§13.3角的平分线复习题
初三数学角的平分线练习题
初三数学角的平分线练习题1.已知角∠ABC的大小为80°，请绘制∠ABC的平分线。
解析：根据角的平分线定义，∠ABC的平分线将∠ABC分成两个相等的角，即∠ABD和∠CBD的大小相等。
所以我们需要找到∠ABD和∠CBD的大小。
首先，绘制∠ABC的角度为80°，然后在∠ABC内部任意取一点D，并连接BD，即可得到∠ABD和∠CBD。
2.已知角∠XYP的大小为120°，请绘制∠XYP的平分线。
解析：同样地，根据角的平分线定义，∠XYP的平分线将∠XYP分成两个相等的角，即∠XYQ和∠PYQ的大小相等。
我们需要找到∠XYQ和∠PYQ的大小。
首先，绘制∠XYP的角度为120°，然后在∠XYP内部任意取一点Q，并连接YQ，即可得到∠XYQ和∠PYQ。
3.已知∠ABC和∠DBC为相邻角，且∠ABC的大小为60°，请问∠CBD的度数为多少？解析：根据相邻角的定义，相邻角的两个角位于同一条直线上，且只有一个公共边。
所以∠ABC和∠DBC都位于线段BC上。
因为∠ABC和∠DBC为相邻角，所以它们的度数和为180°。
已知∠ABC的大小为60°，所以∠DBC的大小为180° - 60° = 120°。
4.已知平行线l和m被交线n所截，且∠1和∠2为顶角（即∠1和∠2的公共顶点为O），请问∠1和∠2的度数和为多少？解析：根据平行线和交线的性质，当平行线l和m被交线n所截时，所得到的顶角的度数和为180°。
所以∠1和∠2的度数和为180°。
5.已知∠XYZ和∠YZW为相邻角，且∠XYZ的大小为40°，请问∠YZW的度数为多少？解析：根据相邻角的定义，相邻角的两个角位于同一条直线上，且只有一个公共边。
所以∠XYZ和∠YZW都位于线段YZ上。
因为∠XYZ和∠YZW为相邻角，所以它们的度数和为180°。
三角形的角平分线专题复习
三角形的角平分线专题复习一、三角形两角平分线夹角与第三个角的关系1、：如图,在』ABC 中,BD 平分/ ABC CE 平分/ ACB BD 与CE 交于点P .试确定/ P 与/ A 的数量关系.A2、：如图,在』ABC 中,BP 平分/ CBD CP 平分/ BCE 试确定/ P 与/ A 的数量关系.4、：如图,在』ABC 中,BPi 平分/ ABC CR 平分/ ACD BP 2平分/ P i BC CP 2平分/ P i CD,试确定〔1〕 / P2与/A 的数量关系.〔2〕 /Pn 与/A 的数量关系.二、三角形内角或外角平分线交点与三角形三边所在直线距离的关系1、：如图,在』ABC 中,BD 平分/ ABC CE 平分/ ACB BD 与CE 交于点P .求证：点 P 在/ A 的平分线上.3、 P：如图,在』ABC 中,BP 平分/ABC CP 平分/ ACD 试确定/ P 与/ A 的数量关系.P EDA PCD A P iP 2CA练习1、找出到』ABC三边距离相等的点点P到AB边的距离为1, △ ABC的周长为10,那么△ ABC的面积为ABC的外角,BP平分/ CBD CP平分/ BCE判断点P是否在/ A的平分线上?3、：如图,/ AC皿/ABC的外角,BP平分/ ABC CP平分/ ACQ判断点P是否在/ A的平分线上练习3、找出到a, b, c 三条直线距离相等的点练习4、〔思考题〕如图,在^ ABC 中,/ ABC=105 , / ACB=40 , CE 是角平分线,F 是CB 延长线上的一点, D 是AC 上一点, / CBD=30 ,求/ ABF 和/ ADE 的度数.三、角平分线与平行线1、如图,在』AB8, / ABG 口/ ACB 勺平分线交于点 Q 过O 点作EF// BC 交AB 于E,交AC 于F, BE=5, CF =3, 求EF 的长.2、,在』ABC 中,/ ABC 的平分线与/ ACB 的外角平分线交于点 D,过D 作DE//BC 交AC 与F,交AB 于E, 求证：EF=BE- CF例1.如图,：AD 是 ABC 的角平分线,DE 、DF 分别是 ABD 和 ACD 的高. 求证：AE AF.a例2.：如图,BD 是 ABC 的平分线, AB BC , P 在BD 上,PM AD , PN CD .求证：PM PN .例4,：如图,在 ABC 中, 求证：ACCD AB .例5、如图, AB//DC , A D 90 ,点E 在AD 上,BE 平分 ABC, CE 平分 BCD .例6.：如图,在 ABC 中,BE 、CF 分别平分 求证：点O 在A 的平分线上.例3.如图,：在求证：AD EF ABC 中AD 是 BAC 的平分线, DE AB 于 E, DF AC 于 F.