《线性代数》课后习题答案
第一章 行列式
习题1.1
1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有
3
)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以
)
3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以
)3(33)
(3)3()
3)(3()3)(3(3
32
2
22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=
-+-+=
++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。 （反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒
∈∃,，从而有
q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。
如果0=a ，则2
qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
如果0=b ，则有a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。
所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ⊄。 同样可得)()(p Q q Q ⊄。
（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q 和ℜ之间存在无穷多个不同的数域。
2. 解：（1）)1(-P 是数域，证明略（与上面类似）。
（2）)1(-Q 就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。 而=-=-ℜ)1()1(C 复数域。
（3）)1(-Z 不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如
)1(2
1
-∉Z 。 3. 证明：（1）因为K F ,都是数域，所以K Q F Q ⊆⊆,，从而K F Q ⋂⊆。故K F ⋂含
有两个以上的复数。
任给三个数K F c K F b a ⋂∈≠⋂∈0,,，则有F c b a ∈,,且K c b a ∈,,。因为K F ,是数域，所以有F c a ab b a ∈±,,且K c a ab b a ∈±,,。所以K F c
a
ab b a ⋂∈±,,。 所以K F ⋂是数域。
（2）K F ⋃一般不是数域。例如)3(),2(Q K Q F ==，我们有K F ⋃∈3,2，但是K F ⋃∉=326。
习题1.2
2. 解：项651456423123a a a a a a 的符号为 =-+)
312645()234516()1(ττ
习题1.3
1．证明：根据行列式的定义
11111111
1
=
121212
()
12(1)
n n
n
j j j j j nj j j j a a a τ-∑
1
ij a =
12
12
()
(1)n n
j j j j j j τ-∑
=0。
所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n 阶排列，故可以得到全体n 阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。
2．解(1) 19981999
2000
2001
20022003200420052006
32
C C -199819991200120021200420051
21
C C -199811200111200411
=0； （2）
1001
02
2003304004--3241C C C C -+1000
020*********
-下三角形
1268=96⨯⨯⨯；
（3）
1110
1
10110110111
2131R R R R --111000*********
1--24R 1110
01110101001
1
--32R R +111001110012001
1
- 43R R +1110
11100120
3
上三角形
1113=3⨯⨯⨯；
（4）
222222a b c
a
a
b b
c a b c
c c a b
------123
R R R ++2222a b c a b c a b c b
b c a b c c
c a b
++++++---- 提取公因子
1
1
1
()2222a b c b b c a b c c c a b
++----
21
31
(2)(2)R b R R c R --1
1
1
()0000a b c b c a c a b
++------=3()a b c ++。
（5）72222
272
22227
2222272
222
275
12i
i C C =+∑152222
157222
152722
152272152227
12,3,4,5
i R R i -=1522220500000500000500
0005
上三角形
515555535⨯⨯⨯⨯=⨯。
3．解：（1）11
121321
22
2331
32
33
x y x y x y x y x y x y x y x y x y 提取每行的公因子
1
231231
231
2
3
y y y x x x y y y y y y 性质4
0。
（2）左端
14,3,2
i i C C i --=2
22
2
21232521232521
23
25212325
a a a a
b b b b c
c c c
d d d d ++++++++++++43
32
C C C C --
222
2
2122212221222122
a a
b b c
c d d ++++=0=右端。
（3）12111
2112211
2
11
1
11
1
n n n n n a a a a b a a a a b a a a a b -----+++12,
i R R i n
-=121
12
1
10000000
n n a a a b b b -- 上三角形
121n bb b -。
（4）原式（先依次12211,,,C C C C C C n n n n ------ ）=。。。=⎩
⎨⎧>=2,2
,n if n if 。
（5）原式（先依次12211,,,R R R R R R n n n n ------ ）=。。。=⎩⎨
⎧>=2
,2
,n if n if 。
4．解：设展开后的正项个数为x 。则由行列式的定义有!2)!(n x x n x D -=--=。又因为
=D （利用n i R R i ,,3,2,1 =+）
2
21
021
001 （下三角行列式）1
2-=n 。所以有
2
!
2,!22
11
n x n x n n +=-=--。
5．证明：（1）左端
123
C C C ++提取公因子
1111111
222
2222333
33332a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ++++++++++++21
31C C C C
--
11111
22222333
3
32a b c b c a b c b c a b c b c ++--++--++--123
3
C ;(1)C C C C ++-2(-1)1
11
2
223
3
3
2a b c a b c a b c =右端。 （2）利用性质5展开。
6．解：（3）与上面3（3）类似可得。 7．解：利用行列式的初等变换及性质5。
8．解：
1122110000
00000111
11
n n a a a a a a ----
-11,2,
,1
i i C C i n ++=-
12100000000000
01
2
3
1
n a a a n n
-----下三角形
12
1(1)n n na a a --。
9．证明：设原行列式=D 。则对
D 进行依次如下变换后
∑=+⨯⨯5
2
14323
14
,10,100,10,10i i C C C C C C 所得的行列式D ′第一列由题设中所给的5个数
字构成。从而由行列式的定义可知D ′可被23整除。又由行列式的性质知D ′D 10
10=。因为23是素数，且10
10不可能被23整除，所以D 可以被23整除。
习题1.4
1．解：(1) 00
000
00
000
x
a b c
y d
e z
f
g
h k u l
v
5按第行展开0
000
x
a b y v
e z g
h k u
按第4列展开000x a b
vu y e z
按第1列展开
y xuv
e z
=xyzuv ；
(2)
1111
2341
3412
4123
1
4,3,2
i i
R R
i
-
-
=
1111
1230
1131
1311
