微分方程知识题及答案解析

微分方程习题

§1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.

（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22

（2）⎰'=''=+y 0 22

2t -)(,1e y y y x dt

2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）

（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.

3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程

1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-；

（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ； （3）

23xy xy dx

dy

=-；

（4）0)22()22

(=++-++dy dx y y x x y

x .

2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y

e y ；

（2）2

1 ,12=

=+'=x y

y y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln

+='x

y

y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）

1 ,0

22=-==x y y

x xy dx dy ；

（2）1 ,02)3(0

22==+-=x y

xydx dy x y .

5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2

)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11

+-=

'y

x y （4）0)1()1(2

2

=++++dy y x xy x dx xy y

6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .

7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.

8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，

现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？

9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

§3 一阶线性方程与贝努利方程

1．求下列微分方程的通解 （1）2x x

y

y =-

'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ； （3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ； （4）)

(ln 2x y y

y -=

'；

（5）

1sin 4-=-x e dx

dy

y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0

==-'=x y

x x y y ；

(2)1|,sin 0==+

'=x y x

x x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程. 4．设可导函数)(x ϕ满足方程

⎰+=+ x

1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ.

5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系. 6．求下列贝努利方程的通解 (1) 62y x x

y

y =+

' （2）x y x y y tan cos 4+=' （3）0ln 2=-+y x x dy

dx

y

（4）2

12

1

xy x xy y +

-='

§4 可降阶的高阶方程

1.求下列方程通解。

(1)y y x '''=+；（2）1

22+'=

''x y x y ；2

(3)20yy y '''-=()3

41y y ''=

()2

002.1,0,1

x x y y y y ==''''===-求下列方程的特解

（2）0 ,0 ,20

2

='

=='+''==-x x x y y

e y x y

3．求x y =''的经过)1 ,0(且在与直线12

+=

x

y 相切的积分曲线 4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线. 证明：

0,0(,)

1(2

32=≠='+''K K K y y 可推出y 是线性函数；K 可取正或负

5．枪弹垂直射穿厚度为δ的钢板，入板速度为a ，出板速度为b )(b a >，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？

§5 高阶线性微分方程

1.已知)( ),(21x y x y 是二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，试证

)()(21x y x y -是0)()(=+'+''y x q y x p y 的解

2.已知二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个特解x e y x y x y 33221 , ,===，试求此方程满足3)0( ,0)0(='=y y 的特解.

3．验证1 ,121+=+=x e y x y 是微分方程1)1(=+'-''-y y x y x 的解，并求其通解.

§6 二阶常系数齐次线性微分方程

1.求下列微分方程的通解 （1）02=-'+''y y y ； （2）0136=+'+''y y y ；