芝罘区数学二次根式的加减
二次根式的运算学会进行二次根式的加减乘除运算
二次根式的运算学会进行二次根式的加减乘除运算二次根式是数学中的一种常见形式，运算二次根式可以帮助我们解决一些复杂的数学问题。
本文将介绍如何进行二次根式的加减乘除运算，并给出相应的例子。
一、二次根式的加法运算当两个二次根式具有相同的根指数和根下的值时，它们可以进行加法运算。
具体步骤如下：1. 将待运算的二次根式按根指数和根下的值进行排序，即将相同的项放在一起；2. 将相同项的系数相加得到最终结果。
例如，计算√3 + 2√3：首先，将待加的二次根式按照根指数和根下的值排序，即1√3 +2√3；然后，将相同项的系数相加，得到最终结果3√3。
二、二次根式的减法运算二次根式的减法运算与加法运算类似，但需要注意的是，减法运算中，被减数与减数的项要保持相同。
具体步骤如下：1. 将被减数和减数按照根指数和根下的值进行排序，即将相同的项放在一起；2. 将相同项的系数相减得到最终结果。
例如，计算√5 - √2：首先，将被减数和减数按照根指数和根下的值排序，即1√5 - 1√2；然后，将相同项的系数相减，得到最终结果√5 - √2。
三、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以通过分配率进行简化。
具体步骤如下：1. 将二次根式中的每一项按根指数和根下的值进行排序，即将相同的项放在一起；2. 对每一对相同项进行相乘，得到最终结果。
例如，计算(√7 - 2)(√7 + 2)：首先，将每个二次根式中的项按根指数和根下的值排序，即(√7)(√7) + (√7)(2) + (-2)(√7) + (-2)(2)；然后，对每一对相同项进行相乘，并将结果相加，得到最终结果 7 - 4 + (-2√7) - 4；简化后，得到最终结果 3 - 2√7。
四、二次根式的除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行简化。
具体步骤如下：1. 将除数的分子和分母同时乘以除数的共轭复数，即将根号去掉；2. 化简得到结果。
例如，计算(3√2)/(√2)：首先，将除数的分子和分母同时乘以除数的共轭复数，即(3√2)(√2)/(√2)(√2)；然后，化简得到最终结果 3。
《二次根式加减法》学法指导
《二次根式加减法》学法指导一、二次根式的加减：二次根式加减运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式．方法与整式运算中的合并同类项类似．如，合并同类项：a a a 452-+＝a )452(-+＝3a ；合并被开方数相同的二次根式：43－53＋73＝（4－5＋7）3＝63． ㈠ 熟练掌握二次根式的加减运算法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．（二次根式的加减可归结为“一化二找三合并”：即①“化”：化成最简二次根式；②“找”：找出被开方数相同的二次根式；③“合并”：合并被开方数相同的二次根式．） 例1．（2008·南京）计算12－3的结果是 ．解析：首先将不是最简二次根式的项（如12）化成最简二次根式；然后，找出被开方数相同的二次根式；最后，合并被开方数相同的二次根式． 解：12－3＝23－3＝3温馨提示：①这的“合并”与多项式中的合并同类项类似．合并的只是根式外部的因式，而不1，而不是0．㈡二次根式合并注意事项二次根式加减运算要注意以下几点：①加法的运算律仍然适用于二次根式的运算；②被开方数不相同的二次根式不能合并，如（例2）233+，应为最终结果； ③运算结果要化成最简形式．例2．计算24352332++--解析：每个二次根式都是最简二次根式，可直接识别出：32-与35，23-与24被开方数相同，因此可直接进行合并．解：24352332++--＝()352+-＋()243+-＝33＋2温馨提示：本题中2与33被开方数不同，不能再进行合并，避免出现2＋3＝5的错误．例3．（2008·临沂）计算29328++的结果是（ ） 解析：本题中的每个二次根式都不是最简二次根式，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 解：29328++＝22＋42＋223＝(2＋4＋23)2＝2215．温馨提示：运算结果要化成最简形式，如：2215不能写成2217． 二、二次根式的混合运算：整式的运算法则和乘法公式在二次根式的运算中同样适用.例4．（2008·长春）计算：22)8321464(÷+- 解析：本题有括号，且括号内是加减运算，所以先把括号内的各项化成最简二次根式，再合并． 解：22)8321464(÷+-＝22)262264(÷+-＝22)2464(÷+＝232+ 温馨提示：64和24已经不能再合并了，所以再进行乘除法运算，应用了分配律．例5．（2008·上海）+解析：本题有括号、乘除还有加减，观察会发现括号内已经不能合并了，可以用类似整式运算中的单项式乘多项式的法则进行运算，另外要根据分式的性质将分母化成有理数．