2015年高考数学(文)总复习精品课件：第12章第5讲直线与圆锥曲线的位置关系

第5讲直线与圆锥曲线的位置关系•嘔矍隣:•心纲昌视”:^:::::踽・・\Ax+By+C=0,[F(x, y)=0, 消去 y 后，得 6ZX 2+Z?X +C =0.要点梳理判断直线/与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线/的方程Ax+By+C=0（A, B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程 F （x,刃=0,消去y （也可以消去兀），得到一个关于变量兀（或变 量y ）的一兀方程.I CHU QIIMD OLT 口 QUAbT1・直线与 锥曲线的位置关系(1)当a^O时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为J,则力＞0o直线与圆锥曲线C 相交；力=0u＞直线与圆锥曲线C相切；/VOo直线与圆锥曲线C无公共点.(2)当。

=0, Z#0时，即得到一个一次方程，则直线/与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线/与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线I与抛物线的对称轴的位詈关系是平行.2・圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长.(2)圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为M砂0)的直线/与圆锥曲线C相交于A, B两点,諾0为弦AB所在直线的倾斜角）.3.直线与锥曲线的位置关系口诀“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”・自测「1・过点(2,4)作直线与抛物线y 2 = 8x 只有一个公共点，这样这个椭圆的离心率等于(C ) 的直线有(B )A ・1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 2・若椭 经过点P(2,3),且焦点为尸1(一2,0)，F 2(2,0),则的中心在原点，有一个焦点F(0, -1),它的离心丄丄__[ 率是方程2%2-5x+2 = 0的一个根，椭圆的方程是_Z±JZL5.抛物线y 2 = 8x 的焦点坐标是(2,()).3.若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2—2x=0的圆心重合, 经过(审，0),则椭 的标准方程为§+才=14・椭圆j/YDEJI/YIM GlIACJ TLJPO考点1弦长公式的应用例］:(2011年天津)设椭器+器=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi、局，点P@，b)满足IPF2=IFiF2l.⑴求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线戶局与+ 1)2+®—问2=乙相交于M, N两点,且IMN=|lABI,求椭圆的方程.解：⑴设戸(一c,0)，F2(c,0)(c>0)・因为IPFzI^I^FJ,贝I」\j(a—c)2+Z?2 = 2c, a2—2ac+/—4c2 = 0.由e=~,有4孑+ 2幺一2 = 0,即2孑+ f— 1 =0, e= —1(舍去)或e = ^.所以椭圆的离心率为e=g直线PF 2的斜率£=—匸=羽,C则直线PF 2的方程为y=\f^(x_c)._ [3x 2+4y 2==12c2, A, B 两点的坐标满足方程组*=羽(x_c)消去y 并整理，得5X 2~S CX =0.8 (2)因为e =㊁，所以 a = 2c,b =yfic.所以椭 方程为 3x 2+4y 2=12c 2.则兀1=0，^2 = ^C・不妨设A |c, 3 f c , B(0, —yj3c).2 J /所以\AB\=yJ |c—0 2 4-彳丰c+羽c 2=学匚于是\MN\=^AB\=2c.心(一1,弟)到直线PF?的距离2 \MN\26— 52 = 0,解得 c=—y<0(舍去)或 c=2.