y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
知识点 2 周期变换 一般地，函数 y＝sinωx，x∈R(ω＞0，ω≠1)的图象可以看作把正 弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω＞1 时)或伸长(0＜ω＜1 时)到原来的 1 倍(纵坐标不变的情况下)而得到的. ω
知识点 3 振幅变换 一般地，函数 y＝Asinx，x∈R(A＞0，A≠1)的图象可看作把正弦 曲线上所有点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(A＜1 时)到原来的 A 倍(横坐 标不变的情况下)而得到，因此，y＝Asinx，x∈R 的值域是[－A，A]， 最大值为 A，最小值为－A.
π π 解析：由题意 2sin2x＋3＝a＋1.令 y＝2sin2x＋3，y＝a＋1， π π 13π 用五点作图法作出函数 y ＝ 2sin 2x＋3 在 －6， 12 上的图象如
图．
显然要使 y＝a＋1 与图象有两个交点， 只须－2＜a＋1＜0 或 a＋1＝2. 即－3＜a＜－1 或 a＝1.
点评： 本题考察了由函数 y＝sinx(x∈R)的图象变换到函数 y＝Asin(ωx＋ φ)(x∈R)的两种方法，第一种方法是先进行周期变换，第二种方法是 先进行相位变换．表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的
π π 即 和 ，但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是 6 3
类型三 由图象求 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
π 【例 3】 若函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(其中 A＞0，ω＞0，|φ|＞ ) 2 的图象如图所示． (1)试确定 A，ω，φ，b 的值． (2)求 S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋f(2 010)的值．
思维启迪：由函数图象确定解析式，在观察图象的基础上可按以 下规律来确定 A，ω，φ： (1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定 A. 2π 2π (2)ω：因为 T＝ ⇔ω＝ ，可通过曲线与 x 轴的交点确定 T，也 ω T T 可由相邻的最高点与最低点之间的距离为 来求；相邻的两个最高点 2 (或最低点)之间的距离为 T 来确定．
点评：本题从数形结合的角度加以研究，避免了代数方法的繁琐， 直观而有效，但应该注意图形的准确性．
变式训练 4
若方程
π 2sinx＋3＋2a－1＝0
在[0，π]上有两个不
相等的实数根，则实数 a 的取值范围是__________．
π π 4π 解析：x∈[0，π]，x＋ ∈3， 3 ， 3 π 2sinx＋3∈[－ 3，2]. 画出函数图象，可知当 3≤1－2a＜2 时， 原方程有两个不相等的实数根， 1－ 3 1 故－ ＜a≤ . 2 2 1－ 3 1 答案：－ ＜a≤ 2 2
φ (3)φ：从寻找“五点法”中的第一个点－ω，0(也叫初始点)作为
突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置． 依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； π “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ωx＋φ＝ ； 2 “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； 3π “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ωx＋φ＝ ； 2 “第五点”(即图象第二次上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝2π. 在用以上方法确定 φ 的取值时， 还要注意题目中给出的 φ 的范围， 不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
点评： 3 解答本题易把 A 的值求为 ，出错的原因是忽视了振幅 A 的意 2 义．
变式训练 3 如图所示，它是 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)， |φ|<π 的图象，由图中条件，写出该函数的解析式．
解析：由图知，A＝5，周期 T＝2×(5π－2π)＝6π， 2π 1 1 π π π 所以 ＝6π，ω＝ ，由 × ＋φ＝ 得 φ＝ ， ω 3 3 2 2 3 1 π 所以函数的解析式为 y＝5sin3x＋3.
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：① 是先相位变换后周期变换，平移 |φ|个单位．②是先周期变换后相位变 |φ| 换，平移 个单位，这是很易出错的地方，应特别注意． ω (2)类似地 y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象也可由 y＝cosx 的 图象变换得到． (3)上述规律可以推广到一般函数中， 即函数 y＝f(x＋φ)， y＝f(ωx)， y＝Af(x)的图象分别与函数 y＝f(x)的图象之间也有类似的规律． 2．函数图象的上、下平移变换 一般地，函数 y＝sinx＋k(k≠0)的图象，可以看作是 y＝sinx 的图 象上所有点向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k |个单位而得到的．
解析：(1)列表如下： π 5 4 11 7 π π π π 3 6 3 6 3 π π 3 0 π x－ π 2π 3 2 2 y 3 5 3 1 3 x (2)描点．
(3)作图，如图所示：将这个函数在一个周期内的图象向左、右两 π 边扩展即得 y＝2sinx－3＋3 的图象．
变式训练 1 图．
已知函数
π y＝2sin2x－3，用“五点法”画出其简
解析：列表： π 2x－ 3 x
π y＝2sin 2x－3
π 3π 0 π 2π 2 2 π 5π 2π 11π 7π 6 12 3 12 6 0 2 0 －2 0
π 描点，连线得函数 y＝2sin2x－3在一个周期内的图象．
1 1 π π 周期为 T＝2π，频率为 f＝ ＝ ，相位为 x－ ，初相为－ ，最大 T 2π 3 3 5 11 值为 5，最小值为 1，函数的减区间为2kπ＋6π，2kπ＋ 6 π(k∈Z)， π 5 增区间为 2kπ－6，2kπ＋6π(k∈Z).
点评： (1)先用五点法作出一个周期的图象，要得到整个函数图象，只要 将上述简图左右扩展即可． (2)回答周期、频率、相位、初相、最值及单调区间，关键是把握 相关概念及理解函数的性质． (3)函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，基本思 π π 想是把 ωx＋φ 看做一个整体， 由 2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出 x 2 2 π 3 的范围，所得区间即为单调递增区间，由 2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ π(k 2 2 ∈Z)解出 x 的范围，所得区间即为单调递减区间.
知识点 4 平移变换(相位变换) 一般地，函数 y＝sin(x＋φ)(φ≠0)，x∈R 的图象，可看作把正弦 曲线上所有点向左(φ＞0 时)或向右(φ＜0 时)平行移动|φ|个单位而得到.
知识点 5 图象变换 函数 y＝sinx 的图象到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程．
讲重点 五点法作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 步骤是：第一步：列表： π 3π 由 ωx＋φ＝0， ，π， ，2π 先求出 x，再由 ωx＋φ 的值求出 y 2 2 的值： φ π φ π φ 3π φ 2π φ x － － － － － ω 2ω ω ω ω 2ω ω ω ω π 3 0 π 2π ωx＋φ π 2 2 y 0 |A| 0 0 －|A| 第二步：在同一坐标系中描出各点； 第三步：用光滑曲线连接这些点，而成图象．
类型一 “五点法”画函数 y＝Asin(ωx＋φ)的简图 π 【例 1】 用五点法作出函数 y＝2sinx－3＋3 的图象，并指出它 的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间． 思维启迪：五点法作图，要抓住关键五点，令函数式中的 ωx＋φ π 3 取 0， ，π， π，2π，然后求出相应的 x，y 值，作出图象，由图象回 2 2 答问题．
类型四 函数 y＝Asin(ωφ)图象的应用 π 13π π 【例 4】 已知方程 2sin2x＋3－1＝a，x∈－6， 12 有两解， 求 a 的取值范围． π 思维启迪：作出函数 y＝2sin2x＋3的图象，结合直线 y＝a＋1 与 图象的交点个数判定 a 的取值范围．
一致的．
变式训练 2 sinx 的图象？
将函数
π y＝cosx－3的图象怎样变换得到函数
y＝
π 个单位长度即可得到 y＝sinx 的图象. 6
π π 解析：y＝cosx－3＝sinx＋6，故将
π y＝sinx＋6的图象向右平移
1 π 2π (2)由(1)知函数 f(x)＝ sin 2x ＋1，周期 T＝ ＝4， 2 π 2 ∴S＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×502＋f(2 009)＋f(2 010)＝f(0) ＋[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×502＋f(1)＋f(2)， 3 1 又 f(0)＝1，f(1)＝ ，f(2)＝1，f(3)＝ ，f(4)＝1， 2 2 3 1 3 4 023 ∴S＝1＋ 2＋1＋2＋1 ×502＋ ＋1＝ . 2 2
3 1 3 1 － ＋ 2 2 1 2 2 解析：(1)由图象可知 A＝ ＝ ，b＝ ＝1， 2 2 2 2π 2π π 1 π ω＝ ＝ ＝ ，∴f(x)＝ sin 2x＋φ＋1. T 4 2 2 1 又因为点(0,1)在函数图象上，所以 sinφ＋1＝1，sinφ＝0， 2 π 1 π 又|φ|＜ ，故 φ＝0，∴f(x)＝ sin2x＋1. 2 2
释疑点 解读函数图象的三种变换 1.准确理解“图象变换法” (1)由 y＝sinx 的图象，通过变换可得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图 象，其变化途径有两条： ① y＝ sinx相应变换 ――→ y＝ sin(x＋ φ)周期变换 ――→ y＝ sin(ωx＋ φ)振幅变换 ――→ y ＝Asin(ωx＋φ)． ② y ＝ sinx 周期变换 ――→ y ＝ sinωx 相位变换 ――→ y ＝ sin(ωx ＋ φ) 振幅变换 ――→ y ＝ Asin(ωx＋φ)．
再将这部分图象向左或向右延伸 kπ(k∈Z)个单位长度，就可得函 π 数 y＝2sin2x－3(x∈R)的图象.
