2020-2021学年吉林省长春市二道区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年吉林省长春市绿园区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
6．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'．以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∽△A'B'C'
B．点C，O，C'三点在同一条直线上
C．AO：AA'＝1：2
D．AB∥A'B'
7．（3分）如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）使得式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥4B．x＞4C．x≤4D．x＜4
【解答】解：使得式子 有意义，则：4﹣x＞0，
解得：x＜4，
即x的取值范围是：x＜4．
故选：D．
2．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+6的顶点坐标为（ ）
A．（1，6）B．（1，﹣6）C．（﹣1，﹣6）D．（﹣1，6）
20．（8分）如图，已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S△ABC＝2S△OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（8分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，在△ABC中，D是AC边上一定点，请在AB上找出使得△ABC和△ADE相似的点E．
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
23．（10分）如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 若√3=a ，√5=b ，则√45可以表示为( )A. √a 2bB. a √bC. a 2bD. ab2. 下列各组根式是同类二次根式的是( )A. √12与√48B. 2√3与3√2C. √14和√21D. √23和√233. 关于x 的一元二次方程x 2−3x +2−m 2=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实根B. 有两个相等的实根C. 无实数根D. 不能确定4. 将抛物线y =2(x −4)2−1先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得抛物线的顶点坐标为( )A. (0,−3)B. (4,1)C. (8,1)D. (8,−3)5. 如图，下列说法错误的是( )A. 买一张彩票中500万元的概率在图中的大致位置是点MB. 从一副洗匀且背面朝上的扑克牌(大、小王除外)中任意抽取一张，抽到的牌是黑桃的概率在图中的大致位置是点NC. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上面的点数是偶数的概率在图中的大致位置是点PD. 从分别标有数字1，2，3，4，5的五张纸条(除所标数字不同外其余均相同)中任意抽取一张，抽到的纸条标有数字6的概率在图中的大致位置是点Q6. 如图，直线l 1//l 2//l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.若AB BC =23，DE =4，则EF 的长是( ) A. 83B. 203C. 6D. 107.如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，，则拉线AC的长为()A. 6sin 50∘B. 6cos 50∘C. 6cos 50∘D. 6tan 50∘8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，下列说法中①abc<0；②2a+b=0；③当−1<x<3时，y>0；④2c−3b<0.正确的结论有()A. ①②B. ②③④C. ①③D. ①②④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.九(5)班有男生27人，女生23人，班主任发放准考证时，任意抽取一张准考证，恰好是女生的准考证的概率是______．10.解方程：一元二次方程x−1=x2−1的根是．11.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF//AB交BC于点F，量得EF=6m，则AB的长为____m．12.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，若CE=8，则DF的长是_______．13.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1:√3.若点A的坐标为(0,1)，则点E的坐标是________．14.抛物线y=x2−12x−13的顶点为A，与x轴交于B、C两点，则△ABC的面积为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.计算：6tan30°+(−1)2019+√2×(−√6)16.有4张卡片，正面分别写上1，2，3，4，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，先从中任意摸出一张，卡片不放回，再任意摸出一张．(1)请用树状图或列表法表示出所有可能的结果．(2)求摸出的两张卡片上的数之和大于5的概率．17.如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中．阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的25(1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．18.如图，为了测量建筑物AD的高度，小亮从建筑物正前方10米处的点B出发，沿坡度i=1：√3的斜坡BC前进6米到达点C，在点C处放置测角仪，测得建筑物顶部D的仰角为40°，测角仪CE的高为1.3米，A、B、C、D、E在同一平面内，且建筑物和测角仪都与地面垂直求建筑物AD的高度．(结果精确到0.1米参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，√3≈1.73)19.如图是由25个边长为1的小正方形组成的5×5网格，请在图中画出以DE为斜边的2个面积不同的直角三角形．(要求：所画三角形顶点都在格点上)20.一条单车道的抛物线形隧道如图所示，隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．21.已知：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于点F，交CD于点E.求证：BF2=EF·FG．22.在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．(1)如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；(2)如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；(3)如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求AB的值．BC23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以√2cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？(2)是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．24.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=−2x−1与y轴交于点A，与直线y=−x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．(Ⅰ)求过B，C两点的抛物线y=ax2+bx−1解析式；(Ⅱ)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t(−1<t<1)，当t为何值时，四边形PBQC面积最大？最大值是多少？并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是二次根式的乘除和二次根式的化简有关知识．由题意将√45进行变形，再求解即可．【解答】解：∵√3=a，√5=b，∴√45=√9×5=(√3)2×√5=a2b.故选C．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义．先将各二次根式化简为最简二次根式，然后再找出被开方数相同的二次根式即可．【解答】解：A、√12=2√3，√48=4√3，故√12与√48是同类二次根式，故A正确；B、2√3与3√2，被开方数不同，不是同类二次根式，故B错误；C、√14和√21被开方数不同，不是同类二次根式，故C错误；D、√23=√63，√23与√23不是同类二次根式，故D错误．故选：A．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，属于基础题．依题意，计算Δ的值，然后判断其与0的大小关系即可求解．【解答】解：∵a=1，b=−3，c=2−m2，∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×(2−m2)=4m2+1，∵4m2≥0，∴Δ>0.所以方程有两个不相等的实数根．故选A．4.【答案】A【解析】解：抛物线y=2(x−4)2−1的顶点坐标是(4,−1)，将该顶点先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得的顶点坐标是(0,−3)．故选：A．先求出顶点坐标，再根据平移要求得到平移后的顶点坐标．本题考查的是二次函数图象与几何变换，根据平移要求求出平移后的坐标是解题的关键．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．图中点M表示的是必然事件，点Q表示不可能事件；QP之间的位置表示随机事件；找到错误的选项即可．【解答】解：A项，买一张彩票中500万元是随机事件，其发生的概率在图中的大致位置不可能是点M，故A错误;B项，抽到的牌是黑桃的概率是1，故B正确;4C项，朝上面的点数是偶数的概率是1，故C正确;2D项，抽到的纸条标有数字6的概率是0，故D正确．故选A．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键.根据l1//l2//l3，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案．【解答】解：∵l1//l2//l3，∴ABBC =DEEF，又∵ABBC =23，DE=4，∴EF=6.故选C．7.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键，直接利用锐角三角函数关系得出cos50°=BCAC，进而得出答案．【解答】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=50°，BC=6m，∴cos50°=BCAC =6AC，∴AC=6cos50∘．故选B．8.【答案】D【解析】解：抛物线开口向下，则a<0.对称轴在y轴右侧，a、b异号，则b>0.抛物线与y轴交于正半轴，则c>0，所以abc<0，故①正确；抛物线的对称轴是直线x=1，则−b2a=1，b=−2a，所以2a+b=0，故②正确；由图象可知，抛物线与x轴的左交点位于0和−1之间，在两个交点之间时，y>0，在x=−1时，y<0，故③错误；当x=−1时，有y=a−b+c<0，由2a+b=0，得a=−b2，代入得−3b2+c<0，两边乘以2得2c−3b<0，故④正确．故选：D．由抛物线的开口方向判断a，由抛物线与y轴的交点判断c，根据对称轴的位置判断b 及a、b关系，根据抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握二次函数图象的性质是解题的关键9.【答案】2350【解析】【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.依据女生人数除以全班人数，即可得到所求的概率．【解答】解：因为这个班上共有27+23=50名学生，而女生23人，则：任意抽取一张准考证，恰好是女生的准考证的概率是2350，故答案为2350．10.【答案】x=0或x=1【解析】【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，方程右边先移项，再将方程左边因式分解把方程转化为两个一元一次方程，解方程即可求解．【解答】解：x−1=x2−1，(x−1)−(x2−1)=0，(x−1)[1−(x+1)]=0，解得x=0或x=1．故答案为x=0或x=1．11.【答案】24【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，属于基础题．先由EF//AB，得出△CEF∽△CAB，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解．【解答】解：∵EF//AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB =ECAC，∵AE=3EC，∴EFAB =ECAC=14，∵EF=6m，∴AB=4EF=24m，故答案为24．12.【答案】8【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，E是AB的中点，∴AB=2CE=16，∵D、F分别是AC、BC的中点，∴DF=12AB=8，故答案为8．13.【答案】(√3,√3)【解析】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：√3，∴OA：OD=1：√3，∵点A的坐标为(0,1)，即OA=1，∴OD=√3，∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=√3．∴E点的坐标为：(√3,√3)，故答案为：(√3,√3).由题意可得OA：OD=1：√3，又由点A的坐标为(0,1)，即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．本题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．14.【答案】343【解析】解：∵抛物线顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)，∴抛物线顶点坐标为(6,−49)，∵当y=0时，x2−12x−13=0，解得：x=13或−1，∴抛物线与x轴交点为(−1,0)和(13,0)，∴BC=14，∴△ABC的面积S=12×14×49=343，故答案为：343．根据抛物线顶点坐标公式即可求得抛物线顶点坐标，易求得抛物线与x轴交点，即可求得BC的值，即可解题．本题考查了抛物线与x轴交点坐标的求解，考查了抛物线顶点坐标的求解，本题中求得抛物线顶点坐标是解题的关键．15.【答案】解：原式=6×√33−1−2√3=2√3−1−2√3=−1．【解析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16.【答案】【解答】解：(1)根据题意画图如下：共有12种等情况数；(2)根据(1)可得：共有12种等情况数，摸出的两张卡片上的数之和大于5的有4种，则摸出的两张卡片上的数之和大于5的概率是412=13．【解析】【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验．(1)首先根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数；(2)根据(1)得出所有等可能的结果数和两张卡片的数字之和大于5的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．17.【答案】解：(1)设条纹的宽度为x米．依题意得(5−2x)(4−2x)=(1−25)×5×4，解得：x1=4(不符合，舍去)，x2=12．答：配色条纹宽度为12米；(2)条纹造价：25×5×4×200=1600(元)其余部分造价：(1−25)×4×5×100=1200(元)∴总造价为：1600+1200=2800(元)答：地毯的总造价是2800元．【解析】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．(1)设条纹的宽度为x米，根据等量关系：空白部分面积=整个地毯面积的3，列出方程5求解即可；(2)根据总价=单价×面积，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解．18.【答案】解：延长EC交AB于F，作EM⊥AD于M，则四边形MAFE为矩形，∴MA=EF，ME=AF，∵斜坡BC的坡度i=1：√3，BC=6，∴CF=3，BF=3√3，∴ME=AF=10+3√3，EF=4.3，，在Rt△DEM中，tan∠DEM=DMME∴DM=ME⋅tan∠DEM≈(10+3√3)×0.84≈12.76，∴AD=DM+AM=4.3+12.76=17.06≈17.1，答：建筑物AD的高度约为17.1米．【解析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．延长EC交AB于F，作EM⊥AD于M，根据坡度的定义求出BF、CF，根据正切的定义求出DM，再计算即可．19.【答案】解：如图1和图2，所示△DEF即为所求．【解析】本题考查了作图−应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．DE=√42+22=2√5，根据勾股定理逆定理，在图1中画等腰直角三角形，直角边长为√32+12=√10；在图2中画有一条直角边为2，另一条直角边为4的直角三角形即可．20.【答案】解：(本题答案不唯一)如图所示：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，∴A(−4,0)，B(4,0)，C(0,6)，设这条抛物线的表达式为y=a(x−4)(x+4)，∵抛物线经过点C，∴−16a=6，∴a=−3，8x2+6，(−4≤x≤4)．∴抛物线的表达式为y=−38(2)当x=1时，y=45，8∵4.4+0.5=4.9<45，8∴这辆货车能安全通过这条隧道．【解析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式，平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．(1)以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，利用待定系数法即可解决问题．