09级《数学模型》复习提纲终极版

其中 L，M，T 是基本量纲.
量纲矩阵为
09 级本科《数学模型》复习提纲 - 2 -
1 1 3 1 1 (L)
A=
0
0
1
1
0
(M
)
1 0 0 1 2 (T )
(v) ( ) () () (g)
齐次线性方程组 Ay=0 即
y1
y2
3y3
y4 y3
y5 y4
0 0
y1 y4 2 y5 0
9．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制 和普通糕点的原料（面粉、糖、蛋）和利润如下表：
品种 面粉（千克） 糖（千克） 蛋（千克） 利润（千元）
精制
0.1
0.2
0.3
பைடு நூலகம்
0.3
普通
0.3
0.2
0.1
0.2
已知库存面粉、糖、蛋分别为 15 千克、12 千克和 15 千克.假设生产的糕 点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的 利润最大. 解：为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为 10 x 千克和 10 y 千克，糕点
dt
N
记 f (x) rx(1 x ) h ,令 rx(1 x ) h 0 ，即 r x2 rx h 0 ----（1）
N
N
N
N
r 2 4rh r(r 4h)
N
N
， （1）的解为： x1,2
① 当 0 时，（1）无实根，此时无平衡点；
1 4h N rN
2
②当
0 时，（1）有两个相等的实根，平衡点为 x0
xk2 x0 ( yk1 y0 )
--------------------（1）
--- ----------------（2） --------------------（3）
（1）代入（3），可得 xk2
x0
( xk1 xk 2
x0 )
2xk2 xk1 xk 2x0 2x0 , k 1,2, ，
dx(t) rx(1 x )
dt
N
其中 r 为固有增长率, N`为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数 h .
（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;
（2）．试确定捕捞强度 Em ,使渔场单位时间内具有最大持续产量 Qm ,并求此时渔场
鱼量水平
x
* 0
.
解：（1）. x(t) 变化规律的数学模型为 dx(t) rx(1 x ) h
2 rN ， x2
rN 2
易知
x1
N 2
，
x2
N 2
f '(x1)0 ，
平衡点 x1 不稳定 ，平衡点 x2 稳定.
f '(x2 ) 0
09 级本科《数学模型》复习提纲 - 6 -
（2）．最大持续产量的数学模型为：
max h s.t. f (x) 0
即 max h rx(1 x ) ， N
09 级本科《数学模型》复习提纲 - 1 -
品种 面粉（千克） 糖（千克） 蛋（千克） 利润（千元）
精制
0.1
0.2
0.3
0.3
普通
0.3
0.2
0.1
0.2
已知库存面粉、糖、蛋分别为 15 千克、12 千克和 15 千克.假设生产的糕
点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的
解：已知商品的需求函数和供应函数分别为 yk1
f
(
xk 1 2
xk
)
和
xk 1
g(yk ) .
设曲线 f 和 g 相交于点 P0 (x0 , y0 ) ，在点 P0 附近可以用直线来近似表示曲线 f 和
g：
由（2）得
yk1 y0
( xk1 xk 2
x0 ),
0
xk1 x0 ( yk y0 ) , 0
《数学模型》复习提纲
典型题型（仅作参考） 1．建立数学模型的基本步骤为：模型准备、 模型假设 、模型构成 、
模型求解 、 模型分析 、 模型检验 、模型应用等. P14
2．数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有：人口模型、水资源模
型、 交通模型 、环境模型
、 生态模型
等. P17
3．每对顶点之间都有一条边相连的 有向图 称为竞赛图．4 个
--------------（4）
上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.
为了寻求 P0 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程： 22 0
容易算出其特征根为
()2 8
1,2
4
当 8 时，显然有
---------------（5）
x(t) rx ln N x
其中 r 和 N 的意义与 Logistic 模型相同. 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，又单位捕捞量为 h Ex.讨论渔场鱼量
的平衡点及其稳定性，求最大持续产量 hm 及获得最大产量的捕捞强度 Em 和渔场鱼
量水平 x0* .
