人教版九年级上册数学教学课件：21.1 《一元二次方程》
3600cm2
（100-2x）（50-2x）=3600
整理，得
100cm
x2-75x+350=0
探究新知
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要 比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天， 每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【分析】设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队
(1) x2+ x=36 (3) x+3y=36 (5) x+1=0 (7)4x2 1 (2x 3)2
(2) x3+ x2=36
(4)
1 x2
2 x
0
(6)
x2 3
6
(8)( x)2 2 x 6 0
探究新知
素养考点 2 利用一元二次方程的定义求字母的值
例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
探究新知
方法点拨
（1）一元二次方程的一般形式不是唯一 的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数.
（2）一元二次方程的二次项、二次项系 数、一次项、一次项系数、常数项等都是针 对一般形式而言的.
（3）指出一元二次方程各项系数时，不 要漏掉前面的符号.
巩固练习
3.将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次
21
探究新知
知识点 3 一元二次方程解的概念
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值 叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫 做一元二次方程的根.
探究新知
素养考点 4 利用一元二次方程的解确定字母的值
例4 已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2＋3x-5m＋4=0 有一个根为2，求m.
分析: 一个根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程.
解：a+b+c=0可转化为 a×12+b×1+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
课堂检测
拓广探索题
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出 方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：a-b+c=0可转化为 a×（-1）2+b×（-1）+c=0
(1)ax2-x=2x2
(2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当a-2≠0， 即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元 二次方程.
方法总结：根据未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用 二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从1而2 确定字母取值．
的面积为 3x2 cm2.
根据题意，得
3
200×150-3x2=200×150× 4
整理，得
200cm
x2-2500=0
课堂检测 能力提升题
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥 有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽 车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年 平均增长率为x.
解：依题意把x＝2代入原方程，得
4（m-1）+6-5m+4=0,
整理，得 -m+6=0,
解，得
m=6.
方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方
程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系
数的方程来解决问题.
巩固练习
4.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个
B
一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？
素养目标
3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能 解决相关问题. 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题.
1.理解一元二次方程的概念，根据一元二 次方程的一般形式，确定各项系数.
探究新知
知识点 1 一元二次方程的概念
有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一
巩固练习
2.方程(2a-4)x2－2bx+a=0. （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1）当 2a-4≠0，即a ≠2 时是一元二次 方程.
（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程.
探究新知 知识点 2 一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经 过整理，都可以化为 ax2+bx+c=0 的形式,我们把 ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方 程的一般形式. 其中ax2是二次项，a是二次项系 数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
探究新知
【想一想】x12 10x 900 0 是一元二次方程吗？
答：不是。等号左边含有分式；化简整理后，
未知数的最高次数为3次。
探究新知
素养考点 1 一元二次方程的识别
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ C ）
含两个未知数
A.
x2＋
1 x2
=0
不是整式方程
B. 3x2-5xy+y2=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是-1. 4a+2b +c=0可转化为 a×22+b×2+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是2.
课堂小结
一元二次 方程
定义 等号两边都是整式，只含一个未知 数且未知数的最高次数是2的方程
概念
判断 ① 是整式方程； ② 含一个未知数；（一元） ③ 最高次数是2.（二次）
探究新知
一元二次方程的一般形式
二次项
一次项
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
探究新知
【思考】为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
当a=0时，ax2+bx+c=0 bx+c=0（一元一次方程） 当a≠0，b=0时，ax2+bx+c=0 ax2+c=0 一元 当a≠0，c=0时，ax2+bx+c=0 ax2+bx=0 二次 当a≠0，b=0,c=0时，ax2+bx+c=0 ax2=0 方程
C.（x-1）（x-2）=0
D. ax2+bx+c=0
整理x2-3x+2=0
a≠0
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后 再进行判断．三个条件：①方程两边都是整式；②只含有一个未知 数；③未知数的最高次数是2. 必须同时满足，缺一不可．
巩固练习
1. 判断下列方程是否为一元二次方程？
人教版 数学 九年级 上册
21.1 一元二次方程
1
导入新知
要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像 的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
A
设雕像下部高x m，依题意得方程
x2=2(2-x)43;2x-4=0
【思考】上述所列的方程与我们以前学习的方程
价定为x元．则有（ B ）
A.（180+x-20）（50- x ）=10890 B.（x-20）（50-x 1801）0 =10890
解析：设房价定为x元。依
题意，得
10
C. x（50-x 180 ）-50×20=10890
10
（x-20）（50- x 180）=10890
10
D.（x+180）（50-
根是3，求a的值.