3+-＋4＝(13-+4＝4温馨提示：二次根式的运算和整式的运算类似，在这运用了多项式的乘法以及乘法公式，这些法则公式和法则在这仍然适用．尤其是平方差公式在这的应用十分广泛．三、二次根式的化简求值：例6．（2008·烟台）已知2,2a b = ）A 、3B 、4C 、5D 、6解析：仔细观察待求得代数式回想学过的乘法公式可以得到：22a b +＝2()2a b ab +-，再看条件，a b +＝2)2)+＝ab ＝2)2)⨯＝1，所以5，故选C温馨提示：二次根式的化简求值是对二次根式的加减乘除和乘法公式等内容的综合运用，希望同学们能在能熟练掌握，并能灵活运用．四、小试牛刀：1. ）A B C D 2．(2008山东聊城)下列计算正确的是（ ）A ．=B =C 3=D 3=-3．(2008重庆)计算28-的结果是（ ）A ．6B ．6C ．2D ．24．（2008安徽芜湖） ） Ａ．6到7之间 Ｂ．7到8之间Ｃ．8到9之间 Ｄ．9到10之间5是可以合并的，那么a ＝6．(2008湖北荆门)计算：27124148÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+＝_________． 7．(2008大连）是一个简单的数值运算程序，若输入x 的值为3，则输出的数值为_____8．(2008湖北荆州）已知a参考答案：1．B; 2．C; 3．D; 4．C; 5．5; 6． 23; 72．; 8．解：因为20a -≥，而20a ≥所以20a =，即0a =将其代入原式得=0=。
《二次根式的加减》_完美课件
第三步的依据是：合并同类项．
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例2 计算：
讲授新课
（1）（ 2+3）（ 2-5） ；（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）．
解：（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）=（ 5）2 -（ 3）2
= 5-3= 2 ．
思考1：（2）中，每一步的依据是什么？
（2）先算除，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．
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讲授新课
例2 计算： （1）（ 2+3）（ 2-5） ；（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）．
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 二次根式
用分配 律合并
整式 加减
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讲授新课
二次根 式性质
分配律
整式加 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
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讲授新课
算式 8+ 18与算式 3 2- 2 有什么相同点与不同
点？ 请化简算式
8+
18 ，并说出每一步化简的理由.
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二次根式的加减法
日期:contents •二次根式的基本概念•二次根式的加减法•二次根式的乘除法•二次根式的混合运算•二次根式加减法在实际问题中的应用•典型例题解析目录二次根式的基本概01念二次根式是一种数学表达式，形如$\sqrt{a}$，其中a是非负数。
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$，读作“根号a”或“二次根号a”。
二次根式具有非负性，即$\sqrt{a} \geq 0$，当且仅当a=0时等号成立。
二次根式的性质还包括平移不变性和旋转不变性。
$\sqrt{a} + \sqrt{b}$在a=b或ab=0时成立。
加法运算$\sqrt{a} - \sqrt{b}$在a=b或ab=0时成立。
减法运算$\sqrt{a} \times \sqrt{b}$在$ab \geq 0$时成立。
乘法运算$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$在$ab \geq 0$且$a \neq 0$时成立。
除法运算二次根式的运算规则二次根式的加减法02同类二次根式的加减法同类二次根式是指根指数相同且被开方数相同的二次根式。
概念例子减法运算加法运算$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是同类二次根式。
两个同类二次根式相减，直接进行减法运算。