-
-
1
2,3,4
i
R R
i
-
=
1111
0121
0040
0400
-
-
-
按第1列展开
121
040
400
-
-
-
1.27(4)
-
习题第题3(31)
2
(1)(1)(4)(4)
-
----=16；
(3)方法一01000
00100
00010
a b c d e
e d c b a
按第1列展开
1000
0100
0010
a
d c b a
+51
1000
(1)
0100
0010
b c d e
e
+
-
第2个行列式按第4列展开241
100
(1)010
001
a e e
+
+-=22
a e
-；
方法二逐次均按第2行展开可得同样结果, 具体解法可参见下例。
(4)逐次按第2行展开
1
2
3
1
0001
0000
0000
000
10
00
n
n
a
a
a
a
a
-
=
1
3
2
01
00
10
n
a
a
a
a
==
1
231
1
1
n
n
a
a a a
a
-
=
2311
(1)
n n
a a a a a
-
-；
(5)
123
111
221232
222
123
222
331233
110001
000
111
000
x x x
a b c
a b x x x c
x x x
a b x x x c
36
C
123
111
222231
222
123
222
333231
111000
000
111
000
x x x
a b c
a b c x x x
x x x
a b c x x x
-35
R
12
3
22212
3
222231111222
3
3
3
2
3
11110000000001
1
1x x x x x x a b c x x x a b c a b c x x x 45R 12
3
22212
3
1112222
3
1222
3
3
3
2
3
1111000000000111x x x x x x a b c a b c x x x a b c x x x -
=2123(,,)D x x x -=222313221()()()x x x x x x ----；
(6)
23
11111
22144188x
x x --=(1,2,2,)D x -=(2)(2)(1)(22)(21)(21)x x x +-------
212(1)(4)x x =--；
（7）换行后可得到范德蒙行列式； （8）
先把第一行加到第三行，再提取第三行的公因式，换行后可得到范德蒙行列式。
2．解：
(1)
0000
00
00000000
x y x y x x y y
x
按第1列展开
110000(1)00
x y x y x
x
+
-+1
00000(1)0
000
n y
x
y y x x
y
+- =1
(1)
n
n n x y ++-；
(2)
1231
23
1231
2
3
111n n n n
a a a a a a a a a a a a a a a a +++12,3,
,i R R i n
-
=12311100
10101
1
n
a a a a +---12n
i
i C C =+∑
=1+
1
n
i i a =∑；
（此处有笔误）
(3)
11
1212122212
111111111n
n n n n n
x y x y x y x y x y x y x y x y x y +++++++++
12,3,
,i R R i n
-=11
12
1211212211112
1111()()()()()()n
n n n n n
x y x y x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y +++------
=1112
11
2
213111
2
1
11()()
()
n
n n n
n
x y x y x y y y y x x x x x x y y y y +++---，
据此当2n =时，原式=2121()()x x y y --；当2n >时，原式=0。 3
．解：
（1）将n D 按第n 列展开得:
n D =
0000
00000000
x y y y y
z x z
x x z
x
=1
0000(1)
000000
n z x
z
x
y
x
z
+-+00000
x y y y z x x z x x
=111(1)n n n yz xD +---+。
（2）略（参考课本例中的叙述）。 4．解：（1）交换行、列后得到三角块行列式，然后利用例1.4.6的结果；或者直接利用Laplace 定理。
（2）左端先做变换3241,C C C C ++，再做变换2314,R R R R --，然后利用P30推论。
5．解：（1）7654
3
29
7
89
437
4
97005361000056000
6
8
再分块
24
7
4975361
32
(1)43
00560
6
8
⨯-⋅
=
327456
435368
⋅⋅
=4；
（2）
122101022011020123C 1221
00122101
002
1
23R 12212101
00120
2
1
=
1212
92121
⋅=； （3）利用初等变换。 附加：P30推论的证明：
证 (1) 将第r+1列与r 列交换, 由将新的r 列与r-1列交换, 如此继续, 直到将第r+1列交换到第1列, 这样共交换r 次; 再将第r+2列如上方法交换至第2列, 也交换了r 次, 如此继续直到将r+s 列交换至第s 列. 于是交换了rs 次后得到
111111
11111
1
000
r s r rr r rs s s ss
a a c c a a c c
b b b b =11111
1111111
(
1)
000
rs r r rs r rr rs
s s ss
c c a a c c a a b b b b -
将所得行列式的第r +1行依次与第r 行, r -1行, ……, 第1行交换. 交换r 次后, r +1行交换至第1行. 类似地交换r 次后将r +2行交换至第2行, ……, 交换r 次后将第r+s 行交换至第s 行, 于是交换rs 次后得:
11
1111111
11
1
00
00(1)(1)rs r rs rs rs
s r s ss
r rr
b b b b
c c a a c c a a --例1.4.511111
11
1
r s
r rr s ss a a b b a a b b ⋅
(2), (3) 思路与(1)类似, 证明过程略去。
习题1.5
2．解：计算得 100
20011000012
D λλ-=
14
C C +100
0001100
4012
λλ-2第行展开
10(1)10401
λ
λ-
=41λ-
根据克拉默法则, 当D 0≠时, 即1
4
λ≠
时, 原方程组只有零解。
习题1.6
1．证明：方法一归化
12
3
11111
111111111
1
1n n
a a D a a ++=
++1,
,1
i n R R i n -=-
1230000001
1
1
1n
n n n
a a a a a a a ---+1110
n n
i i i
i R R
a a -=+-≠∑注意1
231
1000
000
1
00
1n n n
n n n i i
a a
a
a a
a a a a -=---++∑
=12
1
1
(1)n
n i i
a a a a =+∑
=右端. 方法二归纳法
当1n =时, 1D =111
1
1(1).a a a +=+
结论成立. 假设1n -时结论成立, 即有1n D -=1
12
11
1(1).n n i i
a a a a --=+∑
则当n 时, 将 n D 的第n 列看成1+0,1+0,……,1+n a , 故n D 可表示为2个行列式之和, 而第2个行列式按第n 列展开可算出为1n n a D -从而
12
3
11111
11111111111
n n a a D a a ++=
++=
123
11111111
11
111
111a a a ++++1n n a D - 而
1
23
11
1
1111111111
1
1
1
a a a +++1,2,
,1
i n
R R i n -=-
1
2
3
0000
00
0001
11
1
a a a =121n a a a -.
所以n D =121n a a a -+1n n a D -=121n a a a -+n a 112
11
1
(1)n n i i
a a a a --=+∑
=12
1
1
(1)n
n i i
a a a a =+∑
=右端. 方法三 递推
由证明(二)可知n D 与1n D -存在以下递推关系:n D =12
1n a a a -+1n n a D -
所以n D =12
1n a a a -+1n n a D -=112
11
()n
n n i n i
D a a a a a -=+∑=
=12
1
1(1)n
n i i
a a a a =+∑
=右端.