高中数学人教A版必修4第一章正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像平移及解析式的求法
正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像平移及解析式的求法【知识点梳理及分析】一、有关正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)基础知识1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下： 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 二、图像的平移转换图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则 1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.2.两种变换方法注意：左侧为先平移后伸缩，右侧为先伸缩后平移 三、正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)解析式的求法1.表达式的化简（主要利用辅助角公式）（1）辅助角公式sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin tan ba ab a b ϕϕϕ===++ ，该法也叫合一变形).（2）所涉及到公式① 两角和与差的正弦、余弦公式： (1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-②二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a③降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a += （2） 22cos 1sin 2aa -=注：表达式的化简攻略可化简的表达式多种多样，很难靠举例一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，主要有以下几个特征：（1）观察式子：主要有三点①系统：整个表达式是以正余弦为主，如果有正切需要切化弦进行统一 ②确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式看做一个角来进行变换③式子是否齐次：式子要做到齐次统一，利用所涉及到三角函数恒等式的公式进行转换，把同一角转换为齐二次式或是齐一次式在使用辅助角公式，使结果成为y ＝A sin(ωx ＋φ)（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂（注意平方降幂）.2. 求解A 、ω、φ以及确定解析式 (1)A 的求解A 的求解：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2（2）ω的求解结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω①如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两条对称轴为x=a ，x=b （a<b ），则T=2(b-a).②如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两个对称中心为（a ，0）、（b ，0）（a<b ），则T=2(b-a).③如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的对称轴与对称中心分别为x=a ，（b ，0）则T=4a -b .注意：在y ＝Asin(ωx ＋φ)中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）φ的求解①代入法：把图上已知点代入即可. ②五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图像上升时与x 轴交点）为ωx ＋φ=0；“第二点”（即图像的“峰点”）为ωx ＋φ=π2；“第三点”（即图像下降时与x 轴交点）为ωx ＋φ=π；“第四点”（即图像的“谷点”）为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（4）y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 中“B ”的确定 B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2补充：函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
《函数y=Asinωφ的图像及性质》PPT课件讲义
11
33
3
3
3
x 26
0
2
3 2
2
y
2sin
x 2
6
0
2
0 2
0
(2)描点：描出点(－π3，0)、(23π，2)、(53π，0)、 (83π，－2)、(113π，0)． (3)连线：用平滑的曲线将这五个点连接起来，最后 将其向两端伸展，得到图像如图所示．
【变式迁移】
（ⅰ）已知函数f(x)＝sin
考题规律
1.“五点法”作图及图象的变换是考查的重点． 2.结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用是 考查的热点．
2．若函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图 ， 则ω和φ的取值是 ( C )
A．ω＝1，φ＝π3 C．ω＝12，φ＝π6
B．ω＝1，φ＝－π3 D．ω＝12，φ＝－π6
【变式迁移】
(ⅲ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋ )，其中ω>0.若函数
f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 . (1)求函数f(x)的解析式； (2)求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移
m个单位后所对应的函数是偶函数．
解：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋ )．
依题意，
.
又T＝ ，故ω＝3，
Thank you.
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函数y=Asin(ωx+φ)图像的变换
③相位变换：函数 y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中 φ≠0)的图象，可 以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当 φ＞0 时)或向右(当 φ＜0 时) 平行移动|φ|个单位长度而得到的．(“左加右减”) 函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A＞0，ω＞0)的图象，可以看 作用下面的方法得到：先把正弦曲线上的所有点，向左(当 φ＞0 时) 或向右(当 φ＜0 时)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标 1 缩短(当 ω＞1 时)或伸长(当 0＜ω＜1 时)到原来的ω倍(纵坐标不变)， 再把所得各点的纵坐标伸长(当 A＞1 时)或缩短(当 0＜A＜1 时)到原 来的 A 倍(横坐标不变)
典例对对碰 例 1 用变换法作 y＝2cos2x－2 3sinxcosx 的图象，说明它是怎 样由 y＝sinx 的图象变换而来． 分析 先对已知的函数解析式进行恒等变形
解析 ∵y＝2cos2x－2 3sinxcosx π ⇒y＝－2sin(2x－ )＋1 6
变换一： (先伸缩后平移 )
变换二： (先平移后伸缩 )
函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换
函数 y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象除用“五点法”作出外，还可由函 数 y＝sinx 的图象经过若干变换而得到，这些变换是： ①振幅变换：函数 y＝Asinx，x∈R(其中 A＞0 时)或缩短(当 0 ＜A＜1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的． ②周期变换：函数 y＝sinωx，x∈R(其中 ω＞0，且 ω≠1)的图 象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(当 ω＞1 时)或伸 1 长(当 0＜ω＜1 时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的． ω
函数y=Asin的图像及性质
x x 已知函数 y＝ 3sin ＋cos (x∈R)． 2 2 (1)用“五点法”画出它的图象； (2)求它的振幅、周期及初相； (3)说明该函数的图象可由 y＝sinx 的图象经过怎样的变 换而得到？
[解]
x π x π (1)y＝2sin( ＋ )，令 X＝ ＋ ，列表如下： 2 6 2 6
[点评与警示]
用“五点法”作图应抓住四条：①化为
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞ 2π 0)的形式；②求出周期 T＝ ；③求出振幅 A；④列出一个 ω 周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列 出该区间内的特殊点．⑤图象的变换顺序有两种，一是先平 移，后伸缩；二是先伸缩，后平移．两者平移量不同，前者 |φ| 横移|φ|个单位，后者是横移 个单位． ω
2
(1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的最大值及最小值； (3)写出函数 f(x)的单调递增区间； π π (4)证明 f(x)在[－ ， ]上递增． 3 12
[ 解] sin2x
1 3 3 3 1 f(x) ＝ sin2x ＋ (1 ＋ cos2x) － ＋ cos2x ＋ 2 2 2 2 2
(2011· 广州一模)已知函数 f(x)＝2sinxcosx＋cos2x(x∈R)． (1)求 f(x)的最小正周期和最大值； 2 (2)若 θ 为锐角，且 3 ，求 tan2θ 的值． [解] (1)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x
＝sin2x＋cos2x ＝
2 2 2 sin2 x ＋ cos2 x 2 2 π sin2x＋4.
π 将函数 y＝sin(x－ )的图象上所有点的横坐标伸长到 3 π 原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移 个单 3 位，得到的图象对应的解析式是( 1 A．y＝sin x 2 1 π C．y＝sin( x－ ) 2 6 )
大一轮之函数y=Asin(ωx+φ)的图象与变换
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用知识梳理1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A >0，ω>0) AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω π2ω－φω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A图象的两种方法一．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )答案：(1)× (2)×二．考点突破考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与变换例1. (1)(2019·河南周口二模)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为( B )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋5π24解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12的图象，再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋5π12的图象，故选B.(2)(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：②将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解：①根据表中已知数据，得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6. 数据补全如表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ②由①知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z. 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z.由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z.由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 【条件探究】 若本典例(2)中的表改为123(2)将函数f (x )的图象向右平移θ(θ＞0)个单位长度，可得到函数g (x )的图象．若y ＝g (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝5π12，求θ的最小值．解：(1)由2π3ω＋φ＝0，8π3ω＋φ＝π可得ω＝12，φ＝－π3. 由12x 1－π3＝π2，12x 2－π3＝3π2，12x 3－π3＝2π， 可得x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3. 由A sin π2＝2，得A ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(2)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象向右平移θ个单位长度，得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－θ2－π3的图象，因为y ＝g (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝5π12， 所以12×5π12－θ2－π3＝k π＋π2，k ∈Z ， 解得θ＝－2k π－5π4，k ∈Z ，又θ＞0，所以当k ＝－1时，θ取得最小值3π4.方法与技巧 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 跟踪训练一(1)(2019·昆明质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(0＜ω＜2)满足条件：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，为了得到函数y ＝f (x )的图象，可将函数g (x )＝cos ωx的图象向右平移m (m ＞0)个单位长度，则m 的最小值为( A )A ．1 B.12 C.π6D.π2解析：由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ω＋π6＝0，即－12ω＋π6＝k π(k ∈Z)， 则ω＝π3－2k π(k ∈Z)， 结合0＜ω＜2，得ω＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(x －1)，所以只需将函数g (x )＝cos π3x 的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y ＝f (x )的图象，故选A.(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是y ＝cos2x .解析：由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin2x ，再向左平移π4个单位长度得y ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝cos2x .考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2. (1)(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ≤π2)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6. 解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ， 由于该函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12， 而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6. (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π3，k ∈Z .解析：根据所给图象，周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，再由|φ|＜π2，得φ＝－π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．方法与技巧 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT . (3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π. 跟踪训练二(1)(2019·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，其部分图象如图所示，将f (x )的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移1个单位长度得到g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( B )A ．g (x )＝sin π2(x ＋1)B ．g (x )＝sin π8(x ＋1)C ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋1D ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋1 解析：由题图可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，横坐标变为原来的2倍得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，再向右平移1个单位长度，得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8(x －1)＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋π8＝sin π8(x ＋1)．(2)已知函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z)．解析：由图可知T 4＝π3－π12＝π4，A ＝2， 即T ＝π，A ＝2，故ω＝2πT ＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，所以2×π12＋φ＝π2，故φ＝π3， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z)，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z)．