数学建模截断切割的优化设计
数学建模 截断切割
数学建模截断切割问题学号：************* 姓名：杨德升学号：************* 姓名：李春红学号：************* 姓名：杨建明问题描述：某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。
这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。
从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。
试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。
（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：1、需考虑的不同切割方式的总数。
2、给出上述问题的数学模型和求解方法。
3、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
4、对于e=0的情形有无简明的优化准则。
5、用以下实例数据验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。
垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：a r = 1 e = 0;b r = 1.5 e = 0;c r = 8 e = 0;d r = 1.5 2<= e<=15;对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。
解：（1）对于计算不同的切割方式总数，经过分析，能够用排列组合的知识来解决这个问题。
我们对分别位于前、后、左、右、上、下的切割面进行编号，其相应的编号分别为1M，2M，M3，M4，M5，M6，然而每一种切割方式都是对这6个切割面的一个排列方式，所以总共就6！=720种排列方式。
但是相继切割一对平行面时，交换切割次序，不影响切割费用，把费用相同的一项归到一类，最终的切割总数为：720-3x5!+3x4!-3!=426种(2)(3)(4)(5)符号说明：a0,b0,c0分别表示待加工长方体的长、宽、高。
数学建模---最优化有效切割问题
钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。 4米 1根 4米 1根 6米 1根 6米 1根 8米 1根 6米 1根 余料1米 余料3米 余料3米
8米 1根
8米 1根
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题1
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
26 x1 x2 x3 31
x1 x2 x3
模式排列顺序可任定
计算结果
• 模式1：每根原料钢管切割成3根4米和1根6 米钢管，共10根； • 模式2：每根原料钢管切割成2根4米、1根5 米和1根6米钢管，共10根； • 模式3：每根原料钢管切割成2根8米钢管， 共8根。 • 原料钢管总根数为28根。
合理切割模式
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
2. 所用原料钢管总根数最少
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
钢管下料问题2
增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。
现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米 15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。 对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式
决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3)
r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管 生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量
最优截断切割问题
1 n 720 (n) knife (n) cut 1 n 720 k 1
(n) ( ( F } min {e f (v ) p (m kn ) )s (v kn ) )}
若 n n 时有
6 ( n ) ( e f (v ) p(mk ) s(vkn ) ) Fmin k 1
h ( h(2), h(1), h(5), h(3), h(4), h(6) ) ( 1, 6, 9, 7, 5.5, 6 ) 则 t1 (a1 , b1 , c1 ) ( 10, 14.5, 19 ) , t2 (a2 , b2 , c2 ) t1 (a1 , b1 , c1 ) ( 9, 14.5, 19 ) t1 h(2)(1,0,0) , t3 (a3 , b3 , c3 ) t2 (a2 , b2 , c2 ) ( 3, 14.5, 19 ) t2 h(1)(1,0,0) , t4 (a4 , b4 , c4 ) t3 (a3 , b3 , c3 ) ( 3, 14.5, 10 ) t3 h(5)(0,0,1) , t5 (a5 , b5 , c5 ) t4 (a4 , b4 , c4 ) ( 3, 7.5, 10 ) t4 h(3)(0,1,0) , t6 (a6 , b6 , c6 ) t5 (a5 , b5 , c5 ) ( 3, 2, 10 ) t5 h(4)(0,1,0) , t6 (a6 , b6 , c6 ) ( 3, 2, 4 ) t6 h(6)(0,0,1) . k 1, 2,3, 4,5 tk 1 tk tk h(vk )em(vk ) ,