方法四 加边法
12
3
11111
1111111
1
111n n a a D a a ++=
++=1
2
1
1
00011
111
1111
1
1
1n
n a a a ++++
1
2,3,
,1
i C C i n -=+12111
1
100
1001
n
a a a ---11
21n i i i R R
a +=+∑ 1
121
100
0100100
1
n
i i
n
a a a a =+∑
=12
1
1
(1)n
n i i
a a a a =+∑
=右端。 2．证明：（1）注意当把行列式按第n 列展开时，得到的递推公式中有三项，故归纳法第一
步应验证n=1，2时均成立。而归纳法第二步应假设当)3(≥ n n R R R R R R ----13221,,, ；然后按第一列展开，再依次1,1>-i C C i ；最后按最 后一列展开。 4．解：通过倍加行变换易知f(x)的次数最大为1；又因为如果ij a 全取零，则有f(x)=0。所以选(D)。 5．看自己或别人的作业。 6．解：方法一：利用课本中例1.4.3的方法。 方法二：设),,,,()(21x x x x D x f n =。则有f(x)中1 -n x 的系数为n D 。又因为 ∏∏--=? ?)()()(j i i x x x x x f （范德蒙行列式） ，所以f(x)中1 -n x 的系数为。。。 所以可得 =n D 。 第二章 线性方程组 习题2.1 2．证明.因||0A ≠,说明11 121...n a a a 不全为零,故当某个10k a ≠,通过适当的行互换, 可使得1k a 位于左上角,用11k a -来乘第一行,然后将其余行减去第一行的适当倍数,矩阵A 可以化为:' '1211 1 (00) 0n a a A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦,由于||0A ≠,此时必有1||0A ≠,故可以对1A 重复对A 的讨论, 此时A 可经初等行变换化为' ''12131''232'31 (01) (00) 1...000...1n n n a a a a a a ⎡⎤⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣ ⎦ , 然后再将第n 行的'in a -倍加到第i 行(1,2,...,1i n =-),再将第1n -行的' (1)i n a --倍加到第i 行(1,2,...,2i n =-),这样 继续下去,一直到将第2行的' 12a -倍加到第1行,此时A 就化为10 001 000 1⎡⎤⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 故所证结论成立。 3．证明：以行互换ij R 为例: 列互换可以同样证明.若 1212(1)12 11 22 ...j i i i in i i in R R j j jn j i j i jn in i a a a i a a a A j a a a j a a a a a a +-⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎥=−−−−→⎢⎥⎢⎥ ---⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ 121122i j j j jn R R j i j i jn in i a a a j a a a a a a +⎡ ⎤ ⎢⎥⎢⎥ ⎢ ⎥−−−→⎢ ⎥---⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ 1 2(1)12...j ii j j jn R R i i in i a a a j a a a +-⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥−−−−→⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12(1)12...ji j j jn R i i in i a a a j a a a -⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,这相当于A 中交换第i 行和第j 行, 所以结论成立。 习题2.2 1． 解：A 中一定存在不为零的1r -阶子式,否则秩()1A r <-,与题设秩（A ）＝r 矛盾. 由秩（A ）＝r 知，A 中至少存在一个r 阶子式不为零, 这表明A 中的r 阶子式只要有一 个不为零即可,其余可以等于零,也可以不等于零. A 中一定不存在不为零的1r +阶子式,否则A 的秩至少是1r +, 这也与题设秩（A ）＝r 矛盾。 2． 提示：利用矩阵的行秩和向量的极大无关组证明。 3． 略。 4． 思路：可将矩阵写成一个列向量和一个行向量的乘积，从而由秩1≤；进而因为矩阵不 等于零，所以秩〉0。 5． 略。 习题2.3 略。 习题2.4 2．证明：(Ⅰ)的增广矩阵为A =11121121 22221,11,21,11 2 n n n n n n n n n nn n a a a b a a a b a a a b a a a b ----⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 因为系数矩阵的秩不超过增广矩阵的秩, 所以有秩(A )≥秩(A ). 观察可知, 矩阵B 其实就是在增广矩阵A 下面加了一行, 所以秩(B )≥秩(A ). 由题意知, 秩(A )=秩(B ), 据此可得秩(A )≥秩(A ). 综上知秩(A )=秩(A ), 故(Ⅰ)有解。 3．解：将增广矩阵只用初等行变换化为阶梯形矩阵. 1231111111111 1n n b b b b b --⎡⎤ ⎢⎥-⎢⎥ ⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢ ⎥-⎢⎥⎣⎦ 11 n n R R R -+++−−−−− → 1 231 1211 1111110n n b b b b b b b --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢ ⎥++ +⎢⎥⎣ ⎦ 当120n b b b +++≠时, 秩(A )≠秩(A ), 所以线性方程组无解; 当120n b b b ++ +=时, 秩(A )=秩(A )<未知量个数, 所以线性方程组有无穷多解. 原方程组同解于 121 23234311,, ,. n n n x x b x x b x x b x x b ---=⎧⎪-=⎪⎪ -=⎨⎪⎪-=⎪ ⎩ 故通解为11231223111, , ,.n n n n n x b b b b t x b b b t x b t x t ----=+++++⎧⎪=++++⎪⎪ ⎨⎪=+⎪ =⎪ ⎩ 其中t 为任意常数。 4．证明：该线性方程组的增广矩阵A =111,11,21 2,12,31 3,13,1,1 n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦ , 由题意0ij D a =≠知 秩(A )=n . 但是系数矩阵A 是一个(1)n n ⨯-的矩阵, 所以秩(A )1n ≤-<秩(A ). 据此秩(A )≠秩(A ), 所以该线性方程组无解。 第三章 矩阵 习题3.1 4．解：（1） 由矩阵乘法运可得： 111112112212222212n n n n n n n nn a a a a a a DA a a a λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；111212 1121222211 22n n n n n n nn a a a a a na AD a a a λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。 （2）与D 乘法可换的矩阵A 满足DA AD =。故DA 与AD 的元素对应相等，利用（１） 的结果，有i ij j ij a a λλ=，从而()0i j ij a λλ-=。由于j i λλ≠（i j ≠），可得：当i j ≠时，0ij a =，即A 为对角矩阵。 5．证明：（1）数学归纳法：当2n =时，计算得2 110121011012001001⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，故结论成立． 假设当n k =时，结论成立，即有2110101101001001k k k C k ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ， 则当1n k =+时， 1 2211011101101101011011001001001001k k k k C k k C k k +⎡⎤⎡⎤ ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ． 因2 21(1)(1)22 k k k k k k C k k C +-++=+==所以1 2111011011011001001k k k C k ++⎡⎤ +⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ ， 即 当1n k =+时，结果成立．