2016年高考数学圆锥曲线
2016年-2011年圆锥曲线高考题(全国卷)
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2013（新课标全国卷 1）
4．已知双曲线
C：
x2 a2
y2 b 2 =1 ( a＞ 0，b＞ 0) 的离心率为
5 ，则 C的渐近线方程为 ( 2
)．
1 x
A． y＝ 4
1
1
x
x
B ．y＝ 3 C ． y＝ 2
D ． y＝±ｘ
8. O为坐标原点， F 为抛物线 C：y2＝ 4 2 x 的焦点， P 为 C上一点， 若 | PF| ＝ 4 2 ，则△ POF
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2015（新课标全国卷 2）
（11）已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M在 E 上， ? ABM为等腰三角形，且顶角为
120°，则 E 的离心率为
（A）√ 5 （ B） 2
（C）√ 3 （ D）√２
（15）已知双曲线过点 （4，,3），且渐近线方程为 y
。 20. （本小题满分 12 分）
2
32 ，
3）
3
3
（ 16）已知 F 是双曲线 C：x2- y 2 =1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点， A（0,6 6 ）. 8
当（△14A）P一F周个长圆最经小过是椭，圆该三x2 角形y 2的面1 错积误为！未找到引用源。 的三个顶点，且圆心在
x 轴上，则该圆
16 4
的标准
方程为 。
（ 20）（本小题满分 12 分）理科 在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y= x2 与直线 y=ks+a(a>0) 交与 M,N两点，
求| AB|.
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2016年高考数学理试题分类汇编_圆锥曲线(含答案与解析)
2016 年全国高考数学试题分类汇编：圆锥曲线（理科）一、选择题1、（2016 年四川高考）设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y 22px(p 0)上随意一点， M 是线段 PF上的点，且PM =2 MF, 则直线 OM 的斜率的最大值为（ A ）3（B ）2（ C ） 2（ D ）1332【答案】 C2、（ 2016 年天津高考）已知双曲线x 2y 2 =1（ b >024b），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线订交于、 、 、 四点，四边形的 的面积为 2 ，则双曲线的方程为（ ）A B C DABCD b22=1（ B ） x 2222 22（ A ） x3 y4y =1（ C ） xy2 =1（ D ） xy =14 443 4b412【答案】 D3、（ 2016 年全国 I高考）已知方程x 2y 2=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则 n 的取值2–2m +n 3m – n范围是（A ） ( – 1,3)（B ）( –1, 3)（C ） (0,3)（ D ） (0,3)【答案】 A4（、 2016 年全国 I 高考）以抛物线 C 的极点为圆心的圆交C 于 A ，B 两点，交 C 的准线于D ，E 两点 . 已知 | AB |= 4 2 ，| DE|=2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为 （ A ）2 （B ）4（C ）6（D ） 8【答案】 B5、（ 2016 年全国 II 高考）圆 x 2y 2 2 x 8 y 130 的圆心到直线 axy 1 0 的距离为 1，则 a=（）（ A ） 4（ B ）3（ C ）3（ D ）234【答案】 A6、（ 2016 年全国 IIF 1, F 2 是双曲线 E :x 2 y 2M 在 E 上， MF 1 与 x 轴垂高考）圆已知a 2b 2 1 的左，右焦点，点直，sinMF 2 F 11, 则 E 的离心率为（）3（ A）2（B）3（C）3（D） 2 2【答案】 A7、（2016年全国 III高考）已知 O为坐标原点， F 是椭圆 C：x2y21(a b 0) 的左焦点，A，B分别为C a2b2的左，右极点 . P为 C上一点，且PF x 轴.过点A的直线l与线段 PF 交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则 C的离心率为（A）1（B）1（C）2（D）3 3234【答案】 A8、（ 2016 年浙江高考）已知椭圆C：x22x22m2+y=1( m>1) 与双曲线 C：n2– y =1( n>0) 的焦点重合， e ，e 分别为12121， 2 的离心率，则C CA．m>n且e e >1 B ．m>n且e e <1 C ．m<n且e e >1 D ．m<n且e e <112121212【答案】 A二、填空题1、（ 2016 年北京高考）双曲线x2y21（a0 ， b0 ）的渐近线为正方形OABC的边 OA，OC所在的直线，a2 b 2点 B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_______________.