(2)求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∴△ABF∽△CEF，△AGF∽△CBF，∴BF︰EF=AF︰CF，AF︰CF=FG︰BF，∴BF︰EF=FG︰BF，∴BF2=EF·FG．【解析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得AB//CD，AD//BC，再根据相似三角形的判定和性质即可解答．22.【答案】解：(1)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∵BC=2AB，∴BF=2AB，∴∠AFB=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AFB=∠CBF=30°，∴∠CBE=12∠FBC=15°；(2)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴AFDE =ABDF，∴AF⋅DF=AB⋅DE，∵AF⋅DF=10，AB=5，∴DE=2，∴CE=DC−DE=5−2=3，∴EF=3，∴DF=√EF2−DE2=√32−22=√5，∴AF=10√5=2√5，∴BC=AD=AF+DF=2√5+√5=3√5．(3)过点N作NG⊥BF于点G，∵NF=AN+FD，∴NF=12AD=12BC，∵BC=BF，∴NF=12BF，∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，∴△NFG∽△BFA，∴NGAB =FGFA=NFBF=12，设AN=x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN=NG=x，设FG=y，则AF=2y，∵AB2+AF2=BF2，∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解得y=43x.∴BF=BG+GF=2x+4x=10x.∴ABBC =ABBF=2x103x=35．【解析】(1)由折叠的性质得出BC=BF，∠FBE=∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB=30°，可求出答案；(2)证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出AFDE =ABDF，可求出DE=2，求出EF=3，由勾股定理求出DF=√5，则可求出AF，即可求出BC的长；(3)过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，NGAB =FGFA=NFBF=12，设AN=x，设FG=y，则AF=2y，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解出y=43x，则可求出答案．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)如图1中，连接BP．在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，∴AB=4√2∵点B在线段PQ的垂直平分线上，∴BP=BQ，∵AQ=√2t，CP=t，∴BQ=4√2−√2t，PB2=42+t2，∴(4√2−√2t)2=16+t2，解得t=12−8√2或12+8√2(舍弃)，∴t=12−8√2s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．(2)①如图2中，当PQ=QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．则有PA=√2AQ，∴4−t=√2⋅√2t，．解得t=43②如图3中，当AP=PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．则有：AQ=√2AP，∴√2t=√2(4−t)，解得t=2，s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．综上所述：t=43(3)如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F.则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．∵S =S △QNC +S △PCQ =12⋅CN ⋅QF +12⋅PC ⋅QE =12t(QE +QF)=2t(0<t <4)．【解析】(1)连接PB ，由点B 在线段PQ 的垂直平分线上，推出BP =BQ ，由此构建方程即可解决问题；(2)分两种情形分别构建方程求解即可；(3)如图4中，连接QC ，作QE ⊥AC 于E ，作QF ⊥BC 于F.则QE =AE ，QF =EC ，可得QE +QF =AE +EC =AC =4.S 根据=S △QNC +S △PCQ =12⋅CN ⋅QF +12⋅PC ⋅QE ，计算即可；本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 24.【答案】解：(Ⅰ)联立两直线解析式可得{y =−xy =−2x −1，解得{x =−1y =1， ∴B 点坐标为(−1,1)，又C 点为B 点关于原点的对称点，∴C 点坐标为(1,−1)，把B 、C 三点坐标代入可得{a −b −1=1a +b −1=−1, 解得{a =1b =−1, ∴抛物线解析式为y =x 2−x −1；(Ⅱ)①当四边形PBQC 为菱形时，则PQ ⊥BC ，∵直线BC 解析式为y =−x ，∴直线PQ 解析式为y =x ，联立抛物线解析式可得{y =x y =x 2−x −1， 解得{x =1−√2y =1−√2或{x =1+√2y =1+√2， ∴P 点坐标为(1−√2,1−√2)或(1+√2,1+√2)；②当t =0时，四边形PBQC 的面积最大．理由如下：如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，则S四边形PBQC =2S△PBC=2×12BC⋅PD=BC⋅PD，∵线段BC长固定不变，∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大，又∠PED=∠AOC(固定不变)，∴当PE最大时，PD也最大，∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，∴P点坐标为(t,t2−t−1)，E点坐标为(t,−t)，∴PE=−t−(t2−t−1)=−t2+1，∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．【解析】本题考查二次函数的综合应用、待定系数法、菱形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建方程组确定两个函数交点坐标．学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．(Ⅰ)首先求出B、C两点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；(Ⅱ)①当四边形PBQC为菱形时，可知PQ⊥BC，则可求得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标；②过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，由∠PED=∠AOC，可知当PE最大时，PD也最大，用t可表示出PE的长，可求得取最大值时的t的值．。
吉林省长春市二道区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
（1）求证：△DAE∽△DC式．
（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．
22．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量 （件 与销售价 （元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求剩余木料的面积．
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出块这样的木条．
18．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=_______cm．
12．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ，那么n的值为_____．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是_____．
（1）小李同学抽到物理实验题目①这是一个事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．
（2）小张同学对物理的①、②和化学的c号实验准备得较好，请用画树形图（或列表）的方法，求他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．
精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1. 方程x2-2x=0的根是（）A. x1=x2=0B. x1=x2=2C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=-2【答案】C【解析】根据因式分解法解一元二次方程的方法，提取公因式x可得x（x-2）=0，然后按照ab=0的形式的方程解法，可得x=0或x-2=0，解得x1＝0，x2＝2.故选C.点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.2. 抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交点坐标为（）A. (3，0)B. (0，﹣1)C. (2，﹣1)D. (0，3)【答案】D【解析】【分析】把x=0代入抛物线解析式即可．【详解】解:把x=0代入y＝x2﹣4x+3，y=3,∴抛物线与y轴交点坐标为（0,3），故选D．【点睛】本题考查了抛物线与y轴交点坐标，知道y轴上的点的横坐标为0是解题关键．3. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和35%，则口袋中白色球的个数可能是（）A. 6个B. 14个C. 20个D. 40个【答案】C【解析】【分析】根据题意先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和35%，∴摸到白球的频率为1-15%-35%=50%，故口袋中白色球的个数可能是40×50%=20（个）．故选：C．【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意掌握频率=所求情况数与总情况数之比．4. 如图, 边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（）A. 23B. 33C. 3D. 63【答案】B【解析】【分析】作DF⊥BC，根据边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，得出DE＝2，BD＝2，解直角三角形求出DF 3详解】解：作DF⊥BC，∵在边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，∴DE＝2，BD＝2，∴DF＝BD•sin∠B＝2×3 2＝3，∴四边形BCED的面积为：12DF×（DE＋BC）＝12×3×（2＋4）＝33．故选：B．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质、三角形中位线的性质以及解直角三角，根据DE为中位线，得出DE、BD的长是解决问题的关键．5. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都在⊙O上．若∠1＝55°，则∠2的大小为（）A. 55°B. 45°C. 35°D. 25°【答案】C【解析】【分析】如图，连接,OE由圆周角定理可得，21110AOE∠=∠=︒，再利用平角的定义求解∠BOE，再利用圆周角定理可得：1 22BOE∠=∠，从而可得答案．【详解】解：如图，连接,OE1=55∠︒，21110AOE∴∠=∠=︒，18011070BOE∴∠=︒-︒=︒，12352BOE ∴∠=∠=︒， 故选：.C【点睛】本题考查的是圆周角定理，平角的定义，掌握圆周角定理是解题的关键．6. 如图，在平面直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则m 的值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 94【答案】B【解析】【分析】 过P 作PQ x ⊥轴于Q ，利用坐标分别求解,OQ PQ ，再利用tan PQ OQα=，从而可得答案． 【详解】解：过P 作PQ x ⊥轴于,Q ()3,,P m3,OQ PQ m ∴==，tan ,PQ OQ α= 4,33m ∴= 4.m ∴=故选：.B【点睛】本题考查的是坐标与图形，锐角三角函数的含义，掌握锐角的正切的定义是解题的关键．7. 如图，⊙O 与正六边形OABCDE 的边OA 、OE 分别交于点F 、G ，点M 为劣弧FG 的中点．若FM ＝22，则⊙O 的半径为（ ）A. 2B. 6C. 22D. 26【答案】C【解析】【分析】 连接OM ，根据正六边形OABCDE 和点M 为劣弧FG 的中点，可得△OFM 是等边三角形，进而可得⊙O 的半径．【详解】解：如图，连接OM ，∵正六边形OABCDE ，∴∠FOG ＝120°，∵点M 为劣弧FG 的中点，∴∠FOM ＝60°，OM ＝OF ，∴△OFM 是等边三角形，∴OM ＝OF ＝FM ＝22．则⊙O 的半径为22．故选：C ．【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线．8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2233y x k =-++经过坐标原点O ，与x 轴的另一个交点为A ．过抛物线的顶点B 分别作BC ⊥x 轴于点C 、BD ⊥y 轴于点D ，则图中阴影部分图形的面积和为（ ）A. 18B. 12C. 9D. 6【答案】A【解析】【分析】 先把原点坐标代入解析式，求出k 的值，得到B 点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和=矩形OCBD 的面积，从而根据矩形面积公式计算即可．【详解】解：把（0，0）代入()2233y x k =-++， 得()220303k -++=， 解得k=6，∴抛物线解析式为()22363y x =-++， ∴B 点坐标为()3,6-， ∵BC ⊥x 轴于C ， 结合抛物线的对称性可得：∴图中阴影部分图形的面积和=矩形OCBD 的面积=3×6=18．故选：A ．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的对称性，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题9. 计算：tan 245°+1＝_____． 【答案】2 ．【解析】【分析】把tan45°＝1代入原式计算即可．【详解】解：tan 245°+1 ＝12+1＝1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题． 10. 若关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ＝0无实数根，则k 的取值范围是_．【答案】k ＞1.【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ＝0无实数根，可得：＜0，再列不等式，解不等式可得答案． 【详解】解： 关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ＝0无实数根， ∴＜0，2241k ∴-⨯⨯＜0，44k ∴-＜0，4k ∴-＜4,-k ∴＞1.故答案为：k ＞1.【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．11. 如图，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ＝60°，则∠C 的大小为_____．【答案】120°．【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C＝180°，然后把∠A的度数代入计算即可．【详解】解：∵圆内接四边形ABCD∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．12. 如图，在ABCD中，点E在边AD上，AE：AD＝2：3，BE与AC交于点F．若AC＝20，则AF的长为_____．【答案】8【解析】【分析】由题意根据四边形ABCD是平行四边形，证出△AEF∽△BCF，然后利用其对应边成比例即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC∴△AEF∽△BCF，∴AE AF BC CF，∵▱ABCD，AD=BC，∴23 AE AE AFBC AD CF＝＝＝，∵AC=20，即AF+CF=20，∴AF=8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识点，熟练掌握并能综合应用相似三角形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．13. 圆心角为90°的扇形如图所示，过AB 的中点作CD ⊥OA 、CE ⊥OB ，垂足分别为点D 、E ．若半径OA ＝2，则图中阴影部分图形的面积和为_____．【答案】2π-【解析】【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE 是矩形，连接OC ，根据全等三角形的性质得到OD=OE ，得到矩形CDOE 是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案．【详解】解：∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，∴四边形CDOE 是矩形，如图，连接OC ，∵点C 是AB 的中点，∴∠AOC=∠BOC ，在△COD 与△COE 中，CDO CEO DOC EOC OC OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△COE （AAS ），∴OD=OE ，∴矩形CDOE 是正方形，,OD CD ∴=∵OC=OA=2， 222OD CD OC +=, 2,OD CD ∴==∴图中阴影部分的面积= ()229022 2.360ππ⨯-=-故答案为：2π-． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．14. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx+5的对称轴为直线x ＝1．若关于x 的一元二次方程250x bx t ++-=（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围为_____．【答案】4≤t ＜13．