，则点F 到C 的准线的距离为A ．2B ．4C ．8D ．164．下图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图（其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比），则下列说法错误的是A ．2018年下半年我国原油进口总量高于2018年上半年B ．2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高 1152万吨C ．2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D ．2018年1月－5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减5．已知)2,1(A ，)3,2(B ，),1(m C -，若||||BC BA BC BA -=+，则=ACA ．6B ．52C ．16D ．206．已知函数2)1(2)(3-+'-=a f x x x f ，若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在点))(,(a f a 处的切线方程为 A ．02=-y x B ．0=y C ．01610=--y x D ．02=+-y x 7．函数)(x f 的图象可看作是将函数x y cos 2=的图象向右平移6π个单位长度后，荐把图象上所有点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变）而得到的，则函数)(x f 的解析式为 A ．)62cos(2)(π+=x x fB ．)32cos(2)(π+=x x fC ．)621cos(2)(π-=x x fD ．)32sin(2)(π+=x x f 8．设函数2tan )(x x f =，若)2o 1(3g f a =，)2lo (5g f b =，)2(2.0f c =，则A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c <<αD ．c a b <<9．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开．会议期间，工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆住宿，规定同一个代表团的人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排方法种数为 A ．6 B ．12 C ．16 D ．18 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．π3B ．23πC ．π6D ．π1211．已知坐标平面xOy 中，点F 1，F 2分别为双曲线)0(1222>=-a y ax C ：的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，MF 2与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为MF 2的中点，点I 为△OMF 2的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为 A ．2B ．3C ．5D ．512．当x 为实数时，trunc(x )表示不超过x 的最大整数，如trunc(3，1)=3．已知函数)(trunc )(x x f = （其中R x ∈），函数)(x g 满足)6()(x g x g -=，)1()1(x g x g -=+，且]3,0[∈x 时|2|)(2x x x g -=，则方程)()(x g x f =的实根的个数为A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。