2019-2020学年重庆一中高三(下)第二次月考数学试卷(理科)(含答案解析)
2019-2020学年重庆一中高三（下）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知复数z满足为虚数单位，则z的虚部为A. 4B. 4iC.D.3.下列说法正确的是A. ，“”是“”的必要不充分条件B. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件C. 命题“使得”的否定是：“，”D. 命题p：“，”，则是真命题4.我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”A. 6斤B. 7斤C. 8斤D. 9斤5.设，，，则A. B. C. D.6.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，且，则A. 8B. 2C. 6D. 47.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则P的取值范围是A. B. C. D.8.下列关于函数的图象或性质的说法中，正确的个数为函数的图象关于直线对称将函数的图象向右平移个单位所得图象的函数为函数在区间上单调递增若，则A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.已知2，3，，且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列，则这样的集合A共有个A. 460B. 760C. 380D. 19010.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为A. B. C. D.11.若曲线和上分别存在点A、B，使得是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆C：上的两点，且，点，则的取值范围是A. ．B.C. ．D. ．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若双曲线的渐近线与圆相切，则______ ．14.某个正四棱柱被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______．15.的展开式中的系数为240，则______．16.已知数列满足：设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在中，点D在BC边上，，，．求的面积．若，求sin C的值．18.如图，在斜三棱柱中，正三角形ABC的边长为2，，，．求证：面面；求二面角的余弦值．19.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．年级名次是否近视近视4132不近视918若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系？在中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：k．20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为4，直线与椭圆相交于A、B两点，关于直线的对称点E恰好在椭圆上．求椭圆的标准方程；与直线垂直的直线与线段不包括端点相交，且与椭圆相交于C、D 两点，求四边形ACBD面积的取值范围．21.已知函数，是的导函数．若，当时，函数在有唯一的极大值，求a的取值范围．若，，试研究的零点个数．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．写出曲线C的极坐标方程；设M的极坐标为，过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，若，求AB的弦长．23.已知，函数，．当时，恒成立，求实数a的取值范围．在中a的最大值为m，若，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：0，1，，，则，故选：C．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的范围，取交集即可．本题考查了集合的运算，考查解不等式问题，是一道基础题．2.答案：C解析：解：由，得，则z的虚部为：．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：【分析】本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，含有量词的命题的否定，比较基础．【解答】解：由得或，则“”是“”的必要不充分条件，正确，B.若为真命题，则p，q都是真命题，此时为真命题，即充分性成立，反之当p 假q真时，为真命题，但为假命题，故“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，故B 错误，C.命题“使得”的否定是：“，”，故C错误，D.恒成立，是真命题，则是假命题，故D错误，故选A．4.答案：D解析：解：由每一尺的重量构成等差数列，，，，，中间三尺，故选：D．由每一尺的重量构成等差数列，，，利用等差数列的性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解析：解：，，，．故选：C．利用三角函数、对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．6.答案：D解析：解：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可知，，线段AB中点的横坐标为3，又，，可得，故选：D．利用抛物线的定义可得，，把线段AB中点的横坐标为3，，代入可得P值．本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键．7.答案：B解析：解：每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为，不出现故障的概率是p，且各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；4引擎飞机可以正常工作的概率是，2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，2引擎飞机可以正常工作的概率是要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，依题意得到，化简得，解得．故选B由题意知各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，4引擎飞机可以正常工作的概，2引擎飞机可以正常工作的概率是，根据题意列出不等式，解出p的值．本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，本题也是一个易错题，注意条件“4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行”的应用．解析：解：当时，，即正确；函数的图象向右平移个单位得到，即错误；令，则，显然，即错误；若，则，所以，即正确．所以正确的有，故选：B．根据正弦函数的对称性、单调性可分别判断和，根据平移法则可判断，根据诱导公式可判断．本题考查正弦函数的图象与性质、诱导公式等，考查学生数形结合的能力和运算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：根据题意，2，3，，且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列，则这三个数的首尾两个数字均为奇数与首尾均为偶数；分2种情况讨论：，首尾两个数字均为奇数时，有种情况；，首尾两个数字均为偶数时，有种情况；则这样的集合A有个；故选：C．依题意，若A中的元素可构成等差数列，这三个数的首尾两个数字均为奇数与首尾均为偶数，可分首尾均为奇数与首尾均为偶数两类讨论，利用组合数的性质解决．本题考查排列组合的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．10.答案：D解析：【分析】求出棱锥的最大高度，利用勾股定理计算外接圆的半径，从而得出球的体积．本题考查了棱锥与球的位置关系，几何体的体积计算，属于中档题．【解答】解：是等腰直角三角形，为截面圆的直径，故外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，当P，O，D共线且P，O位于截面同一侧时棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为PD，，解得，设外接球的半径为R，则，，在中，，由勾股定理得：，解得．外接球的体积．故选：D．11.答案：B解析：解：设，，，，则，，．，，由题意，，即，，，，则．设，则，，，即函数在上为增函数，则，即．实数a的取值范围是故选：B．由题意设出A，B的坐标，代入函数解析式，利用中点坐标公式把B的坐标用A的坐标表示，由可得关于A的横坐标的方程，分离参数a后构造函数，利用导数求其在上的单调性，得到函数的值域得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力和推理运算能力，属中档题．12.答案：A解析：解：设，则有，所以A为BE的中点，，过O作，垂足为F，因为，所以，，，，所以点E的轨迹方程为：，所以，则的取值范围是：，故选：A．设，则有，所以A为BE的中点，，过O作，垂足为F，可以计算出OE长度为定值，得点E的轨迹方程为：，再求取值范围，即可．本题考查动点、向量和圆的综合题，属于难题．13.答案：解析：解：双曲线的渐近线方程为，即，圆心到直线的距离，．故答案为：．求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．本题考查双曲线的性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式．解答的关键是利用圆心到切线的距离等于半径来判断直线与圆的位置关系．14.答案：8解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：该几何体为底面为边长为2的正方形高为3的直四棱柱，切去该几何体的，剩余长方体的．故：故答案为：8直接利用几何体的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.答案：解析：解：的展开式的通项令，不合题意，舍去；令，得，所以的展开式中的系数是，得，或舍，去，所以根据的几何意义是以原点为圆心，2为半径的圆面积的，所以则，故答案为：．利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得a的值，再根据定积分的几何意义，得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，定积分的几何意义，属于中档题．16.答案：解析：解：依题意，由，可得，．，数列是以2为首项，2为公比的等比数列．，．，，，且数列是单调递增数列，，即，整理，得．解得．当时，，即，即恒成立．当时，取得最小值2，．综上所述，可得实数的取值范围为．故答案为：．本题先将数列的递推公式进行转化变形，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列．即可计算出数列的通项公式，进一步可得数列的通项公式．然后根据，且数列是单调递增数列，可得，可得实数的取值范围；再当时，根据恒成立，可得实数的取值范围，综合可得最终的实数的取值范围．本题主要考查数列由递推公式求通项公式，以及根据根据数列单调性求参数的取值范围．考查了转化和化归思想，分类讨论，不等式的计算能力，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．17.答案：解：，，设，在中，由余弦定理得，即，负值舍去，即，；在中，由余弦定理有，，又B为内角，故，又，故．解析：求得，设，在中，运用余弦定理可得AD，再由三角形面积公式可得答案；在中，由余弦定理求得cos B，进而求得sin B，在中由内角和为，可得，利用正弦的差角公式展开即可得解．本题考查了正弦定理，余弦定理以及面积公式在解三角形中的运用，较为基础，解题时应细心，避免计算失误，属于基础题．18.答案：解：证明：取BC的中点O，连接OA，，底面ABC是边长为2的正三角形，，且，，，又，，，又，平面，又OA在平面ABC内，面面；如图所示，以点O为坐标原点，OC，OA，OH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可知，则，，设平面的一个法向量为，则，可取；易知平面的一个法向量为，，即二面角的余弦值为．解析：由正三角形的性质可得，利用勾股定理可得，进而可得平面，由此得证；建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查推理论证以及运算求解能力，属于基础题．19.答案：解：设各组的频率为2，3，4，5，，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18；所以视力在以下的频数为人，故全年级视力在以下的人数约为人；由列联表中数据，计算，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系；依题意9人中年级名次在名和名分别有3人和6人，则X可取值为0、1、2、3；且，，，；所以X的分布列为X0123PX的数学期望为．解析：由频率分布直方图求出对应的频数和频率；由列联表中数据计算，对照临界值得出结论；由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，求出数学期望值．