【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为225y x x =-+，将一元二次方程250x bx t ++-=的实数根可以看做225y x x =-+与函数y=t 的有交点，再由-1＜x ＜4的范围确定y 的取值范围即可求解．【详解】解：∵25y x bx =++的对称轴为直线x=1，∴2b =-，∴225y x x =-+，∴一元二次方程250x bx t ++-=的实数根可以看做225y x x =-+与函数y=t 的有交点， ∵方程在-1＜x ＜4的范围内有实数根，如图，当1x =-时，y=8； 当x=4时，y=13；函数225y x x =-+在x=1时有最小值4；∴4≤t ＜13．故答案为4≤t ＜13．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．三、解答题15. 解方程：x 2﹣4x ﹣3＝0．【答案】x 1＝x 2＝2【解析】【分析】利用配方法解方程.【详解】移项得x 2﹣4x ＝3，配方得x 2﹣4x +4＝3+4，即（x ﹣2）2开方得x ﹣2＝，∴x 1＝，x 2＝2【点睛】考查了利用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．16. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，3；乙袋中有2个球，分别标有数字1，4，这5个球除所标数字不同外其余均相同．从甲、乙两袋中各随机摸出1个球．用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个球上数字之和是4的概率． 【答案】13【解析】【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和摸出的两个球上数字之和是4的情况数，然后利用概率公式即可求解．【详解】解：根据题意列表得：甲袋乙袋02311344467∵共有6种等可能的情况数，其中摸出的两个球上数字之和是4的有2种，∴摸出的两个球上数字之和是4的概率是21=63．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．掌握“列表法与概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键．17. 图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹．（1）在图①中画出线段AB的中点C；（2）在图②中画出线段AB上的一点D，使AD：BD＝4：5．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．【解析】【分析】（1）由题意取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即所求；（2）根据题意取格点J，K，连接JK交AB于点D，点D即为所求．【详解】解：（1）如图，点C即为所求作．（2）如图，点D即为所求作．【点睛】本题考查作图-应用与设计和线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意并灵活运用所学知识解决问题．18. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度BC（精确到1米）．[参考数据：sin63°＝0.89，cos63°＝0.45，tan63°＝1.96]【答案】高度BC约为237米．【解析】【分析】根据题意可得BD＝AD＝80（米），再根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝80（米），在△ACD中，∠ADC＝90°，∴CD＝AD•tan63°＝80×1.96≈156.8（米），∴BC＝BD+CD＝80+156.8＝236.8≈237（米），答：该建筑物的高度BC约为237米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．19. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(2，4)和点B(6，0)．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；(2)直接写出它的开口方向、顶点坐标；(3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在此抛物线上，若x 1＞x 2＞4，则y 1 ________ y 2(填“＞”“＝”或“＜”)．【答案】（1）y ＝－12x 2＋3x ；（2）抛物线开口向下，顶点坐标为(3，92)；（3）＜. 【解析】【分析】（1）把A 点和B 点坐标代入y=ax 2+bx 中得到关于a 、b 的方程组，然后解方程组求出a 、b 即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．（3）根据二次函数的性质求解即可．【详解】(1)∵抛物线y =ax 2+bx 经过点A (2,4)和点B (6,0)， ∴4243660a b a b +=⎧⎨+=⎩解得123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为2132y x x =-+ (2)因为221193(3)222y x x x =-+=--+， 该抛物线开口向下. 顶点坐标为9(3,).2(3)∵124,x x >>对称轴为x =3,102a =-< ∴y 1<y 2故答案为<.【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数表达式之间的转化，二次函数的性质等，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.20. 如图，在ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ．（1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若BC ＝4，∠A ＝30°，求DC 的长．（结果保留π）【答案】（1）证明见解析；（2）2.3π 【解析】【分析】 （1）首先连接OD ，CD ，由以BC 为直径的⊙O ，可得CD ⊥AB ，得出AD=BD ，即可证得//OD AC ，继而可证得结论；（2）由等腰三角形的性质求解30B ∠=︒，再利用三角形的外角的性质求解60DOC ∠=︒， 结合4BC =， 由弧长公式直接求解DC 的长即可．【详解】（1）证明：连接OD ，CD ，∵BC 为⊙O 直径，∴∠BDC=90°，即CD ⊥AB ，∵△ABC 是等腰三角形，∴AD=BD ，∵OB=OC ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴//OD AC ，∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∵D 点在⊙O 上，∴DE 为⊙O 的切线；（2）30,A AC BC ∠=︒=，30B A ∴∠=∠=︒，60DOC ∴∠=︒，4BC =，2OB OC ∴==，6022.1803DC l ππ⨯∴== 【点睛】本题考查的是切线的判定，弧长的计算，等腰三角形的性质，中位线的定义及性质，三角形的外角的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．21. 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价x （元）与该土特产的日销售量y （袋）之间的关系如表：（1）若日销售量y （袋）是每袋的销售价x （元）的一次函数，求y 与x 之间的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w （元）；①求w 与x 之间的函数关系式；②要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【答案】（1）40y x =-+；（2）①250400w x x =-+-；②每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．【解析】【分析】（1）设日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为y=kx+b ，根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式即可；（2）①利用每件利润×总销量=总利润，进而列出二次函数关系式即可；②把①中的二次函数化为顶点式，再利用二次函数的性质求解最大利润可得答案．【详解】解： （1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为y=kx+b ，则15252020k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：140k b =-⎧⎨=⎩ ， 故日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为：40y x =-+（2）①依题意，设利润为w 元，得：()()2104050400w x x x x =--+=-+-②由250400w x x =-+-，整理得：()225225w x =--+∵1-＜0∴当x=25时，w 取得最大值，最大值为225，故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．【点睛】本题考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，列二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解最大利润，掌握以上知识是解题的关键．22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12（x ﹣1）2﹣2与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），第一象限内的点C 在该抛物线上．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）若ABC 的面积为12，求点C 坐标；（3）在（2）问的条件下，直线y ＝mx+n 经过点A 、C ，12（x ﹣1）2﹣2＞mx+n 时，直接写出x 的取值范围．【答案】（1）A （-1，0），B （3，0）；（2）C （5，6）；（3）x ＜-1或x ＞5，【解析】【分析】（1）根据题意令y=0，列出方程然后解方程即可求得A 、B 两点的坐标；（2）由题意根据三角形ABC 的面积求得C 的纵坐标，进而代入解析式即可求得C 的坐标；（3）由题意直接根据图象进行观察分析即可求得x 的取值范围．【详解】解：（1）令y=0，则12（x-1）2-2=0， 解得1213x x =-=，， ∴A （-1，0），B （3，0）；（2）∵A （-1，0），B （3，0），∴AB=4， ∵1122ABC C SAB y ==， ∴12×4×y C =12， 解得y C =6， ∴21(1)262x --=， 解得1253x x ==-，（不符题意，舍去），∴C （5，6）；（3）由图象可知，当21)(122x mx n --+＞时，x 的取值范围是x ＜-1或x ＞5， 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，三角形面积，二次函数与不等式的关系，注意掌握二次函数图象的基本性质以及利用数形结合是解题的关键．23. 如图，在Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点P 从点B 出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC 向点C 运动，同时点M 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿AB 向点B 运动，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，以PQ 、MQ 为邻边作矩形PQMN ，当点P 到达点C 时，整个运动停止．设点P 的运动时间为t （t ＞0）秒．（1）求BC 的长；（2）用含t 的代数式表示线段QM 的长；（3）设矩形PQMN 与ABC 重叠部分图形的面积为S （S ＞0），求S 与t 之间的函数关系式； （4）连结QN ，当QN 与ABC 的一边平行时，直接写出t 的值．【答案】（1）8；（2）1010t -或1010t -；（3）23030S t t =-+（0＜t ＜1），215754522S t t =-+-（1＜t ≤1.6）；（4）57t =或4031t =． 【解析】【分析】（1）由90106ACB AB AC ∠=︒==，，，利用勾股定理求解即可； （2）先求解6,4AM t QB t ==，分两种情况讨论，当0＜t ＜1时，当1＜t ≤1.6时，利用线段的和差可得答案；（3）分两种情况讨论，当0＜t ＜1时，分别求解：,PQ MQ 利用矩形的面积公式即可得到答案，当1＜t ≤1.6时，分别求解：,,PQ MQ MH ，利用直角梯形的面积公式即可得到答案；（4）分两种情况讨论，当0＜t ＜1时，证明MNQ QPB ∽，再利用相似三角形的性质证明：MQ QB =，再列方程求解即可，当1＜t ≤1.6时，证明PQN CBA ∽，再利用相似三角形的性质列方程求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵90106ACB AB AC ∠=︒==，，, ∴22221068BC AB AC =-=-=，（2）由题意得：5,6,BP t AM t ==90810C BC AB ∠=︒==，，，4cos ,5BC B AB ∴== 由AM QB AB +=时，1010,t =1,t ∴=当0＜t ＜1时，,PQ AB ⊥cos ,5QB QB B PB t ∴== 4,55QB t ∴= 4,QB t ∴=1010QM AB AM QB t ∴=--=-；P 的最长运动时间为：8=1.6,5s 而M 的最长运动时间为：105=63s ， 当1＜t ≤1.6时，同理：6,4,AM t QB t == 1010,QM AM QB AB t ∴=+-=-（3）当0＜t ＜1时，如图，由5,4,BP t QB t == 四边形PQMN 为矩形，()()22543,PQ t t t ∴=-=()2310103030,S t t t t =-=-+当1＜t ≤1.6时，同理可得：1010,3,4,QM PN t PQ NH t BQ t ==-===()41010106,BM t t t ∴=--=-3tan ,4AC B BC == 34MH MB ∴=， ()3159106,422MH t t ∴=-=- ()2115915753101045,22222S t t t t t ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭（4）如图，当0＜t ＜1时，如图，当//QN BC 时，,MQN B ∠=∠,NMQ PQB ∠=∠,MNQ QPB ∴∽MN MQ QP QB∴=， ,PQ MN =,MQ QB ∴=10104,t t ∴-=57t ∴=，当1＜t ≤1.6时，如图，当//QN AC 时，同理可得：3,1010,PQ t QM PN t ===-由四边形PQMN 为矩形，90QPN PQM ∴∠=∠=︒，90PQN BQN ∴∠+∠=︒，90//,C QN AC ∠=︒，,QN BC ∴⊥90B BQN ∴∠+∠=︒，,B PQN ∴∠=∠90C QPN ∠=∠=︒，,PQN CBA ∴∽,PN PQ CA CB ∴= 10103,68t t -∴= 808018,t t ∴-=40.31t ∴= 综上，当57t =或4031t =，QN 与ABC 的一边平行 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，锐角三角函数三角形相似的判定与性质，重叠部分的面积，列二次函数关系式，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论思想解决问题是本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+4m （m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)．（1）当m ＝0时，写出这个函数的表达式，并在所给坐标系中画出对应的图象G ．（2）当y 0＝﹣1时，求m 的值．（3）求y 0的最大值．（4）当m ＞0，且当图象G 与x 轴有两个交点时，左边交点的横坐标为x 1，直接写出x 1的取值范围．【答案】（1）2yx ，作图见解析；（2）1225,25m m ==（3）4；（4）2＜1x ＜4．【解析】【分析】 （1）当m=0时，解析式为2y x ，利用描点法画出函数图象即可；（2）把解析式化成顶点式，令顶点纵坐标为1-，解关于m 的方程：2410m m --=，解方程即可求得答案．（3）把204y m m =-+化成顶点式，利用二次函数的最值性质即可求得结果；（4）先求得抛物线与x 轴有一个交点时的m 的取值，再根据当0y 的最大值时m 的值，再确定当2x =时的函数值y ＞0， 从而即可解决问题．【详解】解：（1）当m=0时，这个函数的表达式为2y x ，列表： x2- 1- 0 1 2 y 4 1 0 1 4 描点并连线：图象如下：（2）由()222244y x mx m x m m m =-+=--+， ∵01y =-时， 241m m ∴-+=-2410,m m ∴--=∴425m ±= 1225,2 5.m m ∴==（3）∵()220424y m m m =-+=--+，∴当m=2时，0y 的最大值是4．（4）当抛物线顶点在x 轴上时，240m m -+=，∴m=4或0m =，m ＞0， 4,m ∴=∵()220424y m m m =-+=--+，当m=2时，0y 的最大值是4，∴如图，观察图象可知，当2x =时，2244y x mx m =-+=＞0，所以当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为1x ，则1x 的取值范围是2＜1x ＜4，【点睛】本题属于考查了抛物线与x 轴的交点，一元二次方程的解法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，最值问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．。
吉林省长春市二道区公平中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(含解析)
