甘肃省兰州市第二十七中学2020—2021学年高二第一学期期中考试 理科数学(无答案)
2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学(文)试题解析
2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点坐标为 A ．(0,2) B ．(2,0) C ．1(,0)32D ．1(0,)32答案：D解：抛物线28y x =可化为218x y =，∴抛物线28y x =的焦点在y 轴上，∵128=p ，∴11 232p =，∴抛物线的焦点坐标为10,32⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ． 2．双曲线221416y x -=的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．2y x =± C ．14y x =±D ．4y x =±答案：A令双曲线方程得右边为0，可得双曲线的渐近线方程.解：解：令双曲线方程得右边为0，可得220416y x -=，可得12y x =±，即：双曲线221416y x -=的渐近线方程为12y x =±，故选：A.点评：本题主要考查双曲线的渐近线方程，注意牢记双曲线渐近线的求法. 3．若方程2212x y m m+=-表示椭圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()0,2 D ．()()0,11,2答案：D由题知0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解不等式组即可得答案.解：解：因为方程2212x y m m+=-表示椭圆 所以0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得021m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩，所以实数m 的取值范围为()()0,11,2故选：D4．命题“00x ∃>，00sin x x <”的否定是（ ） A ．00x ∃≤，00sin x x < B ．00x ∃≥，00sin x x > C ．0x ∀>，sin x x ≥ D ．0x ∀>，sin x x >答案：C特称命题否定为全称命题即可解：命题“00x ∃>，00sin x x <”的否定是“0x ∀>，sin x x ≥”， 故选：C5．如果质点A 按照规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 A ．6 B ．18C ．54D ．81答案：B对23s t =求导，再把3t =代入,从而可得3t =时的瞬时速度. 解：质点A 按照规律23s t =运动，'6s t ∴=，∴根据导数的物理意义可得，在3t =时的瞬时速度为6318⨯=，故选B.点评：本题主要考查导数的物理意义，意在考查利用所学知识解决实际问题的能力，属于简单题.6．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为 1.1时，函数的平均变化率为（ ） A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0答案：A由平均变化率的定义计算．解：22(1.1)(1)(1.11)(11) 2.11.110.1y f f x ∆----===∆- 故选：A ．7．已知0a >，0b >，则“4a b +=1a =，4b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案：B根据基本不等式确定等式成立的条件，然后由充分必要条件的定义判断．解：0a >，0b >时，4a b +≥=4a b =.因为4a b =时，不一定有1a =，4b = 故选：B.8．椭圆与双曲线2213y x -=有相同的焦点1F ，2F ，离心率互为倒数，P 为椭圆上任意一点，则角12F PF ∠的最大值为（ ） A ．5π6B ．2π3 C ．π2D ．π3答案：D设椭圆方程为22221x y a b+=，根据条件列方程求出,a b ，即可求出椭圆方程，当点P 为椭圆短轴端点时角12F PF ∠最大，利用余弦定理可求得该角. 解：设椭圆方程为22221x y a b+=，则222213211c c a a b c ⎧=+⎪⎪⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得2216,12a b ==， 则椭圆方程为2211612x y +=， 当点P 为椭圆短轴端点时角12F PF ∠最大，此时()22212221616161cos 22162a a c F PF a +-+-∠===⨯， 因为()120,F PF π∠∈，12π3F PF ∴∠= 故选：D.9．已知点P 是抛物线22y x =-上的一个动点，则点P 到点()0,2M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） AB ．3 CD ．92答案：A求出抛物线的焦点F 的坐标，分析可知点P 到点()0,2M 的距离与点P 到准线12x =的距离之和等于点P 到点()0,2M 的距离与点P 到点F 的距离之和，利用当点P 为线段MF 与抛物线的交点时，即M 、P 、F 三点共线时取PM PF +取最小值可得结果.解：抛物线22y x =-的焦点为1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线方程为12x =，如下图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线12x =的距离PD 等于点P 到焦点F 的距离PF ，因此点P 到点()0,2M 的距离与点P 到准线12x =的距离之和等于点P 到点()0,2M 的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点()0,2M 到点1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离（当点P 为线段MF 与抛物线的交点时，即M 、P 、F 三点共线时）11744+ 故选：A.10．已知点1F ，2F 为椭圆22142x y+=的左右焦点，过点1F 与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则三角形2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．2B ．1C 2D 2答案：C根据题意得2ABF 的周长为48a =，2AB =，进而等面积法求解即可. 解：解：根据题意得2,2a b c ===()12,0F ， 因为过点1F 与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点 所以()()2,1,2,1A B ---，2AB = 根据椭圆定义得2ABF 的周长为48a =， 不妨设三角形2ABF 的内切圆的半径为r ，所以根据等面积法得21211422ABF S a r AB F F =⨯⋅=△，代入数据得22r故选：C11．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的右焦点为(),0F c ，右顶点为A ，以OA 为直径的圆交直线cy x b=于点B （不同于原点O ），设OBF 的面积为S ．若S AB AF =⋅，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12 B ．13C ．34D ．35答案：D由题可得Rt OAB 的三边长，再结合三角形面积公式及向量数量积公式可得,,a b c 的关系式，即求.解：依题意，得OB AB ⊥， ∴点A 到直线c y x b =的距离22||AB c b c==+， 在Rt OAB 中，∵OA a =，AB c =， ∴OB b =， ∵S AB AF =⋅，∴1sin ()cos 2bc BOA c a c BAO ∠=-∠，其中sin cos BOA BAO ∠=∠， ∴()2b a c =-，∴()224b a c =-，即225830c ac a -+=， 得2583e e -+=(53)(1)0e e --=，∴35e =或1e =（舍）∴离心率为35.故选：D.12．下列结论正确的个数为（ ）①已知1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △的重心G 的轨迹方程为()2293104x y y +=≠②若动点(),P x y2，则点P 的轨迹为双曲线；③动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差是2，则点P 的轨迹是抛物线；④点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点P 为椭圆上任意一点，点()1,3M ，则2PF PM+的最小值为5；⑤斜率为2的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为14-（O 为坐标原点）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D设()G x y ,，由重心坐标公式可得(3,3)P x y ，代入椭圆方程化简即可判断①，根据两点间的距离公式及双曲线的定义可判断②，由抛物线的定义判断③，根据椭圆的定义转化为动点到两定点间距离差的最大值，数形结合求解即可判断④，由点差法建立,a b 关系，求出离心率判断⑤.解：设椭圆的动点坐标00(,)P x y ，12PF F △的重心()G x y ,，则003003x c c x y y +-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩， 所以03x x =，030y y =≠，代入椭圆方程可得()2293104x y y +=≠，故①正确； 动点(),P xy24<，即动点到定点(2,0)-与(2,0)的距离之差为定值且小于两定点间的距离，所以动点轨迹为双曲线一支，故②错误； 动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差是2，即动点P 到直线20x +=的距离与P 到()2,0M 的距离相等，所以点P 的轨迹是抛物线，故③正确； 由M 在椭圆内，如图，22211||||10(||||)10||10(13)(30)1055PM PF PF PM F M ∴+=--≥-=++-=-=当且仅当1,,P F M 共线时，2||||PM PF +取得最小值，即最小值为5成立，故④正确；设1122,,()()A x y B x y ，，可得22221122222211,，x y x y a b a b+=+=两式相减可得1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=-，由题意可得12122y y x x --=，且1212(,)22x x y y M ++，121214y y x x +=-+，所以22112(),42b a -=⨯-=-则22121122c b e a a ==--=故⑤正确. 所以正确的结论有4个， 故选：D 二、填空题13．下列各结论中，正确的是______．①“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件； ②“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的充分不必要条件； ③“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件； ④“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的必要不充分条件． 答案：①③利用充分条件和必要条件结合复合命题的真假判断方法分析判断即可解：对于①，当p q ∧为真时，,p q 都为真，所以p q ∨为真，当p q ∨为真时，,p q 至少有一个为真，则p q ∧不一定为真，所以“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，所以①正确，对于②，当p q ∧为假时，,p q 中至少有一个为假，则p q ∨不一定为假，当p q ∨为假时，,p q 都为假，则p q ∧一定为假，所以“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的必要不充分条件，所以②错误，对于③，当p q ∨为真时，,p q 至少有一个为真，所以p ⌝不一定为假，而当p ⌝为假时，p 为真，所以p q ∨一定为真，所以“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件，所以③正确，对于④，当p ⌝为真时，p 为假，则p q ∧为假，当p q ∧为假时，,p q 中至少有一个为假，所以p 不一定为假，则p ⌝不一定为真，所以“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的充分不必要条件， 所以④错误， 故答案为：①③14．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点()3,23-的双曲线方程是______. 答案：224194x y -=解：设22916x y λ-=,将()3,23-代入求得14λ=. 双曲线方程是224 1.94x y -= 15．在平面直角坐标系xoy 中，点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若MPQ 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是____________． 