量子力学(周世勋)课后答案-第七章
量子力学教程(周世勋)课后习题详细解答
量子力学课后习题详细解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dvλλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
[工学]量子力学第7章 周世勋_OK
![[工学]量子力学第7章 周世勋_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/fc7937e8ff00bed5b8f31d91.png)
Sˆz nlmmS mS nlmmS mS nlm ms 31
代入以上方程，写成
2
2
2
2es2 r
eBS
2c
(m
2ms
)
nlmm
S
E nlmmS nlmmS
本征能量：
Enlmm S
Enl
eBS
2c
(m 2mS )
当 Sz 2
1 2
t
时刻，x, y, z 处找到自旋
Sz
2
的电子的几率密度。
2
1 2
2
(0,
*2
)
0 2
2
2
t
时刻，x,
y, z
处找到自旋
Sz
2
的电子的几率密2度4
1 2 d
在整个空间发现电子自旋SZ
的几率 2
2 2 d
在整个空间发现电子自旋SZ
的几率 2
1 2
(1*
* 2
)12
略时，1 和 2 对空间位置的依赖关系是一样的，
这时可引入自旋函数 (Sz )
(x, y, z, Sz ,t) (x, y, z,t)(Sz )
(Sz )
1
2
(1)
2
1
0
1 2
(
1) 2
0
1
26
自旋函数的正交归一性
1
2
1
(1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0)
0
1
0
1
2
1 (1
2
1
0)
0
1
1
Sˆz
2
周世勋量子力学习题答案(七章全).
由
有
⎡ 1 dρ (λ ) x 5e x ⎤ dx =0 = A⎢5 x 4 x − x dλ e − 1 (e − 1) 2 ⎥ ⎦ dλ ⎣
x (1 − )e x = 1 5 于是，得：
该方程的根为
x = 4.965
因此，可以给出， 即
λmT =
hc hc = 0.2014 xk k
λmT = b （常数）
而
p2 1 A2ω 2 μ 2 cos 2 (ωt + δ ) 1 2 2 E= + μω q = + μω 2 A2 sin 2 (ω t + δ ) 2μ 2 2μ 2
= 1 μω 2 A 2 = nhv 2
（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心 力，于是有
由此可以求出波长在 λ 与 λ + dλ 之间的能量密度 ρ (λ ) dλ
由于
ν = c/λ ,
ρ ( λ ) dλ =
dν = +
c
λ2
1
dλ
8πhc
因而有：
λ
5
e
hc kTλ
dλ −1
令
x=
hc kTλ
所以有：
ρ (λ ) = Ax 5
dρ ( λ ) =0 dλ
1 x e −1
（
A=
8πk 5T 5 h 4c 4 常数）
1⎞ ⎛ E n = ⎜ n + ⎟hv 2 ⎠ 相比较，我们 ⎝ ③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量 E0 = 1 hv 2 。 但能级间的间隔则完
&& + ω 2 q = 0 q
其解为
量子力学(周世勋)课后答案-第七章
7.1.证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证：由对易关系 z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=- 及 反对易关系 0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ， 得 z y x i σσσˆˆˆ= 上式两边乘z σˆ，得 2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ∴ i z y x =σσσˆˆˆ 7.2 求在自旋态)(21z S χ中，xS ˆ和y S ˆ的测不准关系： ?)()(22=y x S S ∆∆解：在z S ˆ表象中)(21z S χ、xS ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(21z S χ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ x S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y ∴ 在)(21z S χ态中00101102)0 1(2121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχxxS S 4)(2222=-=∆xxx S S S 001002)0 1(ˆ2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i i i S S y yχχ 4)(2222=-=∆yyy S S S16)()(422=∆∆y x S S ①讨论：由xS ˆ、y S ˆ的对易关系 [x S ˆ，y S ˆ]zS i ˆ = 要求 4)()(2222z y x S S S ≥∆∆在)(21z S χ态中，2=z S ∴ 16)()(422≥y x S S ∆∆可见①式符合上式的要求。
7.3.求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01102ˆi i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。
解：x S ˆ的本征方程为01102a a b b λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭移项得: 202a b λλ⎛⎫- ⎪⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭xS ˆ的久期方程为022=--λλ可得 20)2(22 ±=⇒=-λλ∴ xS ˆ的本征值为2±。
量子力学教程习题答案周世勋
习题解答
1
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《量子力学教程》 习题(xítí)解答说明
• 为了满足量子力学(liànɡ zǐ lìxué)教学和学生 自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了 周世勋先生编写的《量子力学(liànɡ zǐ lìxué) 教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其 中第六章为选学内容。
2.3 一粒子在一维势场
，x 0 U (x) 0， 0 x a
，x a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：U (x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程
2
d 2 (x) U (x) (x) E (x)
2m dx2
在各区域的具体形式为
Ⅰ： x 0
2 2m
d2 dx2
1
(
x)
E A2 2 nh nh ， n 0,1,2, 2T
6
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（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB v2 ，得 R v
R
eB
再由量子化条件 pdq nh,n 1,2,3,，以, p Rv R2 eBR 2分别表示广义坐标和相应的
广义动量，所以相积分为
0
0.024A （电子的康普顿波长）。
8
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第二章 波函数和薛定谔方程
2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