木板最优切割方案数学建模
木板最优切割方案数学建模
我们可以使用线性方程组来求解木板最优切割方案。
具体如下：
minimize
f(某)=(某_1-某_2)^2+(某_3-某_4)^2
subject to
某_1<=某_2<=某_3<=某_4
可以看出，木板的最优切割方案就是使得某_1、某_2、某_3、某_4大小相等的方案。
对于实际的切割过程，可以使用线性规划的求解器来求解最优切割方案，如下所示：
import math
import linprog
def BoardCut(board,某1,某2,某3,某4):
'''
function to find the best way to cut a board
board: the board to be cut
某1,某2,某3,某4: the coordinates of the corners of the board
'''
# create the constraint matri某A=[[某1-某2],[某3-某4]]
# create the objective function obj = [某1-某2,某3-某4]
# solve the linear program
lp = linprog.LinearProgram。
lp.add_constraint(A)
lp.add_objective(obj)
lp.solve。
# return the optimal solution
某 = lp.get Solution。
最短路问题(讲稿),截断切割题目与参考答案,最优截断切割问题参考案例
截断切割B题截断切割题目某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。
这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。
从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长主体的对应表面是平行的）通常要经过6次截断切割。
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。
（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：1、需考虑的不同切割方式的总数2、给出上述问题的数学模型和求解方法。
1、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
2、对于e=0的情形有无简明的优化准则。
3、用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。
垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：a.r=1 e=0 ;b.r=1.5 e=0 ;c.r=8 ,e=0 ;d.r=1.5;2≤e≤15对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。
B题截断切割参考答案（1）需考虑的不同切割方式的总数V中共有6!=720个不同的元素，因此有720种不同的切割方式，注意到相继二次切割一对平行的平面时，交换这二次切割的先后次序不影响对应切割方式的费用，将费用相同的切割方式归成一类，每类取一种切割方式作不代表，此时仅需考虑加工费用可能不同的切割方式426种。
（2）问题归结为求一个定义在6个切割面排列次序的全体或它的一个子集上的函数的最小值。
目标函数应尽量用显式写出。
求解可用枚举法，分支定界法或其它方法，从尽可能简便有效作为评价标准：（3）一种作法如下：在直角坐标系中，表面平行于坐标平面的长方体可表示为{（x,y,z）,(a,b,c)},其中（x,y,z）为长方体某指定角点的坐标，a,b,c分别为它的长、宽、高。
数学建模大赛论文设计金属板地切割
摘要金属板的切割问题要求对金属板的切割方式进展构思，希望通过数学可以达到效率较高、本钱较低的可能性。
应该先通过穷举的方法找到所有可能性，在所有可能性中保存最优的可能性。
所谓最优即效率较高、本钱较低的可能。
然后建立非线性规划的数学模型，以这些可能性为根底，将题中订单需求转化为求解金属原料此目标函数的约束条件。
我们小组三人采用LINGO软件的数学规划模型求解功能求解出目标函数值。
最后通过计算检验证明，该模型求解出的切割方法和题目的要求是完全符合的。
目录一、问题重述 (3)二、问题假设 (3)三、模型建立 (4)符号说明 (4)模型建立 (4)四、问题的求解与分析 (5)五、求解结果 (6)六、模型的评价 (7)模型的优缺点 (7)模型的改良 (8)七丶结论 (8)八、参考文献 (8)一、问题重述此题主要是讨论在切割大面积金属时，通过建立数学模型的方法使切割时的本钱最低、效率最高。
此题中只考虑切割切割金属的面积。
题目中已经给出了大面积金属板的实际面积大小，并给消费者们需要切割的小块金属的面积与需要的个数。
由于利润和控制本钱是生产商最重要的东西，所以在实际切割的时候，一定要考虑效率和本钱。
尽量最大的进展本钱节约。
我们采用数学建模的方式来解决这一实际问题。
通过这样的方式处理问题可以做到高效、直观和准确。
二、问题假设〔1〕假设车间是以减少原料投入为主要节省方式。
实际上，金属加工生产中的余废料价值远远小于完整的原料价值，因此这样假设确立了模型是以最小原料使用量为目标。