由归纳法原理知，对任意大于2得正整数n 有 ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥ ⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡1001011001100112 n C n n n ． （2）当1n =时，结果显然成立．当2n =时, 直接计算得2 B E =. 假设当n k =时，结果成立，即,,k E B B ⎧=⎨⎩k 为偶数； k 为奇数； ．我们要证明当1n k =+时，结 果也成立，即可完成证明． 第一种情况：k 为奇数，则 1k k B B B BB +===142142100032032010043043001E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥----==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ． 第二种情况：k 为偶数，则 1k k B B B EB B +===． 综上：1 ,,k E B B +⎧=⎨ ⎩k+1为偶数； k+1为奇数； 即当1n k =+时，结论成立． 6． 解：（1）先计算出4,3,2,1=n 时的结果。然后归纳出应该有 cos sin cos sin sin cos sin cos n n n n n ϕϕϕ ϕϕϕϕϕ--⎡⎤⎡⎤ =⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣ ⎦ ，接下来用数学归纳法证明这一归纳出的结果。 当n=1时，结论显然成立． 假设当n k =时，结论成立，即cos sin cos sin sin cos sin cos k k k k k ϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕ--⎡⎤⎡⎤ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣⎦⎣⎦ ． 则当1n k =+时， 1 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos k k k k k k ϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos()sin()cos(1)sin(1).sin()sin()sin(1)sin(1)k k k k k k k k k k k k k k k k ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---⎡⎤ =⎢⎥+-+⎣⎦ +-++-+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦ 结论成立． 7．记住结论。 8．证明：因为A 与所有n 阶方阵乘法可换，故与ij E 乘法可换, 利用第7题结果有 ij ij AE E A =，即121200000000000 0000000 00 000 0i i j j jn ni j a a i a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢ ⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦ ,,1,2, ii jj ij a a i j n a =⎧⇒∀=⎨ =⎩．设11a λ=，则0000,00 A E λλ λλ⎡⎤ ⎢⎥⎢ ⎥==⎢⎥⎢ ⎥⎣⎦ 即A 为数量矩阵． 10．证明：设1111n m mn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11 11 m n nm b b B b b ⎡⎤ ⎢⎥=⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦ ，则 tr 1111122111()n n AB a b a b a b =+++ 2112222222n n a b a b a b +++ + 112211 m n m m m m mn nm ji ij j i a b a b a b a b ==+++ +=∑∑ 同理可得 tr 11 ()n m ji ij j i BA b a === ∑∑ 由于 11 11 m n n m ji ij ji ij j i j i a b b a =====∑∑∑∑，可得tr ()AB =tr ()BA ． 11．证明：假如存在n 阶方阵满足AB BA E -=，则 AB BA E =+⇒tr ()AB =tr ()BA E +=tr ()BA n +． 由于0n ≠，可得tr ()AB ≠tr ()BA ，这与10题所得结果矛盾． 所以假设不成立．即不存在n 阶方阵A ，B 满足AB BA E -=． 15．证明：因A ，B 都是对称矩阵, 故()T T T AB B A BA ==, 从而 AB 为对称矩阵()T AB AB BA AB ⇔=⇔=. 16．证明：设1111 n m mn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则11 11m T n mn a a A a a ⎡⎤ ⎢⎥=⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦ ． 由T T A A O A A =⇒的主对角线上元素为零 222120,1,2,i i mi a a a i n ⇒++=∀=, 由ij a 为实数知 120,0, 0,1,2, i i mi a a a i n ⇒===∀= A O ⇒=. 证法二：利用二次型。 习题3.2 4．思路：注意到矩阵多项式的运算和一般多项式的运算一样就可以了。 证明：计算21()()k k E A E A A A E A --+++ +=-, 由题意可知k A O =, 所以 21()()k k E A E A A A E A E --+++ +=-=.根据定理3.2.1的推论可知E A -可 逆且其逆为2 1k E A A A -++++. 5．证明：计算 ()n E J -1()1n E J n - -=221111n n n E J E EJ J n n --+-- =211()111 n n n n n E J J E nE J J n n n - +=----- 计算11 11111111111111()1 111111*********n n n n nE J J O n n ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦ 据此()n E J -11()()11 n n n E J E nE J J E n n - =--=--,根据定理3.2.1的推论可知n E J -可逆且其逆为1 1 n E J n - -. 6．证明：因为1 110m m m m a A a A a A a E O --++ ++=所以有 12110()m m m m A a A a A a a E ---++ +=-. 由题意可知00a ≠, 所以可在等式两边同 乘上0 1 a - , 由此可得121101()m m m m A a A a A a E a ----+++=, 整理得 12110 1 [()]m m m m A a A a A a E a ---- +++=,根据定理 3.2.1的推论可知A 可逆且 112110 1 ()m m m m A a A a A a a ----=- +++. 7．证明：(1) 由题意2 4A A E O +-=可得1[()]4 A A E E +=, 根据定理3.2.1的推论可 知A 可逆并且1 1 ()4 A A E -= +. (2) 由题意2 4A A E O +-=可得2 22A A E E +-=, 而这个等式可化为 ()(2)2A E A E E -+=, 即有1 ()[(2)]2 A E A E E -+=, 同样根据定理3.2.1的推论可知A E -可逆并且1 1 ()(2)2 A E A E --= +. 8．思路：注意题设实际上是给出了矩阵多项式0)(2=-=A A A f 。所以一般情况下， A E -2如果可逆，其逆矩阵也应该是一个矩阵多项式。所以我们可以假设其逆矩阵为 bE aA +（待定系数法），从而由逆矩阵定义知应该有E bE aA A E =+-))(2(，即 E bE A b a aA =+-+-2)2(2。在注意到题设是0)(2=-=A A A f ，所以我们有bE A b a bE A b a aA bE A b a aA E 2)(2)2(2)2(2+-=+-+-=+-+-=，所以有 12,0==-b b a ，即2 1 = =b a 。 证明：因为A A =2 ，所以E E A A E ==+- 2 ) 2(。所以。。。 9．证明：(1)1 1 13 A A --==; (2)由于*AA A E =, 所以*11 3A A A A --==, 由此可得*13133A A A --== 1 2793 =⨯=; (3)3 2(2)8324A A -=-=-⨯=-; (4)1 1 31311(3) 3(3)(33)81 A A A ----===⨯= ; (5)由(2)中分析可知* 1 3A A -=, 所以 *111111 4(3)4333 A A A A A -----=-=- 311 (3)2793 A -=-=-⨯=-; (6) 由(2)中分析可知*1 3A A -=, 则*1 111111 () (3)()33 A A A A -----===。 