《条件概率》课件
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人教版数学选择性必修三7.1.1条件概率课件
1
3
2
5
1．已知P(B|A)＝ ，P(A)＝ ，则P(AB)等于(
A.
5
6
B.
9
10
C.
2
15
= | ⋅ = ×
)
D.
| =
1
3
C
2 2
=
5 15
1
15
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第
一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是(
= ∪∪ = + + = 6 +
+
=
6
6
6
20
20
20
20
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝
+
=
13
58
类题通法
若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长
提
出
问
题
度、质量都合格}．
问题3：试探求P(B)、P(AB)、P(A|B)间的关系．
提示：P(A|B)=
.
1．条件概率
导
入
新
知
• 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝
为在事件A
产生的条件下，事件B产生的条件概率．
他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，
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1．已知P(B|A)＝ ，P(A)＝ ，则P(AB)等于(
A.
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B.
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C.
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= | ⋅ = ×
)
D.
| =
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C
2 2
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5 15
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2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第
一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是(
= ∪∪ = + + = 6 +
+
=
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P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝
+
=
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类题通法
若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长
提
出
问
题
度、质量都合格}．
问题3：试探求P(B)、P(AB)、P(A|B)间的关系．
提示：P(A|B)=
.
1．条件概率
导
入
新
知
• 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝
为在事件A
产生的条件下，事件B产生的条件概率．
他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，
条件概率-课件
没有影响，P (A)
2 3
,
P (B )
1 3
思考3：一般地，对于事件A，B，如果事 件A的发生不影响事件B发生的概率，那 么P(B|A)与P(B)有什么关系？根据条件 概率计算公式可得什么结论？
P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A) P(B).
思考4：设A，B为两个事件，如果P(AB) ＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独 立.你能列举一个相互独立事件的实例吗？
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/32021/3/32021/3/32021/3/3
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
探究（一）：相互独立事件的概念
思考1：先后两次抛掷一枚质地均匀的骰 子，设事件A为“第一次抛掷得到点数是 1”，事件B为“第二次抛掷得到点数是 2”，那么事件A的发生对事件B发生的概 率是否有影响？事件A、B发生的概率分 别是多少？
没有影响，都为 1 . 6
思考2：某三张奖券中只有一张能中奖， 现分别由三名同学有放回地各随机抽取1 张，设事件A为“第一个同学没有抽到中 奖奖券”，事件B为“第三个同学抽到中 奖奖券”，那么事件A的发生对事件B发 生的概率是否有影响？事件A、B发生的 概率分别是多少？
2.公式P(AB)＝P(A)P(B)可以理解为： 相互独立事件同时发生的概率，等于它 们的概率之积.如果事件A与B不相互独 立，那么事件A与B同时发生的概率应利 用条件概率求解.
3.两个事件互斥与两个事件相互独立 是完全不同的两个概念，若事件A与B互 斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这是和 事件的加法公式；若事件A与B相互独立， 则P(AB)＝P(A)P(B)，这是积事件的乘 法公式.
高中数学课件7.1.1条件概率
P(AB)=P(A)P(B)
P( A)
因此，当P(A)>0时，当且仅当A与B相互独立时，有 P(B|A)=P(B)
[追问]对于任意两个事件A与B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(AB)呢？
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A)，
称此式为概率的乘法公式.
1－P(B)
______________；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为
∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－
P(A∩B).
5.古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简
7.1.1 条件概率
复习回顾
1.概率与频率
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生
的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频
率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
2.事件的运算
定义
表示法
事件A与事件B至少有一个发生，
称古典概型.
有限个
(1)有限性：样本空间的样本点只有________；
相等
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性______.
一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其
k
n（A）
n
中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 P(A)＝____＝
.
n（Ω）
其中，n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数.
P( A)
因此，当P(A)>0时，当且仅当A与B相互独立时，有 P(B|A)=P(B)
[追问]对于任意两个事件A与B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(AB)呢？
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A)，
称此式为概率的乘法公式.
