北师大版数学高二-选修1试题 1.3全称量词与存在量词
第一章 1.3全称量词与存在量词一、选择题1．下列命题中，全称命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]①②是全称命题，③是特称命题．2．命题“任意x>1，log2x<0”的否定是()A．任意x>1，log2x≥0B．任意x≤1，log2x>0C．存在x>1，log2x≥0D．存在x≤1，log2x>0[答案] C[解析]全称命题的否定是特称命题，故选C.3．给出下列四个命题，其中为真命题的是()A．任意x∈R，x2＋3<0 B．任意x∈N，x2≥1C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，x2＝3[答案] C[解析]由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“任意x∈R，x2＋3<0”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“存在x∈Z，使x5<1”为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x∈Q，x2＝3”是假命题．故选C.4．下列特称命题中真命题的个数是()①存在x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③存在x∈{x|x 是整数}，x2是整数．A．0 B．1C．2 D．3[答案] D[解析]①②③都是真命题．5．下列命题为特称命题的是()A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是异面直线D．存在实数大于等于3[答案] D[解析]分清各命题中含有的量词是全称量词还是存在量词，其中选项A，B，C都是全称命题．6．下列命题中是全称命题的是()A．所有的正方形都是菱形B．有两个实数x，使得x2＋3x＋2＝0C．存在两条相交直线平行于同一个平面D．存在一无理数x，使得x2也是无理数[答案] A[解析]B，C，D是特称命题．二、填空题7．下列命题中真命题为________，假命题为________．①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有些三角形不是等腰三角形；⑤所有的菱形都是正方形[答案]①②③④⑤8．下列语句：①能被7整除的数都是奇数；②|x－1|<2；③存在实数a使方程x2－ax ＋1＝0成立；④等腰梯形对角线相等且不互相平分．其中是全称命题且为真命题的序号是________．[答案]④[解析]①是全称命题，但为假命题，②不是命题，③是特称命题，只有④是全称命题且为真命题．三、解答题9．指出下列命题中，那些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．(1)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；(3)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．[解析](2)是全称命题，(1)(3)是特称命题．(1)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题.(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，所以该命题是假命题.(3)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．10．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(2)有些整数只有两个正因数；(3)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(4)存在一条直线，其斜率不存在；(5)对所有的实数a、b，方程ax＋b＝0都有唯一解．[答案](1)(2)(4)为特称命题(3)(5)为全称命题(2)(3)(4)真(1)(5)假[解析](1)是特称命题．因为垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(2)是特称命题．因为存在整数2只有两个正因数1和2，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．(3)是全称命题，由三角函数知识知“对任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1都成立”，故此命题是真命题．(4)是特称命题，因为垂直于x轴的直线斜率不存在，所以“存在直线l，l的斜率不存在”，是真命题．(5)是全称命题，因为0x＋3＝0无解，所以“对任意a、b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．一、选择题1．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0[答案] D[解析]特称命题的否定是全称命题．2．下列命题中的假命题是()A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβB ．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对任意α和β，使cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β，使cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β[答案] B[解析] cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，显然C 、D 为真；sin α·sin β＝0时，A 为真；B 为假．故选B.3．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数[答案] A[解析] 显然当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选A.4．设函数f (x )的定义域为R ，有下列三个命题：①若存在常数M ，使得对任意x ∈R ，有f (x )≤M ，则M 是函数f (x )的最大值； ②若存在x 0∈R ，使得对任意x ∈R ，且x ≠x 0，有f (x )≤f (x 0)，则f (x 0)是函数f (x )的最大值； ③若存在x 0∈R ，使得对任意x ∈R ，有f (x )≤f (x 0)，则f (x 0)是函数f (x )的最大值． 这些命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] 对于①，M 不一定在函数f (x )的值域内，故①不正确；对于②③，所取值x 0在其定义域内，f (x 0)在函数f (x )的值域内，f (x 0)为函数f (x )的最大值，故②③正确，故应选C. 二、填空题5．已知命题“存在x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] －1<a <3[解析] 由条件得命题“任意x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12>0”是真命题．所以Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3.6．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＝0，则实数a 的取值范围是________．[答案] －1<a <1[解析] 当a ＝0时，x 0＝0满足题意．当a ≠0时，由题意知方程ax 2＋2x ＋a ＝0有实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0Δ＝4－4a 2≥0，∴－1<a <0或0<a <1. 综上可知－1<a <1.三、解答题7．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )，都对应一点P ；(2)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(3)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立．[答案] (1)全称命题，真命题；(2)全称命题，假命题；(3)特称命题，假命题．8．为使下列p (x )为真命题，求x 的取值范围．(1)p (x )：log 2x 2－1>0.(2)p (x )：4x －2x ＋1－3<0.(3)p (x )：1－sin2x ＝sin x －cos x .[解析] (1)由log 2x 2－1>0，得log 2x 2>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2>2， ∴x >2或x <－2，因此，使p (x )为真命题的x 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(2)令2x ＝a ，则a 2－2a －3<0，∴－1<a <3，∴2x <3，x <log 23.因此使p (x )为真命题的x 的取值范围为(－∞，log 23)．(3)由1－sin2x ＝sin x －cos x ，得|sin x －cos x |＝sin x －cos x ，∴sin x ≥cos x ，∴2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 因此，使p (x )为真命题的x 的取值范围为[2k π＋π4，2k π＋5π4]，k ∈Z .。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 1.3.1 全称量词与全称命题 1.3.
