椭圆复习课的教学设计改教学提纲
椭圆复习课的教学设
计改
椭圆复习课一、内容提要
二、热身训练
1、已知椭圆的方程为：116
252
2=+y x ，请填空： (1) a = ，b = ，c = ，焦点坐标为 ，焦距等于 。
的距离是到另一个焦点，那么点的距离等于到焦点）该椭圆上一点（2162F P F P
（3）该椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，顶点坐标
为 。
等于，则轴上，若焦距为长轴在）已知椭圆（m y m y m x 4,12
1042
2=-+- 三、例题讲解
题型一 椭圆的定义及其标准方程
【例1】1、求适合下列条件的椭圆标准方程.
;5),4,0(,401=-a ），）焦点坐标分别为（（
4,102=-=+c a c a ）（
），（，并且经过点轴上，焦距等于）焦点在（62343-P x
53,34==e c y 轴上，）焦点在（ 5
3205，离心率等于）长轴长等于（
2、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3
52，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．
变式练习：椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为e=2
1，求椭圆E 的方程（2010安徽）。
题型二 椭圆的几何性质
【例2】 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________.
变式练习：已知椭圆122
22=+b y a x )0(>>b a 的中心O 与一个焦点F 及短轴的一个端点M 组成等腰直角三角形FMO ，则它的离心率为 。
题型三 直线与椭圆的位置关系
【例3】1、求下列直线和椭圆的交点坐标
1913122
=++=y x x y ，）（ 191601322
2=+=+-y x y x ，）（
2、经过椭圆12
22
=+y x 的左焦点1F 做倾斜角为ο60的直线l ，与椭圆相交于A,B 两点，求AB 的长.
3、已知椭圆19422=+y x ，一组平行直线的斜率是2
3. （1）这组直线何时与椭圆相交？
（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.。
2_2椭圆的概念及简单几何性质复习教案(苏教版选修2-1)
课题： 椭圆的概念及简单几何性质复习（一） 、教学目标：（1）知识与技能：熟练掌握椭圆的概念、范围、对称性、顶点，掌握c b a ,,几何意义以及c b a ,,的相互关系，学习利用方程研究曲线性质的方法。
（2）过程与方法：通过图形尝试知识的回顾，使学生经历知识回顾的过程，以自主探究为主，通过自身体验数学知识回顾的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的水平。
（3）情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲自体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
教学重点、难点：重点：掌握椭圆标准方程及椭圆的几何性质的简单应用；注重学生在探究椭圆相关知识回顾过程中思维的过程体现，如思维角度和思维方法。
难点：椭圆概念及几何性质的简单应用。
通过本节课的教学力求使一个平淡的知识回顾过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。
教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况即时地调整教学方案。
学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。
根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。
教学媒体选择与应用：使用实物投影及多媒体辅助教学。
借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维理解，遵循学生的认知规律，提升学生的思维层次。
教学过程：一、创设问题情景，学生自主探究：问题：观察下图，你能说出我们学过椭圆的哪些知识？知识点归纳1.定义：①平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)． 数学符号形式：___________________②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆数学符号形式：___________________ 2.椭圆参数的几何意义，如图所示： （1）|PF 1|+|PF 2|=____，|PM 2|+|PM 1|=_____，||||11PM PF =||||22PM PF =________；（2）=11F A 22_____A F =,=21F A 21____A F =；1__________PF ≤≤3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式：______________和____________)0(>>b a 其中2______c =椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的焦点坐标是________，准线方程是__________，离心率是_______， 范围：______________，长轴长=_____，短轴长=______，焦距＝______ ， 焦半径：1_________________PF =，2___________PF =. 二、小试牛刀：1．已知椭圆上2212516x y +=一点Ｍ。
8.2椭圆的简单性质复习课
教学目标：
１．掌握直线与椭圆的相关性质；
２．掌握直线与椭圆各种量的运算；
３．培养学生的运算能力．
教学重点：距离公式与重点坐标公式
教学难点：运算的简化处理
教学过程：
Ⅰ.复习回顾（学生并自学回答）
1.椭圆的定义与方程
①椭圆的第一定义：已知F1，F2是平面内两个定点，P是动点，当且仅当它们满足条件|PF1|+|PF2|=定长2a且2a>|F1F2|时，P的轨迹是椭圆.
【例2】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|= ，求椭圆方程.
【例3】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e= ，已知点P(0， )到这个椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆的方程.