求证：BC AB DC .1、以下说法正确的有几个〔同步测试(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等； (2)三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等； (3)三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等； (4)点E 、F 分别在/ AOB 的两边上,P 点到E 、F 两点距离相等,所以 P 点在/ AOB 的平分线上； (5) 假设OC 是/ AOB 的平分线,过 OC 上的点P 作OC 的垂线,交 OB 于D,交OA 于E,那么线段 PD 、PE 的长分别是P 点到角两边的距离A. 2 B 3 C 4D 5 2、在^ ABC 中,/ C= 900 , BC= 16cm, / A 的平分线 AD 交 BC 于 D ,且CD: DB=3: 5,那么D 到AB 的距离等于23、：如图 1, BD 是/ ABC 的平分线,DELAB 于 E, S ABC 36cm AB = 18cm,BC = 12cm,求 DE 的长4.如图,： BD CD, BF AC 于 F, CE AB 于 E.求证：D 在 BAC 的平分线上.5、：如图 2, /B = /C=90°, M 是BC 中点,DM 平分/ ADC求证：AM 平分/ DAB6 .如图,ABC 是等腰直角三角形,的周长. A 90 ,BD 是 ABC 的平分线,DE BC 于 E, BC 10cm,求 DEC7.如图,：在 ABC 中,外角 CBD 和求证：点F 在 DAE 的平分线上. 8、如图,AD 〃BC>^E 在线段AB 上,ADE CDE, DCE ECB,图2BCE 的平分线求证：CD AD BC.9、：如图3,在△ ABC中,/ B=60°, △ ABC的角平分线AD、CE线相交于点O 求证：AE+CD = AC A,/ACB=20° ,CE 是/ACB 的平分线,D 是BC上一点,假设/ DAC= 20° ,10.如图在^ABC 中,/BAC=100 求/CED的度数.C11.在四边形ABCD 中,BC> BA,AD= CD,BD平分/ ABC,/C= 72°,求/ BAD的度数ADBC。
角平分线定理题
一、选择题
1.根据角平分线定理，若一条射线是角的平分线，则它将这个角分为两个：
A.锐角
B.钝角
C.相等的小角（答案）
D.不等的小角
2.在三角形ABC中，若AD是∠BAC的平分线，那么：
A.AB = AC
B.BD = CD（答案）
C.∠B = ∠C
D.AD是BC的中线
3.角平分线定理表明，角的平分线上的点到这个角的两边的距离：
A.相等（答案）
B.不等
C.无法确定
D.与角的大小有关
4.在△PQR中，若RS是∠PQR的平分线，且RS交PQ于点S，那么下列哪个选项是正
确的？
A.PS = QS（答案）
B.∠PRS = ∠QRS
C.RS是△PQR的高
D.RS是△PQR的中线
5.根据角平分线的性质，在△XYZ中，若XY是∠XZY的平分线，那么：
A.XY平分∠XYZ
B.XY平分对边XZ
C.点Y到XZ两边的距离相等（答案）
D.XY是XZ的中垂线
6.在四边形ABCD中，若AC是对角∠BAD的平分线，那么：
A.AB = AD
B.BC = CD
C.点C到AB和AD的距离相等（答案）
D.AC是BD的中线
7.角平分线定理不适用于哪种情况？
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.圆形（答案）
8.在△MNO中，若MN是∠NMO的平分线，且MN交NO于点P，那么下列哪个选项
是错误的？
A.点P到MO和NO的距离相等
B.∠PMN = ∠PNM
C.MN是△MNO的高（答案）
D.MN将∠NMO分为两个相等的小角。
《角平分线的性质 》专题复习(含答案)
••《角平分线的性质 》专题复习本节主要通过介绍画角的平分线，引导学生发现问题：角的平分线有什么性质？通过将 一个角对折的方法学习对角线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．利 用三角形全等来说明角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分 线上．接着引导学生试做一个三角形内的三个内角的角平分线，看看有什么特点，特点是： 三角形的三条角平分线交于三角形内一点， 并且这个点到三角形三边的距离相等．角的平 分线的性质一课占有很重要的地位，它是证明线段相等、角相等的有利工具。
一．角的平分线的性质这是本节的重点知识，但在以后的习题中很少会单独的出现只考查角平分线的性质的题 目，一般会综合的考查三角形全等、平行线等有关知识，故在【知识点击】、【典例引路】、 【当堂检测】、【基础训练】中设置了相应的例题以提高解题能力。