2.特称命题 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分 的含义,这样的词叫作存在量词,含有存在量词的命题,叫作特称命 题. 【做一做2】 下列命题不是特称命题的是( ) A.有些实数没有平方根 B.能被5整除的数也能被2整除 C.存在x∈{x|x>3},使x2-5x+6<0 D.有一个m,使2-m与|m|-3异号 答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可. 故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只 需m>-4. (2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x),若存在一个实数x,使不等式 m>f(x)成立,只需m>f(x)min.
【做一做 3】 给出下列命题:
①任意 x∈R, ������是无理数; ②任意������, ������∈R,若 xy≠0,则 x,y 中至少
有一个不为 0;③存在实数既能被 3 整除又能被 19 整除.
其中真命题为
.(填序号)
解析:①是假命题,例如 4是有理数;②是假命题,若 xy≠0,则 x,y
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 利用全称命题、特称命题求参数范围
【例3】 已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立?并 说明理由. (2)若存在一个实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围. 分析:可考虑用分离参数法,转化为m>-f(x)对任意x∈R恒成立和 存在一个实数x,使m>f(x)成立.
高中数学选修2-1同步练习题库：全称量词与存在量词(填空题：一般)
全称量词与存在量词（填空题：一般）1、若命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围为．2、已知“∀x∈R，ax2＋2ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．3、命题“对任何，”的否定是__________．4、已知命题“，”，则__________．5、下列命题中，假命题的序号有____．（1）是“函数为偶函数”的充要条件；（2）“直线垂直平面内无数条直线”是“直线垂直平面”的充分条件；（3）若，则；（4）若则￢6、命题“”的否定是_____7、命题“”的否定是________.8、已知，，若，或，则的取值范围是__________．9、设命题，则为__________．10、已知命题，，则命题的否定为__________.11、已知函数.若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是__________．12、已知命题“x∈R，sinx－2a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．13、以下说法正确的是__________。
(填写所有正确命题的序号)①不等式与不等式解集相同；②已知命题“若，则”的否命题是“若，则” ，命题“若，则”与命题“若，则”等价，则为真命题，为假命题；③命题“”的否定是“”；④已知幂函数的图像经过点，则。
14、命题“”的否定是____________．15、下列命题中真命题为__________．（1）命题“”的否定是“”（2）在中，,则．（3）已知数列{}，则“成等比数列”是“”的充要条件（4）已知函数，则函数的最小值为216、命题“ ，”的否定是________________．17、命题：，，则该命题的否定是________．18、命题“"x∈R，sin x≥－1”的否定是______．19、若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为_______.20、命题“∃x R，x＋1≥0”的否定为______．21、若命题“”是假命题，则的取值范围是__________．22、若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是___________．23、已知下列命题：①的否定是：；②若，则；③若，；④在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B．其中真命题是_______________．(将所有真命题序号都填上)24、若下列两个方程中至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是__________.25、命题“，”的否定是__________．26、给出如下四个命题：①已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，并且，则“”是“∥”的必要不充分条件；②对于，成立；③“若，则”的逆命题为真命题；④把函数的图象向右平移个单位，可得到的图象.其中所有正确命题的序号是__________．27、命题：“”的否定为__________．28、已知命题对任意的，命题存在，若命题“且”是真命题，则实数的取值范围是_________．29、已知函数.若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是__________．30、命题，，命题，其中真命题是；命题的否定是．31、下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥．其中所有真命题的序号是．32、已知命题，命题，若命题是真命题，则实数的取值范围是__________．33、若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．34、命题“，”的否定是．35、设命题P：，则P为．36、命题“∀x∈R＋，2x＋＞a成立”是真命题，则a的取值范围是________．37、【原创】已知命题，．若命题是真命题，则实数的取值范围是．38、已知命题，．若命题是假命题，则实数的取值范围是．39、命题“”的否定形式是．40、已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0，如果命题￢p是真命题，那么实数a的取值范围是．41、已知：对∀x＞0，a≤x+恒成立，则a的取值范围为．42、下列命题的否定为假命题的是．①∀x∈R，﹣x2+x﹣1＜0；②∀x∈R，|x|＞x；③∀x，y∈Z，2x﹣5y≠12；④∃x∈R，Tsin2x+sinx+1=0．43、命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是．44、已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为．45、下列全称命题中是假命题的是．①2x+1是整数（x∈R）；②对所有的x∈R，x＞3；③对任意的x∈Z，2x2+1为奇数．46、下列存在性命题中，是真命题的是．①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．47、不等式x2﹣x＞x﹣a对∀x∈R都成立，则a的取值范围是．48、命题“对任何x∈R，|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是．49、命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．50、下列命题是全称命题并且是真命题的是．①每个二次函数的图象都开口向上；②对任意非正数c，若a≤b+c，则a≤b；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x0使不等式x02﹣3x0+6＜0成立．51、下列说法正确的是________(将所有正确的序号填在横线上)．①直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0，则l1∥l2的必要条件是ab＝1；②方程x2＋mx＋1＝0有两个负根的充要条件是m>0；③命题“若|a|＝|b|，则a＝b”为真命题；④“x<0”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件．52、命题，使的否定是 .53、命题，使的否定是 .54、下列说法：①“，”的否定是“，”；②函数的最小正周期是；③命题“函数在处有极值，则”的否命题是真命题；④是上的奇函数，的解析式是，则时的解析式为．其中正确的说法是__________．55、若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的范围________．56、命题p:“，使”的否定¬p是57、已知函数f(x)＝4|a|x－2a＋1.若命题：“∃x0∈(0,1)，使f(x0)＝0”是真命题，则实数a的取值范围是________．58、命题“R，.”的否定是 .59、命题“R，.”的否定是 .60、由命题“”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是．61、已知命题，请写出命题的否定:_________.62、下列说法：① “，使>3”的否定是“，使3”；②函数的最小正周期是；③ “在中，若，则”的逆命题是真命题；④ “”是“直线和直线垂直”的充要条件；其中正确的说法是（只填序号）.63、命题：“，x0≤1或>4”的否定是________.64、命题“”的否定是： .65、若，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（写出所有正确命题的编号）_______________。
北师版高中数学选修1-1课后习题 第一章 §3 全称量词与存在量词
第一章DIYIZHANG常用逻辑用语
§3全称量词与存在量词
课后篇巩固提升
A.所有的奇函数的图像都关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.空间中不相交的两条直线相互平行
D.存在大于或等于9的实数
A.存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(=0时f(使f(=1时,f(=0时,f(x)是偶函数.
A.[4,+∞)
B.[1,4]
C.[e,4]
D.(-∞,1]
],都有tan 的最小值为.
5.若“对任意x∈[0,π
4
0≤x≤π
,可得0≤tan的最小值为1.
4
k>0,方程x2+x-k=0无实根
√2,2√2]
,2x 2-3ax+9≥0对一切x ∈R 恒成立,因此(-3a)2-72≤0,解得-2√2≤a≤2√2.
x ∈R,|x-2|+|x-4|≤3
(1)所有正方形都是矩形;
(2)至少有一个实数x 使x 3+1=0;
(3)存在θ∈R,函数y=sin(2x+θ)为偶函数;
(4)任意x,y ∈R,|x+1|+|y-1|≥0.
10.已知函数f(x)=x 2-4x+a+3,a ∈R.若函数y=f(x)在[-1,1]上存在零点,求a 的取值范围.
f(x)的图像的对称轴为直线x=2,
所以f(x)在[-1,1]上是减少的,
欲使f(x)在[-1,1]上存在零点,应有{f (1)≤0,f (-1)≥0,
即{a ≤0,8+a ≥0.