(r，t)
( r )f
(t)
( r )e
i
Et
J
i
( * * )
2m
i
[
( r )e
i
Et
（
( r )e
i
《量子力学教程》周世勋 课后答案
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
《量子力学教学教程》周世勋课后答案解析
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程周世勋_课后答案
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解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc e kThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
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7.1.证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证：由对易关系 z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=- 及 反对易关系 0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ， 得 z y x i σσσˆˆˆ= 上式两边乘z σˆ，得 2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ∴ i z y x =σσσˆˆˆ 7.2 求在自旋态)(21z S χ中，xS ˆ和y S ˆ的测不准关系： ?)()(22=y x S S ∆∆解：在z S ˆ表象中)(21z S χ、xS ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(21z S χ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ x S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y ∴ 在)(21z S χ态中00101102)0 1(2121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχxxS S 4)(2222=-=∆xxx S S S 001002)0 1(ˆ2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i i i S S y yχχ 4)(2222=-=∆yyy S S S16)()(422=∆∆y x S S ①讨论：由xS ˆ、y S ˆ的对易关系 [x S ˆ，y S ˆ]zS i ˆ = 要求 4)()(2222z y x S S S ≥∆∆在)(21z S χ态中，2=z S ∴ 16)()(422≥y x S S ∆∆可见①式符合上式的要求。
7.3.求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01102ˆi i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。
解：x S ˆ的本征方程为01102a a b b λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭移项得: 202a b λλ⎛⎫- ⎪⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭xS ˆ的久期方程为022=--λλ可得 20)2(22 ±=⇒=-λλ∴ xS ˆ的本征值为2±。
设对应于本征值2的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112/1b a χ 由本征方程 2/12/12ˆχχ =x S ，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111201102b a b a 111111 a b b a a b =⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得1),(11*1*1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a 即 1221=a ∴ 21 2111==b a对应于本征值2 的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11212/1χ 设对应于本征值2-的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-222/1b a χ 由本征方程 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--222/12/12ˆb a S x χχ 222222 a b b a a b -=⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件，得1),(22*2*2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a a 即 1222=a ∴ 21 2122-==b a对应于本征值2 -的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-11212/1χ 同理可求得yS ˆ的本征值为2 ±。
其相应的本征函数分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i 12121χ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-i 12121χ #7.4 求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆzy x n S S S S ++= 的本征值和所属的本征函数。
在这些本征态中，测量z S ˆ有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？zS ˆ的平均值是多少？ 解：在z S ˆ 表象，nS ˆ的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= i i S n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=γβαβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n 其相应的久期方程为0cos 2)cos (cos 2)cos (cos 2cos 2=--+--λγβαβαλγ i i 即0)cos (cos 4cos 4222222=+--βαγλ )1cos cos cos (222=++γβα利用得0422=- λ ⇒ 2±=λ 所以nS ˆ的本征值为2 ±。