1－P(B)
______________；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为
∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－
P(A∩B).
5.古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简
7.1.1 条件概率
复习回顾
1.概率与频率
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生
的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频
率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
2.事件的运算
定义
表示法
事件A与事件B至少有一个发生，
称古典概型.
有限个
(1)有限性：样本空间的样本点只有________；
相等
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性______.
一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其
k
n（A）
n
中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 P(A)＝____＝
.
n（Ω）
其中，n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数.
《条件概率》课件
答案2
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球 的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
《条件概率》ppt课件
contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条 件下，事件A发生的概率，这可以表示 为在事件B发生的条件下，事件A发生 的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发 生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发 生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不 同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行 动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状 态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如， 在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球 的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
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contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条 件下，事件A发生的概率，这可以表示 为在事件B发生的条件下，事件A发生 的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发 生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发 生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不 同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行 动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状 态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如， 在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设
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贝叶斯网络模型简介
贝叶斯网络定义
一种基于概率图模型的 机器学习算法，用于表 示和推理不确定性知识。
网络结构
由有向无环图和条件概 率表组成，节点表示随 机变量，边表示变量间
的依赖关系。
推理算法
通过贝叶斯网络中的条 件概率表，利用推理算 法计算目标变量的后验
概率分布。
应用领域
广泛应用于分类、聚类、 预测等任务，如自然语 言处理、图像处理、医
掌握条件概率的概念和计算方法对于理解和应用概率论和数理统计具有重要意义。
教学目标和要求
教学目标
通过本课程的学习，使学生掌握条件概率的概念、计算方法和 应用，培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学要求
要求学生能够熟练掌握条件概率的计算方法，理解条件概率在 实际问题中的应用，并能够运用所学知识解决一些实际问题。 同时，要求学生积极参与课堂讨论和思考，提高自己的思维能 力和解决问题的能力。
条件概率与独立性的关系
如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B)，即事件A的发生对事 件B的发生没有影响。
条件概率的应用
条件概率在实际问题中有着广泛的应用，如医学诊断、天气预报、金 融风险评估等领域。
拓展延伸：条件期望、条件方差等概念介绍
• 条件期望的定义与性质：条件期望是指在某一事件发生的条件下，另一 随机变量的期望值。它具有线性性、单调性等基本性质。
条件概率在贝叶斯定理中作用
先验概率与后验概率
01
条件概率在贝叶斯定理中，用于计算先验概率和后验概率，即
根据已知信息更新某事件发生的概率。
因果关系分析
02
条件概率可以帮助分析事件之间的因果关系，进而推断出未知
事件的发生概率。
概率论与数理统计条件概率PPT课件