【答案】 22、（ 2016 年山东高考）已知双曲线E： x2y21（ a＞， b＞），若矩形 ABCD的四个极点在 E 上， AB，a2b200的中点为E 的两个焦点，且 2||=3|| ，则E的离心率是 _______.CD AB BC 【答案】 2【分析】由题意 BC = 2c ，所以 AB = 3c ，于是点329c2，c c－2= 1（ c,) 在双曲线 E 上，代入方程，得24b 2a在由 a2+ b2 = c2得 E 的离心率为 e = c= 2，应填 2. a3、（ 2016 年上海高考）已知平行直线l1 : 2x y 1 0,l 2 : 2x y 10 ，则 l1,l 2的距离_______________【答案】2554、（ 2016 年浙江高考）若抛物线y2=4上的点到焦点的距离为 10，则到轴的距离是 _______ ．x M M y【答案】 9三、解答题1、（ 2016 年北京高考）已知椭圆 C：x2y2 1 （a b 0 ）的离心率为3， A( a,0) ，B(0, b) ，O(0,0) ，a2b22OAB 的面积为 1.（1）求椭圆 C的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点 M，直线 PB与x轴交于点 N.求证： AN BM为定值 .【分析】⑴由已知，c 3,1ab 1 ，又 a2b2c2，a22解得 a2, b1,c 3.x2y21.∴椭圆的方程为4⑵方法一：设椭圆上一点 P x0 , y0，则x2y21.y042y0 .直线 PA ： y2x 2 ,令x0 ，得y Mx0x0 2∴ BM12 y0 x02直线 PB ： y y01x 1,令 y0 ，得 x Ny0x0.x01∴ AN2x0 y01AN BM2x012 y0 y01x02x0 2 y0 2 x02y02 x02y01x2 4 y24x0y4x8y400x0 y0 x02y022x2将0y01代入上式得AN BM =4故 AN BM 为定值.方法二：设椭圆上一点 P2cos,sin，PA: y sinx2, 令x0 ，得y Msin直线2cos21. cossin cos1∴ BM 1 cos直线 PB : y sin 1 x1, 令y0，得 x N2cos.2cos1sin2sin2cos2∴AN1sinAN BM2sin2cos2sin cos1 1sin1cos222sin2cos2sin cos1sin cos sin cos4故 AN BM 为定值.2、（ 2016 年山东高考）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：x2y2 1 a＞b＞0的离心率是3，抛物线a2b22：2E x 2 y 的焦点F是C的一个极点.（I ）求椭圆C的方程；（II ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不一样的两点A，B，线段AB的中点为D，直线 OD与过 P且垂直于 x 轴的直线交于点M.（ i ）求证：点M在定直线上;（ ii）直线 l 与y轴交于点G，记△PFG 的面积为 S1，△PDM的面积为 S2，求S1的最大值及获得最大值S2时点 P的坐标.【分析】 (Ⅰ)由离心率是3 ，有 a 2 = 4b 2 ，2又抛物线 x 2 = 2 y 的焦点坐标为F(0, 1 ) ，所以 b = 1 ，于是 a = 1，2 2所以椭圆 C 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 1 ．m 2 ( Ⅱ ) （ i ）设 P 点坐标为 P （m,), (m > 0) ，2由 x 2 = 2 y 得 y ′= x ，所以 E 在点 P 处的切线 l 的斜率为 m ，所以切线 l 的方程为 y = mx －m 2， 2设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ， D (x 0 , y 0 ) ，2 将 y = mx －m代入 x 2 + 4 y 2 = 1，得2（1 + 4m 2 ) x 2－ 4m 3 x + m 2－1 = 0 ．于是 x 1 + x 2 =4m 3 2 ， x 0 = x 1+ x 2= 2m 3 2 ，1+ 4m 2 1 + 4m又 y 0 m 2 －m 2= mx 0－=2，22(1 + 4m )于是直线 OD 的方程为 y = －1x ．4m联立方程 y = －1x 与 x = m ，得 M 的坐标为 M(m, － 1 ) ．4m41 所以点 M 在定直线 y = － 上．4（ ii m 2中，令 x = 0 ，得 y = －m 2）在切线 l 的方程为 y = mx －，22m 2m 21即点 G 的坐标为 G(0, － 2 ) ，又 P(m, 2 ) ， F(0,2 ) ，所以 S 1 =1m ×GF=m(m 2 + 1)24；再由D(2m 3,－m 2) ，得4m 2+1 2(4m 2+ 1)S 2 = 1 2m 2 + 1 2m 3 + m=m(2m 2 +1) 22 ×4× 4m 2 +1 8(4m 2 + 1)于是有S 1 2( 4m 2 +1)(m 2 +1)S 2 =( 2m 2 +1)2．1S 12(t － )(t +1)1 1令 t = 2m 2+1，得=2t 2=2+ －t 2S 2t当 1 =1 时，即 t =2 时， S 1获得最大值 9 ．t2 S 2 4此时 m2=1， m = 2 ，所以 P 点的坐标为 P( 2 , 1 ) ．222 4所以S 1的最大值为 9 ，获得最大值时点P 的坐标为 P( 2 , 1) ．S 242 43、（ 2016 年上海高考）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到 F 点或河边运走。