所以-8≤a≤0. 故实数a 的取值范围是[-8,0].。
高考北师大版数学总复习课件：1.3全称量词与存在量词
[答案 ] 真
12 3 3 [解析] 由于任意 x∈ R， x ＋ x＋ 1＝ (x＋ ) ＋ ≥ >0，因 2 4 4
2
为只需 m2－ m≤ 0，即 0≤ m≤ 1，所以当 m＝ 0 或 m＝1 时，任 意 x∈ R， m2－ m< x2＋ x＋ 1 成立，因此命题是真命题．
7．分别写出下列各命题的“p∨ q”、“p∧ q”和“ ¬p” 的形式，并判断它们的真假． (1)p： 3 是无理数， q： 3是实数； (2)p： 4>6， q： 4＋ 6≤10； (3)p： 8 是 30 的约数， q： 6 是 30 的约数； (4)p： 矩形的对角线互相垂直，q： 矩形的对角线互相平分．
π 2sinx＋ ∈ [－ 4
2 ， 2]知④正确．
1 5．命题“对一切非零实数 x，总有 x＋ ≥2”的否定是 x ________，它是________(填“真”或“假” )命题．
1 [答案] ∃x∈R，x≠0，x＋ <2 真 x
1 [解析] 例如：x＝－2，则 x∈R，x≠0，x＋ <2. x
所以 p、 q 中至少有一个为真命题．
4．给出如下几个结论： ①命题“存在 x∈ R， sinx＋ cos x＝ 2”的否定是“存在 x ∈ R，sinx＋ cos x≠ 2”； 1 ②命题“任意 x∈ R，sinx＋ ≥ 2”的否定是“存在 x∈ sin x 1 R， sinx＋ <2”； sin x ③对于任意
真
假 假 假
真
假
真
假 假 假
假
假
真
真
真
真
假
真
真
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3.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一 个”、“任何一个”、“所有”等． (2)常见的存在量词有：“存在”、“至少有一个”、“有 些”、“有一个”、“某个”、“有的”等．
2021_2022学年高中数学第一章常用逻辑用语§3全称量词与存在量词课件北师大版选修1_1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3写出下列含有量词的命题的否定,并判断真假.
(1)所有矩形的对角线相等.
(2)存在实数m,x2+x+m=0的两根都是正数.
解(1)有的矩形的对角线不相等.假命题.
(2)对任意实数m,x2+x+m=0的两根不都是正数.真命题.
)
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一 全称命题与特称命题的判断
【例1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题.
(1)所有的常数数列都是等比数列;
(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
1
1
(3)对任意 a,b∈R,若 a>b,则 < ;
(4)有一个函数,既是奇函数,又是偶函数;
(4)含有存在量词“有一个”,故是特称命题.
(5)省略了全称量词“所有的”,故是全称命题.
反思感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的方法:
(1)分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含
有存在量词的命题是特称命题.
(2)当命题中不含量词时,要注意根据命题含义的实质进行判断.
(3)全称命题有时可能会省略全称量词,但特称命题的量词一般不
命题,即“对任意x∈R,都有x2+2x+m>0”是真命题,则Δ=4-4m<0,所
以m>1.所以m的取值范围为(1,+∞).
