黑龙江省哈尔滨三中19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
黑龙江省哈尔滨三中19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况．应采用的抽样方法是()A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用分层抽样法，②用随机抽样法C. ①用系统抽样法，②用分层抽样法D. ①、②都用分层抽样法2.在长为3的线段AB上任取一点P，P到端点A，B的距离都大于1的概率为A. 18B. 12C. 14D. 133.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为()A. 0.56B. 0.336C. 0.32D. 0.2244.随机变量X服从正态分布N(3,δ2)，且P(X≤6)=0.9，则P(0<X<3)=()A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.75.如图1为某省2018年1∼4月份快递业务量统计图，图2为该省2018年1∼4月份快递业务收入统计图，则下列选项中对统计图理解错误的是()A. 2018年1∼4月份快递业务量中3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件B. 2018年1∼4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关C. 从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致D. 从1∼4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长6.已知直线l1：x=2，l2：3x+5y−30=0，点P为抛物线y2=−8x上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为()A. 2B. 2√34C. 1817√34 D. 1615√347.(x−1x+1)5展开式中的常数项为()A. 1B. 11C. −19D. 518.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为()A. 45B. 25C. 23D. 139.袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”、“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为()A. 19B. 318C. 29D. 51810.若某同学连续三次考试的名次(第一名为1，第二名为2，以此类推)不超过3，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据： ①甲同学名次的平均数为2，众数为1; ②乙同学名次的平均数为2，方差小于1; ③丙同学名次的中位数为2，众数为2; ④丁同学名次的众数为2，方差大于1.推断一定是尖子生的是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁11.安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A. 120种B. 180种C. 240种D. 480种12.如图，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，A为双曲线C的右支上一点，且|AF1|=2c，AF1与y轴交于点B，若F2B是∠AF2F1的平分线，则双曲线C的离心率e=()A. √5−1B. 1+√52C. 3+√52D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有．14.某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是______．15.椭圆x29+y2=1的离心率e=______ ．16.用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2不相邻，这样的六位数的个数是_________(用数字作答)．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，依次随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：(1)标签的选取是无放回的；(2)标签的选取是有放回的．18.某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图示)，在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附：K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19. 已知动点P 到点F(1,0)的距离等于它到直线l 1：x =−1的距离(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)若点M ，N 是直线l 1上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF 的斜率为k ，求|k||MN|的取值范围．20. 某种产品的广告费用支出x 万元与销售额y 万元之间有如下的对应数据：(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；其中：参考公式：b ̂=∑x i n i=1y i −n⋅x −⋅y−∑x i 2n i=1−n⋅x−2，a ̂=y −−b ̂x ，参考数据：∑x i 25i=1=145，∑x i 5i=1y i =1270(2)据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入．21.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是950元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如表：据统计，某地使用某一品牌7座以下的车大约有5000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率．(1)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率；(2)记ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求ξ的分布列和数学期望．22.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的半焦距为c，点A(0,b)到渐近线的距离为12c．(1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，双曲线右支上存在一点P，使得PF1⊥PF2，求点P的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查抽样方法的特点及适用范围，是基础题．解：①个体有了明显的差异，所以选用分层抽样法，②个体没有差异且总数不多，可用随机抽样法．故选B．2.答案：D解析：由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为3，基本事件的区域长度为1，代入几何概率公式可求本题主要考查了几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解．解：设“长为3m的线段AB”对应区间[0,3]“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件A，则满足A的区间为[1,2]根据几何概率的计算公式可得，P(A)=3−23−0=13故选D．3.答案：D解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．依题意得该选手只闯过前两关的概率为0.8×0.7×(1−0.6)，计算即可．解：该选手只闯过前两关的概率为0.8×0.7×(1−0.6)=0.224，故选D．4.答案：A解析：解析：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．根据对称性，由P(X≤6)=0.9的概率可求出P(X<0)=P(X>6)=0.1，即可求出P(0<X<3)．解：∵P(X≤6)=0.9，∴P(X>6)=1−0.9=0.1．∴P(X<0)=P(X>6)=0.1，∴P(0<X<3)=0.5−P(X<0)=0.4．故选A．5.答案：D解析：本题考查了对统计图信息的读取，属于基础题．逐项按照统计图进行分析．解：对于A，2018年1∼4月份快递业务量中3月份最高，有4397万件，2月份最低，有2411万件，其差值接近2000万件，所以A正确；对于B，2018年1∼4月份快递业务量的同比增长率分别为55%，53%，62%，58%，均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关，所以B正确；对于C，由题中两图易知增量与增长速度并不完全一致，其业务量从高到低变化是3月→4月→1月→2月，业务收入从高到低变化是3月→4月→1月→2月，保持高度一致，所以C正确；对于D，由题图知业务收入2月相对1月减少，4月相对3月减少，整体不具备高速增长之说，所以D不正确，故选D．6.答案：C解析：解：抛物线的焦点为F(−2,0)，准线为l1：x=2．∴P到l1的距离等于|PF|，∴P到直线l1，l2的距离之和的最小值为F(−2,0)到直线l2的距离d=√9+25=18√3417．故选：C．由抛物线的定义可知P到直线l1，l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l2的距离．本题考查了抛物线的性质，属于中档题．7.答案：B解析：本题考查二项式系数的性质，属于基础题． 类比二项展开式的通项处理即可．解：依题意，(x −1x +1)5展开式中r 个因式选择x ，s 个因式选择−1x ，则展开项为：T =C 5r x r C 5−r s (−1)s x −s =C 5r C 5−r s(−1)s x r−s ，要使该项为常数，则r =1， ①当r =s =0时，对应常数为1；②当r =s =1时，对应常数为−C 51×C 41=−20； ③当r =s =2时，对应常数为C 52×C 32=30； 所以展开式的常数项为1−20+30=11． 故选B ．8.答案：D解析：解：甲在每局比赛中获胜的概率均为：34，失败的概率为：14；各局比赛结果相互独立且没有平局，则甲获得冠军的概率为：34×34+34×14×34+14×34×34=5464， 比赛进行了三局的概率为：34×14×34+14×34×34=1864，故则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为：1864÷5464=13， 故选：D ．分别求出甲比赛获得冠军和比赛三次获胜的概率，在利用条件概率公式计算，即可得出结论． 本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于中档题．9.答案：C解析：本题考查了古典概型，随机数的应用，属于基础题．由题意，18组随机数恰好在第三次停止的有021，001，130，031，即可得出结果．解：由题意，18组随机数恰好在第三次停止的有021，001，130，031，所以恰好在第三次停止的概率为418=29，故选C．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查了众数，中位数，平均数，方差与标准差的应用，解题的关键是熟练掌握众数，中位数，平均数，方差与标准差的计算，为基础题．根据已知及众数，中位数，平均数，方差与标准差的计算，可知哪种说法符合题意．【解答】解：对于甲同学，名次的平均数为2，众数为1，则有一次名次为4;对于乙同学，名次的平均数为2，设3次考试名次依次为x1，x2，x3，则由方差s2=13[(x1−2)2+(x2−2)2+(x3−2)2]<1，得(x1−2)2+(x2−2)2+(x3−2)2<3，所以x1，x2，x3均不超过3，符合题意;对于丙同学，名次的中位数为2，众数为2，有可能是2，2，4，不合题意;对于丁同学，名次的众数为2，方差大于1，有可能是2，2，5，不合题意．故选B．11.答案：C解析：本题考查排列组合的综合应用，属基础题．根据题意，分2步进行分析：先将5项工作分成4组，再将分好的4组全排列，对应4名志愿者，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理可得答案．解：根据题意，分2步分析：(1)先将5项工作分成4组，有C52=10种方法，(2)将分好的4组全排列，对应4名志愿者，有A44=24种情况，则有10×24=240种不同的安排方式；故选C．12.答案：C解析：本题主要考查双曲线的离心率、及角平分线定理，是中档题．设∠AF2B=θ，根据角相等关系得到线段之间的关系，再由角平分线的性质知|F1F2||AF2|=|BF1||AB|得到a，c关系，解方程可得e．解：设∠AF2B=θ，由F2B是∠AF2F1的平分线，得∠BF2F1=θ，又|AF1|=2c，|F1F2|=2c，所以，又|BF1|=|BF2|，所以∠BF1F2=θ，故∠ABF2=2θ．由|AF1|=2c得|AF2|=2c−2a，所以|AB|=2a．由角平分线的性质知|F1F2||AF2|=|BF1||AB|，即2c2c−2a =2c−2a2a，所以ac=c2−2ac+a2，所以e2−3e+1=0．解得e=3±√52，又因为e>1，所以e=3+√52．故选C．13.答案：1008解析：本题主要考查分类计数原理，分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．本题限制条件比较多，容易出错，解题时要注意．解：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有2A22A41A44种方法甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有4A22(A44+A31A31A33)种方法故共有2A22A41A44+4A22(A44+A31A31A33)=1008种不同的排法故答案为1008．14.答案：83解析：本题考查离散随机变量的期望，属于基础题．求解出单次通过的概率，再根据期望公式即可求解．解：由题意，队员甲投篮1次未中的概率为1−23=13，则队员甲在1个轮次中投篮2次均未中的概率为13×13=19，故队员甲在1个轮次通过的概率为1−19=89．故甲3个轮次通过的次数X的期望是E(X)=3×89=83．故答案为：83．15.答案：2√23解析：解：由椭圆x29+y2=1的方程可得a2=9，b2=1，∴a=3，c=√a2−b2=2√2．∴e=ca =2√23．故答案为：2√23．由椭圆x29+y2=1的方程可得a2，b2，可得c=√a2−b2，再利用离心率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.答案：32解析：本题考查的是分步计数原理与插空法，属于中档题．利用分步计数原理先求出1和2相邻的情况，分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，再用任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数种数减去1和2相邻的结果即可求出结果．解：先求出1和2相邻的情况：可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有2种排法；第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有2×2种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有5种排法．由分步乘法计数原理得共有2×2×2×5=40个，同理利用插空法可得任何相邻两个数字的奇偶性不同的个数为3×2×1×3×2×1×2=72，∴1和2不相邻的六位数的个数为72−40=32．故答案为32．17.答案：解：解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，无放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,1}，{3,1}，{4,1}，{3,2}，{4,2}，{4,3}，总数为12个，两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2}，{2,3}，{3,4}，{2,1}，{3,2}，{4,3}，总数为6个，∴根据等可能事件的概率公式得到P=612=12；(2)由题意知本题是一个等可能事件的概率，有放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,1}，{3,1}，{4,1}，{3,2}，{4,2}，{4,3}和{1,1}，{2,2}，{3,3}，{4,4}，共有16个，两张标签上的数字为相邻整数的基本事件为{1,2}，{2,3}，{3,4}，{2,1}，{3,2}，{4,3}总数为6个，∴根据等可能事件的概率公式得到P=616=38．解析：本题考查等可能事件的概率，考查利用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，属于基础题．(1)本题是一个等可能事件的概率，无放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件可以通过列举得到共有12种结果．满足条件的事件也可以通过列举得到结果数，得到概率．(2)本题是一个等可能事件的概率，有放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件可以通过列举得到结果，两张标签上的数字为相邻整数基本事件，得到概率．18.答案：解：(1)300×450015000=90，所以应收集90位女生的样本数据．------------------(4分)(2)300位学生中有300×0.75=225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：-------(8分)结合列联表可算得K 2=300×(45×60−165×30)2210×90×75×225≈4.762>3.841，(10分)所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.