2016年新课标全国卷试题汇编：圆锥曲线 学生专用
2016年新课标全国卷试题汇编：圆锥曲线1.（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 文数5T ）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）342.（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数5T ）已知方程222213-x y m n m n-=+表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）(A)(–1，3) (B)(–1，3) (C)(0，3) (D)(0，3)3.（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数10T ）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点，交C 的准线于D,E 两点．已知|AB |=|DE|=则C 的焦点到准线的距离为（ ）(A)2 (B)4 (C)6 (D)84．（2016全国高考新课标Ⅱ卷· 文数5T ）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线(0)k y k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A ．12B ．1 C ．32D ．2 5.（2016全国高考新课标Ⅱ卷· 理数11T ）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（A （B ）32（C （D ）2 6.（2016全国高考新课标Ⅲ卷· 文数12T ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）347.（2016全国高考新课标Ⅲ卷· 理数11T ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且轴.过点A 的直线l 与线段交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ） （B ） （C ） （D ） 8.（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 文数20T ）（12分）在直角坐标系xOy 中，直线1:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H （Ⅰ）求||||OH ON ； （Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.9．（2016全国高考新课标Ⅰ卷· 理数20T ） (本小题满分12分)22221(0)x y a b a b +=>>PF x ⊥PF 13122334设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．10．（2016全国高考新课标Ⅱ卷· 文数21T ）（本小题满分12分）已知A 是椭圆22:143x y E +=的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当||||AM AN =时，求AMN △的面积；（Ⅱ）当2||||AM AN =2k <．11.（2016全国高考新课标Ⅱ卷· 理数20T ）（本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积；（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.12.（2016全国高考新课标Ⅲ卷· 文数20T ）（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.13.（2016全国高考新课标Ⅲ卷· 理数20T ）（本小题满分12分）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两C 22y x =F x 12,l l C A B ，点，交的准线于两点．（I ）若在线段上，是的中点，证明；（II ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程. C P Q ，F AB R PQ AR FQ PQF ∆ABF ∆AB。
2016年高考数学圆锥曲线
（A） （B） （C） （D） 答案D
解析：显然当直线 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线 的斜率存在时，设斜率为 .设 ，则 ，相减得 .由于 ，所以 ，即 .圆心为 ，由 得 ，所以 ，即点M必在直线 上.将 代入 得 .因为点M在圆 上，所以 .又 （由于斜率不存在，故 ，所以不取等号），所以 .选D.
[解析](1)由题意知e＝ ＝ ，∴e2＝ ＝ ＝ ，即a2＝ b2，又b＝ ＝ ，∴a2＝4，b2＝3，故椭圆的方程为 ＋ ＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
△＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0,3＋4k2－m2>0.x1＋x2＝－ ，x1·x2＝ .