答案：6251,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】解：试题分析：∵△PQM 是锐角三角形， ∴∴2222cos cos 4MD c QMD ac a c b QMaπ∠==>=<- 22222,ac a c ac a c >-<- ∴22210,10e e e e +->+-< 解得6251e e --><∴该椭圆离心率的取值范围是6251--⎝⎭ 故答案为6251--⎝⎭16．已知抛物线C ：2y 2px(p 0)=>的焦点为F ，过F 且倾斜角为60的直线l 与抛物线C在第一、四象限分别交于A 、B 两点，与它的准线交于点P ，则AB PB=_____．答案：2：1设出A 、B 坐标，利用焦半径公式求出|AB |，结合x 1x 2＝24p ，求出A 、B 的坐标，然后求其比值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 12＝2px 1，y 22＝2px 2， |AB |＝x 1+x 2+p ＝2028sin 603p p =，即有x 1+x 2＝53p ， 由直线l 倾斜角为60°，则直线l 的方程为：y ﹣0x ﹣2p ）， 联立抛物线方程，消去y 并整理，12x 2﹣20px +3p 2＝0， 则x 1x 2＝24p ，可得x 1＝32p ，x 2＝16p ，则|AP |＝4p ， ∴AB PB=2.故答案为:2:1.点评：本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 三、解答题17．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{}14B x x =<<． (1)当3a =时，求A B ；(2)“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 答案：(1){}15A B x x ⋃=-≤≤ (2){}1a a <（1）由3a =，得到{}15A x x =-≤≤，再利用并集的运算求解； （2）根据 “x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得到AB ，然后分A =∅，A ≠∅讨论求解. (1)解：当3a =时，{}15A x x =-≤≤． 因为{}14B x x =<<， 所以{}15A B x x ⋃=-≤≤． (2)因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件， 所以AB ．当A =∅时，符合题意，此时有22a a +<-，解得：0a <．当A ≠∅时，要使AB ，只需22,24,21,a a a a +≥-⎧⎪+<⎨⎪->⎩解得：01a ≤<，综上：1a <．所以实数a 的取值范围{}1a a <． 18．已知命题p ：方程表示焦点在x 轴上的双曲线．命题:q 曲线2(23)1y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围． 答案：522m <≤或12m <. 分别求出命题p 、q 为真命题时m 的范围，根据复合命题真值表可得命题p ，q 命题一真一假，分p 真q 假和p 假q 真求出m 的范围，再求并集． 解：解：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线， ∴20220m m m >⎧⇒>⎨->⎩若p 为真时：2m >，曲线2(23)1y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点， 则△25(23)402m m =-->⇒>或12m <， 若q 真得：52m >或12m <， 由复合命题真值表得：若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p ，q 命题一真一假若p 真q 假：522m <； 若p 假q 真：12m <∴实数m 的取值范围为：522m<或12m <． 19．设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，113AF BF =（1）若24,AB ABF =∆的周长为16，求2AF ； （2）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.答案：（1）5；（2）2. 【解析】解：试题分析：（1）由题意113,4AF F B AB ==可以求得113,1AF F B ==，而2ABF ∆的周长为16，再由椭圆定义可得12416,28a AF AF a =+==.故212835AF a AF =-=-=.（2）设出1F B k =，则0k >且13,4AF k AB k ==.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出,a k 的关系()(3)0a k a k +-=，从而3a k =，2123,5AF k AF BF k ===，则22222||||BF F A AB =+，故12F A F A ⊥，12AF F ∆为等腰直角三角形.从而2c a =，所以椭圆E 的离心率2c e a ==. （1）由113,4AF F B AB ==，得113,1AF F B ==.因为2ABF ∆的周长为16，所以由椭圆定义可得12416,28a AF AF a =+==.故212835AF a AF =-=-=.（2）设1F B k =，则0k >且13,4AF k AB k ==.由椭圆定义可得2223,2AF a k BF a k =-=-.在2ABF ∆中，由余弦定理可得22222222||||2cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，即2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k =-+---⋅-，化简可得()(3)0a k a k +-=，而0a k +>，故3a k =.于是有2123,5AF k AF BF k ===.因此22222||||BF F A AB =+，可得12F A F A ⊥，故12AF F ∆为等腰直角三角形.从而c =，所以椭圆E 的离心率c e a ==. 【解析】1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.20．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，椭圆的左、右焦点分别是12F F 、，点M 为椭圆上的一个动点，12MF F △（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）P 为椭圆上一点，1PF 与y 轴相交于Q ，且112F P FQ =，若1PF 与椭圆相交于另一点R ， 求2PRF △的面积 .答案：（1）22143x y +=（2）157 【解析】解：试题分析：（Ⅰ）由已知条件：12c e a ==，122c b bc ⋅⋅==椭圆C 的方程；（Ⅱ） 由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，设()0,Q y ，则()1,2P y ，由此利用韦达定理、弦长公式能求出2PRF ∆的面积. 试题解析：解：（I )由已知条件：12c e a ==，122c b bc ⋅⋅=∴2,1a b c === ∴椭圆C 的方程为22143x y += . (Ⅱ)由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，所以设()0,Q y ，则()1,2P y , 又P 满足椭圆的方程，代入求得34y =. ∴直线1PF 方程为()314y x =+ . 由()22314{143y x x y =++= 得 276130x x +-= . 设()11,P x y ，()22,R x y ，则 1212613,77x x x x +=-=- .∴1212627,728y y y y +==- ，∴212115227PRF S c y y c ∆=⋅⋅-==. 说明：各题如有其它解法可参照给分.点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用；当直线与圆锥曲线相交时，将三角形的面积转化为求弦长问题，即联立直线的方程与圆锥曲线的方程构成方程组，结合韦达定理12y y -=.21．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线222:142x y C -=有相同的渐近线，且点(P 在1C 上. （1）求1C 的标准方程；（2）过点()1,1M 的直线l 与双曲线1C 交于,A B 两点，且M 恰好是线段AB 的中点，求直线l 的方程.答案：（1）2212x y -=；（2）210x y -+=.（1）设()221:042x y C λλ-=≠，将(P 代入可得λ，进而可得1C 的标准方程； （2）设直线():11l y k x =-+，将其与1C 联立得到关于x 的方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式可解得k ，进而可得直线l 的方程.解：（1）因为1C 与2C 的渐近线相同，可设()221:042x y C λλ-=≠将(P 代入得831422λ=-=，所以1C 的标准方程为2212x y -=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线():11l y k x =-+， 联立方程组()221211x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 可得()()()22212412120k x k k x k -+----=，由221208(22)0k k k ⎧->⎨∆=-+->⎩得11k <<且2≠±k . 设()1122(),,,A x y B x y ，则()1224121k k x x k -+=-因为M 是线段AB 的中点，所以()122211221k k x xk -+==-，解得12k =，满足题意.所以直线l 的方程为()1112y x =-+，即210x y -+=.22．已知F 为抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为94π. （1）求抛物线C 的方程；（2）设A (2，1)，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线y =x -2交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，证明：直线BN 恒过一定点，并求出该定点的坐标.答案：（1）x 2=4y ；（2）证明见解析，定点(2，2).(1)由题意知圆心必在4p y =，由相切即可知34pr =，结合已知圆的面积即可求出p =2，进而可求出抛物线的方程.(2) 设211(,)4x B x ，写出直线AB 的方程与y =x -2联立，求出P 的横坐标，即可知N 的横坐标，进而可求出N 的坐标，由直线的点斜式可写出直线BN 的方程，从而可求出所过定点.解：解：（1）设△OFM 外接圆的半径为r ，由题知圆心必在4py =， 且圆心到准线的距离3424p p p r +==，所以239()44p π⋅=π，解得p =2， 所以抛物线C 的方程为：x 2=4y .（2）设211(,)4xB x ，由题意知，12x ≠，则直线AB 的方程：211141(2)2x y x x --=--，化简得：121(2)4x y x +-=-，与y =x -2联立得121(2)42x y x y x +⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩， 解得11282p x x x -=-，把112(4)2p x x x -=-代入x 2=4y 得：2114()2N x y x -=-， 即211112(4)4(,())22x x N x x ----，则直线BN 的方程：221121111114()42()2(4)42x x x x y x x x x x ----=----， 约分得：11211142()2()44x x x x y x x -+--=-，化简得111141()()422x x x y x x x --+--， 因为与x 1无关，所以当x =2，y =2时恒成立，所以直线BN 恒过定点(2，2).点评：关键点睛:本题第二问的关键是联立直线和直线求出P 的横坐标，写出N 的坐标后，写出直线BN 的方程.。
【精准解析】陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试卷