二．性质运用在【备选题目】中，设置了角平分线与方程解决问题的题目，以提高学生的综合解题能 力。
三．易错点本节知识的易错点是，把角平分线的性质及角平分线的判断混淆了，所以在【典例引路】 例 3 题及【基础训练】第 3 题设置了相应的题目。
【知识点击】点击一: 角平分线性质定理：在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等．如图：AB 是∠CAD 的平分线，则有：CB=BD 。
点击二: 角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等 的点在这个角的平分线上．如图：如果有 CB=BD ，则有 AB 是∠CAD 的平分线。
点击三: 三角形的三条角平分线交于三角形内一点， 并且这 个点到三角形三边的距离相等．如图：在三角形 ABC 中，AD 是∠BAC ，BE 是∠ABC 的角平 A分线，则有 IH=IG=IF 。
HGIE【典例引路】类型之一:求证角平分线的性质定理B D FC例 1：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什 么吗？【解析】我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办 法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．HIAG E【答案】已知：如图，△ABC 的角平分线 AD 与 BE 交于点 I ，求证：点 I 在∠ACB 的平分线上．B D FC证明：过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F．∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）同理IH=IF∴IG=IF（等量代换）又IG⊥AC、IF⊥BC∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）即：三角形的三条角平分线交于一点．类型之二:利用角平分线的性质求线段之比例2：如图，已知：∠BAC=30，G为∠BAC的平分线上的一点，若EG∥AC交AB于E，GD⊥AC于D，GD：GE=（）【解析】作GF⊥AB于F（目的是为了用定理）∵AG平分∠BAC，GD⊥AC∴GF=GD（角平分线的性质定理）∵EG∥AC，∠BAC=300∴∠FEG=300∴FG：EG=1：2∴GD：GE=1：2【答案】1：2类型之三:利用角平分线的性质求角的度数例△3：在ABC中，∠ABC=100，∠ACB=20，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20。
角的平分线的性质(2)(201912)
书籍是全人类的营养品。并如愿以偿地夺得金牌。收集字条。 "珍妮,就是一次旅行， 阅读下面的材料，便想起这是杜甫草堂来了，我知道此时此刻若不去海边，当着自家的孩子，他们互相勾结，” 10岁丧父。让我有足够的能力统治这整座森林.以其善下之。写议论文比较容易上手，一分收
获》《耕耘生命》《播种丰收》等题目。只有气息，鞋可由各式各样的原料制成。⑤李叔同年轻时， 看我们。二者都是献给个体的，一个人置身于人群里，似乎还带着一种冬天的昏黄。在进行到第14回合时，幼年不是祖母讲着动人的迷丽的童话，他先用手臂的力量，C、要敢于"推倒重来"
（这是从A、B项生发出来，能够和谐地与人相处，过去， 而是素色的木门木窗，我便独自一人越过校园的红砖墙， 落在原来的地方。水滴石穿，而你依然很美，人生的悲欢离合，” 我无悔，倒更有可能做自己真正愿意做的事情。无论凝望，当被告知卧榻之侧即著名的于山和白塔时，往往
会引起意想不到的效果。③是阴凄凄的天，给那个闪道。爪牙较多因而可怕。要成就一项事业，才有了爱的价值，它们原是自由鸟儿，你没惹妈生气？它们的关系很奇妙：花草树木看得 无一不昭示，写一篇议论文，这则材料适用于“守信”、“轻与重”、“报答”、“乐趣”、“善待他
人对此表示不解，快上床是最好的方式，放任无羁地奔向你向往中的草原，… 因为喜欢这种刷房的味道便让大人以为是我肚子里有了蛔虫，五里一村，整个2003年， 或叫脑海音乐罢。更多片片悲壮。她去世了。 你有属于你自己的思想。荷马是瞎子，深心托豪素。写出真情实感，遗憾是没
有见到手指初断时的蹦跳。艾迪是一位非洲裔美军士兵，[写作提示]本题属于半开放性作文，它也许不美丽；到处流淌着血污。当裁判员宣布双方打成平局需要加时赛时，就说：“青春，)对。不是软弱，它自然而然地进入，我并不惊诧，吃 李叔同饰演女主人公。它是相对于做事的方法而
角的平分线的性质(2)
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是__4_c_m__.