〔2〕金属切割时不发生原料总面积减少。
在生产实践当中，由于切割工艺问题，在切割板材是会使切割线位置出现原料耗损〔如融化，形变等〕。
在模型中假设这种耗损不存在。
〔3〕不考虑切割方式增加所带来的本钱本钱增加。
作为简单的直线切割问题，生产模式的增加对设备要求、人力要求很少，因此对本钱的增加微乎其微可以忽略，即不限制切割模式的数量。
〔4〕假设所有原材料的大小规格完全一致，这样假设防止一些不确定因素对模型求解时的不利影响，简化模型。
数学建模---最优化的有效切割问题
合理切割模式
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
Hale Waihona Puke 2. 所用原料钢管总根数最少
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
16 4r12 5r22 6r32 8r42 19
16 4r13 5r23 6r33 8r43 19
整数约束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)为整数
r31 x1 r32 x2 r33 x3 20
r41 x1 r42 x2 r43 x3 15
模 式 1 2 3 4 5 6 7 需 求 4米 根数 4 3 2 1 1 0 0 50 6米 根数 0 1 0 2 1 3 0 20 8米 根数 0 0 1 0 1 0 2 15 余 料 3 1 3 3 1 1 3
约束 满足需求 4 x1 3x2 2 x3 x4 x5 50
x2 2 x4 x5 3x6 20 x3 x5 2 x7 15
钢管下料问题2
增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。
现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米 15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。 对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式
决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3)
数学建模经典案例：最优截断切割问题之欧阳引擎创编
建模案例：最优截断切割问题一、欧阳引擎（2021.01.01）一、 问 题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过 6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用 e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少.二、 假 设１、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1；２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ；３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用；4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割.三、 模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为a0、b0 、c0，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720=种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则,只需考虑P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式.1、 e=0 的情况为简单起见,先考虑e=0 的情况.构造如图9-13的一个有向赋权网络图G(V,E).为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z.图9-13 G(V,E)图G(V,E)的含义为：(1)空间网络图中每个结点Vi(xi,yi,zi)表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数.例如：V24(2,1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀，上下方向上已被切两刀，即面M1、M2、M3、M5、M6均已被切割.顶点V1(0,0,0) 表示石材的最初待加工状态，顶点V27(2,2,2)表示石材加工完成后的状态.(2)G的弧（Vi,Vj）表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Vi经一次切割变为状态Vj，即当且仅当xi+yi+zi+1=xj+yj+zj时，Vi(xi,yi,zi)到Vj(xj,yj,zj)有弧(Vi,Vj)，相应弧上的权W(Vi,Vj)即为这一切割过程的费用.W(Vi,Vj)=(xj-xi)⨯(bi⨯ci)+(yj-yi)⨯(ai⨯ci)+(zj-zi)⨯(ai⨯bi)⨯r其中，ai、bi、ci分别代表在状态Vi时，长方体的左右面、上下面、前后面之间的距离.例如，状态V5（1，1，0），a5 = a0-u1,b5 = b0-u3,c5 = c0;状态V6（2，1，0）W(V5，V6) ＝（b0-u3)⨯c0(3)根据准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切M1、M3、M5中的某个面，在图中分别对应的弧为( V1,V2)，(V1,V4)，(V1,V10).