两个同类二次根式相加，先将它们化成最简二次根式，再进行加法运算。
异类二次根式的加减法异类二次根式是指根指数或被开方数不同的二次根式。
概念$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是异类二次根式。
例子两个异类二次根式相减，先进行化简，再进行减法运算。
减法运算两个异类二次根式相加，先将它们化成最简二次根式，再进行加法运算。
加法运算概念最简二次根式是指被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
化简方法1. 先化简被开方数中含分母的因式；2. 再化简被开方数中含能开得尽方的因数或因式；3. 最后将结果化为最简二次根式。
运算结果化为最简二次根式二次根式的乘除法03同类二次根式的乘法如$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$（$a$≥$0$，$b$≥$0$）相乘，直接将两个根式相乘，结果化为最简二次根式。
山东省烟台市2020届九年级下学期第2周中考数学复习：§7.3二次根式的加减+教案
重点
难点
教学重点：同类二次根式的概念，能熟练地进行二次根式的加法和减法运算
教学难点：能熟练地进行二次根式的加法和减法运算
教具与
资源
多媒体、导纲、课件
教法与学法
自主探究，小组合作、讲练结合
通案内容设计
个案内容设计
教
学
内
容
一、本节主要任务：
1、同类二次根式的定义
2、熟练地进行二次根式的加法和减法运算；
二、具体内容：
以导学案为依托，学习课本P39—42内容，
完成导学案中的相应练习进行巩固，形成运算技能。
三、重点问题
二次根式的性质
二次根式的加法和减法
四、难点问题：
学生对带字母的化简，会存在一些困难，注意引导学生先将多项式因式分解后再进行化简。
五、课后作业：
必做题：课本P 41习题1、2
选做题：课本P 42习题3、4
教学
年级
初三
教学时间
2015年3月16日
第2周第1课时
课题
§7.3二次根式的加减
课型
新授
主备
教师
郝明
二次备课教师
教学
目标
知识与能力：了解同类二次根式的概念，会辨别同类二次根式
过程与方法：能熟练地进行二次根式的加法和减法运算。
情感态度与价值观：理解二次根式的加法和减法的算理，进一步发展学生的类比推理能力。
板
书
设
计
§7. 3二次根式的加减法
课外作
业布置Βιβλιοθήκη 必做题课本P 41习题1、2
选做题
课本P 42习题3
教后心得
二次根式的加减法教案
二次根式的加减法优秀教案第一章：二次根式的概念回顾1.1 教学目标：让学生理解二次根式的概念。
让学生掌握二次根式的基本性质。
1.2 教学内容：二次根式的定义：形如√a的式子，其中a是一个非负实数。
二次根式的基本性质：√a ×√a = a，√a ÷√a = 1，√a ×√b = √(ab)，其中a、b是非负实数。
1.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的概念。
通过练习题，让学生掌握二次根式的基本性质。
第二章：二次根式的加法2.1 教学目标：让学生掌握二次根式的加法运算规则。
2.2 教学内容：二次根式的加法运算规则：√a + √b = √(a + b)，其中a、b是非负实数。
2.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的加法运算规则。
通过练习题，让学生熟练掌握二次根式的加法运算。
第三章：二次根式的减法3.1 教学目标：让学生掌握二次根式的减法运算规则。
3.2 教学内容：二次根式的减法运算规则：√a √b = √(a b)，其中a、b是非负实数，且a ≥b。
3.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的减法运算规则。
通过练习题，让学生熟练掌握二次根式的减法运算。
第四章：二次根式的混合运算4.1 教学目标：让学生掌握二次根式的混合运算规则。
4.2 教学内容：二次根式的混合运算规则：先进行二次根式的乘除运算，再进行加减运算。
4.3 教学活动：通过具体的例子，让学生理解二次根式的混合运算规则。
通过练习题，让学生熟练掌握二次根式的混合运算。
第五章：综合练习5.1 教学目标：让学生综合运用二次根式的加减法知识，解决实际问题。
5.2 教学内容：综合练习题，包括不同难度的题目。
5.3 教学活动：提供综合练习题给学生，让学生独立完成。
解答学生的疑问，并进行讲解和指导。
第六章：二次根式的加减法在实际问题中的应用6.1 教学目标：让学生能够将二次根式的加减法应用到实际问题中。
数学教案-二次根式的加减法
数学教案－二次根式的加减法一、教学目标1.了解二次根式的定义和性质；2.掌握二次根式的加减法规则；3.能够灵活运用二次根式的加减法解决实际问题。
二、教学重点1.二次根式的加法运算规则；2.二次根式的减法运算规则。