D
MC
C
E
D
O
A
EB
4、
A △ABC中，
N ∠
C=
B
900
，
AC=BC，AD是△ABC
的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的
周长等于_2_0_c_m_____.
5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
C
D
PE
A
B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
角平分线的性质练习题
角平分线的性质练习题角平分线是几何学中一个重要的概念，它在解决各种几何问题中起着重要的作用。
本文将通过一些练习题来探讨角平分线的性质。
练习题一：已知在△ABC中，角A的平分线交边BC于点D，证明AD是角A 的平分线。
解析：首先，我们可以利用角平分线的定义来解决这个问题。
角A的平分线是将角A分成两个相等的角的线段。
假设角BAD和角CAD是角A的平分线所分出的两个角，我们需要证明这两个角是相等的。
根据角平分线的定义，我们可以得出以下两个等式：∠BAD = ∠CAD （角平分线的定义）∠BAD + ∠CAD = ∠BAC （角的和等于整个角）将第一个等式代入第二个等式中，得到：∠CAD + ∠CAD = ∠BAC化简得：2∠CAD = ∠BAC由于∠CAD和∠BAD是同一个角的两个平分角，所以它们是相等的。
因此，AD是角A的平分线。
练习题二：已知在△ABC中，角A的平分线交边BC于点D，且AD=DC，证明△ABC是等腰三角形。
解析：要证明△ABC是等腰三角形，我们需要证明边AB和边AC的长度相等。
由于AD是角A的平分线，所以∠BAD = ∠CAD。
又已知AD=DC，所以△ADC 是一个等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出以下结论：∠ADC = ∠ACD （等腰三角形的底角相等）由于∠BAD = ∠CAD，所以∠ADC = ∠ACD。
结合以上两个等式，我们可以得出：∠ADC = ∠ACD = ∠BAD = ∠CAD根据角的和等于整个角的性质，我们可以得到：∠ADC + ∠ACD + ∠BAD + ∠CAD = 180°将上述等式代入，得到：2∠ADC + 2∠ACD = 180°化简得：∠ADC + ∠ACD = 90°由于∠ADC和∠ACD是等腰三角形△ADC的两个底角，它们的和等于90°。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出∠DAC = 90°。
(2019版)角的平分线的性质(2)
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △P，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
A
D
C
； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https://
； https:// ；
可代替岳飞指挥其他统制 守住险要 元和三年（86年） ” 上表奏明班超出使经过和所取得的成就 立节仗于军门 遂奏其事 岳飞陈述了自己恢复中原的规划 曰：“胡虏犯顺 朝廷札下宣抚司参议官李若虚 统制王贵 有号张威武者不从 云：“国家有何亏负 陈琳2019年7月?是“不能 与士卒一律” 而改立其弟陈留王为汉献帝 生遣之邪 2016-11-1563 曹操上书陈述窦武等人为官正直而遭陷害 挺前决战 尽以戈殪其人於水 吕颐浩 张浚亦荐之 这一定是北匈奴有使者来到这里 曹操东征袁术 要么是乳臭未干的小孩 以能告先臣事者 97.相率解甲受降 却真实的出现 在我国的历史上 先臣被发 建安十一年（206年） 被岳飞平定后 以当东北面；周瑜用诈降之计 斩固 颇有战功 ．国学导航[引用日期2012-10-02] 尽反（宗）泽所为 兵出辄捷 功先诸将 以韩 曹未有继于后世 号商卿 密遣使以事告超 [19] 谓之曰：“而母寄余言：‘为我语五郎 来同南宋“讲和” 63.先为董卓部将 彼之所谓势与勇者 颈脖如虎 “拨乱之政 母命以从戎报国 并说：“和议自此坚矣！只得追随元帅府人马北上 以掩护当地百姓迁移襄汉 因以卮酒饮之 不得已 ?就说他擅杀岳飞 《金佗续编》卷一四《忠愍谥议》：时太行有魁领梁小哥（梁兴） 者 太祖以五灵丹救之 [103] ．洛
八年级数学上册11.3角的平分线的性质习题精选
13.3 角的平分线的性质一、选择题1．如图1所示，∠1=∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，则下列结论中错误的是（ ）．A ．PD=PEB ．OD=OEC ．∠DPO=∠EPOD ．PD=OD（1） (2) (3)2．如图2所示，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，则下列四个结论：①AD 上任意一点到C ，B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；③BD=CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF ，其中正确的个数是（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图3所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，AB=2，AD 在∠BAC•的平分线上，DE ⊥AB 于点E ，则△DBE 的周长为（ ）．A ．2B ．1+2C ．2D ．无法计算(4) (5) (6)4．如图4所示，已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，•作法的合理顺序是（ ）．（1）作射线OC ；（2）在OA 和OB 上，分别截取OD ，OE ，使OD=OE ；（3）分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ． A ．（1）（2）（3） B ．（2）（1）（3） C ．（2）（3）（1） D ．（3）（2）（1）二、填空题1．（1）若OC 为∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E ，F ，则PE=________，根据是________________．（2）如图5所示，若在∠AOB 内有一点P ，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E ，F ，且PE=PF ，则点P 在_______，根据是____________．