考点三 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用角度1 三角函数模型的应用例3. 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为6_000元．解析：作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)． ∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000. 故7月份的出厂价格为6 000元． 角度2 三角函数图象性质的综合例4. (2019·潍坊模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω＞0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．解：(1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0， 可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z)，m ＝k π2＋π6(k ∈Z)，因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，所以2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π6. 当2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增，当2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增．综上，g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12. 方法与技巧 三角函数模型的应用策略(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． 跟踪训练三(1)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π3的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数g (x )为奇函数，则函数f (x )( C )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称C ．关于直线x ＝5π12对称 D ．关于直线x ＝π12对称解析：由题意T ＝π2×2＝π，ω＝2πT ＝2. 又因为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3 是奇函数，所以φ－2π3＝k π(k ∈Z)，即φ＝2π3＋k π， 又因为|φ|≤π3，所以φ＝－π3， 即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 因为f ⎝⎛⎭⎪⎫π12＝－12，选项A ，D 错，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝1，选项B 错误，C 正确． (2)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为20.5℃.解析：由题意得⎩⎨⎧28＝a ＋A ，a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(12－6)＝a －A ＝18，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)，令x ＝10得y ＝20.5.三．真题模拟练习1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( D )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确．2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，则ω的最大值为( B )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：由f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，得πω≥5π36－π18，∴ω≤12，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ω·⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝m π，ω·π4＋φ＝n π＋π2(m ，n ∈Z)，∴⎩⎨⎧ω＝2(n －m )＋1，φ＝2(m ＋n )＋14π.又|φ|≤π2，∴m ＋n ＝0或m ＋n ＝－1. 当m ＋n ＝0时，ω＝4n ＋1，φ＝π4，取n ＝2，得ω＝9，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4符合题意． 当m ＋n ＝－1时，φ＝－π4，ω＝4n ＋3， 取n ＝2，得ω＝11，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4， 此时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π18，536π时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫1336π，2318π，f (x )不单调，不合题意，故选B.3．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：不妨令ω＞0，由函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象，可得函数的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，由T ＝2πω得ω＝π，∴f (x )＝cos(πx ＋φ)，再根据函数的图象可得 π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π4＋2k π(k ∈Z)， ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4， 由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π(k ∈Z)， 得2k －14＜x ＜2k ＋34(k ∈Z)， ∴f (x )的单调递减区间为 ⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34(k ∈Z)，故选D.4．(2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z. 故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.四．[课时跟踪检测]基础题1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( )A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.2．(2019·七台河联考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( )A ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到解析：选A 因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到，故选A.3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A ．－3B .33C ．1 D. 3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2， ∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3. 4.(2019·贵阳检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2 )的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6D.π6解析：选B 由题意，得T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3. 5.(2019·武汉一中模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图所示，则f (2 019)＝( )A ．1B.32C.12D.34解析：选C 由函数图象可知最小正周期T ＝4，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，观察图象可知f (3)＝12，所以f (2 019)＝12.故选C.6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元．答案：6 000进阶题1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．(2018·天津高考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减解析：选A 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4，一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4.由此可判断选项A 正确．3．(2019·大同一中质检)将函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度之后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．8解析：选B 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f (x )＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π3，∵平移后的图象与函数f (x )的图象重合，∴－ωπ6＋π3＝π3＋k π，k ∈Z ，解得ω＝－6k ，k ∈Z.又0<ω<10，∴ω＝6.故选B.4.(2019·日照一模)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度解析：选B 由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎪⎫π3，2代入得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，∵－π<φ<0，∴－π3<2π3＋φ<2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12，故将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象．5．(2019·郑州一中入学测试)定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14B.54C.74D.34解析：选B 依题意得f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝ 2cos [ ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6 ]＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝ 32⎝⎛⎭⎪⎫k －16，k ∈Z.又ω>0，所以ω的最小值是32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16＝54，选B.6．(2019·绵阳一诊)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝56 B ．x ＝13 C ．x ＝12D ．x ＝0解析：选B 函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最大值为2，由(17)2－42＝1可得函数f (x )的周期T ＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，当x ＝13时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝2，为函数的最大值，故直线x ＝13为函数y ＝g (x )图象的一条对称轴．故选B.7.(2019·涞水波峰中学期中)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f (0)＝1，|MN |＝52，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝2cos π3xB ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3C ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π3D ．g (x )＝－2cos π3x解析：选A 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图及|MN |＝52，得T 4＝32，则T ＝6，ω＝π3.又由f (0)＝1，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π得sin φ＝12，φ＝5π6.所以f (x )＝2sin ( π3x ＋5π6 ).则g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(x －1)＋5π6＝2cos π3x .故选A.8.(2019·北京东城期中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点间距离为5，则ω＋φ＝________.解析：∵AB ＝5＝T 24＋16，∴T ＝6＝2πω，∴ω＝π3.∵f (2)＝－2，∴23π＋φ＝2k π＋32π，k ∈Z.又∵0<φ<π，∴φ＝56π，∴φ＋ω＝76π.答案：76π9．(2019·临沂重点中学质量调研)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝____________.解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，ω>0，所以ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，所以sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12.因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6. 答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6 10．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1( A >0，ω>0，0<φ<π2 )的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝________.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A ·1＋cos (2ωx ＋2φ)2＋1＝A2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A 2( A >0，ω>0，0<φ<π2 )的最大值为3，∴A 2＋1＋A 2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ( π2x ＋π2 )＋2＝－sin π2x ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝－( sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2 )＋2×2 018＝－504×0－sin π2－ sin π＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.答案：4 03511.(2019·天津新四区示范校期末联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若α为第二象限角且sin α＝35，求f (α)的值．解：(1)由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2.又∵函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，且点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0处于函数图象下降部分，∴2×5π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z. ∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵函数图象过点(0,1)，∴A sin π6＝1，∴A ＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵α为第二象限角且sin α＝35，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725，∴f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2( sin 2αcos π6＋cos 2αsin π6 )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×32＋725×12＝7－24325.12．(2019·西安长安区质检)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2π6x .(1)试说明y ＝f (x )的图象由函数y ＝3sin π3x 的图象经过怎样的变化得到；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最值．解：(1)∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6＝sin π3x cos π6－cos π3x sinπ6－cos π3x －1＝32sin π3x －32cos π3x －1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3－1，∴把函数y ＝3sin πx3的图象向先右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象．(2)∵函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴g (x )＝f (4－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(4－x )－π3－1＝3sin π3x －1.当x ∈[0,1]时，π3x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，故当x ＝0时，函数y ＝g (x )取得最小值－1；当x ＝1时，函数y ＝g (x )取得最大值12.