三、教学内容1. 二次根式的定义和性质回顾二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
二次根式具有以下性质：•二次根式与非二次根式无法直接进行计算；•二次根式之间可以进行加减法运算；•二次根式可以化简为最简形式。
2. 二次根式的加法运算规则对于两个二次根式√a和√b，其加法运算规则如下：•当a和b相等时，二次根式相加后可化简为2√a；•当a和b不相等时，二次根式之间无法化简，保持原样。
示例1：计算√5 + √3。
解：根据加法运算规则，√5 + √3无法化简，保持原样。
3. 二次根式的减法运算规则对于两个二次根式√a和√b，其减法运算规则如下：•当a和b相等时，二次根式相减后可化简为0；•当a和b不相等时，二次根式之间无法化简，保持原样。
示例2：计算√7 - √7。
解：根据减法运算规则，√7 - √7可化简为0。
示例3：计算√15 - √10。
解：根据减法运算规则，√15 - √10无法化简，保持原样。
四、教学步骤1.复习二次根式的定义和性质，确保学生对二次根式有基本的了解；2.引出二次根式的加减法运算规则，让学生掌握运算规则的基本思想；3.在黑板上给出一些示例，让学生进行个别思考和讨论，并指导学生使用运算规则进行计算；4.让学生在课堂上完成一些练习题，加深对二次根式加减法运算规则的理解和掌握程度；5.结合实际问题，设计一些应用题，让学生灵活运用二次根式的加减法解决实际问题；6.总结本节课的内容，强化学生对二次根式加减法运算规则的理解。
五、教学提示1.学生在进行二次根式的加减法时，要注意运算规则的应用，不要将二次根式与非二次根式进行混合计算；2.在实际问题的应用中，学生需要将问题转化为数学表达式，再运用二次根式的加减法原则进行计算。
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算在数学中，二次根式是指以平方根（√）为运算符的表达式。
在本文中，我们将探讨如何进行二次根式的加减运算。
1. 二次根式的基本形式二次根式通常具有以下形式：√a ± √b，其中a和b为非负实数。
我们需要注意的是，不能将不同数的平方根直接合并。
2. 同类项的加减如果两个二次根式具有相同的根指数和被开方数，我们可以简化它们的加减运算。
例如，√2 + √3 和√2 - √3 就属于同类项。
3. 加法运算要进行二次根式的加法运算，我们可以直接将同类项的系数相加，并保留相同的根指数和被开方数。
例如，√2 + √3 = √2 + √3。
如果根指数和被开方数不同，那么我们无法进行简化。
4. 减法运算要进行二次根式的减法运算，我们需要注意减号前面的符号。
例如，√2 - √3 ≠ √2 - √3。
我们必须展开减号前面的符号，并将其应用于每一项，然后按照相同的根指数和被开方数进行简化。
5. 合并同类项在进行二次根式的加减运算后，我们可能会得到一个形如√a + √b的表达式。
如果a和b是非平方数，那么这个表达式不能再进行简化了。
6. 例题演示让我们通过例题进一步理解二次根式的加减运算：例题1：计算√5 + √7 - √5 - √7。
解：根据规则，我们可以合并同类项：√5 + √7 - √5 - √7 = (√5 - √5) + (√7 - √7) = 0。
因此，答案为0。
例题2：计算2√3 + 4√2 - √3。
解：根据规则，我们可以合并同类项：2√3 + 4√2 - √3 = (√3 - √3) + 4√2 = 0 + 4√2 = 4√2。
因此，答案为4√2。
7. 总结在二次根式的加减运算中，我们需要根据根指数、被开方数以及符号来判断如何进行操作。
通过合并同类项并进行简化，我们可以得到最简形式的答案。
总之，在二次根式的加减运算中，我们需要注意同类项的合并和运算符的正确使用。
通过熟练掌握相关规则，我们能够准确地进行二次根式的加减运算，并得到最简形式的答案。
《二次根式的加减》课件
VS
详细描述
在进行二次根式的加减运算时，有时需要 对二次根式进行合并或简化。学生在合并 或简化过程中，容易出错，导致计算结果 错误。例如，将$sqrt{5} + sqrt{2}$错误 地合并为$sqrt{7}$，或将$sqrt{4} sqrt{9}$错误地简化为$3 - 2$。
PART 05
练习与巩固
2023 WORK SUMMARY
《二次根式的加减》 ppt课件
REPORTING
目录
• 二次根式的加减概述 • 二次根式的加减运算方法 • 二次根式的加减运算实例 • 二次根式的加减易错点解析 • 练习与巩固
PART 01
二次根式的加减概述
二次根式的加减定义
定义
二次根式的加减运算是指将具有 相同被开方数的二次根式进行合 并或分离的过程。
计算
$(sqrt{5} + 2sqrt{2})(sqrt{5} 2sqrt{2})$
计算
$(sqrt{3} + sqrt{2})^{2}$
计算
$(sqrt{5} - sqrt{3})^{2}$
综合练习题
解方程
$3sqrt{2}x = 4sqrt{3}x$
解方程
$(sqrt{3} + sqrt{2})x = 5$