10．证明：,A B 都可逆, 所以有**,AA A E BB B E ==, 由此可知 *1* 1 ,A A A B B B -- ==, 从而得到**11B A A B B A --=. 另一方面, 由于,A B 都可逆且均为n 阶方阵, 所以AB 也可逆, 所以有 *1()()AB AB AB -=, 而111()AB AB A B B A ---=. 综合上述可得*11**()AB A B B A B A --==. 11．略。 12．证明：假设A 是可逆矩阵, 那么在等式2A A =两边都左乘A 的逆矩阵1 A -可得A E =, 这与题设中A E ≠矛盾! 所以A 不可逆. 13．证明：根据题意可知存在非零的n ×t 矩阵B 使AB=O, B 是非零矩阵所以必存在某一列 上的元素不全为零, 不妨设这一列为12i i ni a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 由于AB O =, 所以A 12i i ni a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦000⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 据此可知12i i ni a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 是线性方程组AX O =的一个非零解. 由于AX O =有非零解, 所以 A =0. 14．略。 15．解：(A) 可逆的充要条件是0A ≠而不是A O ≠, 设1000A O ⎡⎤ =≠⎢ ⎥⎣⎦ , 但A 不是可逆矩阵, 所以选项(A)是错误的. (B) 设,A E B E ==-, 显然,A B 都是可逆的, 但是A B O +=不是可逆矩阵, 所以选项 (B)是错误的. (C) 可逆的充要条件是0A ≠而T A A =.所以选项(C)是正确的. (D) 不可逆的充要条件是0=A ；而A 中至少有一行全为零只是0=A 的充分条件。 设 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=1111A , 但A 不是可逆矩阵, 所以选项(D)是错误的. 线性代数课后习题答案 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然 数 从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 线性代数课后习题答案周勇 线性代数课后习题答案周勇 线性代数是一门重要的数学学科，它在各个领域都有广泛的应用。学习线性代数需要理解和掌握其中的概念和方法，而练习习题则是巩固知识和提高能力的重要途径。本文将为大家提供一些线性代数课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地学习和理解这门学科。 1. 矩阵的秩和零空间 题目：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的秩和零空间。 解答：首先，我们可以通过高斯消元法将矩阵A化为行阶梯形式。经过计算得到： [1 2 3; 0 -3 -6; 0 0 0] 从中可以看出，矩阵A的主元列为{1, 2}，因此矩阵A的秩为2。 接下来，我们需要求解矩阵A的零空间。由于矩阵A的秩为2，所以矩阵A的零空间的维数为3-2=1。我们可以通过求解齐次线性方程组Ax=0来找到矩阵A的零空间。将矩阵A化为增广矩阵形式： [1 2 3 0; 4 5 6 0; 7 8 9 0] 经过高斯消元法的计算，得到矩阵的行阶梯形式为： [1 2 3 0; 0 -3 -6 0; 0 0 0 0] 从中可以看出，矩阵A的自由变量为x3，所以矩阵A的零空间可以表示为：x = [-2x3; x3; 1] 2. 特征值和特征向量 题目：给定矩阵B = [2 1; 1 2]，求矩阵B的特征值和特征向量。 解答：首先，我们需要求解矩阵B的特征值。通过求解特征方程det(B-λI)=0， 可以得到特征值的表达式： (2-λ)(2-λ) - 1*1 = 0 化简得到特征值的方程为(2-λ)² - 1 = 0，解这个方程可以得到两个特征值λ1=1 和λ2=3。 接下来，我们需要求解矩阵B的特征向量。将特征值代入特征方程(B-λI)x=0中，可以得到特征向量的表达式。对于特征值λ1=1，我们有： [1-1 1; 1-1 1]x = 0 化简得到方程[-1 1; 0 0]x = 0，解这个方程可以得到特征向量x1=[1; 1]。 对于特征值λ2=3，我们有： [2-3 1; 1-3 1]x = 0 化简得到方程[-1 1; -2 2]x = 0，解这个方程可以得到特征向量x2=[1; -1]。 综上所述，矩阵B的特征值为λ1=1和λ2=3，对应的特征向量分别为x1=[1; 1] 和x2=[1; -1]。 通过以上两个例题，我们可以看到线性代数课后习题的答案并不是简单的计算 结果，而是需要运用相关的知识和方法进行推导和求解。通过练习习题，我们 可以加深对线性代数的理解，提高解决实际问题的能力。希望以上答案能够帮 助大家更好地掌握线性代数的知识。 线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 《线性代数》课程习题 第1章行列式 习 题 1.1 1． 计算下列二阶行列式： （1） 2 345 （2） 2 16 3- （3） x x x x cos sin sin cos - （4） 1 1 12 3++-x x x x （5） 2 2 32ab b a a （6） β β ααcos sin cos sin （7） 3 log log 1a b b a 2． 计算下列三阶行列式： （1）3 4 1 123312 -- （2）00000d c b a （3）d c e b a 0000 （4）z y y x x 0 0002121 （5）369528 7 41 （6）0 111011 1 -- 3． 用定义计算行列式： （1） 4 10670 5 33020010 0 （2） 1 014300211321221--- （3）5 00000000400030 020001000 (4) d c b a 100 1 10011001---. 4.用方程组求解公式解下列方程组: (1) ?????=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)??? ??=+-=-+=++2 32120321 321321x x x x x x x x x 习 题 1.2 1． 计算下列行列式： （1）1 23112 1 01 (2)15 8 10 644372---- （3）3 610285 140 （4）6555655 56 2.计算行列式 （1） 2 341341241231 234（2） 12 11 4 3 51212734201 ----- （3）5 2 4 222 425 -----a a a （4）3 2 213 1399298203 123 - （5）0 53200 4140013202 52 7 1 02135 ---- 3.用行列式的性质证明： （1）32 2 )(1 11 22b a b b a a b ab a -=+（2）3 3 3 222 1113 33 33322222 21111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根： （1）022 223 3 56 =-+--λ λλ（2）0913 2 5 1 32 322132112 2 =--x x 5.计算下列行列式 （1） 8 3 6 4 21 3131524273 ------ （2）ef cf bf de cd bd ae ac ab --- （3）2 12 3 5 4 8 67759513 36344 24355---------- （4）1 1 1 1 1 0000000002211 n n a a a a a a --- 线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???? ???---d c b a 100 11 0011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?--- 线性代数答案解答 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： .解（2）=b a c a c b c b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 4.