最新人教B版高中数学必修二学案：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

2.1.2.平面直角坐标系中的基本公式
[学习目标].1.通过数轴上两点的距离公式的探索,掌握平面直角坐标系中两点的距离公式和中点公式.2.通过对两点的距离公式的推导过程的探索,体会算法.3.进一步体会“坐标法”的基本思想,逐步学会用“坐标法”解决有关问题.
[知识链接]
1.在直角坐标系中,A (1,0),B (3,0)两点的距离为2；C (0,－1),D (0,3)两点的距离为4.
2.在直角三角形ABC 中,B ＝90°,AB ＝3,BC ＝4,则AC ＝5.
[预习导引]
1.两点间距离公式
两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)间的距离公式表示为d (A ,B )
当AB 垂直于y 轴时,d (A ,B )＝|x 2－x 1|；
当AB 垂直于x 轴时,d (A ,B )＝|y 2－y 1|；
当B 为原点时,d (A ,B )2.坐标法
(1)定义：在解决一些平面上的几何问题时,经常在平面上建立坐标系,以坐标系为桥梁,将几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形的性质,这种方法称为坐标法.注意在建立坐标系时,可以建立直线坐标系、直角坐标系等.
(2)坐标法解决问题的基本步骤如下：
第一步,根据题中条件,建立恰当的坐标系,用坐标表示有关的量；第二步,进行有关代数运算；第三步,把代数结果翻译成几何关系.
3.中点坐标公式
已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),设点M (x ,y )是线段AB 的中点,则中点坐标公式为
⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22
，y 1＋y 22.
要点一.两点的距离公式的应用
例1.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－a,0),B (a,0),C (0,3a ).
求证：△ABC 是等边三角形.
证明.由两点的距离公式得
|AB |＝(a ＋a )2＋(0－0)2＝2|a |,
|BC |＝(0－a )2＋(3a －0)2＝2|a |,
|CA |＝(0＋a )2＋(3a －0)2＝2|a |.
∴|AB |＝|BC |＝|CA |,
故△ABC 是等边三角形.
规律方法.1.判断多边形的形状或判断点之间的关系时,若已知点的坐标,一般转化为两点的距离求解.
2.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等,在进行判断时,一定要得出最终结果,比如一个三角形是等腰直角三角形,若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.
跟踪演练1.本例若改为：已知A (－1,－1),B (3,5),C (5,3),试判断△ABC 的形状. 解.d (A ,B )＝[3－(－1)]2＋[5－(－1)]2 ＝42＋62＝52＝213,
d (A ,C )＝[5－(－1)]2＋[3－(－1)]2 ＝62＋42＝52＝213,
d (B ,C )＝(5－3)2＋(3－5)2＝22＋22＝8＝2 2.
所以|AB |＝|AC |≠|BC |,且显然三边长不满足勾股定理,
所以△ABC 为等腰三角形,
要点二.中点公式的应用
例2.已知平行四边形ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2),B (5,7),对角线交点为E (－3,4),求另外两顶点C 、D 的坐标.
解.设C 点坐标为(x 1,y 1),则由E 为AC 的中点得：
⎩⎨⎧ －3＝4＋x 12
，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－10，y 1＝6.设D 点坐标为(x 2,y 2),则由E 为BD 的中点得 ⎩⎨⎧ －3＝5＋
x 22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝－11，y 2＝1， 故C 点坐标为(－10,6),D 点坐标为(－11,1).
规律方法.1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质,依据中点公式列方程组求点的坐标.
2.中点公式常用于求与线段中点,三角形的中线,平行四边形的对角线等有关的问题,解题时一般先根据几何概念,提炼出点之间的“中点关系”,然后用中点公式列方程或方程组求解.
跟踪演练2.已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标分别为A (0,0),B (2,0),D (1,3),求顶点C 的坐标.
解.∵平行四边形的对角线互相平分,
∴平行四边形对角线的中点坐标相同.
设C 点坐标为C (x ,y ),则
⎩⎨⎧ 0＋
x 2＝2＋12＝32，0＋y 2＝0＋32＝32，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝3.即C (3,3). 要点三.坐标法的应用
例3.已知正三角形ABC 的边长为a ,在平面上求一点P ,使|P A |2＋|PB |2＋|PC |2最小,并求此最小值.
解.以BC 所在直线为x 轴,BC 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系如图.
则A ⎝⎛⎭⎫0，32a ,B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0,C ⎝⎛⎭⎫a 2，0 设P (x ,y )则|P A |2＋|PB |2＋|PC |2
＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭
⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2 ＝3x 2＋3y 2
－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎫y －36a 2＋a 2≥a 2, 当且仅当x ＝0,y ＝36
a 时,等号成立, ∴所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P ⎝⎛⎭
⎫0，3a 6是正△ABC 的中心. 规律方法.(1)也可以B 为原点,BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,计算也不复杂.
(2)配方法求最值是重要方法,应掌握好.
(3)选择恰当坐标系的原则是“避繁就简”.
跟踪演练3.已知△ABC 是直角三角形,斜边BC 的中点为M ,建立适当的直角坐标系.证明：AM ＝12
BC .
证明.如图所示,以Rt △ABC 的直角边AB 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴,建立直角坐标系,设B 、C 两点的坐标分别为(b,0)、(0,c ),
∵点M 是BC 的中点,故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，c 2.
由两点的距离公式,得
|BC |＝
(0－b )2＋(c －0)2＝ b 2＋c 2, |AM |＝ ⎝⎛⎭⎫b 2－02＋⎝⎛⎭⎫c 2－02＝12 b 2＋c 2, ∴AM ＝12
BC .
1.已知A (－8,－3),B (5,－3),则线段AB 的中点坐标为(..)
A.⎝⎛⎭⎫32，2
B.⎝⎛⎭⎫－32，－3
C.⎝⎛⎭⎫－32，3
D.⎝⎛⎭⎫32，－3 答案.B
解析.由中点坐标公式可以求得.
2.已知A (1,2),B (a,6),且|AB |＝5,则a 的值为(..)
A.4
B.－4或2
C.－2
D.－2或4 答案.D
解析.(a －1)2＋(6－2)2＝5,解得a ＝－2或4.
3.已知线段AB 的中点在坐标原点,且A (x,2),B (3,y ),则x ＋y 等于(..)
A.5
B.－1
C.1
D.－5
答案.D
解析.易知x ＝－3,y ＝－2,∴x ＋y ＝－5.
4.以A (5,5),B (1,4),C (4,1)为顶点的三角形是(..)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案.B 5.点A (2,3),B (5,4)之间的距离为________.
答案.10
解析.|AB |＝(5－2)2＋(4－3)2＝9＋1＝10.
1.A ,B 两点的距离与A ,B 两点的顺序无关,即d (A ,B )＝d (B ,A ).公式中坐标的顺序也可以同时调换,即d (A ,B )＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)
2.
2.在平面直角坐标系内,若已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),线段AB 的中点M 的坐标为(x ,y ),则有
⎩⎨⎧ x ＝x 1＋
x 22，y ＝y 1＋y 22.
对于A ,B ,M 三点,只需知道其中两点的坐标,便可求出其余一点的坐标.
3.坐标法应用的注意点：
一些平面几何问题用坐标法解决更简单,但要把坐标系建立在适当的位置上,注意利用图形的几何性质.
(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；
(2)如果图形中有互相垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴；
(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴.
事实上,建立不同的直角坐标系,相关点的坐标不同,但不影响最后的结果.。