---(12分)解析：(1)根据15000人，其中男生10500人，女生4500人，可得应收集多少位女生的样本数据； (2)写出2×2列联表，求出K 2，与临界值比较，即可得出结论．本题主要考查独立性检验等基础知识，考查数形结合能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等，属于中档题．19.答案：解：(Ⅰ)依题意，点P 到点F(1,0)的距离等于它到直线l 1的距离，…(1分)∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x =−1为准线的抛物线．…(2分) ∴曲线C 的方程为y 2=4x.…(3分)(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，点M(−1,m)，点N(−1,n)， 直线PM 方程为：y −m =y 0−m x 0+1(x +1)，…(4分)化简得，(y 0−m)x −(x 0+1)y +(y 0−m)+m(x 0+1)=0． ∵△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1， ∴圆心(0,0)到直线PM 的距离为1，即00√(y0−m)2+(x 0+1)2=1.…(5分)故(y 0−m)2+(x 0+1)2=(y 0−m)2+2m(y 0−m)(x 0+1)+m 2(x 0+1)2． 易知x 0>1，上式化简得，(x 0−1)m 2+2y 0m −(x 0+1)=0.…(6分) 同理，有(x 0−1)n 2+2y 0n −(x 0+1)=0.…(7分)∴m ，n 是关于t 的方程(x 0−1)t 2+2y 0t −(x 0+1)=0的两根． ∴m +n =−2y 0x−1，mn =−(x 0+1)x 0−1.…(8分)∴|MN|=|m −n|=√(m +n)2−4mn =√4y 02(x−1)2+4(x 0+1)x 0−1.…(9分)∵y 02=4x 0，|y 0|=2√x 0，∴|MN|=√16x 0(x 0−1)2+4(x 0+1)x 0−1=2√x 02+4x 0−1(x 0−1)2．直线PF 的斜率k =yx 0−1，则|k|=|y 0x 0−1|=2√x 0|x 0−1|．∴|k||MN|=√x 0x 02+4x 0−1=√1x 0−1x 0+4.…(10分)∵函数y =x −1x 在(1,+∞)上单调递增，∴x 0−1x 0>1−1=0．∴x 0−1x 0+4>4.∴0<1x 0−1x 0+4<14.…(11分)∴0<|k||MN|<12.∴|k||MN|的取值范围为(0,12).…(12分)解析：(Ⅰ)利用已知条件，结合抛物线的定义，即可求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，点M(−1,m)，点N(−1,n)，写出直线PM 方程，化简得，(y 0−m)x −(x 0+1)y +(y 0−m)+m(x 0+1)=0.利用△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，得到圆心(0,0)到直线PM 的距离为1，求出m +n =−2y 0x 0−1，mn =−(x 0+1)x 0−1，求出|MN|.化简|k||MN|=√x 0x 02+4x 0−1=√1x 0−1x 0+4利用函数的单调性求解范围即可．本题考查轨迹方程的求法，抛物线的定义的应用，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：(1)x −=2+4+5+6+85=5，y −=20+30+50+50+705=44，∑x i 25i=1=22+42+52+62+82=145，∑x i 5i=1y i =2×20+4×30+5×50+6×50+8×70=1270，b ̂=∑x i 5i=1y i −5×5×44∑x i 25i=1−5x−2=1270−5×5×44145−5×25=8.5，a ̂=y −−b ̂x −=44−8.5×5=1.5，因此回归直线方程为y ̂=8.5x +1.5；(2)当x =10 时，预计y 的值为y =8.5×10+1.5=86.5．故广告费用为10 万元时，所得的销售收入大约为86.5万元．解析：本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．(1)由已知求得b̂与â的值，可得线性回归方程；(2)把x=10代入回归方程求得y值，则答案可求．21.答案：解：(1)由题意估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率：p=40+10+10+20=0.8．100(2)ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，则ξ的可能取值为950×(1−30%)=665，950(1−20%)=760，950×(1−10%)=855，950，950(1+10%)=1045，950(1+30%)=1235，P(ξ=665)=10=0.1，100=0.1，P(ξ=760)=10100=0.4，P(ξ=855)=40100P(ξ=950)=20=0.2，100=0.15，P(ξ=1045)=15100=0.05，P(ξ=1235)=5100∴ξ的分布列为：E(ξ)=665×0.1+760×0.1+855×0.4+950×0.2+1045×0.15+1235×0.05=893．解析：(1)由题意能估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率．(2)ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，则ξ的可能取值为950×(1−30%)=665，950(1−20%)=760，950×(1−10%)=855，950，950(1+10%)=1045，950(1+30%)=1235，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(1)双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，化简得bx ±ay =0，由A(0,b)到渐近线的距离为12c ，得√a 2+b 2=12c ， 将b =√c 2−a 2代入，得(c2a 2)2−4c 2a 2+4=0，令c 2a 2=x ，则x 2−4x +4=0，解得x =2，∵e =ca ，∴双曲线的离心率为√2； (2)由(1)可得ca =√2， 又∵双曲线的焦距为4， ∴c =2，a =√2， ∵a 2+b 2=c 2， ∴b 2=c 2−a 2=2， ∴双曲线方程为x 2−y 2=2， 设点P 的坐标为(x 0,y 0)，∵PF 1⊥PF 2，∴x 02+y 02=4， 又∵点P 在双曲线上，∴x 02−y 02=2， 联立方程组{x 02+y 02=4x 02−y 02=2, 解得{x 0=√3y 0=1，或{x 0=√3y 0=−1，或{x 0=−√3y 0=1,(舍去)或{x 0=−√3y 0=−1,(舍去)， 综上，可得点P 的坐标为(√3,1)或(√3,−1)．解析：本题考查双曲线的性质及几何意义，求双曲线上满足条件的点，考查运算化简的能力，属于中档题．(1)由点A(0,b)到渐近线的距离为12c ，建立方程解得即可；(2)由(1)及焦距为4，求得双曲线方程，设点P 的坐标为(x 0,y 0)，再由双曲线右支上存在一点P ，使得PF 1⊥PF 2，得方程组{x 02+y 02=4x 02−y 02=2，解得．。
2019-2020学年黑龙江哈尔滨市第三十二中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年黑龙江哈尔滨市第三十二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{1,3,5,7,9},{0,3,6,9,12}A B ==,则A B ⋂= A ．{3,5} B ．{3,6}C ．{3,7}D ．{3,9}【答案】D【解析】{}3,3;9,9;3,9.A B A B A B ∈∈∈∈∴⋂=Q 故选D 2．“a b >”是“a c b c +>+”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据不等式的性质，即可进行判断. 【详解】根据不等式的性质，可得a c b c +>+等价于a b >. 故“a b >”是“a c b c +>+”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查命题充分条件和必要条件的判断，本质是考查不等式的性质，属综合基础题. 3．命题“存在0R x ∈，030x ≤”的否定是（ ） A ．不存在0R x ∈，030x > B ．存在0R x ∈，030x ≥ C ．对任意的R x ∈，030x ≥ D ．对任意的R x ∈，30x > 【答案】D【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可进行选择. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，故命题“存在0R x ∈，030x ≤”的否定是：对任意的R x ∈，30x >. 故选：D.【点睛】本题考查特称命题的否定的求解，属基础题. 4．设R x ∈，则“0x =”是“2x x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对方程2x x =进行等价转化，即可进行判断. 【详解】因为2x x =，故可得0x =或1x =， 则“0x =”是“2x x =”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查命题的充分条件和必要条件的判断，属基础题. 5．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．“1x >”是“||0x >”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则非p ：“x R ∀∈，210x x ++≥” 【答案】C【解析】由命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得A 正确； 由“||0x >”的充要条件为“0x ≠”,可得B 正确；由“且”命题的真假可得C 错误；由特称命题的否定为全称命题可得D 正确，得解. 【详解】解:对于选项A,命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2430x x -+≠”,即A 正确；对于选项B, “||0x >”的充要条件为“0x ≠”,又“1x >”是“0x ≠”的充分不必要条件,即B 正确；对于选项C, p q ∧为假命题，则p 、q 至少有1个为假命题,即C 错误；对于选项D,由特称命题的否定为全称命题可得命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则非p ：“x R ∀∈，210x x ++≥”,即D 正确, 故选:C . 【点睛】本题考查了四种命题的关系、充分必要条件及特称命题与全称命题，重点考查了简单的逻辑推理，属基础题.6．在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ） A ．0.4 B ．0.004C ．0.04D ．不能确定【答案】B【解析】根据几何概型的概率计算公式，即可代值求解. 【详解】根据题意，所求问题属于几何概型的概率求解， 由几何概型的概率计算公式可得： 发现草履虫的概率20.004500P ==. 故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属基础题. 7．下列判断正确的是（ ）A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题B ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”C ．“1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件 D ．命题“,20x x ∀∈>R ”的否定是“00,20x x ∃∈≤R ”【答案】D【解析】A 项中，因为p 真q 假，所以p q ∧为假命题.故A 项错误；B 项中，“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠”，故B 项错误；C 项中，1sin 2α=是6πα=的必要不充分条件，故C 项错误；D 选项正确.8．已知过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）A ．8-B ．0C ．2D ．10【答案】A【解析】因为过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，所以两直线的斜率相等. 【详解】解：∵直线210x y +-=的斜率等于2-，∴过点()2,A m -和(),4B m 的直线的斜率也是2-，422mm -∴=-+，解得8m =-， 故选：A. 【点睛】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用.9．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为 A ．5、10、15 B ．3、9、18C ．3、10、17D ．5、9、16【答案】B【解析】试题分析：高级职称应抽取3015=3150⨯；中级职称应抽取3045=9150⨯；一般职员应抽取3090=18150⨯． 【考点】分层抽样点评：本题主要考查分层抽样的定义与步骤．分层抽样：当总体是由差异明显的几个部分组成的，可将总体按差异分成几个部分（层），再按各部分在总体中所占比例进行抽样．10．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是 A ．45B ．35C ．25D ．15【答案】D【解析】试题分析：据题意从两个集合中随机选取两个数，共有5315⨯=种可能，其中满足b a >的为()()()1,21,32,3共3种，有古典概型，可知所求概率为31155=.故本题选D .【考点】古典概型11．椭圆221168x y +=的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．2D 【答案】C【解析】根据椭圆方程求得22,a b ，结合离心率的计算公式，即可求得.【详解】因为椭圆方程221168x y +=，可得2216,8a b ==，故椭圆的离心率2e ===.故选：C. 【点睛】本题考查由椭圆方程求椭圆的离心率，属基础题.12．短轴长为23e =的椭圆两焦点为1F ，2F ，过1F 作直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF V 的周长为（ ）A ．24B ．12C ．6D ．3【答案】B【解析】根据题意，联立方程组解得a ，再根据椭圆的定义，即可求得周长. 【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=，由题可知：223c b a ==，结合222a b c =+， 解得2229,5,4a b c ===.由椭圆的定义可知，三角形的周长为412a =. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆的简单性质，属基础题.二、填空题13．用辗转相除法求出153和119的最大公约数是 ． 【答案】17【解析】试题分析：利用“辗转相除法”即可得出． 解：153=119×1+34，119=34×3+17，34=17×2． ∴153与119的最大公约数是17． 故答案为17． 【考点】辗转相除法．14．下列命题中是真命题的有________________（填序号）． （1）R x ∀∈，2230x x ++> （2）所有的正方形都是矩形 （3）R x ∃∈，2220x x ++≤ （4）至少有一个实数x ，使210x += 【答案】（1）（2）【解析】根据二次函数的额图象与性质，及特殊四边形的定义，即可判断四个命题的真假. 【详解】（1）因为()2223120x x x ++=++>，故（1）正确； （2）因为正方形的四个角都是直角，故（2）正确；（3）因为()2222110x x x ++=++>恒成立，故（3）错误； （3）因为210x +=没有实数根，故（4）错误. 综上所述，正确的有（1）（2）. 故答案为：（1）（2）. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及二次函数的图象与性质，属基础题. 15．过点()1,3-，且斜率为2的直线方程是_____________． 【答案】25y x =+【解析】由题意，结合直线的点斜式方程即可直接写出. 【详解】根据题意，即可得直线的点斜式方程为()321y x -=+， 整理得直线方程为：25y x =+. 故答案为：25y x =+. 【点睛】本题考查直线点斜式方程的求解，属基础题.16．椭圆22143x y +=的右焦点到直线y =的距离为_____.【解析】先写出椭圆的右焦点,根据点到直线距离公式即可求解. 【详解】因为椭圆方程为22143x y +=所以2221c a b =-= 所以右焦点的坐标为()1,00y -=由点到直线距离公式可得d ==故答案为:2【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其焦点的求法,点到直线距离公式的简单应用,属于基础题.三、解答题17．写出命题“若1x =，则方程210x -=”的逆命题、否命题、逆否命题及判断它们的真假．【答案】改写的命题以及命题的真假见详解.【解析】根据原命题的逆命题、否命题、逆否命题的改写方法，进行改写，并判断真假即可. 【详解】根据命题的改写方法，即可得：原命题的逆命题：若方程210x -=，则1x =，是假命题. 原命题的否命题：若1x ≠，则方程210x -≠，是假命题. 原命题的逆否命题：若210x -≠，则1x ≠，是真命题. 【点睛】本题考查命题的逆命题、否命题以及逆否命题的改写，以及其真假的判断，属基础题. 18．现有7道题，其中5道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求： （1）所取的两道题都是甲类题的概率； （2）所取的两道题不是同一类题的概率. 