奥鹏天津大学20年秋季《线性代数》在线作业一.doc
奥鹏东师 《线性代数》练习题参考答案.doc
《线性代数》练习题一 参考答案练习题第1套参考答案一、单项选择题1. C2. C3. B4. B5. A6. D7. C8. A 二、填空题 1．213531ββα+-= 2． 0 3. ()()B r A r ≤ 4. 8 5. 相关 6. () 1 , 17 , 2- - 7. ()()A r b A r = 三、计算及证明题1．给定向量组：() 3 , 1 , 1 , 1 1---=α，() 1 , 3 , 1 , 1- 2--=α，() 1 , 1 , 3 , 1- 3--=α，() 1 , 1- , 1 , 3- 4-=α，求：(1) 向量组4321 , , , αααα的秩；(2) 该向量组的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。
解：对⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------1113113113113111进行初等行变换，得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110010101001，则(1) 向量组4321 , , , αααα的秩为3；(2) 该向量组的一个极大无关组为 , , 321ααα，且3214αααα++-=2．如果向量组n ααα , , , 21Λ线性无关，证明：向量组 , , , 211Λααα+n ααα+++Λ21 线性无关。
证明：设 ()()02121211=+++++++b n k k k ααααααΛΛ 整理得 ()()0232121=+++++++++n n n n k k k k k k k αααΛΛΛ 由于向量组n ααα , , , 21Λ是线性无关的，所以有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=+++0003221n nn k k k k k k k ΛΛΛΛΛΛ 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===00021n k k k ΛΛ 所以向量组 , , , 211Λααα+n ααα+++Λ21 是线性无关的。
3. 设X B AX =+，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=350211B ，求X 。
2020年10月04184线性代数真题及答案
2020年10月《线性代数》真题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的四个备选项汇总，只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
）1.设()0125101232a x a x x f +=-=，则=0a （）A.-7B.-4C.4D.72.设A 为3阶矩阵，将A 的第2行与第3行互换得到矩阵B ，再将B 的第1列的（-2）倍加到第3列得到单位矩阵E ，则=A （）A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100021B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010100021C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010100201D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100201 3.若向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k 623α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k 2024α的秩为2，则数=k （）A.1B.2C.3D.44.设线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则数=a （）A.-2B.-1C.1D.25.设2阶矩阵A 满足032=+A E ，0=-A E ，则=+E A （）A.23-B.32-C.32D.23 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
请在每小题的横线上填上正确答案，错填、未填均无分。
）6.行列式=1641931421______。
7.设3解矩阵()321,,βββ=B ，若行列式2-=B ，则行列式=-13122,,3ββββ______。
8.已知n 阶矩阵A 满足O E A A =--2，则=-1A ______。
（用矩阵A 表示）9.设A 为2阶矩阵，若存在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021P ，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-20011AP P ，则=A ______。
10.设向量组()T0,0,11=α，()T 4,2,02=α，()Tt ,3,13-=α线性无关，则数t 的取值应满足______。
天津大学线性代数答案
x4 , x1 1 1 x2 2 2 x4 , x 1 1 x , 3 2 2 4
故方程组的全部解为
[ x1 , x2 , x3 , x4 ]T [0, 1 , 1 ,0]T k[ 1, 1 , 1 ,1]T , k P . 2 2 2 2
(3) 对方程组的系数矩阵作初等行变换，有
3 1 2 1 0 2 . 有限次 A 1 2 4 初等行变换 0 1 1 3 8 2 0 0 0
) 2 3 ，所以方程组有无穷多解. 其同解方程组为 由于 r ( R) r ( R
0 0 3 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0 r2 r1 0 r4 2 r3 3 1 1
0
1 1 7 3
0 0 2 0
0 1 0 1 3 0 1 0
0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 1
2 1
0 0 0 2
习 题 一
1/4
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3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 r2 2 r1 1、解 (1) [ A, E3 ] 2 2 1 0 1 0 r3 3r1 0 2 5 2 1 0 3 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 r 2 r 1 3 0 2 0 3 6 5 r2 5 r3 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
天津大学2021年《线性代数》期末试题A卷及答案