长安一中2020——2021学年第一学期高二年级期中考试 理科数学试卷一、选择题1. 若直线l 的方向向量为(1,0,2)a =，平面α的法向量为(2,0,4)n =--，则（ ） A. //l α B. l α⊥ C. l α⊂ D. l 与α斜交【答案】B 【解析】 【分析】由l 的方向向量(1,0,2)a = ，平面α的法向量(2,0,4)n =-- 可得2n a =-，从而得解. 【详解】∵(1,0,2)a = ，(2,0,4)n =--， ∴2n a =- ，即//n a .∴l α⊥. 故选：B【点睛】本题考查利用直线l 的方向向量与平面α的法向量关系判断线面位置关系.属于基础题.2. 已知命题:p x R ∀∈，2230x x -+>；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ） A. p q ∨B. ()p q ∨⌝C. p q ⌝∨D.()p q ⌝∨⌝【答案】C 【解析】 【分析】解不等式可判断命题p 的真假，根据不等式性质可判断q 的真假，再由复合命题的性质判断命题真假．【详解】命题p ：x R ∀∈，2230x x -+>， 因为()2120x -+>，所以命题p 为真命题命题q ：若22a b <，则a b <，当1,4a b ==-时不等式不成立，所以命题q 为假命题 由复合命题真假判断可知A ：p q ∨为真命题；B ：()p q ∨⌝为真命题;C ：p q ⌝∨为假命题；D ：()p q ⌝∨⌝为真命题. 故选:C3. 已知抛物线22y x =的焦点与椭圆2212y x m +=的一个焦点重合，则m =（ ）A.74B.12764C.94D.12964【答案】A 【解析】 【分析】抛物线22y x =的焦点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后可算出答案.【详解】抛物线22y x =的焦点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以椭圆2212y x m +=的一个焦点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以124m -=，即74m = 故选：A4. 已知正方体1111ABCD A B C D -，若112AB C B ⋅=-，则正方体的棱长等于（ ）A 2 B.C.D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为()0a a >，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量数量积的坐标运算以及等式112AB C B ⋅=-，可得出关于a 的等式，由此可得出该正方体的棱长.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为()0a a >，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、(),0,0B a 、()1,0,B a a 、()1,,C a a a ，()1,0,AB a a =，()10,,C B a a =--，则2112AB C B a ⋅=-=-，可得2a =因此，正方体1111ABCD A B C D -2. 故选：C.【点睛】本题考查利用空间向量数量积求解正方体的棱长，考查计算能力，属于基础题.5. 设1a ≥，则双曲线22214x y a a -=+离心率的取值范围为（ ）A. [)5,+∞B. [)6,+∞C. )5,⎡+∞⎣ D. )6,⎡+∞⎣【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程可得2222441c a a e a a a a++===++，从而可得离心率的取值范围.【详解】由双曲线方程可得2222441c a a e a a a a++===++，又1a ≥44121415a a a a∴++≥⋅=+=，当且仅当4a a =，即2a =时取等号，所以双曲线的离心率的取值范围为)5,⎡+∞⎣. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，不等式的性质的应用，属于基础题.6. 三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则AB CD ⋅等于( )A. －2B. 2C. 23-D. 23【答案】A 【解析】 试题分析：()····022cos602CD AD AC AB CD AB AD AC AB AD AB AC =-∴=-=-=-⨯⨯=-考点：平面向量数量积的运算7. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是11A C 的中点，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ） A.32B.24C.12D.33【答案】B 【解析】 【分析】O 是11A C 中点，1112OC AC =，因此O 到平面11ABC D 的距离等于1A 到平面11ABC D 距离的一半，求出1A 到平面11ABC D 距离即可．【详解】如图，连续1A D 与1AD 交于点M ，11ADD A 是正方形，则11A D AD ⊥，1111ABCD A B C D -是正方体，AB ⊥平面11ADD A ，而1A D ⊂平面11ADD A ，∴1AB A D ⊥，又1AD AB A ⋂=，∴1A D ⊥平面11ADD A ，又11122A M A D ==， ∴1A 到平面11ABC D 的距离为2， 又1112AC OC =，∴O 到平面11ABC D 的距离等于1A 到平面11ABC D 距离的一半即为24． 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查求点到平面的距离，求P 到平面α的距离方法如下： （1）直接过P 作平面α的垂线，垂足为M ，求出PM 的长即可；（2）（转化法）若Q α∈，O 是直线PQ 上的点，且PQ OQ λ=，求出O 到平面α的距离d ，则P 到α距离为d λ．（3）体积法，利用三棱锥可以以任一面底面，换底后求出体积，则可求得点面距．（4）建立空间直角坐标系，若Q α∈，求出α的一个法向量，PQ 在n 方向上的投影的绝对值即为P 到平面α的距离．8. 已知点F 为椭圆()2221x y a a+>的一个焦点，过点F 作圆221x y +=的两条切线，若这两条切线互相垂直，则a =（ ） A. 2 23 D. 23【答案】C 【解析】 【分析】根据切线垂直，推导出F 点至坐标原点的距离，即可求得焦点坐标和a 【详解】由题可设(),0F c ，根据题意，作图如下：因为过F 点的两条切线垂直，故可得45OFH ∠=︒，则1OH HF ==， 故可得2OF =F 坐标为)2,0.则2,1c b ==，故2223a b c =+=，解得3a =故选:C.9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 命题“若2020x >，则0x >”的逆命题 B. 命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题 C. 命题“若220x x +-=，则1x =” D. 命题“若21x ≥，则1≥x ”的逆否命题 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断每个命题的真假即可.【详解】A 项，命题“若2020x >，则0x >”的逆命题为“若0x >，则2020x >”，显然命题为假；B 项，命题“若0xy =，则0x =或0y =”的逆命题为“若0x =或0y =，则0xy =”，显然命题为真，则原命题的否命题也为真；C 项，解220x x +-=，得1x =或2x =-，所以命题“若220x x +-=，则1x =”为假；D 项，211x x ≥⇒≤-或1≥x ，所以命题“若21x ≥，则1≥x ”是假命题，则其逆否命题也为假命题. 故选：B.10. 设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则上述命题中所有真命题的个数是（ ）． A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假. 【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α； 若3l 与1l 相交，则交点B平面α内， 同理，3l 与2l 的交点A 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线不相交，可能平行可能异面，命题3p 为假命题； 对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线， 直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题. 故选:B11. 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ） A. 18 B. 24C. 36D. 48【答案】C 【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0）， 则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点， 又∵AB ⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6又∵点P 在准线上 ∴DP=（2p +|-2p|）=p=6 ∴S △ABP=12（DP•AB ）=12×6×12=36 故选C ．12. 在ABC 中，“sin cos B C <”是“ABC 为钝角三角形”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合特殊值法、正弦函数的单调性以及诱导公式判断可得出结论.【详解】充分性：在ABC 中，若sin cos B C <，则cos 0C >，可知C 为锐角，且cos sin 2C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若角B 为直角，则sin 1B =，则cos 1C >不成立，故角B 不可能为直角； 若角B 为锐角，则sin cos sin 2B C C π⎛⎫<=-⎪⎝⎭，02C π<<，则022C ππ<-<，由于正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，可得2B C π<-，即2B C π+<，即2A ππ-<，2A π∴>，此时，ABC 为钝角三角形；若角B 为钝角，即2B ππ<<，可得02B ππ<-<，02C π<<，则022C ππ<-<，由sin cos B C <可得()sin sin 2B C ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭， 由于正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，可得2B C ππ-<-，可得2B C π->，22B C ππ∴>+>，此时，ABC 为钝角三角形；所以，充分性成立；必要性：若ABC 为钝角三角形，且角C 为钝角，则角B 为锐角，那么sin 0cos B C >>， 必要性不成立.综上所述，在ABC 中，“sin cos B C <”是“ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法： （1）定义法； （2）集合法； （3）转化法.13. 如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）A. 5B. 6C.163D.203【答案】C 【解析】 【分析】设,A B 在准线上的射影分别为,M N ，根据点F 是AC 的中点， 2AM HF =，取得2p =， 设BF BN m ==，根据相似求得43BF =，再结合焦点弦的性质，即可求解. 【详解】设,A B 在准线上的射影分别为,M N ，准线与x 轴交于H ，则HF p =， 由于点F 是AC 的中点，且4AF =，根据抛物线的定义，可得224AM HF p ===，所以2p =，设BF BN m ==，则BN BC FH CF =，即424m m -=，解得43m =，所以416433AB AF BF =+=+=， 即AB 的长为163. 故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及其应用，其中解答中熟记抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.14. 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则离心率的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】 【分析】由120MF MF ⋅=可知，M 在以原点为圆心，c 为半径的圆上，所以圆在椭圆内部，可得c b <. 【详解】因数120MF MF ⋅=所以M 在以原点为圆心，c 为半径的圆上 所以圆在椭圆内部， 所以c b <所以2222<=-c b a c2212<c a 202e <<故选：C.【点睛】本题主要考查了点与椭圆的位置关系，还考查转化化归的能力，属于中档题.二、填空题15. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>C 的渐近线方程为___________.【答案】y = 【解析】 【分析】根据离心率公式得到ba=，再计算渐近线得到答案. 【详解】由双曲线的方程可得渐近线的方程为：by x a=±，由题意离心率c e a ===b a =y =，故答案为：y =.【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程，属于简单题.16. 一个椭圆中心在原点，焦点12F F ，在x轴上，(P 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____． 【答案】22186x y +【解析】 【分析】设椭圆方程为2222x y a b+=1，（a ＞b ＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a ，b ，由此能求出椭圆方程．【详解】∵个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴设椭圆方程为2222x y a b+=1，（a ＞b ＞0），∵P （2|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴2243124a b a c⎧+=⎪⎨⎪=⎩，且a 2=b 2+c 2， 解得，，∴椭圆方程为22186x y +=．故答案为22186x y +=．【点睛】本题考是椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．17. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则点1A 与面对角线1BC 所在直线间的距离是______． 