解：依题意把x=3代入原方程，得
32+3a+a=0
整理，
9+4a=0，
即
a9
4
巩固练习
连接中考
1.已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1，则k的
值为（ B ）
A．﹣2 B．2
C．﹣4
D．4
巩固练习
连接中考
2.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾 馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间 房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的 费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房
1
3
-2
3y2 1 2 3y 3y2 2 3y 1 0
3
1
4x2 5
4x2 5 0
4
0
-5
(2 x)(3x 4) 3 3x2 2x 5 0
3
-2
-5
课堂检测
基础巩固题
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k ＝－1 时，是一元一次方程．当 k ≠±1 时，是一元二次方程．
各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部
比赛 1 x（x-1）场。
2 可列方程
1 x( x 1) 7 4 2
整理，得 x2-x=56
探究新知
【思考】x2-75x+350=0和x2-x-56=0这两个方程都不 是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程 的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,
如果要制作的方盒的底面积为3600平
方厘米,那么铁皮各角应切去多大的 50cm 正方形?
3600cm2
100cm
探究新知
【分析】 设切去的正方形的边长为x cm,
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九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》PPT课件
化简，得 x2 75x 350 0 ①
3600cm2
50cm
100cm
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计 划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多 少个队参加比赛?
解：根据题意，列方程：
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点）
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各 切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一 个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那 么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 xcm,则盒底的长为（100－ 2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据 方盒的底面积为3600cm2,得 x
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
二 一元二次方程的根 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 作一元二次方程的解（又叫做根）.
3600cm2
50cm
100cm
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计 划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多 少个队参加比赛?
解：根据题意，列方程：
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点）
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各 切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一 个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那 么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 xcm,则盒底的长为（100－ 2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据 方盒的底面积为3600cm2,得 x
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
二 一元二次方程的根 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 作一元二次方程的解（又叫做根）.
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程全章教学课件
各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为
１００－，２宽ｘ为
５０－２ｘ
得方程：
（１００－２ｘ）·（５０－２ｘ）＝３６００
整理得 ： ４ｘ２－３００ｘ＋１４.００＝０ ①.
自学指导
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队 之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程 计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀 请多少个队参赛？
x＋3＝±5 （降次）
即 x＋3＝5 或 x＋3＝ －5 解一次方程，得： x1＝ 2 ，x2＝ －
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元
二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的 是为了降次，把一元二次方程转化为两个一 元一次方程．
自学指导
自学自2：学解2下：列解方下程列：方程：
((13))((4313xx))2234－＋xx22－＋11＝611x＝65＋x；5＋1；61(＝26)(＝942.()9x4.－(x－1)21－)2－9＝9＝0；0；
(2)2(x2－1)＝3y
(3)2x2－3x－1＝0 (5)(x＋3)2＝(x－3)2
(4) 1 2 ＝0 x2 x
(6)9x2＝5－4x
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.
2．若x＝2是方程 ax24x50的一个根， 求a的值.
解：∵x＝2是 ax24x50方程的一个根
自学指导
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为150方体形状的盒子 的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，
根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
10 ·6x2=1500
由此可得：x2=25
分析：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为
１００－，２宽ｘ为
５０－２ｘ
得方程：
（１００－２ｘ）·（５０－２ｘ）＝３６００
整理得 ： ４ｘ２－３００ｘ＋１４.００＝０ ①.