THANKS
感谢观看
REPORTING
解方程
$(sqrt{5} - sqrt{3})x^{2} - (sqrt{5} + sqrt{3})x = 0$
解方程组
${begin{array}{l}sqrt{2}x - sqrt{6}y = 4 sqrt{3}x + sqrt{5}y = 7 end{array}$
22.3二次根式的加减法
二次根式的加减法一、学习目标1、了解同类二次根式的定义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。
二、学习重点、难点重点：二次根式加减法的运算。
难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。
三、学习过程（一）复习回顾1、什么是同类项？2、如何进行整式的加减运算？3、计算：（1）2x-3x+5x （2）2223a b ba ab +-（二）提出问题1、什么是同类二次根式？2、判断是否同类二次根式时应注意什么？3、如何进行二次根式的加减运算？（三）自主学习自学课本第10—11页内容，完成下面的题目：1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：（1）2322与 （2）32与（3）205与 （4）1218与从中你得到： 。
2、自学课本例1，例2后，仿例计算：（1（2）（3）通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应。
（四）合作交流，展示反馈小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时6分钟 (1) )27131(12-- (2) )512()2048(-++(3) y y x y x x 1241+-+ （4）)461(9322x x x x x x --（五）精讲点拨 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。
2、二次根式的加减分三个步骤：①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
（七）达标测试：A 组1、选择题（1是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④（2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．A BC 2、计算：（1）38550 （2）x x x x 1246932-+B 组1、选择：已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式，则满足条件的 a,b 的值（ ）A ．不存在B ．有一组C ．有二组D ．多于二组2、计算：（1）214540 （2）232282xy x x +-(0,0)x y >>二次根式的混合运算一、学习目标熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。
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11.一个三角形的三边长分别为 ，则它的周长是cm。
12.若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 。
13.已知 ，则 。
14.已知 ，则 。
15. 。
16.计算：
⑴. ⑵.
⑶. ⑷.
17.计算及化简：
⑴. ⑵.
⑶.
⑷.
18.已知： ，求 的值。
19.已知： ，求 的值。
20.已知： 为实数，且 ，化简： 。
21.已知 的值。
二次根式的加减答案
1——8：BAACCCCC
9. ；10. 1、1；11. ；12. 1；13. 10；
14. ；15. ；
二次根式的加减
1.下列根式中，与 是同类二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.下面说法正确的是（）
A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
B. 与 是同类二次根式
C. 与 不是同类二次根式
D.同类二次根式是根指数为2的根式
3.与 不是同类二次根式的是（）
A. B. C. D.
4.下列根式中，是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.ຫໍສະໝຸດ 5.若 ，则 化简的结果是（）
A. B. C. 3 D. -3
6.若 ，则 的值等于（）
A. 4 B. C. 2 D.
7.若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是（）
A. B. C. 1 D. 3
8.下列式子中正确的是（）
A. B.
C. D.
9.在 中，与 是同类二次根式的是。