长春市二道区公平中学 2022-2023 学年九年级上学期期末试题数学考试范围：初中所有内容；考试时间：90 分钟； 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分） 1．（3分）下列各数在数轴上与－1最近的为（ ） A ．－5 B ．6 C ．3 D ．－42．（3分）吉林省突如其来的新冠疫情牵动着亿万人民的心，截至到2022年4月28日16时，全省慈善系统共接收疫情防控捐赠款物约 486680000元，486680000 用科学记数法可表示为（ ） A ．848.66810⨯B ．74.866810⨯C ．84.866810⨯D ．94.866810⨯3．（3分）一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“欢”相对的字是（ ）A ．英B ．雄C ．凯D ．旋4．（3分）不等式36x -≥-的解集在数轴．上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（3分）如图，两条直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，若∠AOE ＝54°，则∠BOD 的大小为（ ）A ．46°B ．54°C ．72°D ．82°6．（3分）如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD 的高度，信号塔CD 对面有一座高15米的瞭望塔 AB ，从瞭望塔顶部 A 测得信号塔顶 C 的仰角为 53°，测得瞭望塔底 B 与信号塔底 D 之间的距离为 25 米，设信号塔 CD 的高度为 x 米，则下列关系式中正确的是（ ）A ．15sin 5325x -︒=B ．15cos5325x -︒=C ．15tan 5325x -︒=D ．25tan 5315x ︒=-7．（3分）如图，在ABC △中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°．用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D ，使ABD △为等边三角形，下列作法不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（3分）如图，正比例函数()0y mx m =>与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，BC x ∥轴，交y 轴于点C ，在射线BC 上取点D ，且BD ＝3BC ，若8ACD S =△，则k 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 9．（3分）分解因式：244m n n -=______．10．（3分）若点()39,1P a a --在第三象限内，且a 为整数，则a 的值是______．11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，OAB △的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0），以点O 为位似中心，在第三象限内作与OAB △的位似比为13的位似图形OCD △，则边CD 的长为______．12．（3分）如图，ABC △是等边三角形，两个锐角都是45°的三角尺的一条直角边在BC 上，则∠1的度数______．13．（3分）如图，点A （2，0），B （0，4），点C 是OB 一点，若∠1＝∠2，则ABC △的面积为______．14．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，点（－2，0），()11,y -，()21,y ，()32,y 在抛物线2y x bx c =++上．若123y y y <<，则3y 的取值范围是______．三．解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）先化简，再求值：()()213a a a ---，其中51a =-．16．（6分）现有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋里装有2个红球，1个黄球；乙袋里装有1个红球，1个白球．这些球除颜色外其余完全相同．（1）从甲袋里随机摸出一个球，则摸到红球的概率为______；（2）从甲袋里随机摸出一个球，再从乙袋里随机摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率．17．（6分）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出 2 件．问：该商品打折前每件多少元？18．（7分）如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BE AC ∥，AE BD ∥．（1）求证：四边形AOBE是菱形；若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面积．19．（7分）本学期开学初，某校初三年级进行了数学学科假期作业验收测试（满分为120分），随机抽取了甲、乙两班各46 名同学的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．甲、乙两班各46 名同学测试成绩的频数分布统计表如下：b．乙班成绩在80≤x＜100 这一组的数据是：81，84，85，86，89，91，92，93，95，97，99，99 c．甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）表中n的值为______．（2）在此次测试中，某学生的成绩是93分，在他所属班级排在前23名，由表中数据可知该学生是______班的学生（填“甲”或“乙”），理由是______．（3）若成绩100分及以上为优秀，按上述统计结果，估计该校初三年级1150名学生成绩优秀的学生人数．20．（7分）图①、图②、图③均为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点P、A、B均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图．不要求写出画法，但要保留必要的痕迹．∥．（1）在图①中，过点P画直线PC AB（2）在图中，过点P画直线PD⊥AB．（3）在图③中，画线段AB的垂直平分线MN．21．（8分）如图中的折线ABC 表示某汽车的耗油量y （单位：L /km ）与速度x （单位：km /h ）之间的函数关系（30≤x ≤120），已知线段BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km /h ，耗油量增加0.002L /km ． （1）当速度为50km /h 、100km /h 时，该汽车的耗油量分别为______L /km 、______L /km ． （2）求线段 AB 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式． （3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？22．（9分）【感知】如图①，在正方形 ABCD 的内部，作∠DAE ＝∠ABF ＝∠BCG ＝∠CDH ，且点 E 、F 、G 、H 分别在 DH 、AE 、BF 、CG 上，根据三角形全等的判定方法，易证：ABF BCG CDH DAE ≌≌≌△△△△．（不需证明） 【类比】如图②，在等边三角形ABC 的内部，作∠ABF ＝∠BCE ＝∠CAD ，AD 、CE 、BF 两两相交于 D 、E 、F 三点． （1）求证：ABF BCE ≌△△． （2）判断：DEF △的形状为 ．【拓展】在图②中，若AB ＝3，CE ＝2，则DF 的长为 ．23．（10分）如图，在Rt ABC △中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，点D 是AB 中点，点P 从点A 出发，沿 AC 方向以每秒 1个单位长度的速度向终点 C 运动，点 Q 以每秒2个单位长度的速度沿折线 AB －BC 向终点 C 运动，连结 PQ ，取 PQ 的中点 E ，连结 DE ，P 、Q 两点同时出发，设点 P 运动的时间为 t 秒． （1）点P 到AB 的距离为______．（用含t 的代数式表示） （2）当点 Q 在 AB 上运动时，求 tan ∠PQA 的值． （3）当 DE 与ABC △的直角边平行时，求 DQ 的长． （4）当DEQ △为直角三角形时，直接写出 t 的值．24．（12分）对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，我们称函数()()2211111222ax bx c x m y ax bx c x m ⎧++-≥⎪=⎨---+<⎪⎩为它的“和谐函数“（其中m 为常数）．设函数222y x mx m =--+的“和谐函数”图象为G ． （1）直接写出图象 G 的函数表达式． （2）若点（2，3）在函数图象上，求 m 的值．（3）当x m ≥时，已知点()11,A m y --关于函数对称轴的对称点A '在函数图象上，若点 ()222,C m y +也在函数图象上，当12y y >时，求 m 的取值范围．（4）当 m ＞0时，若图象 G 到 x 轴的距离为 2m 个单位的点有三个，直接写出 m 的取值范围．长春市二道区公平中学2022—2023学年九年级上学期期末试题·数学参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．【解答】解：∵5436-<-<<，∴413-<-<，∵()143---=，()314--=，∴离1-最近的数是4-，故选：D ．2．【解答】解：8486680000 4.866810=⨯．故选：C ．3．【解答】解：由图知该正方体中，和“欢”相对的字是“凯”，故选：C ．4．【解答】解：不等式36x -≥-，系数化为1得：2x ≤，解集表示在数轴上，如图所示：故选：A ．5．【解答】解：∵OE 平分AOD ∠，54AOE ∠=︒，∴54AOE DOE ∠=∠=︒，∴108AOD ∠=︒，∴18010872BOD ∠=︒-︒=︒．故选：C ．6．【解答】解：过点A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则15AB DE ==米，25AE BD ==米，∵CD x =米，∴()15CE CD DE x =-=-米，在Rt ACE △中，53CAE ∠=︒，∴15tan 5325CE x AE -︒==，故选：C ．7．【解答】解：A ．由作法得D 点为AC 的垂直平分线与BC 的交点，则DA DC =，所以30DAC C ∠=∠=︒，则60BAD ∠=︒，所以ABD △为等边三角形，所以A 选项不符合题意；B ．由作法得BA BD =，而60B ∠=︒，所以ABD △为等边三角形，所以B 选项不符合题意；C ．由作法得D 点为AB 的垂直平分线与BC 的交点，则DA DB =，而60B ∠=︒，所以ABD △为等边三角形，所以C 选项不符合题意；D ．由作法得AD 平分BAC ∠，则45BAD ∠=︒，所以ABD △为不是等边三角形，所以D 选项符合题意．故选：D ．8．【解答】解：∵正比例函数()0y mx m =>与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，∴OA OB =， ∵BC x ∥轴，∴12BOC S k =△，∴2ABC BOC S S k ==△△，∵3BD BC =，∴2CD BC =， ∴22ACD ABC S S k ==△△，∵8ACD S =△，∴28k =，∵0k >，∴4k =，故选：B ． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．【解答】解：244m n n -()241n m =-()()411n m m =+-．故答案为：()()411n m m +-． 10．【解答】解：由题意知39010a a -<⎧⎨-<⎩，解得13a <<，∵a 为整数，∴2a =，故答案为：2．11．【解答】解：过点A 作AH x ⊥轴于H ，∵()4,3A ，()3,0B ，∴431BH =-=，3AH =，由勾股定理得：AB ==，∵OCD △与OAB △位似，且位似比为13，∴3CD =，故答案为：3．12．【解答】解：如图，∵ABC △是等边三角形，∴60B ∠=︒，∴131802180456075B ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：75°．13．【解答】解：由题意可知，4OB =，2OA =，tan 1tan 2∠=∠ ∴OA OCOB OA=，∴1OC =， ∴413BC OB OC =-=-=，∴1132322ABC S BC OA =⋅=⨯⨯=△．故答案为：3． 14．【解答】解：将()2,0-代入2y x bx c =++得420b c -+=，将()21,y 代入2y x bx c =++得21y b c =++，将()11,y -代入2y x bx c =++得11y b c =-+，∵12y y <，∴11b c b c ++>-+，∴0b >，将()32,y 代入2y x bx c =++得342y b c =++，∵13y y <，∴142b c b c -+<++，∴1b >-，∵420b c -+=，∴34240y b c b =++=>，故答案为：30y >．三、解答题（共10小题，满分78分）15．【解答】解：原式22213a a a a =-+-+1a =+，当1a =时，原式11=+=16．【解答】解：（1）∵甲袋里装有2个红球，1个黄球，共有3个球，∴摸到红球的概率为23；故答案为：23； （2）根据题意画图如下：共有6种等可能的结果，摸出的两个球颜色相同的结果有2种，则摸出的两个球颜色相同的概率为2163=． 17．【解答】解：设该商品打折前每件x 元，则打折后每件0.8x 元， 根据题意得，40040020.8x x+=，解得，50x =，检验：经检验，50x =是原方程的解． 答：该商品打折前每件50元．18．【解答】（1）证明：∵BE AC ∥，AE BD ∥，∴四边形AOBE 是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，∴OA OB =，∴四边形AOBE 是菱形； （2）解：作BF OA ⊥于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，4AC =，∴4AC BD ==，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，∴2OA OB ==，∵60AOB ∠=︒，∴sin 22BF OB AOB =⋅∠=⨯=，∴菱形AOBE 的面积是：2OA BF ⋅==19．【解答】解：（1）这组数据的中位数是第23、24个数据的平均数，所以中位数919291.52n +==，故答案为：91.5；（2）这名学生的成绩为93分，小于甲班样本数据的中位数94，大于乙班样本数据的中位数91.5分，说明这名学生是乙班的学生，故答案为：乙；这名学生的成绩为93分，小于甲班样本数据的中位数94分，大于乙班样本数据的中位数91.5分，说明这名学生是乙班的学生； （3）171911504504646+⨯=+（人）， 答：学校1200名学生中成绩优秀的大约有450人． 20．【解答】解：（1）如图①中，直线PC 即为所求； （2）如图②中，直线PD 即为所求；（3）如图③中，直线MN 即为所求．21．【解答】解：（1）设AB 的解析式为：y kx b =+，把()30,0.15和()60,0.12代入y kx b =+中得：300.15600.12k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得110000.18k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴:0.0010.18AB y x =-+，当50x =时，0.001500.180.13y =-⨯+=，由线段BC 上一点坐标()90,0.12得：()0.12100900.0020.14+-⨯=，∴当100x =时，0.14y =，故答案为：0.13，0.14；（2）由（1）得：线段AB 的解析式为：0.0010.18y x =-+；（3）设BC 的解析式为：y kx b =+，把()90,0.12和()100,0.14代入y kx b =+中得：900.121000.14k b k b +=⎧⎨+=⎩解得0.0020.06k b =⎧⎨=-⎩∴:0.0020.06BC y x =-，根据题意得0.0010.180.0020.06y x y x =-+⎧⎨=-⎩ 解得800.1x y =⎧⎨=⎩，答：速度是80/km h 时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1/L km ．22．【解答】【类比】（1）证明：∵ABC △为正三角形，∴CAB ABC BCA ∠=∠=∠，AB BC CA ==．又ABF BCE CAD ∠=∠=∠，∴CBE ACD BAF ∠=∠=∠，在ABF △和BCE △中，BAF CBEAB BCABF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABF BCE ASA ≌△△；（2）解：结论：DEF △是等边三角形．理由：∵ABF BCE ≌△△，同法可得BCE CAD ≌△△，∴AFB BEC CDA ∠=∠=∠，∴60FDE DEF EFD ∠=∠=∠=︒，∴DEF △是正三角形．故答案为：等边三角形；【拓展】如图②中，过点C 作CH BE ⊥于点H ．∵3AB BC ==，2CE =，60CEH ∠=︒，90H ∠=︒，∴cos601EH EC =⋅︒=，CH ==，∴BH ===，∵2BF CE ==，∴2FH =-，∴)123EF EH FH =-=-=，∵DEF△ 是等边三角形，∴3DF EF ==-323．【解答】解：（1）过点P 作PF AB ⊥于点F ，如图：则90PFA ACB ∠=︒=∠，∴sin PF BC A AP AB ==，即610PF t =，解得：35PF t =，故答案为：35t ；（2）在Rt ABC△中，由勾股定理得8AC ===，∴63tan 84PF BC A AF AC ====，∴44343355AF PF t t ==⨯=，∴46255QF AQ AF t t t =-=-=，∴315tan 625tPF PQA QF t ∠===；（3）分情况讨论：①如图，当DE BC ∥时，过P 作PF AB ⊥于点F ，过E 作EG AB ⊥于点G ，∵DE BC ∥，∴B ADE ∠=∠，∴84tan tan 63EG AC ADE B GD BC ∠=====，∴34GD EG =，∵点E 为PQ 中点，EG PF ∥，∴13210EG PF t ==，∴39440GD EG t ==，∵65QF AQ AF t =-=，25DQ t =-，∴1325GQ QF t ==，∴()3725555GD GQ DQ t t t =-=--=-，即975405t t =-，解得：4013t =，∴4015251313DQ =⨯-=； ②当DE AC ∥时，如图，点Q 与B 重合，∴152DQ DB AB ===；综上所述，DQ 的长为1513或5； （4）分情况讨论： ①90EDQ ∠=︒，如图：过P 作PF AB ⊥于F ，则PF ED ∥，∵E 为PQ 的中点，∴D 是FQ 的中点，∴DF DQ =，由（2）可知，45AF t =，∴455DF AD AF t =-=-，∵25DQ AQ AD t =-=-，∴45255t t -=-，解得：257t =； ②当Q 在AB 上，90DEQ ∠=︒时，连接DP ，如图：则DE PQ ⊥，∵E 是PQ 的中点，∴DP DQ =，过P 作PF AB ⊥于F ，由①得：455DF AD AF t =-=-，∵222DP DF PF =+，25DQ t =-，∴()2224352555t t t ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：4t =或0t =（舍去），∴4t =； ③当Q 在BC 上，90DEQ ∠=︒时，连接DP ，如图：则DE PQ ⊥，∵E 是PQ 的中点，∴DP DQ =，过P 作PF AB ⊥于F ，过Q 作QM AB ⊥于M ，∵210BQ t =-，84sin 105QM AC B BQ AB ====，63cos 105BM BC B BQ AB ====，∴()4482108555QM BQ t t ==⨯-=-，()3362106555BM BQ t t ==⨯-=-，∴66561155DM BD BM t t ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，∵222DP DF PF =+，222DQ QM DM =+，∴2222348658115555t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：203t =或8t =（舍去），∴203t =； ④90DQE ∠=︒，如图：过D 作DN BC ⊥于N ，则DN AC ∥，∵D 是AB 的中点，∴N 是BC 的中点，∴132CN BN BC ===，DN是ABC△的中位线，∴142DN AC ==，∵90ACB DQE ∠=∠=︒，90CQP CPQ CQP NQD ∠+∠=∠+∠=︒，∴CPQ NQD ∠=∠，∵90ACB QND ∠=∠=︒，∴CPQ NQD ∽△△，∴PC CQ QN ND =，即816221034t t t --=--，解得：152t =； 综上所述，当DEO △为直角三角形时，t 的值为257或4或203或152．