典型题型部分解答（仅作参考） 8.雨滴的速度 v 与空气密度 、粘滞系数 、特征尺寸 和重力加速度 g 有关，其
利润最大.
10．已知某商品在 k 时段的数量和价格分别为 xk 和 yk ，其中 1 个时段相当于商品
的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为
yk 1
f ( xk1 xk ) 和 2
xk1 g( yk ) .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
11 ． 设 某 渔 场 鱼 量 x(t) ( 时 刻 t 渔 场 中 鱼 的 数 量 ) 的 自 然 增 长 规 律 为 ：
N 2
.
f ' (x) r(1 x ) rx r 2rx NN N
， f ' (x0 ) 0
不能断定其稳定性.
但 x x0
及 x x0
均有 f (x) rx(1 x ) rN 0 N4
，即
dx dt
0
x0
不稳定；
③ 当 0 时，得到两个平衡点：
N N 1 4h
N N 1 4h
x1
中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积
成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度 v 的表达式.
解：设 v , , , ， g 的关系为 f (v, , , , g) 0 .其量纲表达式为 [ v ]=LM0T-1，[ ]=L-3MT0，[ ]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[ ]=LM0T0 ， [ g ]=LM0T-2
用图解法.可行域为：由直线
l1 : x 3 y 15 l2: : 2x 2 y 12 l3 : 3x y 15 及x 0, y 0
组成的凸五边形区域.
直线 l : 3x 2y C 在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当 l 过 l2与l3 的交点时，
Z
取最大值.
由
2x 3x
2 y
y 12 15
解得：
x
9 2
,
y
3 2
，
Z max
3
9 2
2
3 2
16.5
（千元）.
故生产精制糕点和普通糕点分别为 45 千克和 15 千克，糕点的利润为 16.5（千
元）.
某工厂生产甲、乙两种化工产品,生产每吨产品需要电消耗、煤消耗、 劳动力（以一个工作日计算）及产值如下表所示：
已知每天电消耗不超过200 千瓦；煤消耗不超过360 吨；全厂劳动力 满员为 300 人.试安排每天的生产任务,使产值最大,并求出最大产值.
易得
x0*
N 2
此时
h
rN 4
，但
x0*
N 2
这个平衡
点不稳定.
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量 x N ,且尽量接近 N ,但不能等于 N .
2
2
2
10．某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所 获利润如下表所示：
品种
原材料
能源消耗(百元) 劳动力(人)
利润(千元)
s.t.2x 3y 1400
x 6y 2400
4x 2y 2000
x 0, y 0, x, y Z
模型的求解：
用图解法.可行域为：由直线
l1 : 2x 3 y 1400 l2: : x 6 y 2400 l3 : 4x 2 y 2000 及x 0, y 0
的利润为 Z （千元），由题意得此问题的数学模型为： max Z 3x 2y
x 3y 15
s.t.
2x 2 y 12
3x
y
15
x 0, y 0
这是一个线性规划问题.
y 6 5 (3/2,9/2)
4
09 级本科《数学模型》复习提纲 - 3 -
3
2
(9/2,3/2)
L1
1
模型的求解：
阵.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次．
参见P270
0 这 4 支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为 A0
0 1
令 e (1,1,,1)T ，分别计算 s (k) As (k1) Ak e
1 1 0 0 1 1 ，它是双向连通的.； 0 0 1 0 0 0
, k 1,2,3,,8 .从而可得这 4 支球
解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品 x 吨、y 吨．获得利润 z 万元 …（1 分） 依题意可得约束条件： 9x+4y≤360 4x+5y≤200 3x+10y≤300 x≥0 y≥0 …（4 分） 利润目标函数 z=6x+12y …（8 分） 如图，作出可行域，作直线 l：z=6x+12y，把直线 l 向右上方平移至 l1 位置，直线 经过可行域上的点 M，且与原点距离最大，此时 z=6x+12y 取最大值． 解方程组 3x+10y=300 4x+5y=200 ，得 M（20，24）…（11 分） 所以生产甲种产品 20t，乙种产品 24t，才能使此工厂获得最大利润 …（12 分）