本题考查了频率分布直方图和独立性检验以及离散型随机变量的分布列问题，是综合题．20.答案：解：焦距为4，，，点关于直线的对称点E恰好在椭圆上，由椭圆的对称性可知，当时，点关于直线：的对称点E坐标为，恰在椭圆上，，，椭圆的标准方程为：；由题意可知，直线的斜率为，设直线的方程为：，，，联立方程，消去y得：，，即，，且，，由Ⅰ可知，直线的方程为：，代入椭圆方程可得，，，当直线过点B时，，，同理可得，当直线过点A时，，直线与线段AB交于点P，，满足，，，，，，四边形ACBD面积的取值范围为：．解析：由椭圆的对称性可知，当时，点关于直线：的对称点E坐标为，恰在椭圆上，所以，再结合，即可求出椭圆的标准方程；由直线与椭圆方程联立可得点A，B的坐标，进而得到，设直线的方程为：，由直线与椭圆方程联立结合弦长公式可得，利用可表示四边形面积，利用直线与线段AB相交可得m的范围，代入所得面积即可求解．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：当时，，则在上是减函数，且，当时，恒成立，在上是增函数，无极值；当时，存在使得，且，，单增，单减，故为唯一极大值点，符合题意；综上，实数a的取值范围为；依题意，，，，可知，时，，无零点；故只需研究，，时，，可知此时单减，又，故存在唯一的，使得；当时，是减函数，且，则存在，则在是增函数，在是减函数，并且，故存在，，存在，且在是减函数，在是增函数，在是减函数，又因为，故存在，使得，存在，使得；综上所述，有3个零点．解析：求出，再对函数求导，可得，利用零点存在性定理分两种情况讨论即可；分析可知，只需研究时的零点个数，再分，两种情形讨论即可．本题考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查分类讨论思想以及逻辑推理能力，属于较难题目．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，曲线C的直角坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，即曲线C的极坐标方程为；由点M的极坐标为，直角坐标为，设直线l的参数方程是为参数，曲线C的直角坐标方程是，，联立，得，，且，，则，或，，的弦长．解析：本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意极坐标方程与直角坐标方程的互化公式的合理运用，属于中档题．由曲线C的参数方程先求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；先求出直线l的参数方程，与曲线C的直角坐标方程联立，得，由此能求出AB的弦长．23.答案：解：当时，，可化为，又的最大值必为之一，，即，即，又，故实数a的取值范围为；证明：由可知，，则，得，，，，，，，即．解析：依题意，取绝对值得，再由恒成立可得，解出即可；由可得，再利用基本不等式即可得证．本题考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式的运用，考查运算求解能力以及推理论证能力，属于中档题．。
重庆市2019-2020学年高三数学月考试题理(含解析)
高三数学月考试题理一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知，，则=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得集合A,B，然后结合集合的运算法则求解集合运算即可.【详解】求解函数的定义域可得：，即求解函数的值域可得，则，据此可得=.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若且，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合不等式的性质逐一考查所给的不等式是否正确即可.【详解】逐一考查所给的选项：当时，，选项A错误；当时，，选项B错误，当时，，且，选项C错误；由不等式的性质可知，，选项D正确.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知随机变量服从正态分布,若,则=( ).A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合正态分布的对称性求解的值即可.【详解】由正态分布的性质可知正态分布的对称轴为，则，故.本题选择C选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.4.已知且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解的值即可.【详解】由题意可得：，由于，故，据此可知.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.下列函数中是奇函数且在区间上单调的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合函数的解析式逐一考查函数的性质即可.【详解】逐一考查所给函数的性质：A.，函数为奇函数且时，，当时，，当时，，据此可知函数在区间不具有单调性，不合题意；B.，函数为奇函数，由于函数为周期函数，故函数在上不具有单调性；C.，易知函数的定义域为，且，故函数为奇函数，由于函数在上为增函数，由复合函数的单调性可知函数在区间上单调递增，满足题意；D.，该函数为偶函数，不合题意；本题选择C选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.下列说法中错误的是（）A. 在分层抽样中也可能用到简单随机抽样与系统抽样；B. 从茎叶图中可以看到原始数据，没有任何信息损失；C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1;D. 若随机变量，，，则【答案】C【解析】【分析】逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：A. 在分层抽样中对每层的抽样可能用到简单随机抽样与系统抽样,原命题正确；B. 从茎叶图中可以看到所有的原始数据，没有任何信息损失,原命题正确；C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1,原命题错误;D. 若随机变量，，，则,据此可得:，原命题正确．本题选择C选项.【点睛】本题主要考查分层抽样的方法，茎叶图的理解，随机变量的相关性，二项分布的均值方差公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知直线与圆：相交于两点，若三角形为等腰直角三角形，则（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】由题意结合几何性质首先确定圆心到直线的距离，据此得到关于m的方程，解方程即可求得实数m的值.【详解】圆C的方程即：，则圆心坐标为，圆的半径为，易知等腰直角三角形ABC的直角顶点为点C，故圆心到直线的距离为，结合点到直线距离公式有：，解得：或.本题选择B选项.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．8.已知二项式的展开式中的系数是，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先确定展开式的通项公式，然后结合题意得到关于a的方程，求解方程即可求得最终结果.【详解】展开式的通项公式为：，令可得，令可得，结合题意有：，据此可得：.本题选择D选项.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．9.从区间中任取一个值，则函数在上是增函数的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先由函数的单调性求得实数a的取值范围，然后结合几何概型计算公式求解概率值即可. 【详解】由函数的解析式：为增函数，则，为增函数，则，且当时，有：，即，解得，综上可得，若函数在上是增函数，则，由题意结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，几何概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.数列前项和为，，，，若，则＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先由递推关系确定数列的特征，然后结合数列的通项公式求解实数k的值即可.【详解】由题意有：当时，，两式作差可得：，由于，故，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为3的等差数列，，据此可得，则数列的通项公式为：，，，加2后能被3整除，则.本题选择C选项.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11.已知是双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为,有下列四个命题中真命题个数为（）个．①双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为；②若，则的最大值为；③的内切圆的圆心横坐标为；④若直线的斜率为，则．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合双曲线的性质和定义逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：由双曲线焦点弦公式：可得：双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为.说法①错误.对于②,若,则由双曲线的定义可得.，,故有,即离心率的最大值为，故②不正确.对于③,设△PF1F2的内切圆与PF1和PF2的切点分别为M，N，与x轴的切点为K，由双曲线的定义及圆的切线性质可得|MF1|−|NF2|=2a=|KF1|−|KF2|，又|KF1|+|KF2|=2c,∴|KF1|=a+c,故K为双曲线的右顶点,又△PF1F2的内切圆的圆心在切点K的正上方,故△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a，故③正确.对于④若直线PF1的斜率为k,则由题意可得，∴，故④正确.综上可得，四个命题中真命题个数为2个.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其应用，双曲线的焦点弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：依题意：，，因为两曲线，有公共点，设为，所以，因为，所以，因此构造函数，由，当时，即单调递增；当时，即单调递减，所以即为实数的最大值.考点：函数的导数与最值.二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知正实数是的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为_______【答案】【解析】【分析】由题意首先求得m的值，然后求解圆锥曲线的离心率即可.【详解】由题意可得：，则圆锥曲线方程为：，则.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．14.若实数满足约束条件则的最大值是_______.【答案】8【解析】【分析】由题意首先确定可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15.袋中有个红球，个黑球和个白球，从中任取个球，则其中三种颜色的球都有的概率是______________．【答案】【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式求解满足题意的概率值即可.【详解】由题意可得，所求概率为：.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.16.已知平面向量，，满足，，，且，则（）的取值范围为_________________【答案】【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件和向量绝对值不等式的性质求解其取值范围即可.【详解】令，则，设向量的起点均为坐标原点，终点分别为，易知三点共线，如图所示，不妨设，易知，，由向量的绝对值不等式的性质可得：，注意到，且，故，即（）的取值范围为.【点睛】本题主要考查向量中三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，向量不等式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题.（共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)在中，A，B，C的对边分别为a,b,c,，求的值．【答案】(1) 函数的单减区间为;(2) .【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式为，结合三角函数的性质可得，单调减区间为(2)由题意结合余弦定理得到关于边长的方程组，求解方程组可得.试题解析：(1)周期为因为所以所以函数的单调减区间为（2）因为，所以所以，(1)又因为，所以 (2)由（1），（2）可得18.已知数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）求证：【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)首先将递推关系式整理变形，然后结合等比数列通项公式确定数列的通项公式即可；(2)由题意结合(1)中求得的通项公式放缩证明题中的不等式即可.【详解】（1）由已知（2）左边=不等式成立【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．19.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.（1）求的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替），其中【答案】（1）（2）有的把握（3）395【解析】分析：（1）根据已知列关于m,n的方程组解之即得.(2)先完成2×2列联表，再计算的值判断.(3)先求调查对象的周平均消费，再求b的值.详解：（1）由频率分布直方图可知，，由中间三组的人数成等差数列可知，可解得（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.所以列联表为所以有的把握认为消费金额与性别有关.（3）调查对象的周平均消费为，由题意，∴.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验和回归方程，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.20.已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上滑动，若面积的最大值是且有且仅有2个不同的点使得为直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆交于点,与轴交于点。