1
2
3
45
1.下列命题不是特称命题的是(
)
A.有些实数的平方可以等于零
高中数学 第一章 常用逻辑用语 3 全称量词与存在量词学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-
§3全称量词与存在量词[对应学生用书P8]全称量词与全称命题在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．这就是著名的“罗素理发师悖论”问题．问题1：文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？提示：任意一个，全部，每个．问题2：上述词语都有什么含义？提示：表示某个范围内的整体或全部．全称量词与全称命题(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题.存在量词与特称命题观察语句①②：①存在一个x∈R，使3x＋1＝5；②至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．问题1：①②是命题吗？若是命题，判断其真假．提示：是，都为真命题．问题2：①②中的“存在一个”、“至少有一个”有什么含义？提示：表示总体中“个别”或“一部分”．问题3：你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？提示：某些，有的，有些．存在量词与特称命题(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题.全称命题与特称命题的否定观察下列命题：①被7整除的整数是奇数；②有的函数是偶函数；③至少有一个三角形没有外接圆．问题1：命题①的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？提示：不对，命题①是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．问题2：命题②的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数．问题3：判断命题③的否定的真假．提示：命题③的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．1．判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全称量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题．2．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称命题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，即说明这个特称命题的否定是正确的．[对应学生用书P9]全称命题与特称命题的判断[例1] 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各面都是正三角形；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．[思路点拨] 先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．[精解详析] (1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”．[一点通]判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：(1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．1．下列命题为特称命题的是( )A．奇函数的图像关于原点对称B．正四棱柱都是平行六面体C．棱锥仅有一个底面D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0解析：A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.答案：D2．下列命题中，全称命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0个B．1个C．2个D．3个解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．答案：D全称命题与特称命题的真假判断[例2] 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有tan x1<tan x2；(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．[思路点拨] 本题可由命题中所含量词的特点或命题的语境判断命题的类别，再结合相关知识判断真假．[精解详析] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π，所以该命题是假命题．(4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．[一点通]1．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定条件中的每一个元素x，验证命题成立．而要判断它是假命题，只要能举出限定条件中的一个x，使命题不成立即可．2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定条件中，至少能找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3．下列命题的假命题是( )A．有些不相似的三角形面积相等B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0C ．存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大D ．有一个实数的倒数是它本身解析：以上4个均为特称命题，A ，C ，D 均可找到符合条件的特例；对B ，任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.故B 为假命题．答案：B4．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)对任意x ∈R ，都有x 2－x ＋1＞12成立；(2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β成立； (3)对任意x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ； (4)存在x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3成立．解：(1)法一：当x ∈R 时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34＞12，所以该命题是真命题．法二：x 2－x ＋1＞12 ⇔x 2－x ＋12＞0，由于Δ＝1－4×12＝－1＜0，所以不等式x 2－x ＋1＞12的解集是R ，所以该命题是真命题． (2)当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos(π4－π2)＝cos(－π4)＝cos π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22－0＝22，此时cos(α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题．(3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∈/ N ，所以该命题是假命题．(4)当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，即存在x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3，所以该命题是真命题.全称命题、特称命题的否定[例3] (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图像都开口向下； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形．[思路点拨] 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．[精解详析] (1)是全称命题且为真命题． 命题的否定：三角形的内角和不全为180°， 即存在一个三角形的内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下． (3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数． (4)是特称命题，且为真命题．命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形． [一点通]1．全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题．2．写全称(特称)命题的否定时，先把全称(存在)量词改为存在(全称)量词，然后再否定结论．5．(湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：根据特称命题的否定是全称命题即可解答．“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选B.答案：B6．若“对任意x ∈R ，ax 2－2ax －1＜0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：依题意，问题等价于对任意x ∈R ，ax 2－2ax －1＜0恒成立．