难度题1．(2019·惠州调研)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )A.25π6B.49π12C.35π6D.17π4解析：选B 由题意可得，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )max ＝3，又g (x 1)·g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，由g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π12＋k π(k ∈Z)，因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以(2x 1－x 2)max ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－2π＝49π12，故选B. 2．设定义在R 上的函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π12<φ<π2 )，给出以下四个论断：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0上是增函数；③f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称；④f (x )的图象关于直线x＝π12对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p ⇒q ”的形式)__________．(用到的论断都用序号表示)解析：若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)．同时若f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝±1，又－π12<φ<π2，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，②③成立，故①④⇒②③.若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，同时若f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则2×π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又－π12<φ<π2，∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，②④成立，故①③⇒②④.答案：①④⇒②③或①③⇒②④3.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫t ≥0，ω>0，|φ|<π2. 则下列叙述正确的是________． ①R ＝6，ω＝π30，φ＝－π6；②当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6； ③当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )单调递减； ④当t ＝20时，|P A |＝6 3.解析：①由点A (33，－3)，可得R ＝6，由旋转一周用时60秒，可得T ＝2πω＝60，则ω＝π30， 由点A (33，－3)，可得∠AOx ＝π6， 则φ＝－π6，故①正确； ②由①知，f (t )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6，当t ∈[35,55]时，π30t －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π3，即当π30t －π6＝3π2时，点P (0，－6)，点P 到x 轴的距离的最大值为6，故②正确；③当t ∈[10,25]时，π30t －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，由正弦函数的单调性可知，函数y ＝f (t )在[10,25]上有增有减，故③错误；④f (t )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6，当t ＝20时，水车旋转了三分之一周期， 则∠AOP ＝2π3，所以|P A |＝63，故④正确． 答案：①②④。
5.7 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质-(必修第一册) (教师版)
函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质1 性质(1) 简谐运动可用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，A是振幅，周期T=2πω，频率f=1T=ω2π，相位ωx+φ ，初相φ.(2) A,ω,φ对f(x)=Asin(ωx+φ)的影响A影响函数y=f(x)的最值，ω影响周期，φ影响函数水平位置.2 函数的变换(1) 平移变换①y=f(x)⟶ y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)；② y=f(x)⟶y=f(x)± b (b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b个单位(上加下减).PS f(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4个单位，得到的函数不是f(x)=3sin(2x+π4+π3)，而是f(x)=3sin[2(x+π4)+π3].(2) 伸缩变换①y=f(x)⟶ y=A f(x)(A>0)将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A<1缩短).②y=f(x)⟶ y=f(ω x)(ω>0)将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍( ω>1缩短，ω<1伸长)；问题怎么理解呢？例：若将f(x)=3sin(x+π3)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那得到的函数是f(x)=3sin(2x+π3)还是f(x)=3sin(12x+π3)呢？解析我们把f(x)=3sin(x+π3)的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，ω会变大(T=2πω,T与ω成反比)，即变换后的函数应该是f(x)=3sin(2x+π3).【题型一】函数图象的变换【典题1】将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)＝2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是() A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ−2π3，2kπ+π3](k∈Z)C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)【解析】函数f(x)＝Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到ℎ(x)＝Asin[2ω(x−π3)+π6]＝Asin(2ωx+π6−2πω3)的图象．与g(x)＝2cos(2x+φ)＝2sin(2x+φ+π2)比较(利用诱导公式转化同函数名)又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．所以f(x)=2sin(x+π6)，故函数f(x)的周期为2π，A错误；令2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，所以函数f(x)单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；由于f(2π3)=2sin5π6=1，则f(2π3)取不到最值，∴x=2π3不是对称轴，∵f(2π3)≠0，∴(2π3,0)不是对称中心，即C，D错误．故选：B．巩固练习1(★)将函数y=cosx的图象先左移π4，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为()A．y=sin(2x+π4)B．y=sin(12x+3π4)C．y=sin(12x+π4)D．y=sin(2x+3π4)【答案】D【解析】函数y =cosx =sin(x +π2)，其图象先左移π4个单位，得y =sin(x +3π4)的图象；再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，得函数y =sin(2x +3π4)的图象； 所以函数y 的解析式为y =sin(2x +3π4)．故选：D ． 2(★) 将函数f(x)=3sin(12x −φ)(|φ|<π2 )的图象向左平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象．若g(π3)=32，则φ=( ) A ．−π4B ．−π3C ．π6D ．π3【答案】 C【解析】将函数f(x)=3sin(12x −φ)(|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位长度，可得g(x)=3sin[12(x +π3)−φ]=3sin(12x +π6−φ) 的图象， 因为g(π3)=32，所以3sin(π3−φ)=32，即sin(π3−φ)=12， 所以π3−φ=2kπ+π6(k ∈Z)或π3−φ=2kπ+5π6(k ∈Z)．因为|φ|＜π2，所以，φ=π6，故选：C ． 3(★★) 为了得到函数f(x)=sin(2x +3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x 的图象( )A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π8个单位D ．向左平移π8个单位【答案】 D【解析】为了得到函数f(x)=sin(2x +3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x =sin(2x +π2)的图象向左平移π8个单位,sin(2(x +π8)+π2)=sin(2x +3π4)．故选：D ． 4(★★) 已知函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y =sin(ωx +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为( ) A ．3π4 B ．π4C ．0D ．−π4【答案】B【解析】函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，所以π2=πω，解得ω=2，现将y =sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个g(x)=sin(2x +π4+φ)为偶函数， 则φ+π4=kπ+π2(k ∈Z)，整理得φ=kπ+π4(k ∈Z)， 当k =0时，φ=π4．故选：B ．5(★★) 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且图象向右平移π12个单位后得到的函数为偶函数，则f(x)的图象( ) A ．关于点(5π12,0)对称 B ．关于直线x =π6对称C ．在[−π12，5π12]单调递增 D ．在[π12,7π12]单调递减【答案】 C【解析】∵f(x)的最小正周期为π，∴T =2πω=π，得ω=2， 此时f(x)=sin(2x +φ)， 图象向右平移π12个单位后得到y =sin[2(x −π12)+φ]=sin(2x +φ−π6)，若函数为偶函数，则φ−π6=kπ+π2，k ∈Z ，得φ=kπ+5π6， ∵|φ|＜π2，∴当k =－1时，φ=−π6， 则f(x)=sin(2x −π3)，则f(5π12)=sin(2×5π12−π3)=sin π2≠0，故f(x)关于点(5π12,0)不对称，故A 错误， f(π6)=sin(2×π6−π3)=sin0≠1，故关于直线x =π6不对称，故B 错误， 当−π12≤x ≤5π12时，−π6≤2x ≤5π6，−π2≤2x −π3≤π2， 此时函数f(x)为增函数，故C 正确，当−π12≤x ≤7π12时，−π6≤2x ≤7π6，−π2≤2x −π3≤5π6， 此时函数f(x)不单调，故D 错误，故选：C ．6(★★★) 将函数f(x)=Asin(ωx +π6)(A >0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)=2cos(2x +φ)的图象，则下列说法正确的是( )A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)【答案】 B【解析】函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到：g(x)=Asin(2ωx+π6−2πω3)的图象．与g(x)=2cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+π2)比较，又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．故sin(2x−π2)=cos(2x－π)=cos(2x+φ)，得到φ=2kπ－π,k∈Z，所以：f(x)=2sin(x+π6),g(x)=－2cos2x．故函数f(x)的周期为2π，A错误；令2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，函数f(x)单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；由于f(2π3)=2sin5π6=1，可得C,D错误．故选：B．【题型二】由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式【典题1】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π2)的部分图象如图所示，下述四个结论：①ω=2；②φ=−π3；③f(x+π12)是奇函数；④f(x−π12)是偶函数中，其中所有正确结论的编号是.【解析】由函数图象的最值可得A=1，由34T=π6−(−7π12)=3π4，解得T=π，所以ω=2πT=2，此时f(x)=sin (2x+φ)代入(−7π12,1)得f(−7π12)=sin(−7π6+φ)=1，∴−7π6+φ=π2+2kπ⇒φ=5π3+2kπ，又∵0<|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=sin(2x−π3)，∴①、②正确；∵f(x+π12)=sin[2(x+π12)−π3]=sin(2x−π6)不是奇函数，∴③错误；∵f(x−π12)=sin[2(x−π12)−π3]=sin(2x−π2)=−cos2x，∴f(x−π12)为偶函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．【点拨】由函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的部分图象求解析式的方法(1) 求A,B：通过函数最值求解，由{f max=A+Bf min=−A+B得A=f max−f min2， B=f max+f min2；(2) 求ω：根据图象求出周期T，再利用T=2πω求出ω；(3) 求φ：求出A,ω后代入函数图象一最值点，求出φ.【典题2】已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，f(0)=f(29π)=−f(π3)，且f(x)在(π6,4π9)上单调，则函数y=f(x)的解析式是.【解析】对于函数f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)，由f(0)=f(2π9)，可得函数的图象关于直线x=12(0+2π9)=π9对称；又f(2π9)=−f(π3)，可得函数的图象关于点(2π9+π32，0)对称，即(5π18,0)；∴T4+kT=5π18−π9=π6，k∈Z, 解得T=2π3(4k+1)，∴ω=2πT=3(4k+1)；∵f(x)在(π6,4π9)上单调∴T 2≥4π9−π6，解得T >5π9，(由单调区间得到周期范围)∴0<ω≤185，又ω=2πT=3(4k +1)， ∴ω=3，∵(5π18，0)是对称中心，∴f (5π18)=0， 即sin (3×5π18+φ)=0，又∵0<φ<π ∴φ=π6，∴f(x)=sin (3x +π6). 【点拨】① 对于函数y =Asin( ωx +φ)， 若f (a )=f(b)，则x =a+b 2是其对称轴；若f (a )=−f(b)，则(a+b 2,0)是其对称中心；② 处理三角函数f(x)=Asin( ωx +φ)，多注意其对称性，结合图象进行分析.巩固练习1(★) 函数f(x)=Asin( ωx +φ) (其中A >0,ω>0，|φ|<π2 )的图象如图，则此函数表达式为 .【答案】 f(x)=3sin(12x +π4)【解析】如图所示，A =3，T4=π，可得T =4π，2πω=4π，解得ω=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)， 因为函数过(3π2,0)，代入f(x)， 得3sin(12x +φ)=0，即12×3π2+φ=kπ，φ=kπ−3π4(k ∈z)，当k =1时，φ=π4．所以f(x)=3sin(12x +π4)，故选：B ．2(★★) 如图，函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P(1,0)，∠PQR =π4，M 为QR 的中点，PM =√342，则A 的值为 .【答案】 5√2【解析】由∠PQR =π4，所以OQ =OR ，设Q(m,0)，则R(0,－m)， 又M 为QR 的中点，所以M(m 2,−m2)； 又|PM|=√342，即√(1−m 2)2+(0+m2)2=√342； 整理得m 2－2m －15=0，解得m =5或m =－3(不合题意，舍去)； 所以R(0,－5)，Q(5,0)； 所以12T =4，解得T =8，所以2πω=8，解得ω=π4；把P(1,0)代入f(x)=Asin(π4x +φ)，即Asin(π4+φ)=0， 由|φ|≤π2，得φ=−π4；把R(0,－5)代入f(x)=Asin(π4x −π4)， 得Asin(−π4)=－5，解得A =5√2．3 (★★) 已知函数f(x)=2sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，点A(0,√3)，B(π3,0)，则下列说法中错误的是( )A ．直线x =π12是f(x)图象的一条对称轴B ．f(x)的图象可由g(x)=2sin2x 向左平移π3个单位而得到 C ．f(x)的最小正周期为πD ．f(x)在区间(−π3，π12)上单调递增 【答案】 B【解析】由函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0＜φ＜π)部分图象，点A(0,√3)，B(π3,0)， ∴2sinφ=√3，∴sinφ=√32，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(ωx +π3)．再根据五点法作图可得ω•π3+π3=π，求得ω=2，故 f(x)=2sin(2x +π3)． 令x =π12，求得f(x)=2，为最大值，故直线x =π12是f(x)图象的一条对称轴，故A 正确； 把g(x)=2sin2x 向左平移π3个单位，可得y =2sin(2x +2π3)的图象，故B 不正确； f(x)=2sin(2x +π3)的最小正周期为 2π2=π，故C 正确；在区间(−π3,π12)上，2x +π3∈(−π3,π2)，故f(x)=2sin(2x +π3)单调递增，故选：B ． 