[解析] (1)∵e＝ ，∴a2＝3c2＝3a2－3b2，∴2a2＝3b2将x＝－c代入椭圆方程得：y2＝ ，y＝± ，由题意： ＝ ，∴2a＝ b2，解得：a2＝3b2＝2∴椭圆C的方程为： ＋ ＝1(2)联立方程组： 消去y整理得：(3k2＋2)x2＋6ktx＋3t2－6＝0①∴Δ＝36k2t2－4(3k2＋2)·(3t2－6)＝24(3k2＋2－t2)>0，∴3k2＋2>t2②设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1＋x2＝ ，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝ ＋2t＝ 设MN的中点为G(x0，y0)，则x0＝ ＝ ，y0＝ ＝ ∴线段MN的垂直平分线方程为：y－ ＝－ 将P 代入得： ＋ ＝ 化简得：3k2＋2＝4t代入②式得：4t>t2，∴0<t<4|MN|＝ · ＝ · ＝ · ＝ · 设O到直线MN的距离为d，则d＝ ∴S△NOM＝ ·|MN|·d＝ · · · ＝ · ＝ · ≤ (当且仅当t＝2，k＝± 时取“＝”号)
2016年_2011年圆锥曲线高考题[全国卷]
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2015（新课标全国卷2）（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（A ）√5 （B ）2 （C ）√3 （D ）√2（15）已知双曲线过点），（3,4，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 。
20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的离心率为22,点()2,2在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.C(2,2)Y X OMB A20．（本小题满分12分）理科已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。
（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。
2015（新课标全国卷1）（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（5）（理）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF ＜0，则y 0的取值范围是 （A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （B ）（C ）（223-，223） （D ）（233-，233） （16）已知F 是双曲线C ：x 2-82y =1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为（14）一个圆经过椭圆141622=+y x 错误！未找到引用源。
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(12 圆锥曲线与方程)
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （12圆锥曲线与方程）一、选择题1.（2016全国Ⅰ文）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OF c,OB b,OD 2b b 42===⨯= 在Rt OFB ∆中,|OF ||OB||BF ||OD |⨯=⨯,且222a b c =+,代入解得22a 4c =,所以椭圆得离心率得1e 2=,故选B.考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e .2.（2016全国Ⅰ理）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 ( )（A ）()1,3- （B）(- （C ）()0,3 （D）( 【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 不是c,这一点易出错.x3.（2016全国Ⅰ理）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 ( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.4.（2016全国Ⅱ文） 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2 【答案】D考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质.【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对函数y =kx(0)k ≠，当0k >时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是减函数，当0k <时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数.5.（2016全国Ⅱ理）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A （B ）32（C （D ）2【答案】A考点：双曲线的性质.离心率.【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．6.（2016全国Ⅲ文、理）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴..过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．7.（2016四川文）抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)【答案】D【解析】试题分析：由题意，24y x =的焦点坐标为(1,0)，故选D. 考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．8. （2016四川理）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为 （A（B ）23（C（D ）1 【答案】C【解析】试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则22,2.2p FP pt pt ⎛⎫=-⎪⎝⎭由已知得13FM FP =，22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩， 22,332,3p p x t pt y ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，22112122OM t k t t t ∴==≤=++，()max 2OM k ∴=，故选C. 考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k 斜率用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．9.（2016天津文）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ） （A ）1422=-y x （B ）1422=-y x （C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x【答案】A【解析】试题分析：由题意得2212,11241b x yc a b a =⇒==⇒-=，选A.考点：双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．10.（2016天津理）已知双曲线2224=1x yb-（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）（A）22443=1yx-（B）22344=1yx-（C）2224=1x yb-（D）2224=11x y-【答案】D考点：双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．11.（2016浙江理）已知椭圆C1：22xm+y2=1(m>1)与双曲线C2：22xn–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m<n且e1e2>1 D．m<n且e1e2<1【答案】A考点：1、椭圆的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆1C 的焦点时，要注意222c a b =-；计算双曲线2C 的焦点时，要注意222c a b =+．否则很容易出现错误．二、填空1。
2016届高考数学·圆锥曲线方程(Word版含解析)
