大学物理 上册(第五版)重点总结归纳及试题详解第八章 真空中的稳恒磁场

第八章 真空中的稳恒磁场

一、 基本要求

1．掌握磁感应强度的概念。理解毕奥－萨伐尔定律。能计算一些简单问题中的磁感应强度。

2．理解稳恒磁场的规律：磁场的高斯定理和安培环路定理。理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。

3．理解安培定律和洛仑兹力公式。了解磁矩的概念。能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。能分析点电荷在均匀电磁场（包括纯电场，纯磁场）中的受力和运动。 二、

基本内容

1. 基本概念：电流产生磁场，描述磁场的基本物理量——磁感应强度矢量，磁场线，磁通量，磁场对电流的作用。

2. 毕奥－萨伐尔定律

电流元d l I 在空间某点激发的磁感应强度为：

02

4d d r μπ⨯=l r B I

其中，r 表示从电流元到该点的距离，0r 表示从电流元到该点的单位矢量。 从该定律可以直接得到在直电流的延长线和反向延长线上各点的磁感应强度为零。它是求解磁场的基本规律，它从电流元的磁场出发，可得到计算线电流产生磁场的方法

2

()()

4L L d d r

μ

π

⨯==⎰⎰

l r B B I

应用上式在教材中导出了一些电流产生磁场的计算公式，包括：一段直电流在空间任意一点的磁场，无限长直载流导线在空间任意一点的磁场，圆电流在轴线上各点的磁场，一段载流圆弧在圆心处的磁场，圆电流在圆心处的磁场。

这些计算公式在求解问题时可以直接使用。 3. 磁场的叠加原理

121

n

n i i ==++

+=∑B B B B B

该原理表明多个电流在空间某点产生的磁场，等于各电流单独存在时在该点处产生的磁场的矢量和。将磁场的计算公式和叠加原理结合使用，可以求解多种电流在空间某点产生的磁场。在计算中首先应该将复杂的电流分成计算公式已知的电流段，然后分段计算，最后求出矢量和。对于电流连续分布的载流体，可以选择合适的电流元dI ，用已知公式求出电流元在所求点的磁场d B ，然后根据d B 的分布特点，建立合适的坐标系，求出各个磁场分量，最后求其矢量和。

4. 磁场中的高斯定理

()

0S d ⋅=⎰⎰

B S

该定理表明：磁场是无源场，磁场线是无头无尾的闭合曲线。应用该定理求解均匀磁场中非闭合曲面的通量时，可以作平面，使平面和曲面形成闭合曲面，由于闭合曲面的通量为零，即曲面的通量等于平面通量的负值，从而达到以平代曲的目的。

5. 安培环路定理

01

N

i L

i d I μ=⋅=∑⎰

B l

该定理表明：磁场是有旋场，磁场是非保守力场。应用该定理时，首先应该注意穿过以L 为边界的任意曲面的电流的正负；其次应该知道环流为零，环路上各点的磁感应强度不一定为零。在应用定理求解具有轴对称电流分布的磁场和均匀磁场的磁感应强度时，要根据电流的对称性和磁场的性质选择合适的环路L 。

6. 安培定律

电流元在外磁场中受安培力为：

d Id =⨯f l B

其中，d f 的大小ϕsin IdlB df =，d f 方向由Id ⨯l B 确定。

该定律是计算磁场对电流的作用的基本定律。一段载流导线在磁场中受到的安培力为：

()

()

L L d Id ==⨯⎰⎰f f l B

应用上式时，应该注意电流上各点的磁场是否均匀及磁力的分布特点。如果电流

上各点的磁场相等，并且是一段直电流，可以先求出导线上的磁场，然后用公式

ϕsin BL I f =求出结果；如果电流上各点所受的磁力的大小不同但方向相同，可以先在

电流上取一小线段d l ，求出d l 段电流所受的磁力，然后通过标量积分得结果；如果电流上各点所受的磁力的大小不同方向分布在一个平面上，可以先在电流上取一小线段

d l ，求出d l 段电流所受的磁力，然后建立直角坐标，积分求出磁力分量，最后合成，求得电流所受到的磁场力。

8．载流线圈在磁场中受到的力矩

m =⨯M P B

式中0m IS =P n ，S 为线圈所围的面积，0n 为线圈面元法向的单位矢量，m P 称为载流线圈的磁矩，其数值为IS P m =。若线圈为N 匝时，NIS P m =。

9．洛伦兹力

运动电荷q 在外磁场中所受的洛伦兹力为：

q =⨯f B v

洛伦兹力的方由⨯B v 的方向和q 的正负决定。当q 的为正时，洛伦兹力的方向与⨯B v 的方向相同；当q 的为负时，洛伦兹力的方向与⨯B v 的方向相反。

三、习题选解

8-1 如图所示，一根无限长直导线通有 电流I ，但中部一段弯曲成圆弧形，圆 弧BEC 的曲率半径为R ，所对圆心角为

120。求图中圆心O 处的磁感应强度矢量

的大小和方向。 题8-1图

解：点O 的磁感应强度由直线AB ，CD 及圆弧BEC 三部分载流导线所产生。

0AB CD BEC =++B B B B

由于对称性AB 和CD 在O 点产生的磁感应强度相等，方向均垂直纸面向里。 由教材（8.12式）得

00(cos150cos180)0.67

4cos60AB CD I

I

B B R R

μμππ==

-= 00(sin 90sin 60)0.0674cos60I I

R R

μμππ=-=

在BEC 圆弧上任取一电流元Id l 如图()a 所示，它在O 点产生的磁感应强度的方向也垂直于纸面向里，量值为

θπμπθμπμd R I

R IRd R Idl dB 44402

020===

导线BEC 在O 产生的磁感应强度

120

0000

2(0)4436BEC I I I

B dB d R R R

μμμθπππ===-=⎰⎰

题8-1()a 图

000020.0670.216AB CD BEC I I I

B B +B B R R R

μμμπ=+=⨯+= 方向垂直纸面向里。

8-2 有两个圆形线圈A A '和B B '，其平面相互正交，圆心重合的放置。A A '线圈的半径cm R A 20=，共10匝，通以电流A 0.10；B B '线圈半径cm R B 10=，共

20匝，通以电流A 0.5。求公共圆心O 处的0B

矢量。

解：线圈A A '在圆心O 处的磁感应强度

T R I N B 41

1

10110143.32-⨯==

μ

线圈B B '在圆心O 处的磁感应强度

T R I N B 42

2

20210285.62-⨯==

μ

故 T B B B 42

2211003.7-⨯=+=

题8-2图

0.2tan 1

2

==

B B θ 63.43θ=

8-3 如图所示，有两根导线沿半径引向圆环电阻上的B A 、两点，并在很远处与电源相连。求环中心的磁感应强度。