●对应训练分阶提升
一、基础夯实
1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是
知识与技能：通过探究，掌握椭圆的几何性质，提高猜想能力，合情推理能力，培养发现问题，提出问题的意识。
过程与方法：通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，理解坐标法中由曲线方程研究曲线几何性质的思想方法。
情感态度与价值观：通过探究，体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情，初步培养创新意识和科学精神。
A.3x2+4y2=8 B.4x2+3y2=8C.3x2+4y2+8x=0 D.3x2+4y2-8x=0
5.椭圆 (a>b>0)的中心及两个焦点将x轴夹在准线间的线段四等分，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
6.到定点(2，0)的距离与到定直线x=8的距离之比为 的动点轨迹方程是
A.3x2+4y2=48 B.x2+2y2+8x-56=0 C.4x2+3y2=48 D.3x2+2y2-8x+68=0
最新椭圆(高三复习课教案)
椭圆（高三复习课）阜阳三中谭含影一、教学内容分析圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算，并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础。
二、学生学习情况分析本班是普通文科班，此课之前，学生已经学习过相关内容。
此时，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
总体上来讲，由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，分析问题不透彻，知识体系不完整，使得学生在对椭圆定义的理解及其标准方程的灵活运用上有一定的难度。
因此根据尝试教学法，教学过程中遵循“练习探索——自主复习——课堂研究——巩固运用”的四个要素，侧重学生的“练” 、“思”、“究” 的自主学习。
通过学生的“练” 、“ 思”、“究” ，再到教师的“讲” ，使学生的学习达到“探索有所得，研究获本质” 。
三、教学目标1、知识与能力：能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。
2、过程与方法：通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；理解数形结合的思想，并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。
3、情感、态度与价值观：通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
四、教学重点与难点教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。
2、了解椭圆的简单应用。
教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。
五、教学过程1、知识梳理构建网络问题1平面内与两个定点F「F2的距离之和为常数的点的轨迹是什么常数大于\F1F2 |时，点的轨迹是椭圆常数等于\F1F2 \时，点的轨迹是线段F1F2常数小于\ F1F2 \时，点的轨迹不存在F! F2问题2:平面内到定点 F 与到定直线l 的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆吗? 常数e(0<e<1)点的轨迹是椭圆2 2 2 2字 卡 T , 合 ¥ 冷，(a >b > 0)分别表示中心在原点，焦点在 问题4:椭圆的几何性质有哪些?问题3:椭圆的标准方程的两种形式是什么?x 轴和y 轴上的椭圆2、要点训练知识再现例1设椭圆的两个焦点分别为F i、F2 ,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若厶F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。
椭圆的定义及其标准方程复习课教学设计
椭圆的标准方程和性质（第一课时）教学课型：复习课教学方法：考纲、提纲指引法，精讲多练法一、教学目标1、知识目标：A识记：①记住椭圆的定义和相关性质；②区分椭圆的两种类型的标准方程及其对应的图形；③能根据a、b、c的值和不同焦点位置写出椭圆的标准方程。
B理解：①理解椭圆的焦点、顶点，长轴、短轴、焦距和离心率等概念的意义；②掌握a、b、c之间的关系，会由其中的两个求出第三个。
C掌握：学会运用定义法、待定系数法和数形结合等方法解题。
2、能力目标：①培养学生建立适当坐标系的解析法解题能力。
②巩固与发展学生的定义法解题、待定系数法解题和数形结合的解题能力。
3、情感目标：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。
二、教学重点、难点1、教学重点：①椭圆的定义和基本性质；②椭圆标准方程的形式与图形、焦点和顶点坐标间的对应关系；③根据条件求椭圆的标准方程。
2、教学难点：①对椭圆定义和离心率的理解；②应用标准方程的形式与图形、焦点坐标对应关系解题。
三、教学过程（一）考纲要求展示第二章椭圆、双曲线、抛物线（二）知识点复习1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c 表示）。
2．椭圆的定义表达式：对于椭圆上任一点P 和两个定点1F 和2F ， 都有 12||||2PF PF a += ，（其中2a 是大于12||F F 的常数） 3.椭圆的标准方程：当椭圆焦点在x 轴上时，方程形如：22221x y a b+=，（）；当椭圆焦点在y 轴上时，方程形如：22221y x a b+=，（）。
12(0,),(0,)F c F c -21),(0,),(,0),A a B b B -（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1。
（2）椭圆的标准方程中三个参数a 、b 、c 满足222a b c =+。
椭圆双曲线综合复习教案
椭圆、双曲线复习【目标要求】体验从具体情境中抽象出椭圆、双曲线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质以及内在联系；进一步提高学生解析能力。
【教学重点】掌握这两种曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、技巧和基本方法。
【教学难点】这两曲线的概念和性质在实际问题里面的灵活应用。
【教学方法】：讲练结合、数形结合。
【教学用具】：多媒体演示【课型】：复习课【课时】：1课时【教学过程】一、给出椭圆定义、引出方程和性质展示给学生椭圆、双曲线定义及图形的形成过程，帮助同学进一步理解椭圆、双曲线的定义，性质。