阶段性综合检测（四）解析几何初步圆锥曲线方程时间120分钟满分150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·晋中一模)已知直线的倾斜角的余弦值是12，则此直线的斜率是()A.3B．－ 3C.32D．±3解析：设倾斜角为α，则cosα＝12，sinα＝1－cos2α＝32，∴斜率k＝tanα＝sinαcosα＝ 3.答案：A2．(2015·于都一模)已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值是()A．5 B．2C．－10 D．17解析：依题意得k AB＝8－aa＋1＝2，解得a＝2.答案：B3．(2015·丰台一模)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析：方法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA |2＝|CB |2，∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2， ∴a ＝1，b ＝1，∴r ＝2，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 方法二：∵k AB ＝1＋1－1－1＝－1且AB 的中点为(0,0)， ∴AB 的垂直平分线方程为y ＝x . 由⎩⎨⎧y ＝x x ＋y －2＝0可得圆心坐标为(1,1)， ∴半径r ＝(1－1)2＋(1＋1)2＝2， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 答案：C4．(2015·白山联考)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：把直线方程化为(－x －y ＋1)＋a (x ＋1)＝0， 令⎩⎨⎧ －x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2， ∴直线过定点C (－1,2)，∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，化为一般式为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案：C5．(2015·北京房山区一模)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －2y ＋3＝0D ．x －y ＋1＝0解析：若∠ACB 最小，则CM ⊥l ，可知C (2,0)， ∴k CM ＝2－01－2＝－2，∴直线l 的斜率为k ＝12，∴直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0答案：C6．(2015·诸城一中月考)已知a＞b＞0，e1，e2分别为圆锥曲线x2a2＋y2b2＝1和x2a2－y2b2＝1的离心率，则lg e1＋lg e2的值() A．大于0且小于1 B．大于1 C．小于0 D．等于0解析：可知e1＝1－(ba)2，e2＝1＋(ba)2，∴lg e1＋lg e2＝lg(e1e2)＝lg(1－b2a2)·(1＋b2a2)，∵(1－b2a2)(1＋b2a2)＜[(1－b2a2)＋(1＋b2a2)2]＝1，∴lg e1＋lg e2＜lg1＝0. 答案：C7．(2015·山东实验中学诊断)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为()A．1 B. 3C.33 D.36解析：抛物线的焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±33x，即3x±3y＝0，故焦点F到双曲线渐近线的距离为d＝233＋9＝1.答案：A8．(2015·许昌模拟)已知抛物线x2＝43y的准线过双曲线x2m2－y2＝－1的焦点，则双曲线的离心率为()A.324 B.3104C. 3D.3 3解析：易知抛物线的准线方程为y ＝－3，双曲线x 2m 2－y 2＝－1的焦点坐标为(0，±m 2＋1)，∴m 2＋1＝3＝c 2，∴c ＝3，∴双曲线的离心率为e ＝31＝ 3.答案：C9．(2015·贺兰一中期末)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1D.x 2132－y 2122＝1解析：对于椭圆C 1，a ＝13，c ＝5，曲线C 2为双曲线，c ＝5，a ＝4，b ＝3，故其标准方程为x 242－y 232＝1.答案：A10．(2015·兰州模拟)已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：∵双曲线C ：x 29－y 216＝1中，a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝6＋10＝16.作PF 1边上的高AF 2，则|AF 1|＝8，∴|AF 2|＝6，答案：C11．(2015·孝感一中期末)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5D.92解析：利用抛物线的定义，连接点(0,2)和抛物线的焦点F (12，0)交抛物线于点P ，则点P 使所求距离最小，其最小值为(0－12)2＋(2－0)2＝172.答案：A12．(2015·莱芜期末)点P 到点A (12，0)，B (a,2)及到直线x ＝－12的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是( )A.12 B.32 C.12或32D ．－12或12解析：∵点P 到点A (12，0)与到定直线x ＝－12的距离相等，∴点P 在以A 为焦点，以直线x ＝－12为准线的抛物线上，同时在线段AB 的垂直平分线上，结合图形可知适合条件的点B 的坐标为(－12，2)和(12，2)，故a ＝－12或12. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
2016届高考数学(文)考纲解读及热点难点试题演练专题10圆锥曲线(专题)(解析版)
【2016年高考考纲解读】(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B 级要求； (2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求. （4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题. 【重点、难点剖析】 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． 2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)； (2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)． 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆：e ＝ca ＝1－b 2a 2；(2)双曲线：①e ＝ca ＝1＋b 2a 2.②渐近线方程：y ＝±b a x 或y ＝±ab x . 4．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义；②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)； 双曲线方程可设为x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)． 这样可以避免讨论和繁琐的计算． 5．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；(3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.6．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算．7．圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1，F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有①|OP|∈[b，a]；②|PF1|∈[a－c，a＋c]；③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①|OP|≥a；②|PF1|≥c－a.8．定点、定值问题定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．9．解决最值、范围问题的方法解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.【题型示例】题型1、椭圆的定义及其标准方程例1．(2015·广东，8)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 【答案】 B【解析】 由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.【变式探究】(2015·福建，11)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1【答案】 A 【解析】【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解析】 (1)由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 考点二 椭圆的性质例2．(2015·浙江，15)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．【答案】 22 【解析】【变式探究】(2015·安徽，20)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .【解析】【变式探究】(2015·陕西，20)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.【解析】(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.【变式探究】(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围． 【解析】＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ， 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ， 解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝ 2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ2.