【全国百强校】重庆一中2019届高三下学期5月月考数学(理科)试题(解析版)
2019年重庆一中高2019级高三下期5月月考数学（理科）测试试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位），则z =（ ）A. 0B. 12C. 1D. 23 【答案】C【解析】【分析】先求出复数z,再求|z|得解. 【详解】由题得21(1)2,||11(1)(1)2i i i z i z i i i ++====∴=--+ 故选：C【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合{|A x y ==，2{|230,}B x x x x Z =--<∈，则()R C A B =（ ） A. {1}B. {2}C. }2,1{D. }3,2,1{【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B ，再求()R C A B 得解.【详解】由题得A={x|x ＜1},B={x|-1＜x ＜3，x ∈Z}={0,1,2},所以{|1}R C A x x =≥，所以()={1,2}R C A B . 故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.若4log 3=a ，0.40.6b =，2log 21=c ，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a >>B. a c b >>C. a c b >>D. b a c >>【答案】A【解析】【分析】先求出a,b,c 的范围，再比较大小即得解.【详解】由题得33log 4log 31,a =>= 0.400.60.61,0b b =<=>，2log 21=c 12log 10<=，所以a>b>c.故选：A【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的单调性的应用，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.下列说法正确的是（ ）A. 设m 是实数，若方程22112x y m m+=--表示双曲线，则2m >. B. “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件.C. 命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++>”.D. 命题“若0x 为()y f x =的极值点，则0'()0f x =”的逆命题是真命题.【答案】B【解析】【分析】逐一分析每一个命题的真假得解.【详解】A. 设m 是实数，若方程22112x y m m+=--表示双曲线，则(m-1)(2-m)＜0，所以m ＞2或m ＜1,所以该命题是假命题；B. “p q ∧为真命题”则p 真且q 真，“p q ∨为真命题”则p,q 中至少有个命题为真命题，所以“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件.所以该命题是真命题；C. 命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，0322≥++x x ”.所以该命题是假命题；D. 命题“若0x 为()y f x =的极值点，则0'()0f x =”的逆命题是“0'()0f x =则0x 为()y f x =的极值点”，如函数3()f x x =，(0)0f '=，但是00=x 不是函数的极值点.所以该命题是假命题.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和复合命题的真假，考查充要条件和导数，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A. 5i ≤B. 6≤iC. 7i ≤D. 8i ≤【答案】B【解析】分析】 根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件.【详解】执行框图如下：初始值：0,1S i ==， 第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6≤i .故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.6.在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论。
2020年重庆市第一中学高三下学期3月月考理科数学试题及答案
2020届重庆市第一中学高三下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合()(){}|2340A x Z x x =∈+-<，{|B x y ==，则A B =I （ ） A ．(]0,e B ．{}0,eC ．{}1,2D ．()1,2【答案】C【解析】()(){}2340A x Z x x =∈+-<{}3={|4,}1,0,1,2,32x x x -<<∈=-Z ，{B x y =={}{|1ln 0}(0,]1,2x x e A B =-≥=∴⋂= ，选C.2．已知复数z 满足11212ii z+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i - 【答案】C 【解析】112i 11420i34i 12i 5z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C. 3．下列说法正确的是（ ） A ．a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得2230x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x +->”D ．命题:p “x R ∀∈，sin cos x x +≤，则p ⌝是真命题【答案】A【解析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】 A. 由11a <得1a >或0a <,所以a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件，所以该选项命题正确；B. “p q ∧为真命题”即“p 和q 都是真命题”，“p q ∨为真命题”即“,p q 中至少有一个真命题”， 所以 “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，所以该选项命题是假命题；C. 命题“x R ∃∈，使得2230x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x +-≥”，所以该选项命题是假命题；D. sin cos )4x x x π+=+≤ 所以命题:p “x R ∀∈，sin cos x x +≤是真命题，则p ⌝是假命题，所以该选项命题是假命题. 故选：A 【点睛】本题主要考查充要条件的判断和复合命题的真假的判断，考查特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ） A ．6斤 B ．7斤C ．8斤D ．9斤【答案】D【解析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可. 【详解】原问题等价于等差数列中，已知154,2a a ==，求234a a a ++的值. 由等差数列的性质可知：15241536,32a a a a a a a ++=+===， 则2349a a a ++=，即中间三尺共重9斤. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．设231sin ,54a b c π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．a <c <bB ．c ＜a ＜bC ．b <a <cD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】由三角函数的单调性可得：112a <<，由对数函数的单调性可得：1b >，由指数函数的单调性可得：102c <<，即可得解. 【详解】 解：因为11sinsin562ππ>>=，即112a <<，1>=，即1b>，2132111442⎛⎫⎛⎫<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12c<<，即c a b<<，故选B.【点睛】本题考查了利用三角函数，对数函数，指数函数的单调性比较值的大小，属基础题. 6．过抛物线()220y px p=>的焦点F的直线交抛物线于,A B两点，若线段AB中点的横坐标为3，且52AB p=，则p=（）A．8B．2C．6D．4【答案】D【解析】设,A B的坐标分别为()11,x y，()22,x y，由题得12=6x x+，化简562AB p p==+即得解.【详解】设,A B的坐标分别为()11,x y，()22,x y，因为线段AB中点的横坐标为3，所以12123,62x xx x+=∴+=，由题得1252AB p x x p==++，由此解得4p=.故选：D.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．一架飞机有若干引擎，在飞行中每个引擎正常运行的概率为p，且相互独立.已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可安全飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可安全飞行.若已知4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是（）A．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B．1,13⎛⎫⎪⎝⎭C．20,3⎛⎫⎪⎝⎭D．10,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题得()33442441C p p C p p-+>，解不等式即得解.【详解】设事件A 为“4引擎飞机安全飞行”，则()()3344441P A C P P C P =-+.设事件B 为“2引擎飞机成功飞行”，则()2P B p =，依题意()()P A P B >，即()33442441C p p C p p -+>，所以113p <<， 故选：B . 【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率的计算，考查互斥事件的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．下列关于函数()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（ ）①函数()f x 的图像关于直线83x π=对称 ②将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ③函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 ④若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】利用正弦型函数的图象和性质逐一分析每一个命题得解. 【详解】 令()1262x k k Z πππ+=+∈，解得()223x k k Z ππ=+∈，当1k =时，则83x π=，故①正确；将函数()f x 的图像向右平移3π个单位得112sin 2sin 2362y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故②错误； 令()1222262k x k k Z πππππ-+<+<+∈，得()424433k x k k Z ππππ-+<<+∈，故③错误；若()f x a =，12sin 26x a π⎛⎫+=⎪⎝⎭，111cos sin sin 23223262a x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故④正确.故选：B . 