数学模型姜启源第五章微分方程模型
回归模型《数学模型》(第三版)电子课件姜启源谢金星叶俊编制共35页
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
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凝
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高
风
景
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。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
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后
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浮
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9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
数学模型姜启源 ppt课件
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
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《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
数模学习(姜启源笔记)
天大万门数模写在开始今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。
可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是~~ 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：一，“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；二，模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了；三，用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。
从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。
最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。
其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。
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16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
姜启源数学模型
姜启源数学模型姜启源数学模型是指以姜启源为主导的一种数学建模方法。
姜启源是中国工程院院士、中国科学院数学与系统科学研究院院长，他在数学模型领域有着丰富的经验和深厚的造诣。
数学模型是一种将现实问题抽象化、形式化的方法，通过建立数学模型来描述和解决实际问题。
姜启源数学模型的特点是综合运用数学、统计学、计算机科学等多学科知识，通过数学建模的方法解决实际问题。
姜启源数学模型的应用领域非常广泛，包括但不限于工程、经济、环境、医学等各个领域。
在工程领域，姜启源数学模型可以用于优化设计、预测分析、风险评估等方面。
在经济领域，姜启源数学模型可以用于市场预测、投资决策、风险控制等方面。
在环境领域，姜启源数学模型可以用于气候变化模拟、环境保护规划等方面。
在医学领域，姜启源数学模型可以用于疾病传播模拟、药物研发等方面。
姜启源数学模型的建立过程一般包括问题分析、数学建模、模型求解和模型验证等步骤。
首先，需要对实际问题进行深入的分析，明确问题的目标和约束条件。
然后，根据问题的特点，选择合适的数学方法和模型类型。
接下来，通过数学方法将实际问题转化为数学问题，并进行数学建模。
然后，利用数学工具和计算机进行模型求解，并对结果进行分析和解释。
最后，需要对模型进行验证，检验模型的准确性和可靠性。
姜启源数学模型的优势在于能够将复杂的实际问题转化为简单的数学问题，并通过数学方法进行求解。
这种模型可以提供决策支持和问题解决的方法，帮助人们更好地理解和解决实际问题。
姜启源数学模型的应用可以提高效率、降低成本、减少风险，对社会和经济发展具有重要意义。
姜启源数学模型的发展离不开数学研究和科学技术的支持。
近年来，随着数学建模方法和计算机技术的不断发展，姜启源数学模型在各个领域得到了广泛应用和推广。
同时，姜启源也致力于培养和引进优秀的科研人才，推动数学建模在中国的发展和应用。
姜启源数学模型是一种综合运用数学、统计学、计算机科学等多学科知识的数学建模方法。
2014-11第4版姜启源数学模型复习总结 (1)
第四版姜启源数学模型复习总结第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。
建模的一般方法及其在建模中的应用。
建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。
建模的全过程（框图）4个环节的含义。
模型的特点（技艺性）。
模型分类（表现特征），建模中的能力培养。
数学建模实例的建模思想及其步骤§1 数学模型的概念：模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。
抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。
数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
1-1-1 模型是为了特定的目的，将原型的（）而得到的原型替代物。
1-1-2数学模型可以描述为：对于一个现实对象，（）。
1-1-3 关于数学模型的如下论述中正确的是（）A。
数学模型是以现实世界的特定问题为研究对象。
B。
数学模型只是对实际问题的近似表示，其中包含一些简化假设。
C。
数学模型表示是某一特定问题的内在规律的数学表示，是以方程和函数关系表示的数学结构。
D。
数学模型是现实问题的真实的描述，不能做任何假设和简化。
1-1-4 关于数学建模的如下论述中正确的是（）A。
数学模型和数学建模是完全相同的概念。
B。
数学建模是一个全过程，包括表述、求解、解释和验证四个环节。
C。
数学建模全过程涉及两个世界是现实世界和虚拟世界，涉及的“双向翻译”是同声翻译和文献翻译。
D.数学建模过程是一个从理论-实践-再理论-再实践不断改进的过程。
§2 建模的重要意义（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了; 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地. 数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。
笔记-数学模型(第四版) 姜启源等编
dx kx 当 t 0 得微分方程： dt x(0) x0
解微分方程
dx kdt x 1 x dx kdt ln( x) kt c1 x ce kt , c x0 x x0 e kt
dm dm 由死亡率的定义可得： dr ( r , t ), (r , t )dr m m
解得
( r ,t ) dr m( ) ln(m) | (r , t )dr , e m( )
t 时刻年龄为 的人的存活时间之和为： h( ) 所以时刻 t 年龄为 的人的期望寿命为：
P174 习题 4 1.设 x(t ), y (t ) 分别为 t 时刻甲乙双方的兵力，满足下列微分方程
x ay , (1) y bx, (2) x ( 0) x 0 , y ( 0) y 0 a 4, x 0 y 0 则当乙方取胜时，乙方的剩余兵力是多少？战斗时间 b 是多少？ （2） 若甲方在战斗开始后，有后备兵力以不变的速率 r 增援，试重新建立模 型， 讨论如何判断双方的胜负
0
( r , t ) dr
0
d
解：
设 t 时刻年龄为 的人的数目随时间变化的规律为： m m( r ), r 0
dm dm 由死亡率的定义可得： dr ( r , t ), (r , t )dr m m
解得
( r ,t ) dr m( ) ln(m) | (r , t )dr , e 0 0 m(0)
2.试推导 logistic 人口增长模型.即设时刻 t 的人口为 x(t ) ，单位时间内人口的 增量与 x(1
(完整版)姜启源数学模型第五版-第5章
第 5.1 人口增长
五 5.2 药物中毒急救
章 5.3 捕鱼业的持续收获
微 分
5.4 资金、劳动力与经济增长 5.5 香烟过滤嘴的作用 5.6 火箭发射升空
方 5.7 食饵与捕食者模型
程 5.8 赛跑的速度
模 5.9 万有引力定律的发现
型 5.10 传染病模型和SARS的传播
5.1 人口增长预测
Байду номын сангаас
增长率/10年 0.2949
年
1870
人口(百万) 38.6
增长率/10年 0.2435
年
1950
人口(百万) 150.7
增长率/10年 0.1579
1800 5.3 0.3113 1880 50.2 0.2420 1960 179.3
0.1464
1810 7.2 0.2986 1890 62.9 0.2051 1970 203.2
第五章 微分方程模型
• 微分方程~含自变量、未知函数及其导数的方程. • 描述随时间连续变化物体或过程的动态变化规律. • 采用机理分析方法或类比法建立微分方程. 物理领域 ~工程技术, 科学研究 牛顿定律 电路原理
例. 火箭发射——由燃料燃烧推力发射的火箭 加速度、速度、高度的微分方程. 非物理领域 ~人口,经济,生态等 特定的内在规律 例. 人口预测——含人口数量及增长率的微分方程.
100
50
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t
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指数模型(方法一)
x 300
250
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0
t
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