历年高考数学真题考点归纳 2020年 第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线1(1)
2020年高考圆锥曲线知识点汇总(精选)
（4）对称性：两条对称轴 x 0, y 0 ，一个对称中心（0,0）
（5）准线方程：两条准线 x a2 c
（6）离心率： e c （ e 1 ） a
（7）渐近线方程： y b x a
（8）焦点半径：“长加短减” 原则：
焦点半径公式：对于双曲线方程 x 2 a2
y2 b2
1（ F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双
高考圆锥曲线知识点汇总
知识摘要：
1、椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程． 2、双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 3、抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．
一、椭圆方程.
1. 椭圆的定义：平面内与两个定点 F 1 ，F 2 的距离之和等于常数 2a （大于 F1F2 ）的点的 轨迹叫做椭圆.其中两个定点 F 1 ，F 2 为椭圆的两个焦点，两焦点间的距离 F1F2 叫做椭圆的
F 1,F 2 为 左 、 右 焦 点 ， 则
PF 1 a ex 0 , PF 2 a ex 0
y2 Ⅱ、设 P(x 0 , y 0 ) 为椭圆 a2
x2 b2
1(a b 0) 上的一点， F 1,F 2 为上、下焦点，则
PF 1 a ey 0 , PF 2 a ey 0
（8）通径：垂直于
Байду номын сангаас
（4）对称性：两条对称轴 x 0, y 0 ，一个对称中心（0,0）
（5）准线：两条准线 x a2 c
（6）离心率： e c （ 0 e 1），其中 e 越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。 a
（7）焦点半径：“左加右减”
I、设
P(x0 ,y0) 为 椭 圆
x2 a2
y2 b2
高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析
x0 x a2
y0 y b2
1.
7.
x2
椭圆
a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2
，则椭圆的焦点角形的面积
S 为 F1PF2
b2
tan 2
.
-4-
8.
椭圆 x2 y2 a2 b2
1（a＞b＞0）的焦半径公式 | MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1(c, 0)
x0
中心 顶点 对称轴
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0) x 轴，y 轴;
实轴长 2a, 虚轴长 2b.
(0,0) x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
e=1
a
a
-2-
【备注 1】双曲线：
⑶等轴双曲线：双曲线 x 2 y 2 a 2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率 e 2 .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. x 2 y 2 与 a2 b2
x 2 y 2 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： x 2 y 2 0 .
e 的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的 轨迹.
-1-
轨迹条件
点集： ({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F
(完整版)2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练,推荐文档
2y0
2y0
令 x＝0，得 yM＝－x0－2，从而|BM|＝1－yM＝1＋x0－2.
y0－1 直线 PB 的方程为 y＝ x0 x＋1.
x0
x0
令 y＝0，得 xN＝－y0－1，从而|AN|＝2－xN＝2＋y0－1.
1 所以四边形 ABNM 的面积 S＝2|AN|·|BM|
1 ＝2
( )2y0 x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4 2x0y0－2x0－4y0＋4
2020 年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练 【题型归纳】
题型一 求曲线的方程
例 1 已知 F1(2, 0) ， F2 (2, 0) ，点 P 满足| PF1 | | PF2 | 2 ，记点 P 的轨迹为 E ．求轨迹 E 的方程． 【答案】 x2 y2 1
3
【解析】由| PF1 | | PF2 | 2 4 | F1F2 | 可知：点 P 的轨迹 E 是以 F1, F2 为焦点的双曲 线的右支，
x2 y2 例 2 已知椭圆 C：a2＋b2＝1 过 A(2,0)，B(0,1)两点． (1)求椭圆 C 的方程及离心率；
1
(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值．
x2
3
【答案】(1) 4 ＋y2＝1，e＝ 2 (2)2.
1＋
＝2.
x0－2 ＝ 2x0y0－x0－2y0＋2 ＝ x0y0－x0－2y0＋2
2
从而四边形 ABNM 的面积为定值.
【易错点】(1)．想不到设出 P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线 PA，PB 的方 程．不会由直线 PA，PB 的方程求解|BM|，|AN|；
高考数学复习第九章解析几何9.8.1直线与圆锥曲线文市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件
由xy22＝＋－y2m＝ 1 x1＋，b
消去 y，得
12＋m12x2－2mbx＋b2－1＝0.