【答案】（1）所取的两道题都是甲类题的概率为1021；（2）所取的两道题不是同一类题的概率为1021【解析】试题分析：（1）根据题意，设事件A 为“都是甲类题”，由组合数原理，可得试验结果总数与A 包含的基本事件数目，由古典概率公式计算可得答案，（2）设事件B 为“所取的2道题不是同一类题”，分析可得是组合问题，由组合公式，可得从6件中抽取2道的情况数目与抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，由古典概率公式计算可得答案．试题解析：（1）将5道甲类题依次编号为1，2，3，4，5；将2道乙类题依次编号为6，7.任取2道题，基本事件为：，共21个，而且这些基本事件出现是等可能的.用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有，共10个，所以10()21P A =； （2）用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有，共10个，所以10()21P B =． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．19．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100（1）求图中实数a 的值；（2）试估计该校高一年级期中考试数学成绩低于70分的人数． 【答案】（1）0.005；（2）45人.【解析】（1）根据频率直方图中所有长方形的面积之和为1，即可列式计算，求得结果； （2）求出成绩落在[)50,60，[)60,70两个区间的概率，结合样本容量，即可求得. 【详解】（1）因为频率分布直方图中所有长方形面积之和为1， 故可得()100.040.030.021a a ++++=， 解得0.005a =.（2）由频率分布直方图，结合（1）中所求，成绩落在[)50,60和[)60,70的概率为()100.0050.040.45+=， 又样本容量为100，故可得该校高一年级期中考试数学成绩低于70分的人数为0.4510045⨯=人. 【点睛】本题考查由频率分布直方图求解参数的值，以及频率分布直方图中概率的计算，属基础题.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，长轴长为4，离心率为22．求椭圆C 的方程及焦点坐标． 【答案】椭圆方程为：22142x y +=；焦点坐标为：()2,0-，)2,0.【解析】设出椭圆方程，根据题意，列出,,a b c 的方程组，解方程组即可求得椭圆方程，并写出焦点的坐标. 【详解】因为椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，故可设椭圆方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题可知：24a =，2c e a ==，联立222b a c =-，解得：2a =，b =c =故椭圆C 的标准方程为22142x y +=，焦点坐标为()，).【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及焦点坐标的求解，属基础题.。
2019-2020学年人教A版黑龙江省哈尔滨三中高二第一学期期末数学试卷(文科) 含解析
2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（文科）一、选择题1．已知圆的方程为x2+y2+x+2y﹣10＝0，则圆心坐标为（）A．B．C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）2．若sinα＝﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣3．四张卡片上分别写有数字1，2，3，5，若从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是（）A．B．C．D．4．已知椭圆E：与双曲线C：（a＞0，b＞0）有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．5．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．6．已知α，β均为锐角，，cos（α+β）＝（）A．B．C．D．7．中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”，如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率是（）A．B．C．D．8．已知角α的终边上的一点P（1，2），则的值为（）A．B．C．D．9．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A．90 B．75 C．60 D．4510．在满足不等式组的平面点集中随机取一点M（x0，y0），设事件A＝“y0＜2x0”，那么事件A发生的概率是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，），满足f（0）＝，将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于直线x＝对称，则ω的取值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知圆E：（x+1）2+y2＝r2（圆心为点E）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，若此抛物线的焦点为F，且A，B两点都在以EF为直径的圆上，则sin∠AEF＝（）A．B．C．D．二、填空题13．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于．14．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l 的方程为x+y﹣4＝0，则曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．15．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为．16．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C 右支上的一点，射线PQ平分∠F1PF2交x轴于点Q，过原点O的直线平行于直线PQ交PF1于点T，若，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线（t为参数）与抛物线x2＝4y交于A，B两点，设点M（﹣1，3）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）求|MA|•|MB|和|AB|．18．设甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为18，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取5名运动员参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（Ⅱ）将抽取的5名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．设“编号为A1，A2的两名运动员至少有一人被抽到”为事件A，求事件A发生的概率．19．如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以和为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．（1）写出⊙C1与⊙C2的极坐标方程；（2）求△OAB面积最大值．20．某校为了诊断高三学生在市“一模”考试中文科数学备考的状况，随机抽取了50名学生的市“一模”数学成绩进行分析，将这些成绩分为九组，第一组[60，70），第二组[70，80），……，第九组[140，150]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试求出a的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数；（Ⅱ）现从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130，140）中的概率是多少？21．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期并用五点作图法画出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式，并求当时，函数g（x）的最小值及此时的x值．22．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过椭圆C焦点且与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆左顶点A的直线l与椭圆的另一个交点为M，与y轴交点为P，若点Q（﹣8，0），且OM⊥PQ，求直线l的方程．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的方程为x2+y2+x+2y﹣10＝0，则圆心坐标为（）A．B．C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）解：根据题意，圆的方程为x2+y2+x+2y﹣10＝0，其中D＝1，F＝2，则有﹣＝﹣，＝﹣1，则其圆心为（﹣，﹣1）；故选：A．2．若sinα＝﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣解：sinα＝﹣，则α为第四象限角，cosα＝＝，tanα＝＝﹣．故选：D．3．四张卡片上分别写有数字1，2，3，5，若从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是（）A．B．C．D．解：四张卡片上分别写有数字1，2，3，5，从这四张卡片中随机抽取两张，基本事件个数n＝＝6．抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的个数m＝＝3，∴抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的概率p＝＝．故选：C．4．已知椭圆E：与双曲线C：（a＞0，b＞0）有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．解：椭圆E的焦点为（±3，0）．故a2＝32﹣5＝4．双曲线C：，双曲线C的渐近线方程为．故选：D．5．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0）圆心到直线y＝k（x+3）的距离为要使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交，则＜1，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为＝．故选：C．6．已知α，β均为锐角，，cos（α+β）＝（）A．B．C．D．解：α，β均为锐角，则α﹣∈（﹣，），β+∈（，），，cos（α﹣）＝＝，sin（β+）＝＝，cos（α+β）＝cos[（α﹣）+（β+）]＝cos（α﹣）cos（β+）﹣sin（α﹣）sin（β+）＝×﹣×＝﹣．故选：A．7．中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”，如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率是（）A．B．C．D．解：设圆心为O，圆的半径为1，则正六边形的面积S＝6×＝，圆的面积为π，则对应的概率P＝，故选：A．8．已知角α的终边上的一点P（1，2），则的值为（）A．B．C．D．解：∵角α的终边上的一点P（1，2），∴tanα＝2，则＝＝＝，故选：D．9．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A．90 B．75 C．60 D．45解：净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数设为N2，产品净重小于100克的个数设为N1＝36，样本容量为N，则，故选：A．10．在满足不等式组的平面点集中随机取一点M（x0，y0），设事件A＝“y0＜2x0”，那么事件A发生的概率是（）A．B．C．D．解：作出不等式组的平面区域即△ABC，其面积为4，且事件A＝“y0＜2x0”表示的区域为△AOC，其面积为3，∴事件A发生的概率是．故选：B．11．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，），满足f（0）＝，将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于直线x＝对称，则ω的取值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵f（0）＝，∴sinφ＝，∴φ＝，即f（x）＝2sin（ωx+），∴g（x）＝2sin[ω（x﹣）+]，∵g（x）的图象关于直线x＝对称，∴ω（﹣）+＝+kπ，k∈z，则ω×＝+kπ，k∈z，令k＝1，得ω＝2．故选：B．12．已知圆E：（x+1）2+y2＝r2（圆心为点E）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，若此抛物线的焦点为F，且A，B两点都在以EF为直径的圆上，则sin∠AEF＝（）A．B．C．D．解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），E（﹣1，0），以EF为直径的圆的方程为x2+y2＝1，由A，B关于x轴对称，可设A（m，n），m，n＞0，可得（m+1）2+n2＝r2，n2＝4m，m2+n2＝1，解得m＝﹣2，n＝2，A（﹣2，2），即有直线AE的斜率为k＝，即tan∠AEF＝，由tan∠AEF＝，sin2∠AEF+cos2∠AEF＝1，解得sin∠AEF＝，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．13．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于24 ．解：因为扇形的圆心角α为3弧度，半径r为4，所以扇形的面积S＝r2α＝＝24．故答案为：24．14．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l 的方程为x+y﹣4＝0，则曲线C上的点到直线l的距离的最大值为3．解：设曲线C上的点P（）到直线x+y﹣4＝0的距离d＝＝，当时，解得．故答案为：315．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为0.75 ．解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，∴所求概率为0.75．故答案为：0.75．16．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C 右支上的一点，射线PQ平分∠F1PF2交x轴于点Q，过原点O的直线平行于直线PQ交PF1于点T，若，则双曲线的离心率为．解：设双曲线的右顶点为A，考察特殊情形，当点P→A时，射线PT→直线x＝a，此时PT→AO，即|PT|→a，特别地，当P与A重合时，|PT|＝a．由|TP|＝|F1F2|＝c，即有a＝c，由离心率公式e＝＝，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线（t为参数）与抛物线x2＝4y交于A，B两点，设点M（﹣1，3）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）求|MA|•|MB|和|AB|．解：（Ⅰ）直线（t为参数）转换为直角坐标方程为x﹣y+4＝0．转换为极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+4＝0．（Ⅱ）把直线（t为参数）代入抛物线x2＝4y交于A，B两点，得到：，即：，所以，t1t2＝4所以|MA||MB|＝|t1t2|＝4，＝．18．设甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为18，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取5名运动员参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（Ⅱ）将抽取的5名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．设“编号为A1，A2的两名运动员至少有一人被抽到”为事件A，求事件A发生的概率．解：（Ⅰ）甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为18，9，18，采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取5名运动员参加比赛，甲羽毛球协会中抽取的运动员人数为：5×＝2，乙羽毛球协会中抽取的运动员人数为：5×＝1，丙羽毛球协会中抽取的运动员人数为：5×＝2．（Ⅱ）将抽取的5名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．基本事件有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A3，A4），（A3，A5），（A4，A5），设“编号为A1，A2的两名运动员至少有一人被抽到”为事件A，事件A包含的基本事件有6个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），∴事件A发生的概率为P（A）＝．19．如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以和为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．（1）写出⊙C1与⊙C2的极坐标方程；（2）求△OAB面积最大值．解：（1）⊙C1：ρ＝2sinθ；⊙C2：ρ＝﹣4sinθ；（2）由（1）得A（2sinθ，θ），B（，），则＝﹣sinθ（sin﹣cosθsin）＝+3sinθcosθ＝＝．∴当sin（）＝1时，△OAB面积最大值为．20．