自学指导
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队 之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程 计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀 请多少个队参赛？
x＋3＝±5 （降次）
即 x＋3＝5 或 x＋3＝ －5 解一次方程，得： x1＝ 2 ，x2＝ －
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元
二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的 是为了降次，把一元二次方程转化为两个一 元一次方程．
自学指导
自学自2：学解2下：列解方下程列：方程：
((13))((4313xx))2234－＋xx22－＋11＝611x＝65＋x；5＋1；61(＝26)(＝942.()9x4.－(x－1)21－)2－9＝9＝0；0；
(2)2(x2－1)＝3y
(3)2x2－3x－1＝0 (5)(x＋3)2＝(x－3)2
(4) 1 2 ＝0 x2 x
(6)9x2＝5－4x
解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是.
2．若x＝2是方程 ax24x50的一个根， 求a的值.
解：∵x＝2是 ax24x50方程的一个根
自学指导
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为150方体形状的盒子 的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，
根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
10 ·6x2=1500
由此可得：x2=25
人教版数学九年级上册21.1一元二次方程的解及其图像经典课件(共34张PPT)
么条件下此方程为一元二次方程？在什么条 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
人教九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
B．4 个
C．5 个
解析：①③④⑦是一元二次方程．
D．6 个
2．当 m 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)(m－1)x2＋3x＝5； (2)4xm＋3－x－1＝0. 解：(1)由题意，得 m－1≠0，∴m≠1. (2)∵m＋3＝2，∴m＝－1.
知识点 2 一元二次方程的一般形式 【例 2】 将方程(8－2x)(5－2x)＝18 化成一元二次方程的 一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 思路点拨：一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 具有两个特征：(1)方程的右边为 0；(2)左边的二次项系数不能 为 0.注意：写二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项时，不要漏掉其前面的符号． 解：去括号，得 40－16x－10x＋4x2＝18， 移项，得 4x2－26x＋22＝0， 其中二次项系数为 4，一次项系数为－26，常数项为 22.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善 于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
2.某公园里有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域
栽种鲜花(如图).原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空
地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长
为x m,则可列方程为(
)
A.(x+1)(x+2)=18
B.x2-3x+16=0
m2+m的值等于
.
关闭
6
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
7.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并分别写出它们的二
次项系数、一次项系数和常数项.
(1)8x2-2x=1+2x;
(2)(y-1)(y-2)=1.
关闭
解 (1)一般形式:8x2-4x-1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别为
8,-4,-1.
6.在-4,-3,-2,-1,2,3中,属于方程x2+x-6=0的根的是 -3,2
.
互动课堂理解
1.一元二次方程的识别
【例1】 下列方程中,是关于x的一元二次方程的是(
2
A.3(x+1) =2(x+1)
B.
1 2
)
1
+ -2=0
C.ax2+bx+c=0
D.x2+2x=x2-1
解析:选项A中的方程,整理后符合一元二次方程的概念;选项B中
21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1.等号两边都是整式,只含有 一个 未知数(一元),并且未知数的
九年级上册数学 全册· 教学课件 PPT
y2 (4) －2 ＝0 (5)x2＋2x－3＝1＋x2
【解析】(1)、(4)．
猜测： 下列方程的根是什么？
方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值 叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
思考：
（1）下列哪些数是方程
的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
从中你能体会根的作用吗？
（2）若x＝2是方程
的一个根，
你能求出a的值吗？
（提示：根的作用：可以使等号成立.）
例题
【例2】关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值
为（ ）
A．1
B ． -1
C．2
D．-2
【解析】选A. 将x=3代入方程x2-kx-6=0得32-3k-6=0 ，
解得
k=1.
跟踪训练
1．你能根据Βιβλιοθήκη 学过的知识解出下列方程的解吗？2.（衡阳·中考）某农机厂四月份生产零件50万个，第
二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增
长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A.