（ 1 ） P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0 . 9 × 0 . 9 = 0 . 8 1 （ 2 ） P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) － P ( A B ) = 0 . 9 + 0 . 9 － 0 . 8 1 = 0 . 9 9
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
《概率统计》
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结束
二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
条件概率公开课ppt课件
$P(A/B) = frac{P(B/A)P(A)}{P(B)}$
事件A和B的独立性
在贝叶斯定理中，事件A和B可以 是独立的，也可以是相关的。
全概率公式
如果事件B能分为互不相容的事 件$B_1, B_2, ldots, B_n$，则
$P(A) = sum_{i=1}^{n} P(A/B_i)P(B_i)$
条件分布
在给定其他随机变量取值的条件下，某个随机变量的条件 分布描述了该随机变量取值的概率分布。条件分布可通过 联合分布和边缘分布求得。
边缘分布与条件分布关系
边缘分布是条件分布的特例，当不给定其他随机变量取值 时，条件分布退化为边缘分布。
多元随机变量独立性判断
独立性定义
若多元随机变量中的任意随机变量取值与其他随机变量取值无关，则称这些随机变量相互独立。
条件概率公开课ppt课 件
contents
目录
• 条件概率基本概念 • 条件概率分布与期望 • 多元随机变量条件概率 • 贝叶斯定理及其应用 • 条件概率在统计学中地位和作用 • 总结与展望
01
条件概率基本概念
条件概率定义及性质
条件概率是指在某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。具体地，如果事 件B已经发生，那么事件A在事件B发生的条件下发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)。
性质 条件数学期望和条件方差具有一些重要的性质，如线性性 质、常数性质、独立性等。
条件概率分布变换方法
离散型随机变量的条件概率分布
01
对于离散型随机变量，可以通过列举法或者公式法求得条件概
率分布。
连续型随机变量的条件概率分布
02
对于连续型随机变量，可以通过求解条件概率密度函数进而求
事件A和B的独立性
在贝叶斯定理中，事件A和B可以 是独立的，也可以是相关的。
全概率公式
如果事件B能分为互不相容的事 件$B_1, B_2, ldots, B_n$，则
$P(A) = sum_{i=1}^{n} P(A/B_i)P(B_i)$
条件分布
在给定其他随机变量取值的条件下，某个随机变量的条件 分布描述了该随机变量取值的概率分布。条件分布可通过 联合分布和边缘分布求得。
边缘分布与条件分布关系
边缘分布是条件分布的特例，当不给定其他随机变量取值 时，条件分布退化为边缘分布。
多元随机变量独立性判断
独立性定义
若多元随机变量中的任意随机变量取值与其他随机变量取值无关，则称这些随机变量相互独立。
条件概率公开课ppt课 件
contents
目录
• 条件概率基本概念 • 条件概率分布与期望 • 多元随机变量条件概率 • 贝叶斯定理及其应用 • 条件概率在统计学中地位和作用 • 总结与展望
01
条件概率基本概念
条件概率定义及性质
条件概率是指在某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。具体地，如果事 件B已经发生，那么事件A在事件B发生的条件下发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)。
性质 条件数学期望和条件方差具有一些重要的性质，如线性性 质、常数性质、独立性等。
条件概率分布变换方法
离散型随机变量的条件概率分布
01
对于离散型随机变量，可以通过列举法或者公式法求得条件概
率分布。
连续型随机变量的条件概率分布
02
对于连续型随机变量，可以通过求解条件概率密度函数进而求
《条件概率》课件
在机器学习中的应用
01
分类器设例如，朴素贝
叶斯分类器就是基于条件概率的分类器之一，它可以根据已知特征的概
率分布来预测未知样本的类别。
02
聚类分析
在聚类分析中，条件概率可以帮助我们确定不同数据点之间的相似性或
差异性。例如，基于密度的聚类算法可以利用条件概率密度函数来评估
数据点之间的相似性或差异性。
03
强化学习
在强化学习中，条件概率可以帮助我们确定在不同状态下采取不同行动
的概率。例如，Q-learning算法可以利用条件概率来评估在不同状态下
采取不同行动的期望回报。
04 条件概率的实例分析
抛硬币实验的条件概率分析
总结词：直观理解
详细描述：通过抛硬币实验，理解条件概率的概念。假设硬币是均匀的，那么正 面朝上的概率是0.5。在硬币已经连续出现几次正面朝上的情况下，下一次抛掷 仍然是正面朝上的概率仍然是0.5，即条件概率不变。
全概率公式与贝叶斯公式
总结词
全概率公式和贝叶斯公式是条件概率的 两个重要公式，全概率公式用于计算一 个事件的概率，而贝叶斯公式则用于更 新一个事件的概率。
VS
详细描述
全概率公式将一个事件的概率分解为若干 个互斥事件的概率之和，而贝叶斯公式则 是在已知先验概率和新信息的情况下，更 新一个事件的概率。这两个公式在统计学 、机器学习和数据分析等领域有着广泛的 应用。
B
题目2答案与解析
出现一个正面和一个反面的概率为0.75。解 析：出现一个正面和一个反面意味着出现 HH、HT、TH、TT四种情况中的三种，其
D
概率为C(2,1) / C(2,2) * C(2,1) / C(2,2) =
3/4。
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≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，所以选项 B 正确．
答案：B
3．已知 P(AB)＝15，P(A)＝35，则 P(B|A)＝( )
11A.15B.3C.235D.23
解析：P(B|A)＝PP（（AAB））＝15÷35＝13.