1、定义椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．F 1， F 2叫做椭圆的焦点；21F F 叫做椭圆的焦距． 双曲线的定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线．F 1， F 2叫做双曲线的焦点；21F F 叫做双曲线的焦距． 2、性质一览表椭圆与双曲线焦点在x 轴上椭圆与双曲线焦点在y 轴上二、本节我们要解决的问题：1.根据已知条件求标准方程：1）利用定义求标准方程：2）通过a,b,c的值，求标准方程：2.已知标准方程，求顶点，焦点，离心率等3.椭圆与双曲线综合4.利用基础知识，解决实际问题。
例1:（根据定义求曲线的标准方程）1. 已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．2.已知双曲线的焦点在y 轴上，且焦距为14，双曲线上一点到两个焦点距离之差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程． 1解：.由于2c = 8，2a = 10，即c = 4，a = 5，所以 222c a b -==9由于椭圆的焦点在x 轴上，因此椭圆的标准方程为1352222=+y x 即192522=+y x2解. 由已知得 2c = 14，2a = 8，即c = 7，a = 4，所以222a c b -==33由于双曲线的焦点在y 轴上，因此双曲线的标准方程为1331622=-x y 例2（根据已知条件a ，b ，c 求标准方程）1. 已知：双曲线的一个焦点为（5，0），渐近线方程为x y 34±=，求：双曲线的标准方程解 由已知条件知双曲线的焦点在x 轴．所以有2522=+b a34=a b 解得，a=3，b=4故所求的双曲线方程为116922=-y x例3（椭圆与双曲线综合）求以椭圆 64422=+y x 的焦点为顶点，一条渐近线方程为03=+y x 的双曲线的标准方程方程．解：椭圆化为标准方程 1641622=+y x求得椭圆焦点为（0，± 43）即双曲线的半实轴长：a= 43, 且焦点在y 轴上渐近线方程为y= x 31- 即=b a 31 故双曲线的半虚轴轴长：a=43,b=12所以，所求双曲线方程为：11444822=-x y 三、小结：1. 椭圆和双曲线的基础知识2.椭圆与双曲线的基本题型：（1）.根据已知条件求标准方程：（2）.已知标准方程，求性质；（3）. 椭圆与双曲线综合；（4）.利用基础知识，解决实际问题。
高中数学新北师大版精品教案《椭圆复习课》
教学设计
第五节椭圆（高三复习课）
一、教学目标
1、知识与能力：能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。
2、过程与方法：通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；理解数形结合的思想，并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。
3、情感、态度与价值观：通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
二、教学重点与难点
教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。
2、了解椭圆的简单应用。
教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。
三、教学过程
师生活动：。
椭圆复习课说课稿.ppt
四、教学过程设计
这节课以教师引导，学生活动为 主线，分为（1）导入（2）展示 学习目标（3）探究学圆复习课，教师简要介绍椭圆在 本章中的地位，及在高考中所占 比重，应给予足够重视，引导学 生进入情景。
展示学习目标：介绍这节课主 要内容、重点、难点
椭圆复习课:说课稿
天津市蓟县城关四中 赵海芬
一、教材分析和处理
1、节内容在教材中的地位和作用
本节内容是圆锥曲线第一节，可以说是圆锥曲线中的最重要内容之一。
在历届的高考数学试题中，有关圆锥曲线的试题所占比重较大，分值约 占全卷的15%左右。因而椭圆是高考命题的热点之一。
2、教学目标
（1）椭圆的两个定义、方程、几何性质（知识目标）
（2）深刻理解掌握椭圆有关概念，应用椭圆的定义、方程、性质来解释 问题
（3）培养学生分析问题、解决问题的能力，相互探讨，共同提高
3、学生情况分析
因为这节是复习课，学生对椭圆的定义、方程及其简单几何性质有了初 步认识和了解。要想能够深刻理解掌握，根据《新课程》中要求，以学 生为全体，充分调动学生在课堂中的主体作用，运用教学媒体，加大直 观性，通过观察图象变化和图象特点，让学生增强注意力，利用实例巩 固概念和性质。
三、学法
新的课程理念是“以学生的发
展为核心”，在学习过程中，让他们 自主学习，共同探讨，改变过去接受 式学习，发展成创造性学习，例如研 究椭圆定义时，让他们自己去发现椭 圆的特点及其几何性质。另一发面， 学生在学习中的情感发展，问题解决 能力也是学习任务的一部分。引导他 们对感兴趣的话题深入钻研，合作探 讨，互相借鉴。
这时，举例，例1，中心在坐标原点，焦点在x轴的椭圆过点（1， 4）、（7，2），求椭圆方程。
由学生根据已有知识自己解答此问题，教师归纳总结，复习完几 何性质后，关于知识点的应用，主要讲解了椭圆定义的应用，利 用例1、例2，借助与信息技术手段，同学们思考，师生共同解答、 探讨。
椭圆及其方程复习教案
椭圆及其方程复习教案教案标题：椭圆及其方程复习教案教学目标：1. 复习椭圆的定义和性质；2. 复习椭圆的标准方程和一般方程；3. 掌握椭圆的离心率与长短轴长度之间的关系；4. 掌握椭圆的焦点、准线和直径的定义及其性质；5. 运用椭圆的相关知识解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学板书、椭圆模型等；2. 学生准备：课本、笔记、计算器等。
教学过程：Step 1：引入椭圆的概念（5分钟）1. 教师通过引入一个具体的例子或图片，向学生展示椭圆的形状，并引导学生描述椭圆的特点。
2. 教师提问学生，椭圆与其他几何图形有何区别？椭圆有哪些独特的性质？Step 2：复习椭圆的标准方程（10分钟）1. 教师讲解椭圆的标准方程，并通过具体的例子进行说明。
2. 教师提醒学生标准方程中的各个参数的含义，并解释它们与椭圆形状的关系。
3. 学生进行练习，计算给定椭圆的标准方程。
Step 3：复习椭圆的一般方程（10分钟）1. 教师讲解椭圆的一般方程，并与标准方程进行对比，说明它们之间的联系。
2. 教师提醒学生一般方程中的各个参数的含义，并解释它们与椭圆形状的关系。
3. 学生进行练习，计算给定椭圆的一般方程。
Step 4：探究椭圆的离心率与长短轴长度之间的关系（15分钟）1. 教师引导学生通过椭圆的定义和性质，探究椭圆的离心率与长短轴长度之间的关系。
2. 教师提供一个具体的椭圆，要求学生计算其离心率和长短轴长度，并总结彼此之间的关系。
