第五章_微分方程模型

重点：5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药
物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用
难点：5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药
物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用
教学 方法 手段
多媒体演示
讨论 推演
教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业
0
……………………………(1)
0
正 规 战 争 模 型
双方都处于公开活动，对于甲方士兵,处于乙方每一个士兵的监视和杀伤 范围.一旦甲方某个士兵被杀伤，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，所以 甲方战斗减员率只与乙方兵力有关， 可简单地设为 f 与 y 成正比， 即 f ay . ，称 a 表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数） 乙方的战斗有效系数. a 可进一步分解为 a ry p y ，其中 r y 是乙方的射击率 （每个士兵单位时间的射击次数） ， p y 是每次射击的命中率. 类似地有 g bx 且 b rx p x . 于是得到如下正规战争模型：
延 边 大 学 教 案
周 次 章 节 名 称 授 课 方 式 教学 目的 要求 教学 重点 难点
与游击战
第
7
周，
第
1
次课
第 5 章 微分方程模型 5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战 多媒体授课 教 时 学 数 2
通过建模案例，让学生掌握数学建模的微分方程法，让学生了解本章的动 态模型主要是非物理领域的实际问题，要根据建模目的，分析具体问题情况或 进行类比才能给出假设条件。不同的假设，就得到不同的方程，所以是事先没 有答案的。求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。
备 注
st it 1
st N it N N
由假设 2 知，每个病人每天可使 s t 个健康者变为病人，又由于病人数 为 N i t ， 每天共有 st N it 个健康人被感染. 于是 N s i 就是病人数 N i 的增加率，即有
［结果分析］1.令
.
教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业
注意到 和 1
备 注
的含义，可知 是一个传染期内每个病人有效接触的平
均人数，称为接触数.
1 1 i 0
i
1 1
1
i
i0
1
1 1
1

dx ay x u t dt ………………………………………(2) dy bx y vt dt
简化的情形： 忽略非战斗减员， 并设双方都没有增援， 又设双方的初始兵力分别为 x0 、
y0 ，则
dx ay dt dy bx dt
s ry sx
.
其中 r y 为射击率， p y 为命中率， sry 为有效面积， s x 为甲方活动面积. 类似地 g dxy , d rx p x rx 于是得到如下游击战争模型：
s rx . sy
dx cxy x u t dt …………………………………………(5) dy dxy y vt dt
.
解：由假设 1，有
教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业
备 注
st it r t 1
由假设 2，得 N

dr Ni dt
ds di dr 0 dt dt dt di N si N i N dt
dr i dt di si i dt
s, is 0, i 0, s i 1 D
由(2)式消去 dt ，得
1 di ds s 1 i s s i 0 0
解得 i s 0 i 0 - s
这里

1

Байду номын сангаас
ln
s ………………………………………(3) s0
在定义域 D 内，(3)式表示的曲线即为相轨线.
i0 0
1
t
0
t
2.接触数 1 是一个阈值. 当 1 时，病人比例 i t 越来越小，最终趋于零. 当 1 时， i t 的增减性取决于 i 0 的大小，其极限值 i 1 3.SI 模型是 SIS 模型中 0 的情形.
1

.
三. SIR 模 型
一 般 战 争 模 型
用 xt 和 yt 表示甲乙交战双方时刻 t 的兵力，不妨视为双方的士兵人 数，假设 1. xt 、 yt 是连续变化且充分光滑; 2.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力（战争减员率指单位时间 内的战斗减员数） ，分别用 f x, y 和 g x, y 表示; 3.每一方的非战争减员率（单位时间内非战斗减员数） （由疾病、逃跑等因素 引起）与本方的兵力成正比，比例系数分别为 、 ; 4.每一方的增援率（单位时间的增援数）是给定的函数，用 ut 和 v t 表示. 考虑 t 到 t t 内甲、乙双方兵力数的增量，得到
1 1 t 1 i 1 e 0
［结果分析］ 作出 it ~ t 和
di ~ i 的图形如下： dt
教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业
di di 1. 当 i 1 时， 取到最大值 ，此时刻为
备 注
2
dt
dt m
xt t xt f x, y x ut t yt t yt gx, y y vt t
教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业
除以 t ,并令 t 0 ，得
备 注
dx f x, y x u t dt dy g x, y y vt dt
大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力， 所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假 设为 1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为 SIR 模型.三类人在 总人数 N 中占的比例分别记作 s i 、 i t 和 r t . 2． 病人的日接解率为 ，日治愈率为 （与 SIS 模型相同） ，传染期接触数 为 ＝
其相轨线是直线族.
yt
gunj
m 0 乙方胜
gunj
m 0 平局
m 0 甲方 胜
gunj
教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业
略 x 、 y ，并设 u v 0 在初始条件下（5）式为
备 注
dy dx dxy cxy, dt dt x0 x0 , y 0 y 0
dx c , cy dx m, m cy0 dx0 dy d
教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业
备 注
§3 正规战与游击战
此战争模型是第一次世界大战期间nchester 提出来的，是一个 预测战争结局的数学模型，它包括正规战争、游击战争和混合战争.
Lanchester 战争模型很简单，只考虑双方兵力的多少和战斗力的强弱，
兵力因战争减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增援而增加，战斗力 即杀伤对方的能力，则与射击率（单位时间的射击次数） ，射击命中率以及战 争的类型（正规战、游击战）等有关，而没有考虑双方的政治、经济、社会 等因素，此模型对于判断整个战争的结局是不可能的，但对于局部战役或许 还有参考价值.
x0 x0 , y0 y0 …………………………(3)
在相平面上讨论相轨线：
教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业
dy bx dx ay
备 注
ay2 bx2 k ……………………………………………………(4)
由初始条件得
yt
k 0 平局 k 0 乙方胜 gunj
一. SI 模 型
假设条件： 1、人群分为易感染者 (Susceptible)和已感染者(Infective)两类人，简称 为健康人和病人，在时刻 t 这两类人在总人数中所占比例分别记作 s t 和
i t .
教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业
2、每个病人每天有效接触的平均人数是 (常数)， 称为日接触率，当病人 与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人. 试建立描述 i t 变化的数学模型. 解：
N
di N si ………………………………………………(1) dt
而 s i 1.
di si dt
又记初始时刻( t 0 )病人的比例为 i 0 ，则
di i 1 i dt i 0 i0
这就是 Logistic 模型，其解为
it
1 t m 1 ln i 1 0
2. 当 t 时，i 1 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.
二. SIS 模 型
在前面假设 1、2 之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、 痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者， 健康者还可以被感染再变成病人，此模型称 SIS 模型. 假设 1、2 同 SI 模型，增加假设: 3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为 ，称为日治愈率.病人治愈 后成为易感染者（健康人）.显然 1
k ay0 bx0
2
2
此相轨线为双曲线族. 乙方获胜
2
k
k 0
a
k 0甲方胜
y0 b rx p x x ar p y y 0