于是 d = 2c=4, b=\j3c=2 书.2 2I —A /3—A /3—A /§C I_A /§I2+C I9因为J 2+所以椭圆的方程为話+台=1・232=42,所以|(2+C)2+C216,即7c2 + 12c力），B （X2J 歹2）时，则IABI =寸1 +上2.氏1 —对=、y 1 +疋21—出1，而 爾—兀21=7（兀1+兀2）2 —滋必2,可根据直线方程与圆锥曲线方程联 立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根 之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求【方法与技巧】当直线（斜率为灯与 锥曲线交于点人（兀1，解.【互动探究】1 •椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为以A为直角顶点16作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是亦・解析：根据椭的对称性知，直线倾斜角为务设方程为y =无+2,联立方程组|^+4/=4得5x216x+12 —0.4 \12等腰直角三角形的一条直角边即弦长为一汁，该三角形的面积是2 X 16 25-考点2点差法的应用2例2：已知椭(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;⑵过点4(2,1)引椭的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;(3)求过点pg,导且被点卩平分的弦所在的直线的方程.解题思路：用点差法求出割线的斜率，再结合已知条件求解.解：（1）设为斜率为2的任意一条弦，设A （x P yj, B （X2, 乃），AB 的中点为P （x, y ）. ①—②，得&一晋+砂即4y= —x.故中点的轨迹方程为x+4y=0・因为4，B 两点都在椭兀1+兀2 即灯3 = 2=— lx2X2y① ②=一（力+丁2）（力—201+(2)设过点4(2,1)引椭圆的割线与椭 相交于M ，N 两点, 设Mg,力)，N(x»夕2)，MN 的中点为P(x, y), 同样有 ③—④，得&—叩+◎ =一(yi+y2)(yi 一乃)，201+力）・ 兀1+兀2日「17 — _ 2x_ x y—i即k^-~2X2y~~2y~x-2,即x2+2y2—2x—2y=0.仃1)(3)设过点j的弦为MN,点P为MN的中点, 设Mg, y) Ng 力)，挣+分=1, ⑤同样有【2住+£=1.⑥⑤一⑥，得街_兀2驴+功=—（刃+乃）®—丁2），即点__________ ?___1铁―匕—2仙+曲即加—2X2><1- 2-（1 1）即过点时㊁，才且被点P平分的弦所在的直线的方程为y—⑤一⑥，得街_兀2驴+功=—（刃+乃）®—丁2），【方法与技巧】（1）本题的三小题都设了端点的坐标,但最终没有求点的坐标,这种“设而不求”的思想方法是解析几何的一种非常重要的思想方法.⑵本例这种方法叫做”点差法”，”点差法”主要解决四类题型:①求平行弦的中点的轨迹方程;②求过定点的割线的弦的中点的轨迹方程;③过定点且被该点平分的弦所在的直线的方程;④有关对称的问题.⑶本题中的”设而不求”的思想方法和”点差法”还适用于双曲线和抛物线.【互动探究】点坐标为（1，-1）,则E的方程为（）2 2R丄+丄»36丁27A2 1 解析：由中点弦的点差法可求出直线斜率k=F=q,且/2. （2013年新课标I ）已知椭Y VE：护+律=l(°>b>0)的右焦点为F（3,0）,过点F的直线交椭于4, B两点.若4B的中=12 2==Z?2 + c2,所以可得出話+屯=1・答案：D考点3直线与圆锥曲线的位置关系例3：已知动圆C过点A(-2,0),且与圆(兀一2)2+尸=64相内切.(1)求动圆C的圆心的轨迹方程;(2)设直线/：y = kx-\-m(其中k, mW®与⑴中所求轨迹交2 2于不同两点5 D,与双曲线1交于不同两点® F,问是否存在直线人使得向量DF+庞=0?若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.解：⑴圆M : (x・2尸+护=64 ,圆心M的坐标为(2 , 0), 半径R = 8.'：\AM\ = 4<R ,:.点A( - 2 , 0)在圆M内.设动圆C的半径为r ,圆心为C,依题意得r=\CA\ , S.