Step 5：讲解椭圆的焦点、准线和直径的定义及其性质（10分钟）1. 教师讲解椭圆的焦点、准线和直径的定义，并通过图示进行说明。
2. 教师提醒学生焦点、准线和直径与椭圆的方程之间的关系，并解释其性质。
Step 6：应用椭圆的相关知识解决实际问题（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，要求学生利用所学的椭圆知识进行解答。
2. 学生个别或小组合作解决问题，并向全班展示解题过程和答案。
高三数学一轮复习椭圆教案
第一讲 椭圆一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神．二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数()1222||a a F F >的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．特征式：()121222||MF MF a a F F +=>．注：①若122||a F F <，则点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线； ②若122||a F F =，则这样的点不存在．（2）第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距 离的比是常数()01e ∈，，那么这个点的轨迹叫做椭圆．其中定点叫 做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率．特征式：()101M lMF e e d →=<<．（二）椭圆的方程（1）椭圆的标准式方程：①()()()222210x m y n a b ab--+=>>；（焦点在x 轴的平行线上，中心在()m n ，的椭圆方程） ②()()()222210y n x m a b a b --+=>>．（焦点在y 轴的平行线上，中心在()m n ，的椭圆方程） （2）椭圆的参数方程：①()2222cos 10sin x a x y a b y b a b ϕϕ=⎧⇔+=>>⎨=⎩；注：ϕ角不是NOM ∠．②()()()2222cos 10sin x m a x m y n a b y n b a b θθ=+--⎧⇔+=>>⎨=+⎩． Ｐ ＰＦ１Ｆ２Ｆ（3）椭圆的向量式方程：()121222||OM OF OM OF a a OF OF -+-=>-．（三）性质：对于椭圆()222210x y a b a b+=>>而言，①范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，椭圆落在x a y b =±=±，组成的矩形中．②对称性：图象既关于y 轴对称，又关于x 轴对称，也关于原点对称．原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．③顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．2(0)(0)A a A a -，，，，2(0)(0)B b B b -，，，；加两焦点12(0)(0)F c F c -，，，共有六个特殊点．21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴，长分别为22a b 、．a b 、分别为椭圆的长半轴长和短半轴长．④离心率：椭圆焦距与长轴长之比)01c e e e a =⇔=<<． 注：椭圆形状与e 的关系：01be a→→， ，椭圆变圆，直至成为极限位置的圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例；10be a→→， ，椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．⑤椭圆的准线方程：对于12222=+by a x ，左准线21a l x c =-：；右准线22a l x c =：；对于12222=+bx a y ，下准线21a l y c =-：；上准线22a l y c =：．⑥焦准距：焦点到准线的距离c b c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）． ⑦通径：经过焦点且垂直于长轴的弦称之为通径，长度为22b a．⑧焦半径公式：焦点在ｘ轴上的椭圆的焦半径公式： 10MF a ex =+（左焦半径）；20MF a ex =-（右焦半径）； 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：10MF a ey =+（下焦半径）；20MF a ey =-（上焦半径）； （规律：左加右减，上减下加．）⑨焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形；2cos 2tan2cos2S b e αβγαβ∆+==-；．（如何证明？） （四）椭圆系方程（焦点在x 轴的上，中心在原点）ＰＦ１Ｆ２αβγ（1）共焦点的椭圆系：()22221x y k c k k c +=>-；注：若20k c <<，则表示共焦点的双曲线系．（2）离心率相同的椭圆系：()22220x y a b λλ+=>．注：若()22220x y a bλλ-=≠，则表示共渐进线的双曲线系．三、精典例析 （一）活用定义例1：椭圆13610022=+y x 上有一点Ｐ它到椭圆的左准线距离为10，求点Ｐ到椭圆的右焦点的距离．解析：椭圆13610022=+y x 的离心率为54=e ， 根据椭圆的第二定义得，点Ｐ到椭圆的左焦点距离为：810=e ； 再根据椭圆的第一定义得，点Ｐ到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12 ． 例2：方程2x y =++表示什么曲线？解析：设()P x y ，=即：()P x y ，到定点()11A ，的距离与它到定直线20l x y ++=：的距离之比为2， 故原方程表示以定点()11A ，为焦点，以定直线20l x y ++=：为准线的椭圆．例3：定点()()22110A F ，，，是2218x y C m +=：的焦点，Ｐ是曲线Ｃ上的动点． （1）求2PA PF +的范围； （2）求23PA PF +的最小值．解析：∵()210F ，是2218x y C m +=：的焦点，∴22198x y C +=：．（1）211266PA PF PA a PF PA PF ⎡+=+-=+-∈-⎣．（2）237PA PF PA PD AH +=+≥=．引申：1P A PA PF AP d d e--+=+≥准线准线也适用于双曲线、抛物线． 例4：求过定点()12M ，，以y 轴为准线、离心率为12e =的椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程．