4 (★★★) 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标；(3)将f(x)的图象向左平移π6个单位，再讲横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y =g(x)在x ∈[0,7π6]上的最大值和最小值．【答案】 (1)f (x )=2sin (2x +π3)−1(2) 单调递增区间[kπ−5π12,kπ+π12],k ∈Z ，对称中心坐标 (kπ2−π6,−1),k ∈Z (3)最小值−2 ,最大值√3.【解析】(1)由图象可知{A +B =1−A +B =−3，可得：A =2，B =－1，又由于T2=7π12−π12，可得：T =π，所以ω=2πT =2， 由图象及五点法作图可知：2×π12+φ=π2，所以φ=π3， 所以f(x)=2sin(2x +π3)－1． (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x +π3)－1，令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k∈Z，令2x+π3=kπ，k∈Z，得x=kπ2−π6，k∈Z，所以f(x)的对称中心的坐标为(kπ2−π6,－1),k∈Z．(3)由已知的图象变换过程可得：g(x)=2sin(x+2π3)，因为0≤x≤7π6，所以2π3≤x+2π3≤11π6，所以当x+2π3=3π2，得x=5π6时，g(x)取得最小值g(5π6)=－2，当x+2π3=2π3，即x=0时，g(x)取得最大值g(0)=√3．5 (★★★) 如图是函数f(x)=A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为π4，点F(0,1)是线段DM的中点．(1)求函数f(x)的解析式及[π,2π]上的单调增区间；(2)若x∈[−π12,5π12]时，函数ℎ(x)=f2(x)−af(x)+1的最小值为12,求实数a的值．【答案】(1) f(x)=2sin(x+π4),[5π4,2π]，(2) 32【解析】(1)取MN的中点为H，则DH⊥MN，因为F为DM的中点，且F在y轴上，则OF//DH且OF=12DH，则OM=OH，所以D(π4,2)，M(−π4,0)，则A=2，T=2πω=4[π4−(−π4)]=2π，所以ω=1所以f(x)=2sin(x+φ)，由f(π4)=2，解得φ=2kπ+π4,k ∈z ， 由0<φ<π2，所以φ=π4， 即f(x)=2sin(x +π4)， 令−π2+2kπ≤x +π4≤π2+2kπ,解得−3π4+2kπ≤x ≤π4+2kπ， 又x ∈[π,2π]，所以函数f(x)在[π,2π]上的单调增区间为:[5π4,2π]； (2)因为−π12≤x ≤5π12，所以π6≤x +π4≤2π3，所以12≤sin(x +π4)≤1，所以1≤f(x)≤2，令t =f(x)，则t ∈[1,2]，则g(t)=t 2－at +1=(t −a 2)2+1−a 24，①当a2≤1，即a ≤2时，g (t )min =g(1)=12，解得:a =32，②当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )min =g(a 2)=1−a 24=12，解得:a =±√2(舍)， ③当a 2≥2即a ≥4时，g (t )min =g(2)=12，解得a =94(舍)， 综合①②③得实数a 的值为32．【题型三】三角函数模型的简单应用一【典题1】已知函数f(x)=sin 2x −2√3sinxcosx +sin(x +π4)sin(x −π4)． (1)求f(x)的最小值并写出此时x 的取值集合； (2)若x ∈[0 ,π]，求出f(x)的单调减区间.【解析】(1)由于f (x )=sin 2x −2√3sinxcosx +sin (x +π4)sin (x −π4)=1−cos2x2−√3sin2x +√22(sinx +cosx)√22(sinx −cosx)（二倍角公式、两角和差公式） =1−cos2x 2−√3sin2x −cos2x 2 =12−(√3sin2x +cos2x) (辅助角公式)=12−2sin(2x+π6)令2x+π6=2kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ+π6，k∈Z，可得f(x)的最小值为−32，此时x的取值集合为{x|x=π6+kπ ,k∈Z}；(2)由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，可得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，所以f(x)的单调减区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z，因为x∈[0 ,π]，当k=0时，减区间为[0 ,π6 ]；当k=1时，减区间为[2π3,π]．综上，x∈[0 ,π]时的单调减区间为[0 ,π6]和[2π3 ,π]．【点拨】①解析式的化简中用积化和差公式sin(x+π4)sin(x−π4)=12[cosπ2−cos2x]=−12cos2x更简洁些；②本题通过各种公式(两角和差公式、倍角公式、积化和差公式等)转化，最终把函数的解析式转化为f(x)= Asin(ωx+φ)+B或f(x)=Acos(ωx+φ)+B的形式求解函数的各性质(单调性、对称性、周期、最值等).【典题2】已知函数f(x)=4sin2(π4+x2)sinx+(cosx+sinx)(cosx−sinx)−1．(1)求f(x)的对称中心；(2)设常数ω>0，若函数y=f(ωx)在区间[−π2 ,2π3]上是增函数，求ω的取值范围；(3)若函数g(x)=12[f(2x)+af(x)−af(π2−x)−a]−1在区间[−π4 ,π2]上的最大值为2，求a的值．【解析】(1) (函数解析式转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B形式)f(x)=2[1−cos(π2+x)]⋅sinx+cos2x−sin2x−1=sinx(2+2sinx)+1−2sin2x−1=2sinx．所以对称中心(kπ ,0),k∈Z，(2)∵f(ωx)=2sinωx，由−π2+2kπ≤ωx≤π2+2kπ，解得−π2ω+2kπω≤x≤π2ω+2kπω，∴f(ωx)的增区间为[−π2ω+2kπω ,π2ω+2kπω] ,k ∈Z ， ∵f(ωx)在[−π2 ,2π3]上是增函数， ([−π2 ,2π3]是函数f(ωx)增区间的子集，而0∈[−π2 ,2π3]，故k =0) ∴当k =0时，有[−π2 ,2π3]⊆[−π2ω ,π2ω]， ∴{ω>0−π2ω≤−π2π2ω≥2π3，解得0<ω≤34， ∴ω的取值范围是(0 ,34]．(3)g(x)=2sinxcosx +a(sinx −cosx)−12a −1，(注意(sinx −cosx )2=1−sin2x ，(sinx +cosx )2=1+sin2x ) 令sinx −cosx =t ，则t =sinx −cosx =√2sin(x −π4)，∵x ∈[−π4 ,π2] ，∴x −π4∈[−π2 ,π4]，∴−√2≤t ≤1 而sin2x =1−t 2，则y =1−t 2+at −12a −1=−(t −a 2)2+a 24−12a ， (问题转化为动轴定区间最值问题，分对称轴t =a2在区间[−√2,1]左中右) ①当a2<−√2时，即a <−2√2时，y max=−(−√2−a 2)2+a 24−a 2=−√2a −a2−2，令−√2a −a 2−2=2，解得a =82√2+1(舍)． ②当−√2≤a 2≤1时，即−2√2≤a ≤2时，y max =a 24−a2，令a 24−a 2=2，解得a =−2或a =4(舍)，③当a2>1时，即a >2时，在t =1处，y max =a2−1，由a2−1=2，解得a =6，综上所述a =－2或6．【典题3】已知函数f(x)=sin 4x +cos 4x +asinxcosx(a ∈R)． (1)当a =0时，求函数y =f(x)的单调减区间；(2)设方程f (x )−asin2x −1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2，求实数a 的取值范围及x 1+x 2的值； (3)若对任意实数x ，f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1) f (x )=sin 4x +cos 4x +asinxcosx =(sin 2x +cos 2x )2－2sin 2x cos 2x +asinxcosx =1−12sin 22x +12asin2x ．当a =0时，f(x)=1−12sin 22x =1−1−cos4x 4=14cos4x +34， (函数化为f (x )=Acos (ωx +φ)+B ) 由2kπ≤4x ≤π+2kπ，得kπ2≤x ≤π4+kπ2，k ∈Z ．∴当a =0时，函数y =f(x)的单调减区间为[kπ2 ,kπ2+π4]，k ∈Z ； (2) (将问题逐步等价转化，化成“最简问题”)方程f (x )−asin2x −1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2，即1−12sin 22x +12asin2x −asin2x −1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2， 也就是sin 22x +asin2x =0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2， 当x ∈(0 ,π2)时，sin2x ≠0，即a =−sin2x 在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2， (数形结合，y =a 与y =−sin2x 在(0 ,π2)内相交于两点) 易得y =−sin2x 在(0 ,π2)内的值域是(−1,0)， 即－1<a <0，此时x 1+x 2=π2； (3)若对任意实数x ，f(x)≥0恒成立， 则1−12sin 22x +12asin2x ≥0恒成立，即sin 22x −asin2x −2≤0恒成立，(换元法化为二次函数恒成立问题) 令t =sin2x(−1≤t ≤1)，则t 2−at −2≤0恒成立．可得{(−1)2+a −2≤012−a −2≤0，即−1≤a ≤1．∴实数a 的取值范围是[−1 ,1]．巩固练习1(★★) 已知函数f (x )=√3sinxcosx −sin 2x ． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调增区间；(3)求函数f(x)在区间[0 ,π2]上的最大值．【答案】(1) π (2) [−π3+kπ ,π6+kπ]，(k ∈Z ) (3) 12【解析】f(x)=√3sinxcosx －sin 2x =√32sin2x −1−cos2x2=√32sin2x +12cos2x −12 =sin(2x +π6)−12， (1)最小正周期T =2π2=π； (2)令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，则−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ， 故单调增区间为：[−π3+kπ ,π6+kπ]，(k ∈Z)，(3)当x ∈[0 ,π2]时，2x +π6∈[π6 ,7π6]，则f(x)=sin(2x +π6)−12∈[－1 ,12]， 所以函数f(x)在区间[0 ,π2]上的最大值为12．2(★★) 已知函数f(x)=sin(π−ωx)cosωx −cos 2(ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π． (1)求f(x)图象的对称轴方程；(2)将f(x)图象向右平移π6个单位长度后，得到函数g(x)，求函数g(x)在[0 ,π2]上的值域． 【答案】 (1)x =kπ2+π4(k ∈Z)．(2)[−√32−12 ,12]． 【解析】(1)f(x)=sin(π−ωx)cosωx −cos 2(ωx +π4)=sin(2ωx)2−1−sin2ωx 2=sinωx −12， 由于函数的最小正周期为π，故ω=2，所以f(x)=sin2x −12；令2x =kπ+π2，整理得x =kπ2+π4(k ∈Z)， 故函数的对称轴方程为x =kπ2+π4(k ∈Z)． (2)由于g(x)=sin(2x −π3)−12， 由于x ∈[0,π2]，所以2x −π3∈[−π3,2π3]， 故g(x)∈[−√32−12,12]．3(★★★) 已知函数f(x)=12cos2x +sinxcosx ，其中x ∈R ． (1)求使f(x)≥12的x 的取值范围； (2)若函数g(x)=√22sin(2x +3π4)，且对任意的0≤x 1<x 2≤t ，恒有f (x 1)－f (x 2)<g (x 1)−g(x 2)成立，求实数t 的最大值．【答案】 (1) [kπ ,kπ+π4]，k ∈Z (2)π4【解析】(1)f(x)=12cos2x +sinxcosx =12cos2x +12sin2x =√22sin(2x +π4)，f(x)≥12，即sin(2x +π4)≥√22， 所以2kπ+π4≤2x +π4≤2kπ+3π4，k ∈Z ，解得kπ≤x ≤kπ+π4，k ∈Z ， 即使f(x)≥12的x 的取值范围是[kπ ,kπ+π4]，k ∈Z ． (2)令F(x)=f(x)－g(x)=√22sin (2x +π4)−√22sin (2x +3π4) =√22sin(2x +π4)−√22cos(2x +π4)=sin2x ，因为对任意的0≤x 1<x 2≤t ，恒有f(x 1)－f(x 2)<g(x 1 )－g(x 2)成立， 所以当x ∈[0 ,t]时，F(x)=sin2x 为增函数，所以2t ≤π2，解得t ≤π4， 所以实数t 的最大值为π4．4(★★★★) 已知函数f(x)=√3sin(2ωx +φ)+1(ω>0，−π2<φ<π2 )，函数f(x)的图象经过点(−π12,1)且f(x)的最小正周期为π2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数y =f(x)图象上所有的点向下平移1个单位长度，再函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2√33倍，得到函数y =ℎ(x)图象，令函数g(x)=ℎ(x)+1，区间[a ,b](a ,b ∈R 且a <b )满足：y =g(x)在[a ,b]上至少有30个零点，在所有满足上述条件的[a ,b]中，求b −a 的最小值． (3)若m[1+√3(f(x 8−π12)－1)]+12+32cosx ≤0对任意x ∈[0 ,2π]恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】 (1) f(x)=√3sin(4x +π3)+1 (2) 43π3(3) (−∞ ,−2]【解析】(1)∵f(x)=√3sin(2ωx +φ)+1， 又函数f(x)的最小正周期为π2，∴2π2ω=π2，∴ω=2． ∴f(x)=√3sin(4x +φ)+1．又函数f(x)经过点(−π12 ,1)，所以f(−π12)=√3sin(−π3+φ)+1=1， 于是 (4×(−π12)+φ)=kπ ,k ∈Z 因为−π2<ϕ<π2，所以ϕ=π3． 故f(x)=√3sin(4x +π3)+1．(2)由题意，ℎ(x)=2sin(2x +π3)g(x)=2sin(2x +π3)+1． 令g(x)=0得：sin(2x +π3)=−12， ∴2x +π3=2kπ+7π6或2x +π3=2kπ+11π6，k ∈Z 解得：x =kπ+5π12或x =kπ+3π4 ,k ∈Z ∴相邻两个零点之间的距离为π3或2π3．若b －a 最小，则a ,b 均为g(x)的零点，此时在区间[a ,π+a] ,[a ,2π+a] ,… ,[a ,mπ+a](m ∈N ∗)分别恰有3，5，…，2m +1个零点． ∴在区间[a ,14π+a]恰有2×14+1=29个零点． ∴(14π+a ,b]至少有一个零点．∴b −(14π+a)≥π3，即b −a ≥14π+π3=43π3．检验可知，在[5π12 ,5π12+43π4]恰有30个零点，满足题意(可有可无) ∴b －a 的最小值为43π3．(3)由题意得m(3sin x2+1)≤3sin2x2−2．∵x∈[0 ,2π]，∴x2∈[0 ,π]，∴sin x2∈[0 ,1] ,m≤3sin2x2−2 3sin x2+1．设t=3sin x2+1，t∈[1 ,4]．则sin x2=t−13．设y=3sin2x2−2 3sin x2+1．则y=3⋅19(t−1)2−2t=t2−2t−53t=13(t−5t−2)在t∈[1 ,4]上是增函数．∴当t=1时，y min=－2，∴m≤－2．故实数m的取值范围是(－∞ ,－2]．【题型四】三角函数模型的简单应用二【典题1】如图，一个水轮的半径为6m，水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数，则下列结论正确的是()A．f(3)=9B．f(1)=f(7)C．若f(t)≥6，则t∈[2+12k,5+12k](k∈N)D．不论t为何值，f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值【解析】方法一几何法图中PB⊥水面，OA⊥PB，(由图f(t)=PA=PA+3，则需了解PA与t的关系，从几何角度求解)∵每分钟转动5圈∴OP每秒钟内所转过的角度为5×2π60=π6，(角速度)则t秒转过的角度π6t，即∠P0OP=π6t如上图依题意可知∠P0OA=π6，即α=π6t−π6在Rt∆POA中，PA=OPsinα=6sin (π6t−π6)∴f(t)=PB=PA+AB=6sin(π6t−π6)+3对于A，f(3)=6sin(π6×3−π6)+3=3√3+3，即A错误；对于B，f(1)=6sin(π6×1−π6)+3=3，f(7)=6sin(π6×7−π6)+3=3，即B正确；(或确定x=1+72=4是函数对称轴也行)对于C，因为f(t)≥6，所以6sin(π6t−π6)+3≥6，即sin(π6t−π6)≥12，所以π6t−π6∈[π6+2kπ,5π6+2kπ]，解得t∈[2+12k,6+12k],k∈N，即C错误；对于D，f(t)+f(t+4)+f(t+8)=6sin(π6t−π6)+3+6sin[π6(t+4)−π6]+3+6sin[π6(t+8)−π6]+3=6sin(π6t−π6)+6sin(π6t+π2)+6sin(π6t+7π6)+9=6[sin(π6t−π6)+cosπ6t−sin(π6t+π6)]+9因为sin(π6t−π6)+cosπ6t－sin(π6t+π6)=0，所以f(t)+f(t+4)+f(t+8)=9，即D正确．故选：BD．方法二待定系数法可知f(x)符合三角函数模型，设f(t)=Asin(ωx+φ)+B(A>0)，依题意可知f(t)的最大值为9，最小为−3，∴A+B=9，且−A+B=−3，可得A=6，B=3；∵每分钟转动5圈，∴1圈要12秒，即T=12s，则ω=2πT =π6，得f(t)=6sin(π6t+φ)+3，(也可由OP每秒钟内所转过的角度为5×2π60=π6得ω=π6)依题意可知f(0)=0，得sinφ=−12，取φ=−π6，(得到φ的一个值便可)故所求的函数解析式为f(t)=6sin(π6t −π6)+3， 接下来如同方法一. 【点拨】① 方法一利用几何性质求出f(t)(即图中的PB )与t 之间的关系；② 方法二是根据题意确定符合三角函数模型，则用待定系数法设函数f(t)=Asin(ωx +φ)+B ，根据题意由最大值和最小值求出A,B 的值，根据周期性由T =2πω求出ω，注意一个特殊情况代入一个点求出φ.【典题2】 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ABC 和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点(异于B,C )，点H 在线段AB 上，且满足CH ⊥AB ．已知∠ACB =90°，AB =1dm ，设∠ABC =θ．