基本几何体(2)
基本几何体
基本几何体几何学是一门讨论物体形状以及相互作用的学科，在其中，基本几何体起到至关重要的作用。
基本几何体指的是多维平面几何图形的构成，如平面、空间三角形、空间四边形、正方体、棱柱体、圆锥体、椎体等。
它们是多维平面几何图形的基础，研究它们可以帮助我们更好地理解物体的形状。
平面是基本几何体的一种，它由点、线、线段和弧线构成，是最基本的物体形状，平面可以在二维空间内表示，它的宽度和长度可以通过座标系来表示。
它的高度、半径、斜率等等有用的信息也可以从座标系中获得。
空间三角形是基本几何体中的另一种，它是由三条边和三个顶点构成的，这三条边一般称作顶边，起始点和结束点称为顶点。
三角形可以在三维空间内表示，它可以描述物体的表面形状，可以帮助我们更好地理解物体的形状。
空间四边形是基本几何体的另一种，它由四条边和四个顶点构成，称为多边形。
它可以在三维空间中描述物体的表面形状，可以用来描述物体的结构与外形，四边形的面积可以通过其各条边的长度和夹角来计算。
正方体是基本几何体中的另一种，它由六个面和八个角构成，一般把八个角和六个面分别称为端点和面。
正方体可以在三维空间内展示，它可以用来描述物体的整体形状，可以知道物体的长、宽、高，可以通过体积的计算来计算物体的重量。
棱柱体是基本几何体的另一种，它由两个圆面加上一条棱组成，其中圆面可以是圆、椭圆、圆环等，棱柱体可以在三维空间中描述，它可以帮助我们更好地理解物体的整体形状。
另外，还可以通过它的体积来计算物体的重量。
圆锥体是基本几何体中的另一种，它是由一个圆面和一个椭圆面组成的，圆锥体也可以在三维空间中描述，它可以帮助我们更好地理解物体的外形，也可以通过它的体积来计算物体的重量。
椎体是基本几何体中的另一种，它由三个圆面和一个椭圆面组成，椎体也可以在三维空间中描述，它可以帮助我们更好地理解物体的外形，还可以通过它的体积和表面积计算物体的重量。
以上就是基本几何体的基本特征，它们是多维平面几何图形的基础，可以用来描述物体的形状，并且可以结合物理学中的相关定理，用来计算物体的面积、体积、重量等。
高中数学第八章立体几何初步8.1基本立体图形教案第二册
8.1 基本几何图形第1课时棱柱、棱锥、棱台立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小、位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间，学习立体几何对我们更好地认识客观世界，更好地生存与发展具有重要意义。
在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体观察入手、认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。
本节内容既是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续和提高，也是后续研究空间点、线、面位置关系的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
课程目标1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型．3．与平面几何体的有关概念、图形和性质进行适当类比,初步学会用类比的思想分析问题和解决问题．数学学科素养1。
数学抽象:多面体与旋转体等概念的理解；2.逻辑推理：棱柱、棱锥、棱台的结构特点；3.直观想象：判断空间几何体；4。
数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转化的思想方法.重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征;难点：棱柱、棱锥和棱台的侧面展开图问题.教学方法:以学生为主体，小组为单位,采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在平面几何中，我们认识了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等平面图形。
但我们知道在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.那么对空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别？要求:让学生自由发言，教师不做判断.而是引导学生进一步观察.研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本97-100页，思考并完成以下问题1、什么是空间几何体？什么是多面体与旋转体?2、多面体包含哪些图形?这些图形是怎样定义的？又有什么结构特点?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
基本几何体
基本几何体
基本几何体是数学中与平面几何相关的几何体类，有四类基本几何体，它们分别是立方体、四棱锥、三棱柱和四棱柱。
它们是空间几何及其重要组成部分，多维几何建模中的一个基本概念。