【答案】6a 【解析】 【分析】连接11,BC B C 交于点O ，连接1A O ，根据正方体的性质，易得1BC ⊥平面11A B O ，进而得到1BC ⊥1A O ，则1A O 的长度即为所求.【详解】如图所示：连接11,BC B C 交于点O ，连接1A O ， 因为111111111,,BC B C BC A B B C A B B ⊥⊥⋂=， 所以1BC ⊥平面11A B O ， 所以1BC ⊥1A O ， 所以1A O 的长度即为所求.因为1112,A B a B O a ==， 所以2211116AO A B B O a =+= 故答案为：6a 18. 已知抛物线()220y px p =>在第一象限内的部分上一点()3,A b 到抛物线焦点F 的距离为4，若P 为抛物线准线上任意一点，则PAF △的周长最小值为______． 【答案】434+ 【解析】 【分析】利用抛物线的定义由342p+=求得抛物线方程24y x =，进而得到准线方程1x =-，焦点坐标()1,0F ，()3,23A ，然后作出点A 关于准线的对称点()5,23A '-求解. 【详解】因为抛物线()220y px p =>上的点()3,A b 到抛物线焦点F 的距离为4，由抛物线的定义得；342p+=，解得2p =， 所以抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-，焦点坐标为()1,0F ，()3,23A ，如图所示：点A 关于准线的对称点(5,23A '-，则AP +PF 的最小值为()()22512343A F '=--+=所以PAF △的周长最小值为4故答案为：4三、解答题19. 已知m ∈R ，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求m 的取值范围． 【答案】（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞.【解析】 【分析】（1）考查不等式恒成立，构造函数()[]()220,1f x x x =-∈，求其最小值()2min 3f x m m≥-即可；（2）p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，则p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，分p 真q 假、p 假q 真两类讨论即可.【详解】（1）对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，令()[]()220,1f x x x =-∈，则()2min 3f x m m ≥-，当[]0,1x ∈时，()()min 02f x f ==-，即232m m -≤-，解得12m ≤≤． 因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．（2）当1a =时，若q 为真命题，则存在[]1,1x ∈-，使得m x ≤成立，所以1m ． 因此，当命题q 为真时，1m ．因为p 且q 为假命题，p 或q 为真命题， 所以p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，由121m m ≤≤⎧⎨>⎩得12m <≤；当p 假q 真时，由121m m m ⎧⎨≤⎩或得1m <．综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞．【点睛】本题借助命题的“外衣”，考查了不等式恒成立问题，和存在性问题，是一道很典型的题目.20. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =，F 为MC 的中点．（1）求证：//EF 平面1A DC ；（2）求直线1A D 与直线CF 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（210【解析】 【分析】（1）以D 为原点建立空间直角坐标系，求出EF 和平面1A DC 的一个法向量为n ，满足0EF n ⋅=即可；（2）利用111cos ,DA CF DA CF DA CF⋅=⋅可求出.【详解】（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示空间直角坐标系，由1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114MC D C =， 得()0,0,0D ，()1,0,2E ，70,,12F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()12,0,2A ，()0,4,0C ，∴()12,0,2DA =，()0,4,0DC =，71,,12EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．设平面1A DC 的一个法向量为(),,n x y z =．由122040n DA x z n DC y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，取1z =-，得()1,0,1n =-，∵0EF n ⋅=，且EF ⊄平面1A DC ，∴//EF 平面1A DC ．（2）解：由（1）知，()12,0,2DA =，又10,,12CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴11110cos ,55222DA CF DA CF DA CF⋅===⋅⨯．∴直线1A D 与直线CF 10． 【点睛】本题考查线面平行证明和异面直线所成角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解是解决本题的有效办法.21. 已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率22e =，且过点(0,2．（1）求椭圆方程；（2）已知1F 、2F 为椭圆的上、下两个焦点，AB 是过焦点1F 的一条动弦，求2ABF 面积的最大值．【答案】（1）2212y x +=；（2. 【解析】 【分析】（1）根据离心率的值，可列出a c ，的关系式，再根据经过()0,-2点，可得出a 的值和c 的值，最后再结合222a b c =+，可算出b 的值，直接写出椭圆方程即可.（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值. 【详解】（1）由题意，a =2c e a ==得1c =，所以1b =，所以椭圆方程是2212y x +=．（2）由于直线AB 经过上焦点()0,1，设直线AB 方程为1y kx =+，联立方程组22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩将1y kx =+代入椭圆方程2212y x +=，得()222210k x kx ++-=，则222A B k x x k +=-+，212A B x x k ⋅=-+， ∴A Bx x -==21212ABF A B S F F x x =⋅-△，可知122F F=则2211122ABF S k ===≤+△．=，即0k =时，2ABF S．【点睛】椭圆与直线相交时，三角形面积问题的关键点为：设直线方程、联立方程组、韦达定理、列出三角形面积的关系式，最后根据函数或不等式，可求出三角形面积的范围. 22. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，4AB =，2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C.（1）求证：BC ⊥平面ACD 1；（2）若直线DD 1与底面ABCD 所成的角为4π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（221 【解析】 【分析】（1）连接1D C ，则1 D C ⊥平面ABCD ，推导出1BC D C ⊥，连接AC ，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，推导出BC ⊥AC ，由此能证明BC ⊥平面ACD 1;（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CD 1，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值． 【详解】解：（1）证明：如图，连接1D C ，则1 D C ⊥平面ABCD ，BC ABCD ⊂平面，1BC D C ∴⊥在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，过点C 作CG AB ⊥于点G ，4,2,AB BC CD AB CD ===∥，则223,1,213AG BG CG ===-=22223(3)23AC AG CG ∴=+=+=因此满足22216,AC BC AB BC AC +==∴⊥ 又1D C ，AC ⊂面1AD C ，1D CAC C =BC ∴⊥平面1AD C（2）由（1）知1,,AC BC D C 两两垂直，1D C ⊥平面11,,24ABCD D DC D C CD π∴∠=∴==以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(23,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,0,2)D ，(23,2,0)AB ∴=-，1(23,0,2)AD =-设平面11ABC D 的法向量(,,)n x y z =，由100AB n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得23202320x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 可得平面11ABC D 的一个法向量(1,3,3)n =， 又1(0,0,2)CD =为平面ABCD 的一个法向量， 设平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 则112321cos 727CD n CD nθ⋅===，因此平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为217．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23. 已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．【解析】【分析】 设22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒l 的方程为2(x a -+ )0b y ab +=．（Ⅰ）由F 在线段AB 上⇒10ab +=，又122211a b a b ab k b k a a ab a a---=====-=+-⇒//AR FQ ；（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为()1,0D x ⇒1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=⇒111222a b b a x ---=⇒10x =（舍去），11x =．设满足条件的AB 的中点为(),E x y ．当AB 与x 轴不垂直时⇒()211y x a b x =≠+-⇒2a b y +=⇒()211y x x =-≠．当AB 与x 轴垂直时⇒E 与D 重合⇒所求轨迹方程为21y x =-． 【详解】由题设1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且 22111,0,,,,,,,,222222a b a b A B b P a Q b R ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为()20x a b y ab -++=（Ⅰ）由于F 线段AB 上，故10ab +=，记AR 的斜率为1,k FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b ab k b k a a ab a a ---=====-=+-， 所以//AR FQ（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为()1,0D x ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=，由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =（舍去），11x =． 设满足条件的AB 的中点为(),E x y ．当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得()211y x a b x =≠+-． 而2a b y +=，所以()211y x x =-≠． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为21y x =-【点睛】本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．。
2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期中考试理科数学试题(解析版)
甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡.一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1. 复数2iz=-（i为虚数单位）的共轭复数的虚部为（）A. －1B. 1C. i-D. i〖答案〗B〖解析〗由题意知：2iz=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x，y∈R，且x y+<，则x，y中至多有一个大于0”时，假设应为（）A. x，y都小于0 B. x，y至少有一个大于0C. x，y都大于0 D. x，y至少有一个小于0〖答案〗C〖解析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x，y都大于0”．故选：C.3. 函数y＝x2cos 2x的导数为（）A. y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB. y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC. y′＝x2cos 2x－2x sin 2xD. y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x〖答案〗B〖解析〗y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x.故选：B.4. 函数21ln2y x x=-的单调递减区间为（）A. ()1,1-B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答案〗C〖解 析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答 案〗D〖解 析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和． 即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答 案〗D〖解 析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法， 故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（ ）A. B.C.D.〖答 案〗A 〖解 析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答 案〗B 〖解 析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点，33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减； 当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =； 作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答 案〗B〖解 析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法， 然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答 案〗A〖解 析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（ ）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答 案〗B〖解 析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答 案〗B 〖解 析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答 案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答 案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 〖答 案〗243〖解 析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答 案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答 案〗(e, 1).〖解 析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答 案〗12a -<<〖解 析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去． 当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a =-，令0gx '（）＞ ，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++,()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x=-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x aa e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20xax x af x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答 案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡. 一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1. 复数2i z =-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部为（ ） A. －1 B. 1C.i -D. i〖答 案〗B〖解 析〗由题意知：2i z=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x ，y ∈R ，且0x y +<，则x ，y 中至多有一个大于0”时，假设应为（ ） A. x ，y 都小于0 B. x ，y 至少有一个大于0 C. x ，y 都大于0D. x ，y 至少有一个小于0〖答 案〗C〖解 析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”．故选：C.3. 函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（ ） A. y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B. y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C. y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD. y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x〖答 案〗B〖解 析〗y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x . 故选：B.4. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ）A.()1,1- B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答 案〗C〖解 析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答 案〗D〖解 析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和． 即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答 案〗D〖解 析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法， 故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（ ）A. B.C.D.〖答 案〗A 〖解 析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答 案〗B 〖解 析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点， 33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减； 当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =； 作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答 案〗B〖解 析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法， 然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答 案〗A〖解 析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（ ）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答 案〗B〖解 析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答 案〗B 〖解 析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答 案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答 案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 〖答 案〗243〖解 析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答 案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答 案〗(e, 1).〖解 析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答 案〗12a -<<〖解 析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去． 当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a =-，令0gx '（）＞ ，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++, ()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=. 又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x a a e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20x ax x a f x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．。
2020-2021学年初一(上)期中考试数学试卷(含答案)
2020-2021学年初一（上）期中考试数 学（考试时间90分钟 满分100分）18分）1．如图是加工零件尺寸的要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm ），其中不合格的是（ ）A ．Φ45.02B ．Φ44.9C ．44.98D ．Φ45.012．下列运算中正确的是（ ）A ．2(2)4-=- B ．224-= C ．3(3)27-=- D ．236= 3．若37x =是关于x 的方程70x m +=的解，则m 的值为（ ） A ．3- B ．13- C ．3 D ．134．若单项式12m a b -与212n a b 是同类项，则mn 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．95．下列各式中，是一元一次方程的是（ ）A ．852020x y -=B ．26x -C ．212191y y =+D ．582x x +=6．下列计算正确的是（ ）A ．8(42)8482÷+=÷+÷B ．1(1)(2)(1)(1)12-÷-⨯=-÷-= C ．3311311636624433434⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷=-⨯=-⨯+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．[](2)(2)40--+÷= 7．下列方程的解法，其中正确的个数是（ ） ①14136x x ---=，去分母得2(1)46x x ---= ②24132x x ---=，去分母得2(2)3(4)1x x ---= ③2(1)3(2)5x x ---=，去括号得22635x x ---=④32x =-，系数化为1得32x =- A ．3 B ．2 C ．1 D ．08．2020年国庆档电影《我和我的家乡》上映13天票房收入达到21.94亿元，并连续10天拿下票房单日冠军．其中21.94亿元用科学记数法可表示为（ ）A ．821.9410⨯元B ．82.19410⨯元C ．100.219410⨯元D ．92.19410⨯元9．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n二、填空题（本题共有9小题，每小题3分，共27分）10．如果数轴上A 点表示3-，那么与点A 距离2个单位的点所表示的数是 ．11．比较大小：78- 89-（填“>”“<”或“=”） 12．历史上，数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示，例如多项式2()25f x x x =+-，则(1)f -= ．13．用四舍五入法将3.694精确到0.01，所得到的近似值为 ．14．