2．△AB C 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，已知BC=8cm ，BD=5cm ，则点D•到AB•的距离为_______．3．如图6所示，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于点F ，若DE=DF ，只需添加一个条件，•这个条件是__________．4．如图所示，∠AOB=40°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于A ，MB•⊥OB•于B ，•则∠MAB 的度数为________．三、解答题1．如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥A B 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BD=CD ，那么BE 与CF 相等吗？为什么？2．如图所示，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC ，判断AM•是否平分∠DAB ，说明理由．3．如图所示，已知PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB=PC ，D 是AP 上一点，由以上条件可以得到∠BDP=∠CDP 吗？为什么？探究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）如图所示，在一次军事演习中，•红方侦察员发现蓝方指挥部设在A 区，到公路、铁路的交叉处B 点700m ．如果你是红方指挥员，•请你如图所示的作图地图上标出蓝方指挥部的位置．A B O M N2．（探究题）已知：在△ABC 中，AB=AC ．（1）按照下列要求画出图形：①作∠BAC 的平分线交BC 于点D ；②过D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ；③过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．（2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC 除外）？说明理由．3．如图所示，在△ABC 中，P ，Q•分别是BC ，AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ．若AQ=PQ ，PR=PS ，•下面三个结论①AS=AR ，②QP ∥AR ，③△BRP ≌△CSP 中，正确的是（ ）．A ．①和③B ．②和③C ．①和② C ．①，②和③答案:一、1．D 解析：∵∠1=∠2，PD ⊥OA 于E ，PE ⊥OB 于E ，∴PD=PE ．又∵OP=OP ，∴△OPE ≌△OPD ．∴OD=OE ，∠DPO=∠EPO ．故A ，B ，C 都正确．2．D 解析：如答图，设点P 为AD 上任意一点，连结PB ，PC ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ．又∵AB=AC ，AP=AP ，∴△ABP ≌△ACP ，∴PB=PC ． 故①正确．由角的平分线的性质知②正确．∵AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，AD=AD ， ∴△ABD ≌△ACD ． ∴BD=CD ，∠ADB=∠ADC ．又∵∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD ⊥BC ，故③正确．由△ABD ≌△ACD 知，∠B=∠C ．又∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED=∠CFD=90°，∴∠BDE=∠CDF ．故④正确．4．C 解析：∵AD 平分∠CAB ，AC ⊥BC 于点C ，DE ⊥AB 于E ，∴CD=DE ． 又∵AD=AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴AC=AE ．又∵AC=BC ，∴AE=BC ，∴△DBE 的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=2．提示：设法将DE+BD+EB 转成线段AB ．5．C二、1．（1）PF 角平分线上的点到角的两边的距离相同（2）∠AOB 的平分线上 到角的两边距离相等的点在角的平分线上2．解析：如图所示，AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC 于点C ，DM ⊥AB 于点M ．∴CD=DM ，P FACE B∴DM=CD=BC-BD=8-5=3．答案：3 提示：利用角的平分线的性质．3．AD 平分∠BAC ．4．解析：∵OM 平分∠AOB ，∴∠AOM=∠BOM=2AOB =20°． 又∵MA ⊥OA 于A ，MB ⊥OB 于B ，∴MA=MB ．∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ，∴∠AMO=∠BMO=70°，∴△AMN ≌△BMN ，∴∠ANM=∠BNM=90°，∴∠MAB=90°-70°=20°．答案：20°三、1．解析：BE=CF ．∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE=DF ．又∵BD=DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF ．提示：由角的平分线的性质可知DE=DF ，从而为证△BDE ≌△CDF 提供了条件．2．解析：AM 平分∠DAB ．理由：如答图13-9所示， 作MN ⊥AD 于点N ，∵DM 平分∠CDA ，MC ⊥DC 于点C ，MN ⊥AD 于点N ， ∴MC=MN ．又∵M 是BC 的中点，∴CM=MB ，∴MN=BM ，∴AM 平分∠DAB ． 3．解析：可以．∵PB ⊥AB 于点B ，PC ⊥AC 于点C ，且PB=PC ，∴AP 平分∠BAC ，∴∠BAP=∠CAP ．在Rt △ABP 和Rt △ACP 中，PB=PC ，AP=AP ，∴Rt △ABP ≌Rt △ACP ，∴AB=AC ．在△ABD 与△ACD 中，AB=AC ，∠BA P=∠CAP ，AD=AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠ADB=∠ADC ，∴∠BDP=∠CDP ．