某校为了诊断高三学生在市“一模”考试中文科数学备考的状况，随机抽取了50名学生的市“一模”数学成绩进行分析，将这些成绩分为九组，第一组[60，70），第二组[70，80），……，第九组[140，150]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试求出a的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数；（Ⅱ）现从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130，140）中的概率是多少？解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.004+a+0.016+0.024+0.018+0.012+0.006+0.004+0.002）×10＝1，解得a＝0.014，众数为：＝95，（60，90）的频率为：（0.004+0.014+0.016）×10＝0.34，（90，100）的频率为：0.024×10＝0.24，∴中位数：90+＝．（2）成绩在[120，130）的同学数有0.006×10×50＝3人，成绩在[130，140）的同学数有0.004×10×50＝2人，成绩在[140，150）的同学数有0.002×10×50＝1人，从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，基本事件总数n＝＝15，抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130，140）中包含的基本事件个数；m＝＝8，抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130，140）中的概率是p＝．21．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期并用五点作图法画出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式，并求当时，函数g（x）的最小值及此时的x值．解：（Ⅰ）∵＝sin2x+1+cos2x﹣1＝2sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π，在[0，π]上，2x+∈[，]，列表如下：函数f（x）在区间[0，π]上的图象是：2x+π 2πx 0 πy 1 2 0 ﹣2 0 1作图如下：．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣）的图象，由于时，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣＝﹣时，即x＝﹣时，函数取得最小值为2sin（﹣）＝﹣．22．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过椭圆C焦点且与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆左顶点A的直线l与椭圆的另一个交点为M，与y轴交点为P，若点Q（﹣8，0），且OM⊥PQ，求直线l的方程．解：（1）由题意得，∴，∴椭圆C的标准方程为：；（2）设直线l的方程为：y＝k（x+3），令x＝0得，y＝3k，∴P（0，3k），代入得，（2+3k2）x2+18k2x+27k2﹣18＝0，∴，∴，，∵OM⊥PQ，∴，∴k2＝，k＝，∴直线l的方程为：y＝（x+3），即：2x，即直线l的方程为：2x，。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|1}P x x =„，集合1|1Q x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭„，则(P Q =I )A ．ϕB ．{1}C ．{|0}x x <D ．{|0x x <或1}x =2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞4．（5分）已知椭圆22143x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为()A ．3470x y ++=B ．2570x y +-=C ．3410x y -+=D ．3470x y +-=5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅⋯⋯癸酉、甲戌、乙亥、丙子⋯⋯癸未、甲申、乙酉、丙戌⋯⋯癸巳⋯⋯癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为()A ．甲巳年B ．壬辰年C ．辛卯年D ．癸巳年6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α⊂，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ．上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）在ABC ∆中，1CA =，3CB =，2ACB π∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r，则(MA MB =u u u r u u u r g) A ．3B ．6C ．9D ．08．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为() A ．1B ．2C ．2D ．39．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019B ．2019-C ．4037-D ．403710．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．174π B 1717C ．172πD 171711．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221y x -=，[1y ∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．2.512．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()xf x f x '+=，12()22f e=，若对任意正数a ，b 都有2221311(())224644x abf b e a -<++，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞-C ．1(1,)2-D ．1(0,)2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为 ． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有 种不同分法．（结果用数字作答）15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[ϕπ∈-，]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为 ．16．（5分）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3(,0)8M ，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心；②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ∆的面积为23． 其中正确的序号为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，26b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小．19．（12分）已知在正项数列{}n a 中，首项12a =，点1(,n n A a a +在双曲线221y x -=上，数列{}n b 中，点(n b ，)n T 在直线112y x =-+上，其中n T 是数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求使得1|1|2020n T -<成立n 的最小值； （3）若n n n c a b =g ，求证：数列{}n c 为递减数列．20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧． （1）求证：DA 平分MDN ∠；（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．（1）若()f x a -„对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224n n ln ln ln n n +++⋯+>+． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y ⎧'⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=． （1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >设函数()||||f x x b x c a =-+++，x R ∈． （1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a +++++++…．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|1}P x x =„，集合1|1Q x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭„，则(P Q =I )A ．ϕB ．{1}C ．{|0}x x <D ．{|0x x <或1}x =【解答】解：Q 111{|1}{|0}{|0}{|1x x Q x x x x x x x x--====剟厖或0}x <又{|1}P x x =Q „， {|0P Q x x ∴=<I 或1}x =故选：D ．2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数1z i =，21z i =+，则复数12(1)1z z z i i i ==+=-+g ． 复数对应的点的坐标(1,1)-，复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B ．3．（5分）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【解答】解：函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，的图象如图：满足(1)(2)f x f x +<，可得：201x x <<+或210x x <+„， 解得(,0)x ∈-∞． 故选：D ．4．（5分）已知椭圆22143x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为()A ．3470x y ++=B ．2570x y +-=C ．3410x y -+=D ．3470x y +-=【解答】解：设(,)A x y ，(,)B x y ''，由题意知22x x y y '+=⎧⎨'+=⎩，则2222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨''⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222043x x y y ''--+=，整理得：3()34()4y y x x x x y y ''-+=-=-''-+， 所以34k =-，直线方程为：31(1)4y x -=--，即3470x y +-=，故选：D ．5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅⋯⋯癸酉、甲戌、乙亥、丙子⋯⋯癸未、甲申、乙酉、丙戌⋯⋯癸巳⋯⋯癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为()A ．甲巳年B ．壬辰年C ．辛卯年D ．癸巳年【解答】解：从1949年到2009年，总共经过了60年； 从2009年到2013年，总共经过了5年； 所以天干中的己变为癸，地支中的丑变为巳，即2020年是“干支纪年法”中的癸巳年． 故选：D ．6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α⊂，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ． 上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，①错误；若//αβ，//βγ，则由平行公理得//αγ，又因为m α⊥，所以m γ⊥，故②正确； 若n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β或m β⊂，故③错误； 若//m α，//n β，//m n ，则α与β平行或相交；故④错误， 故选：A ．7．（5分）在ABC ∆中，1CA =，3CB =，2ACB π∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r，则(MA MB =u u u r u u u r g) A ．3B ．6C ．9D ．0【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，由题意知，(0,0)C ，(3,0)B ，(0,1)A ； ∴(3,0)CB =u u u r ，(0,1)CA =u u u r， ∴3(3,3)CM CB CA =+=u u u u r u u u r u u u r，∴(3,2)MA CA CM =-=--u u u r u u u r u u u u r， (0,3)MB CB CM =-=-u u u r u u u r u u u u r，则30(2)(3)6MA MB =-⨯+-⨯-=u u u r u u u rg ．故选：B ．8．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为()A ．1B ．2C D 【解答】解：根据题意，设P 为直线1y x =-上一点，过点P 向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，T 为切线，圆22(2)(3)1x y -+-=的圆心为C ，其坐标为(2,3)，半径1r =，则切线长||PT ==， 要使切线长最小，必须是||PC 的值最小，又由||PC 的最小值d ==则切线长||PT 1=； 故选：A ．9．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019B ．2019-C ．4037-D ．4037【解答】解：(1)(21)n n a n =--，可得20191357911(40341)(40361)(40381)S =-+-+-+-⋯--+--- 22240372100940372019=++⋯+-=⨯-=-．故选：B ．10．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )A．174πB．1717πC．172πD．1717π【解答】解：由题意可知几何体是三棱锥，是正方体的一部分如图：底面BCD是等腰三角形，边长为：2，5，5，外接圆的半径为r，可得222(2)1r r=-+，解得54r=，三棱锥的外接球的半径为R，2225934(2)1616R r r=+-=+=，外接球的表面积为：34174162ππ⨯=．故选：C．11．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221y x-=，[1y∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()A ．1B ．2C ．3D ．2.5【解答】解：由题意画出曲线的图象，设小球的截面圆心为：0(0,)y ，设双曲线上的点(,)x y ，点到圆心的距离的平方22222220000()1()221r x y y y y y y y y y =+-=-+-=-+-，对称轴02y y =若2r 最小值在(0,1)时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在1y =的左边，所以012y „，02y „， 所以0211r <-=„， 故选：A ．12．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()xf x f x '+12()22f e=，若对任意正数a ，b 都有2221311(())224644x abf b e a -<++，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞- C ．1(1,)2-D ．1(0,)2【解答】解：令2()()x g x e f x =，则2()()xg x f x e =，且222()2()()[2()()]x x x g x e f x e f x e f x f x e x '=+'=+'=则22222()()2()2()2()()()x x x x x g x e g x e g x g x e x g x f x e e '-'--'===g g ，令()2()h x ex g x =，则()2()22x xh x ex g x xx'=-'=，令()0h x '>，解得102x <<；令()0h x '<，解得12x >， ∴121112122()()2()2()02222e e eh x h e g ef ==-==„，()0f x ∴'„在(0,)+∞上恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上递减；又222222111114()4644464882ab ab ab f b e a b e a ++=+++==…， ∴131(())()222x f f -<，∴13()022131()222x x ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解得1x <-． 故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为． 【解答】解：Q 双曲线的焦点在y 轴上，∴设双曲线的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>可得双曲线的渐近线方程是ay x b =±，结合题意双曲线的渐近线方程是2y x =±，得2ab=， 2b a ∴=，可得：2224()c a a -=，即2245c a =，此双曲线的离心率e =．． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有 60 种不同分法．（结果用数字作答）【解答】解：第一步：一人三本的方法：13235554333021C C C ⨯==⨯=⨯g g ， 第二步，剩余的分给另外两人：222A =， 所以共有：30260⨯=种方法； 故答案为：60．15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[ϕπ∈-，]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为250sin()6032y t ππ=-+ ．【解答】解：（1）由题意， 50A =，60b =，3T =；故23πω=， 故250sin()603y t πϕ=++； 则由50sin 6010ϕ+=及[ϕπ∈-，]π得，2πϕ=-；故250sin()6032y t ππ=-+． 故答案为：250sin()6032y t ππ=-+． 16．（5分）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3(,0)8M ，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心；②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ∆的面积为23． 其中正确的序号为 ①② ．【解答】解：①若直线BC 过点3(,0)8M ，则当A 为坐标原点时，(0,0)A ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则由重心坐标公式可得，ABC ∆的重心的横坐标为121131(0)3344x x ++=⨯=，纵坐标为0，∴抛物线2y x =的焦点1(4，0)为ABC ∆的重心，故①正确；②若直线BC 过点(1,0)N ，取(4,2)B ，则202413BC k -==-， 过B 且与BC 垂直的直线方程为32(4)2y x -=--，联立2382y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩或64983x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形，故②正确；设以1(4，0)为圆心的圆的方程为2221()4x y r -+=，联立22221()4x y r y x⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，得221681160x x r ++-=． Q 12102x x +=-<，∴方程221681160x x r ++-=至多有一个正根，即圆为2221()4x y r -+=与抛物线2y x =至多有两个交点，∴不存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心，故③错误；④如图，根据题意设2(A a ，)a ，2(B b ，)b ，2(C c ，)c ，不妨设0a <，M Q 为边AC 的中点，22(2a c M +∴，)2a c +，又//BM x 轴，则2a cb +=， 故2222222()()||||||22244a c a c a c a c BM b +++-=-=-==，2()8a c ∴-=，即22a c -=-设A 到BM 的距离为h ，故122||2||2||||2222ABC ABM a cS S BM h a b a a c ∆∆+==⨯=-=-=-=g D 错误．∴正确的序号为①②．故答案为：①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．【解答】解：（Ⅰ）ABC ∆Q 中，3a =，b =2B A =，∴由正弦定理得：3sin sin 2A A =，即2sin cos sin 3A A A =，cos A ∴=； （Ⅱ）由（1）知cos A =(0,)A π∈，sin A ∴，又2B A =， 21cos cos22cos 13B A A ∴==-=，(0,)B π∈，sin 3B ∴=， 在ABC ∆中，1sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=，3sin 5sin a Cc A∴===． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小．【解答】解：（1）证明：直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB AC ==，1AA t =，则(2B ，0，0)，(0C ，2，0)，1(2B ，0，)t ，(0D ，0，)2t ，(1E ，1，)2t，(2BC =-u u u r，2，0)，1(0BB =u u u r ，0，)t ，(1DE =u u u r ，1，0)， Q 0BC DE =u u u r u u u rg ，10BB DE =u u u r u u u r g ，BC DE ∴⊥，1BB DE ⊥， 1BC BB B =Q I ，DE ∴⊥平面11BCC B ．（2）解：1(0A ，0，)t ，1(2B C =-u u u u r ，2，)t -，1(0AA =u u u r，0，)t ， Q 直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，21111211||2|cos ,|||||8B C AA B C AA B C AA t t∴<>===+u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u u u r u u u r g g ，解得22t =(0D ∴，02)，1(0C ，2，22)，(2BC =-u u u r，2，0)，(2BD =-u u u r ，02)，1(2BC =-u u u u r ，2，22)，设平面BDC 的法向量(n x =r，y ，)z ，则220220n BD x z n BC x y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，12)， 设平面1BCC 的法向量(m x =r，y ，)z ，则1220 2222m BC x ym BC x y z⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩u u u rrgu u u u rrg，取1x=，得(1m=r，1，0)，设二面角1D BC C--的大小为θ．则||2cos||||42m nm nθ===r rgr rg g，4πθ∴=．∴二面角1D BC C--的大小为4π．19．（12分）已知在正项数列{}na中，首项12a=，点1(,n nA a a+在双曲线221y x-=上，数列{}nb中，点(nb，)nT在直线112y x=-+上，其中nT是数列{}nb的前n项和．（1）求数列{}na、{}nb的通项公式；（2）求使得1|1|2020nT-<成立n的最小值；（3）若n n nc a b=g，求证：数列{}nc为递减数列．【解答】（1）解：由题意，点1(,)n nA a a+在双曲线221y x-=上，则11n na a+-=．∴数列{}na是以2为首项，1为公差的等差数列，2(1)11na n n∴=+-=+g，*n N∈．又Q点(nb，)nT在直线112y x=-+上，则112n nT b=-+．当1n=时，111112b T b==-+，解得123b=；当2n …时，11111122n n n n n b T T b b --=-=-++-， 整理，得113n n b b -=．∴数列{}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列，1212()333n n n b -∴==g ，*n N ∈．（2）解：由（1），得11211112233n n n n T b =-+=-+=-g ．则111|1||11|332020n nn T -=--=<， 即32020n >．63729=Q ，732187=， n ∴的最小值为7．（3）证明：由（1），得22(1)(1)33n n n n n n c a b n +==+=g g ． 1112(2)2(1)420333n n n n n n n n c c ++++++∴-=-=-<，*n N ∈． 1n n c c +∴<对任意*n N ∈恒成立．∴数列{}n c 为递减数列．20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧． （1）求证：DA 平分MDN ∠；（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 【解答】解：（1）由题意如图，由题意抛物线的对称轴为y 轴，可知(2,1)D -， 设直线MN 的方程为y x b =+，(,)M x y ''''，(,)N x y ''，联立直线与抛物线的方程整理得：2440x x b --=，4x x '+=，4xx b '=-， 所以11(1)(2)(1)(2)2(1)()4(1)2(4)4(1)4(1)022(2)(2)(2)(2)(2)(2)DN DM y y x b x x b x x x b x x b b b b k k x x x x x x x x '''''-''-+-''++''+-+''+++''+--+++-+=+====''''+''++''++''++''+，所以DN DM k k =-， 所以DA 平分MDN ∠；（2）由24y x =，24x y =，所以2xy '=，所以在M 处的切线方程为：22()2424x x x x y x x x ''''''''=-''+=-①， 同理在N 处的切线方程为：224x x y x ''=-②，①②联立和（1）解得：22x x x '+''==，4x x y b '''==-，所以E 的坐标为：(2,)b -，由（1）直线:0MN x y b -+=及题意得：22=，整理得：231450b b +-=，解得：13b =或5-，又因为且M 、N 在直线AD 两侧，经检验13b =符合题意， 所以直线MN 的方程为13y x =+．21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．（1）若()f x a -„对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224n n ln ln ln n n +++⋯+>+． 【解答】解：（1）()f x a -„对0x ∀>恒成立，即0lnx ax a -+„对任意0x >都成立， 构造函数()(0)g x lnx ax a x =-+>，则()0max g x „，11()axg x a x x-'=-=， 令()0g x '=，解得1x a=， 当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞，()0g x '<；故11()()10max g x g ln a a a==-+„，即10(0)lna a a -+>…，设h （a ）1(0)lna a a =-+>，则11()1ah a a a-'=-=， 令h '（a ）0=，解得1a =，当(0,1)a ∈时，h '（a ）0>；当(1,)a ∈+∞时，h '（a ）0<； 故h （a ）max h =（1）0=，即h （a ）10lna a =-+„，而又需10lna a -+…，故1a =； （2）证明：作辅助函数211121()()()()()()f x f x F x f x f x x x x x -=----，则2121()()()()f x f x F x f x x x -'='--，显然12()()F x F x =，由导数的几何意义可知，存在01(x x ∈，2)x ，使得210021()()()()0f x f x F x f x x x -'='-=-，即21021()()()f x f x f x x x -'=-，即0()f x k '=，即得证．（3）证明：由（1）知，1lnx x -„，则11ln x x-…，取11()n n N x n +=∈g ，则111n ln n n +>+，则2211111()(1)(1)(2)12n ln n n n n n n +>>=-+++++， ∴2223111111111(2)()()2233412222(2)n nln ln lnn n n n n +++⋯⋯+>-+-+⋯⋯+-=-=++++，即得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y⎧'⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=． （1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．第21页（共21页）【解答】解：（1）将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线22sin x C y θθ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩的图形．整理得22134x y +=．（2）设点,2sin )P θθ，直线:(cos sin )8l ρθθ-=转换为直角坐标方程为：80x y --=．所以点,2sin )P θθ到直线80x y --=，的距离d ==，当sin()1θα+=-时，max d =+，此时点(P ．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >设函数()||||f x x b x c a =-+++，x R ∈．（1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a +++++++…．【解答】解：（1）当2a b c ===时，22,2()|2||2|26,2222,2x x f x x x x x x +>⎧⎪=-+++=-⎨⎪-+<-⎩剟．()7f x >Q ，∴2272x x +>⎧⎨>⎩或2272x x -+>⎧⎨<-⎩， ∴52x <-或52x >，∴不等式的解集为55(,)(,)22-∞-+∞U ．（2）()|||||()()|||f x x b x c a x b x c a b c a b c a =-+++--++=++=++Q …， ()2min f x b c a ∴=++=， ∴4191419()(222)2a b c a b b c c a a b b c c a ++=++++++++++21922=…， ∴4199()2a b c a b b c c a +++++++…。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高二上学期第一模块(期末考试)数学(文)试题 Word
哈三中2019-2020学年度上学期 高二学年第二模块数学（文）考试试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆的方程为222100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ） A. 1(,1)2-- B. 1(,1)2C. (1,2)--D. (1,2)【答案】A 【解析】 【分析】先化成标准式，即得圆心坐标.【详解】22221452100()(1)24x y x y x y +++-=∴+++=因此圆心坐标为1(,1)2--.故选：A【点睛】本题考查圆一般方程化为标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A.125B. 125-C. 512D. 512-【答案】D 【解析】∵sin a =513-,且a 为第四象限角, ∴212113cosa sin a =-=，则512sina tana cosa ==-， 故选D.3. 四张卡片上分别写有数字1,2,3,5，若从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】C 【解析】 【分析】先确定从这四张卡片中随机抽取两张总事件数，再确定抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详解】因为从这四张卡片中随机抽取两张共有6种基本事件，取的两张卡片上的数字之和为奇数有（1，2），（3，2），（5，2）三种基本事件，因此所求概率为3162=. 故选：C【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.4. 已知椭圆E ：221112x y +=与双曲线C ：22215x y a -=（0a >）有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. 5y x =±B. 2y x =±C. y x =D. y = 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆与双曲线有相同的焦点，所以得21125a -=+，得24a =，从而可得到双曲线方程，进而可得其渐近线方程.【详解】解：因为椭圆E ：221112x y +=与双曲线C ：22215x y a -=（0a >）有相同的焦点，所以21125a -=+，解得24a =，所以双曲线方程为22145x y -=，所以双曲线的渐近线方程为2y x =± 故选：B【点睛】此题考查椭圆和双曲线的焦点，双曲线的渐近线，属于基础题.5. 在区间[]1,1-上随机取一个数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A.12B.13C.4D.4【答案】C 【解析】 【分析】由直线()3y k x =+与圆221x y +=相交，可知圆心到直线的距离小于半径，从而可求出k的取值范围，然后利用几何概型求概率的方法可得答案. 【详解】解：因为直线()3y k x =+与圆221x y +=相交，1<，解得44k -<<，所以所求概率为2424= 故选：C【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，几何概型，属于基础题. 6. 已知,αβ均为锐角，1sin())6363ππαβ-=+=，cos()αβ+=（ ）A.B.【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和余弦公式求解.