B．
C．50(1+2x)＝182
D．
【解析】选B.该农机厂五月份生产零件 万个，六月
份生产零件
万个，第二季度共生产零件
万个.
3.（兰州·中考）上海世博会的某纪念品原价168元，
对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？
1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？
共同特点：（1）等号两边都是整式； （2）整式的最高次数是2次.
2．归纳： （1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； （2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式 ：
【解析】(1)、(4)．
猜测： 下列方程的根是什么？
方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值 叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
思考：
（1）下列哪些数是方程
的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
从中你能体会根的作用吗？
（2）若x＝2是方程
的一个根，
你能求出a的值吗？
（提示：根的作用：可以使等号成立.）
例题
【例2】关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值
为（ ）
A．1
B ． -1
C．2
D．-2
【解析】选A. 将x=3代入方程x2-kx-6=0得32-3k-6=0 ，
解得
k=1.
跟踪训练
1．你能根据Βιβλιοθήκη 学过的知识解出下列方程的解吗？2.（衡阳·中考）某农机厂四月份生产零件50万个，第
二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增
长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A.
B．
C．50(1+2x)＝182
D．
【解析】选B.该农机厂五月份生产零件 万个，六月
份生产零件
万个，第二季度共生产零件
万个.
3.（兰州·中考）上海世博会的某纪念品原价168元，
对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？
1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？
共同特点：（1）等号两边都是整式； （2）整式的最高次数是2次.
2．归纳： （1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； （2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式 ：
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版九年级上册数学精品教学课件 第21章 一元二次方程 一元二次方程
想一想： 还有其它的列法吗？ 试说明理由. (20－x)(32－2x) = 570. 整理以上方程，可得
x2－36x＋35 = 0.
20-x
20
32-2x
32
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
设
找
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设未知数
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
32
20
x
20
思考：1. 若设小路的宽是 x m， 则横向小路的面积是_3_2_x__m2， 纵向小路的面积是 2×20x m2， 两者重叠的面积是 2x2 m2.
32 2. 由于花坛的总面积是 570 m2. 你能根据题意，列出
方程吗？ 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570，
整理以上方程，可得 x2－36x＋35 = 0.
当 a≠0，b = 0 时，
ax2＋c = 0，符合定义；
当 a≠0，c = 0 时，
ax2＋bx = 0，符合定义；
当 a≠0，b = c = 0 时，
ax2 = 0，符合定义．
总结：只要满足 a≠0 即可，b，c 可以为任意实数.
典例精析
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ C ）
解：设切去的正方形的边长为 x cm， 则盒底的长为 (100 − 2x) cm，宽为 (50 − 2x) cm， 根据方盒的底面积为 3600 cm2，得
化简，得
x2 75x 350 0 ②
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
x
3600 cm2
50 cm
100 cm
九年级数学人教版上册课件：第21章 21.1 一元二次方程
14
16．根据下列条件列出一元二次方程，并化成一般形式． (1)三角形的底比这边上的高大2，且它的面积是12cm2，求三角形的这条 底． 解：设三角形的底为xcm，由题意， 得21x(x－2)＝12 即x2－2x－24＝0
15