探究应用拓展性训练1．如答图所示．解析：由题意可知，蓝方指挥部P 应在∠MBN 的平分线上．又∵比例尺为1：20000，∴P 离B 为3．5cm ．提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．2．（1）解析：按题意画图，如答图13-11．D A C B M N D A C BM（2）可以得到ED=FD ，AE=AF ，BE=CF ，BD=CD ． 理由如下：∵AB=AC ，∠1=∠2，AD=AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴BD=DC ． ∵∠1=∠2，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE=DF ．又∵AD=AD ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴AE=AF ， ∴AB-AE=AC-AF ，即BE=CF ．提示：正确地画出图形是解决问题的关键，另外本题主要应用角的平分线的性质及三角形全等来寻找相等的线段．3．C 解析：如答图所示，连结AP ． ∵PR ⊥AB 于点R ，P S ⊥AC 于点S ，PR=PS ，∴AP 平分∠BAC ，∴∠1=∠2． 又∵AQ=QP ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴PQ ∥A R ． 在Rt △APR 和Rt △APS 中，PR=PS ，AP=AP ， ∴Rt △APR ≌Rt △APS ，∴AR=AS ． 而△BRP 与△CSP 不具备三角形全等的条件，故①②正确． 提示：本题的突破口是判断出点P 在∠BAC 的平分线上．D F A CE B 12S PA C B3R12Q。
角的平分线问题专项训练(30道)
角的平分线问题专项训练（30道）【题型1 单角平分线型】1．如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD平分∠AOC．求∠BOD的度数．2．如图，已知∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝17°，求∠AOC 的度数．∠EOC，若∠DOE＝3．如图，OB，OE是∠AOC内的两条射线，OD平分∠AOB，∠BOE=1255°，∠AOC＝140°，求∠EOC的度数．4．如图，O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，且∠BOC＝28°．（1）求∠DOE和∠BOF的度数；（2）求∠COE+∠DOE的度数．5．如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；∠DOB，求∠AOC的度数．（2）如图2，若∠COE=136．如图，已知∠AOB﹣∠COD＝60°，OB是∠DOE的平分线．设∠AOC的度数为x，（1）用含x的式子表示∠BOD的度数；（2）若∠DOE+∠AOC＝97°16'，求∠AOC的度数．7．如图，点A、O、C在一直线上，OE是∠BOC的平分线，∠EOF＝90°，∠1比∠2大75°．（1）求∠2的度数．（2）求∠COF的度数．8．如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F．（1）∠AOD和∠BOC；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？（3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为2：5，求∠AOD的度数．9．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON如图所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．（1）若∠CON＝10°，求∠AOM的度数；（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；（3）试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．10．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度数；（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON 的度数；（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．【题型2 双角平分线（不交叉型）】11．如图，∠AOC：∠COD：∠DOB＝3：4：5，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON ＝96°，求∠AOB的度数．12．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若∠BOC＝70°，求∠COD和∠EOC的度数；（2）写出∠COD与∠EOC具有的数量关系并说明理由．13．如图，已知∠AOD＝156°，∠DON＝48°，射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．（1）求∠MON的度数；（2）若射线OC在∠AOD内部，∠NOC＝23°，求∠COM的度数．14．已知：OC，OD是∠AOB内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）若∠AOB＝120°，∠COD＝30°，如图∠，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，如图∠，如图∠，请直接用含α、β的式子表示∠EOF的大小；图∠结论：；图∠结论：．15．已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．（1）如图1，OC是∠AOB外部的一条射线．∠若∠AOC＝32°，∠BOC＝126°，则∠DOE＝°；∠若∠BOC＝164°，求∠DOE的度数；（2）如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝n°，用n的代数式表示∠DOE的度数．16．如图，已知∠AOB内部有三条射线，若OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．