24．【解答】解：（1）()()22221112x mx m x m y x mx m x m ⎧--+-≥⎪=⎨+-+<⎪⎩．（2）当2m ≤时，将()2,3代入2221y x mx m =--+-得34421m m =--+-，解得4m =-，当2m >时，将()2,3代入2112y x mx m =+-+得3221m m =+-+，解得0m =（不符合题意，舍去），∴4m =-．（3）当x m ≥时，2221y x mx m =--+-，抛物线2221y x mx m =--+-的对称轴为直线22mx m -=-=--，∴点()11,A m y --关于直线x m =的对称点为()11,A m y '-+，∴1m m -+≥，解得：12m ≤，∵点C 在抛物线上，∴22m m +≥，解得2m ≥-，∵抛物线开口向下，12y y >，∴点C 在点A 左侧或点A '右侧，∴221m m +<--或221m m +>-+，解得1m <-或13m >-，∴21m -≤≤-或1132m -<≤．（4）把x m =代入2221y x mx m =--+-得2321y m m =-+-，∴抛物线2221y x mx m =--+-与直线x m =交点坐标为()2,321m m m -+-，把x m =代入2112y x mx m =+-+得2312y m m =-+，∴抛物线2112y x mx m =+-+与直线x m =交点坐标为23,12m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，把x m =-代入2112y x mx m =+-+得2112y m m =--+，∴抛物线2112y x mx m =+-+顶点坐标为21,12m m m ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，如图，抛物线2112y x mx m =+-+有2个点满足题意，抛物线2221y x mx m =--+-有1个点满足题意，可得2221212231223212m m m m m m m m m m ⎧-<--+<⎪⎪⎪-+>⎨⎪⎪-+-≥-⎪⎩，解得13m ≤<如图，抛物线2112y x mx m =+-+顶点落在直线2y m =-上，可得2211223122m m m m m m ⎧--+=-⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，解得1m =1333m ≤<或1m =+。
2020-2021学年长春市新区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年长春市新区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A. √12B. √27C. √15D. √18 2. 二元一次方程组{x −y =32x +y =0的解为( ) A. {x =−1y =2B. {x =1y =−2C. {x =−2y =1D. {x =2y =−1 3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，a +b =28，sinA +sinB =75，则斜边c 的长为( )A. 10B. 14C. 20D. 24 4. 如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为( )A. 2：3B. √2：√3C. 4：9D. 9：4 5. 把抛物线y =−2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为( ) A. y =−2 B. y =−2C. y =−2D. y =−2 6. 已知抛物线y =a(x −ℎ)2−7，点A(1,−5)、B(7,−5)、C(m,y 1)、D(n,y 2)均在此抛物线上，且|m −ℎ|>|n −ℎ|，则y 1与y 2的大小关系是( )A. y 1<y 2B. y 1>y 2C. y 1=y 2D. 不能确定 7. 下列检查一个四边形门框是否为矩形的方法中正确的是 ( )A. 测量两条对角线是否相等B. 测量两条对角线是否互相平分C. 测量门框的三个角是否都是直角D. 测量两条对角线的夹角是否为直角8. 在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共20个，除颜色外，其它都相同．小明通过多次摸球实验后发现，其中摸到红球的频率稳定在25%左右．则口袋中红球大约有( )个．A. 5个B. 10个C. 12个D. 15个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.当x满足______的条件时，√−2在数范围内有意义．x10.⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是关于x的方程x2−4x+m=0的两根，且直线l与⊙O相切时，则m的值为______ ．11.成语：水中捞月，瓮中捉鳖，守株待兔所描述的事件为必然事件的是______．12.如图，早上10点小东测得某树的影长为2m，到了下午5时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度约为m.13.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=______．14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于点D，则BD=___________.三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.某个体商贩在一次买卖中同时买进两件上衣，每件都以a元出售，若按成本计算，一件盈利25%，另一件亏本25%，那么该商贩在这次买卖过程中是赚了还是赔本了？赚或赔多少？四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状．17.某体育老师统计了七年级A，B两个班女生的身高，并绘制了如图不完整的统计图表.根据图表中提供的信息，解答下列问题．身高(cm)人数A：145≤x<1502B：150≤x<1556C：155≤x<160mD：160≤x<16513E：165≤x<170nF：170≤x<1755(1)两个班共有女生______ 人，表中m=______ ，扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角是______ 度.(2)身高在170≤x<175(cm)的5人中，A班有3人，B有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队，求这两人来自同一班级的概率．18. 已知△ABC三个顶点的坐标分别A(0,2)，B(3,3)，C(2,1)．(1)画出△ABC；(2)以原点为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在网格图中画出放大后的图形△A1B1C1；(3)在(2)中，△ABC内一点P(a,b)的对应点为P1，直接写出P1的坐标．19. 今年第18号台风“米娜”于10月1号上午出现在温州附近海域．如图，台风“米娜”的中心位于点A处，周围200km都会受到台风影响．现在台风正往南偏东60°的方向移动，在A的正南方300km出有一座小镇B.在台风移动过程中，小镇B是否会受到影响，判断并说明理由．20. 已知：抛物线y=x2+4x+4+m的图象与y轴交于点C，点B与点C的纵坐标相同，一次函数y=kx+b的与二次函数交于A、B两点，且A点坐标为(−1,0)．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)若抛物线对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小，求P点坐标及△PAC周长的最小值．21. 某化妆品店在销售某品牌化妆品时，每套以高出进价的50%标价，已知按标价九折销售该品牌化妆品10套与按标价直降100元销售9套获利相同(1)求该品牌化妆品每套的进价和标价分别是多少元？(2)若该品牌化妆品每套的进价不变，按(1)中的每套的标价出售一批该品牌化妆品，该店平均每月可售出49套；若每套品牌化妆品每降价50元，每月可多售出7套，这批该品牌化妆品总利润w元，求该品牌化妆品降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一点，E是AC延长线上一点，作BE⊥AD交AD的延长线于点F．(1)若BF=EF，求证：△ABF≌△AEF；(2)求证：CD=CE．23. 已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF//BC交AB、AC于E、F．(1)直接写出图1中所有的等腰三角形，并指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？(2)在(1)的条件下，若AB=10，AC=15，求△AEF的周长．(3)如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE//BC交AB于E，交AC于F，请问(1)中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由．24. 已知二次函数y=ax2的图象与直线y=2x−1交于点P(1,m)．(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的解析式，并指出x在和范围内时，y随x的增大而增大．参考答案及解析1.答案：C解析：解：A 、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；B 、27=3×32，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C 、√15是最简二次根式，符合题意；D 、18=2×32，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C ．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．2.答案：B解析：解：{x −y =3①2x +y =0②②+①得：3x =3，解得：x =1，把x =1代入①得：1−y =3，解得：y =−2，所以原方程组的解是{x =1y =−2， 故选：B ．②+①得出3x =3，求出x ，把x =1代入①求出y 即可．本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 3.答案：C解析：解：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∴sinA =a c ，sinB =b c． 又a +b =28，sinA +sinB =75，∴a+b c =75， ∴c =20．故选C ．根据锐角三角函数的概念，结合已知条件得到a，b，c的方程，从而求得c的值．能够熟练运用锐角三角函数的概念进行求解．4.答案：C解析：解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个三角形的面积比为4：9，故选：C．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．5.答案：C解析：由“左加右减、上加下减”的原则解答即可．把抛物线y=−2x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=−2(x+1)2+2．故选：C．6.答案：B解析：解：∵点A(1,−5)、B(7,−5)均在此抛物线上，∴ℎ=1+7=4，2∴抛物线的顶点坐标为(4,−7)，∴a>0，开口向上，∵C(m,y1)、D(n,y2)均在此抛物线上，且|m−ℎ|>|n−ℎ|，∴y1>y2，故选：B．先求得抛物线的对称轴为x=4，再抛物线开口向上，最后根据|m−ℎ|>|n−ℎ|判断C离对称轴比较远，从而判断出y1与y2的大小关系．此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知对称点的坐标得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．7.答案：C解析：解：A、B、D均不符合矩形的判定方法，C符合“有三个角是直角的四边形是矩形”这个判定定理．故选C．8.答案：A解析：解：设有红球x个，根据题意得：x÷20=25%解得：x=5，故选A．设有红球x个，利用频率约等于概率进行计算即可．本题考查了由频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率．9.答案：x<0≥0，且x≠0，解析：解：由题意得，−2x解得x<0．故答案为：x<0．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．本题考查的是二次根式有意义和分式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10.答案：4解析：解：∵直线和圆相切，∴d=r，∴△=16−4m=0，∴m=4．若直线和圆相切，则d=r.即方程有两个相等的实数根，得16−4m=0，m=4．考查了直线和圆的位置关系与数量关系之间的联系，熟练运用根的判别式判断方程的根的情况．11.答案：翁中捉鳖解析：解：水中捞月是不可能事件，翁中捉鳖是必然事件，守株待兔是随机事件，故答案为：翁中捉鳖根据事件的分类进行逐一分析即可．本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．12.答案：4解析：试题分析：根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EDDC =DCFD；即DC2=ED⋅FD，代入数据可得答案．根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；∵∠ECD+∠FCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，∴∠CED=∠FCD，又∵∠EDC=∠CDF=90°，∴Rt△EDC∽Rt△CDF，∴EDDC =DCFD；即DC2=ED⋅FD，∴代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为：4．13.答案：43解析：解：连接BD，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF//BD，且EF=12BD，∵EF=4，∴BD=8，∵BD=8，BC=10，CD=6，∴82+62=102，即BD2+CD2=BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∴tanC=BDDC =86=43，故答案是：43．连接BD，根据中位线的性质得出EF//BD，且EF=12BD，进而利用勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形，求解即可．此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出△BDC是直角三角形是解题关键．14.答案：5解析：过点D作DE⊥AB，∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，∴CD=ED，在Rt△ACD与Rt△AED中，CD=ED，AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AE=AC=6，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴，∴BE=10−6=4，设BD=x，则CD=BC−BD=8−x，∴ED=8−x，在Rt△DEB中，，解得：x=5，即BD=5．故答案为：5．15.答案：解：设第一件上衣的成本为x元，第二件的成本为y元．则a=x(1+25%)；a=y(1−25%)．∴x=45a，y=43a．∴x+y=45a+43a=3215a，32 15a−2a=215a>0故该商贩在这次买卖中赔了．赔了215a元．解析：此题首先要设出原来各自的成本，再根据题意表示售价，最后比较总售价和总进价，进行判断．注意无论是赔，还是赚，其基数都是原来的进价．16.答案：解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0，a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+a2+c2−2ac=0，∴(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0，∴a−b=0，b−c=0，c−a=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．解析：本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系．将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a−b=0，b−c=0，c−a=0，即可判断出△ABC的形状．17.