题型三 双曲线的定义及其标准方程例3．(2015·安徽，6)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D.x 22－y 2＝1【答案】 A【解析】 由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.【变式探究】(2015·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0 )的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1【答案】 D 【解析】【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，15)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为______________．【答案】 x 24－y 2＝1【解析】 由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【变式探究】(2015·北京，12)已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________.【答案】3【解析】 由题意：c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2.得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3.【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，16)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【答案】 12 6 【解析】题型四 双曲线的几何性质例4．(2015·湖南，6)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54C.43D.53【答案】 D【解析】 由条件知y ＝－ba x 过点(3，－4)， ∴3ba ＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2， ∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.【变式探究】(2015·四川，7)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433 B ．2 3 C ．6 D ．4 3【答案】 D【解析】 右焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23，∴A (2，23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3.【变式探究】(2015·重庆，9)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22 C ．±1D ．± 2【答案】 C【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c ，0)，左、右顶点分别为A 1(－a ，0)， A 2(a ，0)，易求 B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，则kA 2C ＝b 2ac ＋a，kA 1B ＝b 2aa －c ，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ·kA 2C ＝－1， 即b 2a c ＋a ·b 2a a －c ＝－1， ∴b 4a 2c 2－a 2＝1， ∴a 2＝b 2，即a ＝b ， ∴渐近线斜率k ＝±ba ＝±1.【变式探究】(2015·湖北，9)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 【答案】 B 【解析】题型五 抛物线的定义及其标准方程例5．(2015·陕西，3)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)【答案】 B【解析】 由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0，故选B.【变式探究】(2015·浙江，19)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t ＞0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．【解析】(2)由(1)知，|AP |＝t ·1＋t 2 和直线PA 的方程tx －y －t 2＝0， 点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t 2，设△PAB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AP |·d ＝t 32.【变式探究】(2014·福建，21)已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝⎛⎭⎫12x 0＋6x 0，3.又N (0，3)，所以圆心C ⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 0，3. 半径r ＝12|MN |＝|14x 0＋3x 0|，|AB |＝|AC |2－r 2＝⎣⎡⎦⎤12x 0－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．题型六 抛物线的性质例6．(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】 B【解析】 因为e ＝c a ＝12，y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以c ＝2，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3，所以|AB |＝6.【变式探究】(2015·福建，19)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【解析】法一 (1)解 由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3， 解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x . (2)所以k GA＋k GB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．题型七直线与圆锥曲线的位置关系例7．(2015·四川，10)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r ＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是() A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4)【答案】 D【解析】【变式探究】(2015·天津，19)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率；(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.①求λ的值；②若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程．【解析】 (1)设F (－c ，0)．由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5c ，b ＝2c ，又因为B (0，b )，F (－c ，0)，故直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2cc ＝2.【变式探究】(2015·北京，20)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．【解析】 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1， 所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2. 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63.(2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)， 直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)， 令x ＝3，得M (3，2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.。