解析：设()()00P x y F x y ，，，，则：0y y =，001322x x x x x -=⇒=()2213112224x y ⎛⎫=⇔-+-= ⎪⎝⎭， 故椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程是()22311224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．（二）焦半径公式例5：椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，其上一点()3P y ，到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程．解析：由椭圆的焦半径公式，得：3 6.5153 3.52a e a e a e +=⎧⇒==⎨-=⎩，，解得： 22257524c b a c ==-=，． 故所求椭圆方程为：22412575x y +=． 例6：已知Ｐ为椭圆221259x y +=上的点，且Ｐ与12F F 、的连线互相垂直，求Ｐ． 解析：由题意，得：+-20)545(x 20)545(x +＝641625720⨯=⇒x ，16812=y ，∴Ｐ的坐标为9999()())4444⎫--⎪⎪⎝⎭，，，，． 例7：椭圆22143x y +=上能否找到一点M ，使得M 到左准线的距离是它到两个焦点的距离的等比中项？解析：椭圆22143x y +=的左准线是4l x =-：，若存在，设()00M x y ，，则：()()()2000044a ex a ex x x +-=+⇒=-或0125x =-， ∵02x ≤，故不存在符合条件的点．例8：设Ｐ是以Ｏ为中心的椭圆上任意一点，2F 为右焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．解析：设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，焦半径P F 2是圆1O 的直径，则：11222222OO PF PF a PF a ==-=-，∴两圆半径之差等于圆心距．故以线段P F 2为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．（三）焦点三角形曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．例9：证明：椭圆的焦点三角形中，2cos2tan 2cos 2S b e αβγαβ∆+==-；． 解析：在12F F P ∆中，()()222212121212122cos 21cos F F PF PF PF PF PF PF PF PF γγ=+-=+-+，∴21221cos b PF PF γ=+，∴22121sin sin tan 21cos 2S PF PF b b γγγγ∆===+； 在12F F P ∆中，12211212sin sin sin sin sin sin F F PF PF F F PF PF γαβγαβ+==⇒=+， ∴()cossin sin 2sin sin sin sin cos 2c e a αβαβγαβαβαβ++====-++． 例10：已知椭圆的焦点是12(10)(10)F F -，，，，Ｐ为椭圆上一点，且12F F 是1PF 和2PF 的等差中项．（1）求椭圆的方程；（2）若点Ｐ在第三象限，且1223PF F π∠=，求12tan F PF ∠． Ｆ１Ｆ２αβγP解析：（1）∵12F F 是1PF 和2PF 的等差中项． ∴121224PF PF F F +==， ∴42=a ，∴b =13422=+yx ． （２）设12F PF θ∠=，则213PF F πθ∠=-，∵)60sin(120sin sin 1221θθ-︒=︒=PF PF F F ，∴)60sin(120sin sin 2121θθ-︒+︒+=PF PF F F ．∴25sin cos )sin θθθ=⇒=+∴sin 1cos 5θθ=+，故232tan =θ，1225tan tan 3125F PF θ∠===-． （四）对称问题例11：在直线40l x y +-=：任取一点，过Ｍ且以2211612x y +=的焦点为焦点作椭圆，问Ｍ在何处时，所作椭圆的长轴长最短？并求出此椭圆．解析：法1：待求椭圆的2c =，其焦点()()122020F F -，、，在直线40l x y +-=：的同侧，2F 关于直线40l x y +-=：的对称点为()242F ，1212122a MF MF F M MF F F ''=+=+≥，∴Ｍ为直线12320F F x y '-+=：与40l x y +-=：的 焦点时，所作椭圆的长轴长最短；320534022x y M x y -+=⎧⎛⎫⇒⎨⎪+-=⎝⎭⎩，，此时，12F F '= 故待求椭圆为：221106x y +=． 法2：设待求椭圆为：22221x y a b+=，则40l x y +-=：与椭圆相切于Ｍ点时，椭圆的长轴长最短，()()22222222224081601x y a b x a x b a x y ab +-=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩， ∵40l x y +-=：与椭圆相切， ∴22016a b ∆=⇒+=，又∵224a b -=，∴22106a b ==，，故待求椭圆为：221106x y +=，此时，52x =，即5322M ⎛⎫⎪⎝⎭，． 例12：已知椭圆22143x y +=上有两个不同的点P Q 、关于直线4l y x m =+：对称，求ｍ的取值范围．解析：法1：∵点P Q 、关于直线4l y x m =+：对称， ∴14PQ k =-，设14PQ l y x b =-+：，则： 22221413816480143y x b x bx b x y ⎧=-+⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩， 21304b ∆>⇒<，21212816481313b b x x x x -+==，， ∴12122242241313x x b by y b b ++=-+=-+=； ∵PQ 的中点4121313b b M ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线4l y x m =+：上， ∴12213413134b b m b m ⎛⎫=⋅-+⇒=- ⎪⎝⎭；∴21313441313m m ⎛⎫⎛⎫-<⇔∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．故ｍ的取值范围是1313⎛-⎝⎭，． 法2：设()()1122P x y Q x y ，、，，PQ 的中点()M x y ，，则：2211222212121212143313134344422x y x y y y x x y x x x y y x x x y y y⎧+=⎪⎪-⎪+=⇒=-⇔-=-⇒=⎨-⎪+=⎪⎪+=⎩， ∴PQ 的中点()M x y ，在3y x =上，则：()334y xM m m y x m=⎧⇒--⎨=+⎩，， ∵PQ 的中点()3M m m --，在椭圆22143x y +=内， ∴()()22314313m m m --+<⇒<．