【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．已知{}1,2,3,...,40S =，A S ⊆且A 中有三个元素，若A 中的元素可构成等差数列，则这样的集合A 共有（ ）个 A ．460 B ．760 C ．380 D ．190【答案】C【解析】设A 中构成等差数列的元素为,,a b c ，则有2b a c =+，可得,a c 应该同奇同偶，求出,a c 同为奇数和偶数的可能的情况都为220C ，即得解.【详解】设A 中构成等差数列的元素为,,a b c ，则有2b a c =+， 由此可得,a c 应该同奇同偶，而当,a c 同奇同偶时，则必存在中间项b ，所以问题转变为只需在140-中寻找同奇同偶数的情况.,a c 同为奇数的可能的情况为220C ，同为偶数的可能的情况为220C ， 所以一共有2202380C ⋅=种，故选：C . 【点睛】本题主要考查等差数列和排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知三棱锥—P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16πC ．16π3D ．32π3【答案】D【解析】因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以外接圆的半径是11232r ==接球的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则163,32ABC S BD ∆=⨯==116336ABC V S h h ∆==⨯=最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即22(3)3R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是343233R ππ=，应选答案D ．11．若曲线()21(11)ln(1)f x e x e a x =-<<-+和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．2(,)e e B ．2(,)2e eC ．2(1,)eD ．[1,e)【答案】B【解析】()2'32(0)g x x x x =-+< ,由()'0g x < 得()g x 在(),0-∞ 上单调递减，所以()()00g x g >= ，设()001,ln 1A x a x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，因为斜边AB 的中点在y 轴上，所以()32000,B x x x -+ ，又因为OA OB ⊥ ，所以()32000001•1ln 1x x x ax x +=--+ ，可得()001,ln 1x a x +=+ 设()()21(11),ln 1x h x e x e x +=-<<-+ 则()()()()()()222ln 11'0,112ln 1x e h x h e e h x h e x +-=>-=<<-=⎡⎤+⎣⎦，实数a 的取值范围是2,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率、利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x ='；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x ='-=-求解.12．在平面直角坐标系xOy 中，A 和B 是圆()22:11C x y -+=上的两点，且2AB =，点()2,1P ，则2PA PB -u u u r u u u r的取值范围是（ ） A ．52,52⎡⎤-+⎣⎦ B ．51,51⎡⎤--+⎣⎦ C ．625,625⎡⎤-+⎣⎦D ．7210,7210⎡⎤-+⎣⎦【答案】A【解析】取AB 中点为M ，延长MA 至Q ，使得323MQ MA ==，求出2PA PB PQ -=u u u r u u u r u u u r，根据已知求出Q 的轨迹是以C 为圆心，5为半径的圆，再利用数形结合求出2PA PB -u u u r u u u r的取值范围.【详解】2AB =AB 中点为M ，22CM =，且CM AB ⊥，延长MA 至Q ，使得32MQ MA ==， 所以23PA PB PA PA PB PM MA BA PM MA PM MQ PQ -=+-=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r，因为QC ==所以Q 的轨迹是以C因为PC ==所以PQ ∈u u u r.故选：A 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和轨迹问题，考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．双曲线22163-=x y 的渐近线与圆222(3)(0)x y r r -+=>相切，则r =_____【解析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r ． 【详解】解：双曲线的渐近线方程为y =，即0x ±=，圆心(3,0)到直线的距离d ==r ∴=【点睛】本题考查双曲线的性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式．解答的关键是利用圆心到切线的距离等于半径来判断直线与圆的位置关系．14．某个四棱柱被一个平面所截，得到的几何的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______.【答案】8【解析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积得解.【详解】由三视图可知，几何体原图是ABCD-EFGH.由于长方体被平面所截，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，∴所求体积为长方体体积的一半.从图上可得长方体的底面为正方形，且边长为2，长方体的高为314+=，∴182V V==方体长.故答案为：8【点睛】本题主要三视图还原几何体，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．61(1)(0)x ax ax⎛⎫++>⎪⎝⎭的展开式中2x的系数为240，则=⎰__________．【答案】π【解析】由条件知()611(0)x ax a x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为：246240C a =解得 2.a=0==14.4ππ⨯⨯=故答案为π．16．已知数列{}n a 满足：11a =，()*12nn n a a n N a +=∈+.设()()*1121n n b n n N a λ+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭，215b λλ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是______. 【答案】312λ-<<【解析】先求出112n na +=，()122n nb n λ+=-⋅，根据21b b >得12λ-<<，根据21n n b b ++>得32λ<，综合即得解. 【详解】∵数列{}n a 满足：11a =，()*12nn n a a n N a +=∈+. ∴1121n n a a +=+，化为11112(1)n na a ++=+， ∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为1112a +=，公比为2，∴112n na +=， ∴()()112122nn n b n n a λλ+⎛⎫=-+=-⋅ ⎪⎝⎭，∵215b λλ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，∴21b b >，∴()21225λλλ-⋅>-，解得12λ-<<；再由21n n b b ++>，可得12n λ<+，对于任意的*n N ∈恒成立，∴32λ<.综上得312λ-<<. 故答案为：312λ-<< 【点睛】本题主要考查数列的通项的求法和数列的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，ADC 60∠=o ，27AB =，4BD =.（1）求ABD ∆的面积.（2）若120BAC ∠=o ，求sin C 的值.【答案】（1）23（221【解析】（1）先由余弦定理求得2AD =，再求出ABD ∆的面积；（2）利用正弦定理求出21sin 14B =，再根据()sin sin 60C B =-o求解. 【详解】（1）由题意，120BDA ∠=o ，在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD =+-⋅⋅o ， 即228164AD AD =++，所以2AD =或6AD =-（舍）， ∴ABD ∆的面积113sin 422322S DB DA ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯=（2）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD AB B BDA =∠，代入得21sin B =， 由B 为锐角，故57cos 14B =， 所以()21sin sin 60sin 60cos cos 60sin 7C B B B =-=-=o o o .【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数求值，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，正三角形ABC 的边长为2，13BB =，110AB =，160CBB ∠=o .（1）求证：面ABC ⊥面11BCC B ； （2）求二面角1C BB A --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）取BC 的中点O ，连接OA 和1OB ，先证明OA ⊥平面11BCC B ，面ABC ⊥面11BCC B 即得证；（2）如图所示，以点O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OH 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角1C BB A --的余弦值. 【详解】（1）取BC 的中点O ，连接OA 和1OB ， ∵底面ABC 是边长为2的正三角形，∴OA BC ⊥，且OA =∵13BB =，160CBB ∠=o ，1OB =，222113213cos 607OB =+-⨯⨯⨯=o，∴1OB ，又∵1AB =∴2221110OA OB AB +==，∴1OA OB ⊥.又∵110,OB BC OB BC =⊂I ，平面11BCC B ， ∴OA ⊥平面11BCC B ，又∵OA ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面11BCC B .（2）如图所示，以点O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OH 为z 轴建立空间直角坐标系，可知2BH =，则()A ，()1,0,0B -，()1,0,0C，(H，112B ⎛⎝⎭，∴11,2AB ⎛= ⎝⎭u u u r，()1,AB =-u u ur，()1,AC =u u u r ，设()1111,,n x y z =u r 为平面1ABB 的法向量，则1110,n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v ，即1111101022x x z ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，令11y =，得()1n =u r ； 设()2222,,n x y z =u u r 为平面1CBB 的法向量，则()20,1,0n =u u r；121212cos ,5n n n n n n ⋅===⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，设二面角1C BB A --的平面角为θ，∴cos θ=【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.19．某学校研究性学习小组对该校高三学生的视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如下直方图:年级名次/是否近视1-50951-1000近视4132不近视918（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如上述表格中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）分布列见解析，．【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用可得第一、二组的频率，由已知条件可得第三、六组的频率，进而可得视力在5.0以下的频率，再利用可得全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）先算出的值，再与表中的数据比较即可得在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（Ⅲ）先分析确定随机变量的所有可能取值，再计算各个取值的概率即可得的分布列，进而利用数学期望公式即可得数学期望．