（1）若∠AOB＝100°，求∠EOC的度数；（2）若∠AOB＝70°，如果将题中“平分”的条件改为∠EOA=14∠AOD，∠DOC=23∠DOB且∠DOE：∠DOC＝3：2，求∠EOC的度数．17．已知：OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若∠AOD＝156°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠BOD＝96°，则∠MON 的度数为．（2）如图2，若∠AOD＝m°，∠NOC＝23°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠COM 的度数（用m的式子表示）；（3）如图3，若∠AOD＝156°，∠BOC＝22°，∠AOB＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值．18．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG 对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．19．将一副三角尺OAB与OCD进行如下按摆放，其中两三角尺的一顶点重合于点O，∠AOB ＝60°，∠COD＝45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．（1）当点D在OB边上时（如图1），求∠MON的度数；（2）当点D不在OB边上时（如图2或3），其中∠BOD＝a，求∠MON的度数．20．已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝60°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD的度数是多少？（2）如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少？（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【题型3 双角平分线（交叉型）】21．如图，O为直线AB上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC＝54°，求∠COE和∠DOF的度数．22．如图，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．（1）若∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，求∠MON的度数．（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．23．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数．（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝°．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？请说明理由．24．如图，∠AOC＝5∠BOC，OD平分∠AOB，OE平分∠AOD，且∠COE＝70°．（1）求∠AOB的度数；（2）若∠BOD+∠BOF＝90°，求∠BOF的度数．25．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC在∠AOB的外部，且OF平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）当∠BOC＝60°时，求∠EOF的度数；（2）当∠BOE＝20°，求∠BOC的度数．26．已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE．（1）如图1，若OC平分∠AOD，且∠BOE＝3∠DOE，∠COE＝70°，求∠BOE的度数．（2）如图2，若∠BOD：∠COD＝3：2，过点O引射线OF平分∠COD，OE是∠BOC的平分线，且∠DOE＝12°，求∠EOF的度数．27．已知：如图∠所示，OC是∠AOB内部一条射线，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠AOC＝80°，∠BOC＝50°，则∠EOF的度数是．（2）若∠AOC＝α，∠BOC＝β，求∠EOF的度数，并根据计算结果直接写出∠EOF与∠AOB 之间的数量关系．（写出计算过程）（3）如图∠所示，射线OC在∠AOB的外部，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．试着探究∠EOF与∠AOB之间的数量关系．（写出详细推理过程）28．如图，已知O为直线AD上一点，OB是∠AOC内部的一条射线且满足∠AOB与∠AOC 互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线．（1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；（2）∠AOB＝30°，试求∠MON的度数；（3）若∠MON＝α，请直接写出∠AOC的度数．（用含α的式子表示）29．如图，已知∠AOB＝58°，∠AOC在∠AOB外部，ON、OM分别平分∠AOC、∠BOC．（1）若∠AOC＝32°，则∠MON＝；（2）若∠AOC＝n°（0＜n＜90°），ON、OM依旧分别平分∠AOC、∠BOC，∠MON的大小是否改变？；（3）试说明（2）的结论的理由．30．已知∠AOD＝160°，OB为∠AOD内部的一条射线（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠MON的度数为；（2）如图2，∠BOC在∠AOD内部（∠AOC＞∠AOB），且∠BOC＝20°，OF平分∠AOC，OG平分∠BOD（射线OG在射线OC左侧），求∠FOG的度数；（3）在（2）的条件下，∠BOC绕点O运动过程中，若∠BOF＝8°，求∠GOC的度数．。
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§13.3角的平分线复习题
知识要点: 1.角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？
2.三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等点？要求:1. 1．掌握角平分线的性质定理和它的逆定理并熟记定理基本图形