故ｍ的取值范围是⎛ ⎝⎭．（五）范围（最值）问题例13：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与x 轴的正半轴交于Ａ，Ｏ是原点，若椭圆上存在一点Ｍ，使0MA OM ⋅=，求椭圆离心率的取值范围．解析：()0A a ，，设()cos sin 02M a b πϕϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，， ∵0MA OM ⋅=， ∴1cos sin cos sin -=⋅-ϕϕϕϕa b a a b ，∴222cos (1cos )cos 1110sin 1cos 1cos 2b a ϕϕϕϕϕϕ-⎛⎫===-∈ ⎪++⎝⎭，．故12e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 例14：已知Ｂ是椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的上顶点，Ｐ是椭圆上的动点，求BP 的最大值．解析：设()()cos sin 02P a b θθθπ≤≤，，则：()()()2222222222422222222cos sin 1sin sin 2sin sin 2sin sin BP a b b a b b b b a c b b a c c c θθθθθθθθ=+-=-+-+⎛⎫=--++=-++ ⎪⎝⎭ （1）若2201b e c <≤⇔≥时，2MAX a BP c =；（2）若2210b e c >⇔<<时，2MAX BP b =．综上，若22012b e c <≤⇔≥时，2MAX a BP c=；若22102b e c >⇔<<时，2MAX BP b =．（六）直线与椭圆相交问题例15：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点()()00F c c >，的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点． （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；（3）设()1AP AQ λλ=>，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：FM FQ λ=-．解析：（1）设椭圆的方程为(22221x y a a b+=>，则：222222()a c a c a c c c ⎧-=⎪⇒==⎨=-⎪⎩， 故椭圆的方程为22162x y +=，离心率e =．（2）解：(30)A ，，设直线PQ 的方程为(3)y k x =-，1122()()P x y Q x y ，，，，则：222222(3)(31)182760162y k x k x k x k x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，∴212(23)0k k ∆=->⇒<< 又 2212122218276.3131k k x x x x k k -+==++，，∵1122(3)(3)y k x y k x =-=-，，∴2212121212(3)(3)[3()9]y y k x x k x x x x =--=-++，∵0OP OQ =，∴12120x x y y +=，∴22121212[3()9]051x x k x x x x k k ⎛+-++=⇒=⇒= ⎝⎭． 故直线PQ的方程为30x --=或30x +-=． （3）证明：1122(3,),(3,).AP x y AQ x y =-=-由已知得方程组()12122211222223(3)5111262162x x y yx y x x y λλλλλ-=-⎧⎪=⎪-⎪⇒=>⎨+=⎪⎪+=⎪⎩， ∵11(20)()F M x y -，，，， ∴()11211211(2)(3)1()()22FM x y x y y y λλλλλ--=--=-+-=-=-，，，，， 2221(2)()2FQ x y y λλ-=-=，，， ∴FM FQ λ=-．例16：椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x轴上，离心率e =()10C -，的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足()2CA BC λλ=≥．（1）若λ为常数，试用直线l 的斜率()0k k ≠表示三角形OAB ∆的面积； （2）若λ为常数，当三角形OAB ∆的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．解析：设椭圆方程为：()012222>>=+b a by a x ，∵32==a ce ，222c b a +=，∴223b a =， 故椭圆方程为：22233b y x =+．（1）直线)1(+=x k y l ：交椭圆于()()1122A x y B x y ，，，，则：()222222221(31)633033y k x k x k x k b x y b⎧=+⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ∴2220(31)0k b b ∆>⇒-+>，且2122631k x x k +=-+；① 221223331k b x x k -=+；②∵BC CA λ=，∴ 121122121(1)(1)(1)x x x y x y y y λλλ+=-+⎧+=---⇒⎨=-⎩，，；③∴121121212221++=+=-=∆x k y y y S OABλλ， 由①③知：)13)(1(2122+-=+k x λ，∴)0(13112≠+⋅-+=∆k k k S OAB λλ． （2））（23211113111≥⋅-+≤+⋅-+=∆λλλλλkk S OAB ， 当且仅当kk 13=时，即33±=k 时，S 取得最大值．当33±=k 时，代入①②中，得：222)1(13-+=λλb ， 故所求为()2222132(1)x y k λλ++=≥-．（七）定点（值）问题例17：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线10x y +-=相交于A 、B 两点，且满足0OA OB ⋅=（Ｏ为坐标原点）．证明：满足上述条件的椭圆过定点22⎛ ⎝⎭，．解析：设椭圆的方程为：()()()2211222210x y a b A x y B x y a b+=>>，，，，，则：()()()22222222221021010x y a b x a x a b x y a b a b+-=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=>>⎪⎩， ∴2201a b ∆>⇒+>，且()2221212222212a b a x x x x a b a b-+==++，，∵0OA OB ⋅=，∴()()121212120110x x y y x x x x +=⇔+--=，∴2222222221a b a b a b ⎝⎭⎝⎭+=⇔+=．