(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ABC =∠PCB ，且CA +CP 达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠PBA =60°，且CH +CP 达到最大．当θ为何值时，CH +CP 取得最大值，并求该最大值．【解析】依题意∠ABC =∠PCB =θ， 则在直角△ABC 中，AC =sinθ,BC =cosθ；在直角△PBC 中，PC =BC ∙cosθ=cos 2θ，PB =BC ∙sinθ=sinθcosθ； (用变量θ表示CA +CP ，利用函数最值方法求解) (1)AC +CP =sinθ+cos 2θ=sinθ+1−sin 2θ =−sin 2θ+sinθ+1，θ∈(0,π2)，所以当sinθ=12，即θ=π6，AC +CP 的最大值为54；(2)在直角△ABC 中，由S △ABC =12CA ⋅CB =12AB ⋅CH ，(等积法)可得CH =sinθ⋅cosθ1=sinθ⋅cosθ；在直角△PBC 中，PC =BC ⋅sin (π3−θ)=cosθ⋅(sin π3cosθ−cos π3sinθ)=√32cos 2θ−12cosθsinθ，所以CH +CP =√32cos 2θ+12cosθsinθ =14sin2θ+√34cos2θ+√34=12sin(2θ+π3)+√34，θ∈(0,π2)，(函数化为f (x )=Asin(ωx +φ)+B 求最值) 所以当θ=π12，CH +CP 达到最大，最大值为12+√34． 【点拨】① 利用直角三角形等几何性质用θ表示各线段长度；② 题目中体现了函数思想，在求解实际问题中，特别要注意自变量θ的取值范围.巩固练习1(★★) 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3√3,−3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y =f(t)=Rsin(ωt +φ)(t ≥0,ω＞0,|φ|<π2)．则下列叙述错误的是( ) A ．R =6,ω=π30,φ=−π6B ．当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当t ∈[10,25]时，函数y =f(t)单调递减D ．当t =20时，|PA|=6√3【答案】C【解析】由题意，R =√27+9=6，T =60=2πω，∴ω=π30，点A(3√3,－3)代入可得－3=6sinφ，∵|φ|<π2，∴φ=−π6．故A 正确；f(t)=6sin(π30t −π6)，当t ∈[35,55]时，π30t −π6∈[π,53π]，∴点P 到x 轴的距离的最大值为6，正确； 当t ∈[10,25]时，π30t −π6∈[16π,2π3]，函数y =f(t)单调递减，不正确；当t =20时，π30t −π6=π2，P 的纵坐标为6，|PA|=√27+81=6√3，D 正确，故选：C ．2(★★) 某游乐场中半径为30米的摩天轮逆时针(固定从一侧观察)匀速旋转，每5分钟转一圈，其最低点离底面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度y (米)随时间t (秒)变化的关系式为 .【答案】 y =30sin(π150t −π2)+35 【解析】设y =Asin(ωt +φ)+B ，由题意可得A =30，ω=2π300=π150，B =30×2+5－30=35，(0,5)为最低点， 代入可得5=30sinφ+35，sinφ=－1， φ=−π2+2kπ，k =0时，φ=−π2， ∴y =30sin(π150t −π2)+35，故选：B ．3(★★) 如图，已知扇形AOB 的半径为1，中心角为60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，P 为AB ̂上一动点，问：点P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大？并求出这个最大值．【答案】当P 为AB̂中点时，矩形PQRS 的面积取到最大值√36【解析】如图，在Rt △OPS 中，设∠POS =α，则OS =cosα，PS =sinα，在Rt△ORQ中，QROR =tan60°=√3，所以OR=√33QR=√33sinα．∴RS=OS－OR=cosα−√33sinα．设矩形ABCD的面积为S，则S=(cosα−√33sinα)sinα=sinαcosα−√33sin2α=12sin2α+√36cos2α−√36=√33(√32sin2α+12cos2α)−√36=√33sin(2α+π6)−√36．由于0<α<π3，所以当2α+π6=π2，即α=π6时，S max=√33−√36=√36．因此，当α=π6时，矩形PQRS的面积最大，最大面积为√36．4(★★★) 如图，某正方形公园ABCD，在ABD区域内准备修建三角形花园BMN，满足MN与AB平行(点N在BD上)，且AB=AD=BM=2(单位：百米)．设∠ABM=θ，△BMN的面积为S(单位：百米平方)．(1)求S关于θ的函数解析式(2)求S(θ)的最大值，并求出取到最大值时θ的值．【答案】(1) S(θ)=2sinθ(cosθ−sinθ)，θ∈(0,π4)(2) S(θ)的最大值为√2−1百米平方，此时θ=π8．5(★★★) 某农场有一块扇形农田，如图所示．已知扇形OAB的圆心角为π4，半径为80米，点P在AB̂上，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．现要在△OPC和△OPD区域中分别种植甲、乙两种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜单位面积年产值之比为1：√3．设∠AOP=θ，0<θ<π4．(1)用θ分别表示△OPC和△OPD的面积；(2)当θ为何值时，读农场种植甲、乙两种蔬菜的年总产值最大？【答案】(1) △OPC和△OPD的面积分别为1600sin2θ平方米，1600cos2θ平方米；(2) 当θ=π12时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大.【解析】(1)直角三角形OPC中，PC=OPsinθ=80sinθ，OC=OPcosθ=80cosθ，所以△OPC的面积为12×PC×OC=3200sinθcosθ=1600sin2θ，同理△OPD的面积为1600sin2(π4−θ)=1600cos2θ．(2)设农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值为y，甲，乙两种蔬菜每平方米年产值分别为t，√3t(t＞0)，则y=1600sin2θ•t+1600cos2θ•√3t=3200tsin(2θ+π3)，∵0<θ<π4∴π3<2θ+π3<5π6．∴当2θ+π3=π2，即θ=π12时，y取得最大值．答：(1)△OPC和△OPD的面积分别为1600sin2θ平方米，1600cos2θ平方米；(2)当θ=π12时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大．6(★★★★) 如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C，D为半圆上的点．(1)请你为C点确定位置，使△ABC的周长最大，并说明理由；(2)已知AD=DC，设∠ABD=θ，当θ为何值时，①四边形ABCD的周长最大，最大值是多少？②四边形ABCD的面积最大，最大值是多少？【答案】(1) 2√2+2,此时点C是半圆的中点(2)① θ=π6时，最大值是5．② θ=π6时，最大值是3√34.【解析】(Ⅰ)点C在半圆中点位置时，△ABC周长最大；理由如下：因为点C在半圆上，且AB是圆的直径，所以∠ACB=π2，即△ABC是直角三角形；设BC=a，AC=b，AB=c，显然a，b，c均为正数，则a2+b2=c2；因为a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2，所以a+b≤√2(a2+b2)=√2c，所以△ABC周长为L=a+b+c≤(√2+1)c=2√2+2，当且仅当a=b时等号成立；即△ABC为等腰直角三角形时，周长取得最大值为2√2+2；此时点C是半圆的中点．(Ⅰ)(Ⅰ)因为AD=DC，所以∠ABD=∠DBC=θ；所以AD=DC=AB•sinθ，CB=AB•cos2θ；设四边形ABCD的周长为p，则p=AD+DC+CB+AB=2ABsinθ+ABcos2θ+2=4sinθ+2(1−2sin2θ)+2=5−4(sinθ−12)2；显然θ∈(0,π4)，所以当θ=π6时，p取得最大值5．(Ⅰ)过O作OE⊥BC于E，设四边形ABCD的面积为s，四边形AOCD的面积为s1，△BOC的面积为s2，则s=s1+s2=12AC⋅OD+12BC⋅OE=12ABsin2θ⋅1+12ABcos2θ⋅sin2θ=sin2θ+cos2θ•sin2θ=sin2θ(1+cos2θ)；所以s2=sin22θ(1+cos2θ)2=(1－cos22θ)(1+cos2θ)2=(1－cos2θ)(1+cos2θ)3=33(1−cos2θ)(1+cos2θ)3≤13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)2]2(1+cos2θ)2=13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)2(1+cos2θ)]2≤13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)2+(1+cos2θ)2]2×2=13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)+2(1+cos2θ)4]4=13(32)4=2716．当且仅当3(1－cos2θ)=1+cos2θ，即cos2θ=12时，等号成立；显然θ∈(0,π4)，所以2θ∈(0,π2)，所以此时θ=π6；所以当θ=π6时，s=3√34，即四边形ABCD的最大面积是3√34．。
专题60 高中数学函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换(解析版)
专题60 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响3．A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响4．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)：(1)A 越大，函数的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．(3)φ大于0时，函数y ＝A sin ωx 的图象向左平移⎪⎪⎪⎪φω个单位长度得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，φ小于0时，函数y ＝A sin ωx 的图象向右平移⎪⎪⎪⎪φω个单位长度得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，即“加左减右”．5．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤6．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象， 其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――――→周期变换y ＝sin ωx ――――→相位变换y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω＝sin(ωx ＋φ)――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． 题型一 用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象1．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π12，2，⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫712π，－2，⎝⎛⎭⎫5π6，0，则ω＝________.[解析]因为周期T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2. 2．用“五点法”作出函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3的简图． [解析]函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3的周期T ＝2π13＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象． 列表如下：利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3的简图(图略)．3．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3.(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f (x )在一个周期内的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)求f (x )的最大值和此时相应的x 的值．[解析] (1)列表：x 2＋π3 0 π2 π 3π2 2π x －2π3π3 4π3 7π3 10π3 f (x )2－2作图：(2)由2k π－π2≤x 2＋π3≤2k π＋π2，得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，k ∈Z.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－5π3，4k π＋π3，k ∈Z. (3)当x 2＋π3＝π2＋2k π，即x ＝π3＋4k π(k ∈Z)时，f (x )max ＝2.4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )[解析]当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0，排除B ，D.当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin0＝0，排除C ，故选A. 5．函数y ＝2sin πx －11－x(－2≤x ≤4)的所有零点之和为________． [解析]函数y ＝2sin πx －11－x (－2≤x ≤4)的零点即方程2sin πx ＝11－x的根， 作函数y ＝2sin πx 与y ＝11－x的图象如下：由图可知共有8个公共点所以原函数有8个零点．y ＝2sin πx －11－x ＝2sin π(1－x )－11－x ，令t ＝1－x ，则y ＝2sin πt －1t ，t ∈[－3,3]，该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.题型二 三角函数图象之间的变换1．已知函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54，该函数的图象可由y ＝sin x ，x ∈R 的图象经过怎样的变换得到？ [解析]解法一：步骤：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象； ②把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象；③把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可以得到函数y ＝12sin(2x ＋π6)的图象；④再把得到的函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向上平移54个单位长度，就能得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图象． 解法二：步骤：①把函数y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，而纵坐标不变，得到函数y ＝sin2x 的图象；②把函数y ＝sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象； ③把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，而横坐标不变，可以得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象； ④再把得到的函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向上平移54个单位长度，就能得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图象． 2．将y ＝sin x 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin(2x ＋π4)＋1的图象？[解析]法一：(先伸缩法)①把y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin x 的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝2sin 2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位，得y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8的图象； ④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象． 法二：(先平移法)①将y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象． 3．有下列四种变换方式：①向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)；②横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度；③横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度；④向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)．其中能将正弦函数 y ＝sin x 的图象变为 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象的是( ) A ．①和② B ．①和③ C ．②和③D ．②和④[解析] ①向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，则正弦函数 y ＝sin x 的图象变为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；②横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度，正弦函数 y ＝sin x 的图象变为 y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；③横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度，正弦函数 y ＝sin x 的图象变为 y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象；④向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，正弦函数 y ＝sin x 的图象变为 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的图象，因此①和②符合题意，故选 A.4．