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圆锥曲线专题训练1、已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，，那么抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x [答案] C[解析] 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .2、设直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，与圆相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）答案D解析：显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M 必在直线上.将代入得.因为点M 在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.选D.【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线上，由此可确定中点的纵坐标的范围，利用这个范围即可得到r的取值范围.3设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A、 B、 C、D【答案】A4.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．5、平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为【解析】设所在的直线方程为 ,则所在的直线方程为,解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,所以， . 所以， .6.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。
若点到直线的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为【解析】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c 的最大值为直线与渐近线之间距离，为解答题1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－b 2a2，判断△AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．[解析] (1)由题意得c ＝1，又e ＝c a ＝12，所以a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m .得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， 由Δ＝(8mk )2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0得m 2<3＋4k 2. ∵x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－33＋4k2，∴y 1·y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k23＋4k2. 由k OA ·k OB ＝－b 2a 2＝－34得y 1y 2＝－34x 1x 2，即3m 2－4k 23＋4k 2＝－34·4m 2－33＋4k 2，化简得2m 2－4k 2＝3，满足Δ>0.由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·484k 2－m 2＋33＋4k22＝241＋k23＋4k 2.又点O 到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k 2，所以S △AOB ＝12·d ·|AB |＝12241＋k23＋4k2·|m |1＋k 2＝1224m23＋4k2＝3·2m23＋4k2＝3·3＋4k23＋4k2＝3， 故面积为定值 3.2、已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E . (1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，证：直线AB 恒过定点． [解析] (1)⊙O 的圆心M (0,2)，半径r ＝1，设动圆圆心P (x ，y )，由条件知|PM |－1等于P 到l 的距离，∴|PM |等于P 到直线y ＝－2的距离，∴P 点轨迹是以M (0,2)为焦点，y ＝－2为准线的抛物线．方程为x 2＝8y . (2)设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 将直线AB 的方程代入到x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b ，又因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16⇒b ＝4所以直线BC 恒过定点(0,4)．3、已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求C 的方程； (2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，(ⅰ)证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标； (ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意知F (p 2，0)，设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0)．因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝|t －p2|，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)，由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)(ⅰ)由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|FA |＝|FD |，得|x D －1|＝x ＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8by 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0，设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，故直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)．所以直线AE 过定点F (1,0)．(ⅱ)由(ⅰ)知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋(1x 0＋1)＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0.设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0.所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝|4x 0＋x 0＋4＋m y 0＋8y 0－1|1＋m2=4x 0＋1x 0＝4(x 0＋1x 0)．则△ABE 的面积S ＝12×4(x 0＋1x 0)(x 0＋1x 0＋2)≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.[方法点拨] 定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x 、y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x 、y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．4、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且k OA ·k OB ＝－b 2a2，试判断△AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．[解析] (1)由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，又b ＝61＋1＝3，∴a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，△＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0,3＋4k 2－m 2>0. x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－33＋4k2.y 1·y 1＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k 2.k OA ·k OB ＝－34，y 1y 2x 1x 2＝－34， y 1y 2＝－34x 1x 2，3m 2－4k23＋4k2＝－34·4m 2－33＋4k 22m 2－4k 2＝3，|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k2484k 2－m 2＋33＋4k22＝241＋k23＋4k2. d ＝|m |1＋k2＝1－141＋k2≥1－14＝32， S ＝12|AB |d ＝12241＋k23＋4k2|m |1＋k2＝12241＋k 2m23＋4k 21＋k2＝1224m23＋4k2＝12243＋4k 2·3＋4k22＝ 3. 5、如图，椭圆经过点.(I)求椭圆的方程； (II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.(I)由题意知，由，解得，继而得椭圆的方程为；(II) 设，由题设知，直线的方，代入，化简得，则2222:1(0)x y E a b a b+=>>(0,1)A -2E (1,1)k E ,P Q A AP AQ 212c b a ==222a b c =+2a =2212x y +=()()1122,P x y Q x y 120x x ≠PQ (1)1(2)y k x k =-+≠2212x y +=22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，由已知， 从而直线与的斜率之和 化简得.