立方体是数学中最常见的三维几何体，一个正方体由六个正方形组成，正方形中心之间的距离是相同的，每个正方形周围都有垂直相邻的4个侧棱。
立方体拥有6个平面，12条边，8个顶点。
每个面的长宽和高度是相等的，所以它的表面积和体积也是相等的。
立方体有许多应用，例如，它可以用来做房子的建筑构造，也可以用来做陶瓷器皿以及精细的木工。
四棱锥由四个等边三角形和一个等边正方形组成，它有五个平面、八条棱，其中两个棱是平行的，每个棱的长度都是相等的。
四棱锥的形状非常独特，它有两个面是平面，其余三个面是斜面，因此，它在数学中也有很多应用，可以用来模拟结构体的形状，也可以用来研究力学问题。
三棱柱是一个由六个面组成的几何体，三个面是正方形，剩下三个是三角形，它有六条棱，棱之间的边长是相等的，正方形和三角形之间也是相同的。
三棱柱也常被用于建筑学中，可以将它们拼接成屋面结构，因此，三棱柱有着结实的支撑力，也有较高的稳定性。
最后，还有一类几何体叫四棱柱，它是由八个面组成的，其中四个面是正方形，剩下四个是三角形，它共有六条棱，每条棱都是相等的，正方形和三角形之间也是相同的。
四棱柱有着广阔的应用，可以
用来建筑，也可以用来处理结构模型，甚至可以用来建立有趣的立体图。
总之，基本几何体是数学及其以及几何建模中的重要概念，它们包括了立方体、四棱锥、三棱柱和四棱柱，它们的形状各有不同，在建筑、力学、几何建模等领域都有着广泛的应用。
建筑形式美法则、要素、手法
三.轴线
（一）轴线的性质和类型
1、建筑（群）的轴线
——建筑所占有空间关系的“线”
曲 阜 孔 庙 中 轴 线
北京故宫中轴线
2、轴线的类型
（1）对称轴线 （2）非对称轴线
3、对称轴线
（1）基本特征：庄重、雄伟，但缺乏情趣 （2）基本手法：空间及物体（建筑等）左右对称，限定出中轴线 （3）性质：
建筑的形式美法则、要素、手法
造型 比例与尺度 轴线 虚实与层次 建筑形象的起止与交接 构件的装饰作用与装饰构件 建筑与色彩
第一部分 建筑形式美法则与要素
一、建筑形式的审美
1、审美规律 2、审美要素——形、色、质、光
二、建筑形式美的形体构建
5种基本几何形体构建
一.建筑形式的审美
一、建筑形式的审美
凉山民族文化艺术中心
（2）色
——色彩与材质的效应 ——色彩在表皮中的面积
（3）质
——材料的质感 ——材料的肌理
玻璃蕴含着纯净透明、光彩夺目、晶莹剔透 的精美感，是光芒与生命力的渴望。
德国国会大厦玻璃穹顶
陕 西 富 平 国 际 陶 艺 博 物 馆 主 馆
（4）光
——自然光、人工光、物体漫反射光
雄狮凯旋门
圣·丹尼斯门
6、现代建筑中的几何分析
上海大剧院
巴黎奥赞芳特工作室
（二）立体形象
1、变化与统一的形式美
西尔斯大厦
蒙特利尔“67号”住宅
洛斯·马纳蒂科斯餐厅
2、整体的形式美
泰姬·玛哈尔陵
3、形态类型统一有助于造型
立方形母题及其变形
失败的造型
三角柱和圆柱母题及其变形
（三）建筑的轮廓线——建筑的外形轮廓
人教A版高中数学必修二 《基本立体图形》立体几何初步(第二课时旋转体及简单组合体的结构特征)
[解析] ①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥，故错误；②以 直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台，故错误；③它们的底面为圆 面，故正确；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就 在球面上，故⑤错误；球面上任意三点一定不共线，故⑥错误．
[答案] ③④
课前 • 自主探究 课堂 • 互动探究 课后 • 素养培优 课时 • 跟踪训练
[教材提炼] 知识点一 圆柱的结构特征 预习教材，思考问题 圆柱是由几个平面围成的吗？若不是，它又是怎么构成的呢？
[提示] 圆柱的面不都是平的，如侧面就是曲的．它是以矩形的一条边为旋转轴， 其余三条边旋转一周形成的面围成的旋转体．
2．已知 AB 是直角梯形 ABCD 中与底边垂直的一腰，如图．分别 以 AB、BC、CD、DA 为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．
解析：(1)以 AB 为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示． (2)以 BC 边为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图② 所示． (3)以 CD 边为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去 一个小圆锥．如图③所示．
若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图，则它爬行的最短距离是多少？
解析：可把圆柱展开两次，如图，则 AB′即为所求． ∵AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π， ∴AB′＝ AB2＋BB′2＝ 4＋16π2＝2 1＋4π2. 故蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋4π2.