设对应于2=n S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a S n )(21χ，则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2 γβαβαγ b b i a =-+⇒γβαcos )cos (cos得γβαcos 1cos cos ++=i b由归一化条件，得22**),(12121b a b a b a +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχ1cos 1cos cos 222=+++a i a γβα1cos 122=+a γ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=)cos 1(2cos cos 1cos 1)(21γβαγχi S n12112210()01()()n z z S S S χχ-⎫⎫=⎪⎪⎭⎭=可见， zS ˆ的可能值为 22 - 相应的几率为 2cos 1γ+ 2cos 1)cos 1(2cos cos 22γγβα-=++γγγcos 22cos 122cos 12=--+=z S同理可求得 对应于2-=n S 的本征函数为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=-)cos 1(2cos cos 2cos 1)(21γβαγχi S n 在此态中，zS ˆ的可能值为 2 2 - 相应的几率为 2cos 1γ- 2cos 1γ+γcos 2-=z S#7.5设氢的状态是 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=),()(23),()(2110211121ϕθϕθψY r R Y r R①求轨道角动量z 分量z L ˆ和自旋角动量z 分量zS ˆ的平均值； ②求总磁矩 S e L e M ˆˆ2ˆμμ--=的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩表示）。
解：ψ可改写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10),()(2301),()(2110211121ϕθϕθψY r R Y r R z z S Y r R S Y r R (),()(23)(),()(21211021211121--=χϕθχϕθ从ψ的表达式中可看出zL ˆ的可能值为 0 相应的几率为41 43 4=⇒z L zS ˆ的可能值为 2 2 - 相应的几率2i C 为41 4344324122-=⨯-⨯==∑zi i z S C S )4(422 -⨯-⨯-=--=μμμμe e S e L e M z z z B M e 4142=⨯= μ 7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。
玻色子只有两个可能的单粒子态。
问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。
设两个单粒子态为i φ，j φ，则体系可能的状态为)()()(3211q q q i i i φφφ=Φ )()()(3212q q q j j j φφφ=Φ3123132231()()()()()()()()()]i i j i i j i i j q q q q q q q q q ϕϕϕϕϕϕϕϕϕΦ=++4123132231()()()()()()()()()]j j i j j i j j i q q q q q q q q q ϕϕϕϕϕϕϕϕϕΦ=++7.8 设两电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是221()2U r r μω=。
如果电子之间的库仑能和)(r U 相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。
解：体系的哈密顿算符为122223222221ˆˆˆ11ˆˆ2222i i i i i ij j ij H H H H T U r r r μωμωμμ==+⎛⎫∂=+=-∇+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭∑不考虑空间-自旋相互作用，电子波函数写为空间部分和自旋部分之积。
电子波函数的空间部分12(,)r r ψ满足定态S-方程1212ˆ(,)(,)H r r E r r ψψ=可以用分离变量法得到12(,)r r ψ为每个电子在每个空间维度的波函数之积12(,)()ij ijr r r ψψ=∏，ij ijE E =∑其中 22221()()22ij ij ij ij ij r r E r r μωψψμ⎛⎫∂-+= ⎪ ⎪∂⎝⎭即为一维谐振子势下的S-方程。
可得 ()1()2ijij nE n ω=+，()()ij nij ij r r ψψ=。
一个电子处于基态，即三个方向n j =0，波函数为000()()()x y z ψψψ 另一电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，1,0x y z n n n ===，波函数为100()()()x y z ψψψ。
总空间波函数为 010*********()()()()()()x y z x y z ψψψψψψψ'=或110101020202()()()()()()x y z x y z ψψψψψψψ''=考虑电子的全同性，电子为费米子，波函数要求满足交换反对称性。
所以空间波函数应为对称或反对称波函数。
1. 空间对称波函数12(,)()/s r r ψψψ'''=+总波函数为12(,)s A r r ψχ2. 空间反对称波函数12(,)()/A r r ψψψ'''=- 总波函数为12(,)1,2,3A Sr r αψχα=下面有01,ψψ的具体形式，不作要求。
)()()()(22r E r r U r ψψψμ=+∇-)()(21)()(2222222222r E r r r z y x ψψμωψμ=+∂∂+∂∂+∂∂- )()(21)()(2222222222r E r r r z y x ψψμωψμ=+∂∂+∂∂+∂∂- 考虑到 2222z y x r ++=，令)()()()(z Z y Y x X r =ψEXYZ XYZ z y x XYZ zy x =+++∂∂+∂∂+∂∂-)(21)(222222222222μωμ E z x Z Z y x Y Y x x X X =+∂∂-++∂∂-++∂∂-)2112()2112()2112(222222222222222μωμμωμμωμx E x x X X =+∂∂-⇒)2112(22222μωμ y E y x Y Y =+∂∂-)2112(22222μωμ z E z x Z Z =+∂∂-)2112(22222μωμ z y x E E E E ++=)()(2221x H e N x X n x n n αα-=⇒)()(2221y H e N y Y m y m m αα-=)()(2221z H eN z Z z αα -=)()()()(2221z H y H x H e N N N r m n r m n nm αααψα -= )()()()(2221z H y H x H eN N N r m n r m n nm αααψα -=ω )(23+++=m n E nm其中 !22/1n N n n πα=，μωα=对于基态0=== m n ，10=H22212/30000)()(rer απαψψ-==⇒对于沿χ方向的第一激发态01=== m n ，， x x H 2)1α=（22212/30000)()(re r απαψψ-==22214/32/5100122)(r xer απαψψ-==两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为))](()()([21),(2011211021r r r r r r S ψψψψψ+=][)(211)(2122/342221222212r r r r ex e x +-+-+=ααπα)(21122/3422212)(r r e x x +-+=απα)]()()()([21),(1120211021r r r r r r A ψψψψψ-=)(21122/3422212)(r r e x x +--=απα而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即)3(S )2(S )1(S χχχ、、和A χ综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即 独态： A S r r χψ),(211=Φ三重态： ⎪⎩⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ)3(214)2(213)1(212),(),(),(S A S A S A r r r r r r χψχψχψ。