答案：B
4. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景 点，设事件 A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独 自去一个景点”，则概率 P(A|B)等于________．
2．条件概率的性质
(1)有界性：0≤P(B|A)≤1； (2)可加性：如果 B 和 C 是互斥事件，则 P((B∪C)|A) ＝P(B|A)＋P(C|A)．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若事件 A 与 B 互斥，则 P(B|A)＝0.( ) (2)若事件 A 等于事件 B，则 P(B|A)＝1.( ) (3)P(B|A)与 P(A|B)相同．( ) 解析：(1)对，因为事件 A 与 B 互斥，所以事件 A 发
的数，事件 A＝“取到的两个数之和为偶数”，事件 B＝
“取到的两个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( )
A.18
B.14
C.25
D.12
解析：P(A)＝C23C＋26C23＝25，P(AB)＝CC2326＝15.
由条件概率，得 P(B|A)＝PP（（AAB））＝15÷25＝12.
答案：D
类型 2 有无放回抽样的概率
所以 P(A)＝12，P(AB)＝CC2224＝16， 所以 P(B|A)＝PP（（AAB））＝16÷12＝13. 即先摸 1 个白球不放回，再摸 1 个白球的概率为13.
(2)记“先摸出 1 个白球放回”为事件 A1，“再摸出 1 个白球”为事件 B1，两次都摸出白球为事件 A1B1.
所以 P(A1)＝24＝12，P(A1B1)＝24××24＝14， 所以 P(B1|A1)＝PP（（AA1B1）1）＝14÷12＝12. 先摸 1 个白球后放回，再摸 1 个白球的概率为12.
解析：设第一次抽到数学题为事件 A，第二次抽到数 学题为事件 B，则 P(A)＝35，P(AB)＝35××24＝130，
所以 P(B|A)＝PP（（AAB））＝130÷35＝12. 答案：12
类型 1 利用定义求条件概率(自主研析)
[典例 1] 掷两颗均匀的骰子，问： (1)至少有一颗是 6 点的概率是多少？ (2)在已知它们点数不同的条件下，至少有一颗是 6 点的概率又是多少？
法二 (1)先摸出 1 个白球不放回，则此时口袋内有 1 个白球和 2 个黑球，所以从中摸出一个球，此球是白球的 概率 P1＝13.
(2)先摸出一个白球后放回，这时口袋内仍然是 2 白 2 黑共 4 个小球，从中摸出一球，该球是白球的概率 P2 与
21 第一次摸球无关，所以 P2＝4＝2.
归纳升华 解答抽样问题，审题时必须搞清题目是“放回”还是 “不放回”抽样，不放回抽样，后面抽样受前面抽样的制 约，放回抽样的各次抽样之间互不影响．
条件概率
[学习目标] 1.通过对具体情景的分析，了解条件概 率的定义(重点)． 2.掌握求条件概率的两种方法(难 点)． 3.利用条件概率公式解决一些简单的问题(重点、 难点)．
[知识提炼·梳理]
1．条件概率
条件 设 A，B 为两个事件，且 P(A)＞0
在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生 含义
[变式训练] 5 个乒乓球，其中 3 个新的，2 个旧的， 每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的 情况下，第二次取到新球的概率是________．
生的条件下，事件 B 不会发生．
(2)对，因为事件 A 等于事件 B，所以事件 A 发生， 事件 B 必然发生．
(3)错，由条件概率的概念该说法错误． 答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．下列说法中正确的是( ) A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝PP（（BA））是可能的 C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0 解析：根据条件概率的概念知，P(B|A)≤P(AB)，0
归纳升华 P（AB）
求条件概率时一般应用其定义式 P(B|A)＝ P（A）
求解，其推导是利用古典概型概率公式进行的，应注意 P(AB)是事件 A 与事件 B 同时发生的概率，P(AB)＝ n（AB）
，其中 Ω 是所有基本事件的集合．因而求条件 n（Ω） 概率也可以直接利用古典概型求解．
[变式训练] 从 1，2，3，4，5，6 中任取 2 个不同
的条件概率
记作
P(B|A)
读作 A 发生的条件下 B 发生的概率
计算 ①缩小样本空间法：P(B|A)＝nn（（AAB）） 公式 ②公式法：P(B|A)＝PP（（AAB））
温馨提示 注意 P(B|A)与 P(AB)的区别：P(B|A)的值 是 AB 发生相对于事件 A 发生的概率的大小；而 P(AB) 是 AB 相对于原来的总空间而言的概率．
解析：由题意可知，n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.