一般地，沿多面体或旋转体的表面最短距离(路程)问题，用侧面展开解决．
答案：C
3．如图所示的组合体，其结构特征是 ( ) A．两个圆锥 B．两个圆柱 C．一个棱锥和一个棱柱 D．一个圆锥和一个圆柱
解析：题图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的组合体．
机械制图 第五章 基本几何体
圆柱的三面视图画图步骤：
O A
O1 A1
2.在圆柱表面取点
已知圆柱表面的点的投影1’、2’、3’、4，求其它两面投影。
4
4″
1′
3
(2)
1″
3
2″
利用投影 的积聚性
O
2
A
1
4
3
O1 A1
利用45°线作图
k" k'
k
圆锥的投影
❖圆锥的概念
圆锥面是由一条直母线SA，绕与它相交的轴线 旋转形成的。它是由圆锥面和底面（圆形平面） 组成。
▪ 棱柱的其他四个侧棱面均为铅垂面，水平投影 积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。
▪ 棱线为铅垂线，水平投影积聚为一点，正面投 影和侧面投影均反映实长。
▪ 棱柱的边为侧垂线或水平线，侧面投影积聚为 一点或是类似形，水平投影均反映实长，侧垂 线正面投影亦反映实长。
棱柱的三面视图画图步骤
直棱柱三面投影特征： 一个视图有积聚性，反
圆柱的投影
一、 圆柱
由顶圆、底圆和圆柱面围成。 圆柱面是由直线AA1绕与它平 行的轴线OO1旋转而成。 直线AA1称为母线。
O A
O1 A1
1.圆柱的三面视图
直立圆柱的上顶、下底是水 平面，V和W面投影积聚为 一直线，由于圆柱的轴线垂 直于H面，圆柱面的所有素 线都垂直于H面，故其H投 影成圆，具有积聚性。 柱面的V，W投影为同样大 小的矩形线框。V面投影 a’a1’c’c1’分别为最左、 最右两条轮廓线AA1和CC1的 投影，左视图矩形线框的两 侧边分别为圆柱面的最前、 最后两条转向轮廓线的投影， 它们的V面投影与轴线重合。
基本立体图形(第2课时)圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征(人教A版2019必修第二册)
圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥.
新知探索
如图，与棱台类似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之
间的部分叫做圆台.生活中的纸杯就是具有圆台结构特征的物体.
与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线.圆台也用表示它的轴的
字母表示，如图中的圆台，记作圆台’ .
新知探索
的圆锥的母线长为12 ，则圆台的母线长是多少？
解：如图是圆台的轴截面，由题意知 = 2 ，’ ’ = 1 ， = 12 .
’ ’
’
由∆ ∼ ∆，得
= ，得’
所以’ = − ’ = 12 − 6 = 6().
’
’
所以圆台的母线长为6 .
=
’ ’
1
2
∙ = × 12 = 6().
练习
方法技巧：
解决旋转体中计算问题的方法策略
(1)巧用轴截面实现空间图形平面化：旋转体中有关底面半径、母线、高以及
有关球的问题的计算，可巧用轴截面求解，即将立体问题转化为平面问题.
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆
新知探索
现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，
还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体.
图1
图2
简单组合体的构成有两种基本形式，一种是由简单几何体拼接而成，如图1中的物
体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图2中的几何体.