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如()2222153x x x x --+=-+-，则所捂住的多项式为 ．15．“☆”是新规定的某种运算符号，设a ☆b =ab a b +-，若2 ☆8n =-，则n = ．16．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知2m n +=-，4mn =-，则2(3)3(2)mn m n mn ---的值为 ．17．某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用12 000元，《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套x 元，可列方程为 ．18．观察下列一组算式：2231881-==⨯，22531682-==⨯，22752483-==⨯，22973284-==⨯……根据你所发现的规律，猜想22201920178-=⨯ ．三、按要求解答（第19小题8分，第20小题5分，第21小题10分，共23分）19．计算题（每小题4分，共8分） ①3511114662⎛⎫---- ⎪⎝⎭ ②[]31452(3)5211⎛⎫-⨯-÷-+ ⎪⎝⎭20．（本题5分）化简并求值：222212(2)()2x xy y xy x y ⎡⎤⎛⎫---+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中x 、y 的取值如图所示．21．解方程（每小题5分，共10分）①3(202)10y y --= ②243146x x --=-四、解答题（第22、23小题4分，第24小题5分，共13分）22．（本题4分）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为x a =的形式．下面是解方程20.30.410.50.3x x -+-=的主要过程，请在如图的矩形框中选择与方程变形对应的依据，并将它前面的序号填入相应的括号中．解：原方程可化为4153x +-=（ ） 去分母，得3(203)5(104)15x x --+=（ ）去括号，得609502015x x ---=（ ）移项，得605015920x x -=++（ ）合并同类项，得1044x =（合并同类项法则） 系数化为1，得 4.4x =（等式的基本性质2）23．（本题4分）阅读材料，回答问题．计算：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：原式的倒数为211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝2112(30)31065⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭＝203512-+-+＝10-故原式＝110- 根据材料中的方法计算113224261437⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 24．（本题5分）在某地住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）． （1）用含m ，n 的代数式表示该广场的面积S ；（2）若m ，n 满足2(6)50m n -+-=，求出该广场的面积．五、解答题（第25、26小题6分，第27小题7分，共19分）25．（本题6分）列代数式或一元一次方程解应用题请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？（2）甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打8折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买5个水瓶和20个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由．26．（本题6分）下表中的字母都是按一定规律排列的．我们把某格中的字母的和所得多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为62x y +，第2格的“特征多项式”为94x y +，回答下列问题．（1）第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第n 格的“特征多项式”为 ；（n 为正整数）（2）求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差．27．（本题7分）在数轴上，对于不重合的三点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的13倍，我们就把点C叫做【A，B】的理想点．例如：图中，点A表示的数为-1，点B表示的数为3．表示数0的点C到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点C是【A，B】的理想点；又如，表示数2的点D到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点D 就不是【A，B】的理想点，但点D是【B，A】的理想点．（1）当点A表示的数为-1，点B表示的数为7时，①若点C表示的数为1，则点C（填“是”或“不是”）【A，B】的理想点；②若点D是【B，A】的理想点，则点D表示的数是；（2）若A，B在数轴上表示的数分别为-2和4，现有一点C从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，当点C到达点A时停止．请直接写出点C运动多少秒时，C，A，B中恰有一个点为其余两点的理想点？参考答案一、选择题（每小题2分，共18分）二、填空题（每小题3分，共27分）19．计算题（每小题4分，共8分）①原式=3511114662--+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 =5131116642--++ =1224-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 =14┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 ②原式=14582211⎛⎫-⨯-÷ ⎪⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 =24--┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分=6-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分20．解：原式=22221242x xy y xy x y ⎛⎫---+- ⎪⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 =22221242x xy y xy x y --+-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 =272x xy -┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 当2x =，1y =-时┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分原式=2722(1)112-⨯⨯-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分21．解方程（每小题5分，共10分）①3(202)10y y --=解：60610y y -+=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分61060y y +=+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分770y =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分10y =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 ②243146x x --=- 解：3(2)122(43)x x -=--┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分361286x x -=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分361286x x -=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分310x -=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分103x =-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 四、解答题（第22、23小题4分，第24小题5分，共13分）22．③；②；④；①┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分23．解：原式的倒数为132216143742⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 1322(42)61437⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭792812=-+-+14=-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分故原式=114-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 24．解：（1）S 7220.52m n n m mn =⋅-⋅=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 （2）由题意得6050m n -=⎧⎨-=⎩，解得65m n =⎧⎨=⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分当6m =，5n =时 S 7651052=⨯⨯=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分五、解答题（第25、26小题6分，第27小题7分，共19分）25．解：（1）设一个水瓶x 元，则一个水杯是(48)x -元┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分34(48)152x x +-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分40x =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分∴4848408x -=-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分答：一个水瓶40元，一个水杯8元．（2）甲商场需付款：80%(540208)288⨯⨯+⨯=（元）┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 乙商场需付款：5408(2052)280⨯+⨯-⨯=（元）┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 ∴选择乙商场更划算．26．解：（1）126x y +；158x y +；3(1)2n x ny ++┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）(2112)(1810)x y x y +-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分32x y =+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分27．（1）①是┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分②5或11┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）设运动时间为t 秒，则BC t =，6AC t =-依题意，得C 是【A ，B 】的理想点时有16=3t t -，∴92t = C 是【B ，A 】的理想点时有1(6)3t t =-，∴32t = A 是【C ，B 】的理想点时有16=63t -⨯，∴4t =B 是【C ，A 】的理想点时有1=6=23t ⨯ 答：点C 运动92秒、32秒、4秒、2秒时，C ，A ，B 中恰有一个点为其余两点的理想点．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分。
2020-2021学年甘肃省兰州市第一中学高一上学期期末考试数学试题 Word版