答案：501472解析：解：(1)两个班共有女生：13÷26%=50(人)，C部分对应的人数为：50×28%=14(，人)，即m=14，E部分所对应的人数为：50−2−6−13−14−5=10(人)；扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数为360°×1050=72°，故答案为：50，14，72；(2)画树状图：共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种，∴这两人来自同一班级的概率是820=25．(1)根据D部分学生人数除以它所占的百分比求得总人数，用总人数乘以C、E所占的百分比求得C、E 部分人数，用360°乘以E部分所占百分比可求E部分所对应的扇形圆心角度数；(2)利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和统计图表．18.答案：解：(1)如图所示：△ABC即为所求；(2)如图所示：△A1B1C1即为所求；(3)P1坐标为：(2a,2b)．解析：(1)直接利用已知点坐标进而画出图形即可；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可；(3)直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．此题主要考查了位似变换，正确得出对应点坐标是解题关键．19.答案：解：作BD⊥AC与点D，∵∠BAD=60°，AB=150√3，∴BD=√32∵150√3>200，∴小镇B不会受到台风影响．解析：作BD⊥AC与点D，构造直角三角形，解直角三角形求得BD的长后与200km比较后即可得到是否收到影响．考查了勾股定理及方向角的知识，解题的关键是构造直角三角形，难度不大．20.答案：解：(1)∵点A(−1,0)在抛物线y=x2+4x+4+m上，∴m=−1，∴二次函数的解析式为y=x2+4x+3，∴C点的坐标为(0,3)，则B点的坐标为(−4,3)，设直线AB的解析式为y=kx+b，{−k+b=0−4k+b=3，解得，k=−1b=−1，∴直线AB的解析式为：y=−x−1，即二次函数的解析式为y=x2+4x+3，一次函数的解析式是y=−x−1；=−2，(2)∵二次函数y=x2+4x+3的对称轴为直线x=−42×1由题意可知A和B关于对称轴x=−2对称，直线AB交直线x=−2于P，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，∴把x=−2代入y=−x−1得y=1，∴P(−2,1)，∵A(−1,0)，B(−4,3)，C(0,3)，由勾股定理可得AB=√(−4+1)2+32=3√2，AC=√12+32=√10，∴△PAC周长的最小值为AB+AC=3√2+√10．解析：(1)根据题意，可以求得m的值，从而可以求得二次函数的解析式和一次函数的解析式；(2)在抛物线对称轴上存在一点P，使得△PAC周长最小，根据解析式求得对称轴为直线x=−2，把x=−2代入直线AB的解析式求得P的坐标，由题意可知A和B关于直线x=−2对称，直线AB交直线x=−2于P，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，利用勾股定理求出AC和BC的长即可求出最小值．本题是考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称−最短路线问题，勾股定理的运用，运用数形结合是解题的关键．21.答案：解：(1)设该化妆品的进价为x元，根据题意得：[(1+50%)x×0.9−x]×10=[(1+50%)x−100−x]×9，∴x=900，∴(1+50%)x=1350元，∴该化妆品进价900元，标价1350元．(2)设该化妆品降价y元，根据题意得：W=(49+y50×7)(1350−900−y)=−750(y−50)2+22400，当y=50时，W有最大值22400，∴降价50元，每月获利最大，最大利润为22400元．解析：(1)根据题意列出一元一次方程[(1+50%)x×0.9−x]×10=[(1+50%)x−100−x]×9，即可求解；(2)利润等于销售量×每件的利润，故有W=(49+y50×7)(1350−900−y)=−750(y−50)2+22400，借助二次函数即可求最大值；本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用；熟练掌握利润的求法，能够结合二次函数求函数的最大值是解题的关键．22.答案：解：(1)证明：∵BE⊥AD交AD的延长线于点F，∴∠AFB=∠AFE=90°，又∵BF=EF，AF=AF，∵△ABF≌△AEF(SAS)；(2)∵∠AFB=∠ACB=90°，∴∠CBE=180°−∠AFB−∠BDF=90°−∠BDF，∠CAD=180°−∠ACB−∠ADC=90°−∠ADC，又∵∠ADC=∠BDF，∴∠CBE=∠CAD，又∵∠BCE=∠ACD=90°，BC=AC，∴△BCE≌△ACD(ASA)，∴CE=CD．解析：(1)根据SAS即可证明三角形全等；(2)根据三角形内角和及对顶角的性质得∠CBE=∠CAD，结合已知条件利用ASA即可证明△BCE≌△ACD，进而得出结论．本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和，垂线等知识，重点是掌握证明三角形全等的方法．23.答案：解：如(1)图1中，等腰三角形有；△EOB、△FOC仍为等腰三角形结论：EF=BE+CF．理由：∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵EF//BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO，即EO=EB，FO=FC，∴EF=EO+OF=BE+CF；(2)△AEF的周长为AE+AF+EF=AE+AF+OE+OF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=25．(3)结论：EF=BE−FC．理由如下：同(1)可证得△EOB是等腰三角形；∵EO//BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO−FO=BE−FC．解析：(1)△OEB、△OFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可证EF=BE+FC；(2)利用(1)中结论即可解决问题；(3)思路与(1)相同，只不过结果变成了EF=BE−FC．此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．24.答案：解：(1)点P(1,m)在y=2x−1的图象上∴m=2×1−1，解得m=1，把(1,1)代入y=ax2∴a=1(2)二次函数表达式：y=x2因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大．解析：(1)把点P(1,m)分别代入二次函数y=ax2与直线y=2x−1即可求出未知数的值；(2)把a代入二次函数y=ax2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值．本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性，解题的关键是熟记二次函数的性质．。
2020-2021学年吉林省长春市汽开区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷1.方程x2−2x=0的根是()A. x1=x2=0B. x1=x2=2C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=−22.抛物线y=x2−4x+3与y轴交点坐标为()A. (3,0)B. (0,−1)C. (2,−1)D. (0,3)3.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和35%，则口袋中白色球的个数可能是()A. 6个B. 14个C. 20个D. 40个4.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，DE为△ABC的中位线，则四边形BCED的面积为()A. 2√3B. 3√3C. 4√3D. 6√35.如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都在⊙O上.若∠1=55°，则∠2的大小为()A. 55°B. 45°C. 35°D. 25°6.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3,m)，且OP与x轴正，则m的值为()半轴的夹角α的正切值是43A. 5B. 4C. 3D. 947.如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点.若FM=2√2，则⊙O的半径为()A. 2B. √6C. 2√2D. 2√6(x+3)2+k经过坐标原点O，与x轴的8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−23另一个交点为A.过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于点C、BD⊥y轴于点D，则图中阴影部分图形的面积和为()A. 18B. 12C. 9D. 69.计算：tan245°+1=______ ．10.若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0无实数根，则k的取值范围是______ ．11.如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A=60°，则∠C的大小为______．12.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，AE：AD=2：3，BE与AC交于点F.若AC=20，则AF的长为______ ．13.圆心角为90°的扇形如图所示，过AB⏜的中点C作CD⊥OA、CE⊥OB，垂足分别为点D、E.若半径OA=2，则图中阴影部分图形的面积和为______ ．14.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+5的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+5−t=0(t为实数)在−1<x<4的范围内有实数根，则t的取值范围为______ ．15.解方程：x2−4x−3=0．16.有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，3；乙袋中有2个球，分别标有数字1，4，这5个球除所标数字不同外其余均相同.从甲、乙两袋中各随机摸出1个球.用画树状图(或列表)的方法，求摸出的两个球上数字之和是4的概率．17.图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB的端点均在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹．(1)在图①中画出线段AB的中点C；(2)在图②中画出线段AB上的一点D，使AD：BD=4：5．18.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米.求该建筑物的高度BC(精确到1米)．[参考数据：sin63°=0.89，cos63°=0.45，tan63°=1.96]19.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx经过点A(2,4)和点B(6,0)．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．(2)直接写出它的开口方向、顶点坐标．(3)点(x1,y1)、(x2,y2)均在此抛物线上，若x1>x2>4，则y1______ y2(填“>”、“=”或“<”)．20.如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若BC=4，∠A=30°，求DC⏜的长.(结果保留π)21.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：x(元)152030…y(袋)252010…(1)若日销售量y(袋)是每袋的销售价x(元)的一次函数，求y与x之间的函数关系式；(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w(元)；①求w与x之间的函数关系式；②要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？(x−1)2−2与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，第一象限22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12内的点C在该抛物线上．(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)若△ABC的面积为12，求点C坐标；(x−1)2−2>mx+n时，直接写出x的取值范围．(3)在(2)问的条件下，直线y=mx+n经过点A、C.当1223.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向点C运动，同时点M从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P到达点C时，整个运动停止.设点P的运动时间为t(t>0)秒．(1)求BC的长；(2)用含t的代数式表示线段QM的长；(3)设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(S>0)，求S与t之间的函数关系式；(4)连接QN，当QN与△ABC的一边平行时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，将函数y=x2−2mx+4m(m为常数)的图象记为G，图象G的最低点为P(x0,y0).(1)当m=0时，写出这个函数的表达式，并在所给坐标系中画出对应的图象G．(2)当y0=−1时，求m的值．(3)求y0的最大值．(4)当m>0，且当图象G与x轴有两个交点时，左边交点的横坐标为x1，直接写出x1的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：x2−2x=0x(x−2)=0，解得：x1=0，x2=2．故选：C．直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案．此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．2.【答案】D【解析】解：令x=0，则y=3，∴抛物线y=x2−4x+3与y轴交点坐标为(0,3)．故选：D．令x=0，求出y的值即可．本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和35%，∴摸到白球的频率为1−15%−35%=50%，故口袋中白色球的个数可能是40×50%=20(个)．故选：C．先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】B【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F．∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴AB=BC=AC=4，∠B=60°，又∵DE为中位线，∴DE=12BC=2，BD=12AB=2，DE//BC，∴DF=BD⋅sin∠B=2×√32=√3，∴四边形BCED的面积为：12DF×(DE+BC)=12×√3×(2+4)=3√3．故选：B．过点D作DF⊥BC于点F.根据边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，得出DF=√3，再利用梯形的面积公式求出四边形BCED的面积．此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形中位线的性质，根据DE为中位线，得出DF=√3是解决问题的关键．5.【答案】C【解析】解：连接OE，如图，∵∠AOE=2∠1=2×55°=110°，∴∠BOE=180°−∠AOE=180°−110°=70°，∵∠BOE=2∠2，∴∠2=12×70°=35°．故选：C．连接OE，如图，先利用圆周角定理得到∠AOE=2∠1=110°，则利用邻补角计算出∠BOE=70°，然后再利用圆周角定理计算∠2的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6.【答案】B【解析】解：如图，过点P作PH⊥x轴于H．在Rt△OPH中，tanα=PHOH =43，∵P(3,m)，∴OH=3，PH=m，∴m3=43，∴m=4，故选：B．如图，过点P作PH⊥x轴于H.根据正切函数的定义求解即可．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7.【答案】C【解析】解：如图，连接OM，∵正六边形OABCDE，∴∠FOG=120°，∵点M为劣弧FG的中点，∴∠FOM=60°，OM=OF，∴△OFM是等边三角形，∴OM=OF=FM=2√2．则⊙O的半径为2√2．故选：C．连接OM，根据正六边形OABCDE和点M为劣弧FG的中点，可得△OFM是等边三角形，进而可得⊙O的半径．本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线．8.【答案】A【解析】解：把(0,0)代入y=−23(x+3)2+k，得−23(0+3)2+k=0，解得k=6，∴抛物线解析式为y=−23(x+3)2+6，∴B点坐标为(−3,6)，∵BC⊥x轴于C，∴图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD=3×6=18．故选：A．先把原点坐标代入解析式，求出k的值，得到B点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和=S矩形OCBD，从而根据矩形面积公式计算即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．9.【答案】2【解析】解：tan245°+1=12+1=1+1=2．故答案为2．把tan45°=1代入原式计算即可．本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键，比较简单．10.【答案】k>1【解析】解：根据题意得△=b2−4ac=22−4k<0，解得k>1．故答案为：k>1．根据判别式的意义得到△=22−4k<0，然后解不等式即可．此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△= 0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．11.【答案】120°【解析】解：根据题意得∠A+∠C=180°，所以∠C=180°−60°=120°．故答案为：120°．根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C=180°，然后把∠A的度数代入计算即可．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的对边和相等．12.