《线性代数》课程试卷：A 卷一、选择题(每小题3分，共15分)1、一个值不为零的n 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换后，该行列式的值______________．(A) 保持不变； (B) 保持不为零； (C) 保持相同的正、负号； (D) 可以变为任何值． 2、下列公式正确的是_______________． (A)111)(---=B A AB ； (B) T T A A )()(11--=；(C)111)(---+=+A B B A ； (D)113)3(--=A A ．3、设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =，则下列矩阵中为单位矩阵的是 _______________．(A)ACB ； (B)CBA ； (C)BAC ； (D)BCA ．4、设A 是n m ⨯矩阵，),min()(n m r A r <=，则A 中必有________． (A) 没有等于零的1-r 阶子式，至少有一个r 阶子式不为零； (B) 有等于零的r 阶子式，没有不等于零的1+r 阶子式； (C) 有不等于零的r 阶子式，所有1+r 阶子式等于零； (D) 任何r 阶子式不等于零，任何 1+r 阶子式等于零．5、设向量组),,,(:21s A ααα ，),,,,,(:21r s s B +αααα ，则必有_______． (A) A 线性相关⇒B 线性相关； (B) A 线性无关⇒B 线性无关； (C) B 线性相关⇒A 线性相关； (D) B 线性无关⇒A 线性相关.二、填空题(每小题3分，共24分)1．=-601504321；2.在五阶行列式中项256651144332a a a a a a 符号是 ；（填“正号”或“负号”）3.行列式中两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值等于 ；4.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001A ，则1A -= ；5.设132325510,256236132A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2A B += ；6.设2131,4262A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，则AB = ；7.若三阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，已知21||=A ，求=--|*2)3(|1A A ； 8.已知向量组TT T T )8,7,6,5(,)7,6,5,4(,)6,5,4,3(,)5,4,3,2(4321====αααα，则=),,,(4321ααααr .三、解答题(共61分)1、计算下列行列式：(第1小题3分，第2小题4分，第5小题，共12分)(1)1log log 1ba ab ； (2) 043021200； (3)3111131111311113.2、(10分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求A AB 23-及B A T.3、(10分)求解矩阵方程X A AX +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010312022A ．4、(6分)求向量组T T T T )0,10,3,1(,)11,3,2,3(,)4,2,1,1(,)2,4,1,1(4321=--=--==αααα的一个极大无关组.5、（10分）求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x .6、（13分）λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x 无解、有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其解.《线性代数》试卷参考答案及评分标准卷别：A 卷一、选择题（每题3分，合计15分）1、B ；2、B ；3、D ；4、C ；5、A ．二、填空题（每题3分，合计24分）1、-58；2、正号；3、0；4、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31000210001；5、7712911124910⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；6、0000⎛⎫ ⎪⎝⎭；7、2716-；8、2.三、解答题（合计61分）1、1、计算下列行列式：(第1小题3分，第2小题4分，第5小题，共12分)(1)1log log 1ba ab ； (2)043021200； (3)3111131111311113.解：(1)1log log 1b aa b =1×1-b a log ×a b log ……………… 2分=1-1=0 ……………………3分（2）043021200=4321)1(231+-⋅ ……………… 2分=-4 ……………………………………4分(3)311113111131666631111311113111134321r r r r +++ ……………………3分48200002000020111163111131111311111661413121=---÷r r r r r r r ………………5分2、(10分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求A AB 23-及B A T .解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ………1分=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111120926508503 ………………4分 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----22942017222132 ……………………………5分B A T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--150421321111111111 ……………………………7分= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-092650850 ………………………………………10分3、(10分)求解矩阵方程X A AX +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010312022A ．解：把所给方程变形为A X E A =-)(. ……………………………2分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-010110312302022021)(A EA ……………………………4分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→↔-33234001011002202131122r r r r ……………………………6分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-÷+312100010110022021)1(4313r r r ……………………………7分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→-+31210030211062202121322r r r r ……………………………8分 于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=-312302622)(1A E A X . ……………………………10分4、(6分)求向量组T T T T )0,10,3,1(,)11,3,2,3(,)4,2,1,1(,)2,4,1,1(4321=--=--==αααα的一个极大无关组.