故椭圆过定点⎝⎭．（八）综合应用例18：过椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的中心的弦ＡＢ与x 轴所夹的锐角为α，将坐标平面沿x轴折成直二面角，求ＡＢ连线与x 轴成角．解析：作BC Ox 交椭圆于Ｃ，则BC 关于y 轴对称，AC 关于x 轴对称；翻折后，2ADC π∠=，据三垂线定理，知：BC AC ⊥，则ＡＢ连线与x 轴成角就等于ABC ∠；∵2cos BC OA α=，sin AC OA α=，∴tan tan 2AC ABC BCα∠==， 故ＡＢ连线与x 轴成角为arctan tan 2α⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 四、课后反思．。
椭圆一轮复习教案
一、预习案一、 基础梳理： 1、到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆吗？椭圆的定义中需要注意什么问题？2、椭圆有哪些几何性质？3、如何根据椭圆的标准方程确定椭圆的焦点位置？ 3、椭圆的标准方程有哪几种常用的设法？4、点与椭圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系如何判断？ 思考：1、椭圆上的点到焦点距离中什么时候最大？什么时候最小？2、如何处理椭圆中的焦点三角形问题？3、椭圆中有哪些最值问题？4、如何求椭圆的中点弦方程？二、基础自测： 1、若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )． A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D ．以上都不对2、(2012·兰州调研)“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )．A ．－21B ．21C．－1925或21D.1925或21 ()2212121241601006464343163643333x y F F P PF PF A B C D +=∠=、椭圆的焦点为、，椭圆上的点满足F 则F 的面积是、、、、5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．【我的疑惑】二、探究案题型一：椭圆的定义及标准方程例1、(1)求与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．()()()1236,13,2P P -已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴且经过两点则椭圆的方程为【规律总结】 【变式训练】1、求长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆的标准方程．2、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，求椭圆的方程．4,sin sin 2sin ABC AC A B C A c B B =+=3、在中，三个内角、、满足，求顶点的轨迹方程题型二： 椭圆几何性质的应用例2（1）(2012·武汉质检)在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为________．()()22122212210,0x y a b F Pa bPF PF e +=>>⋅=设椭圆的两个焦点为F 、若在椭圆上存在一点使求椭圆的离心率的取值范围()12121236012F F P F PF F PF ︒︒∠=已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，求椭圆的离心率的取值范围求证：的面积只与椭圆的短轴长有关【规律总结】 【变式训练】()()()()22221211222110,123x y a b M x a bA F F P Q QF PQ +=>>∠⊥4、如图，从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 且它的长轴端点及短轴端点B 的连线AB//OM求椭圆的离心率设Q 是椭圆上任意一点，F 是右焦点，是左焦点，求F 的取值范围设是椭圆上一点，当AB 时，延长QF 交椭圆于另一点P ，若F 的面积为求此椭圆的方程题型三：椭圆中的最值问题例3、(2011·北京)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．【规律总结】 【变式训练】()222222112211119514x y a bx y A F P PF PA x y x y +=+=++=+5、椭圆的内接矩形的最大面积6、已知点，是椭圆的左焦点是椭圆上任意一点求的最小值7、已知椭圆方程是求的最值题型四：直线与椭圆的位置关系()()()22224:102120x y C a b F a b l l l a b C P l F OP A OB P l +=>>=+例、已知椭圆的直线与C 相交于A 、B 两点，当的斜率为1时，坐标原点O 到求、的值上是否存在点，使当绕转到某一位置时有成立？若存在，求出所有的点的坐标与的方程；若不存在说明理由【变式训练】8、 (2011·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．【当堂检测】1、若ΔABC 的两个顶点坐标A(-4,0),B(4,0)，ΔABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）A.192522=+y x B. )0(192522≠=+y x y C. )0(191622≠=+y y x D. )0(192522≠=+y y x 2、一个圆心在椭圆右焦点F 2，且过椭圆的中心O (0, 0)，该圆与椭圆交于点P ，设F 1是椭圆的左焦点，直线PF 1恰和圆相切于点P ，则椭圆的离心率是（ ）（A ）3－1 （B ）2－3 （C ）22 （D ）233、已知21,F F 是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ，若5AB =，则12||||A FB F -= （ ） （A ）3 （B ）8 （C ）13 （D ）164、若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为………………………………（ ）（A ）221(0)10036x yy +=≠ （B ）221(0)10084x y y +=≠ （C ）221(0)10036x y x +=≠ （D ）221(0)10084x y x +=≠5、与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是 ；6、椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是 ；7、椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A 的小球(小球的半径忽略不计)从点A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是_____________.8、已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12，求椭圆的方程．