计算下列各行列式： 解 (2) 2605 232112131412-24c c -2 605 32122130412- 24r r -0412 032122130412- 14r r -0 00 003212 2130412-=0 (4) d c b a 10 110011001---21ar r +d c b a ab 10011 011 010---+ =1 2) 1)(1(+--d c a ab 101101--+ 2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =2 3)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）： 解 (2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得 a x x a a x x a a x x a a a a x D n ------=0000000ΛΛΛΛΛΛΛΛ 再将各列都加到第一列上，得 a x a x a x a a a a n x D n ----+=000 0000 000 )1(ΛΛΛΛΛΛΛΛ ) (])1([1 a x a n x n --+=- (3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2) 1(1)1(+=++-+n n n n Λ次行 交换，得 n n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1 111 ) 1(1112 )1(1-------=---++ΛΛ ΛΛ ΛΛΛΛ 此行列式为范德蒙德行列式 ∏≥>≥++++--+--=1 12 )1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D ∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-? -?-=---=1 12 1 )1(2 )1(1 12 )1()][() 1() 1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i Λ ∏≥>≥+-=1 1)(j i n j i 线性代数第四版课后习题答案 线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。它在许多领域 中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供 了大量的习题供读者练习。本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的 答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。 第一章：线性方程组 1.1 习题答案： 1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得： 2x + 3y + z = 7 4x + 2y + 5z = 4 3x + 4y + 2z = 5 解得x = 1，y = -1，z = 2。 1.2 习题答案： 1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得： x - 2y + 3z = 1 2x + y + z = 2 3x + 4y - 5z = -1 解得x = 1，y = 0，z = 0。 第二章：矩阵代数 2.1 习题答案： 1. 解：设矩阵A为： 3 4 5 6 则A的转置矩阵为： 1 3 5 2 4 6 2.2 习题答案： 1. 解：设矩阵A为： 1 2 3 4 则A的逆矩阵为： -2 1 3/2 -1/2 第三章：向量空间 3.1 习题答案： 1. 解：设向量v为： 1 2 3 则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。 3.2 习题答案： 1. 解：设向量v为： 2 3 则v的单位向量为v/||v||，即： 1/sqrt(14) 2/sqrt(14) 3/sqrt(14) 第四章：线性变换 4.1 习题答案： 1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即： T(x, y) = (y, -x) 4.2 习题答案： 1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即： T(x, y) = (2x, 2y) 通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问 题中的应用。通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。希望本文提供的答案能够帮助读者更好地学 习线性代数，为将来的学习和研究打下坚实的基础。 习题答案 习题1（参考答案） 1．程序与算法的概念及二者的区别是什么？ 程序：为了实现特定目标或解决特定问题而用计算机语言偏写的指令序列，它由算法和数据结构组成。 算法：（Algorithm）是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗地讲，就是计算机解题的步骤。 算法与程序的区别：计算机程序是算法的一个实例，同一个算法可以用不同的计算机语言来表达。 2．简述程序设计语言发展的过程 程序设计语言经过最初的机器代码到今天接近自然语言的表达，经过了四代的演变。一般认为机器语言是第一代，符号语言即汇编语言为第二代，面向过程的高级语言为第三代，面对象的编程语言为第四代。 3．简述高级程序设计语言中面向过程与面向对象的概念。 “面向过程”是一种以过程为中心的编程思想。首先分析出解决问题所需要的步骤，然后用函数把这些步骤一步一步地实现，使用的时候依次调用函数即可。一般的面向过程是从上往下步步求精，所以面向过程最重要的是模块化的思想方法。 “面向对象”是一种以事物为中心的编程思想。面向对象的方法主要是将事物对象化，对象包括属性与行为。 面向过程与面向对象的区别：在面向过程的程序设计中，程序员把精力放在计算机具体执行操作的过程上，编程关注的是如何使用函数去实现既定的功能；而在面向对象的程序设计中，技术人员将注意力集中在对象上，把对象看做程序运行时的基本成分。编程关注的是如何把相关的功能（包括函数和数据）有组织地捆绑到一个对象身上。 4．C语言程序的特点是什么？ （1）C语言非常紧凑、简洁，使用方便、灵活，有32个关键字，有9种流程控制语句。 （2）C语言运算符丰富，共有45个标准运算符，具有很强的表达式功能，同一功能表达式往往可以采用多种形式来实现。 （3）数据类型丰富。C语言的数据类型有整型、实型、字符型、数组类型、结构类型、共用类型和指针类型，而且还可以用它们来组成更复杂的数据结构，加之C语言提供了功能强大的控制结构，因而使用C语言能非常方便地进行结构化和模块化程序设计，适合于大型程序的编写、调试。 （4）用C语言可直接访问物理地址，能进行二进制位运算等操作，即可直接同机器硬件打交道。它具有“高级语言”和“低级语言”的双重特征，既能用于系统软件程序设计，又能用于通用软件程序设计。 （5）C语言生成的目标代码质量高、程序执行速度快。一般只比用汇编语言生成的目标代码的效率低20％左右。 （6）可移植性好。 5．源程序执行过程中，有哪些步骤？ 线性代数习题册答案 第一章行列式 练习一 班级 学号 1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ; （3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n（n-1）. 2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i=8 、j= 3 . 3．在四阶行列式中，项 12233441 a a a a的符号为负. 4．003 042 215 =－24 . 5．计算下列行列式： （1） 122 212 221 - -- -- = －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 或 （2） 11 11 11 λ λ λ - - - = －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2 (2)(1) λλ -+ 练习 二 班级 学号 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3 (1)11-?=- 2． 11 1 2 3 44916 = 2 . 3．已知D= 1 01211031 110 1254 --,则41424344A A A A +++= —1 . 用1，1，1，1替换第4行 4． 计算下列行列式： (1) 111a b c a b c a b c +++ = 13233110 1 10 011 ,01 101 11111r r r r c c a b c b c a b c a b c -----+-= =++++++ (2) x y x y y x y x x y x y +++ 线性代数课后习题答案第二版 线性代数课后习题答案第二版 线性代数是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。而对于学习者来说，课后习题是巩固知识、提高能力的重要方式之一。本文将为大家提供线性代数课后习题第二版的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。 一、矩阵与向量 1. 习题：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置。 答案：矩阵A的转置为A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。 2. 习题：给定向量x = [1; 2; 3]和向量y = [4; 5; 6]，求向量x和y的内积。 