(2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了 30场比赛，求参赛的篮球队支数x. 解：由题意，得xx2－1＝30 即x2－x－60＝0
10
8．将方程x(x＋5)＝5x＋9化为一元二次方程的一般形式，下面正确的是
( D)
A．x(x＋5)－5x＝9
B．x2＋5x＝5x＋9
C．x2＋5x－9＝5x
D．x2－9＝0
9．若a(a≠0)是关于x的方程x2＋bx－2a＝0的根，则a＋b的值为( B )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
11
10．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c为常 数)一个解x的范围是( C )
13
15．下列方程是不是一元二次方程？是一元二次方程的，指出它的二次项 系数、一次项系数和常数项． (1)x2－3xy＋4y＝0; (2)4x－5x2＝－6； (3)y2＝4y＋1; (4)x12＋x＋4＝0. 解：(1)含有两个未知数，所以不是一元二次方程； (2)含有一个未知数，并且是最高次数为2的整式方程，所以是一元二次方 程．二次项系数为－5，一次项系数为4，常数项为6； (3)含有一个未知数，并且是最高次数为2的整式方程，所以是一元二次方 程．二次项系数为1，一次系数为－4，常数项为－1； (4)不是整式方程，所以不是一元二次方程．
16
17．已知关于x的方程(m－ 3)xm2－1＋(m－1)x＋1＝0，试问： (1)m为何值时，它是一元二次方程？ 解：(1)依题意，得mm－2－13＝≠20 解得m＝－ 3 ∴当m＝－ 3时，它是一元二次方程．
16．根据下列条件列出一元二次方程，并化成一般形式． (1)三角形的底比这边上的高大2，且它的面积是12cm2，求三角形的这条 底． 解：设三角形的底为xcm，由题意， 得21x(x－2)＝12 即x2－2x－24＝0
15
(2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了 30场比赛，求参赛的篮球队支数x. 解：由题意，得xx2－1＝30 即x2－x－60＝0
10
8．将方程x(x＋5)＝5x＋9化为一元二次方程的一般形式，下面正确的是
( D)
A．x(x＋5)－5x＝9
B．x2＋5x＝5x＋9
C．x2＋5x－9＝5x
D．x2－9＝0
9．若a(a≠0)是关于x的方程x2＋bx－2a＝0的根，则a＋b的值为( B )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
11
10．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c为常 数)一个解x的范围是( C )
13
15．下列方程是不是一元二次方程？是一元二次方程的，指出它的二次项 系数、一次项系数和常数项． (1)x2－3xy＋4y＝0; (2)4x－5x2＝－6； (3)y2＝4y＋1; (4)x12＋x＋4＝0. 解：(1)含有两个未知数，所以不是一元二次方程； (2)含有一个未知数，并且是最高次数为2的整式方程，所以是一元二次方 程．二次项系数为－5，一次项系数为4，常数项为6； (3)含有一个未知数，并且是最高次数为2的整式方程，所以是一元二次方 程．二次项系数为1，一次系数为－4，常数项为－1； (4)不是整式方程，所以不是一元二次方程．
16
17．已知关于x的方程(m－ 3)xm2－1＋(m－1)x＋1＝0，试问： (1)m为何值时，它是一元二次方程？ 解：(1)依题意，得mm－2－13＝≠20 解得m＝－ 3 ∴当m＝－ 3时，它是一元二次方程．
初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程(共18张PPT)
把ax2+bx+c=0 （a≠0）称为一元二次 方程一般形式，
其中ax2是二次项,a是二次项的系数。 其中bx是一次项,b是一次项的系数。 其中c是常数项。
注意：一般形式的右边必须是0，左边
按降幂排列.也可以没有一次项、常数项。
你能判断下列等式哪些是一元二次方程，哪 些不是吗。
①2+3=5 不是 ②x2+3x+2=0 是
2x+7=4 3x-4y=6
一元一次方程
二元一次方程 整式方程 2 5 分式方程
x 1 x 3
什么是一元二次方程？
50-2x 50cm
A
100cm 裁剪前
B
100-2x 裁剪后
解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:
1 x( x 1) 28 2
即:x(x-1)=56
x2-x-56=0
•
19
3当系数为负数时，千万不要丢负号。
4二次项为负时，也可以把他们都改变符号，使之成为正号。
课本4页练习：第1题 第2题
知识技能2
方程
3x2=5x-1
一般形式
3x2－5x＋1＝0
二次项 系数
3
(x+2)(x -1)=6 1x2 ＋ 1x－8＝0
1
4-7x2=0
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋0 x＋4＝0
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.421.9.420:41:1520:41:15September 4, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月4日星期六下午8时41分15秒20:41:1521.9.4