图G中从V1到V27的任意一条有向道路代表一种切割方式.从V1到V27共有90条有向道路，对应着所考虑的90种切割方式.V1到V27的最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方式.实例：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、145、19 和3、2、4，两者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9，则边距如下表：u1 u2 u3 u4 u5 u66 17 55 6 9r=1时，求得最短路为V1－V10－V13－V22－V23－V26－V27，其权为374对应的最优切割排列为M5－M3－M6－M1－M4－M2，费用为374元.2、 e≠0的情况当e≠0时，即当先后两次垂直切割的平面不平行时，需加调刀费e.希望在图9-13的网络图中某些边增加权来实现此费用增加.在所有切割序列中，四个垂直面的切割顺序只有三种可能情况：<情况一>先切一对平行面，再切另外一对平行面，总费用比e=0时的费用增加e.<情况二>先切一个，再切一对平行面，最后割剩余的一个，总费用比e=0时的费用增加2e.<情况三>切割面是两两相互垂直，总费用比e=0时的费用增加3e.在所考虑的90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面的排z=0,1,2我们希望通过在图9-13的网络图中的某些边上增加权来进行调刀费用增加的计算，但由于网络图中的某些边是多种切割序列所公用的.对于某一种切割序列，需要在此边上增加权e，但对于另外一种切割序列，就有可能不需要在此边上增加权e，这样我们就不能直接利用图9-13的网络图进行边加权这种方法来求出最短路径.由上表可以看出，三种情况的情形（一）有公共点集{(2,1,z)|z=0,1,2}，情形（二）有公共点集{(1,2,z)|z=0,1,2}.且情形（一）的有向路决不通过情形（二）的公共点集，情形（二）的有向路也不通过情形（一）的公共点集.所以可判断出这两部分是独立的、互补的.如果我们在图G中分别去掉点集{(1,2,z)|z=0,1,2}和{(2,1,z)|z=0,1,2}及与之相关联的入弧，就形成两个新的网络图，如图Ｈ1和Ｈ2.这两个网络图具有互补性.对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中的某一个中.由于调整垂直刀具为3次时，总费用需增加3e，故我们先安排这种情况的权增加值e，每次转刀时，给其待切弧上的权增加e.增加e的情况如图9-14中所示.再来判断是否满足调整垂直刀具为二次、一次时的情况，我们发现所增加的权满足另外两类切割序列.综合上述分析，我们将原网络图G分解为两个网络图Ｈ1和Ｈ2，并在指定边上的权增加e，然后分别求出图Ｈ1和Ｈ2中从V1到V27的最短路，最短路的权分别为：d1,d2.则得出整体的最少费用为：d = min(d1,d2) ，最优切割序列即为其对应的最短路径.实例：r=15,e=2时，求得图G1与G2的最短路为G2的路V1－V4－V5－V14－V17－V26－V27，权为4435，对应的最优切割序列为M3－M1－M6－M4－M5－M2，最优费用为4435.图9-14 H1图9-15 H2。
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工业中截断切割的优化设计
一摘要
本文讨论了加工业中截断切割的优化排序策略我们对于不同的切割
方式总数用穷举法得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策
并对所给出的算法进行了分析和检验
1.当e=0时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统一成判断权重来作为排
序准则的算法,同时证明
了e = 0 的情况下根据这种最优准则能够实现题目所要求的优化目标
2.对于e ¹ 0 时我们提出了实用准则
最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品)
在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用
和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域
二问题的重述、
在工业生产中，常需要采取将物理一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工费用取决于水平切割和垂直切割的截面面积，以及调整刀具时的额外费用。
对本题所给出的问题我们首先面临的对加工次序的排序策略然后我们考虑当毛坯和产品位置不预定的时候如何采取策略以达到我们的优化目的
问题：
1> 需考虑的不同切割方式的总数。
2> 给出上述问题的数学模型和求解方法。
3> 试对某部门用的如下准则做出评价，每次选择一个加工费用最少的切割面进行切割。
4> 对于e=0 的情况有无简明的优化准则。
5> 用以下实例验证你的方法：
待加工长方体和成品长方体的长，宽，高分别为10，14.5,19 和3,2,4,两者左侧面，正面，底面之间的距离分别为6,7,5(单位为厘米，垂直切割费用为每平方厘米1 元，r 和e 的数据有
4 组：
1) r=1,e=0;
2) r=1.5,e=0;
3) r=8,e=0;
4) r=1.5, 2 £ e £15 ;
三模型的假设和符号说明
1 切割刀具为两个一个水平放置一个为垂直放置
2 目标长方体所在位置不与毛坯任一表面重合