所以 P(A|B)＝nn（（ABB））＝162＝12.
答案：12
5．在 5 道题中有 3 道数学题和 2 道物理题．如果不 放回地依次抽取 2 道题，则在第 1次抽到数学题的条件下， 第 2 次抽到数学题的概率是________．
[典例 2] 一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球，那 么．
(1)先摸出 1 个白球不放回，再摸出 1 个白球的概率 是多少？
(2)先摸出 1 个白球后放回，再摸出 1 个白球的概率 是多少？
解：法一 (1)记“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A，“再摸出 1 个白球”为事件 B，则“先后两次摸白球” 为 AB，先摸 1 球不放回，再摸 1 球，结果共有 4×3 种．
解：(1)对两颗骰子加以区别，则共有 36 种不同情况， 它们是等可能的．
设 A＝“至少有一颗是 6 点”，则事件 A 共包含 11 种不同情况，所以 P(A)＝3116.
(2)由(1)知，共有 36 种不同情况．又设 B＝“两颗骰 子点数不同”，则事件 AB 共包含 10 种不同情况．
所以 P(AB)＝1306＝158，P(B)＝3306＝56. 所以 P(A|B)＝PP（（ABB））＝13.
答案：B
3．已知 P(AB)＝15，P(A)＝35，则 P(B|A)＝( )
11A.15B.3C.235D.23
解析：P(B|A)＝PP（（AAB））＝15÷35＝13.
答案：B
4. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景 点，设事件 A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独 自去一个景点”，则概率 P(A|B)等于________．
2．条件概率的性质
(1)有界性：0≤P(B|A)≤1； (2)可加性：如果 B 和 C 是互斥事件，则 P((B∪C)|A) ＝P(B|A)＋P(C|A)．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若事件 A 与 B 互斥，则 P(B|A)＝0.( ) (2)若事件 A 等于事件 B，则 P(B|A)＝1.( ) (3)P(B|A)与 P(A|B)相同．( ) 解析：(1)对，因为事件 A 与 B 互斥，所以事件 A 发
的数，事件 A＝“取到的两个数之和为偶数”，事件 B＝
“取到的两个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( )
A.18
B.14
C.25
D.12
解析：P(A)＝C23C＋26C23＝25，P(AB)＝CC2326＝15.
由条件概率，得 P(B|A)＝PP（（AAB））＝15÷25＝12.
答案：D
类型 2 有无放回抽样的概率
所以 P(A)＝12，P(AB)＝CC2224＝16， 所以 P(B|A)＝PP（（AAB））＝16÷12＝13. 即先摸 1 个白球不放回，再摸 1 个白球的概率为13.
(2)记“先摸出 1 个白球放回”为事件 A1，“再摸出 1 个白球”为事件 B1，两次都摸出白球为事件 A1B1.
所以 P(A1)＝24＝12，P(A1B1)＝24××24＝14， 所以 P(B1|A1)＝PP（（AA1B1）1）＝14÷12＝12. 先摸 1 个白球后放回，再摸 1 个白球的概率为12.