当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋4a ＜0，解得－1＜a ＜0，故实数a 的取值范围是(－1,0]答案：(－1,0]7．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；(4)对任意m∈Z，都有m2－3＞0成立．解：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数．(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除．(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意x∈R，都有log2x≤0.(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．1．判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词．有些命题没有明显的量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断．2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题；(2)改变量词；(3)否定结论；(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定．[对应课时跟踪训练三]1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为( )A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立解析：本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．答案：A2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立C ．对任意x ∈R ，使得f (x )＞0成立D ．对任意x ∈R ，f (x )≤0成立解析：“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x ，使得f (x )＞0成立”，故选A.答案：A3．下列命题为真命题的是( ) A ．对任意x ∈R ，都有cos x ＜2成立 B ．存在x ∈Z ，使log 2(3x －1)＜0成立 C ．对任意x ＞0，都有3x＞3成立 D ．存在x ∈Q ，使方程2x －2＝0有解解析：A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1＜2，所以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)＜0⇔0＜3x －1＜1⇔13＜x ＜23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2∈/ Q ，所以D 是假命题，故选A.答案：A4．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，使x ＞0；④对于任意实数x,2x ＋1都是奇数．下列说法正确的是( )A ．四个命题都是真命题B ．①②是全称命题C ．②③是特称命题D ．四个命题中有两个假命题解析：①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题． 答案：C5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________． ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称命题，②④是特称命题． 答案：①③ ②④6．命题“偶函数的图像关于y 轴对称”的否定是________．解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y 轴不对称”．答案：有些偶函数的图像关于y 轴不对称 7．写出下列命题的否定并判断其真假． (1)有的四边形没有外接圆； (2)某些梯形的对角线互相平分； (3)被8整除的数能被4整除．解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题． (2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题． (3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．8．(1)若命题“对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题“存在实数x ，使不等式sin x ＋cos x >m 有解”是真命题，求实数m 的取值范围．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)． (2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，使sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 3.2存在量词与特称命题》
教学设计北师大-选修2-1-第一章§3 全称量词与存在量词的否定西安市第一中学孙丽荣课题：全称量词与存在量词的否定学习目标1,通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的含义．2．会判断全称命题，特称命题的真假．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定（一）复习1全称量词与全称命题在指定范围内，表示整体或全部的含义的词叫做____________．我们把含有全称量词的命题，叫做____________．全称量词一般有：“所有的”、“任何一个”、“每一个”、“一切”、“任意一个”等等．2．存在量词与特称命题在指定范围内，表示个别或一部分的含义的词叫做________．我们把含有存在量词的命题叫做________．存在量词一般有：“有一个”、“有些”、“存在”、“至少有一个”等等．思考1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数（3） ∈R，2-21≥0；←探究：写出命题的否定（1）≥0,则2-m=0有实数根。
←（3）可以被5整除的整数，末位是0。
←（4）被8整除的数能被4整除。
例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。
←（1）：若＞,则5＞5；←（2）：若2﹤2,则2-﹤2；←（3）：正方形的四条边相等；←（4）：已知a,b为实数，若2ab≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。
←练习：写出下列命题的否定：←（1）：所有能被3整除的整数都是奇数；←（2）：每一个四边形的四个顶点共圆；←（3）：对任意∈Z，2的个位数字不等于3；←（4）：任意素数都是奇数；←（5）：每个指数函数都是单调函数；←（6）：线段的垂直平分线上的点到这条线段两←个端点的距离相等；。
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题 学案(含答案)
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题学案（含答案）2.32.3全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题22..3.13.1全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题学习目标1.理解全称量词.全称量词命题的定义.2.理解存在量词.存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假知识点全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有.任意.每一个存在.有的.有一个符号命题含有全称量词的命题称为全称量词命题含有存在量词的命题称为存在量词命题一般形式xM，pxxM，px思考1全称量词命题中的“x，M与px”表达的含义分别是什么答案元素x可以表示实数.方程.函数.不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围px表示集合M的所有元素满足的性质如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“xN，x0”思考2“一元二次方程ax22x10有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题请改写成相应命题的形式答案是存在量词命题，可改写为“存在xR，使ax22x10”1“三角形内角和是180”是全称量词命题2“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题3“xR，x211”是真命题4存在量词命题“xR，x21,3x40成立；2对所有实数a，b，方程axb0恰有一个解；3有些整数既能被2整除，又能被3整除；4某个四边形不是平行四边形解1全称量词命题，表示为xx|x1,3x40.2全称量词命题，表示为a，bR，方程axb0恰有一解3存在量词命题，表示为xZ，x既能被2整除，又能被3整除4存在量词命题，表示为xy|y是四边形，x不是平行四边形反思感悟判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题跟踪训练1判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题1凸多边形的外角和等于360；2矩形的对角线不相等；3若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；4有些实数a，b能使|ab||a||b|；5方程3x2y10有整数解解1可以改为所有的凸多边形的外角和等于360，故为全称量词命题2可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题3若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题4含存在量词“有些”，故为存在量词命题5可改写为存在一对整数x，y，使3x2y10成立故为存在量词命题二.