【答案】8【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC =AFFC，∵AE：AD=2：3，∴AFFC =23，∴AFAC =25，又∵AC=20，∴AF=8，故答案为：8．由平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，可证△AEF∽△CBF，可得AEBC =AFFC，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定是本题的关键．13.【答案】π−2【解析】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，∴四边形CDOE是矩形，连接OC，∵点C是弧AB的中点，∴∠AOC=∠BOC，在△COD与△COE中，{∠CDO=∠CEO ∠DOC=∠EOC OC=OC，∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD=OE，∴矩形CDOE是正方形，∵OC=OA=2，∴OE=√2，∴图中阴影部分的面积=90π×22360−√2×√2=π−2．故答案为：π−2．根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD=OE，得到矩形CDOE 是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．本题考查了扇形面积的计算，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．14.【答案】4≤t<13【解析】解：∵y=x2+bx+5的对称轴为直线x=1，∴b=−2，∴y=x2−2x+5，∴一元二次方程x2+bx+5−t=0的实数根可以看做y=x2−2x+5与函数y=t的有交点，∵方程在−1<x<4的范围内有实数根，当x=−1时，y=8；当x=4时，y=13；函数y=x2−2x+5在x=1时有最小值4；∴4≤t<13．故答案为4≤t<13．根据给出的对称轴求出函数解析式为y=x2−2x+5，将一元二次方程x2+bx+5−t=0的实数根可以看做y= x2−2x+5与函数y=t的有交点，再由−1<x<4的范围确定y的取值范围即可求解．本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．15.【答案】解：移项得x2−4x=3，配方得x2−4x+4=3+4，即(x−2)2=√7，开方得x−2=±√7，∴x1=2+√7，x2=2−√7．【解析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．16.【答案】解：根据题意得：∵共有6种等可能的情况数，其中摸出的两个球上数字之和是4的有2种，∴摸出的两个球上数字之和是4的概率是26=13．故答案为：13．【解析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和摸出的两个球上数字之和是4的情况数，然后利用概率公式即可求解．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：(1)如图，点C即为所求作．(2)如图，点D即为所求作．【解析】(1)取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即为所求作．(2)取格点J，K，连接JK交AB于点D，点D即为所求作．本题考查作图−应用与设计，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18.【答案】解：在△ADB中，∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=80(米)，在△ACD中，∠ADC=90°，∴CD=AD⋅tan63°=80×1.96≈156.8(米)，∴BC=BD+CD=80+156.8=236.8≈237(米)，答：该建筑物的高度BC约为237米．【解析】根据题意可得BD=AD=80(米)，再根据锐角三角函数求解即可．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．19.【答案】(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点A(2,4)和点B(6,0)，∴{4a+2b=436a+6b=0解得{a=−12 b=3∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y=−12x2+3x(2)因为y=−12x2+3x=−12(x−3)2+92，该抛物线开口向下．顶点坐标为(3,92).(3)<．【解析】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)∵x1>x2>4，对称轴为x=3，a=−12<0∴y1<y2故答案为：<．【分析】(1)把A点和B点坐标代入y=ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；(2)把(1)中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．(3)根据二次函数的性质求解即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．20.【答案】(1)证明：连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠B，∵AC=BC，∴∠A=∠B，∴∠ODB=∠A，∴OD//AC，∴∠ODE=∠DEA=90°，∴DE 为⊙O 的切线；(2)解：∵BC =4，∴OB =2，∵∠B =∠A =30°，∴∠DOC =60°，∴DC ⏜的长为60π⋅2180=23π．【解析】(1)连接OD ，由平行线的判定定理可得OD//AC ，利用平行线的性质得∠ODE =∠DEA =90°，可得DE 为⊙O 的切线；(2)求出∠DOC =60°，由弧长公式可得出答案．本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 21.【答案】解：(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y =kx +b 得 {20k +b =2030k +b =10，解得{k =−1b =40， 故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y =−x +40；(2)①依题意，设利润为w 元，得w =(x −10)(−x +40)=−x 2+50x −400；②w =−x 2+50x −400=−(x −25)2+225；∵−1<0∴当x =25时，w 取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．【解析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式即可；(2)利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．22.【答案】解：(1)令y =0，则12(x −1)2−2=0，解得x 1=−1，x 2=3，∴A(−1,0)，B(3,0)；(2)∵A(−1,0)，B(3,0)，∴AB =4，∵S △ABC =12AB ⋅y C =12，∴12×4×y C=12，解得y C=6，∴12(x−1)2−2=6，解得x1=5，x2=−3(不符题意，舍去)，∴C(5,6)；(3)由图象可知，当12(x−1)2−2>mx+n时，x的取值范围是x<−1或x>5，【解析】(1)令y=0，然后解方程即可求得；(2)根据三角形ABC的面积求得C的纵坐标，代入解析式即可求得C的坐标；(3)根据图象即可求得．本题考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=6，AB=10，∴BC=√AB2−AC2=√102−62=8，(2)∵sinB=ACAB =PQBP，BP=5t，∴610=PQ5t，∴PQ=3t，在Rt△PQB中，BQ=√PB2−PQ2=4t，当点M与点Q相遇，10=4t+6t，∴t=1，当0<t≤1时，MQ=AB−AM−BQ，∴MQ=10−4t−6t=10−10t，当1<t≤85时，MQ=AM+BQ−AB，∴MQ=4t+6t−10=10t−10，综上所述：当QM的长度为10−10t或10t−10；(3)当0<t<1时，S=3t×(10−10t)=−30t2+30t；当1<t≤85时，如图，∵四边形PQMN是矩形，∴PN=QM=10t−10，PQ=3t，PN//AB，∴∠B=∠NPE，∴tanB=tan∠NPE，∴ACBC =NEPN，∴NE=68×(10t−10)=152t−152，∴S=3t×(10t−10)−12×(10t−10)×(152t−152)=−152t2+45t−752；(4)∵点Q在AB上，QN不可能平行于AB，∴QN平行于△ABC的一边时可分两种情况：①如图，若NQ//BC，∴∠B=∠MQN，∴tanB=tan∠MQN，∴ACBC =MNMQ，∴68=3t10−10t，∴t=57，②如图，若NQ//AC，∴∠A=∠BQN，∴tanA=tan∠BQN，∴BCAC =MNQM，∴86=3t10t−10，∴t=4031．综上所述：当t=57s或4031s时，QN与△ABC的一边平行．【解析】(1)由勾股定理可求出答案；(2)分两种情况讨论，当0<t≤1时，MQ=AB−AM−BQ，当1<t≤85时，MQ=AM+BQ−AB，则可得出答案；(3)分两种情况讨论，由面积公式可求出答案；(4)分两种情况讨论，由锐角三角函数可求出答案．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．24.【答案】解：(1)当m=0时，这个函数的表达式为y=x2，图象如下：(2)y=x2−2mx+4m=(x−m)2−m2+4m，∵y0=−1时，−m2+4m=−1∴m1=2+√5，m2=2−√5(3)∵y0=−m2+4m=−(m−2)2+4，∴当m=2时，y0的最大值是4.；(4)当抛物线顶点在x轴上时，−m2+4m=0，∴m=4或0(舍弃)，∵y0=−m2+4m=−(m−2)2+4，当m=2时，y的最大值是4，∴观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是2<x1<4，【解析】(1)当m=0时，解析式为y=x2，画出函数图象即可；(2)把解析式化成顶点式，令顶点纵坐标为−1，解关于m的方程即可求得．(3)把y0=−m2+4m化成顶点式，即可求得结果；(4)求得抛物线与x轴有一个交点时的m的取值，再根据当y0的最大值时m的值，即可解决问题．本题属于考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，最值问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．。
2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.计算(−√6)2的结果是()A. −6B. 6C. ±6D. 362.下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是()A. √6B. √12C. √20D. √83.一元二次方程x2−2x−1=0根的情况是()A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 有两个不相等的实数根4.将抛物线y=(x−1)2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是()A. (1,2)B. (2,1)C. (1,−1)D. (1,5)5.下列说法正确的是()A. 可能性很小的事情是不可能发生的B. 可能性很大的事情是必然发生的C. 投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是不可能发生的D. 投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不是奇数便是偶数是必然发生的6.如图，AD//BE//CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB=6，BC=3，DF=12，则DE的长为()A. 4B. 6C. 8D. 97.如图，电线杆的高度为CD=m，两根拉线AC与BC互相垂直(点A、点D、点B在同一条直线上)，若∠CAB=α，则拉线BC的长度可以表示为()A. msinαB. mcosαC. mtanαD. mcosα8.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是()B. b2−4ac>0C. 4a+2b+c>0D. 3b<2c二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.班级联欢会上举行抽奖活动，把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生23人，女生22人，老师闭上眼睛从摇匀的小纸条中随机抽出1张，恰好抽到女同学名字的概率为______ ．10.一元二次方程x2−7x=0的较大根为______ ．11.如图，有一个池塘，要测量池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一点O，从点O不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使AOCO =BODO=3，测得CD=36m，则池塘两端AB的距离为______ m.12.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB=4，BC=6，则EF的长为______ ．13.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，且相似比为13，两个正方形在点O的同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形BEFG的边长为6.则点C的坐标为______ ．14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线BC抛物线于点B、C，连接AB、AC，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则△ABC的面积为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.计算：√12−2sin60°⋅tan45°．雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．17.如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？18.如图，某班数学小组要测量某建筑物的高度，在离该建筑物AB底部B点18m的C处，利用测角仪测得其顶部A的仰角∠EDA=36°，测角仪CD的高度为1.5m，求该建筑物AB的高度.(精确到0.1m)【参考数据：sin36°=0.59，cos36°=0.81，tan36°=0.73】19.图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法．(1)在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB=1；3(2)在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB=1；(3)在图②中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB=3．420.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．(1)求该抛物线对应的函数关系式；(2)通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．21.如图，AC为▱ABCD的对角线，作∠ABE=∠ACB，BE交边AD于点E，交AC于点F．(1)求证：AE2=EF⋅BE；(2)若EF=1，E是边AD的中点，求边BC的长．22.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第107页的部分内容．结合图①，写出解题过程．【结论应用】(1)如图②，作图①中的△ABC斜边上高CD，求CD的长．(2)如图③，E是图②上线段AD上的点，连结CE，将△ACE沿CE翻折得到△A′CE，使点A的对称点A′落在CD的延长线上，连结A′B，直接写出四边形A′BCE的面积．23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，∠ABC的平分线交AC于点D，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AD−DB向终点B运动，当点P不与点D重合时，将线段PD绕着点P顺时针旋转60°得到线段PE，连结DE，设点P的运动时间为t(s)(1)当点P在边AD上时，求PD的长(用含t的代数式表示)．(2)当△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时，求t的取值范围．(3)当直线PE截△ABC所得的四边形是轴对称图形时，求t的值．(4)设F为线段BD上的点(点F不与点D、P重合)，当点F在△PDE的对称轴上，且该对称轴将△ABD分成面积比为1：8的两部分时，直接写出DF的长．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2−x−32与x轴正半轴交于点A，过点A的直线y=kx+b(k≠0)与该抛物线的另一个交点B的横坐标为2，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m+1，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使PD=1，以CD为边作矩形CDEF，设点E的横坐标为2m．(1)求直线AB对应的函数关系式；(2)当点P与点A重合时，求点E的坐标；(3)当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF的距离；(4)当矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：(−√6)2=6，故选：B．根据二次根式的乘方法则计算即可．本题考查的是二次根式的乘方，掌握二次根式的乘方法则是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：A、√6与√2被开方数不同，不是同类二次根式；B、√12=2√3与√2被开方数不同，不是同类二次根式；C、√20=2√5与√2被开方数不同，不是同类二次根式；D、√8=2√2与√2被开方数相同，是同类二次根式．故选：D．先化简，再根据同类二次根式的定义解答．本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．3.【答案】D【解析】解：∵△=(−2)2−4×(−1)=8>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．