新知探索
思考2：棱柱、棱锥与棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？
当底面发生变化时，它们能否相互转化？圆柱、圆锥与圆台呢？
高中数学立体几何初步基本立体图形第2课时旋转体与简单组合体的结构特征课后提能训练新人教A版必修第二册
第八章 8.1 第2课时A级——基础过关练1．下列几何体中是旋转体的是( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①和②C．③和④D．①和④【答案】D【解析】根据旋转体的概念可知,①和④是旋转体．2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )A．圆锥、棱柱B．圆锥、棱锥C．球、棱锥D．圆锥、圆柱【答案】B【解析】根据图①的底面为圆,侧面为扇形,得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形,侧面均为三角形,得图②折叠后的图形是棱锥．3．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是( )A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球【答案】B【解析】由题意可得AD⊥BC,且BD＝CD,所以形成的几何体是圆锥．故选B.4．如图,在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是( )A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱【答案】B【解析】一个六棱柱挖去一个等高的圆柱．故选B.5．(多选)如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法正确的是( )A ．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B ．该几何体有12条棱、6个顶点C ．该几何体有8个面,并且各面均为三角形D ．该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余各面均为三角形 【答案】ABC【解析】该几何体用平面ABCD 可分割成两个四棱锥,因此它是这两个四棱锥的组合体,因而四边形ABCD 是它的一个截面而不是一个面．故D 说法不正确．故选ABC.6．下列说法正确的是________．①圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成；②在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线平行,圆锥的任意两条母线相交,圆台的任意两条母线延长后相交．【答案】③【解析】①错,圆台是直角梯形绕其直角边所在直线或等腰梯形绕其底边中点的连线所在直线旋转形成的；由母线的定义知②错；③正确．7.(2021年武汉期末)如图是一个几何体的表面展开图形,则这个几何体是________．【答案】圆柱【解析】一个长方形和两个圆折叠后,能围成的几何体是圆柱．8．一个半径为5 cm 的球,被一平面所截,球心到截面圆心的距离为4 cm,则截面圆面积为________cm 2.【答案】9π【解析】设截面圆半径为r cm,则r 2＋42＝52,所以r ＝3,所以截面圆面积为9π cm 2. 9．圆台的上底周长是下底周长的13,轴截面面积等于392,母线与底面的夹角为45°,求此圆台的高、母线长及两底面的半径．解：设圆台上、下底面半径分别为r ,R ,母线长为l ,高为h . 由题意,得2πr ＝13·2πR ,即R ＝3r .①12(2r ＋2R )·h ＝392,即(R ＋r )h ＝392.② 又母线与底面的夹角为45°,则h ＝R －r ＝22l .③ 联立①②③,得R ＝21,r ＝7,h ＝14,l ＝14 2.10．已知一个圆锥的底面半径为r ,高为h ,在此圆锥内有一个内接正方体,这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上,求此正方体的棱长．解：作出圆锥的一个纵截面如图所示,其中AB ,AC 为母线,BC 为底面直径,DG ,EF 是正方体的棱,DE ,GF 是正方体的上、下底面的对角线．设正方体的棱长为x ,则DG ＝EF ＝x ,DE ＝GF ＝2x .依题意,得△ABC ∽△ADE ,∴hh －x＝2r 2x,∴x ＝2rhh ＋2r,即此正方体的棱长为2rhh ＋2r.B 级——能力提升练11．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．0.5【答案】B【解析】如图所示,∵两个平行截面的面积分别为5π,8π,∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5,r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21,d 2＝R 2－r 22,∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1,∴R 2＝9,∴R ＝3.12．(多选)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法,其中说法正确的是( )A ．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B ．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C ．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D ．由一个长方体与两个四棱台组合而成的【答案】AB【解析】如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成．故选项AB正确．13．用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径是________．【答案】2π或4π【解析】如图所示,设底面半径为r,若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长,则2πr＝8,所以r＝4π；同理,若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长,则2πr＝4,所以r＝2π.14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的高为________．