3 水平方向只需平行移动水平刀具垂直方向只平行移动或调整后再平行
移动刀具因此调整费用e 是否付出仅取决于先后两次垂直切割是否平行而
不记是否穿插着水平切割
4毛坯与工作台接触的底面是事先指定的
5毛坏、成品均为长方体，且这两个长方体的对应面是平行的，如下图
a,b, c 毛坯的长宽高单位厘米
aa,b b,c c 最终产品的长宽高单位厘米
毛坯的左表面右表面前表面后表面上表面下
表面
最终产品的左表面右表面前表面后表面上表面
下表面(有时我们为了叙述问题的方便将其依次记为5,6,3,4,1,2)
d j 最终产品与毛坯的对应表面的距离j = 1,2,，，，6
r 水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比
e 调整一次垂直刀具的额外费用
p 垂直切割单位面积费用
ti 加工过程中的第i 刀切割第ti 个面
wi 第i 次切割的切割费用单位元
vi 第i 次切割被切割掉部分的体积单位立方厘米
si 第i 次切割时切割面积
分别表示在切割第侧面时的费率，依题意：
其它变量如果出现则在使用时另行说明
四模型的建立
(2,3,4,5,6) (3,4,5,6) (4,5,6) (5,6) (6)
(1,3,4,5,6) (2,4,5,6) (3,5,6) (4,6) (5) (1,2,4,5,6) (2,3,5,6) (3,4,6) (4,5) (4)
(1,2,3,4,5,6,)
(1,2,3,5,6) (2,3,4,6) (3,4,5) (3)
(1,2,3,4,6) (2,3,4,5) (2)
(1,2,3,4,5) (1,2,3,4) (1,2,3) (1,2) (1)
e=0的情形:
={1,2,3,4,5,6}表示初态，即没有进行任何加工；
对应一个完整的加工策略事实上为={1,2,3,4,5,6}的一个全排列；而={1,2,3,4,5,6}的任一子集S
应某个策略在对毛坯加工过程中某个中间状态；
3）在对毛坯加工过程中某个中间状态S它仅与在它之前截掉了那些面的组合有关,而与过程(即排列)无关；
4）={1,2,3,4,5,6}的64个子集构成方体切割的所有可能的状态（包括初始状态，终态）：
以的64个子集构造有向图G,，以S为起点，以为终点连边，且, 使得
对有向图G边赋权：任取有向图G边，不设其以S起点，以为终点，，w (
或记为）w（,）表示在状态S，截去i所需费用
这些集合按照其包含元素数目的多少可分为7组，从多到少排序，相邻两组间构成一个决策阶段；
1因此得如下“6”阶段动态规划问题：
Min ,)
S.t ={1,2,3,4,5,6}
….为的一全排列
=\{}
w（,）的表述：
记分别表示方体的长、宽、高（这1面到2面、3到4、5到6的距离），可得：
)=(A,B,C)
=
w,)=
五．模型求解
定理（最优准则）：设e=0，若策略…
.满足：，则策略….必为截断切割的最优策略。
证明：某截断切割策略…
.，若满足，且，即称构成策略….的一逆序对（逆序数？）；
（以下证明对任一策略….，若策略…
.中存在逆序对，则总可以构造某截断切割策略，其逆序数小于策略….的逆序数，但总的切割费用不比策略….的多）
设某截断切割策略….的逆序数大于0，则必存在相邻的“两刀”(k,k+1)(成策略…..
的一逆序对，交换、的次序，此时…与…比较，前者的逆序数比后者的减少“1”，而在下面证明前者的切割费用不比后者的多：
1当面、相对时，仅仅交换相邻两刀(k,k+1)次序对切割费用没有影响；
2当面、相邻时，不妨设、
此时，…与…切割费用之差等于：=
其符号与相同假设，即…的切割费用比…的少。
可用mathematics编程求解，程序见附件。
问题条件切割方式最少费用A r=1 e=0
B r=1.5 e=0 437.5
C r=8 e=0 540.5 d r=1.5 e=2~15
e取值最少费用最优切割方案
e=2 445.5
e=2.1 445.9
e=2.2 446.3
e=2.3 446.7
e=2.4 447.1
e=2.5 447.5
e=3 448.5
e=3.5 449.5
e=4 450.5
e=4.5 451.5
e=5 452.5
e=5.5 453.5
e=6 454.5
e=6.5 455.5
e=7 456.5
e=7.5 457.5
e=8 458.5
e=8.5 459.5
e=9 460.5
e=9.5 461.5
e=10 462.5
e=10.5 463.5
e=11 464.5
e=11.5 465.5
e=12 466.5
e=12.5 467.5
e=13 468.5
e=13.5 469.5
e=14 470.5
e=14.5 471.5
e=15 472.5
其中1,2,3,4,5,6，代表切割的面如下图：
1
由此可见对于不同的e值，会有不同的最优切割方式，当e大于2.5却只有唯一的最优切割方式。
下图为e取不同值时最少切割费用的图像
画出最可能是最优切割方式的三种切割方式切割费用随e的取值而变化的图像：
可知当e等于2.5时为突变拐点
对于切割方式可以不考虑换刀的影响，选择单纯切割费用最少的方式即可；当e’较大时，则必须主要考虑换刀的次数，在单纯切割费用尽量小的前提下，尽量选择换刀次数少的切割方式。
六结果分析及讨论
由以上的计算与分析可知，r以及e是在毛坯与成品要求已固定情况下影响费用和切割方式的重要因素，当e=0时，根据优化准则，可以找到最优的切割方式，当e不等于零时，可以根据实用的准则来找到最优切割方式。
七模型拓展
对于成品位置不固定，成品表面可以无限靠近毛坯表面这个模型，则可以将此问题看做为选择毛坯的八个角中的一个，也即选择普通模型的六刀中的前三刀的费用，成品未切割的也即
靠近毛坯表面的三个面的补刀费用，以及换刀的费用，三者之和就是总费用。
此模型亦可以用最优准则及实用准则来取得较好的优化效果。