39/43
因为直线 y＝－m1 x＋b 与椭圆x22＋y2＝1 有两个不同的交点，
所以 Δ＝－2b2＋2＋m42>0.①
将线段 AB 中点 Mm22m＋b2，mm2＋2b2代入直线方程 y＝mx＋12解 得 b＝－m22m＋22.②
6/43
[典题 1] (1)[2017·甘肃兰州检测]若直线 mx＋ny＝4 和
圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x92＋y42
＝1 的交点个数为( B )
A．至多一个 B．2
C．1
D．0
7/43
[解析] ∵直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，∴
解得 k＝－12.
31/43
故此弦所在的直线方程为 y－1＝－12(x－1)， 即 x＋2y－3＝0. 解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则xx441222＋ ＋yy222221＝ ＝11， ，① ② ①－②得x1＋x24x1－x2＋y1＋y22y1－y2＝0，
24/43
(1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 310时，求 k 的值．
a＝2， 解：(1)由题意得ac＝ 22，
a2＝b2＋c2， 解得 b＝ 2，所以椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1.
y＝kx－1， (2)由x42＋y22＝1，
25/43
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
35/43
[解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 抛物线方程为 y2＝2px， 则yy1222＝＝22ppxx21.， 两式相减可得 2p＝yx11－ －yx22×(y1＋y2) ＝kAB×2＝2，解得 p＝1， ∴抛物线 C 的方程为 y2＝2x.
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
2020高考专题复习—圆锥曲线
一、2020年高考虽然推迟，但是一定要坚持多练习，加油！二、高考分析1、分值、题型、难度设置圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，分值约占14﹪，即20分左右，题型一般为二小一大，例如，2005年高考为一道选择题，一道填空题一道解答题。
小题基础灵活，解答题一般在中等以上，一般具有较高的区分度。
考试内容：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单的几何性质，椭圆的参数方程。
主要题型：（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；（3）直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦及斜率、对称问题），确定参数的取值范围；（4）在导数、不等式、函数、向量等知识网络交汇点上的问题。
2、命题方向解析几何内容多，范围广，综合度高，其特点是：数形结合，形象思维，规律性强，运算量大，综合性好。
主要考察运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的综合能力。
涉及函数、方程、不等式、三角、向量和导数等方面的内容，以及数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法。
要注意一些立意新，角度好，有创意的题目，特别要关注在向量和解析几何交汇点上的命题趋势，两者通过坐标自然融合，既考查基（2D ． 3 +1础知识、基本方法，又平淡之中见功夫，强化区分功能，突出对能力的考查，从不同的思维层次上考察能力，有较好的思维价值。
三、 专题复习2.1 考查直线和圆锥曲线方程等有关基础知识和基本方法，要特别重视圆锥曲线定义的灵活应用，反映思维品质。
例 1．1)如图，在正方体 A B C D - ABCD 的侧1 1 1DC面 AB 内有1AB动点 P 到直线 AB 与直线 B C 距离相等，则动点 1 1P 所在的曲线的形状为： ）PD 1A 1B 1C 1AB ABAB AB PPPPA 1(A)B 1A 1(B)B 1A 1(C)B 1 A 1(D) B 1分析：本题主要考查抛物线定义，线面垂直关系及点到直线的距离等概念，情景新，角度好，有创意，考查基础知识和基本方法。
高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
2020年高考数学圆锥曲线
2020高考数学知识再梳理---------圆锥曲线知识梳理：（1）椭圆的标准方程及其性质：（2）双曲线的标准方程及其性质：（3）抛物线的标准方程及其性质：2020高考数学知识再梳理---------圆锥曲线配套练习：1．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．3．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________．4．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．5. 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________________．6. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为____________． 7.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．8. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.9. 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为________．10.在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．11.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1＋1kk2为定值，并求出这个定值．12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C∶x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN 相交于点T.求证：点T在椭圆C上．13. 设椭圆E：x2a2＋y21－a2＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．14.已知椭圆C ：x 2m 2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．(1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求P A 的最大值与最小值；(3)若P A 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围．配套练习：1．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．1.解析 建立关于m 的方程求解∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.答案 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．2.解析 法一 x ＝3代入x 24－y 212＝1，y ＝±15，不妨设M (3，15)，右焦点F (4,0)．∴MF ＝1＋15＝4.法二 由双曲线第二定义知，M 到右焦点F 的距离与M 到右准线x ＝a 2c ＝1的距离比为离心率e ＝c a ＝2，∴MF 3－1＝2，MF ＝4.答案 43．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________．3.解析 由题意知c ＝3，e ＝c a ＝32，所以a ＝2；b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，故所求双曲线方程为x 24－y 25＝1. 答案 x 24－y 25＝14．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．4.解析 不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， 求得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，所以∠PF 2F 1＝90°，求得|F 1F 2|＝23a ，故双曲线C 的离心率e ＝23a 2a ＝ 3.答案35. 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________________．5.解析 法一 x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，根据定义2a ＝|(15)2＋12－(15)2＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1. 法二 x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.法三 设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.答案 y 24－x 25＝1[规律方法] 本例可有三种解法：一是根据双曲线的定义直接求解，二是待定系数法；三是共焦点曲线系方程，其要点是根据题目的条件用含有一个参数的方程表示共焦点的二次曲线系，再根据另外的条件求出参数．6. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为____________． 6.解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案 x 216＋y 28＝17.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．7.解析 由题意可知|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a .在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2，∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.答案62[规律方法] 求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a ，c ，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a ，c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．8.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________. 9.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为________．8.因为双曲线的离心率e ＝c a ＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝⎛⎭⎫－p 2，32p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p 2×3p ＝3，又p >0，所以p ＝2.9.因为直线与椭圆的一个交点的横坐标为c ，所以这个交点的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，则有b 2a＝2c ，即有b 2＝a 2－c 2＝2ac ，e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1(另一个解不符合要求，舍去)． 答案 (1)2 (2)2－110.在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．10.解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即(a －c )2＋b 2＝2c . 整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0， 得c a ＝12或c a ＝－1(舍)，所以e ＝12(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B ()0，－3c .设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y .于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )．由题意知AM →·BM →＝－2，即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋85y －335x ·3x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0，所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．[规律方法] (1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解． (2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．11.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值． 11.解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一 如图，由题意知|F 1M ||MF 2|＝|PF 1||PF 2|，即|PF 1|4－|PF 1|＝c ＋m c －m ＝3＋m 3－m ，整理得m ＝32(|PF 1|－2)． 又a －c <|PF 1|<a ＋c ，即2－3<|PF 1|<2＋ 3. ∴－32<m <32.故m 的取值范围是m ∈⎝⎛⎭⎫－32，32. 法二 由题意知PF 1→·PM →|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM→|PF 2→||PM →|，即PF 1→·PM →|PF 1→|＝PF 2→·PM →|PF 2→|.设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4，将向量坐标化得m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0.所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈⎝⎛⎭⎫－32，32. (3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.所以Δ＝0.即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0.故k ＝－x 04y 0，由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·⎝⎛⎭⎫2x 0y 0＝－8.所以1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上． 12.(1)解 由题意知b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝⎛⎭⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 32＝1.(2)证明 由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.①直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②法一 联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3由x 208＋y 202＝1可得x 20＝8－4y 20， 因为18⎝⎛⎭⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝8－4y 20＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝32y 20－96y 0＋728(2y 0－3)2＝8(2y 0－3)28(2y 0－3)2＝1.所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 法二 设T (x ，y )联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3，因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝⎛⎭⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1. 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．[规律方法] (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．13. 设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． 13.(1)解 因为焦距为1，且焦点在x 轴上，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c .直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝⎛⎭⎫0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)，①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限． 解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2. 即点P 在定直线x ＋y ＝1上．14.已知椭圆C ：x 2m 2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．(1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求P A 的最大值与最小值；(3)若P A 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围．14.解 (1)由题意知m ＝2，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c ＝4－1＝3，∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (2)m ＝3，椭圆方程为x 29＋y 2＝1，设P (x ，y )，则P A 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 29＝89⎝⎛⎭⎫x －942＋12(－3≤x ≤3)∴当x ＝94时，P A min ＝22；当x ＝－3时，P A max ＝5.(3)设动点P (x ，y )，则P A 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 2m2＝m 2－1m 2⎝⎛⎭⎫x －2m 2m 2－12－4m 2m 2－1＋5(－m ≤x ≤m )． ∵当x ＝m 时，P A 取最小值，且m 2－1m 2＞0，∴2m 2m 2－1≥m 且m ＞1，解得1＜m ≤1＋ 2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