\CM\ = R- r , 即ICMI + I CAI =8>L4MI.•••圆心C的轨迹是中心在原点，以4 , M两点为焦点，长轴长为8的椭圆•2 2设其方程为》+缶=1 (a>b>0),贝'J a=4, c=2..\b 2=a 2—c 2= 12.y=kx-\~m 9（2）由｛丘/_ 消去％化简整理，得16+12-1,(3+4Z:2)%2+Skmx +4/n 2—48 = 0.A i = (8M 2—4(3 + 4/)(4 加 2—48)>0. ①•••所求动圆C 的设 B （xi ，yi ）, Dg ，力）， 则兀1+兀2=一 Skm 3+4/消去y 化简整理，得（3—lc ）x 2 —Ikmx —mJ 2 = (- 2km)2+4(3 - (府 +12)>0・② • IXF 0, • • (%4—%2)+ (兀3 y = kx-\rm,由 12 = 0. 设Eg ，必），F （S 为），则兀3+兀4 = 2km 3—0—%1) = 0,即兀1+兀2=%3+%4・解得k=0或m=0.当k=0时，由①②，得一2出＜m ＜2书. Vm^Z,・°•加的值为一3, —2, —1,0,1,2,3- 当m=0时,由①②，得一书＜kv 书. •:kE 乙.\k= —1,0,1.•••满足条件的直线共有9条.【方法与技巧】直线与所求轨迹斋+占=1交于不同两点 Skm 2km3+4疋=3—心 2km = 0 或一 4 _ 13+4 严 3—F2 2B, D,利用根的判别式有/i>0；直线与双曲线才一誇=1交于不同两点E, F,利用根的判别式有力2>0;本题最关键的是如何使用条件向量曲+庞=0,利用坐标（应一兀2）+ （兀3—兀1） = 0, 得站+七=兀3+兀4,然后利用根与系数的关系求解.【互动探究】3. (2012年湖南)在直角坐标系兀Oy 中，已知中心在原点，离心率为壬的椭圆E 的一个焦点为圆C ： x 2+/—4x+2 = 0的圆 心・(1)求椭线/p Z 2.当直线Zp /2都与圆C 相切时，求P 的坐标. (2)设P 是椭 E 上一点，过点P 作两条斜率之积为*的直解：⑴由 X 2+/-4X +2=0,得(x-2)2+y 2=2. 2 2从而可设椭圆E 的方程为p+^2=l(a>b>0)9其焦距为2c. Cl o ? 7• • -4, b ci c 12,故椭圆E 的方程为斋+占 故圆 C 的圆心为点(2,0),出题设知c = 2, e — — 2,⑵设点尸的坐标为(畑y°), /P/2的斜率分别为S k2.则i仏的方程分别为小y—yo=ki(x—xo)9 /2：y—yo=k2(x 一兀0)，由人与C： (%—2)2+y2 = 2 相切，如12£］+沟—你心口侍肝7即［(2 —Xo)2—2］好+2(2 —xojyoki—2=0.同理可得［(2 —x0)2—2］局+2(2—x0)y0k2+£—2 = 0.且kik2=并一2 _1(2—%0)2 —2 2*得5%o—8x0—36 = 0.从而g £2 是方程[(2—%o)2 —2]Z? + 2(2—x())yo£+£—2 = 0 的两个实根，](2—%o)2 —2H0, U=8[(2-X0)2+^-2]>0.于是1 yl~2 _1[(2—%o)2—225 '足①式，故点P 的坐标为(-2,3)或(一2, —3)或厝，坪］或仃8 \丽解得X Q =—2或％o =18 y-由兀0 = — 2,得『0 = ±3; ttl x （）=18 y得为=±主一，它们满思想与方法锥曲线中的函数与方程思想例题：已知椭圆C ：寺+石=l(a>Z?>0)过点(0,1),且离心率分别交直线/于F 两点.证明：IDEI IDFI 恒为定值.(1)求椭 C 的方程;(2)4,金为椭的左、右顶点，直线人x=2边与x 轴交于点点P 是椭人2的动点，直线4iP, A2P⑴解：由题意可知，b=l, a=2f解得d = 2.2所以椭圆的方程为才+b=l.（2）证明:由（1）可知，人1（一2,0），A2（290）. 设P（x0， yo），依题意一2<r0<2 ・于是直线的方程为歹=乳丫2（兀+2），令兀=2边,° 驚叫即加=（2边+2）爲・又直线A2P的方程为y= ｛卫―2），令尸2迄,贝2匕叫即QFI = (2 ^2-2)]^;.所以QE9F=（2 ©+2）黑・（2辺一2）•為二拦2 2又P（xo，y°）在才+y2=l,所以才+y$=l,4—Y2即4^=4-%^,代入上式，得LDEI・LDFI==^=1，4 兀0所以QEI・LDFI为定值1.。