2016—2020年新高考数学分类汇编平面向量

北京

【2020北京卷13】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ????? =12

(AB ????? +AC ????? )，则|PD

????? |= ；PB ????? ?PD ????? = .

1-

【解析】根据题意作图，如下图所示，易知P 点是BC 中点，|PD

????? |=√22+12=√5，如图建立平面直角坐标系，PB

????? =(0,1)，PD ????? =(?2,?1)，则PB ????? ?PD ????? =?1

天津

【2020天津卷15】如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°,AB =3，BC =6，且AD ????? =λBC ????? , AD ????? ?

AB ????? =?32

，则实数λ的值为_________，若M,N 是线段BC 上的动点，且|MN ??????? |=1，则DM ?????? ?DN ?????? 的最小值为_________．

【答案】113,

62

【解析】利用数量积的定义，计算得到 33cos1202

AD AB AD ?=-=??o uuu r uu u r uuu r 利用极化恒等式，取MN 中点为O , 22222111[()()](4)444DM DN DM DN DM DN DO NM DO ?=+--=-=-uuu u r uuu r uuu u r uuu r uuu u r uuu r uuu r uuu r 14

DO 为平行线间距离时，为最小值

代入最小值为

上海

【2020上海卷12】已知a 1???? ,a 2???? ,b 1??? ,b 2???? ,......,b k ???? (k ∈N ? )是平面内两两互不相等的向量，满足

|a 1???? ?a 2???? |=1,且|a i ??? ?b j ??? |∈{1,2}(其中i =1,2，j =1,2......,k ),则k 的最大值为___________.

【答案】6

【解析】根据平面向量模的几何意义，121a a -=表示1a ，2a 对应的终点间的距离为1；将j b 的起点平移到到i a 的终点处，则{}1,2i j a b -∈表示任意的j b 的终点到i a 的终点的距离都为1或2，因此可将转化为：以向量1a ，2a 的终点为圆心，1r =或2r =的作圆，则j b 的终点在圆的交点处，由图可知k 的最大值为6.

浙江

【2020浙江卷17】设12,e e u r u r 为单位向量，满足12|2|e e -≤u r u r 12a e e =+r u r u r ,123b e e =+r u r u r ，设

,a b r r 的夹角为θ，则 cos 2θ的最小值为 ▲ .

【答案】29

28 ,2332

13

【解析】设1e 与2e 夹角为α，则2cos 4142|2|21≤-+?≤

-αe e ， 解得43cos ≥α，而αααθcos 610cos 22cos 44|

|||cos +?++=?=b a 化简得：ααθcos 610cos 222cos ++=

， 所以2928cos 915834cos 35cos 44cos 2≥+-=++=θααθ，当且仅当43cos =α时，等号成立

山东

【2020山东7】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP

????? ·AB ????? 的取值范围是 A.(-2，6) B.(-6，2) C.(-2.4) D.(-4，6)

【答案】A

【解析】：设AP ????? 与AB ????? 的夹角为θ，则AP ????? ·AB ????? =|AP ????? |·|AB ????? |·cosθ=2·|AP ????? |·cosθ，|AP ????? |·cosθ为AP ????? 在AB ????? 上的投影，投影范围为：（-1，3），故AP ????? ·AB ????? 的范围为：（-2，6），故选A.

海南

【2020海南3】在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB

????? = A ．2CD

????? +CA ????? B ．CD ????? ?2CA ????? C ．2CD ????? ?CA ????? D ．CD ????? +2CA ????? 【答案】C 【解析】()1,2CD CA CB =+所以2,CB CD CA =-故选.C