【详解】因为,αβ均为锐角，所以2 (,),(,) 663663ππππππαβ-∈-+∈因为31sin(),cos()663ππαβ-=+=，所以622cos(),sin()66ππαβ-=+=，因此cos()cos()cos()cos()sin()sin()666666ππππππαβαβαβαβ+=-++=-+--+ 6132263=⨯-⨯=-故选：A【点睛】本题考查两角和余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7. 中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”，如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率是（）A.332πB.3πC.32πD.32π【答案】A【解析】【分析】先分别求圆面积以及内接正六边形的面积，再根据几何概型概率公式求解.【详解】设圆半径为1，则圆面积以及内接正六边形的面积分别为23,61π，所以所求概率为23614π=33故选：A【点睛】本题考查几何概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8. 已知角α的终边上的一点(1,2)P ，则sin()3sin 22cos sin()παααπα+++-的值为（ ） A.14B.34C.54D.74【答案】D 【解析】 【分析】先根据诱导公式以及弦化切进行化简，再根据三角函数定义得tan α值，最后代入求解.【详解】sin()3sin cos 3sin 13tan 22cos sin()2cos sin 2tan πααααααπαααα++++==+-++ 又因为角α的终边上的一点(1,2)P ，所以2tan 21α==， 所以sin()3sin 132722cos sin()224παααπα+++⨯==+-+. 故选：D【点睛】本题考查诱导公式、三角函数定义以及弦化切，考查基本分析求解能力，属中档题. 9. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ).A. 90B. 75C. 60D. 45【答案】A 【解析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36， ∴样本总数为.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90. 考点：频率分布直方图.10. 在满足不等式组10300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的平面内随机取一点()00,M x y ，设事件A ＝“002y x <”，那么事件A 发生的概率是（ ）A.14B.34C.13D.23【答案】B 【解析】 【分析】结合几何概型的计算方法，求出对应面积之比即为所求概率.【详解】如下图，作出不等式组10300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域（阴影部分ABC ），易知()1,2A ，()1,0B -，()3,0C ，该区域面积为()131242⎡⎤--⨯=⎣⎦. 事件A ＝“002y x <”，表示的区域为阴影部分AOC ，其面积为13232⨯⨯=. 所以事件A 发生的概率是34.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学思想的应用，属于基础题.11. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），满足()03f ，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线34x π=对称，则ω的取值可以为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由()03f =，求得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而得()2sin 63g x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再结合三角函数的性质，求得7126k ππωπ⨯=+，k ∈Z ，即可求解. 【详解】因为()03f =()2sin 3f x ϕ==3sin ϕ=， 又因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到()2sin 63g x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()g x 的图象关于直线34x π=对称，34632k ππππωπ⎛⎫∴-+=+⎪⎝⎭，k ∈Z ， 即7126k ππωπ⨯=+，k ∈Z ，令1k =，得2ω=. 故选：B .【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12. 已知圆222:(1)E x y r ++=（圆心为点E ）与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，若此抛物线的焦点为F ，且,A B 两点都在以EF 为直径的圆上，则sin AEF ∠=（ ）【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件得||||1OA OB ==,再与抛物线方程联立求,A B 坐标，最后解三角形得结果. 【详解】因为,A B 两点都在以EF 为直径的圆上，所以1||||||12OA OB EF ===,设11(,)A x y ，则22111x y +=，2114y x =，所以2111410,2x x x +-==-，因此||sin ||AF AEF EF ∠=====故选：C【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，将答案填在答题卡相应的位置上．13. 已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于__________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求解. 【详解】扇形的面积为2211342422r α=⨯⨯=. 故答案为：24【点睛】本题考查扇形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】曲线C上的点到直线l的距离为|2sin()4|42sin()ππφφ+--+==≤=故答案为：【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.15. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．【答案】34【解析】【分析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，所以射击4次至少击中3次的概率为153204=.故答案为：34【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F，P是双曲线C右支上的一点，射线PQ 平分12F PF ∠交x 轴于点Q ，过原点O 的直线平行于直线PQ 交1PF 于点T ，若1222F F PT =，则双曲线的离心率为__________．【答案】2 【解析】 【分析】在x 轴上取点N ，使得||||ON OQ =,过N 作直线平行于直线PQ 交1PF 于点M ，利用正弦定理证明12||||F M PF =,再根据双曲线定义解得||MP ,即得PT ，代入条件解得离心率. 【详解】在x 轴上取点N ，使得||||ON OQ =,过N 作直线平行于直线PQ 交1PF 于点M ，如图，因为O 为NQ 中点,所以12||||,||||,MT TP F N F Q ==,因为11221122||sin sin ||||sin sin ||F M F NM F QP F P F N F MN F PQ F Q ∠∠===∠∠,所以12||||F M F P =，因此12||||||2,2||2||PM F P F P a PT a PT a =-==∴= 12222222F F c a e =∴=∴=2【点睛】本题考查双曲线离心率，考查综合分析求解能力，属较难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线1,2:3,2x l y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）与抛物线24x y =交于,A B 两点，设点(1,3)M -.（1）求直线l 的普通方程和极坐标方程； （2）求||||MA MB ⋅和||AB .【答案】（1）40x y -+=，cos sin 40ρθρθ-+=； （2）22MA MB =，||AB =【解析】 【分析】（1）根据加减消元得直线l 的普通方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ==得极坐标方程； （2）将直线参数方程代入抛物线方程，根据参数几何意义以及韦达定理求结果.【详解】（1）1,2:403,2x t l x y y ⎧=-+⎪⎪∴-+=⎨⎪=+⎪⎩因此极坐标方程为cos sin 40ρθρθ-+=（2）1,23,x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24x y =得2220t --=所以12|||||||22|22MA MB t t ⋅==-=，12||||AB t t =-===【点睛】本题考查参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程以及直线参数方程应用，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 设甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为18，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取5名运动员参加比赛.（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（2）将抽取的5名运动员进行编号，编号分别为12345,,,,A A A A A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. 设“编号为12,A A 的两名运动员至少有一人被抽到” 为事件A ，求事件A 发生的概率.【答案】（1）2,1,2； （2）710. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样方法确定抽取人数；（2）先确定从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛总事件数，再确定事件A 所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】（1）从这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为189185,5,5,189181891818918⨯⨯⨯++++++即2,1,2；（2）从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛共有10种基本事件，其中编号为12,A A 的两名运动员都不选的事件有3个，因此事件A 所包含事件数为7，从而所求概率为710. 【点睛】本题考查分层抽样方法以及古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19. 如图所示，“8”是在极坐标系Ox 中分别以112C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和2322C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，外切于点O 的两个圆．过O 作两条夹角为3π的射线分别交⊙C 1于O 、A 两点，交⊙C 2于O 、B 两点．（1）写出⊙C 1与⊙C 2的极坐标方程； （2）求△OAB 面积最大值． 【答案】（1）1:2sin C ρθ=；2:4sin C ρθ=-；（23【解析】 【分析】(1)直接由条件求出1C 与2C的极坐标方程即可;(2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-,代入三角形面积公式,再利用三角函数求出△OAB 面积的最大值.【详解】解:(1)因为在极坐标系中圆1C 和圆2C 的圆心分别为11,2C π⎛⎫⎪⎝⎭和232,2C π⎛⎫⎪⎝⎭, 所以圆1C 和圆2C 的极坐标方程分别为2sin ρθ=和4sin ρθ=-. (2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-, 则12sin [4sin()]sin 233ABC S ππθθ∆=--23sin (sin cos cos sin )33ππθθθ=--233sin cos sin θθθ=-+33sin(2)62πθ=+-. 所以当sin(2)16πθ+=时,OAB ∆面积最大值为32.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、三角形的面积公式和三角函数求最值,考查了转化思想和函数思想,属中档题.20. 某校为了诊断高三学生在市“一模”考试中文科数学备考的状况，随机抽取了50名学生的市“一模”数学成绩进行分析，将这些成绩分为九组，第一组[60，70)，第二组[70，80)，……，第九组[140，150]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）试求出a 的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数；（2）现从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130,140)中的概率是多少？ 【答案】（1）a =0.014，众数95，中位数2903； （2）815. 【解析】【分析】（1）根据所有频率和为1求a 的值，根据组中值以及频率确定众数，根据频率为0.5求中位数；（2）先确定成绩在[120，150]的同学人数以及成绩在[130,140)中人数，再利用古典概型概率公式求解. 【详解】（1）(0.0020.00420.0060.0120.0160.0180.024)1010.014a a +⨯++++++⨯=∴=由频率分布直方图得区间[90,100]对应人数最多，所以众数为901002+=95， 设中位数为x ，则90290(0.0040.0140.0160.024)100.5103x x -+++⨯⨯=∴= 所以中位数为2903；（2）成绩在[120，150]的同学人数有50(0.0020.0040.006)106⨯++⨯=， 成绩在[130,140)中人数500.004102⨯⨯=，从6人抽取2人共有15种方法，其中抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130,140)中的抽法有248⨯=种，因此所求概率为815. 【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型概率概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.21. 已知函数()2cos (3sin cos )1f x x x x =+-.（1）求函数()f x 最小正周期并用五点作图法画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象；（2）若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的解析式，并求当2[,]123x ππ∈-时，函数()g x 的最小值及此时的x 值.【答案】（1）π，图象见解析；（2）()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小值12x π=-时取到. 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期，最后根据五点作图法画出图象；（2）根据函数图象变换规律得()g x ，再根据正弦函数性质求最值.【详解】（1）()2cos cos )12cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+所以周期为2π2π=， 列表如下：作图如下：（2）函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到()2sin(2())2sin(2)666g x x x πππ=-+=-,27[,]2[,]123636x x πππππ∈-∴-∈-因此当2,6312x x πππ-=-=-时，()g x 取最小值为32() 3.⨯-=- 【点睛】本题考查五点作图法、正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查综合分析求解能力，属中档题.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为33，过椭圆C 焦点且与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆左顶点A 的直线l 与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴交点为P ，若点(8,0)Q -，且OM PQ ⊥，求直线l 的方程.【答案】（1）22196x y +=； （2）:260l x ±+=.【解析】 【分析】（1）根据通径长以及离心率列方程组，求解得结果；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立方程组解得M 点坐标，与y 轴联立解得P 点坐标，再根据向量垂直坐标表示解得直线l 的斜率。
哈尔滨市第三中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文含解析
∵sina= ，且a为第四象限角，
∴ ,
则 ，
故选D.
3。 四张卡片上分别写有数字 ，若从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是( ）
