高等数学基础公式

中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) f (b) − f (a ) f ′(ξ ) 柯西中值定理： = F (b) − F (a) F ′(ξ ) 当F( x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式： ds = 1 + y ′ 2 dx , 其中 y ′ = tgα 平均曲率： K= Δα .Δα : 从M点到 M ′点，切线斜率的倾角变 化量； Δs：MM ′弧长。 Δs y ′′ Δα dα M点的曲率： K = lim = = . Δs → 0 Δ s ds (1 + y ′ 2 ) 3
dx
2
∫ sec x ⋅ tgx dx = sec x + C ∫ csc x ⋅ ctgxdx = − csc x + C ∫a
x
dx =
ax +C ln a
∫ shxdx ∫ chxdx ∫
dx
2
= chx + C = shx + C = ln( x + x2 ± a2 ) + C
x ± a2
π
k ( n−k ) ( k ) u v (uv) ( n ) = ∑ C n k =0 n
= u ( n ) v + nu ( n−1) v′ +
n(n − 1) ( n−2 ) u v′′ + 2!
+
n(n − 1)
(n − k + 1) ( n−k ) ( k ) u v + k!
+ uv ( n )
4
平面的方程： 1、点法式：A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z 0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程： + + = 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2
1 1− x2 1 1− x2
x )′ =
1 x ln a
1 1+ x2 1 ( arcctgx ) ′ = − 1+ x2
基本积分表： 三角函数的有理式积分：
∫ tgxdx = − ln cos x + C ∫ ctgxdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tgx + C ∫ csc xdx = ln csc x − ctgx + C ∫a ∫ ∫ ∫
多元函数微分法及应用
全微分：dz = ∂z ∂z ∂u ∂u ∂u dx + dy du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z
全微分的近似计算：Δz ≈ dz = f x ( x, y ) Δx + f y ( x, y )Δy 多元复合函数的求导法： dz ∂z ∂u ∂z ∂v z = f [u (t ), v(t )] = ⋅ + ⋅ dt ∂u ∂t ∂v ∂t ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v z = f [u ( x, y ), v( x, y )] = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 当u = u ( x, y )，v = v( x, y )时， du = ∂u ∂u ∂v ∂v dx + dy dv = dx + dy ∂x ∂y ∂x ∂y
b
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d = M 1 M 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 Pr ju AB = AB ⋅ cos ϕ ,ϕ是 AB与u轴的夹角。 向量在轴上的投影： Pr ju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Pr ja 2 a ⋅ b = a ⋅ b cosθ = a x bx + a y b y + a z bz , 是一个数量, cosθ = 两向量之间的夹角： i c = a × b = ax bx j ay by a x b x + a y b y + a z bz a x + a y + a z ⋅ bx + b y + b z
隐函数的求导公式： F F F dy dy d2y ∂ ∂ 隐函数F ( x, y ) = 0， = − x ， 2 = (− x )＋ (− x ) ⋅ dx Fy dx ∂x Fy ∂y Fy dx Fy F ∂z ∂z 隐函数F ( x, y, z ) = 0， = − x ， = − Fz Fz ∂x ∂y
直线： K = 0; 1 半径为 a的圆： K = . a
3
定积分的近似计算： 矩形法： ∫ f ( x) ≈
a b
b−a ( y0 + y1 + n
+ y n−1 ) + y n−1 ] + y n −2 ) + 4( y1 + y3 + + y n−1 )]
梯形法： ∫ f ( x) ≈
a b
⎧ x = x0 + mt x − x0 y − y 0 z − z 0 ⎪ = = = t , 其中s = {m, n, p}; 参数方程： 空间直线的方程： ⎨ y = y0 + nt m n p ⎪ z = z + pt 0 ⎩ 二次曲面： x2 y2 z 2 1、椭球面： 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y = z（ 2、抛物面： + , p, q同号） 2 p 2q 3、双曲面： x2 y2 z 2 单叶双曲面： 2 + 2 − 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面： 2 − 2 + 2 =（马鞍面） 1 a b c
α
2
·正弦定理：
a b c = = = 2R sin A sin B sin C
·余弦定理： c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
·反三角函数性质： arcsin x =
π
2
− arccos x arctgx =
π
2
− arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
1− u2 2du 2u x cos x ， = ， u = tg ， dx = 2 2 1+ u 2 1+ u2 1+ u
1
一些初等函数：
e x − e−x 2 x e + e−x 双曲余弦 : chx = 2 shx e x − e − x 双曲正切 : thx = = chx e x + e − x 双曲正弦 : shx = arshx = ln( x + x 2 + 1） archx = ± ln( x + x 2 − 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1− x
·半角公式：
sin tg
sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos3 α − 3 cosα tg 3α = 3tgα − tg 3α 1 − 3tg 2α
α
2
=± =±
1 − cosα α 1 + cosα cos = ± 2 2 2 1 − cosα 1 − cosα sin α α 1 + cosα 1 + cosα sin α ctg = ± = = = = 1 + cosα sin α 1 + cosα 2 1 − cosα sin α 1 − cosα
·和差化积公式：
sin α + sin β = 2 sin
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cosα sin β cos(α ± β ) = cosα cos β ∓ sin α sin β tg (α ± β ) = tgα ± tgβ 1 ∓ tgα ⋅ tgβ ctgα ⋅ ctgβ ∓ 1 ctg (α ± β ) = ctgβ ± ctgα
2 n
π
2
I n = ∫ sin xdx = ∫ cos n xdx =
0 0
n −1 I n−2 n
∫ ∫ ∫
sin x =
x x + a dx = 2 x x 2 − a 2 dx = 2 x a 2 − x 2 dx = 2
2 2
a2 ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 a2 x2 − a2 − ln x + x 2 − a 2 + C 2 a2 x a2 − x2 + arcsin + C 2 a x2 + a2 +
α+β
2 2 α+β α −β sin α − sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α −β cosα + cos β = 2 cos cos 2 2 α +β α −β cosα − cos β = 2 sin sin 2 2
cos
α −β
2
·倍角公式：
sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α = cos 2 α − sin 2 α ctg 2α − 1 ctg 2α = 2ctgα 2tgα tg 2α = 1 − tg 2α