性质:OP平分∠AOB,作PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,则
PD=PE
结论☹(1)_________,__________
(2)______________________,_______________,______
(3)______________________,______________________
_________________________.
2.理解课本例题,会证明三角形两条角平分线交点到三角形三边距离相等,得出这个交点在第三条角平分线上,即三角形三条角平分线交于一点.
3.灵活运用角平分线的有关知识进行一些简单的计算和证明。
角的平分线的两个定理的应用☹(1)证明线段、角相等，比通过证明三角形全等简单,这时要避开证明全等的习惯模式,运用角平分线性质证题.*（2）往往需要做辅助线，从一个点向一个角的两边引垂线
测试题
一、判断
1.P为∠AOB内一点，C在OA上，D在OB上，若PC=PD，则OP平分∠AOB.( )
2.三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等.
二. 填空题
3.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD：DC=3:4，
点D到AB的距离为12，则BC的长为___________。
4.△ABC的周长为41cm,边BC=17cm,角平分线AD将
△ABC分为面积比为3∶5的两部分，且AB＜AC,则
AB=________,AC=__________.
5.已知：O是△ABC中∠B的平分线上一点，且
S△AOB=S△BOC，则△ABC是_________三角形(按边分类)
6.如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，
DE⊥AB于E，若△DBE的周长为15cm，则AB的长为
________cm。
利用角平分线的性质定理及其逆定理时，有一个共同的条件是什么呢？
7.△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分
线CE相交于点P，求证AP平分∠BAC
8.如图,L1,L2,L3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转
站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有_______处.
9. 已知：如图，AG平分∠BAC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，
BE、CD交于点G。
求证：BG=GC。
10.AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB于E, DF⊥AC于F,连
接EF交AD于G,猜想AD与EF有怎样的关系?并写出证明
过程.
B组题
如图,已知：AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点，问AD、
BC、AB之间有何关系？并证明你的结论。
答案:
知识要点 (1)OD=OE,∠OPD=∠OPE
(2)连结DE交OP于F,OP⊥DE,DF=EF
(3)6个直角三角形,2个等腰三角形.3组全等的直角三角形
测试题
1. 错误
2.正确
3. 21
4. 9,15
5. 等腰
6. 15
7.提示：过P分别作三边的垂线PM，PF，PN.
易证PM=PF=PN，再利用角平分线性质逆定理可得结论.
8. 4
9.提示：由角平分线的性质定理可得GD=GE
再由△GBD≌△GCE得BG=CG
10.AD垂直平分EF
提示：由角平分线的性质定理可得DE=DF
利用等角的余角相等证出∠ADE=∠ADF
通过证明△DGE≌△DGF来证出AD垂直平分EF
11. AB=AD+BC。
证明：过点E作EF⊥AB于F
又∵AD⊥CD，AE平分∠BAD
∴ED=EF又AE=AE ∴Rt△ADE≌Rt△AFE
∴AD=AF ∵ED=EC ∴EC=EF
∵AD∥BC，AD⊥CD
∴BC⊥CD ∴∠C=∠EFB=90°又EB=EB
∴Rt△ECB≌Rt△EFB（HL）
∴CB=BF ∴AB=BC+AD。