答案：向量x和y的内积为x·y = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32。 3. 习题：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]和向量x = [1; 1; 1]，求矩阵A和向量x的乘积。 答案：矩阵A和向量x的乘积为Ax = [6; 15; 24]。 二、线性方程组与矩阵运算 1. 习题：给定线性方程组： 2x + 3y - z = 1 4x + 2y + z = -2 x - y + 2z = 0 求解该线性方程组。 答案：解为x = 1, y = -1, z = 2。 2. 习题：给定矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A和矩阵B的乘积。 答案：矩阵A和矩阵B的乘积为AB = [19 22; 43 50]。 3. 习题：给定矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A和矩阵B的和。答案：矩阵A和矩阵B的和为A + B = [6 8; 10 12]。 三、特征值与特征向量 1. 习题：给定矩阵A = [2 1; 1 2]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 3, λ2 = 1，对应的特征向量为v1 = [1; 1]，v2 = [-1; 1]。 2. 习题：给定矩阵A = [1 2; 2 4]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 0, λ2 = 5，对应的特征向量为v1 = [-2; 1]，v2 = [1; 2]。 3. 习题：给定矩阵A = [3 -1; 1 3]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = 4，对应的特征向量为v1 = [1; -1]，v2 = [1; 1]。 通过以上习题的解答，我们可以更好地理解线性代数的概念和方法。线性代数 作为一门基础学科，不仅在数学领域中有广泛应用，而且在物理、工程、计算 机科学等领域也起到了重要的作用。希望本文的答案能够帮助大家更好地掌握 线性代数知识，提高解题能力。 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). 4. 计算下列各行列式: (1)7 1 10 025******* 214; 解 711002510202142140 100142310 20211021 473234-----======c c c c 34)1(1431022110 14+-⨯---= 143102211014--=014 171720010 99323211=-++======c c c c . (2)2 605232112131412-; 解 2605232112131412-26050 3212213041224--=====c c 0 41203212213 041224--=====r r 00 00032122130 412 14=--=====r r . (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---; 解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e c b a d f ---= abcdef adfbce 41 111111 11=---=. (4)d c b a 100110011001---. 解 d c b a 1 00110011001---d c b a ab ar r 10 011001101021---++===== d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====c d c ad a a b d c c cd ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 6. 证明: (1)111222 2b b a a b ab a +=(a -b )3; 证明 1112222b b a a b ab a +001 2222 2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------===== 线性代数课后习题答案(共10篇) [模版仅供参考，切勿通篇使用] 感恩作文线性代数课后习题答案（一）: 高等数学线性代数,概率统计第二版课后答案姚孟臣版 最佳答案: 您好,我看到您的问题很久没有人来回答,但是问题过期无人回答会被扣分的并且你的悬赏分也会被没收!所以我给你提几条建议: 线性代数课后习题答案（二）: 谁知道《线性代数与解析几何教程》(上册)的课后习题答案在哪下?但一定要真实, 这本书是大一要学的,樊恽,刘宏伟编科学出版社出版.急不知道线性代数课后习题答案（三）: 线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值 设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值 答案书上突然冒出一句“显然R(A)=1”,让我非常困惑, R(A) = R(aaT) 线性代数课后习题答案（四）: 求线性代数（第三版）,高等教育出版社的习题参考答案华中科技大学数学系的线性代数课后习题答案 书店都有卖的,尤其是华科附近的小书店,盗版一大堆~ 线性代数课后习题答案（五）: 线性代数：假如一道题目要求某矩阵,如果我求出的矩阵与答案所给的矩阵是等价的,能算是正确答案么? 如果只是某两行或某两列位置调换了一下，也不能算是正确答案吗？线性代数课后习题答案 应该不正确吧.以我理解矩阵的等价是说 QAP=B A等价到B 是通过了一系列的初等变化,那你求出的矩阵只有一个,要想变成其他还要再变换,就不是原题目的条件了还是不正确啊.行调换或列调换等于在原矩阵左边或右边乘上个初等矩阵线性代数课后习题答案（六）: 线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值; 求出来对角阵只有一个非零特征值,为什么0就是A的N-1重特征值了? 再问一下当0是特征值时对应的特征向量有什么特点么? 所求得的对角阵与A 相似,所以A 与对角阵有相同的特征值,看对角阵,有一个非零特征值和0(N –1)重.所以A 也是这样应该懂了吧线性代数课后习题答案（七）: 线性代数问题.设A=E-a^Ta,a=[a1,a2,……,an],aa^T=1,则 习题1.2（第8页） （1)22241354 lim n n n n n →∞ ++-+； 解：原式=222 2(241)(354)1lim 1n n n n n n n →∞++⋅ -+⋅=2 2 2435411 2lim 113 n n n n n →∞+⋅+-⋅+⋅= （2)2221 11 12 lim n n n n n →∞++ + +++⎛⎫ ⎪⎝⎭ ； 解： 2222211 1121 n n n n n n n n n ≤+++ ≤+++++ 2 2n lim lim 0 1 n n n n n n →∞→∞==++又 所以，原式=0 （3)n ； 解：原式n = n =n →∞ = 1= （4)(1)lim sin n n n n →∞ -． 解： 1sin 1n -≤≤ ∴1(1)sin 1n n -≤-≤ ∴1 (1)1sin n n n n n --≤ ≤ ∴11 lim()lim 0n n n n →∞→∞ -== 所以，原式=0 4.判断下列哪些是无穷小量? 无穷大量?哪些既不是无穷大量也不是无穷小量? （1) ()1n n - ； （2)1 2n ； （3)1ln n ； （4)1 cos n ； （5)sin n ． 解：（1） ()1lim 0n n n →∞ -= ∴ ()1n n -为无穷小量。 （2) 1 11lim 20lim 02 n n n n →∞ →∞≠≠且 ∴12 n 既不是无穷大量也不是无穷小量。 （3) 11lim lim 01ln ln n n n n →∞→∞==- ∴1 ln n 是无穷大量。 （4) lim n →∞1 cos n =1 ∴1 cos n 既不是无穷大量也不是无穷小量。 （5) 1 lim sin 0lim 0sin n n n n →∞ →∞≠≠且 ∴sin n 既不是无穷大量也不是无穷小量。 习题1.3（第12页） 3.求下列函数的极限 (1)1 2lim 23++∞→x x x x ; 解：=++∞→x x x x 21lim 3 2 2333 1 (1)lim 01 (2)x x x x x x →∞+⋅ =+⋅ ∴1 2lim 23++∞→x x x x 不存在。 (2)x x x 25tan lim 0→; 线性代数课后习题参考答案(初稿) 习题一 1. 用行列式定义计算下列各题 （1） 424532263 5 -=-⨯-⨯=- （2）12 13011 1110 101(1)(1)21011 110++=-+-= （3） 1312 0010 020 020030(1)3002(1)24300004 0040004++=-=⨯-=- （4） 11 12 13 100 002 3 002346 45(1) 45 62(1) 3(1) 4045 6 810 89 8910 78910 +++=-=⨯-+⨯-= 2. 