4.【答案】C【解析】解：抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标为(1,2)，∵向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(1,−1)．故选：C．本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．5.【答案】D【解析】解：A、可能性很小的事情是可能发生的，本选项说法错误；B、可能性很大的事情不一定是必然发生的，本选项说法错误；C、投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是随机事件，本选项说法错误；D、投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不是奇数便是偶数是必然发生的，故本选项说法正确；故选：D．根据事件发生的可能性大小判断即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6.【答案】C【解析】解：∵AD//BE//CF，∴ABAC =DEDF，∵AB=6，BC=3，DF=12，∴66+3=DE12，解得：DE=8，故选：C．根据平行线分线段成比例定理得出ABAC =DEDF，再求出DE的长度即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=CDBC，∴BC=CDcos∠BCD =mcosα，故选：B．根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由cos∠BCD=CDBC，即可求出BC的长度．8.【答案】D【解析】解：A、由抛物线的开口方向向下知a<0，抛物线与y轴交于正半轴知c>0，则ac<0，故本选项结论正确．B、由抛物线与x轴有两个交点知b2−4ac>0，故本选项结论正确．C、由抛物线图的轴对称性质知，抛物线与x轴的另一个交点坐标是点(2,0)的右侧，所以当x=2时，y>0，即4a+ 2b+c>0，故本选项结论正确．D、由抛物线的轴对称性质知，当x=3时，y<0，即y=9a+3b+c<0，且对称轴是直线x=−b2a =1，即a=−b2，代入得9(−b2)+3b+c<0，得3b>2c，故本选项结论错误；故选：D．抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．9.【答案】2245【解析】解：老师闭上眼睛从摇匀的小纸条中随机抽出1张，恰好抽到女同学名字的概率为2223+22=2245，故答案为：2245．用女生人数除以学生总数即为所求的概率．本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．10.【答案】7【解析】解：∵一元二次方程x2−7x=0，即x(x−7)=0，∴解得x1=0，x2=7，∴此方程较大根是7，故答案为：7．首先提取公因式x得到x(x−7)=0，然后解两个一元一次方程求出方程的根即可．此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解．【解析】解：∵AOCO =BODO=3，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，∴ABCD =AOCO=BODO=3，∵CD=36m，∴AB=3CD=108米．故答案为：108．由题意可证明△AOB∽△COD，然后利用相似三角形的性质列式计算即可．考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，难度不大．12.【答案】1【解析】解：连接AF并延长交BC于H，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE//BC，DE=12BC=3，AF=FH，在△BFA和△BFH中，{∠ABF=∠HBF ∠AFB=∠HFB FA=FH，∴△BFA≌△BFH(AAS)，∴BH=AB=4，∵AD=DB，AF=FH，∴DF=12BH=2，∴EF=DE−DF=1，故答案为：1．延长AF交BC于H，根据三角形中位线定理得到DE//BC，DE=12BC=3，AF=FH，证明△BFA≌△BFH，根据全等三角形的性质求出BH，结合图形计算即可．本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．13.【答案】(3,2)【解析】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，相似比为13，EF=6，∴BC//EF，AB=BC=2，∴△OBC∽△OEF，∴OBOE =BCEF，即OBOB+6=13，解得，OB=3，∴点C的坐标为(3,2)，故答案为：(3,2)．根据位似图形的概念得到BC//EF，进而证明△OBC∽△OEF，根据相似三角形的性质求出OB，根据点的坐标解答即可．本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关键．14.【答案】8【解析】解：由抛物线y=−x2+2x=−(x−1)2+1知，A(1,1)．∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，∴y B=−3．则−x2+2x=−3，即x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1．∵BC⊥y轴，∴B(−1,−3)，C(3,−3)．∴BC=4．∴S△ABC=12×4×4=8．故答案是：8．根据抛物线解析式得到点A的坐标，易得点A到BC的距离、线段BC的长度，所以根据三角形的面积公式解答即可．本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题时，运用了配方法求得抛物线的解析式，运用抛物线的对称性质求得点C的坐标．15.【答案】解：原式=2√3−2×√32×1=2√3−√3=√3．【解析】直接利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16.【答案】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个，∴P(小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片)=4．9【解析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，依题意，得：(8−2x)(5−2x)=18，整理，得：2x2−13x+11=0，．解得：x1=1，x2=112又∵5−2x>0，∴x<5，2∴x=1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1m．【解析】设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，根据地面正中间铺设地毯的面积为18m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18.【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：根据题意得：∠EDA=36°，BE=CD=1.5m，DE=BC=18m，，在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠EDA=AEDE∴AE=DE×tan36°≈18×0.73=13.14(m)，∴AB=AE+BE=13.14+1.5≈14.6(m)．答：建筑物AB的高度约为14.6m．【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，在Rt △ADE 中，利用锐角三角函数定义求出AE ，即可得出答案．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键． 19.【答案】解：(1)答案不唯一，以下答案供参考．(2)答案不唯一，以下答案供参考．(3)如图所示：【解析】(1)在图①中，依据tan∠CAB =13，即可得到点C 的位置；(2)在图②中依据tan∠DAB =1，即可得到点D 的位置；(3)在图②中依据tan∠AEB =34，即可得到点E 的位置．本题考查了作图−运用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 20.【答案】解：(1)如图②中，A(4,0)，C(0,4)，设抛物线解析式为y =ax 2+k ，由题意，得{16a +k =0k =4，解得：{a =−14k =4， ∴抛物线表达式为y =−14x 2+4．(2)2+0.42=2.2，当x =2.2时，y =−14×2.22+4=2.79，当y =2.79时，2.79−0.5=2.29 (m)．答：该货车能够通行的最大高度为2.29 m ．【解析】(1)设抛物线的函数关系式为y =ax 2+k ，找出函数图象上A 和C 的坐标，求出函数解析式即可；(2)根据题意，求出当x =2+0.42=2.2时，y 的值，根据车辆顶部与隧道的空隙不少于0.5米可得出等式，从而得出通过隧道车辆的高度的最大值．本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求二次函数解析式等知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD//BC ，∴∠DAC =∠ACB ，∵∠ACB =∠ABE ，∴∠EAF =∠EBA ，∵∠AEF =∠BEA ，∴△EAF∽△EBA ，∴EA ：EB =EF ：EA ，∴AE 2=EF ⋅BE ；(2)解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD =BC ，∵E 是边AD 的中点，∴BC =2AE ，∵AE//BC ，∴△EAF∽△BCF ，∴AE BC =EF BF =12，∴BF =2EF =2，∴BE =3，∵AE 2=EF ⋅BE =1×3=3，∴AE=√3，∴BC=2AE=2√3．【解析】(1)根据平行四边形的性质得AD//BC，则∠DAC=∠ACB，再证明∠EAF=∠EBA，于是可判断△EAF∽△EBA，然后利用相似比和比例的性质得到结论；(2)根据平行四边形的性质得AD=BC=2AE，再证明△EAF∽△BCF，利用相似比计算出BF=2，然后利用(1)的结论求出AE，从而得到BC的长．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质．22.【答案】解：【教材呈现】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理，得AB=2+AC2=√82+152=√289=17．sinA=BCAB =817，cosA=ACAB =1517，tanA=BCAC =815．【结论应用】(1)在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∵sinA=CDAC =817，∴CD=AC⋅sinaA=15×817=12017．(2)60．∵将△ACE沿CE翻折得到△A′CE，使点A的对称点A′落在CD的延长线上，∴AC=A′C=15，∠A=∠EA′C，∴tan∠A=tan∠EA′C=815，∵CD=12017，∴A′D=A′C−CD=15−12017=13517，∴ED=A′D⋅tan∠EA′D=13517×815=7217，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠A=90°，∴∠A=∠BCD，∴tan∠A=tan∠BCD=815，∴BD=CD⋅tan∠BCD=12017×815=6417，∴BE=DE+BD=7217+6417=8，∵BE⊥A′C，∴S四边形A′BCE =12×BE×A′C=12×8×15=60．【解析】【教材呈现】根据锐角三角函数的定义可求出答案；【结论应用】(1)在Rt△ACD中，根据sinA=CDAC =817可求出答案；(2)由折叠的性质得出AC=A′C=15，∠A=∠EA′C，求出ED的长，由直角三角形的性质得出tan∠A=tan∠BCD=815，可求出BD的长，则可求出BE的长，则可求出答案．本题是四边形综合题，考查了直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．23.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=BCAC =√33．∴BC=√33AC=√3．在Rt△BCD中，∠C=90°，tan∠CBD=CDBC =√33．∴CD=√33BC=1．∴AD=2．∴PD=2−2t．(2)如图1中，当点E在边AB上时，PE=PD=AP．∴2t=1．∴t=12．∴当12≤t<1时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．如图2中，当点E与点C重合时，AD+PD=AC．∴2t=3∴t=32．∴当1<t≤32时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．综上所述，当12≤t<1或1<t≤32时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．也可以写成：当12≤t≤32且t≠1时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．(3)如图③，当0≤t<1时，四边形CPMB为轴对称图形，则CP=CB．∴3−2t=√3．解得t=3−√32．如图④，当1<t≤2时，四边形CAMN为轴对称图形，则AM=AC．∴2√3−√3(2−t)=3．解得t=√3．综上所述，满足条件的t的值为3−√32或√3．(4)如图5中，当DE的垂直平分线经过点F，且S△DPF：S△DAB=8：9时，可得DFDB =2√23，∴DF=4√23，如图6中，当DE的垂直平分线经过点F，且S△DPF：S△DAB=1：9时，可得DFDB =13，∴DF=23，如图7中，当DP的垂直平分线经过点F，且S△BFM：S△BDA=1：9时，可得12⋅BF⋅FM=19×12×2×√3，∴BF⋅√33BF=2√39，∴BF =√63， ∴DF =BD −BF =2−√63， 综上所述，DF =4√23或DF =23或DF =2−√63． 【解析】(1)解直角三角形求出PD ，即可解决问题．(2)求出点E 落在AB 上，t 的值，点E 与C 重合时，t 的值，即可判断．(3)分两种情形：如图③，当0≤t <1时，四边形CPMB 为轴对称图形，则CP =CB.如图④，当1<t ≤2时，四边形CAMN 为轴对称图形，则AM =AC.分别构建方程求解即可．(4)分三种情形：如图5中，当DE 的垂直平分线经过点F ，且S △DPF ：S △DAB =8：9时，如图6中，当DE 的垂直平分线经过点F ，且S △DPF ：S △DAB =1：9时，如图7中，当DP 的垂直平分线经过点F ，且S △BFM ：S △BDA =1：9时，分别求解即可．本题属于四边形综合题，考查了轴对称图形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)当x =2时，y =12×22−2−32=−32．∴点B 的坐标为(2,−32)，当y =0时，12x 2−x −32=0．解得x 1=−1，x 2=3．∵抛物线y =12x 2−x −32与x 轴正半轴交于点A ，∴点A 的坐标为(3,0)．由题意，得{2k +b =−32,3k +b =0.， 解得{k =32,b =−92.， ∴直线AB 对应的函数关系式为y =32x −92．(2)当点P 与点A 重合时，m +1=3．解得m =2．∴2m =4．∵点D 的纵坐标为1．∴点E 的坐标为(4,1)．(3)将y =12x 2−x −32配方，得y =12(x −1)2−2． ∴抛物线的顶点坐标为(1,−2)． 由题意，得点E 的坐标为(2m,12m 2−1)．∵点E 在该抛物线上，∴12m 2−1=12(2m)2−2m −32． 解得m 1=2+√73，m 2=2−√73． 当2m <1时，即m <12，顶点(1,−2)在EF 的右边．∵m =2−√73<12，∴抛物线的顶点到EF 的距离为1−2m =1−2(2−√7)3=−1+2√73． 当2m >1时，即m >12，顶点(1,−2)在EF 的左边．∵m =2+√73>12， ∴抛物线的顶点到EF 的距离为2m −1=2(2+√7)3−1=1+2√73． 综上所述，抛物线的顶点到EF 的距离为−1+2√73或1+2√73． (4)当点F(2m,32m −3)在抛物线上时，32m −3=2m 2−2m −32，解得m =34或1，当E 在抛物线时时，m =2+√73，当点P 与A 重合时，m =2，观察图1，图2，图3可知，当34≤m <1或1<m ≤2+√73或m ≥2时，矩形CDEF 的一组邻边与该抛物线相交． 也可以写成：当34≤m ≤2+√73或m ≠1或m ≥2时，矩形CDEF 的一组邻边与该抛物线相交．【解析】(1)求出A，B两点坐标，利用待定系数法求解即可．(2)构建方程求解即可．m2−1).代入抛物线的解析式，构建方程求解即可．(3)由题意，得点E的坐标为(2m,12(4)求出三种特殊情形m的值，利用图象法判断即可．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊点，解决问题，属于中考压轴题．。
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2020-2021学年吉林省长春市二道区九年级上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．下列各式属于最简二次根式的是（）
A．√8B．√x2+1C．√y2D．√1 2
2．一元二次方程4x2﹣3x+1
4
=0根的情况是（）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
3．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）
A．各边的长度B．各内角的度数
C．五边形的周长D．五边形的面积
4．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球（）
A．16个B．14个C．20个D．30个
5．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）
A．1+x＝225B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225D．1+（1+x2）＝225
6．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位
B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位
C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位
D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
7．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）
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