试题解析：（Ⅰ）设各组的频率为，依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故，，1分所以由得，2分所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83，3分故全年级视力在5.0以下的人数约为4分（Ⅱ）6分因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. 7分（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人，8分可取0,1,2,3，，，X的分布列为X 0 1 2 3PX的数学期望12分【考点】1、频率分布直方图；2、独立性检验；3、离散型随机变量的分布列与数学期望．20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:bl y x c=与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 恰好在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）与直线1l 垂直的直线2l 与线段AB （不包括端点）相交，且也椭圆相交C 、D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.【答案】（1）22184x y +=；（2）3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】（1）由椭圆的对称性可知，当b c =时，点2F 关于直线1:l y x =的对称点E 坐标为(0,2)，恰在椭圆上，所以2b c ==，再结合222a b c =+，即可求出椭圆的标准方程；（2）由直线1l 与椭圆方程联立可得点A ，B 的坐标，进而得到||AB ，设直线2l 的方程为：y x m =-+，由直线2l 与椭圆方程联立结合弦长公式可得||CD ，利用AB CD ⊥可表示四边形面积，利用直线2l 与线段AB 相交可得m 的范围，代入所得面积即可求解． 【详解】 （1）Q 焦距为4，2c ∴=，2(2,0)F ∴， Q 点2F 关于直线1:bl y x c=的对称点E 恰好在椭圆上， ∴由椭圆的对称性可知，当b c =时，点2(2,0)F 关于直线1:l y x =的对称点E 坐标为(0,2)，恰在椭圆上，2b c ∴==，2228a b c =+=，∴椭圆的标准方程为：22184x y +=；（2）由题意可知，直线2l 的斜率为1-，设直线2l 的方程为：y x m =-+，1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，联立方程22184y x mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2234280x mx m -+-=，∴△221612(28)0m m =-->，即212m <，∴2323m -<<且1243m x x +=，212283m x x -=，由（1）可知，直线1l 的方程为：y x =，代入椭圆方程可得26(A ，26，26(B ，26， 83||AB ∴， 当直线2l 过点B 2626m =+，46m ∴=， 同理可得，当直线2l 过点A 时，46m =，Q 直线2l 与线段AB 交于点P ，(m ∴∈，满足△0>，||CD ∴==AB CD ⊥Q ，12ABCD S AB CD ∴=⨯⨯=四边形(m ∈Q ，∴32(9，32]3，∴四边形ACBD 面积的取值范围为：3232(,]93． 【点睛】本题主要考查了椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．21．已知函数()()sin ln f x x a x b =-+，()g x 是()f x 的导函数. （1）若0a >，当1b =时，函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的极大值，求a 的取值范围；（2）若1a =，1,2b e π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，试研究()f x 的零点个数. 【答案】（1）20,12π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()f x 有3个零点 【解析】（1）先求导得()()2sin 1ag x x x '=-++，再分212a π⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭和212a π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭两种情况讨论求得a 的取值范围；（2）分析可知，只需研究(),b π-时零点的个数情况，再分(,),(,)22x b x πππ∈-∈两种情形讨论即可.【详解】（1）当1b =时，()()sin ln 1f x x a x =--，()()cos 1ag x f x x x '==-+，()0a > ()()2sin 1ag x x x '=-++在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，且()00g a '=>，21212a g ππ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，①，当02g π⎛⎫'≥ ⎪⎝⎭，212a π⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭时，()0g x '≥恒成立，()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，无极值；②，当02g π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，212a π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，()00,x x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 单调递减，0x 为()g x 唯一的极大值点，所以20,12a π⎛⎫⎛⎫∈+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）1a =，()()sin ln f x x x b =-+，(),x b ∈-+∞，1,2b e π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，可知， （i ）(),x π∈+∞时，()0f x <，无零点；所以只需研究(),b π-，()1cos f x x x b'=-+， （ii ）,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1cos 0f x x x b '=-<+，可知()f x 单调递减，1ln 1ln 02222f b e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+>-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()0f π<，∃唯一的,2s ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f s =；（iii ）当,2x b π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()21sin f x x x b ''=-++是减函数，且()21000f b ''=+>，211022f b ππ⎛⎫''=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则10,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()10f x ''=，()f x '在()1,b x -是增函数，1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，并且()lim 0x b f x +→-'<，()1010f b'=->，1022f b ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭+， 所以()2,0x b ∃∈-，()20f x '=；30,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()30f x '=，且知()f x 在()2,b x -单调递减，在()23,x x 单调递增，在3,2x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又因为()lim 0x b f x +→->，()00ln 0f b =-<，02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以(),0m b ∃∈-，()0f m =，0,2n π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()0f n =，综上所述，由（i ）（ii ）（iii ）可知，()f x 有3个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．()1写出曲线C 的极坐标方程； ()2设点M 的极坐标为4π⎫⎪⎭，过点M 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若2MA MB =，求AB 的弦长．【答案】（1）4sin ρθ=；（2）3【解析】()1将参数方程转化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()2设直线l 的参数方程是11x t cos y t sin θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(θ为参数)，与圆的方程联立可得()2220t cos sin t θθ+--=，结合题意和直线参数的几何意义可得弦长123AB t t =-=．【详解】()1Q 曲线C 的参数方程为222x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)．∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=， ∴曲线C 的极坐标方程为240sin ρρθ-=，即曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．()2设直线l 的参数方程是11x t cos y t sin θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(θ为参数)①， 曲线C 的直角坐标方程是2240x y y +-=，②，①②联立，得()2220t cos sin t θθ+--=，122t t ∴=-，且2MA NB =，122t t ∴=-，则12t =，21t =-或12t =-，21t =，AB ∴的弦长123AB t t =-=．【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的转化方法，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．已知1a >-，函数()221f x x a x =-++，()243g x x ax =+- （1）当1,22a x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. （2）在（1）中a 的最大值为m ，若bc ca ab m a b c++=，证明：a b c m ++≤ 【答案】（1）(]1,2-；（2）见解析 【解析】（1）()()f x g x ≥可化为()1a g x +≥，即11212a g a a g ⎧⎛⎫+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解不等式组即得解；（2）分析得2222222b c a c b a abc ++=，再利用重要不等式分析得证.【详解】（1）当1,22a x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()()2211f x a x x a =-++=+， 所以()()f x g x ≥可化为()1a g x +≥，又()243g x x ax =+-的最大值必为12g ⎛⎫- ⎪⎝⎭、2a g ⎛⎫ ⎪⎝⎭之一，∴11212a g a a g ⎧⎛⎫+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即2423a a ≥-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩即423a -≤≤. 又1a >-，所以12a -<≤.所以a 取值范围为(]1,2-.（2）由（1）可知2m =，所以2bc ca ab a b c++=，得2222222b c a c b a abc ++=， ∴0abc >，∵222222b c a c abc +≥，222222a c a b a bc +≥，222222b c a b acb +≥，∴()222222b c a c b a abc a b c ++≥++， 即()2abc abc a b c ≥++，即2a b c ++≤.即得证.【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2020年重庆市第一中学高三下学期3月月考理科数学试题及答案
【答案】 A
【解析】 对每一个选项逐一分析判断得解 .