A. B。 C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定从这四张卡片中随机抽取两张总事件数，再确定抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的事件数,最后根据古典概型概率公式求解.
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019—2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）
考试说明：
(1）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间为120分钟;
（2）第Ⅰ卷,第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
因此
故选：C
【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题பைடு நூலகம்本大题共4小题,将答案填在答题卡相应的位置上．
13。 已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于__________．
【答案】24
【解析】
【分析】
根据扇形面积公式求解.
【详解】扇形的面积为 .
【点睛】本题考查分层抽样方法以及古典概型概率公式,考查基本分析求解能力，属基础题.
19. 如图所示，“8"是在极坐标系Ox中分别以 和 为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为 的射线分别交⊙C1于O、A两点,交⊙C2于O、B两点．
（1)写出⊙C1与⊙C2的极坐标方程;
（2）求△OAB面积最大值．
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)第一次段考数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）第一次段考数学试卷2一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.与直线l:x−2y+1=0垂直且过点(−1,0)的直线m在y轴上的截距为()A. 2B. −2C. 1D. −12.圆x2+y2+2y=1的半径为()A. 1B. √2C. 2D. 43.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+8y−7=0平行，则它们之间的距离是()A. 1B. 2C. 135D. 13104.下列四个命题中真命题的个数是()①经过定点P0(x0,y0)的直线，都可以用y−y0=k(x−x0)来表示；②经过任意两点的直线都可以用(y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1)来表示；③不经过原点的直线都可用方程xa +yb=1表示；④经过A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示．A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个5.设变量x，y满足约束条件{x≥0x−y≥02x−y−2≤0则z=3x−2y的最大值为()A. 0B. 2C. 4D. 66.过点A(1,−1)与B(−1,1)且半径为2的圆的方程为()A. (x−3)2+(y+1)2=4B. (x−1)2+(y−1)2=4或(x+1)2+(y+1)2=4C. (x+3)2+(y−1)2=4D. (x+1)2+(y−1)2=47.如果点P在平面区域{2x−y+2≥0x+y−2≤02y−1≥0上，点Q在曲线x2+(y+2)2=1上，那么|PQ|的最大值为()A. 5B. √342+1 C. 2√2+1 D. √2−18.设点A(3,−1)，B(−1,−4)，直线过P(2,2)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是()A. −3≤k≤2B. k≥2或k≤−3C. −2≤k≤3D. k≥3或k≤−29.直线y=x−3被圆x2+y2−4x=0所截得弦长为()A. √14B. √142C. 7D. 1410.点F(√3m+3,0)到直线√3x−√3my=0的距离为()A. √3B. √3mC. 3D. 3m二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.若直线l1：mx+y−(m+1)=0平行于直线l2：x+my−2m=0，则m=______ ．12.已知变量x,y满足约束条件，目标函数z=2x+y的最小值为−5，则实数a=_____，此时，z=y−2x−4的取值范围是___________．13.已知A(−1,0),B(2,0)，动点M满足|MA||MB|=12，则△MAB面积的最大值为______．14.若P(x,y)为圆x2+y2−6x−4y+12=0上的点，则yx的最大值为________．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）15.已知x，y满足约束条件{x−4y⩽−33x+5y⩽25x⩾1，试求解下列问题．(1)z=√x2+y2的最大值和最小值；(2)z=yx+2的最大值和最小值；(3)z=|3x+4y+3|的最大值和最小值．16.已知直线L:kx−y+1+2k=0.(1)求证：直线L过定点；(2)若直线L交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B，ΔAOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线L的方程．17.已知菱形ABCD中，A(−4,7)，C(2,−3)，BC边所在直线过点P(3,−1).求：(1)AD边所在直线的方程;(2)对角线BD所在直线的方程．18.已知圆C经过点E(0,4),F(5,5)，且圆心在直线l：2x−7y+8=0上.(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,2)的直线与圆C交于A,B两点，问在直线y=2上是否存在定点N，使得恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了直线方程问题，考查直线与直线的位置关系以及直线在坐标轴的截距问题，是一道基础题．求出直线l的斜率，根据垂直关系求出所求直线的斜率，代入点斜式方程求出直线方程，令x=0，求出y的值即可．【解答】，解：直线l：x−2y+1=0的斜率是12由题意得所求直线的斜率k=−2，故所求直线方程是：y=−2(x+1)，即2x+y+2=0，令x=0，解得：y=−2，故选B．2.答案：B解析：【分析】本题考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．【解答】解：由题知圆x2+y2+2y=1，所以x2+(y+1)2=2，所以r2=2，r=√2，故选B．3.答案：D解析：【分析】把直线3x+4y+3=0化为6x+8y+6=0，再求两平行线间的距离．本题考查了求两条平行线间的距离的问题，是基础题．解：直线3x +4y +3=0化为6x +8y +6=0，则直线3x +4y +3=0与直线6x +8y −7=0之间的距离为 d =√62+82=1310．故选：D ．4.答案：B解析：熟悉直线方程的限制条件与充要条件，只有②是正确的．5.答案：C解析： 【分析】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件{x ≥0x −y ≥02x −y −2≤0作出可行域如图，化目标函数Z =3x −2y 为y =32x −z2，由图可知，当直线y =32x −z2过A(0,−2)时，直线在y 轴上的截距最小， z 有最大值为3×0−2×(−2)=4． 故选C ．6.答案：B解析：本题考查了圆的标准方程，求出圆心坐标，则圆的方程可得．【解答】解：∵圆过点A(1,−1)和B(−1,1)，所以圆心在AB的垂直平分线y=x上，设圆心坐标为(m,m)，由半径为2，得√(m+1)2+(m−1)2=2，解得m=±1，∴圆心坐标为(1,1)或(−1,−1)．∴所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=4或(x−1)2+(y−1)2=4，故选B．7.答案：A解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则A(0,2)，圆心D(0,2)，∴由图象可知当P位于A，Q在E(0,−3)处，|PQ|的距离最大，最大为2−(−3)=5．故选：A作出不等式度对应的平面区域，利用点和圆的位置关系即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合，以及点与圆的位置关系，结合距离公式是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】本题考查直线的斜率公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础．由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，用直线的斜率公式求出k PB和k PA的值，即可求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，∵k PB=2+42+1=2，k PA=2+12−3=−3，∴k≥2，或k≤−3，故选：B．解析：解：根据题意，圆x2+y2−4x=0即(x−2)2+y2=4，圆心为(2,0)，半径r=2；圆心到直线y=x−3即x−y−3=0的距离d=√2=√22，则直线y=x−3被圆x2+y2−4x=0所截得弦长为2×√r2−d2=2×√4−12=√14；故选：A．根据题意，由圆的方程分析可得圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．10.答案：A解析：【分析】本题考查点到直线的距离，属于基础题.利用点到直线的距离公式求出即可．【解答】解：点(√3m+3,0)到直线√3x−√3my=0的距离为√m+1|√(√3)+(−√3m)=√3，故选：A．11.答案：−1解析：解：∵直线l1：mx+y−(m+1)=0平行于直线l2：x+my−2m=0，∴m1=1m≠−(m+1)−2m，解得m=−1故答案为：−1由题意可得m1=1m≠−(m+1)−2m，解之即可．本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．12.答案：−3；[−12,13 14]解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数z=2x+y的最小值为−5，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=2x+y的最小值为−5，建立条件关系即可求出a的值和z的范围．【解答】解：目标函数z =2x +y 的最小值为−5，∴y =−2x +z ，要使目标函数z =2x +y 的最小值为−5，则平面区域位于直线y =−2x +z 的右上方，可以求得2x +y =−5， 作出变量x ，y 满足约束条件对应的平面区域如图：则目标函数经过点A ，由{2x +y =−5x −y +1=0，解得A(−2,−1)，同时A 也在直线x +y −a =0上，即−2−1−a =0， 解得a =−3，z =y−2x−4表示点过(x,y)与点(4,2)直线斜率， 由{x −y +1=02x −y −1=0得(2,3)， 当过(2,3)和(4,2)时斜率最小−12， 由{x +y +3=02x −y −1=0得(−23,−73)， 过(−23,−73)和(4,2)时斜率最大1314， 故答案为−3；[−12,1314]．13.答案：3解析： 【分析】本题考查了与圆有关的轨迹问题，属于中档题．根据题意可求M 的轨迹为以(−2,0)为圆心，以2为半径的圆，即可求△MAB 面积的最大值． 【解答】解：设M(x,y)，A(−1,0),B(2,0)，|MA ||MB |=12， 则(x+1)2+y 2(x−2)2+y 2=14⇒(x +2)2+y 2=4，即M 的轨迹为以(−2,0)为圆心，以2为半径的圆， |AB|=3，M 到AB 的最大距离为2，故△MAB 面积的最大值为12×2×3=3，故答案为3．14.答案：3+√34解析：【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据点到直线的距离公式和半径之间的关系是解决本题的关键.设yx=k，利用点到直线的距离公式以及直线和圆的位置关系进行求解．【解答】解：设yx=k，即kx−y=0，∵P(x,y)在圆x2+y2−6x−4y+12=0，即(x−3)2+(y−2)2=1上运动，∴圆心(3,2)到直线kx−y=0的距离d≤1，即√1+k2≤1，解得：3−√34≤k≤3+√34，故yx 的最大值为3+√34，故答案为3+√34．15.答案：解：作出可行域如图：(1)易得可行域中三个交点的坐标为(5,2)，(1,1)，(1,225)，目标函数表示可行域内的点(x,y)到原点的距离，最小值为原点到点(1,1)的距离√2；最大值为原点到点(5,2)的距离，为√25+4=√29；(2)目标函数表示的是可行域内的点(x,y)与(−2,0)所在直线的斜率，最大值为点(1,225)与(−2,0)所在直线的斜率，即2253=2215，最小值为点(1,1)与(5,2)所在直线的斜率，即27；(3)由可行域可知x>0，y>0，所以|3x+4y+3|=3x+4y+3，由可行域可得3x+4y+3在点(1,1)取得最小值，即3+4+3=10，在点(5,2)处取得最大值，即15+ 8+3=26．解析：本题主要考查了线性规划的知识和数形结合的思想，属于基础题．(1)转化为两点间的距离公式求解即可；(2)转化为斜率处理即可；(3)注意x和y是大于0的这个条件，然后化简即可．16.答案：(1)定点；(2)最小值为4，L的方程为x−2y+4=0解析：(1)证明：由已知得：k(x+2)+(1−y)=0，令x+2=0，1−y=0，得x=−2，y=1，∴无论k取何值，直线过定点(2)令y=0得A点坐标为(−2−1k,0)，令x=0得B点坐标为(0,2k+1)(k>0)，∴SΔAOB=12|−2−1k||2k+1|=12(2+1k)(2k+1)=12(4k+1k+4)≥1 2(4+4)=4.当且仅当4k=1k，即k=12时取等号．即ΔAOB的面积的最小值为4，此时直线L的方程为12x−y+1+1=0，即x−2y+4=0．17.答案：解：(1)由题意知，k BC =−1−(−3)3−2=2，∵AD//BC ，∴k AD =2， ∴AD 边所在直线的方程为y −7=2(x +4)，即2x −y +15=0．(2)由题意知，k AC =−3−72−(−4)=−53．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD =35，而AC 的中点(−1,2)也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y −2=35(x +1)，即3x −5y +13=0．解析：本题考查直线方程以及直线平行垂直斜率间的关系．(1)两直线平行斜率相等是解本题的关键，其中考查斜率公式，直线方程的点斜式及一般式．(2)两直线垂直斜率乘积为−1是解题的关键．18.答案：解：(1)∵E(0,4)，F(5,5)，∴EF 的中点为D(52,92)，又k EF =5−45−0=15，∴EF 的垂直平分线的斜率为−5，得EF 的垂直平分线的方程为5x +y −17=0，联立{2x −7y +8=05x +y −17=0，解得x =3，y =2． 则圆C 的圆心坐标为(3,2)，半径为√(3−0)2+(2−4)2=√13．∴圆C 的方程为(x −3)2+(y −2)2=13；(2)当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ，则过点M(1,2)的直线方程为y =k(x −1)+2， 由{y =k(x −1)+2(x −3)2+(y −2)2=13，整理得(1+k 2)x 2−(6+2k 2)x +k 2−4=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴x 1+x 2=6+2k 21+k 2,x 1x 2=k 2−41+k 2， 设N(t,2)，则k AN =y 1−2x 1−t ,k BN =y 2−2x 2−t ， ∵k AN =−k BN ，∴y 1−2x 1−t +y 2−2x 2−t=0， ∴(y 1−2)(x 2−t)+(y 2−2)(x 1−t)=0，即2x 1x 2−(t +1)(x 1+x 2)+2t =0，则2k 2−81+k 2−(t +1)⋅2k 2+61+k 2+2t =0，解得：t =−72；当斜率不存在时，x =1，A(1,5)，B(1,−1)，k AN =−k BN 成立，,2)，使得k AN=−k BN恒成立．∴在直线y=2上存在定点N(−72解析：本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．(1)由中点坐标公式求得EF的中点坐标，再由斜率公式求得EF所在直线当斜率，得到EF的垂直平分线的斜率，写出EF的垂直平分线方程，与直线l联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆C的方程可求；(2)当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，求得过点M(1,2)的直线方程，与圆的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及k AN=−k BN列式求解t；当斜率不存在时，x=1，A(1,5)，B(1,−1)，k AN=−k BN成立，则结论可求．。
哈尔滨市第三中学2019_2020学年高二数学6月阶段性测试试题文含解析
根据题意得 ，设切点为 ，求得 ，进而求得切线方程，再由点 在切线方程上，得到关于 的表达式,求得 即可得到答案。
【详解】解：因为
设切点为 ，则 ，
所以切线方程为: ,
因为 在切线方程上，
所以 ，解得: 或 。
当 时， ，此时切线方程为 ;
当 时， ，此时切线方程为 .
所以，切线方程为： 或 。
故选：B。
【点睛】本题考查变量间的相关关系，回归直线方程，以及残差图、相关指数分析模型拟合的精度情况，要求对各知识点要熟练掌握．
7。已知实数a、b、c满足c〈b<a，且ac〈0，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A.ac（a−c)>0B。c(b−a)〈0C。 D。ab〉ac
【答案】D
【解析】
分析】
先根据 和 ，得出 的符号,再结合 ，利用不等式的基本性质即可得到结果.