兰州一中2020-2021-1学期期末考试试题高一数学命题人:陈小豹 审题人：刘雪峰说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1．如图，A B C '''∆是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（ ）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等边三角形2．已知直线l 1：2x +(a +5)y －8＝0，l 2：(a +3)x +4y +3a －5＝0平行，则实数a 的值为（ ）A ．﹣1或﹣7B ．﹣7C ．﹣1D ．133- 3. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．三棱锥D ．正方体4．已知三条直线a ，b ，c 满足：a 与b 平行，a 与c 异面，则b 与c （ ）A ．一定异面B ．一定相交C ．不可能平行D ．不可能相交5．在三棱锥A ﹣BCD 中，若AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，那么必有（ ）A ．平面ADC ⊥平面BCDB ．平面ABC ⊥平面BCDC ．平面ABD ⊥平面ADC D ．平面ABD ⊥平面ABC 6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．过点A （2，1），B （m ，3）的直线的倾斜角α的范围是0045135α<<，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ≤2B ．0＜m ＜4C ．2≤m ＜4D ．0＜m ＜2或2＜m ＜48．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l ∥α，m ⊥β，则下列命题中不正确的是（ ）A ．若α∥β，则m ⊥αB ．若α∥β，则l ⊥mC ．若l ⊥m ，则l ∥βD ．若m ∥α，则α⊥β 9．若三条直线x ﹣2y +2＝0，x ＝2，x +ky ＝0将平面划分成6个部分，则k 可能的取值情况是 （ ）A ．只有唯一值B ．有两个不同的值C．有三个不同的值D．无穷多个值10．已知某几何体是由正四棱柱割去两部分后得到，其三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积为（）A．573,3+，B．73,5+C．533,3+D．13,5+11．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝5，若阳马C1﹣ABB1A1的外接球的表面积等于50π，则鳖臑C1﹣ABC的所有棱中，最长的棱的棱长为（）A．5B．41C．52D．812．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2B．1C．83D．43第Ⅰ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.）13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为．14．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．15．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________．16．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(2)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5．18．（本小题满分12分）在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈，求所得几何体的表面积和体积．19．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，F E ,分别为线段BD DD ,1的中点．(1)求证：∥EF 平面11D ABC ；(2)四棱柱1111D C B A ABCD -的外接球的表面积为π16，求异面直线EF 与BC 所成的角的大小．20．（本小题满分12分）在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠BAC 的角平分线所在的直线方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD为菱形，E 为CD 的中点．(1)求证：BD ⊥PC ；(2)在棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面P AE ？若存在描述F 的位置并证明，若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1M⊥平面ABB1A1；（2）求A1M与平面AB1M所成角的正弦值．兰州一中2020-2021-1学期期末考试试题高一数学命题人:陈小豹审题人：刘雪峰说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.）1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是（）A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等边三角形答案C2．已知直线l1：2x+(a+5)y－8＝0，l2：(a+3)x+4y+3a－5＝0平行，则实数a的值为（）A．﹣1或﹣7B．﹣7C．﹣1D．−133答案B3. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．正方体答案B4．已知三条直线a，b，c满足：a与b平行，a与c异面，则b与c（）A．一定异面B．一定相交C．不可能平行D．不可能相交答案C5．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（）A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCDC．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC答案A6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF 所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案C7．过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是（）A．0＜m≤2B．0＜m＜4C．2≤m＜4D．0＜m＜2或2＜m＜4答案B8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l∥α，m⊥β，则下列命题中不正确的是（）A．若α∥β，则m⊥αB．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则l∥βD．若m∥α，则α⊥β答案C9．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是（）A．只有唯一值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．无穷多个值答案C10．已知某几何体是由正四棱柱割去两部分后得到，其三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积为（）A．，B．，5C．，D．，5答案A11．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝5，若阳马C1﹣ABB1A1的外接球的表面积等于50π，则鳖臑C1﹣ABC的所有棱中，最长的棱的棱长为（）A．5B．C．D．8答案C12．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB边上异于AB 的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A．2B．1C．D．答案D第Ⅰ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.）13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为2.答案 2.14．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________.答案3 215．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.答案3 316．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.答案1 2三、解答题（本大题共6小题，共70分）18．（本小题满分10分）根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(2)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0. 由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.22．（本小题满分12分）在一个如图所示的直角梯形ABCD 内挖去一个扇形，E 恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE 旋转一圈，求所得几何体的表面积和体积．【解答】解：根据题意知，将所得平面图形绕直线DE 旋转一圈后，所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体；则该组合体的表面积为S 组合体＝S 圆锥侧+S 圆柱侧+S 半球＝π×3×3+2π×3×3+×4π×32＝（9+36）π；组合体的体积为V 组合体＝V 圆锥+V 圆柱﹣V 半球＝×π×32×3+π×32×3﹣××π×33＝18π．23．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，F E ,分别为线段BD DD ,1的中点.(1)求证：∥EF 平面11D ABC ；(2)四棱柱1111D C B A ABCD -的外接球的表面积为π16，求异面直线EF 与BC 所成的角的大小.证明：（1）连接1BD ，在B DD 1∆中，F E ,分别为线段BD DD ,1的中点，∴EF 为中位线，∴B D EF 1∥，而⊂B D 1面11D ABC ，⊄EF 面11D ABC ，∴∥EF 平面11D ABC .………………6分（2）由（1）知B D EF 1∥，故BC D 1∠即为异面直线EF 与BC 所成的角. ∵四棱柱1111D C B A ABCD -的外接球的表面积为π16，∴四棱柱1111D C B A ABCD -的外接球的半径2=R ，设a AA =1，则244212=++a ，解得22=a ，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，∵⊥BC 平面11C CDD ，⊄1CD 平面11C CDD ， ∴1CD BC ⊥，在C C D RT 11∆中，BC C D CD BC ⊥==11,32,2 ，∴60,3tan 111=∠∴==∠BC D BC C D BC D ，∴异面直线EF 与BC 所成的角为 60.………………12分24．（本小题满分12分）在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠BAC 的角平分线所在的直线方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0. 所以点A 的坐标为(－1,0)．所以直线AB 的斜率k AB ＝1，又x 轴是∠BAC 的角平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)． ①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2，所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)． ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6， 即点C 的坐标为(5，－6)．25．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（1）求证：BD ⊥PC ；（2）在棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面P AE ？若存在，求出PF 的位置，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：P A ⊥平面ABCD ，BD Ⅰ平面ABCD ， 所以P A ⊥BD ，又底面ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，所以BD ⊥PC ；（2）当F 为PB 中点时，CF ∥平面P AE理由如下：设AB的中点为M，连接MF，MC，CF，M，F分别是AB，PB的中点，MF∥P A，又AM∥EC，AM＝CE，即四边形AMCE是平行四边形所以MC∥AE，又MF∩MC＝M，P A∩PE＝A，所以平面MFC∥平面P AE，CF⊂平面MFC，所以CF∥平面P AE．22．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1M⊥平面ABB1A1；（2）求A1M与平面AB1M所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接A1B交AB1于O，连接MO，易得O为A1B，AB1的中点．∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC．又M为CC1中点，AC＝CC1＝6，∴．同理可得，∴MO⊥AB1．连接MB，同理可得，∴MO⊥A1B．又AB1∩A1B＝O，AB1，A1B⊂平面ABB1A1，∴MO⊥平面ABB1A1，又MO⊂平面AB1M，∴平面AB1M⊥平面ABB1A1．（2）解：易得A1O⊥AB1，由（1）平面AB1M⊥平面ABB1A，平面AB1M∩平面ABB1A1＝AB1，A1O⊂平面ABB1A1，∴A1O⊥平面AB1M．∴∠A1MO即为A1M与平面AB1M所成的角．在Rt△AA1B1中，，在Rt△A1OM中，．所以A1M与平面AB1M所成角的正弦值为．。
甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试化学(理)试题