【高考衔接】1、（20XX 年高考（山东理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为（ ）A ．22182x y += B ．221126x y += C ．221164x y += D ．221205x y += 2、设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 3、过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）A ．2B ．－2C ．21D ．－21 4、（20XX 年高考（江西理））椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.()()()()2212125141?20,2x F F y P PF PF M l A BAOB O l k +=∠、设、分别是椭圆的左、右焦点若是椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、且为锐角其中为坐标原点，求直线的斜率的取值范围【学习反思】（主要是学生对本节知识点进行总结反思） 【课后强化】 完成课后强化作业 答案：一、基础自测：CBCA x 216＋y 28＝1二、课内探究：例1、（1）由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t (t ＞0)，∵椭圆过点(2，－3)，∴t ＝224＋－323＝2，故所求椭圆标准方程为x 28＋y 26＝1.(2)设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，2c 2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12.故所求方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. （3）22193x y += 变式训练(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆过点A (3,0)，∴9a2＝1，a ＝3，∵2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∴椭圆过点A (3,0)，∴02a 2＋9b2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)由△FMN 为正三角形，则c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.∴b ＝ 3.a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.()()223101612x y y +=≠例2、（1）设另一个焦点为F ，如图所示，∵|AB |＝|AC |＝1，△ABC 为直角三角形， ∴1＋1＋2＝4a ，则a ＝2＋24，设|FA |＝x ，∴⎩⎨⎧x ＋1＝2a ，1－x ＋2＝2a ，∴x ＝22，∴1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝4c 2， ∴c ＝64，e ＝ca＝6－ 3. （2）212e ≤<()1312e ≤<变式训练()2224,0,,1225025x y π⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦例3、(1)由已知得，a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝ca ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 21＋4k 22－44k 2m 2－41＋4k 2 ＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 且当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2. 变式训练8(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(4分) (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .(6分)得方程组的解为⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c .(8分) 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.(10分)因为d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0. 得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(12分)当堂检测6、设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得：y 2－y 1x 2－x 1＝－b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2.∴k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0＝－12.③又k OM ＝y 0x 0＝12，④由③④得a 2＝4b 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1得：x 2－4x ＋8－2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝8－2b 2. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝5216－32＋8b 2＝528b 2－16＝2 5.解得：b2＝4.故所求椭圆方程为：x216＋y24＝1.当堂检测：1、D 3、A 4、 B 7、4a或2(a－c)或2(a+c)高考衔接：1、D 2、D 3、 4、55、最大值为1，最小值为-2-22k k<<<<。