【答案】 3【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则4π＝πl2,所以母线长为l＝2.所以半圆的弧长为2π,圆锥的底面的周长为2πr＝2π,所以底面圆半径r＝1.所以该圆锥的高为h ＝l2－r2＝22－12＝ 3.15.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体,则截面图形可能是________(填序号)．【答案】①⑤【解析】当垂直于圆柱底面的平面经过圆锥的顶点时,截面图形如图①；当垂直于圆柱底面的平面不经过圆锥的顶点时,截面图形可能为图⑤.16．圆台的两底面面积分别为1,49,平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和,求圆台的高被截面分成的两部分的比．解：将圆台还原为圆锥,如图所示．O 2,O 1,O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心,V 是圆锥的顶点．令VO 2＝h ,O 2O 1＝h 1,O 1O ＝h 2,则⎩⎪⎨⎪⎧h ＋h 1h ＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝491，所以⎩⎪⎨⎪⎧h 1＝4h ，h 2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1.故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.C 级——探索创新练17．我国古代名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺,围之五尺．葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好与圆木顶部平齐,问葛藤最短长多少尺？”(注：1丈等于10尺)则葛藤最短为( )A ．29尺B ．24尺C ．26尺D ．30尺【答案】C【解析】由题意,圆木的侧面展开图是矩形,将圆木侧面展开两次,则一条直角边(即圆木的高)长为24尺,其邻边长为5×2＝10(尺),因此葛藤最短为242＋102＝26(尺)．18．如图所示,已知圆锥SO 中,底面半径r ＝1,母线长l ＝4,M 为母线SA 上的一个点,且SM ＝x ,从点M 拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )； (2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离； (3)f (x )的最大值．解：将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长,∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝360°·L 2πl ＝2π2π×4×360°＝90°.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ,其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)绳子最短时,在展开图中作SR ⊥AM ,垂足为R ,则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离．在△SAM 中,∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ,∴SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16(0≤x ≤4),即绳子最短时,顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4)．(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数, ∴f (x )的最大值为f (4)＝32.。
立体几何的基本理论与应用知识点总结
立体几何的基本理论与应用知识点总结立体几何是几何学的一个重要分支，研究物体在三维空间中的形态、性质和变化规律。
它在工程、建筑、设计等领域具有广泛的应用。
下面将对立体几何的基本理论与应用进行总结。
一、几何体的定义及性质1. 点、线、面、体的概念：- 点是几何的基本元素，没有大小和形状，只有位置；- 线由无数个点组成，是一维几何体；- 面由无数个线组成，是二维几何体；- 体由无数个面组成，是三维几何体。
2. 基本几何体的性质：- 线段的长为两点间的距离；- 四边形的对边相等且平行；- 平行四边形的对角线相等；- 矩形的对角线相等且平分对角线。
3. 常见几何体的性质：- 球体的表面积公式为4πr²，体积公式为(4/3)πr³；- 圆柱体的侧面积公式为2πrh，体积公式为πr²h；- 圆锥的侧面积公式为πrl，体积公式为(1/3)πr²h；- 正方体的体积公式为a³，表面积公式为6a²。
二、立体图形的投影与展开1. 投影：- 正射投影是指物体在光源无限远处的影像；- 斜投影是指物体在光源有限距离处的影像。
2. 展开：- 将一个立体图形展开成平面图形的过程叫做展开；- 展开后的平面图形可以辅助我们计算体积、表面积等。
三、空间几何关系1. 平行与垂直关系：- 平行关系：两条直线或两个平面永远不会相交；- 垂直关系：两条直线或两个平面互相垂直。
2. 相交关系：- 相交关系可以分为相交、相切和相错几种情况；- 相交角为180°，相切角为90°。
3. 平面与直线的位置关系：- 直线在平面内部或平面上；- 直线与平面相交于一点；- 直线与平面平行或重合。
四、立体几何的应用1. 工程测量：- 地形测量、建筑测量、航空测量等都需要用到立体几何知识。
2. 工程设计：- 建筑设计、产品设计等需要进行空间布局和尺寸计算。
3. 机械制造：- 零件的三维造型、组合装配过程等都依赖于立体几何。
第3章 基本几何体
凡是与坐标轴平行的 线段就可以在轴测图 上沿轴向进行度量和 作图——轴测图
轴测图分类
▪ 用正投影法形成的轴测图叫正轴测图。 ▪ 用斜投影法形成的轴测图叫斜轴测图。
轴测图
正轴测图
正等轴测图 p = q = r 正二轴测图 p = r q 正三轴测图 p q r
斜轴测图
斜等轴测图 p = q = r 斜二轴测图 p = r q 斜三轴测图 p q r
B● 1
●
F ● 1
▪ 曲面立体正等轴测图的画法：
Z' O1'
●
●
●
h
X'
X
2
O'
●●
31
●
4● 1
3
●
●
O1
X1
2● 11 ● 1源自O4●Y1
1
Y
3.8根据视图画正等轴测图
1.