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019—2020学年高二数学6月阶段性测试试题 文（含解析）
一、单选题（每小题5分，共50分）
1。复数 的虚部是（ ）
A。4B. C.2D。
【答案】B
【解析】
【分析】
由复数代数形式的乘法运算及复数的概念即可得解。
【详解】 虚部为 。
故选：B
【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算、复数的概念，属于基础题。
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据 求出函数 的对称中心 ,可知 ，再利用倒序相加求和法即可求出．
【详解】因为 ，所以由 解得 ，故函数 的对称中心为 ，即 ．
设 ①，
则 ②,
① ②得, ，即 ．
故选:D．
【点睛】本题主要考查函数新定义的理解和运用,导数的计算，以及函数对称中心的性质应用，属于基础题．
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市三中高二上学期期末考试数学试题
哈三中2021—2022学年度上学期高二学年期末考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题,共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.经过()()3,0,6,3A B -两点的直线的倾斜角为A ．4πB ．34πC ．2πD ．3π2.在等差数列{}n a 中，若4567890a a a a a ++++=，则39a a +=A ．18B ．30C ．36D ．723.若直线1:230l ax y a +++=，()2:150l x a y +--=平行，则实数a 的值为A ．1-B ．2C ．1或2-D ．1-或24.方程2890x x -+=的两根的等比中项是A ．4-B ．3-和3C ．4-和4D ．35.若椭圆的两个焦点21,F F 与它短轴的一个端点B 是一个等腰直角三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为A ．22B C ．12D ．36.以下结论正确的是A ．事件A 与事件B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率B ．事件A 与事件B 是对立事件，则它们一定是互斥的C ．事件A 与事件B 互斥，则有()()1P A P B =-D ．事件A 与事件B 满足()()1P A P B +=，则A ，B 是对立事件7.已知R a ∈，||3a ≥是直线:20l x y -=与圆22:52a C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭相离的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.2021年某省实施新的“3+1+2”高考改革方案，“3”即为语文、数学、英语3科必选，“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学、生物、地理、政治中任选2科，则该省某考生选择全理科(物理、化学、生物)的概率是A ．16B ．18C ．110D ．1129.一种卫星接收天线如图（1）所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点F 处，如图（2）所示，已知接收天线的口径AB 为4.8m ，深度为1m .若P 为接收天线上一点，则点P 与焦点F 的最短距离为A ．0.72mB ．1.44mC ．2.44mD ．2.88m10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，已知24a =-，31a =-，则A ．n S 有最小值，n T 有最小值B ．n S 有最大值，n T 有最大值C ．n S 有最小值，n T 有最大值D ．n S 有最大值，n T 有最小值11.2021年11月，满洲里市再次出现由新型冠状病毒引发的疫情.哈尔滨市派出5个医疗小组前往满洲里市区内三所医院开展抗疫工作，因疫情需要，每所医院至少需要安排一个医疗组，其中甲、乙两个医疗小组必须安排在同一所医院，丙、丁两个小组不能安排在同一所医院，则不同的安排方案的总数为A ．36B ．24C ．30D ．1812.在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且2,1,2AB AD CD x ===，其中()0,1x ∈，以,A B为焦点且过点D 的椭圆的的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的双曲线离心率为2e ，21e e +的取值范围A ．(B ．)+∞C ．(D ．(第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13.与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-的双曲线的方程为__________________．14.等比数列{}n a 中，258,64a a ==，则{}n a 的前7项和7S =_______________．15.()5(12)13x x -+的展开式中2x 项的系数为__________________．16.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列又称黄金分割数列，因列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈，记121ni n i a a a a ==+++∑ ，则下列结论①32a =②()2233n n n a a a n -+=+≥③202120231i i aa ==∑④20212202120221i i aa a ==⋅∑其中正确的命题序号是．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列{}n a 是一个等差数列，且2511,45a S ==．（1）求{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 的前n 项和n S 的最大值．18.已知y x m =+与抛物线x y 42=交于,A B 两点．（1）若28=AB ，求实数m 的值；（2）O 为坐标原点，若OA OB ⊥，求实数m 的值．19.某超市举办有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有1个红球，3个白球的甲箱和装有2个红球、2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若都是红球，则可获得现金100元；若只有1个红球，则可获得现金50元；若没有红球，则不获奖.球的大小重量完全相同，每次抽奖后都将球放回且搅拌均匀．（1）若某顾客有1次抽奖机会，求该顾客获得现金100元或50元的概率；（2）若某顾客有2次抽奖机会，求该顾客在2次抽奖中一共获得现金100元的概率．20.在平面直角坐标系xOy 中，已知一个圆的圆心C 在直线20x y +=上，与直线2y x =-相切于点()2,0．（1）求C 的方程；（2）若经过点()5,1的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且MN =求直线l 的方程．21.已知数列{}n a 中，31=a ，且满足11323++⨯+=n n n a a .（1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式;（2）若不等式3842+->n n a n λ，对+∈∀N n 恒成立，求λ的范围.22.如图，已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x M 的离心率为21，以该椭圆上的任意一点和椭圆的左、右焦点21,F F 为顶点的三角形的周长为6.双曲线N 的顶点是椭圆M 的焦点，离心率为2.设P 为双曲线N 椭圆M 的交点分别为B A ,和D C ,.（1）求椭圆M 和双曲线N 的标准方程；（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值；（3）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.。
黑龙江省哈尔滨市高二上学期期末考试数学(理)模拟试题(含答案)
哈尔滨市XX 中学2019-2020学年度上学期期末模拟考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校 学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则=n （ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．2502．如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）3． 设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点F 到渐近线的距离等于a 2，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．3 4．已知两条直线b a ,，两个平面βα,，下面四个命题中不正确的是（ ） A ．,//,a b a b ααββ⊥⊂⇒⊥ B ．//,//,a b a b αβαβ⊥⇒⊥ C ．//,,m m αβαβ⊥⇒⊥ D ．//,////a b a b αα⇒ 5．下列命题中，说法正确的是（ ） A ．命题“,0R x ∈∃使得2010x x ++<”的否定是：“,R x ∈∀均有012>++x x ”B.命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12=x ，则1≠x ”C ．若q p ∧为真命题，则q p ∨也为真命题a=0i=1WHILE i<=5 a=(a+i) MOD 5 i=i+1 WEND PRINT a ENDD ．“210<<x ”是“0)21(>-x x ”的必要不充分条件 6．已知椭圆193622=+y x 及点)2,4(P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A.21 B.21- C.2 D.2- 7．甲、乙两位同学在高二5次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别 是21,x x ，则下列正确的是（ ） A ．21x x <，甲比乙成绩稳定 B ．21x x >，乙比甲成绩稳定C ．21x x >，甲比乙成绩稳定D ．21x x <，乙比甲成绩稳定 8．某程序框图如图所示，若输出的57=S ，则判断框内为( ) A ．?4>k B ．?5>k C ．?6>k D ．?7>k 9．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的表面积是（ ）A ．17BC D ．610．如下程序运行后输出的结果为( ) A. 50 B. 5 C. 25 D. 011． 过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，4为半径的圆经过O A ,两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为（ ）A ．112422=-y x B ．19722=-y x C ．18822=-y x D ．141222=-y x 12．直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱长为，2,1==BC AC 90=∠ACB ,D 是11B A 的中点，F 是1BB 上的动点,1AB ,DF 交于点E ,要使1AB ⊥平面DF C 1，则线段F B 1的长为( )A ．21 B ．1 C ．23 D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．执行下面的程序框图，输出S 的值为14．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]30,5.17，样本数据分组为[)20,5.17，[)5.22,20,[)255.22，，[)5.27,25，[)30,5.27.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于5.22小时的人数是15． 三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面,ABC PA PC AB ===4,30AC BAC =∠=， 若三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________.16．如图，已知抛物线x y 42=的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆41)1(22=+-y x 于 点,,,A B C D 四点，则||4||9CD AB +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）直线l 的参数方程为315(415x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)与曲线22:1C y x -=交于,A B 两点.（1）求||AB 的长； （2）求AB 中点M 的坐标．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，60BAD ∠=,E 、F 分别为BC 、PA 的中点.（1）求证：ED ⊥平面PAD ；（2）求三棱锥P DEF -的体积.19．（本小题满分12分）已知曲线)(sin 1cos :1为参数ααα⎩⎨⎧+==y x C ，)(sin cos 4:2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x C（1）化21,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ， 90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是PC 的中点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD . （1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值； （2）求二面角Q BM C --的余弦值.21. （本小题满分12分）在梯形ABCD 中,BC ∥DA ,,2BE DA EA EB BC ⊥===，1DE =,将四 边形DEBC 沿BE 折起,使平面DEBC 垂直平面ABE ,如图2,连结,AD AC .（1）若F 为AB 中点,求证:EF ∥平面ADC ；（2）在线段AC 上是否存在点M ,使得BM 与平面ADC 所成角的正弦值为322,若有，试确定点 M 的位置，若没有，请说明理由.22. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为21，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于不同的,A B 两点，且,22ab k k OB OA -=⋅求证：AOB ∆的面积为定值.高二理科数学答案一、选择题：ABCDC BDABD AA 二、填空题：237,181402π，， 三、简答题： 17.解：2243(1)(1)155t t +--+=即2770250t t +-= (2)（1）12||||7AB t t =-== ........6 （2）1252M t t t +==- ，31(5)45M x =-+⨯-=- ，41(5)35M y =+⨯-=- ， 故(4,3)M -- ......10 18.解：（1）证明2,1,60,,CD CE DCB DE DE BC DE AD ==∠=︒∴=⊥∴⊥，PD ⊥平面ABCD ， PD AD ∴⊥DE PAD ∴⊥平面 (6)（2）解：133P DEF PDF V S DE -∆=⨯⨯=....12 19.解：（1）221:(1)1C x y +-= 是圆，222:116x C y += ，是椭圆 (5)（2）12C C 和的极坐标方程分别为2sin ρθ=和2222cos sin 116ρθρθ+=射线的极坐标方程为6πθ=，则2sin16P πρ==，222cos 1196sin 16664Q ππρ=+=则||||p Q OP OQ ρρ== 20.平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，90ADC ∠=︒PQ ∴⊥底面ABCD ， CD PAD ⊥平面AD ∥BC ，,BC QD BQ =∴∥CD (2)以Q 为原点，射线,,QA QB QP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，...1 （1；........7 （2）4- .........12 21.．证明:(Ⅰ)取AC 中点N ,连接,FN DN FE ，,∵ ,F N 分别是,AB AC 的中点,FN ∴∥BC 且12FN BC =又DE ∥BC 且11,2DE BC ==FN ∴∥DE 且,FN DE =∴四边形FNDE 为平行四边形EF ∴∥ND ,又EF ⊄平面,ACD DN ⊂平面,ACD EF ∴∥平面ADC (4)(Ⅱ)平面DEBC ⊥平面ABE 且交于,,BE AE EB ⊥AE ∴⊥平面,DECB AE DE ∴⊥由已知,,DE EB AE EB ⊥⊥,分别以,,EA EB ED 所在直线 为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系则(0,0,0),(0,0,1),E D (2,0,0),(0,2,0),(022)A B C ，，(2,0,1),(2,2,2)AD AC ∴=-=-设平面ADC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则02022200n AD x z x y z n AC ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩令1x =,则可得(1,1,2)n =- (7)BM 与平面ADC 所成角的正弦值,所以|cos ,|BM n <>= 设000(,,)M x y z ,由AM AC λ=得000(2,,)(2,2,2),(22,2,2),x y z M λλλλ-=-∴-(22,22,2)BM λλλ∴=--,|cos ,|||||||BM nBM n BM n ⋅∴<>=3==,整理得2121650λλ-+=, 解得12λ=或56λ=,所以M点位于AC的中点或位于靠近C的六等分点上 (12)22.（Ⅰ）解：由题意得3,4262122222==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=-==babbacac∴椭圆的方程为13422=+yx (4)（Ⅱ）设)(1,1yxA，)(2,2yxB则A,B的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkxyyx13422消去y化简得()0124843222=-+++mkmxxk∴221438kkmxx+-=+，222143124kmxx+-=，0>∆得03422>+-mk2212122121)())((mxxkmxxkmkxmkxyy+++=++==2222222243123)438(43124kkmmkkmkmkmk+-=++-++-。
哈尔滨市第三中学2019_2020学年高二数学6月阶段性测试试题理含解析
（3)若 对任意的 恒成立，求实数k的取值范围。
【答案】（1） ；（2）证明见解析;（3） 。
【解析】
【分析】
(1)利用 可求 ，从而可得 的解析式;
(2） 等价于 ，令 ，利用导数可求 也就是 ；
（3）不等式 等价于 ，令 ，利用导数可求 在 上的最小值，即可得出 的取值范围.
二、填空题(每题5分，共20分）
11。 的值为____________。
【答案】
【解析】
【分析】
根据微积分定理直接求解定积分。
【详解】
故答案为:
【点睛】本题考查定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.
12。在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线C变为曲线 ，则曲线C的方程为_______________。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高二数学6月阶段性测试试题 理（含解析）
一、单选题（每题5分，共50分）
1.已知i为虚数单位，若复数 的虚部为1,则 （ )
A. B. C。 D。
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简 ，再根据虚部列方程,解得结果.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查复数除法运算、复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
【答案】
【解析】
【分析】
根据转移法求曲线C的方程
【详解】因为 ，且 ,所以
故答案为:
【点睛】本题考查伸缩变换、求曲线方程，考查基本分析化简能力，属基础题。
13.下列命题中,真命题的序号有____________.
① ， ；
②若 ,则 ；
③ 是 的充分不必要条件。
④ 中，边 是 的充要条件.