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=011421032432111311),,,(4321αααα ……………………………2分⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→25206156025201311 ……………………………3分⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→00000000125101311 ……………………………4分 知2),,,(4321=ααααr ，且21,αα是一个极大无关组. …………………6分5、（10分）求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x .解：对系数矩阵A 施以初等行变换.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=463046301221341122121221A ………………………3分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→00003/42103/520100003/42101221 ……………………………5分 即⎩⎨⎧--=+=432431)3/4(2)3/5(2x x x x x x （43,x x 可取任意值） ……………………………7分 令2413,c x c x ==，将其写成向量形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛103/43/50122214321c c x x x x （21,c c 为任意实数）. ………………………10分 6、（13分）λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x 无解、有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其解.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=λλλλλλλλ222~3302233012121121121212111212112A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---→)2)(1(000)1(23301212000223301212λλλλλλλλ ……………3分 （1）当2,1-≠λ时，3)(2)(~=<=A r A r ，方程组无解； ……………5分 （2）当1=λ时，32)()(~<==A r A r ，方程组有无穷多解， 这时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=000001101121000003301121)2)(1(000)1(2330121~λλλλA从而有⎩⎨⎧=-=+-01232321x x x x x ，令c x =3，则原方程组的全部解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321c x x x ，（R c ∈） ……………8分 （3）当2-=λ时，32)()(~<==A r A r ，方程组有无穷多解， 这时⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=000021102121000063302121)2)(1(000)1(2330121~λλλλA从而有⎩⎨⎧=--=+-22232321x x x x x ，令c x =3，则原方程组的全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321c x x x ，（R c ∈） ………………………11分（4）方程组不存在有唯一解的情况. ………………………13分。
奥鹏2020年6月福师高等代数选讲在线作业一_
A且1.A.错误B.正确【参考答案】：B2.设很是数域P上向量空间/的一个非空子集，则附是/的一个子空间的充要条件基; Vzz, j?e => £? + /?EA.错误B.正确【参考答案】：B3.n阶方阵A,有|kA|=k|A| , k为一正整数A.错误B.正确【参考答案】：AA.错误B.正确【参考答案】：B5.设)是线性空间？上的一个线性变换，则必存在一个潮基，便寸在这个基下的始阵为对语阵］) A.错误B.正确【参考答案】：A若方阵船B* C满足AC=AB* &A为可诬阵,则必有B=C,() 6.A.错误B.正确【参考答案】：B7任何四＞°）次多眼在复数域中机-1个根国艮按重额计算）■A.错误B.正确【参考答案】：A8.数域P上的任何多项式的次数都大于或等于0A.错误B.正确【参考答案】：A9.实对称矩阵的特征根一定是实数。
A.错误B.正确【参考答案】：B10.n阶方阵A与一切n阶方阵可交换，贝U A是对角阵A.错误B.正确【参考答案】：B11.矩阵的乘法不满足交换律，也不满足消去律。
A.错误B.正确【参考答案】：B如果数域夕上两个一元多项式/（用和E"）有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项,那么J3）和8"）就说是相等7A.错误B.正确【参考答案】：B任意用*1企患推向量蛆成的向量蛆是线性无关的13.A.错误B.正确【参考答案】：A14.设列对是不可约多项式.如果切*）=了1对&葫\则f（x｝与宓X）有且仅有一个■为零次多虱式. # A.错误B.正确【参考答案】：B15.（1,1,0）, （1,0,1）, （0,1,1）构成为3维向最空间的一个基A.错误B.正确【参考答案】：B若lim ：则有艺给收敛；（）16.XA.错误B.正确【参考答案】：A设0是向量空间〉的一组不全为妻的向量，则马—1，°*一定存在一个极大无关组。
2020年08月04184线性代数真题及答案
2020年8月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.设α1,α2,β1,β2是三维列向量，且行列式|α1,α2,β1|=m，|α1,β2,α2|=n，则行列式|α1,α2,β1+β2|=（）A.m−nB.n−mC.m+nD.mn【答案】A【解析】|α1,α2,β1+β2|=|α1α2β1|+|α1α2β2|=m+(−1)×n=m−n.2.设A为3阶矩阵，将A的第2列与第3列互换得到矩阵B，再将B的第1列的(−2)倍加到第3列得到单位矩阵E，则A−1=（）。
A.(120 001 010)B.(1−20 001 010)C.(10−2 001 010)D.(102 001 010)【答案】C【解析】A(100001010)=BB(10−2010001)=EA(100001010)(10−2010001)=EA−1=(100001010)(10−2010001)=(10−2001010)3.设向量组a1,a2,a3线性无关，而向量组a2,a3,a4线性相关，则（）A.a1必可由a2,a3,a4线性表出B.a2必可由a1,a3,a4线性表出C.a3必可由a1,a2,a4线性表出D.a4必可由a1,a2,a3线性表出【答案】D【解析】因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以向量组a1,a2,a3中任意一个均不能由其他两个表示出来，所以就排除了A、B、C三个选项；又因为向量组a2,a3,a4线性相关，所以向量组a2,a3,a4中至少有一个可以由其他两个线性表示，所以D 是正确的。
参见教材P116。