把函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为( )A ．y ＝sin x －π3B ．y ＝sin x ＋π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 [解析]根据图象变换的方法，y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度后得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象． 5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3[解析] 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故选C. 6．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝1＋cos2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos2x －1[解析]将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos2x .[答案] B7．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．[解析]函数y ＝cos x 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .所以ω＝12.8．把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈RB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R [解析]把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．[答案] C 9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 [解析] 函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10的图象，所以所求函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10.[答案] C 10．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数是( ) A ．奇函数 B.偶函数 C ．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数[解析]y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋π8＝sin 2x ，为奇函数． 11．将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．[解析]y ＝－2cos 2x －3 [y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，得y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3 ＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x ，再向下平移3个单位长度得y ＝－2cos 2x －3的图象．12．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．[解析]y ＝3sin x ―――――→向左平移π3个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3， y ＝3sin x ――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ――――――――→向左平移2π3个单位y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3.] 13．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．[解析]y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π8 [y ＝sin3x ＋π4――――――――――→向右平移π8个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π8 ―――――――――――――――→各点的横坐标扩大到原来的3倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π8，故所得的函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π8. 14．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y ＝sin x ，则( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π3[解析]将函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得解析式为y ＝sin2x 的图象，再向右平移π6个单位长度，得解析式为y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，所以ω＝2，φ＝－π3.故选B.15．要得到函数y ＝sin 12x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象向右平移________个单位． [解析]由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π2，故要得到y ＝sin 12x 的图象，只要将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象向右平移π2个单位． 16．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位[解析] 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B. 17．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位[解析]因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π4＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8， 所以将y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 18．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)[解析]先将y ＝2sin x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象．[答案] C 19．为了得到函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，x ∈R 的图象，只需将函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变[解析]函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象．20．把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3cos x B ．f (x )＝3sin x C ．f (x )＝3cos x ＋3D ．f (x )＝sin 3x[解析]y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ――――――→向左平移π6个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x ． 21．为了得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5(x ∈R)的图象，只需把函数y ＝3sin(x ＋π5)(x ∈R)的图象上所有的点的( ) A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变[解析]y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5， 故选B.22．要得到函数 y ＝3sin 2x 的图象，可将函数 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象( ) A ．沿 x 轴向左平移π8个单位长度 B ．沿 x 轴向右平移π8个单位长度C ．沿 x 轴向左平移π4个单位长度D ．沿 x 轴向右平移π4个单位长度[解析]由于函数 y ＝3sin 2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 所以将函数 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象沿 x 轴向右平移π8个单位长度，即可得到函数 y ＝3sin 2x 的图象．23．把函数 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象适当变换就可以得到 y ＝sin(－3x )的图象，这种变换可以是( ) A ．向右平移π4个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度[解析]因为 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 所以将 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12的图象向左平移π12个单位长度能得到 y ＝sin (－3x )的图象． 24．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)的相邻两个零点的距离为π2，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝cos ωx 的图象( )A ．向右平移π12个单位B ．向左平移π12个单位C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位[解析]由已知得2πω＝2×π2，故ω＝2.y ＝cos 2x 向右平移π12个单位可得y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象． 25．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ＞0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．[解析]函数y ＝s i n 2x 的图象向右平移后得到y ＝s i n [2(x －φ)]的图象，而x ＝π6是对称轴，即2⎝⎛⎭⎫π6－φ＝k π＋π2(k ∈Z)，所以φ＝－k π2－π12(k ∈Z)．又φ＞0当k ＝－1时，φ取得最小值5π12. 26．为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4的图象，可以将函数y ＝sin x2的图象( ) A ．向左平移π2个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[解析]y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫x 2－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π2，故选A. 27．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. [解析] y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象即为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，f ⎝⎛⎭⎫π6＝22.28．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 [解析]将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3，所得图象与原图象重合， 所以cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3ω＝cos ωx ，则－π3ω＝2k π(k ∈Z)，得ω＝－6k (k ∈Z)．又因为ω>0，所以ω的最小值为6，故选C.29．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12[解析]解法一：逐项代入检验，对B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)图象向左平移π2个单位得：y ＝sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)的图象． 解法二：y ＝f (x )的图象向左平移π2后得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2ω＋φ，其图象与原图象重合，有π2ω＝2k π，即ω＝4k ，k ∈Z ，故选B. 30．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________．[解析]y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋5π6的图象向右平移π3个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3＋5π6，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋5π6－ωπ3，故5π6－ωπ3＋2k π＝π4(k ∈Z)，即ωπ3＝7π12＋2k π，解得ω＝74＋6k (k ∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为74. 31．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．[解析]函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度得到函数f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4(其中ω＞0)， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z )，解得ω＝2k (k ∈Z)，故得ω的最小值是2. 32．为得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移 m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π3[解析]由题意可知，m ＝π3＋2k 1π，k 1为非负整数，n ＝－π3＋2k 2π，k 2为正整数，∴|m －n |＝⎪⎪⎪⎪2π3＋2(k 1－k 2)π，∴当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝2π3. 33．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)利用“五点法”画出函数f (x )在一个周期⎣⎡⎦⎤π2，9π2上的简图．(2)先把f (x )的图象上所有点向左平移π2个单位长度，得到f 1(x )的图象；然后把f 1(x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f 2(x )的图象；再把f 2(x )的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式．[解析] (1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图．(2)将f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4图象上所有点向左平移π2个单位长度得到f 1(x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π2－π4＝3sin 12x 的图象． 把 f 1(x )＝3sin 12x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f 2(x )＝3sin 14x 的图象，把f 2(x )＝3sin 14x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)得到g (x )＝sin 14x 的图象．所以g (x )的解析式g (x )＝sin 14x .34．已知函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y 轴对称． (1)求函数f (x )的解析式；(2)说明其图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的．[解析] (1)将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ. 因为图象平移后关于y 轴对称，所以2×0＋π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因为φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象． 35．设ω＞0，若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值． [解析]将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后， 所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4ωπ3＋2. 因为平移后的图象与原图象重合，所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z )，即ω＝3k2(k ∈Z )，又因为ω＞0，所以k ≥1，故ω＝3k 2≥32.故ω的最小值为32.36．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω＞0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．[解析] (1)因为ω＞0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2⇒0＜ω≤34.所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，34. (2)由f (x )＝2sin 2x 可得，g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相邻间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 课件
的图象；再将函数 f(2x)＝sin 2x 的图象上各点沿 x 轴向左平 移π6个单位长度，得 f2x＋π6＝sin 2(x＋π6)的图象，即函数 y＝sin2x＋π3的图象．