利用行列式的性质计算下列各题 （1） 2 1412141312150620123 21 2325 62 5062 -== （2） 28512851105131025319061 9 65 125 1131080512051 2 1 21 1 1 7 609712 --------==---=----=---------- （3）1111 111 1 1 ab ac ae b c e bd cd de adf b c e adfbce bf cf ef b c e ----=-=---- 111 0240 20 adfbce adfbce -== （4） 3 300 011 () ()0 10 a b b b a b b b a b a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b a b a b a -= =--=-------- （5） x a a a a x a a a a x a a a a x =(1)(1)(1)(1)x n a a a a x n a x a a x n a a x a x n a a a x +-+-+-+- =[(1)] x n a +-1111a a a x a a a x a a a x =[(1)]x n a + -1 0010010 01 x a x a x a ---[(1)]x n a =+-1()n x a -- （6） 22222222222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325 a a a a a a a a b b b b b b b b c c c c c c c c d d d d d d d d ++++++++++++= =++++++++++++ （7） 123110000112 31110001223110200(1)!12321100201 2 3 1 1100 1 n n n n n n n n n n n n n n n -+-+-==--+----+- 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) 3 8 1 1 4 1 1 2 - - - ; 解 3 8 1 1 4 1 1 2 - - - =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (3) 2 2 2 1 1 1 c b a c b a ; 解 2 2 2 1 1 1 c b a c b a =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a). 4.计算下列各行列式: (1) 7 1 1 2 5 10 2 2 1 4 2 1 4 ; 解 7 1 1 2 5 10 2 2 1 4 2 1 4 1 14 2 3 10 2 2 1 10 2 1 4 7 3 2 3 4 - - - - - ====== c c c c 3 4 )1 ( 14 3 10 2 2 1 10 1 4 + - ⨯ - - - = 14 3 10 2 2 1 10 1 4 - - =0 14 17 17 2 10 9 9 3 2 3 2 1 1 = - + + ====== c c c c . (2) 2 6 5 2 3 2 1 1 2 1 3 1 4 1 2 - ; 解 2 6 5 2 3 2 1 1 2 1 3 1 4 1 2 - 2 6 5 3 2 1 2 2 1 3 4 1 2 2 4- - = = = = = c c 4 1 2 3 2 1 2 2 1 3 4 1 2 2 4- - = = = = = r r 3 2 1 2 2 1 3 4 1 2 1 4 = - - = = = = = r r . (3) ef cf bf de cd bd ae ac ab - - - ; 解 ef cf bf de cd bd ae ac ab - - - e c b e c b e c b a d f - - - = a b c d e f a d f b c e4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - - - = . (4) d c b a 1 1 1 1 1 1 - - - . 解 d c b a 1 1 1 1 1 1 - - - d c b a ab ar r 1 1 1 1 1 1 2 1 - - - + + = = = = = d c a ab 1 1 1 1 )1 )( 1 (12 - - + - - =+ 1 1 1 12 3 - + - + + = = = = =cd c ad a ab dc c cd ad ab + - + - - =+1 1 1 )1 )( 1 (23 =abcd+ab+cd+ad+1. 6. 证明: (1) 1 1 1 2 2 2 2 b b a a b ab a + =(a-b)3; 王晓峰著《线性代数》习题解答 第一章 1. 解下列方程组, 并在直角坐标系中作出图示. 1)⎩⎨ ⎧=-=+21y x y x ; 2)⎩⎨ ⎧=+=+5331y x y x ; 3)⎩⎨ ⎧=-=-2221y x y x . 解: 1) 将第一个方程减去第二个方程, 得2y =-1, y =-1/2, 再代入第个方程解得x =1+1/2=3/2, ⎪ ⎭⎫ ⎝⎛-21,23方程有唯一解. 2) 将第二个方程除以3得35 = +y x , 与第一个方程相比较知此方程组为矛盾方程组, 无解, 3) 将第2个方程除以2, 可以得到第一个方程, 令y =t 为任意实数, 则x =1+t , 方程组的解集. 2. 用Gauss 消元法解下列线性方程组. 1)⎪⎩⎪ ⎨⎧-=-+=++-=-+33 3693132472321321321x x x x x x x x x 2)⎩⎨ ⎧-=-+=+-2232 52321321x x x x x x 3)⎪⎪ ⎩⎪⎪⎨ ⎧=+-=-=--=+5421230243321 4 243241 x x x x x x x x x x 4)⎪⎩⎪ ⎨⎧=++=-+=+0 3380340323213212 1x x x x x x x x 解: 1) 对增广矩阵进行变换: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−-⨯+⨯⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢ ⎢⎣⎡-----−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0000 7510 10301)2(000075104721)3/1(121153021153047 21)3()2(333693131124721123323 121r r r r r r r r r 则x 3为自由变量, 令x 3=t 为任意实数, 则x 1=10-3t , x 2=5t -7, 方程有无穷多解, 解集为 (10-3t , 5t -7, t ). 2) 对增广矩阵进行变换: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−→−+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---−−−→−⨯⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---121001012121025 218/1816802521)3(212325 2112221r r r r r 则x 3为自由变量, 令x 3=t 为任意实数, 则x 1=-t , x 2=2t -1, 解集为(-t , 2t -1, t ). 3) 对增广矩阵进行变换: ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡−−−−→−+-⨯+⨯+⨯-⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡- ----−−−−→−+-⨯+⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡-----−−−−→−⨯-⨯⎥ ⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−+⨯+⨯↔⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−+-⨯⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11 000101 001001010001)3()32()35() 43(34340003235100313201043 001)7(46137 0032351003641043 001)12/1()1(61370082012003641043 0012336410 1203001 1204300 1 )2(50412 1203001 1204300 114243 44432332 42324241r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 方程有唯一解x 1=x 2=x 3=x 4=1. 4) 此为齐次方程, 对系数矩阵进行变换线性代数第五版答案(全)
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