全称量词命题与存在量词命题的真假的判断例2判断下列命题的真假1xZ，x30.解1因为1Z，且1311，所以“xZ，x30”是假命题反思感悟判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言1要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使px成立即可，否则命题为假2要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，px都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使px不成立即可跟踪训练2试判断下列命题的真假1xR，x212；2直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；3存在一对整数x，y，使得2x4y6.解1取x0，则x2112，所以“xR，x212”是假命题2与x 轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题3取x3，y0，则2x4y6，故为真命题三.依据含量词命题的真假求参数的取值范围例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B，若命题p“xB，xA”是真命题，求m 的取值范围解由于命题p“xB，xA”是真命题，所以BA，B，所以m12m1，m12，2m15，解得2m3.延伸探究1把本例中命题p改为“xA，xB”，求m的取值范围解p为真，则AB，因为B，所以m2.所以2m15，m2或22m15，m2，解得2m4.2把本例中的命题p改为“xA，xB”，是否存在实数m，使命题p是真命题若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由解由于命题p“xA，xB”是真命题，所以AB，B，所以m12m1，m12，2m15，解得m，所以不存在实数m，使命题p是真命题反思感悟依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法1首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意2其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式组求参数的取值范围跟踪训练3若命题“xR，x24xa0”为真命题，求实数a的取值范围解命题“xR，x24xa0”为真命题，方程x24xa0存在实数根，则424a0，解得a4.1多选下列命题是全称量词命题的是A任意一个自然数都是正整数B有的菱形是正方形C梯形有两边平行DxR，x210答案AC 解析选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题，选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题2下列命题中是存在量词命题的是A任何一个实数乘以0都等于0B任意一个负数都比零小C每一个正方形都是矩形D一定存在没有最大值的二次函数答案D解析D选项是存在量词命题3下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是A每个二次函数的图象都开口向上B存在一条直线与已知直线不平行C对任意实数a，b，若ab0，则abD 存在一个实数x，使等式x22x10成立答案C解析B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数yax2bxca0的图象开口向下，也应排除，故应选C.4命题pxR，x22x50是________填“全称量词命题”或“存在量词命题”，它是________命题填“真”或“假”答案存在量词命题假解析命题p是存在量词命题，因为方程x22x50的判别式22450解析一次函数ykx2的图象过点0,2，若恒过第三象限，则k0.1知识清单1全称量词命题.存在量词命题的概念2含量词的命题的真假判断3依据含量词的命题的真假求参数的取值范围2常见误区有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体.全部”，存在量词命题强调“个别.部分”。
高二数学全称量词与存在量词
同一全称命题、特称命题，由于自然语言 的不同，可能有不同的表述方法：
命题 全称命题 x M , p(x)
①所有的x∈M，p(x)成立
②对一切x∈M，p(x)成立
表 述
③对每一个x∈M，p(x)成 立
方 ④任选一个x∈M，p(x)成
法立
⑤凡x∈M，都有p(x)成立
特称命题 x0 M , p(x)
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”可用符号简记为：
x M，p(x),
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
例1 判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数； （2） （3）对每一个无理数x，x2也是无理数。
解：（1）假命题； （2）真命题； （3）假命题。
小 结：
判断全称命题"x M,p(x)"是真命题的方法：
（举例证明）
判断特称命题"x0
M,p(x 0
)"是假命题的方法：
——需要证明集合M中，使p(x)成立的元素x不存在。
练 习：
2 判断下列特称命题的真假：
（1）x0 R, x0 0;
（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； （3）
解：（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题。
“任给” “所有的”等 。 全称量词、全称命题定义：
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并
用符号“ ”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
全称命题举例：
命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。
全称命题符号记法：
通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示，变量x 的取值范围用M表示，那么，
北师大版数学选修1-1教案：第1章-拓展训练：全称量词、存在量词
1.3 全称量词与存在量词1、"至少有一个的"否定为A.只有一个B.至多有一个C.至多有两个D.一个也没有2、否定结论“至少有两个解”的正确说法是A .至少有三个解B .至多有一个解C .至多有两个解D .只有一个解3、设奇函数()f x 满足：对x R ∀∈有(1)()0f x f x ++=，则(5)f = ___________ ．4、用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题:（1）实数的平方大于等于0_______________________________（2）存在一对实数 x,y ，使2x ＋3y ＋3>0成立 。
5、已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数；(2)是否存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足以下条件①对,(4)(2)x R f x f x ∀∈-=-，且()0f x 的最小值是；②对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤-。
若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由。
参考答案1、D2、B3、04、（1）0,2≥∈∀x R x 有（2）R y x ∈∃,，使2x ＋3y ＋3>0成立5、（1）()10,0,f a b c -=∴-+= b a c=+ 2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=-当a c =时0∆=，函数()f x 有一个零点；当a c ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点。
(2)假设,,a b c 存在，由①知抛物线的对称轴为x ＝－1，且min ()0f x = ∴241,024b ac b a a--=-= ∴ 222,444b a b ac a ac a c ==∴=∴=由②知对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤- 令1x =得0(1)10f ≤-≤(1)10f ⇒-=(1)1f ⇒=1a b c ⇒++=由12a b c b a a c ++=⎧⎪=⎨⎪=⎩得11,42a c b ===， 当11,42a c b ===时，221111()(1)4244f x x x x =++=+，其顶点为（－1，0）满足条件①，又21()(1)4f x x x -=-⇒对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤-，满足条件②。