【详解】
1
1
A. 由 1 得 a 1或 a 0 ,所以 a R ， “ 1 ”是“a 1”的必要不充分条件，所以该
a
a
选项命题正确；
B. “p q 为真命题 ”即 “p 和 q都是真命题 ”，“p q 为真命题 ”即 “p, q 中至少有一个真
命题 ”， 所以 “p q 为真命题 ”是 “p q 为真命题 ”的充分不必要条件，所以该选项命
尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三
尺共重多少斤？ ”（ ）
A．6 斤 【答案】 D
B． 7 斤
C．8 斤
D．9 斤
【解析】 将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可
.
【详解】
原问题等价于等差数列中，已知 a1 4, a5 2 ，求 a2 a3 a4 的值 . 由等差数列的性质可知： a2 a4 a1 a5 6, a3 a1 a5 3 ，
3
3
11．若曲线 f x
1
(e 1 x e2 1) 和 g x
a ln( x 1)
x3 x2( x 0) 上分别存在
点 A, B ，使得 AOB 是以原点 O 为直角顶点的直角三角形，且斜边
则实数 a 的取值范围是 （ ）
A ． (e, e2 )
e2 B． (e, )
2
C． (1,e2 )
【答案】 B
1,0,1,2,3 ，
B x y 1 ln x { x |1 ln x 0} (0, e] A B 1,2 ，选 C.
2． 已知复数 z 满足 11 2i 1 2i （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为（
重庆市第一中学2019届高三数学12月月考试题理(含解析)
1、填写信息、稳定情绪试卷一发下来，立即忙于答题是不科学的，应先填写信息。
如本答题卡上涂清“试卷类型”写清姓名和准考证号等，这样做不但是考试的要求，更是一剂稳定情绪的良药。
2、总览全卷，区别难易。
打开试卷后，看看哪些是基础题，哪些是中档题，哪些是难题或压轴题，按先易后难的原则，确定解题顺序，逐题进行解答。
力争做到“巧做低档，题全做对；稳做中档题，一分不浪费，尽力冲击高档题，做错也无悔。
”3、认真审题灵活作答审题要做到：一不漏掉题，二不看错题，三要审准题，四要看全题目的条件和结论。
要遵循“审题要慢，做题要快”的原则。
坚决避免因审题不清或审题时走马观花，粗心大意造成失分现象。
如《父辈》看成《父亲》要求介绍漫画，应该是说明文，写成了记叙文。
4、过程清晰，稳中求快，要注意“三要”①要书写清晰，卷面整洁。
特别是数学、理综解题过程要力求完整。
我们提的口号是“争取多写一步”。
文科作文和文综要注意卷面整洁。
②一次成功。
要提高第一次做题的成功率，不要认为反正还得检查而粗枝大叶。
即使查出错误再去纠正，在时间上也是不合算的。
③科学地使用草稿纸。
利用草稿纸也有学问，利用好了能帮助思考，节省时间，储存记忆；反之就要扰乱思维，浪费时间。
使用的方法不应该是先正中间写一写，然后边缘，拐解，最后填空，结果自己都很难看清。
而应该是：一卷面上不写解答过程的题，把过程在草稿纸上演算，标上题号以便检查时用；二是卷面要求写解答过程的题，如果思路很清楚就直接写在卷面上，不必在草稿纸上写一遍又抄一遍，要在草稿纸上标出记号。
四折叠草稿纸也是一种方法。
5、注重策略，减少失误。
①答题顺序策略。
做题是按顺序做还是先易后难做，科学的方法是按顺序做与先易后难相结合。
先把自己有把握的题一次性做好，再逐一攻克难度较大的题。
如文综卷，按顺序仍然是先做容易基础题，先易后难，但由于地理一般给一个空间概念，历史给一个时间线索，政治给予认识，评价等。
如果有的同学看了材料分析后做政治评价比较容易，也可以先做政治题。
【2020年数学高考】2020年重庆一中2020级高三下期三月月考数学理科.doc
2020年重庆一中2020级高三下期三月月考数学试题（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合{}2,A y y x x R ==∈，{}2(,),B x y y x x R ==∈，以下正确的是（ ）A ．AB =B ．AB R =C ．A B φ=D ．2B ∈2．二项式8(1)x +的展开式的各项系数之和为（ ）A ．256B ．257C ．254D ．2553．复数134ii +-的模是（ ） ：A. 25B.25C.10D.2254．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．129B ．126C ．128D ．256 5．已知一个四棱柱的侧棱垂直于底面，条件p ：该四棱柱是正四棱柱，条件q ：该棱柱底面是菱形，那么p 是q 的（ ）条件A ．既不充分也不必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．充要 6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品A 过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：x~3 4 5 6yt4，根据上表的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么t 的值为（ ） A ．3B ．C ．D ．7．平面上三个单位向量a ，b ，c 两两夹角都是23π，则a b -与a c +的夹角是（ ） A.3π B.23πC.12πD. 6π8．2020年东京夏季奥运会将设置4100⨯米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场.现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（ ）种排兵布阵的方式. 9．已知直线l ：240x y -+=，圆C ：22(1)(5)80x y -++=，那么圆C 上到直线l 的距离为5的点一共有（ ）个 ：B ．2C ．3D ．410．已知12sin2a =，13sin 3b =，13cos 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<11．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，曲线cos()y b x b π=经过双曲线的焦点，则双曲线的离心率为（ ）A ．*212(2,)1k k k N k +≥∈- B ．*2(2,)1k k N k ≥∈- C ．*212(2,)1()12k k k N k +≥∈+-D ．*2(2,)1()12k k N k ≥∈+-12．不等式22420x x x x e e x ae ae ax -----++≥对于任意正实数x 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．152D ．172…二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量13X ~B(6)，，且随机变量31Y X =+，则Y 的方差=DY ．14．某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的表面积为 ．15．在不等式组1270x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩表示的平面区域内任取一点(,)m n ，则满足230m n ->的概率是 ．16．点O 是锐角三角形ABC 的外心，6AB =,2AC =，则()AO AB AC += ． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17——21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比1q >，且5a 是14a 和37a 的等差中项，n S 是数列{}n a 的前n 项和．@（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足22(S 2)log n n n b a =++，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，AD ∥BC ，090BAD ∠=,AC BD ⊥，1BC =，13AD AA ==．（Ⅰ）证明：AC ⊥平面1BDB ；（Ⅱ）求平面1ACD 与平面11ABB A 所成的锐二面角的余弦值．-19．（本小题满分12分）北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市20万名高中女生的身高（单位：cm ）服从正态分布2(1684)N ，．现从某高中女生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生的身高全部在160cm 和184cm 之间，现将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184)，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）求这50名女生身高不低于172cm 的人数；（Ⅱ）在这50名女生身高不低于172cm 的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前260名的人数记为X ，求X 的数学期望．参考数据：若(,)X N μσ~,则()0.6826P X μσμσ-<≤+=,(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=,?(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=．20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点2(1)M ，,它的一个焦点恰好与抛物线24y x =的焦点重合．椭圆E 的上顶点为A ，过点(0,3)N 的直线交椭圆E 于B 、C 两点，连接AB ，AC ，记直线AB ，AC 的斜率分别为1k 、2k ． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程； （Ⅱ）求1k 2k 的值．￥21．（本小题满分12分）已知函数()1,x f x e x x R =--∈.（Ⅰ）求函数()f x 的极值； （Ⅱ）求证：211(1)(1)33++…1(1)23n +<，*n N ∈； （Ⅲ）1()(()1)2(0)a F x a f x x a x+=+-+->，若对任意的(0,)x ∈+∞，恒有()0F x ≥成立，求a 的取值范围.-（二）选考题：共10分．