解析：设第一次抽到数学题为事件 A，第二次抽到数 学题为事件 B，则 P(A)＝35，P(AB)＝35××24＝130，
所以 P(B|A)＝PP（（AAB））＝130÷35＝12. 答案：12
类型 1 利用定义求条件概率(自主研析)
[典例 1] 掷两颗均匀的骰子，问： (1)至少有一颗是 6 点的概率是多少？ (2)在已知它们点数不同的条件下，至少有一颗是 6 点的概率又是多少？
法二 (1)先摸出 1 个白球不放回，则此时口袋内有 1 个白球和 2 个黑球，所以从中摸出一个球，此球是白球的 概率 P1＝13.
(2)先摸出一个白球后放回，这时口袋内仍然是 2 白 2 黑共 4 个小球，从中摸出一球，该球是白球的概率 P2 与
21 第一次摸球无关，所以 P2＝4＝2.
归纳升华 解答抽样问题，审题时必须搞清题目是“放回”还是 “不放回”抽样，不放回抽样，后面抽样受前面抽样的制 约，放回抽样的各次抽样之间互不影响．
条件概率
[学习目标] 1.通过对具体情景的分析，了解条件概 率的定义(重点)． 2.掌握求条件概率的两种方法(难 点)． 3.利用条件概率公式解决一些简单的问题(重点、 难点)．
[知识提炼·梳理]
1．条件概率
条件 设 A，B 为两个事件，且 P(A)＞0
在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生 含义
[变式训练] 5 个乒乓球，其中 3 个新的，2 个旧的， 每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的 情况下，第二次取到新球的概率是________．
生的条件下，事件 B 不会发生．
(2)对，因为事件 A 等于事件 B，所以事件 A 发生， 事件 B 必然发生．
(3)错，由条件概率的概念该说法错误． 答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．下列说法中正确的是( ) A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝PP（（BA））是可能的 C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0 解析：根据条件概率的概念知，P(B|A)≤P(AB)，0
归纳升华 P（AB）
求条件概率时一般应用其定义式 P(B|A)＝ P（A）
求解，其推导是利用古典概型概率公式进行的，应注意 P(AB)是事件 A 与事件 B 同时发生的概率，P(AB)＝ n（AB）
，其中 Ω 是所有基本事件的集合．因而求条件 n（Ω） 概率也可以直接利用古典概型求解．
[变式训练] 从 1，2，3，4，5，6 中任取 2 个不同
的条件概率
记作
P(B|A)
读作 A 发生的条件下 B 发生的概率
计算 ①缩小样本空间法：P(B|A)＝nn（（AAB）） 公式 ②公式法：P(B|A)＝PP（（AAB））
温馨提示 注意 P(B|A)与 P(AB)的区别：P(B|A)的值 是 AB 发生相对于事件 A 发生的概率的大小；而 P(AB) 是 AB 相对于原来的总空间而言的概率．
解析：由题意可知，n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.
所以 P(A|B)＝nn（（ABB））＝162＝12.
答案：12
5．在 5 道题中有 3 道数学题和 2 道物理题．如果不 放回地依次抽取 2 道题，则在第 1次抽到数学题的条件下， 第 2 次抽到数学题的概率是________．
[典例 2] 一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球，那 么．
(1)先摸出 1 个白球不放回，再摸出 1 个白球的概率 是多少？
(2)先摸出 1 个白球后放回，再摸出 1 个白球的概率 是多少？
解：法一 (1)记“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A，“再摸出 1 个白球”为事件 B，则“先后两次摸白球” 为 AB，先摸 1 球不放回，再摸 1 球，结果共有 4×3 种．
解：(1)对两颗骰子加以区别，则共有 36 种不同情况， 它们是等可能的．
设 A＝“至少有一颗是 6 点”，则事件 A 共包含 11 种不同情况，所以 P(A)＝3116.
(2)由(1)知，共有 36 种不同情况．又设 B＝“两颗骰 子点数不同”，则事件 AB 共包含 10 种不同情况．
所以 P(AB)＝1306＝158，P(B)＝3306＝56. 所以 P(A|B)＝PP（（ABB））＝13.