②CO2 的水溶液能导电，所以 CO2 是电解质 ③氢气不导电，所以氢气是非电解质
④硫酸氢钠电离出的阳离子有氢离子，所以硫酸氢钠是酸
⑤强电解质的导电能力一定比弱电解质的导电能力强
A．①④
B．①③⑤
C．②③④
D．①②③④⑤
7．标准状况下 V L 气体 A 的质量为 2 g，则气体 A 的摩尔质量为
A．11.2/V g/mol
B．在常温常压下，11.2 L O2 含有的分子数为 0.5 NA
C．7.1 g Cl2 所含质子数为 0.2 NA
D．0.1 mol 熔融的 KHSO4 中含有 0.2 NA 个阳离子
13．在强酸性溶液中，下列离子组能大量共存且溶液为无色透明的是
A．Na＋ K＋ OH－ Cl－ C．Mg2＋ Na＋ SO42－ NO3－
子的物质的量之比为 1:1:2:1，则 M 离子可能是
A．Na+
B．Fe3+
C．OH－
D．Cl－
23．相同体积的硫酸钠、硫酸镁、硫酸铁溶液分别加入足量的氯化钡溶液，产生相同质量
的沉淀，则三种溶液的物质的量浓度之比为
A．6:3:2
B．3:3:1
C．2:3:1
D．1:1:1
24．已知反应：3Cl2+8NH3=6NH4Cl+N2，下列分析正确的是（设阿伏伽德罗常数为 NA）
B．44.8/V g/mol
C．22.4V g/mol
D． V/11.2 g/mol
8．下列化学反应，能用离子方程式 CO32－＋2H＋＝CO2↑＋H2O 来表示的是 A．稀硝酸和碳酸钾的反应
B．稀磷酸和碳酸钠溶液的反应
C．石灰石和盐酸的反应
D．稀硫酸和碳酸氢钠溶液的反应
甘肃省兰州市第二十七中学2020_2021学年高二物理上学期期末考试试题
甘肃省兰州市第二十七中学2020-2021学年高二物理上学期期末考试试题一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分。
选对的得3分，有选错或不答的得0分）1．下列说法正确的是( ) A ．运动电荷在磁场中一定受到磁场力B ．把负电荷从A 点移动到B 点电场力做正功，则有U AB <0C ．根据公式E=F/q 可知，电场中某点场强的大小跟电场力的大小成正比，跟放入该点的点电荷的电量成反比D ．磁场的方向就是通电导体在磁场中某点受磁场作用力的方向2．悬挂的线圈与条形磁铁位于同一平面内，当线圈中通入逆时针方向电流的瞬间，线圈将（ ）A ．发生转动，同时靠近磁铁B ．发生转动，同时远离磁铁C ．不发生转动，只靠近磁铁D ．不发生转动，只远离磁铁3.在如图所示的电路中，E 为电源电动势，r 为电源内阻，R 1和R 3均为定值电阻，R 2为滑动变阻器。
当R 2的滑动触点在a 端时合上开关S ，此时三个电表A 1、A 2和V 的示数分别为I 1、I 2和U ；现将R 2的滑动触点向b 端移动，则三个电表示数的变化情况是（ ）A ．I 1增大，I 2不变，U 增大B ．I 1减小，I 2增大，U 减小C ．I 1增大，I 2减小，U 增大D ．I 1减小，I 2不变，U 减小4、将三个不同的电源1、2、3的U-I 图线画在同一坐标轴上，如图所示，其中1和2平行，它们的内阻分别是r 1、r 2、r 3,电动势分别是E 1、E 2、E 3,则它们间的关系是( ) A 、r 1=r 2＜r 3 E 1﹥E 2=E 3 B 、r 1﹥r 2﹥r 3 E 1=E 2＜E 3A 1 A 2 VSR 1R 2 R 3a bE rC、r1﹥r2=r3 E1＜E2=E3D、r1=r2﹥r3 E1=E2﹥E35 ．两个定值电阻R1、R2串联后接在输出电压U稳定于12 V的直流电源上.有人把一个内阻不是远大于R1、R2的电压表接在R1两端，如图所示，电压表的示数为8 V.如果把此电压表改接在R2两端，则电压表的示数将（）A.小于4 VB.等于4 VC.大于4 V而小于8 VD.等于或大于4 V6．如图所示，a为带正电的小物块，b是一不带电的绝缘物块(设a、b间无电荷转移)，a、b叠放于粗糙的水平地面上，地面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，现用水平恒力F拉b物块，使a、b一起无相对滑动地向左加速运动，在加速运动阶段( )A．a、b一起运动的加速度减小B．a、b一起运动的加速度增大C．a、b物块间的摩擦力不变D．a、b物块间的摩擦力增大7.一个电流表的满偏电流Ig=1 mA，内阻为200Ω.要把它改装成一个量程为0.5 A的电流表，则应在电流表上（）A.并联一个200Ω的电阻B.并联一个0.4Ω的电阻C.串联一个0.4Ω的电阻D.串联一个200Ω的电阻8．如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为R/2，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力) ( )A． qBR/2mB． qBR/mC． 3qBR/2mD． 2qBR/m9．如图所示，电荷量为q 1和q 2的两个点电荷分别位于P 点和Q 点。
甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试化学(理)试题(含答案))
兰州一中2020-2021-2学期高一年级期中考试试题化学命题人：雍雪审题人：高云说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分。
考试时间100分钟。
答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
可能用到的原子量：H-1 Li-7 C-12 N-14 O-16 Al-27 Cu-64第Ⅰ 卷（选择题，共50 分）一、单选题（每小题只有一个选项符合题意，每题2分，共50分）1．中华传统文化中蕴藏着很多化学原理。
下列对古文或古诗词的说明不正确的是（）2．2020年，我国自主研制长征五号火箭“胖五”将嫦娥五号送入地月轨道并顺利从月球带回月壤。
下列有关说法不正确的是（）A．“胖五”用液氧、液氢作推进剂，在发射过程中发生氧化还原反应B．“胖五”外壳为铝合金材料，其优点是熔点高、硬度大C．月壤中可能含有未来能源材料3He，其中子数为1D．3He与4He互为同位素3．对于元素周期表，下列叙述中不正确的是（）A．最外层电子数相同的元素不一定在同一族B．在元素周期表左下角可以寻找制备新型农药材料的元素C．元素周期表第二周期的元素形成化合物的种类最多D．在金属元素与非金属元素的分界线附近可以寻找制备半导体材料的元素4．在密闭的锥形瓶里发生下列变化：①硝酸铵溶于水②酸碱溶液混合③铝粉加入稀硫酸溶液④固体NaOH溶于水⑤生石灰溶于水，其中能使如下图所示U形管内的滴有红墨水的水面左低右高，且发生了化学反应的是（）A．②③④B．①②③C．②③⑤D．①③⑤5．关于能源和能量转化，下列说法正确的是（ ） A ．太阳能电池的能量转化：光能→化学能→电能B ．生物光合作用中的能量转化：光能(太阳能)→生物质能(化学能)C ．化学反应过程中，除了物质变化外，可能伴有能量变化D ．燃气灶具中的能量转化：化学能全部转化为热能6．化学反应速率和化学反应的限度是化工生产研究的主要问题之一，下列对化学反应速率和反应限度的认识正确的是（ ）A ．决定化学反应速率的主要因素是温度、浓度、压强和催化剂B ．对任何化学反应来说，反应速率越大，对应现象越明显C ．用Zn 和稀硫酸反应制备H 2时，增大硫酸浓度一定可以加快产生H 2的速率D ．任何可逆反应都有一定的限度，且限度是可以改变的 7．下列有关微粒间相互作用说法正确的是（ ）A ．金属元素和非金属元素之间只能形成离子键，非金属元素之间只能形成共价键B ．过氧化钠和水反应时既有离子键和共价键的断裂，又有离子键和共价键的形成C ．含有共价键的化合物一定是共价化合物D ．H 2O 热稳定性强于H 2S ，是因为水分子间存在氢键 8．下列说法正确的是（ ）A ．已知石墨转化为金刚石是吸热反应，所以石墨比金刚石稳定B ．凡是需要加热的反应都是吸热反应C ．灼热的炭与CO 2的反应既是氧化还原反应又是放热反应D ．干冰易升华，这与分子中C=O 键的键能大小有关9．氮气是一种重要的化工原料，工业上常用氮气合成氨、制硝酸。
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兰州二十七中2020—2021学年高二第一学期期中考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. 已知等差数列{}n a 前13为39,则678a a a ++=( )
.6A .9B .12C .18D
2. 在ABC ∆中,若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆为( )
.A 钝角三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 不能确定 3. 设2,1M x N x ==--，则,M N 的大小关系为 ( )
.A M N > .B M N = .C M N < .D 与x 有关 4. (1)0,0,0,0, ((2)1,11,111,1111, (())2342,2,2,2, (())5,3,1,1,3,--- ((5)1,2,3,5,8,
,其中
等差数列的个数为 ( )
.A 1 .B 2 .C ) .D )
5. 在ABC ∆中,若()()3a b c b c a bc +++-=，则A 为( )
.A 90 .B 60 .C 135 .D 150
6. 在
ABC ∆中,若1
sin cos sin cos 2
a B C c B A
b +=,a b >,则B =( )
.
A 6π .
B 3π .
C 23π .
D 56
π 7. 已知集合()471031022222n f n +=++++
+，则()f n =( )
.
A ()2817n - .
B ()22817n +- .
C ()32817n +- .
D ()42
817
n +- 8. 在直角坐标系中，不等式220y x -≤表示的区域是 ( )
9. 下列各式中，对于任何实数x 成立的一个式子是 ( )
.A ()()2lg 1lg 2x x +≥ .B 212x x +≥ .C
2111
x ≤+ .D 1
2x x +≥
10. 在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若()2
26,3
c a b C π=-+=
，则ABC ∆的面积为
( )
.A 3 .
B .
C .D
11. 已知{}n a 为等比数列, 2
234764a a a a =-=-,则tan π⎫
=⎪⎪⎝⎭
( )
.A .B .C .
D 12. 定义在()(),00,-∞+∞上的函数，如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列，则称为
“保等比数列”.现有定义在()(),00,-∞+∞上的函数.
(1)()2f x x = (2)()2x f x =
())()f x ())()ln f x x =
则其中是“包等比数列”是( )
.A (1)(2) .B ())()) .C (1)()) .D (2)()) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数181
,21n n
a a a +=
=-,则1a = .
14. 设,x y 满足约束条件0,0,0,x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则34z x y =-的最小值为 .
15. 在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡角15为的观礼台上，某一
列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为106m ，则旗杆的高度为 . 16. 某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入运营.据市场分析，没辆客车运营的总利润y
(单位：万元)与运营年数()*x x N ∈的关系满足二次函数，则每辆客车运营 年，其运营的平均利润最大.
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17题为10分，其余各题均为12分. 17. 解下列不等式：
(1)22320x x --> (2)2350x x -+> ())2620x x --+≥ ())2414x x -≥-
18. 在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，且sin 3cos b A a B =.
(1)求B .
(2)若3,sin 2sin b C A ==，求,a c .
11
x
o
y 7
6
4 第16题图
第15题图
19. 已知等差数列{}n a 的前项n 和为n S .已知等差数列{}n b 的前项n 和为n T ，11a =-，11b =，
222a b +=.
(1)若335a b +=，求{}n b 的通项公式. (2)若321T =，求3S .
20. 在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，且()2cos cos cos C a B b A C +=.
(1)求C .
(2)若7c =，ABC ∆的面积为
33
，求ABC ∆周长.
21. 如图一个铝合金窗分上下两栏，四周框架(阴影部分)的材料为铝合金，宽均为6cm ，上
栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1:2，此铝合金窗占的墙面面积为.设该铝
合金窗的宽和高分别为acm 和bcm 铝合金的头冠部分面积为2Scm . (1)试用,a b 表示S .
(2)若要S 使最大，则铝合金的宽和高分别为多少？
22. 已知数列{}n a 满足11
2
a =
，且131n n a a +=+. (1)证明数列1+2n a ⎧
⎫⎨⎬⎩
⎭是等比数列.
(2)设数列{}n b 满足111
1,+2
n n n b b b a +=-=，求数列{}n b 的通项公式.。