请考生在第22、23三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．在答题卡上一定要把自己所选做的题号对应的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4——4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为，点A 到直线l ：sin()(0)4m m πρθ-=>的距离为3．（Ⅰ）求m 的值以及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）椭圆C ：2212y x +=上的一个动点为M ，求M 到直线l 的距离的最大值．,23．（本小题满分10分）选修4——5：不等式选讲函数()12f x x x =-++的最小值为m ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）正实数,,a b c 满足3a b c ++=，求证：11131112a b c ++≥+++．~高2020级高三下三月月考理科数学答案一、选择题（每题5分，共60分） CABDB ADACB CB二、填空题（每题5分，共20分）13. 14. 15. 16.三、解答题（共70分） 17.（12分） 《解：（1）设，根据条件有，………………….3分又………………….5分（2）由（1），，所以………………….8分由分组求和， ………………….12分18.（12分）解：(1)证明：根据条件可得，………………….3分 又而，所以，直线平面.………………….5分 (2)两两垂直．如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．设，……………….7分】又所以，………………….8分根据条件平面，所以可视为平面的一个法向量，现设是平面的一个法向量，则，令，所以，设平面与平面所成的锐二面角为………………….12分19. （12分）解：(1)由直方图知，后组频率为，人数为，即这名女生身高不低于的人数为人；………………….5分(2)∵，∴………………….7分∴. ，则全市高中女生的身高在以上的有人，这人中以上的有人．………………….8分?随机变量可取，于是，，………………….10分！∴………………….12分20.（12分）解：(1)设椭圆的标准方程为，抛物线的焦点为，所以该椭圆的两个焦点坐标为，根据椭圆的定义有，所以椭圆的标准方程为；………………….5分(2)由条件知，直线的斜率存在．设直线的方程为，并代入椭圆方程，得，且，设点，由根与系数的韦达定理得，………………….8分则，即为定值.…………….12分21. （12分）|解：（1）由可得，函数在单减，在单增，所以函数的极值在取得，为极小值；………………….3分（2）根据（1）知的极小值即为最小值，即可推得当且仅当取等，所以，………………….5分所以有………7分（3）∴………………….8分令，则，∴在上递增∵，当时，∴存在，使，且在上递减，在上递增∵∴，即∵对于任意的，恒有成立∴∴………………….10分∴∴∴，又，∵∴，令，，显然在单增，而，，∴∴.………………….12分22. （10分）解：(1)则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为………………….3分又，所以直线的直角坐标方程为………………….5分(2)由(1)得方程为，设点，………………….7分所以点到直线距离为，当时，距离有最大值，最大值为.………………….10分23.（10分）解：（1），………………….3分当且仅当取等，所以的最小值………………….5分（2）根据柯西不等式，.………………….10分。
重庆市2019届高三第二次月考数学试题(理科)有答案(精校版)
重庆2019学部2019-2020学年度下期第2次月考理科数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分） 1.若复数iia 213++(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则a 的值为（ ） A.23 B.23- C.6 D.-62.已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A ＝{2,3,5,6},集合B ＝{1,3,4,6,7},则集合B C U ⋂A ＝( )A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}3.已知向量)21(，-=a ，)1-(，m b =，)23(-=，c ，若c b a ⊥-)(，则m 的值是（ ）A.27 B.35C.3D.-34.直线2:+=my x l 与圆02222=+++y y x x 相切，则m 的值为（ ）A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或71-5.甲盒子中装有2个编号分别为1,2的小球，乙盒子中装有3个编号分别为1,2,3的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，则取出的两个小球的编号之和为奇数的概率为（ ）A.32B.21C.31D.616.一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（ ）A.280B.292C.360D.3727.设0>w ，函数2)3sin(++=πwx y 的图象向右平移34π个单位后与原图象重合，则w 的最小值是（ ） A.32 B.34 C.23D.38.如果执行右面的程序框图，输入46==m n ，，那么输出的p等于（ ）A.720B.360C.240D.120 9.若4cos -=α，α是第三象限的角，则2tan12tan 1αα-+=( )A.-21B.21C.2D.-210.在区间],[ππ-内随机取两个数分别记为b a ，，则函数222)(b ax x x f -+= +2π有零点的概率（ ） A.8-1πB.4-1πC.2-1πD.23-1π11.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A 、B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A.)20(， B.)122(， C.)21(， D.)2(∞+，12.记函数)(x f （e x e≤<1，e=2.71828…是自然对数的底数）的导数为)('x f ，函数)(')1()(x f ex x g -=只有一个零点，且)(x g 的图象不经过第一象限，当e x 1>时，ex x x f 11ln 1ln 4)(>+++，0]1ln 1ln 4)([=+++x x x f f ，下列关于)(x f 的结论，成立的是（ ）A.)(x f 最大值为1B.当e x =时，)(x f 取得最小值C.不等式0)(<x f 的解集是（1，e ）D.当11<<x e时，)(x f ＞0二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.在△ABC 中，若31sin 45==∠=A B b ，，π，则=a . 14.正方体1111D C B A ABCD -中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为. 15.由直线0323===y x x ，，ππ与x y sin =所围成的封闭图形的面积为 ______. 16.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=10ln1ln )(x xx x x x x f ，，，若}{n a 是公比大于0的等比数列，且1543=a a a ，若16212)(...)()(a a f a f a f =+++，则1a = ______ ．三、解答题(70分)17.已知等差数列{}n a 满足：267753=+=a a a ，，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ．（2）令n b =211n a -(*N n ∈)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1（2）当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.19.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB=2，60BAD ∠=. （1）求证：BD PAC ⊥平面；（2）若PA=AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； （3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.20.设(,)P a b 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的动点，21F F ，为椭圆的左右焦点且满足212||||.PF F F = （1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆22(1)(16++=x y 相交于M ，N两点，且5||||8MN AB =，求椭圆的方程.21.已知函数1()[1(2)1(2)]2f x t n x n x =+-- , 且()(4)f x f ≥恒成立。
重庆市第一中学2019届高三下学期4月月考(理)数学试题(解析版)