试题解析：(I)由题意知得，椭圆的方程为. (II)由题设知，直线的方程为，代入，得 ，由已知，设， ， 从而直线与的斜率之和.[方法点拨] 定值问题的求解策略(1)在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数，或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值． (2)求解定值问题的三个步骤 ①由特例得出一个值，此值一般就是定值；②证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； ③得出结论．5、设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++0∆>AP AQ 121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+12122(2)AP AQ x x k k k k x x ++=+-()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-12c b a ==a =2212x y +=PQ (1)1(2)y k x k =-+≠2212x y +=22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=0∆>()()1122,P x y Q x y 120x x ≠1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++AP AQ 121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+121212112(2)2(2)x xk k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠0)与椭圆C 交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与y 轴交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，求△MON (O 为坐标原点)面积的最大值． [解析] (1)∵e ＝33，∴a 2＝3c 2＝3a 2－3b 2，∴2a 2＝3b 2 将x ＝－c 代入椭圆方程得：y 2＝b 4a 2，y ＝±b 2a ，由题意：2b 2a ＝433，∴2a ＝3b 2 ，解得：a 2＝3 b 2＝2∴椭圆C 的方程为：x 23＋y22＝1 (2)联立方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1y ＝kx ＋t消去y 整理得：(3k 2＋2)x 2＋6ktx ＋3t2－6＝0 ① ∴Δ＝36k 2t 2－4(3k 2＋2)·(3t 2－6)＝24(3k 2＋2－t 2)>0，∴3k 2＋2>t 2②设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个解，由韦达定理得：x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝－6k 2t 3k 2＋2＋2t ＝4t 3k 2＋2 设MN 的中点为G (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt 3k 2＋2，y 0＝y 1＋y 22＝2t 3k 2＋2 ∴线段MN 的垂直平分线方程为：y －2t 3k 2＋2＝－1k⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3kt 3k 2＋2 将P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－14代入得：14＋2t 3k 2＋2＝3t 3k 2＋2化简得：3k 2＋2＝4t 代入②式得：4t >t 2，∴0<t <4 |MN |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·26·3k 2＋2－t23k 2＋2＝1＋k 2·26·4t －t 24t ＝1＋k 2·6·4t －t 22t 设O 到直线MN 的距离为d ，则d ＝t1＋k 2∴S △NOM ＝12·|MN |·d ＝12·1＋k 2·6·4t －t 22t ·t 1＋k 2＝64·4t －t 2＝64·－t －22＋4≤62(当且仅当t ＝2，k ＝±2时取“＝”号) ∴△MON 面积的最大值为62，此时直线l 的方程为：y ＝±2x ＋2. 6、已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围； (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． [分析] 考查直线与椭圆的位置关系；点到直线的距离公式；求函数的最值及运算求解能力、函数与方程的思想． (1)可设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立消元化为一元二次方程，由AB 的中点在已知直线上知方程有两个不同的解，由此可得到关于m 的不等式，从而求解；(2)令t ＝1m，可将△AOB 表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而获解．[解析] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得(12＋1m 2)x 2－2b m x ＋b 2－1＝0，∵直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，∴Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①，将AB 中点M (2mb m 2＋2，m 2bm 2＋2)代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2，②.由①②得m ＜－63或m ＞63.(2)令t ＝1m ∈(－62，0)∪(0，62)，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1，设△AOB 的面积为S (t )，∴S (t )＝12|AB |·d ＝12－2t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立，故△AOB 面积的最大值为22. 7、已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率； (2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1、l 2于A ，B 两点(A 、B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，∴b a ＝2，∴c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a 从而双曲线E 的离心率e ＝c a ＝ 5. (2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C ，当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 只有一个公共点， 则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，又∵△OAB 的面积为8，∴12|OC |·|AB |＝8， 因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1，若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能是x 24－y 216＝1. 以下证明：当直线l 与x 轴不垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意得k >2或k <－2，则C (－mk，0)，记A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k . 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|得12|－m k |·|2m 2－k －2m 2＋k |＝8，即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24－y 216＝1得，(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0，∵4－k 2<0∴Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)， 又∵m 2＝4(k 2－4)，∴Δ＝0，即直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.[方法点拨] 1.求曲线的轨迹方程时，先看轨迹的形状是否预知，若能依据条件确定其形状，可用定义法或待定系数法求解；若动点P 与另一动点Q 有关，Q 在已知曲线上运动，可用代入法求动点P 的轨迹方程；否则用直译法求解．2．存在性问题主要体现在以下几方面：(1)点是否存在；(2)曲线是否存在；(3)命题是否成立．解决这类问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果可以得到成立的结果，就可以作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结论，则说明假设不存在。