历年高考真题考点归纳 2020年 第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线
1
一、选择题
1.（重庆理8）在圆0622
2
=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为
A ．25
B ．210 C
． D ．220
【答案】B
2.（浙江理8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:1
4y C x -=有公共的焦点，1
C 的一条渐近线与以
1
C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若
1
C 恰好将线段AB 三等分，则
A ．2132a =
B ．213a =
C ．2
12b =
D ．22b =
【答案】C
3.（四川理10）在抛物线2
5(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆22
5536x y +=相切，则抛
物线顶点的坐标为
A ．(2,9)--
B ．(0,5)-
C ．(2,9)-
D ．(1,6)-
【答案】C
【解析】由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为
(2)y a x b =-+，则2
23651(2)b a =
+-
又25
64(2,9)(2)y x ax b a y a x b ⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨
=-+⎩
4.（陕西理2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是
A ．28y x =-
B ．28y x =
C ．24y x =-
D ．
2
4y x = 【答案】B
5.（山东理8）已知双曲线22
2
21(0b 0)x y a a b -=＞，＞的两条渐近线均和圆
C:
22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为 A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22
163x y -=
【答案】A
6.（全国新课标理7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为 （A
（B
（C ） 2 （D ） 3 【答案】B
7.（全国大纲理10）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则
cos AFB ∠=
A ．45
B ．3
5
C ．35-
D ．4
5-
【答案】D
8.（江西理9）若曲线
1
C ：
2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是
A ．
（
-
，） B ．
（，0）∪（0
，）
C ．
[3-
，3]
D ．（-∞
，
3-
）∪（3，+∞）
【答案】B
9.（湖南理5）设双曲线()22
2109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C
10.（湖北理4）将两个顶点在抛物线
22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则
A ．n=0
B ．n=1
C ． n=2
D ．n ≥3
【答案】C
11.（福建理7）设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r 上存在点P 满足
1122
::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于
A ．132
2或 B ．23或2 C ．12或
2 D ．2332或 【答案】A 12.（北京理8）设
()0,0A ,
()
4,0B ，
()4,4C t +,
()()
,4D t t R ∈.记
()
N t 为平行四边形
ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()
N t 的值域为 A ．{}9,10,11 B ．{}9,10,12
C ．
{}9,11,12 D ．{}10,11,12
【答案】C
13.（安徽理2）双曲线
822
2=-y x 的实轴长是
（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）42
【答案】C
14.（辽宁理3）已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3
AF BF +，
则线段AB 的中点到y 轴的距离为
（A ）34 （B ）1 （C ）54 （D ）7
4
【答案】C
15.在极坐标系中，点
(,)
π
23 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为 （A ）
（
答案 D 【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距
离.
【解析】极坐标(,)π23化为直角坐标为
(2cos ,2sin )33ππ
，即(1.圆的极坐标方程2cos ρθ=可化为22cos ρρθ=，化为直角坐标方程为222x y x +=，
即 22
(1)1x y -+=，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式
d ==故选D.
二、填空题
15.（湖北理14）如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系''x Oy （其中'y 轴一与
y 轴重合）所在的平面为β，'45xOx ∠=︒。
（Ⅰ）已知平面β内有一点'(22,2)P ，则点'P 在平面α内的射影P 的
坐标为 ；
（Ⅱ）已知平面β内的曲线'C 的方程是
'2'2(2)220x y -+-=，则曲线'C 在平面α内的射影C 的方程是 。
【答案】（2，2）
22
(1)1x y -+= 16.（浙江理17）设12
,F F 分别为椭圆22
13x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =u u u r u u u u r
;则点A 的坐标是 ．
【答案】(0,1)±
17.（上海理3）设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线22
1
9y x m -=的一个焦点，则
m = 。
【答案】16
18.（江西理14）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆
22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
【答案】22
154x y +=
19.（北京理14）曲线C 是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数)
1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论：
① 曲线C 过坐标原点；
② 曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积大于21a 2。
其中，所有正确结论的序号是 。
【答案】②③
20.（四川理14）双曲线22
x y =1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点
P 到左
准线的距离是 ．
【答案】565
【解析】8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为14，所以
1455645c d d a ==⇒=
21.（全国大纲理15）已知F1、F2分别为双曲线C: 2
9x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点
M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ． 【答案】6
22.（辽宁理13）已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(122
22>>=+b a b y a x 上，C 的焦距为4，则
它的离心率为 ．
【答案】2
23.（重庆理15）设圆C 位于抛物线
22y x =与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为__________
1
24.（全国新课标理14）（14） 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点
12
,F F 在
x
轴上，离心率为．过点1F
的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C
的方程为_________．
【答案】22
1168x y +=
25.（安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点， 下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①，③，⑤。