2019年重庆一中高2019级高三下期月考理科学数学一、选择题1.设集合2{log 1}A x x =≤，集合2{|20}B x x x =+-<，则A B U 为（ ）A. (0,1)B. (2,2]-C. (,2]-∞D. (2,1)- 【答案】B【分析】先通过解不等式得出集合,A B ，然后再求A B U .【详解】由2log 1x ≤得，02x <≤，即(]0,2A =.由220x x +-<得，21x -<<，即()2,1B =-.所以(]2,2A B =-U故选：B【点睛】本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()2201913z i i +=+，则||z =（ ）A. B. C. 14 D. 【答案】A【分析】由2019450433i i i i ⨯+==-=先求出复数z ，然后再求||z .【详解】由2019450433i i i i ⨯+==-=.所以由()2201913z i i +=+得：()213z i i -=+即()23z i i -=+，故：33122i i z i +-==-所以||2z == 故选：A【点睛】本题考查复数的运算，复数的模长的计算，属于基础题.3.设函数31log (1),1()1,12x x x f x x -->⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩…，则(1)f =（ ）A. 0B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【分析】根据函数的表达式直接将(1)f 的值代出可求出答案. 【详解】由函数的表达式有111(1)12f -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.4.已知第一象限内抛物线24y x =上的一点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12，则点Q 的坐标为（ ）A. (1,2)-B. (1,2)C.D. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】设()(),0,0Q x y x y >>，根据抛物线的定义以及题目条件可得12x x +=，从而求出Q 点的坐标.【详解】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-.设()(),0,0Q x y x y >>，则点Q 到y 轴的距离为x ，点Q 到准线的距离为1x +.根据抛物线的定义有：点Q 到焦点的距离为1x +.又点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12. 所以12x x +=，得1x = ，则2y =即(1,2)Q故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的运用，属于基础题.5.我国古代数学著作《孙子算经》中记有如下问题：“今有五等诸侯，其分橘子六十颗，人別加三颗”，问：“五人各得几何？”其意思为：“现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，下列说法错误的是（ ）A. 得到橘子最多的诸侯比最少的多12个B. 得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人C. 得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12D. 所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24。
2019年重庆一中高2020级高三11月月考试卷
秘密★启用前2019年重庆一中高2020级高三11月月考数学试题卷（理科）2019.11数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案）1.在平面直角坐标系中，点),(sin100002cosP位于第（）象限. A．一B．二C．三D．四2.设Rx,,，条件2z y2p ，条件y:yzxz:，则p是q的（）条xq件.A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要3.设n m ,为两条不同的直线， ,为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A ．若 n m ,，则n m ,为异面直线.B ．若 //,n m ，则n mC ．若 //,//m m ，则 //D ．若 ， n m ,，则n m 4.已知正数b a ,满足1 b a ，则abba 9的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．16 D ．255.设函数x x x f cos sin 1)( ，则下列说法中正确的是（ ） A ．)(x f 为奇函数 B ．)(x f 为增函数 C ．)(x f 的最小正周期为2D ．)(x f 图像的一条对称轴为4x6.设正项等比数列 n a 的前n 项之和为n S ，若365S a S ，则 n a 的公比q （ ）A ．215 B ．1 C ．215 D ．215 或2157. 已知集合)12(log 21x y x M ， x y y N 232，则 N M （ ）A ．]1,0(B ．]1,21( C ． )32,21( D ．)(0,8.已知向量b a ,满足4,3,2 b a b a ，则 b a （ ）A ．6B ．32C ．10D ．39.某几何体的三视图如右图所示,其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2,则该几何体的体积为（ ）A ． 8B ．328C ．D ． 6710.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ 群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ 群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该QQ 群人数的最小值为（ ）A ．20B ．22C ．26D ．28 11.如下图，正方体1111D C B A ABCD 中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断：①存在点F 使得 C A 1平面EF B 1；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面EF B 1与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大正视图 俯视图左视图小与点F 的位置无关；④三棱锥EF B B 1 的体积与点F 的位置无关. 其中正确判断的有（ ）A ． ① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④12.已知函数x x x f cos 4)( ，等差数列 n a 满足条件4)()(93 a f a f ， 则 981a a a （ ）A ．6B ．3C ．43D ．23二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.实数y x ,满足002204y y x y x ，则y x 23 的最大值为 14.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：60,50,40,32,24,18,12,8,4,2,0，则大衍数列的第41项为15.已知正三棱锥的底面边长为34，体积为332，则其外接球的表面积为16.设函数 )0()0()(2x xx e x f x ，若方程 ))((x f f 恰有两个不相等的实根21,x x ，则21x x 的最大值为三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17.（原创）（本题满分12分）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对ABC 而言，若其内部的点P 满足120 CPA BPC APB ，则称P 为ABC 的费马点.如下图所示，在ABC 中，已知 45 BAC ,设P 为ABC 的费马点，且满足 45 PBA ，2 PA .（1）求PAC 的面积； （2）求PB 的长度.18.（本题满分12分）数列 n a 满足n n n a a 3231 ，31 a（1）证明：n n a 3为等差数列，并求 n a 的通项公式；（2）求数列 n a 的前n 项之和为n S19.（原创）（本题满分12分）已知四棱锥ABCD P 的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为2，设CD BC ,的中点分别为F E ,,点G 在线段PA 上，如下图. （1）证明：GC EF（2）当//BG 平面PEF 时，求直线GC 和平面PEF 所成角 的正弦值.20.（原创）（本题满分12分）已知函数x x x f ln 2)( （1）经过点)2,0( 作函数)(x f 图像的切线，求切线的方程. （2）设函数)()1()(x f e x x g x ，求)(x g 在),0( 上的最小值.21.（原创）（本题满分12分）已知椭圆方程为13622 y x（1）设椭圆的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上运动，求2121PF PF PF PF 的值.（2）设直线l 和圆222 y x 相切，和椭圆交于B A ,两点，O 为原点，线段OB OA ,分别和圆222 y x 交于D C ,两点，设COD AOB ,的面积分别为21,S S ，求21S S 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4－4：坐标系与参数方程（本题满分10分）已知曲线C 的参数方程为cos sin cos sin y x ，（ 为参数）（1）若点),22(m M 在曲线C 上，求m 的值； （2）过点)0,1(P 的直线l 和曲线C 交于B A ,两点，求PBPA 11 的取值范围.23. （原创）选修4－5：不等式选讲（本题满分10分） 已知正实数b a ,满足)lg(lg lg b a b a （1）证明：822 b a ；（2）证明：425)1)(1(22 b a b a。
重庆一中2019-2020学年高三下学期第二次学月考试理科数学试题卷(答案)
10. 解析： 因为△ABC 是等腰直角三角形，所以外接的半圆半径是 r = 1 12 = 3 ，设外接球的半径是
2
R
，球心 O
到该底面的距离 d
，则
S△ABC
=
16 2
=
3，
BD
=
3
，由题设 V
=
1 3
S△ABC
h
=
1 6
6h
=
3 ，最
大体积对应的高为 SD = h = 3 ，故 R2 = d 2 + 3 ，即 R2 = (3 − R)2 + 3 ，解之得 R = 2 ，所以外接球的体积
1 2
x
+
π 6
=
a ，故④正确. 2
故选 B．
9. 解析：设 A 中构成等差数列的元素为 a,b,c ，则有 2b = a + c ，由此可得 a,c 应该同奇同偶，而当 a,c
同奇同偶时，则必存在中间项 b , 所以问题转变为只需在1 − 40 中寻找同奇同偶数的情况。 a,c 同为奇
数的可能的情况为 C220 ，同为偶数的可能的情况为 C220 ，所以一共有 2 C220 = 380 种，故选 C.
重庆一中 2019-2020 学年高三下期第二次学月考试
理科数学答案与解析
一、选择题： CCAD；CDBB；CDBA
4．解析：原问题等价于等差数列中，已知 a1 = 4 ， a5 = 2 ，求 a2 + a3 + a4 的值．由等差数列的性质可知：
a2
+ a4
=
a1
+ a5
=
6 ， a3
=
a1
+ a5 2