4.若3阶可逆矩阵A的特征值分别是1,−1,2，则|A−1|（）A.-2B.−12C.12D.2【答案】B【解析】因为|A|=1∗−1∗2=−2，所以|A−1|=1|A|=−12.参见教材P160。
天大14秋《线性代数(专)》在线作业二答案
A.错误
B.正确
?
正确答案：A
3.题面见图片
A.错误
B.正确
正确答案：A
4.题面见图片
A.错误
B.正确
?
正确答案：B
4.题面见图片
A.错误
B.正确
正确答案：A
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A.错误
B.正确
正确答案：B
A. A
B. B
C. C
D. D
?
正确答案：C
15.题面见图片
A. A
B. B
C. C
D. D
?
正确答案：C
15.题面见图片
A. A
B.
B
C. C
D. D
正确答案：D
二,判断题
1.题面见图片
A.错误
B.正确
?
正确答案：B
1.题面见图片
A.错误
B.正确
正确答案：B
2.题面见图片
A.错误
B.正确
正确答案：A
6.题面见图片
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案：D
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A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案：D
8.题面见图片
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案：B
9.题面见图片
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案：C
10.题面见图片
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案：C
11.题面见图片
?
正确答案：C
2.题面见图片
19春天津大学《线性代数(专)》在线作业二100分答案
11.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:C
12.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:B
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A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:D
14.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:C
15.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:D
二、判断题(共5道试题,共25分)
5.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:A
6.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D标准选择是Biblioteka C7.题面见图片A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:C
8.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:B
9.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:B
10.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
1.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
2.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:A
3.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
4.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
5.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
《线性代数(专)》在线作业二-0001
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奥鹏 20年秋季天津大学在线作业参考答案
1.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
【参考答案】: A
2.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
3.题面见图片
A.
A
B.
B
C.
C
D.
D
【参考答案】: C
4.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
5.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D 【参考答案】: A
6.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D 【参考答案】: B
7.题面见图片
A.A
B.B
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D. D
【参考答案】: C
8.题面见图片
A.A
B.B
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D.D 【参考答案】: C
9.题面见图片
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D.D 【参考答案】: C
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D.D 【参考答案】: A
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D.D 【参考答案】: A
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D.D 【参考答案】: C
13.题面见图片
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D.D 【参考答案】: C
14.题面见图片
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D.D 【参考答案】: C
15.题面见图片
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D.D 【参考答案】: B
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D.D 【参考答案】: D
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D.D 【参考答案】: C
18.题面见图片
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D.D 【参考答案】: A
19.题面见图片
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D.D 【参考答案】: D
20.题面见图片
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D.D 【参考答案】: B。