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把 y＝sin(ωx＋φ) 图象上所有点的纵坐标 伸长 (当 A>1 时)或 缩短 (当 0<A<1
时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到，函数 y＝Asin x 的 值域为 [－A，A] ，最大值为 A ，最小值为 －A .
探究点一 φ 对 y＝sin(x＋φ)，x∈R 的图象的影响 ①利用五点法作出函数 y＝sin x 的图象，通常选取的五个 点依次是 (0,0) ， π2，1 ， (π，0) ，32π，－1 ， (2π，0)． ②为作出函数 y＝sinx＋π3在一个周期上的图象，请先完成 下表，并回答相应的问题：
2．ω(ω>0)对 y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数 y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把 y＝sin(x＋φ)的 图象上所有点的横坐标 缩短 (当 ω>1 时)或 伸长 (当
1 0<ω<1 时)到原来的 ω 倍(纵坐标 不变 )而得到．
3．A(A>0)对 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
先将 y＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1 倍(纵坐
标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|ωφ|个 单位长度，得 y＝sin(ωx＋φ)的图象．
试叙述，由函数 y＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数 y＝sin2x＋π3的图象？
答 方法一：(先相位变换，再周期变换)先将 y＝sin x 的图象 向左平移π3个单位长度，得函数 y＝sinx＋π3的图象；再将函 数 y＝sinx＋3π的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来 的12倍，得 y＝sin(2x＋π3)的图象．
函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质
函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径强化训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π33.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象是( )5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π36.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.12考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0(k ∈Z)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0(k ∈Z)【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6 B.5π6 C.π12 D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用 角度1 三角函数模型的应用【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R)，求：①函数f (x )的最小正周期； ②函数f (x )的单调区间； ③函数f (x )图象的对称轴和对称中心.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972π C.1992π D.100π类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.【基础巩固题组】 一、选择题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 2.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( )A.－3π4B.－π4C.π4D.5π43.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.64.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( )A.5π24B.7π24C.5π12D.7π12二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.7.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.8.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A.－2B.－1C.－ 2D.－ 312.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3，且已知对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( ) A.50π B.1100π C.1100D.44013.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________.14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.15.(多填题)已知函数f (x )＝23sinωx2cosωx2＋2cos2ωx2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，f (x 1＋x 2)＝________.答 案 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos 2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.2. 【答案】 C【解析】 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.3. 【答案】 y ＝6－cos π2x【解析】 设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)， 由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－π2＋2k π(k ∈Z)，可取φ＝－π2. 所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .4. 【答案】 A【解析】 由y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，2，故排除C. 5. 【答案】 D【解析】 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 6. 【答案】π2＋4【解析】 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.【例1】【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z).令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z，解得x ＝k π2＋π12－θ(k ∈Z). 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z)，解得θ＝k π2－π3(k ∈Z). 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 【训练1】【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z，则ω＝6k ＋2，k ∈Z.∴2是ω的一个可能值.【例2】【答案】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (2)C 【解析】 (1)由题图可知A ＝2，法一 T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z).又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二 以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ).由五点作图法知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2，2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z).∴f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z).【训练2】【答案】 (1)C (2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z)【解析】 (1)由题图知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋2φ＝2.∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z)，则φ＝π12＋k π(k ∈Z).又0<φ<π2，所以φ＝π12.(2)由图象知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12， 又|φ|<π2，∴φ＝π6. 又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z). ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z). 【例3－1】【答案】 4【解析】 以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )，又周期T ＝12，所以θ＝π6t ， 则f (t )＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)， 当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×40＝4. 【例3－2】【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象； 所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z)， 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12. 【训练3】【答案】 20.5【解析】 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5，所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）， 所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5. 【答案】见解析【解析】①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). ③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)， 所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z).由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)， 所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z). 【例1】【答案】 B【解析】 由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【例2】【答案】 D【解析】 令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z)，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3. 又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0. 故32≤ω≤3. 【例3】【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，78 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4， 令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z). 当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω， 当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78. 综上，34≤ω≤78. (2)显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32. 若ω<0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32. 【基础巩固题组】1. 【答案】 A【解析】 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， 所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)， 所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 2. 【答案】 B【解析】 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z)，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4. 3. 【答案】 D【解析】 由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形.由P (32，－332)，得|MN |＝2×3323×2＝6. ∴该函数的最小正周期T ＝6.4. 【答案】 A【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z.令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增. 5. 【答案】 B【解析】 由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6， 从而2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0， 所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z)时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z)，实数t min ＝724π.6. 【答案】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10―————————―→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.7. 【答案】 3【解析】 由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.8. 【答案】 143【解析】 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z).∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z)，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 9. 【答案】见解析【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8 ＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.10. 【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)， 因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). 11. 【答案】 B【解析】 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z). ∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1. 12. 【答案】 C【解析】 f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3 ＝220⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 100πx －⎝⎛⎭⎪⎫sin 100πx ·cos 2π3＋cos 100πx sin 2π3 ＝220⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 100πx ＋12sin 100πx －32cos 100πx ＝2203⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 100πx －12cos 100πx ＝2203×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx －π6， 则由对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立得当x ＝x 2时，f (x )取得最大值，当x ＝x 1时，f (x )取得最小值，所以|x 2－x 1|的最小值为12T ＝12×2π100π＝1100(T 为f (x )的最小正周期)，故选C. 13. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 【解析】 ∵f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)， 得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z)， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12.14. 【答案】见解析【解析】(1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2， 即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2， 所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z)， 则φ＝2k π－π3(k ∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 15. 【答案】 π31 【解析】 函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6. 由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2. 画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π3， 则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.。