2.
3.
▪ 圆角的简化画法：
B2 ●
A2● 11 A1●
C2 ● O C5● 1● O●
2
21 D● 1
B ●
1
O● 3
班级
姓名
学号
曲面立体正等轴测图的画法
▪ 平面圆的正等轴测图画法：
平行于H面的椭 Z1 圆长轴⊥O1Z1轴
平行于W面的椭 圆长轴⊥O1X1轴
X1
平行于V面的椭 圆长轴⊥O1Y1轴
Y1
▪ 四心圆弧法：
e ● E1 ●
a
b
●
A● 1 ●
f
1.画圆的外切菱形 2.确定四个圆心和半径 3.分别画出四段彼此相切的圆弧
（a) （b) （c) 班级
（a) 6.
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3.2.3 圆锥体
母线
S
素线
X
a'
c' (d') A a d
d"
C
a" (b") c" b
A
O
最左轮 廓素线
c 素线的投影
最后
最右
最前
最左
圆锥轮 廓素线
2. 属于圆锥表面的点
已知圆锥表面点M的正面投影m′，求m和m″。 方法：(1)辅助素线法
s'
m'
m" 1'
Z
s" s
X 最左轮 廓素线
Y 最前轮 廓素线
圆柱的投影图
a' b'
c'
d'
分析圆柱轮廓素线的投影
V面投影 轮廓素线
圆柱轮廓 素线(转向 轮廓线）
3.2.2 圆柱体表面上取点
若已知属于圆柱体表面的点M的正面投影m'， 求另两面投影。
m'
m"
根据所给定的m'的 位置，可断定点M在前 半圆柱的左半部分；因 圆柱的水平投影有积聚 性，故m在前半圆周的 左部，m"(可见）可由 m'和m求得。 注意：判别可见性。
回转圆的 另两面投 影分别在 中心线上！
X
O
YW
YH
2. 属于球体表面的点
已知圆球表面点M的水平投影m，求其他两面投影。 作图方法：采用辅助圆法。过点M在球面上作一 平行于投影面的辅助圆。点的投影必在辅助圆的同 面投影上。 Z
m' d' X O m" （d" ） YW
M
m（d） YH
基本几何体
常见的基本几何体 平面基本体
基本体是由各种面围成的。
曲面基本体
第3章 基本几何体的投影
回转体的投影
3.2 回转体的投影 3.2.1圆柱体 1.圆柱体表面由圆柱面和上、下两个平面组成。 圆柱面由直线AB绕与它平行的轴线等距旋转而成。
Z
O
素线
A V a'
b'
B d' A
c'
B
母线
O
C
X
O
YW M
s
1 m
o
Ⅰ
YH
(2) 辅助圆法
s'
m' m"
Z
s"
X s
m
O
YW
M YH
3.2.3 圆球
形成：圆球可看作是一圆(母线)围绕直径回转而成。 投影：球体的各面投影为三个不同的回转圆。
回转轴
主视轮廓圆 平行V面
Z
左视轮廓圆 平行W面
W
X
素线圆
母线圆
俯视轮廓圆 平行H面
Y
圆球的投影图形
Z
m
例：圆柱表面上取点
a' a"
b'
(c') c"
(b")
c b
C
A B
a
形成：锥面可看作直线SA绕与它相交的轴线旋转而成。 构成：圆锥体由圆锥面，底面（平面）所围成。 视图分析：圆锥俯视图是一个圆线框，主、左视图是 两个全等的三角形线框。 最前轮 Z 俯视图的圆线框，反映 廓素线 圆锥底面的实形，同时也表 s' 示圆锥的投影。主、左视图 V s" S 的等腰三角形线框，其下边 b' 为圆锥底面的积聚性投影。